Układ punktów materialnych

14. Zasady zachowania dla punktu i układu
punktów materialnych:
pędu, krętu, energii, zasada d’Alemberta.
r
r
p = mυ pęd (ilość ruchu) punktu materialnego
z
pochodna względem czasu pędu
r
d (mυ ) r
= F równa jest sile działającej na
dt
m υ
dany punkt
F
y
O
x
t2 r
v
v
m(υ 2 − υ1 ) = ∫ Fdt
t1
przyrost pędu równy jest
impulsowi (popędowi) siły
działającej na ten punkt
Jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła (lub działają siły
równoważące się) to jego pęd pozostaje stały.
r
r
r
KO = r × mυ kręt (moment pędu) punktu materialnego
r
r
r
r r d (mυ ) r r r
dK O dr
=
× mυ + r ×
= r × F = MO
dt
dt
dt
z
m υ
r
x
O
F
y
pochodna względem czasu krętu KO punktu
materialnego względem nieruchomego bieguna O równa jest momentowi MO względem
tegoż bieguna siły zewnętrznej F działającej
na dany punkt
Jeżeli moment względem wybranego nieruchomego
bieguna O wypadkowej sił działających na punkt
materialny równy jest zeru, wówczas kręt punktu
wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały
KO=const
1
Ek =
mυ 2
2
energia kinetyczna
Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym
przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym
samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt
∆Ek = Ek(2 ) − Ek(1) = W1, 2
W zachowawczym (potencjalnym) polu sił praca sił pola
równa jest różnicy energii potencjalnych
W1, 2 = E (p1) − E (p2 )
Gdy punkt materialny porusza się w
(1)
(1)
(2 )
(2 )
zachowawczym polu sił, suma jego Ek + E p = Ek + E p
energii kinetycznej i potencjalnej,
E m(1) = Em(2 )
zwana energią mechaniczną, jest stała.
Jeśli na punkt działają siły niezachowawcze (niepotencjalne) to
przyrost energii mechanicznej punktu równy jest pracy tych sił
Em(2 ) − Em(1) = W
2
Układ punktów materialnych
r n
r
p = ∑ miυ i pęd układu punktów materialnych
z
υi
mi
Fi
x
i =1
m1 υ1
F1
y
O
mn
υn
pochodna względem czasu pędu
r
układu punktów materialnych
dp n r
= ∑ Fi równa jest sumie wszystkich sił
dt i =1
zewnętrznych działających na
punkty tego układu
Fn
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Jeśli na układ punktów materialnych nie działają siły
zewnętrzne, to pęd układu pozostaje stały.
n r
r
r
K O = ∑ ri × miυ i kręt układu punktów materialnych
i =1
z
υi
mi
Fi
x
m1
ri r1
O
υ1
rn m
n
υn
Fn
F1
y
pochodna względem czasu
krętu układu punktów
materialnych względem
r
dK O n r r dowolnego nieruchomego
= ∑ ri × Fi
dt
bieguna równa jest sumie
i =1
momentów wszystkich sił
zewnętrznych względem
tegoż bieguna
ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU
Jeżeli momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów
materialnych względem nieruchomego bieguna są równe zeru,
to kręt układu względem tego bieguna pozostaje stały.
3
Zadanie 1/14
Człowiek o masie m siedzi na wózku o masie M1 poruszającym się z prędkością υ1. W
pewnej chwili przeskakuje na wózek o masie M2 poruszający się z prędkością υ2 odbijając
się z prędkością υ względem pierwszego wózka. Obliczyć prędkości wózków po
przeskoczeniu człowieka. Opory toczenia się wózków pominąć.
m
M1
υ1
Zadanie 2/14
Klocek o masie m ustawiono na równi
nachylonej pod kątem α i pchnięto z
wysokości h z prędkością υ0. Jaką
odległość l przebędzie klocek po
poziomym odcinku toru do chwili
zatrzymania się, jeśli współczynnik
tarcia o podłoże wynosi µ?.
