Modelowanie Rynków Finansowych

Transkrypt

CAPM
Arbitrage Pricing Model
Zajęcia 2
Katarzyna Lada
Paweł Sakowski
Paweł Strawiński
23 lutego, 2009
K. Lada,P.Sakowski,P. Strawiński
CAPM
Ryzyko systematyczne vs. specyficzne
Założenia modelu
Model
Specyfikacja ekonometryczna
Przykład badania empirycznego
Krytyka CAPM
Ryzyko inwestycyjne
Z każdą inwestycją są związane dwa typy ryzyka
Ryzyko systematyczne ma wpływ na wszystkie aktywa.
Przykładem jest ryzyko związane ze stopami procentowymi i
cyklem koniunkturalnym.
Ryzyko specyficzne jest związane z niespodziewanymi
wydarzeniami i ma wpływ na cenę jednego lub niewielkiej
liczby aktywów. Przykładem jest zmiana polityki państwa
wobec konkretnej gałęzi przemysłu.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Założenia modelu (1/2)
Jednostki zachowują się podobnie
Wszyscy inwestorzy zachowują się racjonalnie wybierając
optymalną relację średniego zwrotu do ryzyka
Jeden wspólny okres inwestycji
Jedno uniwersalne aktywo
Homogeniczne oczekiwania
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Założenia modelu (2/2)
Brak zaburzeń na rynku kapitałowym
Brak podatków i kosztów transakcyjnych
Inwestorzy są cenobiorcami
Możliwość krótkiej sprzedaży
Inwestorzy są w stanie pożyczyć kapitał po stopie rynkowej
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Model CAPM (1/3)
Model równowagi rynku kapitałowego zbudowany na bazie
koncepcji Mean-Variance Efficiency Markovitza.
Model rozwijany przez: Sharpe (1964), Lintner (1965), a
potem Black (1972) z portfelem o zerowej becie, tj. portfelem
z minimalną wariancją wśród wszystkich portfeli
nieskorelowanych z rynkiem
główna teza: oczekiwana stopa zwrotu jest liniową funkcją
kowariancji tego zwrotu i zwrotu z portfela rynkowego.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Model CAPM (2/3)
β jest miarą ryzyka systematycznego związanego z portfelem i.
βi =
σi · corr (Ri , Rm )
σi cov (Ri , Rm )
cov (Ri , Rm )
=
·
=
σm
σm
σi · σm
var (Rm )
ponadnormalna stopa zwrotu z aktywa i jest proporcjonalna
do ponadnormalnej stopy zwrotu z portfela rynkowego (excess
returns).
Różnice w oczekiwanych stopach zwrotu są powodowane
przez różne bety
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Model CAPM (3/3)
Badamy model postaci (SML):
E (Ri ) = Rf + βi [E (Rm ) − Rf ]
lub bezpośrednio odnosząc się do ponadnormalnych zwrotów :
E (Zi ) = βi E (Zm )
Z założeń CAPM wynika, że portfel rynkowy leży na granicy
efektywnej (mean-variance efficient).
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Model empiryczny
szacowany z wykorzystaniem klasycznego modelu regresji
liniowej:
Rit = αi + βi Rmt + εit
gdzie:
Rit - stopa zwrotu z i-tego portfela w okresie t
αi - wyraz wolny,
Rmt - stopa zwrotu z portfela rynkowego w okresie t
εit ∼ IID(0, σε2 )
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Testowanie CAPM
Testowanie CAPM polega na weryfikacji hipotez:
(i) wyraz wolny jest równy 0.
(ii) β jest jedynym czynnikiem wyjaśniającym zróżnicowanie
stóp zwrotu z aktywów.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Praktyka CAPM
W oryginalnym sformułowaniu CAPM nie ma wymiaru
czasowego – jednak trudno z niego zrezygnować z badaniach
ekonometrycznych.
Korzystając z danych w postaci szeregów czasowych trzeba
poczynić pewne założenia – zwykle zakłada się, że badane
zwroty mają rozkłady IID i że ich łączny rozkład jest
wielowymiarowym rozkładem normalnym.
