1. 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ

Transkrypt

Część 2
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ
1

1.
1.1. Wstęp
Podstawowym narzędziem służącym do rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń są wzory
transformacyjne. Pozwalają one określić wartości sił przywęzłowych na podstawie parametrów
geometrycznych pręta (sztywność EJ, długość l) oraz przemieszczeń węzłów pręta (liniowych i obrotowych).
Jeden ze sposobów wyznaczenia wzorów transformacyjnych polega na określeniu reakcji w podporach
belki jednoprzęsłowej. Będą one zależały od typu podpór. Zadanie sprowadza się do rozwiązania belek
statycznie niewyznaczalnych (rys. 1.1) metodą sił. Zakładamy wpływy zewnętrzne w postaci klasycznych
osiadań podpór (przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi belki, przemieszczenia kątowe).
a)
EJ
l
b)
EJ
c)
EJ
EJ
EJ
l
l
Rys. 1.1. Schematy belek statycznie niewyznaczalnych
Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć umowę dotyczącą znaków poszczególnych wielkości.
Najwygodniejsza dla metody przemieszczeń będzie taka, która uprości obliczenia i wyeliminuje w jak
największym stopniu różnice znaków poszczególnych wyrazów w równaniach.
W związku z tym będziemy traktować jako dodatnie:
•
momenty działające przy węzłach prętów zgodnie z ruchem wskazówek zegara (układ prawoskrętny)
(rys. 1.2),
•
siły poprzeczne obracające odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.2),
•
kąty obrotu przekrojów węzłowych φ zgodne z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.3),
•
przemieszczenia Δ zgodne z kierunkiem i zwrotem przyjętego układu współrzędnych (rys. 1.3).
Wielkości ujemne będą miały zwroty przeciwne w stosunku do wymienionych. Ponadto tak jak
dotychczas wykresy momentów zginających będziemy odkładać po stronie włókien rozciąganych, czyli od
wypukłej strony osi odkształconej.
T>0
M>0
M>0
T<0
M>0
M<0
Rys. 1.2. Znakowanie momentów zginających i sił poprzecznych
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
2
k
i
x
Δi>0
Δk>0
i
φk>0
φi>0
k
z
Rys. 1.3. Znakowanie kątów obrotu φ i przemieszczeń pionowych Δ węzłów podporowych
Procedurę wyprowadzania wzorów transformacyjnych omówimy analizując różne przypadki podparcia
pręta.
1.2. Belka utwierdzona
Rozpatrzmy belkę obustronnie utwierdzoną o długości l i sztywności EJ (rys. 1.4), której podpory
doznają przemieszczeń φi, φk, Δi, Δk.
φi
φk
EJ
i
k
x
Δi
Δk
z
l
Rys. 1.4. Schemat belki obustronnie utwierdzonej poddanej przemieszczeniom podpór
Narysujmy stan po przemieszczeniu podpór i, k o zadane wartości (rys. 1.5). W rozważaniach
przemieszczenia podpór będą dowolne, lecz z uwagi na czynione uproszczenia przyjmujemy, że ich wartości
są niewielkie (małe w stosunku do wymiarów pręta).
k
i
x
Δi
z,w
Δk
φi
Ψik
φk
Rys. 1.5. Stan po przemieszczeniu belki
AlmaMater
Część 2
3
Na rys. 1.5 symbol ψik oznacza obrót cięciwy wynikający z pionowych przemieszczeń podpór Δ:
tg ik =
k −i k i
= −
l
l
l
(1.1)
ponieważ dla małych kątów tg ψik ≈ ψik , to możemy zapisać:
ik =
k i k −i
− =
l
l
l
(1.2)
Aby rozwiązać zadanie metodą sił trzeba przyjąć układ podstawowy oraz odpowiadające mu warunki
przemieszczeniowe.
φk
φi
X1
X2
X3
Δi
Δk
Rys. 1.6. Układ podstawowy
1 =0
 2 =0
3 =0
Ponieważ pomijamy w obliczeniach wpływ sił normalnych współczynniki δ3i (siła X3 wywołuje tylko siłę
normalną) będą równe zero, a układ równań kanonicznych ograniczy się do dwóch równań:
11⋅X 1 12⋅X 2 1 =0
(1.3)
 21⋅X 1 22⋅X 2 2 =0
W celu obliczenia przemieszczeń z układu (1.3) narysujemy wykresy momentów w stanach X1 = 1 i X2 = 1.
H=0
k
X1=1
X2=1
i
H=0
k
l
i
Ri(1) =
1
l
l
Rk(1) = 1
l
M1[-]
Ri(2) = 1
l
Rk(2) =
1
l
M2[-]
1
1
Rys. 1.7. Reakcje i momenty zginające w stanach X1 = 1 i X2 = 1
AlmaMater
Część 2
4
Obliczamy współczynniki macierzy podatności metodą Wiereszczagina-Mohra:




