algorytm symulacji komputerowej ruchu dyslokacji w krysztale

Transkrypt

Symulacja w Badaniach i Rozwoju
XIII Warsztaty Naukowe PTSK - Kazimierz Dolny n/Wisłą 31.08 - 02.09.2006 r.
Romuald KOTOWSKI1,2, Piotr TRONCZYK1
1
Polsko-Japońska WyŜsza Szkoła Technik Komputerowych, Warszawa
2
Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, Warszawa
E–mail: [email protected], tronczyk@ pjwstk.edu.pl
ALGORYTM SYMULACJI KOMPUTEROWEJ
RUCHU DYSLOKACJI W KRYSZTALE
1 Wstęp
Za plastyczność materiałów odpowiedzialne są dyslokacje, czyli liniowe defekty struktury krystalicznej. Liczne
prace eksperymentalne i teoretyczne potwierdzają fakt, iŜ faktyczne właściwości ciał zaleŜą od wewnętrznych
rozkładów, gęstości i ruchliwości dyslokacji. Oprócz dyslokacji, w kryształach występują równieŜ inne defekty,
np. defekty punktowe i szczeliny, które stanowią naturalne przeszkody w swobodnym ruchu dyslokacji.
Badania eksperymentalne są bardzo czasochłonne, a przez to kosztowne. Samo przygotowanie próbek wymaga
wysokiej specjalizacji. Testy przeprowadza się dla róŜnych obciąŜeń zewnętrznych (takich jak napręŜenia mechaniczne, temperatura, pola elektromagnetyczne), a dobór zakresu tych obciąŜeń, przynajmniej w początkowej
fazie eksperymentowania, czasami jest przypadkowy i nie zawsze trafny. Tu pomocą mogą słuŜyć symulacje
komputerowe. ChociaŜ sam przebieg zjawiska bywa wielokrotnie krótszy od czasu potrzebnego na przeprowadzenie obliczeń numerycznych, to jednak naleŜy tu uwzględnić fakt, Ŝe samo przygotowanie próbek i uzyskanie
wyników z eksperymentu jest na ogół zdecydowanie dłuŜsze.
Naszym celem było opracowanie algorytmów pozwalających uzupełnić wiedzę uzyskiwaną z eksperymentów
dotyczących ruchliwości dyslokacji w zjawisku magnetoplastyczności.
2 Zjawisko magnetoplastyczności
Zjawisko magnetoplastyczności w kryształach niemagnetycznych (ZMP) zostało odkryte w roku 1985 w Instytucie Krystalografii AN ZSRR w Moskwie [1], [4]. Zachodzi ono na poziomie kwantowym, a przejawia się na
poziomie makroskopowym. Mówiąc w wielkim skrócie, ZMP polega na odrywaniu się dyslokacji od centrów
paramagnetycznych pod wpływem (stałego) pola magnetycznego. Dyslokacje, a w szczególności ich gęstość,
konfiguracja, ich skupiska i ich mobilność, w decydujący sposób określają właściwości ciał stałych, w tym ich
właściwości spręŜyste i plastyczne, czyli podatność na chwilowe i trwałe odkształcenia. Odkrycie tego zjawiska
było dla badaczy czymś niezwykłym i nieoczekiwanym, gdyŜ zaprzeczało powszechnym poglądom na temat
wpływu pola magnetycznego na właściwości materiałów niemagnetycznych. Efekt sprawdzano wielokrotnie w
róŜnych materiałach. W kolejnych latach istnienie zjawiska zostało potwierdzone przez kilka niezaleŜnych laboratoriów i opisano je w sporej liczbie (powyŜej stu) prac naukowych (bogaty spis tych publikacji moŜna znaleźć
w [2] i [3]).
Prace doświadczalne przeprowadzano w próbkach związków alkalicznych, w metalach niemagnetycznych i w
półprzewodnikach. Analiza otrzymanych danych pozwalała na sformułowanie tezy, Ŝe pod wpływem działającego przez jakiś czas pola magnetycznego, następuje uniewaŜnienie zakazu przejść elektronowych w układzie
dyslokacja - domieszka, a to z kolei powoduje istotne zmniejszenie energii ich oddziaływania i odczepienie
dyslokacji od defektu punktowego. Dalszy ruch dyslokacji, aŜ do następnego punktu zaczepienia, odbywa się
polu dalekozasięgowych napręŜeń, pochodzących od innych defektów liniowych. I cały proces rozpoczyna się
od początku, aŜ do chwili wyłączenia pola magnetycznego lub do momentu, gdy dyslokacja znajdzie się w polu
niskich napręŜeń. W większości eksperymentów obserwowano ruch dyslokacji bez przykładania dodatkowych
zewnętrznych obciąŜeń mechanicznych. Mamy tu więc do czynienia z procesem samoorganizacji dyslokacji,
przebiegającym w kierunku ich bardziej równomiernego rozkładu.