W dominującej mierze praktyka ukształtowana jest przez
badania amerykańskie, gdzie rynek to S&P 500, Rf to
rentowność obligacji skarbowych, a próba to zwykle 5 lat
danych miesięcznych – okazuje się, że dla miesięcznych stóp
zwrotu założenia takie są do przyjęcia.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Szacowanie parametrów (1/2)
Aby oszacować parametry stosuje się dwuetapową procedurę:
1
W pierwszym etapie zakładamy, że βi jest stała w całym
badanym okresie a następnie szacujemy regresję na danych
czasowych. Dla każdego i szacujemy równanie:
Rit − rt = αi + βi [E (Rmt ) − rt ] + εit
2
Uzyskane w tym etapie oszacowania βi dla każdego i
stosowane są w etapie następnym.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Szacowanie parametrów (2/2)
2
W drugim etapie na danych przekrojowych szacujemy regresję
średnich zwrotów (np. miesięcznych) względem estymatorów
βi :
R i = λ0 + λ1 β̂i + νi
i testujemy czy istotne są tylko współczynniki przy βi .
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Problemy ekonometryczne
estymator parametru beta w pierwszej regresji jest
nieobciążony, ale jest mierzony z błędem, stąd w drugiej
regresji mamy obciążenie estymatora MNK,
jeśli rozkład składnika losowego w pierwszej regresji nie jest
normalny, to mamy kłopoty z wnioskowaniem.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Rozwiązania problemów
Niektóre z tych problemów da się rozwiązać:
sortując pojedyncze aktywa według pewnej cechy
(indywidualna beta, wielkość spółki, relacja wartości księgowej
do rynkowej)
oraz szacując bety dla portfeli, a następnie przypisując tak
oszacowanym betom wszystkie indywidualne aktywa z danego
portfela.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Jagannathan, Wang (1993)
Jagannathan, Wang (1993), The CAPM Is Alive and Well,
Washington University
=⇒ podstawowe dane o rynku dla okresu badania można
znaleźć w Jagannathan, McGrattan (1995) (Table 1, 2, 3,
Chart 1)
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Dla każdego roku (próba – miesięczne dane dla okresu
1963.07 – 1990.12) przydzielamy firmy do jednego z 10
portfeli wyznaczonych przez decyle wartości firm.
Dla każdej grupy decylowej szacujemy beta dla każdej firmy na
podstawie próby liczącej od 24 do 60 miesięcy, gdzie portfelem
rynkowym jest indeks wszystkich papierów z bazy danych
CRSP (niefinansowe firmy notowane na NYSE i AMEX).
Wyniki nazywamy dalej oszacowaniami „pre-bet”.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Następnie w ramach każdej grupy decylowej wg wielkości
dzielmy firmy na 10 decyli wg wartości pre-beta.
Mamy w ten sposób 100 portfeli i obliczamy zwroty (jako
nieważone średnie zwroty z akcji portfela) dla każdego z nich
dla okresu 12 miesięcy następujących po okresie
wykorzystanym dla szacowania pre-bet.
Powtarzamy tę procedurę dla kolejnych miesięcy i daje nam to
szereg czasowy 330 miesięcznych zwrotów dla każdego ze 100
portfeli wyznaczonych przez wielkość firmy i pre-bety.
Zróżnicowanie tak otrzymanych wyników pokazuje Table 1.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Otrzymane zróżnicowanie stóp zwrotu pokazuje zalety
procedury sortowania zaproponowanej przez Famę i Frencha –
dostaliśmy bowiem bardzo zróżnicowane miesięczne stopy
zwrotu – od 0,61% do 1,72%
Następnie liczymy beta portfela z regresji jego stopy zwrotu
względem stopy zwrotu z indeksu CRSP. Wyniki pokazane są
w Table 2.
Otrzymane w ten sposób bety wahają się od 0,51 do 1,71.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Sprawdzenie, czy bety wystarczają do wyjaśnienia całości
zróżnicowania indywidualnych stóp zwrotu, podejmowane było
w literaturze niekiedy w bardzo prostej postaci.
Fama i French rozważali dwie bardzo proste regresje:
Rit = γ0t + γvwt βivw + εit
Rit = γ0t + γvwt βivw + γsize,t log(MEit ) + εit
Ich oszacowania (na danych niewiele różniących się od
przedstawionych powyżej) przedstawione są w Table 4.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Fama &
French
(1992)
NYSE
i
AMEX
γˆvw
0.15
|t|
(0.46)
-0.37
-0.10
(1.21)
(0.28)
-0.32
-0.03
(0.95)
(0.08)
NYSE
-0.23
(0.67)
γsize
ˆ
|t|
-0.15
-0.17
(2.48)
(3.41)
-0.10
-0.12
(1.91)
(2.47)
-0.11
-0.12
(1.89)
(2.41)
rI2
rII2
1.26
26.92
23.01
43.69
24.02
19.23
37.70
0.12
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Fama i French (1992) interpretowali te wyniki jako
świadectwo nieprawdziwości CAPM.
