WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (233)
2015
Rok LXI
Anna PIWOWAR
Politechnika Śląska w Gliwicach
WYBRANE METODY BADANIA STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV
Streszczenie. W artykule przeprowadzono analizę stabilności filtrów parametrycznych pierwszego rzędu z nieokresowo zmiennym parametrem. Wyznaczono obszary
stabilności układów parametrycznych posługując się metodami badania e-stabilności oraz
stabilności krótkoczasowej. Wykazano, że rozpatrywane modele filtrów należą do
układów typu frozen time. Wykorzystując metodę uogólnionych wartości własnych
wykazano również, że jeśli funkcje parametryzujące są ściśle dodatnie, to rozpatrywane
klasy filtrów LTV są zawsze BIBO-stabilne.
Słowa kluczowe: układy parametryczne, LTV, stabilność, e-stabilność, stabilność krótkoczasowa,
układy typu frozen time
SELECTED STABILITY EXAMINATION METHODS OF LTV SYSTEMS
Summary. In this article the stability analysis of first order parametric filters with
time variable coefficient has been carried out. The stability areas of LTV systems have
been determined using e-stability examination and short-time stability methods. Using the
generalized eigenvalues method it has also been shown that if the parametric functions
are strictly positive the considered LTV filters are BIBO stable.
Keywords: parametric systems, LTV, stability, e-stability, short-time stability, frozen system
1. WPROWADZENIE
Metody badania stabilności rozwiązań stacjonarnych układów liniowych (nazywanych
w skrócie LTI – ang. linear time invariant), opisanych równaniami stanu:
y ' (t )  Ay (t )  x(t ) ,
(1)
gdzie:
y(t)– wektor odpowiedzi układu,
x(t) – wektor wymuszeń,
A – stała macierz stanu,
są dobrze znane w teorii równań różniczkowych [14]. Metody badania stabilności takich
układów są efektywnie stosowane przy projektowaniu układów sterowania, a także układów
58
A. Piwowar
elektrycznych i elektronicznych. Innym ważnym zagadnieniem w teorii układów liniowych
jest badanie ograniczoności rozwiązań równań stanu (1), opisujących te układy. Układ nazywamy stabilnym w sensie BIBO (ang. bounded input bounded output) (lub nierezonansowym), jeśli niezależnie od przyjętych warunków początkowych i dla każdego ograniczonego
wektora wymuszeń
x(t )   xi (t )  K1  R  ,
(2)
y (t )   yi (t )  K 2  R  ,
(3)
y ' (t )  A (t ) y (t )  x(t ) ,
(4)
m
wektor odpowiedzi układu
i 1
n
i 1
jest ograniczony [1], przy czym K1, K2 są to dowolne stałe należące do zbioru R+. Dla
układów LTI definicje stabilności w sensie Lapunova [6] i w sensie BIBO [5] są w pełni
równoważne.
W układach liniowych ze zmiennymi parametrami LTV (ang. linear time varying)
nazywanych również układami parametrycznymi i opisanych równaniami stanu (4) [1, 9]:
gdzie:
y(t) – wektor odpowiedzi,
x(t) – wektor wymuszeń,
A(t) – macierz stanu, której wyrazy są zmienne w czasie,
powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe [1]. W artykule omówiono wybrane i wykorzystywane w badaniach nad układami o zmiennych w czasie parametrach metody
wyznaczania warunków stabilności tych układów.
Istnieje wiele różnych i na ogół nierównoważnych definicji stabilności i metod
wyznaczania obszarów stabilności układów parametrycznych LTV [1, 2, 3, 6]. Stabilność
układów w sensie BIBO jest jedną z częściej stosowanych definicji stabilności [1]. Na ogół
różne kryteria stabilności podają tylko warunki wystarczające stabilności, a wyznaczone na