11 =
1 1
2
l
⋅ ⋅1 ⋅l⋅ ⋅1 =
EJ 2
3
3 EJ
 22 =
1 1
2
l
⋅ ⋅1 ⋅l⋅ ⋅1 =
EJ 2
3
3 EJ
12 = 21 =


1 1
1
l
⋅ ⋅1 ⋅l⋅ ⋅1 =−
EJ 2
3
6 EJ
A wyrazy wolne ΔiΔ według wzoru:
i =−i −∑ Rij ⋅ j
j
(1.4)
gdzie:
i
R
i 
j
j
- rzeczywiste, narzucone przemieszczenie zgodne z kierunkiem niewiadomej Xi,
- reakcja w podporze j, w stanie Xi = 1,
- przemieszczenie narzucone po kierunki reakcji Rij  .
1
1
1 =−i − ⋅i  ⋅k =−i ik
l
l
1
1
2 =− k − ⋅i  ⋅k =−k ik
l
l
Po podstawieniu otrzymanych wartości równanie kanoniczne (1.3) uzyskuje postać
l
l
⋅X 1−
⋅X 2 ik −i =0
3 EJ
6 EJ
l
l
−
⋅X 1 
⋅X 2 ik − k =0
6 EJ
3 EJ
(1.5)
Rozwiązanie układu (1.5) prowadzi do wartości sił nadliczbowych:
X 1=
2 EJ
⋅2 i  k −3ik 
l
(1.6)
X 2=
2 EJ
⋅i 2  k −3 ik 
l
(1.7)
W przyjętym układzie podstawowym siły nadliczbowe Xi oznaczają reakcje podporowe, a zarazem
równoważne im wewnętrzne siły przypodporowe (rys. 1.8). Można zapisać:
X 1=M ik
X 2=M ki
AlmaMater
Część 2
5
gdzie:
M ik to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i,
M ki to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k.
Mik
Mki
Mi
Mk
i
k
Rys. 1.8. Momenty podporowe i przywęzłowe momenty zginające
Obliczmy jeszcze reakcje Ri i Rk.
∑ M i =0
⇔
2 EJ
2 EJ
⋅2 i  k −3ik 
⋅i 2  k −3ik R k⋅l =0
l
l
(1.8)
R k =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik 
l2
(1.9)
Ri =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik 
l2
(1.10)
Ponieważ reakcje węzłowe są równoważne wewnętrznym siłom przywęzłowym (rys. 1.9)
R k =T ki
R i =T ik
to siła tnąca wynosi:
T ik =T ki =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik 
2
l
(1.11)
gdzie:
T ik , T ki oznaczają przęsłowe, przywęzłowe siły poprzeczne.
i
Tik
Tki
k
Ri
Rk
Rys. 1.9. Reakcje podporowe i przywęzłowe siły poprzeczne
Gdy znamy już wartości wszystkich sił, to możemy narysować wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
AlmaMater
Część 2
X1=
2EJ
(2φi+φk-3Ψik)
l
X2=
6
2EJ
(φi+2φk-3Ψik)
l
k
i
l