Okazało się dodatkowo, Ŝe zjawisko magnetoplastyczności przejawia się równieŜ na poziomie makroskopowym,
wpływając w istotny sposób na plastyczność kryształów. Stwierdzono na przykład, Ŝe poddanie kryształu,
umieszczonego w polu magnetycznym, obciąŜeniu o stałej prędkości deformacji, powoduje kilkakrotne zmniej-
1/6
szenie granicy płynięcia, tym większe, im mniejsza jest prędkość deformacji i im większa jest indukcja magnetyczna B.
3 Algorytmy symulacji ruchu dyslokacji
Prezentowane algorytmy dotyczą komputerowej symulacji ruchu dyslokacji poprzez kryształ w polu defektów
punktowych. Dyslokacja przemieszczając się, napotyka na swej drodze róŜne przeszkody, a najwaŜniejsze z nich
to defekty punktowe, na których ruch dyslokacji ulega zatrzymaniu. Przeprowadzone symulacje pozwalają na
przetestowanie wpływu obciąŜeń zewnętrznych na ruchliwość dyslokacji w róŜnych materiałach. Symulacja
komputerowa pozwala na wybranie najbardziej interesujących konfiguracji materiał – obciąŜenie zewnętrzne,
dla których następnie będzie moŜna przeprowadzić rzeczywiste eksperymenty.
Celem algorytmu jest przeprowadzenie dyslokacji przez pole defektów punktowych. Na linię dyslokacji działa
siła, która powoduje jej przemieszczanie. W idealnej statycznej sytuacji, dyslokacja jest albo (w przybliŜeniu)
linią prostą, albo tworzy pętlę dyslokacyjną. W kaŜdym razie nie moŜe kończyć się wewnątrz kryształu. W
kryształach rzeczywistych, unieruchomiona dyslokacja składa się z wielu (połączonych) odcinków o róŜnej
krzywiźnie. Odcinki te są przyklejone do defektów punktowych z siłą f 0 , która w ogólności moŜe zmieniać się
od defektu do defektu.
Rys. 1. Typowa pozycja linii dyslokacji w polu defektów punktowych
Fig. 1. Typical position of the dislocation line in the field of the point defects
ZałóŜmy, Ŝe dyslokacja o wektorze Burgersa b znajduje się na dole płaszczyzny obserwacji (rys. 1), będącej
płaszczyzną poślizgu dyslokacji, czyli płaszczyzną najłatwiejszego jej ruchu. Defekty punktowe są rozłoŜone
losowo. Naszym zadaniem jest „przepchnięcie” dyslokacji do góry, aŜ poza obszar obserwacji.
Ruch dyslokacji składa się z pojedynczych skoków poszczególnych odcinków linii dyslokacji od jednego zaczepu do kolejnego i wytwarzaniu nowej konfiguracji. Uwolnienie kawałka linii dyslokacji moŜe zachodzić albo
poprzez przyłoŜenie napręŜeń zewnętrznych lub w wyniku fluktuacji termicznych. Średnia prędkość ruchu dyslokacji poprzez las przeszkód zaleŜy od efektywnego napręŜenia, temperatury i od rozkładu defektów w płaszczyźnie poślizgu. Typ zaczepu jest określany przez jego połoŜenie, efektywny promień wpływu r0 (promień
przyciągania) i od siły oddziaływania z linią dyslokacji f 0 . Siła f 0 definiuje wartość napręŜenia τ koniecznego, by dyslokacja mogła się przemieszczać. Defekty punktowe są rozmieszczone losowo ze średnią odległością
pomiędzy sobą L . Ta średnia odległość związana jest z gęstością planarną c defektów związkiem L = 1 \ c .
Kształt (krzywizna) odcinka linii dyslokacji zaczepionego pomiędzy zaczepami moŜna znaleźć w przybliŜeniu
liniowego napięcia Γ . Liniowe napięcie Γ nie zaleŜy od orientacji linii dyslokacji. Dla dyslokacji z wektorem
Burgersa b , promień R okręgu, którego odcinek linii dyslokacji jest częścią, dany jest równaniem
R=
Γ
τb
..
(1)
Oczywiście, pole magnetyczne nie wywiera Ŝadnej siły na dyslokację – ono tylko ułatwia uwolnienie się dyslokacji z zaczepu.
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1.
ruch dyslokacji bez uwzględnienia pola magnetycznego,
2.
ruch dyslokacji z uwzględnieniem pola magnetycznego.