Jednak porównanie wartości wskaźników z ostatnich 2 kolumn
pokazuje, że bety wyjaśniają zróżnicowanie przekrojowe
zwrotów w każdym pojedynczym miesiącu (ok. 27% lub 24%),
natomiast nie wyjaśniają zróżnicowania przeciętnych zwrotów
100 portfeli (1,35% lub 0,12%).
Nie można jednak utrzymać hipotezy (ii) – wielkość spółki
okazuje się również istotna!
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Możliwe są jednak i inne tzw. „anomalie”, tj. występowanie
innych istotnych czynników – np. P/E, BV/MV, etc.
omówienie:
Campbell, Lo, MacKinlay (1997), r. 5,
Jagannathan, Wang (1993).
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Krytyka Rolla (1977) (1/3)
CAPM jest nietestowalny ponieważ portfel rynkowy jest
nieobserwowany
Problem nieodpowiednich (niewystarczających) proxies dla
ryzyka systematycznego – być może, CAPM nie może być
testowane empirycznie, gdyż nie możemy zaobserwować
prawdziwego portfela rynkowego.
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Istnieją dwa powody dlaczego użycie przybliżenia portfela
rynkowego zaburza wyniki testów
1
2
proxy portfela rynkowego może być MVE, podczas gdy
prawdziwy portfel rynkowy nie musi być efektywny
proxy może byc nieefektywne, ale to nic nie mówi o
efektywności portfela rynkowego
CAPM
Założenia modelu
Model
Krytyka CAPM
Udział akcji w majątku i dochodów z akcji w dochodach jest
średnio równy zwykle kilku procentom =⇒ to spostrzeżenie
przyczyniło się bardzo do popularności APT – Ross (1976).
APT dopuszcza więcej czynników ryzyka i nie wymaga
określenia portfela rynkowego.
CAPM
APT (1/3)
Model zaproponowany przez Ross’a (1976)
Dopuszcza on więcej czynników ryzyka i nie wymaga
specyfikacji portfela rynkowego
Pomysł: Obliczenie relacji między oczekiwanymi zwrotami z
różnych aktywów. Znajomość różnic uniemożliwi
przeprowadzenie arbitrażu.
Zwroty są funkcją czynników, ale model ich nie identyfikuje
Prawo jednej ceny – portfele z identyczną wrażliwością na
czynniki powinny dawać identyczną stopę zwrotu
CAPM
APT (2/3)
Badanie wykonuje się dwuetapowo
1
2
szacowanie czynników
sprawdzanie czy czynniki wyjaśniają zróżnicowanie stóp zwrotu
E (Ri ) = R0 + λ1 β1 + λ2 β2 + . . . + λj βj
gdzie:
Ri - zwrot z aktywu i,
R0 - zwrot z portfela bez ryzyka (portfela z zerową betą)
βj - współczynnik reakcji: zmiana zwrotu z aktywa i wywołana
jednostkową zmianą czynnika j
λk - premia za ryzyko związana z czynnikiem k
CAPM
Szacowanie APT
Parametry modelu są szacowane z wykorzystaniem klasycznego
modelu regresji liniowej
Rit = βi0 + βi1 δ1t + . . . + βiJ δJt + uit
gdzie:
Rit - stopa zwrotu z aktywu i w okresie t,
δjt - zwrot z aktywów przypadający na czynnik j
βij - oszacowania wrażliwość aktywu i na czynnik j
uit ∼IID (0, σu2 )
CAPM
APT - ujęcie formalne (1/10)
Huberman, Wang (2005), Arbitrage Pricing Theory, Federal
Reserve Bank of New York Staff Report No. 216:
Model APT zakłada, że inwestorzy wierzą, że następujący model
czynnikowy tłumaczy zróżnicowanie stopy zwrotu z inwestycji
kapitałowych:
r = µ + βf + e
(1)
gdzie e jest wektorem czynników losowych (reszt), f jest wektorem
czynników (factors), µ jest wektorem stałych oraz β jest macierzą
ładunków czynnikowych.