υ2
M2
m
h
α
l
Zadanie 3/14
W górę równi nachylonej pod kątem α pchnięto klocek z prędkością początkową υ0. Jaką
drogę przebędzie on do chwili zatrzymania się i z jaką prędkością powróci do miejsca, z
którego został wypchnięty, jeśli współczynnik tarcia o równię wynosi µ? Przeprowadzić
dyskusję rozwiązania.
m
Zadanie 4/14
Klocek o masie m zsuwa się bez prędkości
początkowej wzdłuż równi nachylonej pod
kątem α przebywając drogę l do chwili
uderzenia w sprężynę o sztywności k. Jaką
drogę l1 przebędzie klocek po odbiciu się
od sprężyny, jeśli współczynnik tarcia o
równię wynosi µ? Masę sprężyny pominąć.
Przeprowadzić dyskusję wyniku.
α
l
l1
k
4
m
Zadanie 5/14
Z wierzchołka gładkiej półkuli o promieniu r zsuwa
się z pomijalnie małą prędkością początkową punkt
materialny o masie m. Znaleźć kąt α0 określający
położenie punktu, w którym oderwie się on od
powierzchni półkuli.
A
α0
r
Zadanie 6/14
A
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym pręcie AB, którego
sztywność na rozciąganie równa jest k1.Koniec B pręta opiera się o
śrubową sprężynę o sztywności k2. Obliczyć największe wydłużenie
pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez prędkości
początkowej. Masę pręta i sprężyny pominąć.
m
k1
Zadanie 7/14
k2
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której
nić zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
Zadanie 8/14
Skoczek o masie m odbija się od ławki z
prędkością υ0 i zjeżdża ze skoczni o
wysokości h. Obliczyć reakcję podłoża na
narty w punkcie A jeśli promień krzywizny
toru w tym miejscu wynosi ρ. Tarcie i opór
powietrza pominąć.
H
B
υ0
h
ρ
A
Zadanie 9/14
W celu pomiaru prędkości υ pocisku
karabinowego o masie m oddano strzał w
tzw. wahadło balistyczne, które odchyliło
się od pionu o kąt α Obliczyć prędkość
pocisku, jeśli wiadomo, że masa wahadła
równa jest M, zaś jego długość wynosi l.
α
l
υ
m
M
5
Zadanie 10/14
A
Sprężynę o sztywności k i długości swobodnej
l zamocowano w punkcie A i połączono z
tuleją B mogącą ślizgać się bez tarcia po
poziomej prowadnicy. Tuleję wychylono do
punktu C i puszczono bez prędkości
początkowej. Jaka będzie jej prędkość υD przy
przejściu przez punkt D? Dany jest wymiar a
oraz masa tulei równa m.
k
l
B
C
m
D
a
Zadanie 11/14
Z jakiej wysokości h należy puścić bez
prędkości początkowej punkt materialny,
aby:
a)
nie oderwał się od toru w najwyższym
punkcie pętli o promieniu r,
b)
oderwał się od pętli i przeszedł dokładnie
przez jej środek O.
r
h
O
Opory ruchu pominąć.
υ1
Zadanie 12/14
m1
Punkt materialny o masie m1 przywiązany do
nierozciągliwej, nieważkiej nici porusza się po
okręgu w płaszczyźnie poziomej. W pewnej
chwili punkt ten zderza się i skleja z punktem
o masie m2, który przed zderzeniem był
nieruchomy. Obliczyć, w jakim stosunku
zmieniło się napięcie nici.
m1 m2
S1
S2
υ2
r
Zadanie 13/14
Kulka o masie m przywiązana do
nierozciągliwej nici porusza się po
gładkiej, poziomej płaszczyźnie. Drugi
koniec nici wciągany jest do otworu w
płaszczyźnie ze stałą prędkością u.
Wyznaczyć równanie ruchu kulki ϕ(t)
jeżeli w chwili początkowej odległość
kulki od otworu równa była R, zaś rzut jej
prędkości na kierunek transwersalny υ0.
y
m
ϕ(t)
u
R
x
υ0
u
6