2/6
W literaturze poświęconej ruchowi dyslokacji, moŜna spotkać dwa zasadnicze algorytmy: algorytm oparty na
„toczeniu okręgu”, oraz algorytm oparty na „nadmuchiwaniu baniek”.
Algorytm wykorzystujący „toczenie okręgu”, poszukuje nowego punktu zaczepienia linii dyslokacji zataczając
okrąg względem punktu, w którym nastąpiło oderwanie się dyslokacji. Algorytm ten ma kilka słabych punktów.
Tak więc, na przykład, w sytuacji gdy gęstość defektów punktowych jest niewielka, a promień krzywizny odrywającego się odcinka linii dyslokacji jest stosunkowo nieduŜy, moŜe się pojawić sytuacja, Ŝe „toczący się okrąg”
nie napotka na swej drodze Ŝadnego nowego defektu punktowego i program moŜe ulec zawieszeniu. MoŜna by
próbować zwiększać promień krzywizny, ale nie ma do tego Ŝadnego uzasadnienia fizycznego. Co gorzej, po
przejściu przez cały obszar obserwacji, czyli na ostatniej „linii” defektów punktowych, nie potrafi ten algorytm
wykryć sytuacji zakończenia obliczeń. Algorytm ten uniemoŜliwia równieŜ obliczenie czasu potrzebnego na
przemieszczenie się dyslokacji. Wynika stąd, Ŝe moŜe on być stosowany do demonstracji przemieszczania się
linii dyslokacji poprzez kryształ, ale tylko w bardzo ograniczonym zakresie zastosowań.
Przyjęty przez nas algorytm jest modyfikacją podejścia opartego na zasadzie „nadmuchiwania baniek”: modyfikacja polega na dodaniu kroku wstecznego. W momencie, kiedy następuje zerwanie, dyslokacja jest cofana do
punktu tuŜ przed zaczepieniem się jej na defekcie. Symulacja rozpoczyna się od początku, ale z wyłączeniem
punktu, na którym nastąpiło zerwanie.
Linia dyslokacji niezaczepiona na Ŝadnym defekcie porusza się w górę pola obserwacji pod wpływem przyłoŜonego napręŜenia τ 0 (proporcjonalnego do odwrotności promienia łuku, patrz równanie (1) i Rys. 2). W przypadku, kiedy linia nie jest zaczepiona, promień krzywizny przyjmowany jest jako nieskończony.
Kiedy linia dyslokacji napotka po raz pierwszy defekt punktowy, dodawane są na brzegach dwa punkty pomocnicze, natomiast sama linia dzielona jest na dwa łuki ze startowym promieniem krzywizny zadanym jako nieskończoność (w realizacji komputerowej maksymalna wartość liczby typu double, Rys. 3).
Rys. 2. Powstanie dwóch łuków
Fig. 2. Creation of two arcs
Wyznaczane są punkty na środkach łuków. Dyslokacja zaczepiona na defektach przemieszcza się w taki sposób,
Ŝe poruszane są środki łuków, natomiast promień krzywizny łuku wyliczany jest jako fragment okręgu przechodzącego przez 3 punkty (na tej podstawie dostajemy jego środek oraz promień)
Rys. 3. Pozycja startowa dla algorytmu budowy nowych zakrzywionych odcinków linii dyslokacji
Fig. 3. Starting position of the algorithm for the creation of the new curved segments of the dislocation line
Wartość działającego napręŜenia siły jest reprezentowana w programie poprzez odwrotność promienia krzywizny odcinka linii dyslokacji (im mniejszy promień tym większe napręŜenie, równanie (1)). Przesuwając środkowy punkt łuku (Rys. 3) w kolejnym kroku obliczeniowym oraz wyznaczając aktualny promień krzywizny Ra dla
tego łuku, porównujemy go z promieniem wynikającym z działającego napręŜenia Rτ . JeŜeli Ra ≤ Rτ , czyli
aktualny promień krzywizny jest mniejszy od promienia krzywizny pochodzącego od działającego napręŜenia, to
łuk nie przemieszcza się juŜ dalej (działająca siła jest zbyt mała, aby go przesunąć).
W momencie wycinek okręgu zdefiniowany przez łuk zawiera nowy defekt punktowy łuk zostaje przerwany
nowy punkt zostaje włączony do linii dyslokacji i na miejsce jednego łuku powstają dwa.
