Warsztaty metod fizyki teoretycznej

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Michał P. Heller, Jan Kaczmarczyk
04.10.2007
Zasady
1. zajęcia odbywają się co tydzień w czwartki w godzinach 10:15-12:00 w
sali -001.
2. każdy zestaw zawiera zarówno zadania do przerobienia na zajęciach, jak i
zadania domowe.
3. z zadań domowych można uzyskać od 5 do 15 punktów w zależności od
zestawu. Suma wszystkich punktów daje mniej więcej ilość zestawów razy
10.
4. zaliczenie otrzymują studenci, którzy mają maksymalnie 2 nieusprawiedliwione nieobecności (patrz takze punkt 6) i oddali zestawy ocenione w sumie na co najmniej 20 % sumarycznej liczby punktów
(ilość zestawów razy 10).
5. skala ocen jest liniowa, przy czym ocena 5.0 odpowiada 30 % całkowitej
liczby punktów możliwych do uzyskania.
6. każda nieusprawiedliwiona nieobecność ponad limit podnosi skalę ocen o
10 %.
7. aktywność na zajęciach będzie podstawą do podwyższenia oceny.
8. 2 tygodnie po publikacji zestawu umieszczamy na sieci rozwiązania zadań
z zajęć oraz wskazówki do zadań domowych. Wskazówki obniżają ilość
punktów za zadanie o 10-60 %.
9. wszystkie materiały będą umieszczane na stronie
th.if.uj.edu.pl/∼heller/warsztaty
Motywacja
Fizyka na studiach nauczana jest w formie kursowej. Być może jest to jedyny sensowny sposób jej wykładania, my jednak postanowiliśmy zapomnieć o
podziałach i skupić się na syntezie metod. Każdy z zestawów zawiera ciekawe
1
zadania, wymagające ogólnej znajomości fizyki na poziomie lat III-V (zaliczenia
kursów Mechaniki Klasycznej i Mechaniki Kwantowej I). Program warsztatów
jest bardzo zróżnicowany i obejmuje fizykę klasyczną, szczególną teorię względności, mechanikę kwantową, elementy teorii grup, teorię ciała stałego, sięgając
aż po teorię strun.
Na początek jednak przedstawiamy kilka prostych problemów na rozgrzewkę...
Appetizer I: Stary człowiek i morze
Rybak cumuje swoją łódź do brzegu owijając n-razy linę wokół drewnianego
pala. Rybak stojąc na brzegu trzyma wolny koniec cumy działając siłą o wartości
F0 . Proszę podać maksymalną siłę mogącą działać na łódkę w zależności od
liczby nawinięć, promienia pala i F0 . Między liną a palem występuje tarcie.
Appetizer II: Oxford vs. Cambridge, czyli analiza
wymiarowa w działaniu
Co roku kajakarze dwóch najlepszych angielskich uniwersytetów biorą udział
w prestiżowych zawodach wioślarskich. Osady wioślarskie mogą pomieścić 2,
4, 6 albo 8 wioślarzy. Okazuje się, że w przeliczeniu na wioślarza przypada
w przybliżeniu stała powierzchnia styku kajaka z wodą (łódki z różną liczbą
wioślarzy są do siebie geometrycznie podobne). Zakładamy też, każdy kajakarz
dysponuje taką samą mocą mięści i że objętość wypartej przez łódkę wody jest
proporcjonalna do liczby kajakarzy.
W oparciu o te informacje prosze wyprowadzić związek między prędkością osady
a liczbą wioślarzy.
Appetizer III: Teoria ruchu froterki
Problem wstępny
Załóżmy, że mamy krążek o promieniu R poruszający się po płaszczyźnie z
prędkością liniową v jednocześnie wirując względem środka z prędkością kątową
ω. Między płaszczyzną a krążkiem występuje tarcie. Pokazać, że krążek będzie
poruszał się ruchem prostoliniowym.
Dlaczego froterka działa?
Załóżmy, że zachodzi ωR v, czyli krążek wiruje bardzo szybko. Proszę przy
tym założeniu upraszczającym policzyć całkowitą siłę hamującą ruch krążka.
2
Appetizer IV: Dwie odpychające się półkule
Mamy dwie dokładnie stykające się półkule z dielektryka o równych promieniach, jednorodnie naładowane ładunkiem elektrycznym o gęstościach ρ1 i ρ2 .
Proszę obliczyć siłę oddziaływania między półkulami.
Appetizer V: Kompaktyfikacja
Teoria superstrun wymaga 10-wymiarowej czasoprzestrzeni. Dla energii dostępnych eksperymentalnie otaczający nas świat wygląda 4-wymiarowo. Jeśli teoria
superstrun opisuje rzeczywistość, fizycy teoretycy muszą w jakiś sposób pozbyć się dodatkowych 6 wymiarów. Jedną z metod jest kompaktyfikacja, czyli
”zwinięcie” ich, tak, że niżej wymiarowa teoria nie widzi wyżej wymiarowych
wzbudzeń dla dostatecznie małych energii.
Najprostszym przypadkiem kompaktyfikacji jest redukcja prostej w okrąg. Rozważmy niezależne od czasu równanie Schrödingera w dwóch wymiarach przestrzennych, przy czym jeden z wymiarów został zwinięty do okręgu o promieniu
R, zaś potencjał zależy tylko od makroskopowego wymiaru i ma formę nieskończonej studni potencjału. Pokazać, że dla niskich energii nie dochodzi do
wzbudzeń w wyższych wymiarach.
Więcej zadań z kompaktyfikacji w następnych zestawach.
Appetizer VI: Napięcie powierzchniowe
Jeśli delikatnie umieścimy na wodzie monetę, ta dzięki napięciu powierzchniowemu nie tonie. Jeśli z kolei delikatnie umieścimy 2 takie monety, okazuje się,
że będą się one przyciągać. Proszę wyprowadzić przybliżony wzór na zależność
siły przyciągania od odległości między monetami przy założeniu, że jedna z nich
ma bardzo małą masę. Proszę założyć, że gęstość wody jest znikoma, co oznacza pominięcie energii potencjalnej wody w ziemskim polu grawitacyjnym i siły
wyporu.
Powodzenia!
Michał P. Heller
Jan Kaczmarczyk
3