CAPM
Bez utraty ogólności rozważań możemy znormalizować (1)
tak, aby E [f ] = 0 i E [e] = 0, gdzie E [·] oznacza wartość
oczekiwaną a 0 oznacza macierz zerową o odpowiednim
wymiarze.
Z modelu czynnikowego (1) wynika, że E [r ] = µ.
Zakładamy, że liczba aktywów uwzględnianych w modelu n
jest dużo wyższa niż liczba uwzględnianych czynników k.
CAPM
Model APT zapewnia istnienie takiej stałej, że dla każdego n,
nierówność:
(µ − X λ)Z −1 (µ − X λ) ≤ a
(2)
jest spełniona dla wektora λ o wymiarze (k + 1) × 1, i dodatnio
określonej macierzy Z o wymiarze n × n. W tym przypadku X
oznacza macierz X = (1, β), złożoną z dwóch macierzy: wektora
stałego 1 o wymiarze n × 1 składającego się z jedynek, oraz
macierzy ładunków czynnikowych β. Niech wektor λ0 będzie
pierwszą składową λ oraz macierz λ1 zawiera pozostałe składowe.
Jeżeli istnieje portfel bez ryzyka, wówczas λ0 jest zwrotem z
portfela bez ryzyka.
CAPM
Jako dodatnio określoną macierz Z często przyjmuje się macierz
wariancji-kowariancji E [ee 0 ]. Dokładna formułę arbitrażową
uzyskuje się jeżeli (2) jest zastępowane przez
µ = X λ = 1λ0 + βλ1
(3)
CAPM
Wektor λ1 jest określany jako premia za ryzyko, a macierz β
jest nazywana macierzą beta albo macierzą ładunków
czynników ryzyka.
Interpretacja równania (2) jest następująca: każdy składnik
wektora µ w przybliżeniu zależy liniowo od odpowiedniego
wiersza β. ta liniowa relacja jest stała względem
rozpatrywanych aktywów. Przybliżenie jest tym lepsze, im
mniejszą wartość przyjmuje stała a, dla a = 0 zależność jest
dokładna równanie (3) jest spełnione.
CAPM
Niemniej, w pracach empirycznych zwykle ignoruje się (2) i
korzysta bezpośrednio z równości (3).
Badanie wykonywane jest w dwóch krokach
w pierwszym szacowane są czynniki (lub przynajmniej macierz
β),
następnie sprawdzane jest, czy zachodzi dokładna relacja
opisana przez (3).
CAPM
Bardziej formalnie oznacza to, że w pierwszym kroku szacuje się
regresję postaci
rt = α + βft + et
(4)
gdzie subskrypt t oznacza realizacje odpowiednich zmiennych w
okresie t.
CAPM
Czynniki obserwowane empirycznie mają często niezerową średnią,
oznaczmy ją przez δ. Estymatory MNK dane są dla powyższej
regresji następującymi wzorami:
1 X
rt
T
1 X
δ̂ =
ft
T
"
#"
#−1
X
X
0
0
β̂ =
(rt − µ̂)(ft − δ̂)
(ft − δ̂)(ft − δ̂)
µ̂ =
CAPM
W następnym kroku szacujemy otrzymaną z (3) i (4) regresję
postaci:
rt = 1λ0 + β(f + λ1 ) + et
CAPM
Jeśli założymy, że stopy zwrotu i czynniki są IID i normalne, to
estymatory MNW mają postać:
β=
X
0
(rt − iλ0 )(ft + λ1 )
Ω=
X
0
(ft + λ1 )(ft − λ1 )
1
e t e 0t
T
gdzie: e t = rt − 1λ0 − β(ft + λ1 )
λ = (X Σ
−1
0
X )−1 X Σ
−1
(µ̂ − β δ̂)
gdzie X = (1, β)
−1
CAPM
Szacowanie macierzy β
Uwaga: szacowanie macierzy β zakłada dokonanie, przynajmniej
implicite, identyfikacji czynników. Można to zrobić wykorzystując
jeden z trzech sposobów:
1
zastosować formalny statystyczny algorytm analizy
oszacowania macierzy wariancji-kowariancji zwrotów, np.
analizę czynnikową lub głównych składowych;
2
dokonać wizualnej analizy macierzy kowariancji, a następnie
ekspercko zaproponować czynniki i szacować macierz β;
CAPM
Szacowanie macierzy β
3
ekspercko zaproponować czynniki, oszacować ładunki
czynnikowe i sprawdzić, czy zachodzi (3). Przykładami takich
zmiennych mogą być stopy zwrotu z indeksów rynkowych,
nachylenie krzywej dochodowości, inflacja, tempo wzrostu
PKB, produkcji przemysłowej lub konsumpcji itp.