3/6
Rys. 4. Przemieszczanie się łuków linii dyslokacji
Fig. 4. Dispacement of the dislocation line arcs
Jeśli kąt tworzony poprzez dwie styczne do łuków zaczepionych w tym samym punkcie przekroczy pewien
określony przez programistę kąt krytyczny, dyslokacja zostaje przez ten defekt punktowy uwolniona. Algorytm
powoduje cofnięcie się do sytuacji przed zaczepieniem się dyslokacji o ten punkt i ponowne przesuwanie się
linii dyslokacji w wyznaczonym kierunku. Punkt, w którym nastąpiło oderwanie się linii dyslokacji, w ponownym przebiegu nie jest juŜ brany pod uwagę.
Warunkiem powodującym zatrzymanie się algorytmu (warunek stopu), jest przejście dyslokacji przez wszystkie
defekty punktowe, lub osiągnięcie takiej konfiguracji, w której wszystkie łuki wchodzące aktualnie w skład linii
dyslokacji nie mogą zostać przesunięte dalej ze względu na zbyt małe działające na nią napręŜenie.
Kąty krytyczne w praktyce są bliskie 180 stopni (oczywiście w przypadku kąta równego dokładnie 180 stopni,
dyslokacja przechodzi przez cały kryształ bez zatrzymań).
4 Algorytmy ruchu dyslokacji w polu magnetycznym
Działanie algorytmu obliczeniowego uwzględniającego oddziaływanie dyslokacji z polem magnetycznym w
zasadzie jest identyczne z przypadkiem ruchu dyslokacji bez uwzględnienia oddziaływania pola magnetycznego.
Pole magnetyczne ma wpływ tylko na zmianę właściwości materiałowych, czyli kątów krytycznych, przy których następuje oderwanie linii dyslokacji od defektu punktowego.
Modyfikacja algorytmu jest następująca. Niech linia dyslokacji, składająca się z łuków zaczepionych na defektach punktowych, osiąga połoŜenie stabilne. Oznacza to, Ŝe działające napręŜenie nie jest juŜ w stanie przepchnąć dyslokacji dalej. Dopiero teraz następuje uwzględnienie działania pola magnetycznego. Pole magnetyczne jest tylko dodatkowym czynnikiem, stymulującym odczepianie.
Z danych doświadczalnych wynika, Ŝe czas odczepienia τ dp (depinning time) dyslokacji od centrum domieszkowego musi być proporcjonalny do B-2:
τ dp ∝ 1 / B 2 .
(2)
Punkty, dla których nowy kąt krytyczne powoduje zerwanie zostają oznaczone jako punkty powodujące zerwanie linii a dyslokacja jest cofana do pierwszego z nich (w kolejności zaczepienia).
Ruch kontynuowany jest (tym razem dyslokacja nie zaczepi się juŜ na punktach, które spowodowały zerwanie)
Pole magnetyczne na dyslokację nie wywiera Ŝadnej siły. Powoduje ono jedynie, Ŝe siła związania dyslokacji z
punktem zaczepu (defektem punktowym) f 0 zmniejsza w czasie τ sp potrzebnym na dopasowanie się spinów do
'
pewnego nowego poziomu f 0 . Tak więc, w tej nowej sytuacji, nawet dla napręŜeń σ < σ c , dyslokacja pozostaje
przyczepiona do punktu zaczepu tylko przez pewien czas, a następnie znów zaczyna się przemieszczać. Fakt ten
pozwala na zastąpienie poszukiwania średniej przebytej odległości l przez stacjonarną prędkość v. Prędkość ta
jest teraz znacznie mniejsza (w doświadczeniach jest ona rzędu 1 m/s).
W rzeczywistości, nawet bez obecności pola magnetycznego, dyslokacja pokonuje przeszkody za pomocą fluktuacji termicznych. W tym przypadku czas τ sp powinien być zastąpiony przez czas oczekiwania na odpowiednie
fluktuacje termiczne τ th . Wynikająca z tego mechanizmu prędkość ruchu dyslokacji
v ∝ exp
−U
,
k BT
(3)
4/6
zaleŜna od zewnętrznych napręŜeń i fluktuacji termicznych moŜe zmieniać się od zera do wartości dynamicznych rzędu 10 m/s. W sytuacji bez zewnętrznych obciąŜeń, ale pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego, rolę siły wprawiającej dyslokacje w ruch jest pole napręŜeń pochodzące od innych dyslokacji znajdujących
się w krysztale. Poziom tych napręŜeń, na ogół rzędu ∝ 0.1 MPa, jest zbyt mały by spowodować ruch aktywowany termicznie, ale jest wystarczający, by wywołać ruch dyslokacji indukowany polem magnetycznym. PowyŜsze rozwaŜania są podstawą do sformułowania algorytmów pozwalających symulować komputerowo zjawisko magnetoplastyczności.