ich podstawie obszary stabilności układów mogą być różne. W artykule przedstawiono
wybrane metody badania BIBO-stabilności układów klasy LTV.
W dalszej części artykułu analizie stabilności poddany został dolnoprzepustowy filtr
parametryczny pierwszego rzędu, przedstawiony na rysunku 1a, opisany równaniem [9]:
y ' (t )   (t ) y (t )  x (t ) ,
gdzie:
x(t), y(t) – sygnały wejściowy i wyjściowy sekcji,
(t) – funkcja parametryzująca sekcji.
(5)
Wybrane metody badania stabilności...
59
W pracy rozważane są układy LTV o uzmiennionych współczynnikach tylko lewej strony
równania różniczkowego (5). Dla ułatwienia analizy prawa strona równania – sygnał x(t) jest
traktowany jako wymuszenie zastępcze równe x(t)=x1(t)g. Przy czym x1(t) to sygnał
wymuszenia podanego na wejście sekcji, a g – stały współczynnik wzmocnienia układu,
który dla układów pierwszego rzędu równy jest co do wartości pulsacji granicznej.
W artykule przyjmuje się, że funkcje parametryzujące (t) należą do klasy funkcji
nieokresowych, opisanych przez sumę składowej stałej i funkcji o skończonej energii.
Funkcje takie można aproksymować z dowolną dokładnością uogólnionymi szeregami
Fouriera z bazą funkcji eksponencjalnych [7]. Nieokresową zmienność parametru (t) można
zatem wyrazić jako [9]:
przy czym:
(t )  g  Ck e t , g  0, Ck R,  k  R ,
n
k 1
k
(6)
g – wartość graniczna (ustalona) funkcji parametryzującej (t) dla t→∞,
k – współczynniki odpowiadające za szybkość osiągania wartości granicznej (ustalonej)
funkcji (t),
Ck – współczynniki odpowiadające za wartość początkową funkcji (t) dla t=0.
Przykładowe wykresy nieokresowych funkcji (t) (6) pokazano na rysunku 1b.
Rys. 1. Dolnoprzepustowy filtr LTV pierwszego rzędu: a) model układu, b) przykładowe przebiegi
zmiennej pulsacji granicznej
Fig. 1. First order low-pass LTV filter: a) model of a system, b) examples of the waveforms of
variable cut-off angular frequency
Dla przyjętych założeń (por. wzory (6)) funkcje parametryzujące spełniają warunek:
lim  (t )  g  0 .
t 
(7)
Jeżeli powyższy warunek jest spełniony i rozpatrywane sekcje parametryczne są stabilne, to
po dostatecznie długim czasie sekcje LTV są równoważne stacjonarnym sekcjom
60
A. Piwowar
dolnoprzepustowym o pulsacji granicznej g. Sekcje te stają się wtedy klasycznymi filtrami
dolnoprzepustowymi LTI.
Sekcję LTV opisaną wzorem (5) interpretować można jako parametryczną sekcję
dolnoprzepustową o zmiennej w czasie pulsacji granicznej (t) lub sekcję dolnoprzepustową
o parametrach przestrajanych zewnętrznym sygnałem (t).
2. E-STABILNOŚĆ UKŁADÓW LTV
Szczególną klasę układów opisywanych równaniem (4) stanowią układy e-stabilne
(eksponencjalnie stabilne) [1]. Układ jednorodny (8) (odpowiadający równaniu układu LTV
(2))
y ' (t )  A (t ) y (t ) ,
(8)
jest eksponencjalnie stabilny, jeżeli macierz A(t) zawiera elementy będące dla
t <0,∞) funkcjami ciągłymi, a rozwiązanie x(t) układu równań (8) spełniają warunek [1]:
~y (t )  b y (0) e at , a, b  R  , t  0, ) ,
(9)
gdzie a, b – dowolne stałe należące do zbioru R+.
Można wykazać [1], że z eksponencjalnej stabilności układu jednorodnego (9) wynika
stabilność w sensie BIBO układu niejednorodnego (4).
Metoda ta została zastosowana do rozpatrzenia stabilności parametrycznego układu
pierwszego rzędu (rys.1). Rozwiązanie równania jednorodnego odpowiadającego równaniu
(5) z parametrem (t) określonym wzorem (6) wyrazić można w następującej postaci [9]:
y (t )  y0e
 0 t
e