Ri
Rk
Mk i
M[kNm]
Mik
T[kN]
Tik=Tki=- 6EJ
(φi+φk-2Ψik)
l2
-
Rys. 1.10. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej, obciążonej
przemieszczeniami φi, φk, Δi, Δk
Ostatecznie dla
transformacyjnych:
belki
obustronnie
M ik =
utwierdzonej
(rys. 1.4)
otrzymaliśmy
2 EJ
⋅2 i  k −3 ik 
l
2 EJ
M ki =
⋅i 2  k −3 ik 
l
T ik =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik 
l2
T ki =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik 
2
l
komplet
wzorów
(1.12)
(1.13)
Należy przypomnieć, że wzory transformacyjne metody przemieszczeń zależą od warunków
brzegowych belki i przedstawiają relacje między przęsłowymi, przywęzłowymi siłami wewnętrznymi, a
uogólnionymi przemieszczeniami jej podpór.
1.3. Równanie osi odkształconej
Napiszemy równanie osi odkształconego, obustronnie utwierdzonego pręta (rys. 1.5) poddanego
wpływom osiadań podpór φi, φk, Δi, Δk (nie obciążonego siłami zewnętrznymi).
Aby rozwiązać to zadanie korzystamy z równania różniczkowego linii ugięcia.
[ EJ w ' '  x]' '=q x
Ponieważ nie ma obciążeń zewnętrznych q x=0 otrzymujemy równanie jednorodne
AlmaMater
Część 2
7
[ EJ w ' '  x]' '=0
które następnie całkujemy
[ EJ w ' '  x]'=c
EJ w ' '  x =cxd
x2
EJ w '  x=c⋅ dxe
2
(1.14)
Ostatecznie funkcja osi odkształconej jest wielomianem trzeciego stopnia
x3
x2
EJ w x =c⋅ d⋅ ex f
6
2
(1.15)
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, które dla belki przedstawionej na rys. 1.4 wyrazimy
przez wielkości kinematyczne (przemieszczenia):
{
w x=0=i
w '  x=0=i
w x=l =k
w '  x=l = k
(1.16)
Po podstawieniu warunków brzegowych (1.16) do równań (1.14) i (1.15) uzyskujemy układ równań:
{
EJ i = f
EJ i =e
cl 3 dl 2
EJ k =  el  f
6
2
2
cl
EJ  k = dl e
2
Podstawienie dwóch pierwszych związków do dwóch ostatnich równań
{
cl 3 dl 2
 EJ i⋅l EJ i
6
2
cl 2
EJ  k = d⋅lEJ i
2
EJ k =
po przekształceniach
d⋅l =EJ  k −
cl 2
−EJ i
2
AlmaMater
Część 2
d=
EJ k =
8
EJ
cl EJ
k − −
i
l
2
l