Badanie ruchu linii dyslokacji przez kryształ z jednorodnym rozkładem defektów punktowych (obliczenia przeprowadzono dla róŜnych gęstości defektów punktowych od N=500 do N=5000) pod wpływem zewnętrznego
pola napręŜeń, pozwoliło przetestować i zweryfikować zaproponowany przez nas algorytm symulacji komputerowej.
W kaŜdej sytuacji, gdy następuje zatrzymanie ruchu dyslokacji, moŜemy zliczyć liczbę defektów N, na których
to zatrzymanie nastąpiło, liczbę zaczepów pokonanych w wyniku działania napręŜeń zewnętrznych nσ i liczbę
zaczepów pokonanych w wyniku działania pola magnetycznego nB . Dane te są przed eksperymentatorami ukryte, gdyŜ mogą oni obserwować tylko ślady linii dyslokacji na powierzchni próbki i to dopiero po poddaniu ich
odpowiedniej obróbce mechanicznej i chemicznej.
5 Rezultaty
2500
2000
Kroki
1500
1000
500
0
1
0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
Promień
Rys. 5. Przykładowe wyniki symulacji ruchu dyslokacji w polu magnetycznym dla działającej zmiennej siły
Fig. 5. Example of the dislocation motion computer simulation in the magnetic field for the varying force
NM
alpha=162
M
2635
Kroki
2135
1635
1135
635
135
1,5
1,3
1,1
0,9
0,7
Promień
Rys 6. Porównanie drogi dyslokacji z polem magnetycznym i bez pola
Fig. 6. Comparison of the distance traveled by the dislocation in the presence of the magnetic field and without
5/6
angle=168 radius=1.5
12
3
1
break
10
11
11
11
2
3
2
2
3
4
5
5
15
2
6
no arcs in line
14
3
7
Liczba zatrzymań
Rys 7. Liczba zatrzymań i liczba defektów na linii dyslokacji w kolejnych krokach ruchu
Fig. 7. Number of stops and number of defects on the dislocation line in consecutive steps of the computer simulation
Literatura
1. V.I. Alshits, E.V. Darinskaya, T.M. Perekalina, A.A. Urusovskaya. Dislocation motion in NaCl crystals
under static magnetic field, Fiz. Tverd. Tela, 1987, 29 (2), 467-471 [Sov. Phys. Solid State]
2. V.I. Alshits, E.V. Darinskaya, O.L. Kazakova. E.Yu. Mikhina, E.A. Petrzhik, Magnetoplastic effect in
nonmagnetic crystals, Material Sci. and Engng, 1997, A234-236, 617-620
3. V.I. Alshits, E.V. Darinskaya, M.V. Koldaeva, E.A. Petrzhik, Magnetoplastic effects: basic properties and
physical mechanisms, Kristallografiya, 2003, 48 (5), 838-867 [Crystallogr. Reports]
4. V.I. Alshits, R. Kotowski, Zjawisko magnetoplastyczności w materiałach niemagnetycznych, Przegląd Elektrotechniczny, 2004, 12, 1220-1224
5. R. Kotowski, Symulacja komputerowa magnetoplastyczności, Przegląd Elektrotechniczny, 2005, 12, 16-18
Streszczenie
W pracy przedstawiono przegląd wyników prac doświadczalnych potwierdzających istnienie odkrytego w roku
1985 zjawiska magnetoplastyczności w materiałach niemagnetycznych (ZMP). Umieszczenie próbki w polu
magnetycznym wywołuje istotną reorientację konfiguracji spinów układu dyslokacja – defekt punktowy, powodując przebudowę konfiguracji elektronów. Prowadzi to do istotnej zmiany siły zaczepienia dyslokacji i do odpowiedniej modyfikacji mechanicznych właściwości próbki.
Computer simulation algorithm
for dislocation motion in crystal
Summary
In the paper the overview of experimental results confirming the existence of the discovered in 1985 the magnetoplastic effects in nonmagnetic materials (MPE) is given. The placing of the sample in the magnetic field
causes the essential reorientation of the spin configuration in the dislocation – point defect system, contributing
to the reorganization of the electron configuration. This leads to the essential change of the dislocation pinning
force and to the appropriate modification of the mechanical properties of the sample. Two phenomena are possible: either the detachment of the dislocation line from the point defect becomes easier and the plastification of
the material occurs or the strengthening of the material takes place.
6/6

algorytm symulacji komputerowej ruchu dyslokacji w krysztale

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dyslokacje i inne defekty rozciągłe

Defekty struktury krystalicznej

ks_p_wegorzewo_2819_0102

Struktury fałdowe i zrębowe