TRENING OLIMPIJSKI I

TRENING OLIMPIJSKI I
22/23 września 2016r.
Zadanie 1. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Przekątne tego czworokąta przecinają się w punkcie E. Przedłużenia boków AD oraz BC (przez punkty A i B) przecinają się w punkcie F . Niech G będzie
takim punktem, że czworokąt ECGD jest równoległobokiem i niech H będzie obrazem punktu E przez
symetrię względem prostej AD. Pokaż, że punkty D, H, F, G leżą na jednym okręgu.
Zadanie 2. Niech P będzie punktem wewnątrz trójkąta ABC (przy czym CA 6= CB). Proste AP, BP oraz
CP przecinają (ponownie) okrąg Γ opisany na trójkącie ABC w punktach K, L, M . Styczna do okręgu Γ
w punkcie C przecina prostą AB w punkcie S. Wykaż, że jeśli SC = SP , to M K = M L.
Zadanie 3. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym. Znajdź zbiór wszystkich punktów M leżących w
płaszczyźnie trójkąta ABC spełniających następującą równość:
M A · M A′ = M B · M B ′ = M C · M C ′ ,
gdzie A′ , B ′ , C ′ są rzutami prostokątnymi punktu M odpowiednio na proste BC, CA, AB.