A N A LIZY N IELIN IO W E

MEiL
PW
ε
ε
nieliniowa sprężystość
σ
człony nieliniowe
∂u 1 ∂ 2 u
εx =
+
+ ...
2
∂x 2 ∂x
• nieliniowości geometryczne – duże deformacje, duże odkształcenia
sprężysto-plastyczność
Re
σ
Przyczyny nieliniowości:
• nieliniowości materiałowe
ANALIZY NIELINIOWE
1
MEiL
PW
Szerokość strefy kontaktu a i wartość nacisków p
zależą od wartości obciążenia P.
liny
• występowanie elementów o sztywności zależnej od znaku obciążenia
(cięgna, liny)
a=a(P)
Przyczyny nieliniowości cd:
• kontakt ciał odkształcalnych
2
MEiL
PW
[K{q}]{q} = {F{q}}
W przypadku zagadnień nieliniowych zasada ta nie ma zastosowania.
Macierz sztywności i wektor sił węzłowych stają się zależne od
rozwiązania i konieczne staje się zastosowanie metod iteracyjnych.
[K ]{q}z = {F}z
{F}z = a ⋅ {F}a + b ⋅ {F}b
{q}z = [K ]−1 (a ⋅ {F}a ) + [K ]−1 (b ⋅ {F}b ) = a ⋅ [K ]−1{F}a (a ⋅) + b ⋅ [K ]−1{F}b
{q}z = a ⋅ {q}a + b ⋅ {q}b
W analizie liniowej obowiązuje zasada superpozycji. Rozwiązanie dla
złożonego przypadku obciążenia jest kombinacją liniową rozwiązań
składowych.
3
MEiL
PW
• rozwiązanie może nie istnieć.
• rozwiązanie może być niejednoznaczne
W zagadnieniach nieliniowych:
• rozwiązanie może zależeć od historii obciążenia
4
MEiL
PW
kroku {q}i −1
[K{q}i −1 ]{q}i = {F}
Wektor {q}i jest obliczany na podstawie rozwiązania z poprzedniego
{q}0 , {q}1 , {q}2 ,..., {q}n
Szereg rozwiązań przybliżonych (iteracji) zbieżny do rozwiązania
dokładnego:
Metody iteracyjne rozwiązywania układu równań nieliniowych
5
MEiL
PW
i=n
.
.
.
i=2
i =1
[K ({q}n −1 )]{q}n = {F} ⇒ {q}n = [K({q}n −1 )]−1{F}
[K ({q}0 )]{q}1 = {F} ⇒ {q}1 = [K ({q}0 )]−1{F}
[K ({q}1 )]{q}2 = {F} ⇒ {q}2 = [K({q}1 )]−1{F}
i w kolejnych krokach znajdujemy rozwiązanie przybliżone:
{q}0 = {0}
Zakładamy rozwiązanie początkowe, np.:
6
MEiL
PW
{R}i +1 = {F} − [K ]i q i
Miara niezrównoważenia - wektor residuum
Nie zawsze dostateczne kryterium
{∆q}i = {q}i − {q}i −1
∆F
F
Miary dokładności (kryteria zbieżności) procesu:
∆q
q
7
MEiL
PW
Normy:
{x} = x {x}
{x} = max x i
ε, δ – wartości odniesienia
{∆q}i ≤ ε
{R}i ≤ δ
Błędów bezwzględnych
Warunki zbieżności
lub
{∆q}i
≤ε
{q}i
{R}i
≤δ
{F}
Błędów względnych
8
MEiL
PW
{q}i = [K ]i−−11{F}
Metoda iteracji bezpośrednich
9
MEiL
PW
[K ]i = [K ({q}i )]
{q}i = {q}i −1 + {∆q}i
{∆q}i = [K ]i−−11{R}i
{R}i = {F} − [K ]i −1 q i −1
{q}i = [K ]i−−11{F}
Metoda iteracji bezpośrednich – sformułowanie przyrostowe
10
MEiL
PW
Wymaga dodatkowych obliczeń, ale zmniejsza liczbę iteracji konieczną do
uzyskania wymaganej zbieżności.
[K ]i = [K ({q}i )]
{q}i = {q}i −1 + {∆q}i
{∆q}i = [K ]T−1{R}i
{R}i = {F} − [K ]i −1 q i −1
{q}i = [K ]i−−11{F}
Metoda Newtona-Raphsona
11
MEiL
PW
12
W każdej iteracji używana jest ta sama, początkowa, macierz sztywności [K]0
Oszczędność na odwracaniu macierzy.
Strata – większa liczba iteracji.
[K ]i = [K ({q}i )]
{q}i = {q}i −1 + {∆q}i
{∆q}i = [K ]0−1{R}i
{R}i = {F} − [K ]i −1 q i −1
{q}i = [K ]i−−11{F}
Zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona
MEiL
PW
)
1 − 4F ) = 0,7236
NIEJEDNOZNACZNOŚĆ!
u1 = 0,5 ⋅ 1 − 1 − 4F = 0,2734
(
u1 = 0,5 ⋅ (1 +
u2 − u + F = 0
k (u ) ⋅ u = F
Rozwiązanie analityczne:
F = 0,2
k (u ) = 1 − u
Prosty przykład
Znaleźć ugięcie nieliniowej sprężyny
13
MEiL
PW
kT =
1
kT(u)
0,5
u
dF d
(k (u ) ⋅ u ) = dk u + k = 1 − 2u
=
du du
du
Sztywność styczna:
k 0 = k (u = 0 ) = 1
Sztywność początkowa
14
MEiL
PW
Rozwiązanie metodą Newtona-Raphsona
Rozwiązanie metodą iteracji bezpośrednich
15
MEiL
PW
16
W przypadku metody N-R bardzo szybko uzyskana zbieżność. W
zmodyfikowanej metodzie N-R brak konieczności obliczania sztywności
stycznej w każdym kroku – w prostym przykładzie nie jest to kłopotliwe, ale
w złożonych zagadnieniach istotne.
Rozwiązanie zmodyfikowaną metodą Newtona-Raphsona
MEiL
PW
krok 2
krok 1
krok 4
krok 3
podkrok 1
podkrok 3
podkrok 2
iteracja
krok 1
17
Obliczenia często muszą być prowadzone z uwzględnieniem kolejności
obciążeń (np. analiza naprężeń resztkowych) – w tzw. krokach obciążenia, w
których siły zewnętrzne zmieniają się proporcjonalnie. Krok dzieli się na
podkroki – poprawa dokładności i możliwość śledzenia zmian w stanach
pośrednich. Każdy podkrok rozwiązywany jest w iteracjach.