GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 3 5.0. Ile

GEOMETRIA PRZESTRZENNA
Lista zadań nr 3
5.0. Ile różnych kątów trójściennych wyznaczają trzy proste przecinające się w jednym
punkcie? A trzy półproste o wspólnym wierzchołku?
5.1. Podaj przykłady dwóch niewypukłych kątów trójściennych: takiego, który spełnia
nierówność trójkąta, i takiego, który jej nie spełnia.
5.2. Czy istnieje kąt trójścienny w którym
a) dokładnie dwa z kątów dwuściennych są proste;
b) wszystkie kąty dwuścienne są ostre;
c) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są rozwarte;
d) jeden z kątów dwuściennych jest prosty, a dwa pozostałe są ostre?
5.3. Zastanów się, jak mogą wyglądać uogólnienia poznanych nierówności o kątach trójściennych (nierówność trójkąta, suma kątów płaskich < 2π, suma kątów dwuściennych
> π) na przypadek wypukłych kątów wielościennych.
5.4. Udowodnij następujący fakt (zwany czasem twierdzeniem o trzech prostopadłych):
prosta p zawarta w płaszczyźnie Π jest prostopadła do danej prostej l nieprostopadłej
do płaszczyzny Π wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadła do rzutu l′ prostej l na
płaszczyznę Π.
5.5. Wykorzystując twierdzenie o trzech prostopadłych udowodnij, że jeśli w czworościanie
ABCD krawędź AD jest prostopadła do płaszczyzny ABC, to w rzucie prostopadłym
na płaszczyznę BCD ortocentrum trójkąta ABC przechodzi na ortocentrum trójkąta
BCD.
6.1. Wskaż, gdzie w dowodzie twierdzenia sinusów dla kąta trójściennego używa się twierdzenia o trzech prostopadłych (patrz zadanie 5.4).
6.2. Wyznacz kąty dwuścienne w kącie trójściennym, znając kąty płaskie α = β = π/3 i
wiedząc, że kąt dwuścienny przy ich wspólnym ramieniu wynosi π/2.
6.3. Pokaż, że jeśli dwa kąty płaskie kąta trójściennego są równe, to dwa jego kąty dwuścienne też są równe (i odwrotnie).
6.4. Pokaż, że kąty między dwusiecznymi kątów płaskich danego kąta trójściennego są albo
wszystkie trzy ostre, albo wszystkie trzy proste, albo wszystkie trzy rozwarte.
6.5. W pewnym kącie trójściennym wszystkie kąty płaskie są równe, a ich dwusieczne są
parami prostopadłe. Znajdź kąty dwuścienne tego kąta.
6.6. Wyznacz kąty dwuścienne między sąsiednimi ścianami czworościanu foremnego. Zrób
to samo dla kilku innych swoich ulubionych brył.
6.7. Udowodnij, że jeśli wszystkie kąty płaskie w kącie trójściennym są rozwarte, to wszystkie kąty dwuścienne też są rozwarte. Czy prawdą jest, że jeśli dwa z kątów płaskich
są rozwarte, to przynajmniej jeden kąt dwuścienny jest rozwarty?
6.8. Czy prawdą jest, że:
a) jeżeli wszystkie kąty płaskie kąta trójściennego są ostre, to wszystkie kąty dwuścienne też są ostre;
b) jeżeli jeden z kątów płaskich kąta trójściennego jest prosty, to co najmniej jeden
z kątów dwuściennych jest prosty?
1