cl 3
EJ
cl EJ
l2

k − −
i ⋅ EJ i⋅l EJ i
6
l
2
l
2
cl 3 cl 3
EJ
EJ
− =EJ k −EJ i −EJ i⋅l −
k⋅l 
 ⋅l
6
4
2
2 i
prowadzi do wartości stałych c i d:
c=
d=
6 EJ
12 EJ
⋅i  k  3 ⋅i −k 
2
l
l
[
EJ
EJ
l 6 EJ
12 EJ
k −
i − ⋅ 2 ⋅i  k  3 ⋅i −k 
l
l
2
l
l
d =−
]
2 EJ
4 EJ
6 EJ
k −
i − 2 ⋅i −k 
l
l
l
Równanie osi odkształconej pręta obustronnie utwierdzonego poddanego przemieszczeniu węzłów
podporowych wyraża się funkcją:
[
EJ w x=
] [
]
6 EJ
12 EJ
x3
2 EJ
6 EJ
x2
⋅


⋅
−

⋅

−

2

−
⋅
−

⋅
EJ i xEJ i
i
k
i
k
k
i
i
k
6
l
2
l2
l3
l2
[
] [
]
2
x3
3
x2
w x= i  k  ⋅i −k  ⋅ 2  − k 2 i − ⋅i −k  ⋅ i⋅xi
l
l
l
l
1.4. Belka utwierdzona jednostronnie
Rozpatrzmy belkę utwierdzoną z jednej strony (rys. 1.11), której podpory ulegają przemieszczeniom φi,
Δi, Δk. Poniższy przykład rozwiążemy dwoma metodami: metodą sił (analogicznie do punktu 1.2) oraz
korzystając z gotowych wyników otrzymanych w punkcie 1.2 (przyjmując odpowiednie warunki brzegowe).
φi
k
i
Δi
l
Δk
Rys. 1.11. Schemat belki jednostronnie utwierdzonej
AlmaMater
Część 2
9
Metoda I – metoda sił
Zgodnie z zasadami metody sił przyjmujemy układ podstawowy
φi
X1
k
i
Δi
l
Δk
w którym przemieszczenie po kierunku zwolnionego więzu musi być równe zero (δ1 = 0). Wynikające z tego
warunku równanie kanonicznych będzie miało następującą postać:
11⋅X 11 =0
(1.17)
Aby obliczyć współczynniki równania narysujemy wykresy momentów w stanie X1 = 1 (analogicznie jak na
rys. 1.7).
X1=1
k
H=0
1
l
i
l
1
l
M1[-]
1
Rys. 1.13. Reakcje i momenty zginające w stanie X1 = 1
i wyznaczamy wartości przemieszczeń:
11 =


1 1
2
l
⋅ ⋅1 ⋅l⋅ ⋅1 =
EJ 2
3
3 EJ
1
1
1 =−i − ⋅i  ⋅k =−i ik
l
l
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania kanonicznego (1.17)
l
⋅X 1 ik −i =0
3 EJ
AlmaMater
Część 2
10
uzyskujemy wartość nadliczbowej siły
X 1=
3 EJ
⋅i −ik 
l
(1.18)
Niewiadoma X1 jest reakcją podporową, której wartość odpowiada wewnętrznej sile przywęzłowej
X 1=M ik
M ik to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
moment zginający w przekroju k jest równy zero (przegub).
M ki =0
Obliczmy wartości reakcji Ri i Rk.
∑ M k =0
3 EJ
⋅i −ik R i⋅l=0
l
⇔
Ri =−
3 EJ
⋅i −ik 
l2
(1.19)
R k =−
3 EJ
⋅i −ik 
l2
(1.20)
które pokrywają się z wartościami sił tnących (przęsłowych, przywęzłowych)
T ik =T ki =−
3 EJ
⋅i −ik 
l2
(1.21)
Znając wartość nadliczbowej X1 możemy narysować wykres rzeczywistych sił wewnętrznych.
X1=
H=0
i
Ri
3EJ
(φik-Ψik)
l
k
l
RK
M[kNm]
Mik
T[kN]
-
Tik=Tki=-3EJ
(φi-Ψik)
l2
Rys. 1.14. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki utwierdzonej z jednej strony,
obciążonej przemieszczeniami φi, Δi, Δk
AlmaMater
Część 2
11
Metoda II
W tej metodzie wzory (1.12), (1.13) potraktujemy jako uniwersalne i po podstawieniu odpowiednich
warunków brzegowych wyprowadzimy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki (rys. 1.11) utwierdzonej z lewej strony i podpartej prętem ze strony prawej moment
przęsłowy, przywęzłowy Mki = 0, a zatem na podstawie równania (1.12) możemy zapisać:
M ki =
2 EJ
⋅i 2  k −3ik =0
l
(1.22)
Z równania tego wyznaczamy funkcję kąta obrotu φk
i 2 k −3ik =0
k =
3ik −i
2
(1.23)
Po podstawieniu funkcji φk do równań (1.12), (1.13) otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych dla
belki jednostronnie utwierdzonej (utwierdzenie z lewej strony):
M ik =


3ik −i
2 EJ
3 EJ
⋅ 2 i 
−3ik =
⋅i −ik 
l
2
l
(1.24)
M ki =0
T ki =T ik =−
(1.25)


