Planimetria, związki miarowe w trójkącie

Planimetria, związki miarowe w trójkącie - poziom rozszerzony
(1) Oblicz pole czworokąta wypukłego, którego przekątne mają długości 4 i 6 oraz przecinają
się pod kątem 30◦ .
(2) Wysokość AD opuszczona na przeciwprostokątną BC trójkąta prostokątnego ABC ma
5
długość 24, a stosunek długości przeciwprostokątnej do obwodu tego trójkąta wynosi 12
.
Oblicz pole trójkąta ABC.
(3) W trójkącie ABC dane są długości |AC| = 3 oraz |BC| = 7. Dwusieczna kąta przy
wierzchołku C ma długość równą 3. Wyznacz długość boku AB.
(4) Oblicz pole trójkąta (wyznacz wzór), gdy dane są jego kąty α, β, γ oraz promień R okręgu
opisanego na nim.
q
2
b2 +c2 − a2
(5) Wykaż, że długość d środkowej trójkąta wyraża się wzorem d =
, gdzie a
2
- długość boku, na który opuszczono środkową, a b i c - długości pozostałych boków
trójkąta.
(6) Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki mają długości 4, 5 i 6.
(7) Długości boków trójkąta, w którym jeden kąt ma miarę 120◦ , tworzą ciąg arytmetyczny.
Jakie są stosunki boków tego trójkąta?
b
a
= cosβ
, gdzie α i β są odpowiednio
(8) Wykaż, że jeżeli w trójkącie zachodzi stosunek cosα
kątami leżącymi naprzeciw boków o długościach a i b, to trójkąt ten jest równoramienny.
(9) W trójkącie ABC mamy dane |AC| = |BC| = a oraz |∠ACB| = α. Oblicz pole trójkąta
AOB, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
(10) Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych równa jest
sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]
Odpowiedzi:
(1) 6
(2) 120
√
(3) 207 7
(4) 2R2 sinαsinβsinγ
(5) Wskazówka: skorzystaj dwukrotnie z twierdzenia kosinusów dla kątów między środkową,
a√bokiem ją przecinającym.
(6) 8 7 7
(7) 3 : 5 : 7
(8) Wskazówka: tw. sinusów
2
2 cos α
(9) a (1−cosα)
2sinα
(10) Wskazówka: tw. kosinusów
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]