  kk e  k t 1
n
k 1
C
,
analizując równanie (10), można zauważyć, że zachodzi oszacowanie [10]:
 kk ekt 1

e
n
k 1
C
 e
n
k 1

Ck
k
e  1
 kt
 e
n
k 1

Ck
k
e kt
e
Ck
k
  ek ,
n
k 1
Ck
(10)
(11)
stąd ze wzoru (11) (patrz także wzór (9)) wynika stabilność w sensie BIBO rozpatrywanego
układu.
Układy parametryczne pierwszego rzędu nie będą eksponencjalnie stabilne tylko w przypadku, gdy wartość ustalona funkcji parametryzującej jest mniejsza od zera. Warunkiem
dostatecznym stabilności jest warunek (7). Na uwagę zasługuje fakt, że z punktu widzenia
stabilności układów nie ma znaczenia, że zmienne parametry równania różniczkowego są
w pewnych przedziałach funkcjami przyjmującymi wartości ujemne. Z tego wynika, że filtr
Wybrane metody badania stabilności...
61
dolnoprzepustowy we wszystkich przypadkach zmian parametru 1(t), 2(t), i 3(t), (por. rys.
1b) jest stabilny.
3. STABILNOŚĆ KRÓTKOCZASOWA UKŁADÓW LTV
Pojęcie stabilności krótkoczasowej (ang. short time stability), wprowadzone pierwotnie
przez G.V. Kamenkova [4] w 1953 roku jest stosowanie obecnie głównie w układach
sterowania (np. [3, 4, 8]). W przybliżeniu stabilność krótkoczasową układów rozumieć można
jako ich stabilność w sensie BIBO, zachodzącą w skończonym przedziale czasu [0,T]. Dla
układów LTV opisywanych liniowymi równaniami stanu (4) wprowadza się trzy definicje
stabilności krótkoczasowej [3]:
 względem warunków początkowych, opisanych wektorem y(t0), dla x(t)≡0,
 względem wymuszeń x(t), dla y(t0)≡0,
 względem wymuszeń i warunków początkowych.
Najogólniejszą z nich jest definicja względem warunków początkowych, opisanych
wektorem y(t0) dla wektora wymuszeń x(t)≡0. Według tej definicji układ (4) jest
krótkoczasowo stabilny dla zadanych parametrów liczbowych i funkcyjnych ε0, εf (t), c(t),
tR+, gdy z warunków:
y (t 0 )   yi (t 0 )   0 ,
n
i 1
x(t )   xi (t )   f (t ) ,
(13)
y (t )   xi (t )  c (t ) ,
(14)
n
wynika, że:
(12)
i 1
n
i 1
w przedziale czasu [t0, t0+T] [3].
Praktyczne znaczenie krótkoczasowej stabilności polega na tym, że układ niestabilny
w klasycznym sensie i wyłączony po upływie czasu T traktuje się jako stabilny. Oszacowania
obszarów krótkoczasowej stabilności układów, tzn. obszarów parametrów 0, T,f(t), c(t),
w których układy są stabilne, przeprowadza się z wykorzystaniem warunków wystarczających
stabilności. Wymagają one znajomości macierzy stanu A(t) równania (4) lub innych, na ogół
trudnych do wyznaczenia wielkości, takich jak: impulsowa funkcja przejścia układu, macierz
rozwiązań fundamentalnych równania (4), funkcja Lapunowa itp. [1, 8, 13].
Przyjmuje się, że dalsze rozważania dotyczyć będą wyłącznie analizy stabilności
z wykorzystaniem kryteriów wymagających znajomości macierzy A(t). Można wykazać [1],
62
A. Piwowar
[3], że dla zadanych parametrów 0, T,f(t), c(t) warunki stabilności krótkoczasowej określają
nierówności:
gdzie:
f1 ( 0 ,  f , t )   0 exp  M ( )d    f ( ) exp  M ( )d d  c (t ) ,
(15)
f 2 ( 0 ,  f , t )   0 exp  A( ) d    f ( ) exp  A( ) d d  c (t ) ,
(16)
t
t
t
t0
t0

t
t
t
t0
t0

t
t
t
t0
t0

f 3 ( 0 ,  f , t )   0 exp  P ( )d    f ( ) exp  P ( ) d d  c (t ) ,
M(t) – największa wartość własna macierzy uij
u   12 A(t )  A (t )  ,
T
ij
P(t )  max   ij uij (t )  (1   ij )uij (t ) ,
n
i
j 1
A(t ) 
(t) – symbol Kroneckera:
 a (t ) ,
n
i , j 1
ij
 1 gdy i  j
.
0 gdy i  j
 ij  
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Należy zauważyć, że obszary stabilności wyznaczone na podstawie wzorów (15) - (17) są na
ogół różne (w sensie inkluzji zbiorów), a wybór kryterium umożliwiającego wyznaczenie
możliwie największego obszaru stabilności jest trudny [1], [11].
Wymienione kryteria zostały wykorzystane do wyznaczenia warunków stabilności
krótkoczasowej dolnoprzepustowych filtrów LTV pierwszego rzędu. o pulsacji granicznej
zmiennej nieokresowo, zgodnie ze wzorem (6). Rozpatrywane w artykule filtry LTV opisuje
równanie różniczkowe (5), więc jednoelementowa stanu A(t) równa w tym przypadku
macierzy [uij(t)] (por. wzór (18)) oraz wskaźnik P(t) (por. wzór (19)) wynoszą [11]:
A(t )  [ uij (t )]  P (t )  [  (t )] .
(22)
M   (t ) .
(23)
Jedyna wartość własna M macierzy [uij(t)] wynosi:
Norma macierzy stanu A(t):
A(t ) 
a
n
i , j 1
ij
   (t ), gdy  (t )  0

  (t ), gdy  (t )  0 .
(24)
Wybrane metody badania stabilności...
63
Dla założonych współczynników liczbowych i funkcyjnych:
t0  0, y (0)   0 , x(0)   f , y (t )  c(t )  c  const ,
(25)
t
 t
t

f1 ( 0 ,  f , t )  f3 ( 0 ,  f , t )   0 exp    ( )d     f ( ) exp    ( )d d  c ,
t 0
 t 0


(26)
warunki stabilności krótkoczasowej określają wzory [11]:
a)
t
 t
t

f 2 ( 0 ,  f , t )   0 exp  A( ) d     f ( ) exp  A( ) d d  c .
t 0
 t 0
t 0

dla 1(t)
b)
dla 2(t)
c)
(27)
dla 3(t)
Rys. 2. Obszary stabilności krótkoczasowej filtru LTV: a) z funkcją parametryzującą 1(t),
b) z funkcją parametryzującą 2(t), c) z funkcją parametryzującą 3(t)
Fig. 2. The short time-stability area of LTV filter: a) with parametric function 1(t), b) with parametric
function 2(t), c) with parametric function 3(t)
Jeżeli funkcja parametryzująca jest ściśle dodatnio określona, to powyższe warunki dają
równoważne wyniki. Jeżeli funkcja parametryzująca nie jest ściśle dodatnio określona, to
warunek (27) stanowi sumę całek liczonych względem funkcji –(t), lub (t), co wynika
z zależności (24). Obszary stabilności układu opisanego wzorem (5) w przypadku różnych
funkcji parametrycznych (por. rys.1b) wyznaczone na podstawie wzorów (26) i (27)
przedstawiono na rysunku 2. Układy o zmiennych pulsacjach granicznych 2(t) i 3(t) są
układami stabilnymi zarówno według kryteriów stabilności krótkoczasowej, jak i w sensie
BIBO. Układ LTV o pulsacji granicznej zmiennej zgodnie z przebiegiem 1(t), mimo że jest
stabilny w sensie BIBO, nie spełnia warunków stabilności krótkoczasowej.
4. BADANIE STABILNOŚCI UKŁADÓW LTV TYPU FROZEN TIME
Bezpośrednie badanie e-stabilności wymaga konstrukcji oszacowania (9) rozwiązań
fundamentalnych równań stanu. W przypadku sekcji parametrycznych pierwszego rzędu
uzyskanie tych oszacowań nie jest trudne [10]. Dla sekcji parametrycznych drugiego rzędu
konstrukcja oszacowań jest bardzo trudna, gdyż wymaga analizy złożonych wyrażeń
zawierających funkcje Bessela i funkcje hipergeometryczne [9]. W takim przypadku badanie
e-stabilności układów implikującej ich stabilność w sensie BIBO wygodnie jest
64
A. Piwowar
przeprowadzać, wykorzystując pojęcie uogólnionych wartości własnych układów LTV
z zamrożonymi współczynnikami (ang. frozen LTV systems) [2], [9]. Można wykazać, że [2]
układ parametryczny opisany równaniem stanu (4) jest typu frozen time, gdy elementy
macierzy stanu A(t) są funkcjami ciągłymi dla czasu t[0,∞) oraz spełnione są warunki:
sup‖A(t)‖<∞ dla t≥0,
sup‖A'(t)‖<∞ dla t≥0.
Jeżeli uogólnione wartości własne i(t) [12], macierzy A(t) spełniają warunki:
 Re (t)  0 , i=1,2…,
t 0
i
(28)
(29)
(30)
to układ LTV jest e-stabilny, czyli BIBO stabilny.
Badany układ LTV pierwszego rzędu opisany jest równaniem (5), przebieg występującej
w tym równaniu funkcji parametryzującej (t) określa wzór (6). Macierz stanu układu
opisana jest jako [9]:
ponieważ:
A(t )  g   Ck e  k t ,
(31)
sup  (t )  g   Ck   ,
(32)
n1
k 1
n1
t 0
k 1
sup  ' (t ) 
t 0