3 ik −i
6 EJ
3 EJ
⋅ i 
−2 ik =− 2 ⋅i −ik 
2
2
l
l
(1.26)
Dla belki o podobnych podporach (rys.1.15) jednak ułożonych przeciwnie, czyli będącej lustrzanym
odbiciem układu z rys. 1.11 można zapisać gotowe wzory transformacyjne.
φk
k
i
Δi
l
Δk
Rys. 1.15. Schemat belki utwierdzonej z prawej strony
M ik =0
M ki =
3 EJ
⋅k −ik 
l
T ki =T ik =−
3 EJ
⋅  k −ik 
2
l
(1.27)
(1.28)
(1.29)
AlmaMater
Część 2
12
1.5. Belka obustronnie utwierdzona z przesuwem
Rozpatrzmy belkę o schemacie przedstawionym na rys. 1.16, której podpory doznają przemieszczeń φi,
φk. Przemieszczenie pionowe podpory i o Δi spowoduje ruch całej belki i nie wywoła sił wewnętrznych, dlatego
ten wpływ pomijamy. Poniższy przykład taj jak poprzednio rozwiążemy dwoma metodami.
φi
φk
k
i
l
Rys. 1.16. Schemat belki utwierdzonej z przesuwem
Metoda I – metoda sił
Przyjmujemy układ podstawowy.
φk
φi
X1
k
i
X2
l
i zapisujemy równanie kanoniczne (nie uwzględniamy sił normalnych):
1 =11⋅X 11 =0
(1.30)
Aby obliczyć współczynniki równania rysujemy wykres momentów w stanie X1 = 1.
i
H=0
X1=1
Mi=1
Ri=0
k
l
M1[-]
1
Rys. 1.18. Reakcje i momenty zginające w stanie X1 = 1
Obliczamy współczynniki równania kanonicznego.
AlmaMater
Część 2
11 =
13
1
l
⋅ 1 ⋅l⋅1 =
EJ
EJ
1 =− k i
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania (1.30)
l
⋅X 1 i − k =0
EJ
(1.31)
Otrzymujemy wartości nadliczbowej siły:
X 1=
EJ
⋅−i  k 
l
(1.32)
Reakcja w podporze odpowiada momentowi zginającemu w przekroju podporowym:
M ki = X 1 =
EJ
⋅−i k 
l
M ki to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
moment zginający w przekroju i wynosi.
M ik =− X i =
EJ
⋅i − k 
l
Siła tnąca przy braku obciążeń zewnętrznych jest równa reakcji
T ik =T ki =R i =0
(1.33)
Na koniec rysujemy wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
i
X1=
k
EJ
Mi=
(-φi+φk)
l
EJ
(-φi+φk)
l
l
M[kNm]
Mi k=
EJ
(φi-φk)
l
Mk i=
EJ
(-φi+φk)
l
T[kN]
0
Rys. 1.19. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej,
obciążonej przemieszczeniami φi, φk
AlmaMater
Część 2
14
Metoda II
Wykorzystujemy wzory (1.12), (1.13) (traktujemy je jako uniwersalne) i podstawiamy odpowiednie
warunki brzegowe. W ten sposób otrzymujemy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki przedstawionej na rys. 1.16 siły tnące Tki = Tik = 0, a zatem na podstawie
równania (1.13) możemy zapisać:
T ik =−
6 EJ
⋅i  k −2 ik =0
l2
(1.34)
i k −2 ik =0
(1.35)
Z równania (1.34) wyliczamy ψik
ik =
i  k
2
(1.36)
Jeśli podstawimy ψik do równań (1.12), to otrzymamy komplet wzorów transformacyjnych:
M ik =
M ki =