CAPM
Porównanie CAPM i APT
Przykład badania testującego, który z modeli – APT czy CAPM –
nadaje się lepiej do modelowania rynku akcji w Indiach:
Raj S. Dahnkar, Rohini Singh (2005) ”Arbitrage Pricing
Theory and the Capital Asset Pricing Model - Evidence from
the Indian Stock Market”, Journal of Financial Management
& Analysis vol 18/1, pp. 14-27.
dane odejmują 158 akcji dużych i średnich przedsiębiorstw
charakteryzujących się wysoką płynnością, wchodzących w
skład jednego z trzech głównych indeksów.
okres badania: styczeń 1991 - grudzień 2002
CAPM
Dahnkar, Singh (2005)
Rezultaty modelu APT dla przykładowego portfela
Czynnik
1
2
3
4
5
RAZEM
% wyjaśnionej wariancji
przemysł beta losowo
80.81
85.08 85.93
4.17
3.45
1.94
2.55
1.61
1.82
1.83
1.45
1.53
1.57
1.18
1.26
90.93
92.77 92.40
CAPM
Istnieje jeden czynnik główny, którego znaczenie lekko spada
wraz z czasem,
Wpływ poszczególnych czynników na zwroty zmienia się z
czasem,
Następuje rotacja czynników znaczących
pierwszy czynnik jest najbardziej znaczący przy sortowaniu
według bet oraz losowym doborze portfeli
CAPM
APT R̄ 2 = 0.537
Rt = 0.28 + 0.17 b1 + 0.13 b2 + 0.04 b3 + 0.11 b4 + 0.08 b5
(0.2)
(1.18)
(3.45)
(1.22)
(2.29)
CAPM R̄ 2 = 0.06
Rt = 1.28 + 0.757β
(0.925)
(0.48)
w nawiasach statystyki t-Studenta
(1.46)
CAPM
Model
stała
APT 5 czyn.
CAPM
-0,183
0,589
APT 5 czyn.
CAPM
1,050
1,370
Adj-R 2
Istotne
158 akcji
0,198
0,451
f1,f2,f4,f5
1,504
0,104
beta
15 portfeli alfabetycznych
0,080
0,316
0,619
0,030
f1/beta
F APT vs CAPM
24.5+
14.0+
CAPM
Model
stała
APT 3 czyn.
APT 5 czyn.
APT 7 czyn.
APT 9 czyn.
CAPM
0,979
0,280
0,561
0,657
1,282
f1/beta
15 portfeli
0,091
0,157
0,130
0,121
0,787
Adj-R 2 Istotne
przemysłowych
0,294
f2
0,537
f2,f4
0,580
f2,f4
0,487
f2
0,060
-
F APT vs CAPM
26.6+
79.0+
126.2+
149.6+
CAPM
Model
15
APT 3 czyn.
APT 5 czyn.
APT 7 czyn.
APT 9 czyn.
CAPM
stała f1/beta
portfeli wg bety
1,356
0,048
1,371
0,046
1,716
0,013
2,570
0,071
0,196
1,614
Adj-R 2
Istotne
0,530
0,479
0,358
0,186
0,578
beta
F APT vs CAPM
CAPM
Porównanie CAPM i APT
Wnioski z badania:
Model APT daje lepsze oszacowania oczekiwanych stóp
zwrotu niż CAPM.
Co więcej, model APT wyjaśnia większą część wariancji niż
model CAPM.
Autorzy zauważają, że trudno jest wyciągać ogólne wnioski na
podstawie jednego badania, bowiem rezultaty mogą być
determinowane przez dobór próby, czasu, okresu badania oraz
metody szacowania.
Autorzy sugerują, że powinno zwracać się większą uwagę na
modele wieloczynnikowe.

Modelowanie Rynków Finansowych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Karta szkolenia

Igor Strawiński | Święto wiosny

Ś. p. Antoni Sakowski OAM

Pobierz - Analizy – Prognozy Finansowe

Jan Topolski „Cytat, próbka, sample – muzyka współczesna dla