n1
k 1
k
Ck   ,
(33)
to układ opisany równaniem (6) jest układem typu frozen time. Jedyną uogólnioną wartość
własną równania (6) w tym przypadku określa wzór:
 (t )  g   Ck e  t .
n1
k 1
k
(34)
Jeżeli parametry g, Ck, ksą tak dobrane, że dla każdego t  [0, ) , (t)<0, to badany układ
(5) w tym przypadku jest również BIBO-stabilny. Ze wzoru (34) wynika, że współczynniki k
nie wpływają na stabilność filtru, jeśli tylko k >0, jeżeli ponadto pozostałe współczynniki
funkcji parametryzującej (6) spełniają dodatkowy warunek:
C
n1
k 1
k
 g ,
(35)
czyli funkcja parametryzująca (7) jest ściśle dodatnio określona, to filtry opisane równaniem
(6) z nieokresową funkcją parametryzującą są BIBO-stabilne. Zgodnie z powyższym, spośród
badanych układów tylko filtr LTV z pulsacją graniczną 3(t) jest stabilny.
Wybrane metody badania stabilności...
65
5. PODSUMOWANIE
W ramach badań dotyczących analizy sekcji parametrycznych prowadzono prace
dotyczące analizy stabilności tych sekcji różnymi metodami. Dla sekcji pierwszego rzędu
wykorzystano bezpośrednią metodę badania e-stabilności. Wykazano, że sekcje takie mogą
być stabilne, gdy funkcje parametryzujące w skończonych przedziałach przyjmują ujemne
wartości. Podobne wyniki uzyskano analizując warunki tzw. stabilności krótkoczasowej
sekcji LTV.
Przy badaniu uogólnionych wartości własnych układów LTV typu frozen time uzyskuje
się wyniki narzucające większe ograniczenia na przebieg zmienności funkcji
parametryzujących i wymagające ich ściśle dodatniej określoności. Należy zwrócić uwagę na
fakt, że metoda podaje tylko warunek wystarczający stabilności układów parametrycznych.
BIBLIOGRAFIA
1.
D’Angelo H.: Linear Time-Varying Systems. Analysis and Synthesis. Allyn and Bacon,
Inc. Boston 1970.
2. Da Cunha J.: In stability Results for Slowly time varying dynamic systems on time
scales. “J. Math And Appl.” 2007, No. 328, p. 1279-1289.
3. Davari A., Ramanathaiah, R.K.: Short-Time Stability Analysis of Time-Varying
Systems. Proc. Symp. on System Theory, 20-22 March 1994, p. 302-304.
4. Dorato P., Weis S, L. , Infante, E.: Comment on Finite-Time Stability under Perturbing
Forces and on Product Spaces. “IEEE Trans. on Automatic Control” 1967, Vol. 12, Issue
3, p. 340.
5. Kaczorek T.: Control and System Theory. PWN, Warszawa 1993.
6. Kaszyński R.: Stability of parametric, analog low-pass filter, IEEE Int. Conf. on
Emerging Technologies and Factory Automation, 1999. Proceedings. ETFA '99. 1999
7th, Vol. 1, 18-21 Oct. 1999. p. 579-582.
7. Maurin K.: Analysis, Part I. PWN, Warszawa 1971.
8. Moulay E. Per ruquet t i W.: Finite-Time Stability and Stabilization on a Class of
Continuous Systems. “J.Math Anal Appl.” 2006, No 323, p. 1430-1443.
9. Piwowar A: Analysis of parametric systems with first and second order sections.
Rozprawa doktorska. Wydział Elektryczny, Politechnika Śląska, Gliwice 2011.
10. Walczak J., Romanowska A.: BIBO stability analysis of first order parametric section.
XIII Conf. ZKwE, Poznań, kwiecień 2008, p. 35-36.
11. Walczak J., Piwowar A.: Short time stability of first order LTV filters. Rozdział
w Monografii ZKwE 2009 pod przewodnictwem PAN, Poznań 2009, p. 92-99
66
A. Piwowar
12. Wu M.Y: A note on stability of linear time varying systems. “IEEE Trans. on Automatic
Control” 1974, Vol. 19, No. 2, p. 162.
13. Zhu J., Johnson C. D.: New Results in the Reduction of Linear Time – Varying System.
“SIAM J. Control and Optimization” 1998, Vol. 27, No.3, p. 476-493.
14. Zwillinger d.: Handbook of differential equations. Academic Press, New York 1992.
Dr inż. Anna PIWOWAR
Politechnika Śląska
Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
Tel. (32) 237-10-18; e-mail [email protected]