  k
2 EJ
EJ
⋅ 2 i  k −3 ⋅ i
= ⋅ i − k 
l
2
l

(1.37)
3 ⋅i  k
2 EJ
EJ
⋅ i 2  k −
= ⋅−i  k 
l
2
l
(1.38)
T ik =T ki =0
(1.39)
Dla belki o schemacie podanym na rys. 1.20 (lustrzane odbicie do rys. 1.16) wzory transformacyjne są takie
same jak w powyższym przykładzie.
φi
φk
k
i
l
X1= EJ (φi-φk)
l
k
Mk=
i
M[kNm]
Mi k=
EJ
(φ -φ )
l i k
EJ
Mk i=
(φk-φi)
l
EJ
(φ -φ )
l i k
T[kN]
0
Rys. 1.20. Schemat belki
AlmaMater
Część 2
15
Wyniki rozważań zestawiono w tabeli 1.1. Podano wartości przywęzłowych sił wewnętrznych w
zależności od sposobu podparcia belki wywołane jednostkowymi przemieszczeniami węzłów podporowych.
Natomiast w tabeli 1.2 zestawiono wykresy sił wewnętrznych (przywęzłowych) dla trzech schematów belek od
obciążeń zewnętrznych (przęsłowych).
Uwaga: w tabelach narysowane są wykresy momentów zginających “po inżyniersku”, tzn. wykres po stronie
włókien rozciąganych. Natomiast ich wartości podano zgodnie z zasadami metody przemieszczeń, tzn.
momenty dodatnie działają zgodnie z ruchem wskazówek zegara (prawoskrętnie).
Tabela 1.1. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od jednostkowych przemieszczeń podporowych
Schemat belki
M
φi=1
EJ
i
k
l
4EJ
l
T
2EJ
l
- 6EJ
l
- 6EJ
l
- 6EJ
l
- 6EJ
l
6EJ
l2
-12EJ
l3
- 12EJ
l3
φk=1
EJ
i
k
l
i
EJ
Δi=1
k
6EJ
l2
l
EJ
i
l
2EJ
l
k
Δk=1
- 6EJ
l2
4EJ
l
- 6EJ
l2
12EJ
l3
12EJ
l3
3EJ
l2
3EJ
l2
3EJ
l3
3EJ
l3
- 3EJ
l3
- 3EJ
l3
φi=1
EJ
i
k
l
i
3EJ
l
EJ
Δi=1
3EJ
l2
l
EJ
i
l
k
Δk=1
- 3EJ
l2
AlmaMater
Część 2
Schemat belki
M
16
T
φi=1
EJ
EJ
l
k
i
l
- EJ
l
0
EJ
l
0
φk=1
EJ
i
- EJ
l
k
l
Tabela 1.2. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od przęsłowych obciążeń
Schemat belki
M
P
l
2
T
-Pl
8
l
2
Pl
8
Pl
8
l
+
P
2
-
q
2
- ql
12
P
2
ql2
12
ql
2
M
4
- 3M
2l
+
-
ql
2
M
l
2
M
4
l
2
P
l
2
-3Pl
16
0
l
2
-
ql2
8
0
l
M
l
2
11P
16
+
5P
16
-
q
l
2
- 3M
2l
-
M
8
7M
16
9M
16
0
5ql
8
+
-
- 9M
8l
-
3ql
8
- 9M
8l
AlmaMater
Część 2
Schemat belki
M
P
-3Pl
8
l
2
l
2
q
-
ql2
3
l
M
l
2
l
x
ξ=
l
2
M
2
-Plξξ' 2
17
T
-Pl
8
2
- ql
6
P
ql
+
+
0
M
2
Plξ'ξ 2
P
-Pξ 2(3-2ξ)
+
x
l
ξ'=
l-x
l
-
Pξ' (1+ξ-2ξ 2)
l
x
x
ξ=
l
M
Mξ' (2-3ξ' )
l-x
ξ'=
l
Mξ(2-3ξ)
6M
ξξ'
l
-
6M
ξξ'
l
AlmaMater

1. 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązać podaną ramę (wykresy M Q N ) HB 30 3 20 20 C 20 3 x

Uszczelnienie statyczne X-RING/QUAD-RING

Osłona silnika, skrzyni biegów

KONFIGURACJA KLIENTA POCZTOWEGO OPERA