Relacje równoważności i obiekty ilorazowe

Relacje równoważności i obiekty ilorazowe
Relacja równoważności na zbiorze Z to dwuargumentowa relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia, gdzie można sobie wypisać dokładne definicje użytych tu słówek, otrzymując formalnie poprawną definicję, z której nie wiadomo, o co chodzi1 .
Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór pewnych obiektów, formalnie różnych, z których
jednak niektóre pod pewnymi względami wyglądają tak samo i nie tylko nie chcielibyśmy
ich rozróżniać, a wręcz bardzo zależy nam na tym, aby je utożsamić traktując tak,
jakby to był jeden obiekt. Dla lepszego skonkretyzowania tej ogólnikowo opisanej sytuacji
skoncentrujmy się na następujących przykładach.
Przykład 141. Trójkąty na płaszczyźnie. Postawmy nie do końca doprecyzowane
pytanie: Ile istnieje trójkątów prostokątnych o bokach długości całkowitej mniejszej od 15?
Odpowiedź ciekawa, i jak się można domyślić, zgodna z intencjami pytającego, brzmi:
Są trzy takie trójkąty, a mianowicie trójkąty o bokach (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).
Czujemy bowiem, że każdy trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest tak naprawdę tym samym trójkątem, przynajmniej w kontekście tego pytania. Formalistyczna odpowiedź, że trójkątów
spełniających warunki postawione w pytaniu jest nieskończenie wiele, bo już samych
trójkątów o bokach 3, 4, 5 jest nieskończenie wiele, nie jest tym, czego oczekiwalibyśmy
w kontekście tego pytania.
Chcielibyśmy więc, dla celów tego typu rozważań, uznać wszystkie trójkąty o bokach
3, 4, 5 za jeden i ten sam trójkąt. Ogólniej, dwa trójkąty będziemy chcieli uznać za ten
sam trójkąt, jeśli mają odpowiednie boki tej samej długości, czyli są przystające. Krócej:
trójkąty przystające uznajemy za ten sam trójkąt.
Przykład 142. Prowadzenie obliczeń modulo n. W obliczeniach modulo n wykonujemy działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie) na liczbach całkowitych, przy
czym dwie liczby różniące się o wielokrotność liczby n uznajemy za tę samą liczbę, zapisując to w postaci kongruencji, np.
a ≡ b (mod n) .
Na każdym etapie obliczeń możemy zamieniać pojawiające się wyniki na liczby przystające do nich modulo n.
Przykład 143. Od ciągów Cauchy’ego o wyrazach wymiernych do liczb rzeczywistych. Wyobraźmy sobie, że żyjemy w świecie liczb wymiernych. Bez problemu
można zdefiniować ciągi liczbowe (o wyrazach wymiernych), pojęcie zbieżności ciągu
(do granicy wymiernej, bo innych liczb póki co nie ma w naszym świecie) oraz pojęcie
ciągu Cauchy’ego (czyli spełniającego warunek Cauchy’ego). Okaże się przy tym, że każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego, ale nie każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny
(przypominamy, że zbieżność wymaga zbliżania się wyrazów do granicy wymiernej).
Można udowodnić, że suma, różnica i iloczyn (wyraz po wyrazie) dwóch ciągów Cauchy’ego są ciągami Cauchy’ego i w konsekwencji zbiór ciągów Cauchy’ego z dodawaniem
i mnożeniem stanowi pierścień przemienny z jedynką.
1
Na ogół, gdy nie wiadomo, o co chodzi, to przynajmniej wiadomo, że chodzi o pieniądze. Tu jednak
sytuacja jest o tyle beznadziejna, że nie wiadomo nawet tego, albowiem w relacji równoważności wcale
nie chodzi o pieniądze.
- 18 -
Jarosław Wróblewski
Algebra Abstrakcyjna w Przykładach
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Dalekie wyrazy ciągu Cauchy’ego zbliżają się do siebie, skupiają się więc w pobliżu liczby wymiernej będącej granicą tego ciągu albo w pobliżu jakiejś dziury w zbiorze
liczb wymiernych. Chcielibyśmy, aby ciąg Cauchy’ego reprezentował miejsce skupiania
się jego wyrazów, a zatem utożsamić zamierzamy ciągi skupiające się wokół tego samego miejsca. Utożsamimy dwa ciągi Cauchy’ego, jeżeli ciąg powstały z ich połączenia
(np. wyrazy pierwszego ciągu kładziemy kolejno na miejscach nieparzystych, a drugiego
na parzystych) spełnia warunek Cauchy’ego.
Po takim utożsamieniu pierścień ciągów Cauchy’ego o wyrazach wymiernych staje się
ciałem liczb rzeczywistych!
Widzimy więc, że w pewnych sytuacjach chcemy utożsamić różne elementy zbioru.
Utożsamienie to można sobie wyobrazić na dwa sposoby:
1◦ Poprzez wprowadzenie relacji, która powie nam, czy dwa elemety mają być utożsamione, czy nie. Zwrotność, symetryczność i przechodniość są zdroworozsądkową konsekwencją elementarnych własności, jakich oczekujemy od takiej relacji utożsamiającej.
2◦ Poprzez podział zbioru na podzbiory (klasy abstrakcji) zawierające elementy, które
chcemy uznać za równoważne.
Jeżeli w zbiorze zdefiniowana jest jakaś struktura, np. algebraiczna, takie utożsamienie
jest interesujące, gdy jest w jakiś sposób zgodne z tą strukturą.
Niech w zbiorze Z będzie określona relacja równoważności ≡. Przestrzenią ilorazową
(czyli zbiorem ilorazowym) nazwiemy nieformalnie zbiór Z z elementami posklejanymi,
jak każe relacja ≡, a formalnie zbiór Z/ ≡ klas abstrakcji relacji ≡. Jeżeli Z nie jest tylko
gołym zbiorem, ale ma jakąś dodatkową strukturę, nazewnictwo i oznaczenia mogą ulec
zmianie.
Przykład 144. Grupa ilorazowa. Sklejanie elementów grupy G jest wyznaczone
przez zbiór H zawierający wszystkie elementy, które mają być utożsamione/sklejone
z elementem neutralnym. Dlatego też grupę ilorazową zapisujemy jako G/H, a nie
np. G/ ≡.
Jakim zbiorem może być H? Po pierwsze, musi zawierać element neutralny. Po drugie,
jeśli jakiś element ma być utożsamiony z elementem neutralnym, to element do niego
odwrotny także. I po trzecie, iloczyn dwóch elementów utożsamionych z elementem neutralnym musi być utożsamiony z elementem neutralnym.
To prowadzi do wniosku, że H musi być podgrupą grupy G. Ale to nie wystarczy! Jeżeli
element h ma zostać sklejony z elementem neutralnym, czyli uznany za nieodróżnialny
od elementu neutralnego, a sklejania mają być kompatybilne z działaniem grupowym, to
dla dowolnego elementu g ∈ G iloczyn ghg −1 musi zachować się tak, jak geg −1 = gg −1 = e,
czyli też musi być sklejony z elementem neutralnym. A zatem podgrupa H musi spełniać
dodatkowy warunek:
−1
∀ ∀ ghg ∈ H .
h∈H g∈G
145. Pierścień ilorazowy. Niech (P, +, ·) będzie pierścieniem. Sklejenie jego elementów zgodne z działaniami jest wyznaczone przez zbiór I elementów, które mają być
sklejone (utożsamione) z zerem. Wyjaśnić na tej podstawie własności, jakimi definiuje
się ideał pierścienia.
- 19 -
Jarosław Wróblewski
Algebra Abstrakcyjna w Przykładach
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego