Wykład 2.1
Transkrypt
Wykład 2.1
ILOCZYNY WEKTORÓW 3 • = { ( x, y, z ) : x, y, z ∈ } − trójwymiarowa przestrze , któr mo na interpretowa na trzy sposoby: Jako zbiór punktów. W tej interpretacji elementy przestrzeni 3 nazywa si punktami. Napis A = ( x A , y A , z A ) oznacza, e punkt A ma współrz dne x A , y A i z A . • Jako zbiór wektorów zaczepionych w punkcie O = (0, 0, 0) . W tej interpretacji jest to trójwymiarowa przestrze kartezja ska. • Jako zbiór wszystkich wektorów swobodnych (odcinków skierowanych). Je li punkt A = ( x A , y A , z A ) jest pocz tkiem wektora, za punkt B = ( x B , y B , z B ) jego ko cem, to AB = [ x B − x A , y B − y A , z B − z A ] . i = [1, 0, 0] j = [0, 1, 0] a = [ xa , y a , z a ] = xa i + y a j + z a k k = [0, 0, 1] Wektory a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] s równoległe wtedy i tylko wtedy b = λ ⋅ a , czyli wtedy i tylko wtedy, gdy maj proporcjonalne współrz dne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy xa y a z a = = . xb y b z b Iloczynem skalarnym wektorów a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] nazywamy liczb rzeczywist okre lon wzorem a b = [ x a , y a , z a ] [ xb , y b , z b ] = x a xb + y a y b + z a z b . Za pomoc iloczynu skalarnego wyznaczamy: • Długo wektora: | a | = a = a a . Zatem xa 2 + ya 2 + z a 2 . a = a b • K t pomi dzy wektorami a i b : ∠( a , b ) = arccos • Prostopadło • Wyznacznik Grama zbudowany na wektorach a i b : G ( a , b ) = a a a b a c • Wyznacznik Grama zbudowany na wektorach a , b i c : G ( a , b , c ) = b a b b b c . c a c b c c | a | ⋅ |b | . wektorów: a ⊥ b ⇔ a b = 0 . a a a b b a b b . Wyznacznik Grama zbudowany na dwu wektorach jest kwadratem pola równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. W przestrzeni 2 wyznacznik Grama zbudowany na dwu wektorach upraszcza si do postaci G ( a , b ) = xa xb ya yb 2 . Wyznacznik Grama zbudowany na trzech wektorach jest kwadratem obj to ci równoległo cianu zbudowanego na tych wektorach. W przestrzeni 3 xa xb xc wyznacznik Grama zbudowany na trzech wektorach upraszcza si do postaci G ( a , b , c ) = y a yb yc za zb zc 2 . Wyznacznik wyst puj cy po prawej stronie równo ci wyra a iloczyn mieszany wektorów a , b i c . Obj to równoległo cianu rozpi tego na trzech wektorach a , b i c (w przestrzeni 3 ) wygodniej jest liczy w oparciu o wzór xa xb xc Vol( a , b , c ) = abs( y a yb zb yc ) . zc za Iloczynem wektorowym wektorów a = [ x a , y a , z a ] i b = [ xb , y b , z b ] nazywamy wektor okre lony wzorem i j k a × b = xa ya za . xb yb zb St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1 1 Wektor a × b jest prostopadły zarówno do a , jak i do b ; je li a i b nie s równoległe, to wyznaczaj płaszczyzn , do której a × b jest prostopadły. Wektor a × b ma długo równ polu równoległoboku o dwu s siednich bokach a i b ; zatem | a × b | = | a | ⋅ | b | ⋅ sin ∠(a , b ) , | a × b | = G (a , b ) . xa xb yb zb Trzy wektory a , b i c s komplanarne (współpłaszczyznowe) wtedy i tylko wtedy, gdy y a za xc yc = 0 (obj to zc zbudowanego na nich równoległo cianu jest równa zero). [1] Obliczymy pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2;1) , B = (−2; 3) , C = (8; − 1) . Rozwi zanie. Pole trójk ta jest połow pola odpowiedniego równoległoboku. AB = [−2 − 2, 3 − 1] = [ −4, 2] , AC = [8 − 2, − 1 − 1] = [6, − 2] 1) Do obliczenia pola równoległoboku zastosujemy wyznacznik Grama. AB AB = (−4) 2 + 2 2 = 16 + 4 = 20 , AB AC = −4 ⋅ 6 + 2 ⋅ ( −2) = −24 − 4 = −28 , AC AC = 6 2 + ( −2) 2 = 36 + 4 = 40 G ( AB, AC ) = AB AB AB AC AC AB AC AC Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach AB i AC wynosi 2) Pole równoległoboku = | xa xb ya yb |=| −4 2 6 −2 20 −28 = 800 − 784 = 16 − 28 40 = G ( AB, AC ) = 16 = 4 , pole trójk ta jest równe 2. | = 4. [2] Obliczymy pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2;1; − 4) , B = ( 2; − 1; 3) , C = (7; 2; 3) . Rozwi zanie. Pole trójk ta jest połow pola odpowiedniego równoległoboku. AB = [0, − 2, 7] , AC = [5,1, 7] 1) Do obliczenia pola równoległoboku zastosujemy wyznacznik Grama. AB AB = 0 + 4 + 49 = 53 , AB AC = 0 − 2 + 49 = 47 , AC AC = 25 + 1 + 49 = 75 G ( AB, AC ) = AB AB AB AC AC AB AC AC Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach AB i AC wynosi = 53 47 = 3975 − 2209 = 1766 47 75 1776 , pole trójk ta jest równe 1 2 1766 . 2) Pole równoległoboku = | a × b | e1 e2 e3 e1 e2 e3 a × b = xa ya za = 0 −2 7 = −21e1 + 35e2 + 10e3 = [ −21, 35, 10] xb yb zb 5 1 Pole = | a × b | = 7 441 + 1225 + 100 = 1766 [3] Obliczymy k t mi dzy wektorami a = [1,1, 0] i b = [−1, 0,1] . Rozwi zanie. Poniewa wektory s niezerowe, wi c cos ϕ = St d a b a⋅b = 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 2 2 2 2 2 2 1 + 1 + 0 ⋅ (−1) + 0 + 1 = −1 2⋅ 2 =− 1 . 2 ϕ = π. 2 3 [4] Sprawdzi , e trójk t o wierzchołkach A = (3; − 2; 5) , B = (−2;1; − 3) , C = (5; 1; − 1) jest ostrok tny. Rozwi zanie. Poniewa AB AC = [−5, 3, − 8] [2, 3, − 6] = −10 + 9 + 48 > 0 , wi c k t przy wierzchołku A w trójk cie ABC jest ostry. St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1 2 Z warunków BA BC = [5, − 3, 8] [7, 0, 2] = 35 + 0 + 16 > 0 , CB CA = [ −7, 0, − 2] [ −2, − 3, 6] = 14 + 0 − 12 > 0 wynika, e pozostałe k ty tego trójk ta s ostre. [5] Sprawdzi , e wektory a = [ 2, − 1, 2] , b = [1, 2, − 3] , c = [3, − 4, 7] s komplanarne (le Rozwi zanie. Trzy wektory s komplanarne, je li obj to xa A poniewa Vol(a , b , c ) = abs( y a za xb yb zb ce w jednej płaszczy nie). zbudowanego na nich równoległo cianu jest równa zero. xc xa y c ) , wi c wystarczy stwierdzi , e y a zc za xc 2 − 1 2 yc = 1 2 − 3 = 0 . zc 3 − 4 7 xb yb zb równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] . [6] Obliczy obj to Rozwi zanie. xa xb xc Vol(a , b , c ) = abs( y a yb y c ) = abs( − 2 2 za zb zc 1 1 3 1 0 ) = 12 . 1 −1 [7] Obliczy pole powierzchni całkowitej równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] . c a a G (a , b ) = b a b b a a a c G (a , c ) = b G (c , b ) = a a b c a c c = = 6 0 0 14 6 0 0 2 = 84 = 12 2 2 c c c b = = 24 2 14 b c b b Pole powierzchni całkowitej tego równoległo cianu wynosi 2 84 + 2 12 + 2 24 . 1. Znaj c wierzchołek A = ( 2, − 5, 3) oraz wektory AB = [ 4, 1, 2] , BC = [3,−2, 5] wyznacz pozostałe wierzchołki trójk ta ABC . 2. Oblicz iloczyny a b i a × b , je li a = [ 4, 7, 3] , b = [3, − 5,1] . 3. Dane s trzy kolejne wierzchołki równoległoboku ABCD : A = (6;1) , B = (3; 2) , C = (−2; 7) . Wyznacz wierzchołek D oraz pole tego równoległoboku. 4. Oblicz pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2,1) , B = (−2, 3) , C = (−8,1) . 5. Oblicz pole trójk ta o wierzchołkach A = ( 2,1, − 4) ), B = ( −2, − 1, 3) , C = (7, 2, 3) . 6. Oblicz k t mi dzy wektorami a = [1,1, 0] i b = [0, − 1,1] . 7. Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = (3, − 2, 5) , B = ( −2, 1, − 3) , C = (5,1, − 1) jest ostrok tny. 8. Oblicz obj to 9. Sprawd , e wektory a = [ 2, − 1, 2] , b = [1, 2, − 3] , c = [3, − 4, 7] s komplanarne. równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2, 1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] . 10. Oblicz pole powierzchni całkowitej równoległo cianu zbudowanego na wektorach a = [1, − 2,1] , b = [3, 2,1] , c = [1, 0, − 1] . 11. Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = ( 2,1, 5) , B = (6, 3, 5) , C = (−1, 2, 5) jest rozwartok tny. Oblicz jego pole. 12. Sprawd , e trójk t o wierzchołkach A = ( 4, 0, 2) , B = ( 2, 2, 2) , C = ( −1, − 1, 2) jest prostok tny. Oblicz jego pole. 1. B = (6, − 4, 5) , C = 9, − 6,10) . 2. a b = −20 , a × b = [ 22, 5, − 41] . 3. D = (1, 6) , Pole = 10 . 4. Pole = 10 . 5. Pole = 6. K t = St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1 2 3 1 2 4446 . π , 8. Vol = 12 , 3 Płaszczyzna w 3 płaszczyzny σ jest postaci Ax + By + Cz + D = 0 , gdzie przynajmniej jedna z liczb A , B lub C jest ró na od zera. Wektor n = [ A, B, C ] nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny σ. Równanie ogólne zawartej w 3 n Równanie płaszczyzny σ przechodz cej przez punkt P = ( x P , y P , z P ) i prostopadłej do wektora n = [ A, B, C ] ma posta σ : A( x − x P ) + B( y − y P ) + C ( z − z P ) = 0 . Płaszczyzn przechodz c przez trzy niewspółliniowe punkty A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) i C = ( xC , yC , zC ) wyznaczamy z jednego ze wzorów Odległo x y z 1 xA yB zC 1 xB yB zC 1 xC yB zC 1 x − xA y − yA xB − x A xC − x A yB − y A yC − y A =0, z − zA zB − z A = 0 . zC − z A punktu P = ( x P , y P , z P ) od płaszczyzny σ: Ax + By + Cz + D = 0 najlepiej jest oblicza ze wzoru d= | Ax P + By P + Cz P + D | A2 + B 2 + C 2 . Płaszczyzny σ1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i σ2: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 s równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne n1 = [ A1 , B1 , C1 ] i n2 = [ A2 , B2 , C 2 ] s równoległe, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy n2 = [ A2 , B2 , C2 ] = λ ⋅ [ A1 , B1 , C1 ] = λ ⋅ n1 . Je li ponadto D2 = λ ⋅ D1 , to płaszczyzny te pokrywaj si . Płaszczyzny σ1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i σ2: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 s prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne n1 = [ A1 , B1 , C1 ] i n2 = [ A2 , B2 , C2 ] s prostopadłe, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy n1 n 2 = A1 A2 + B1 B2 + C1 C 2 = 0 . K t mi dzy płaszczyznami. K tem mi dzy płaszczyznami nazywamy k t ostry mi dzy wektorami normalnymi tych płaszczyzn. ∠(σ1 , σ 2 ) = arccos n1 n2 n1 ⋅ n 2 [1] Napisa równanie ogólne płaszczyzny przechodz cej przez punkt A = ( 2,1, − 1) i prostopadłej do wektora n = [1, − 2, − 1] . Rozwi zanie. Równanie płaszczyzny σ przechodz cej przez punkt P = ( x P , y P , z P ) i prostopadłej do wektora n = [ A, B, C ] ma posta σ : A( x − x P ) + B( y − y P ) + C ( z − z P ) = 0 . Płaszczyzna σ rozwa ana w tym zadaniu ma równanie σ : ( x − 2) − 2( y − 1) − ( z + 1) = 0 . Ostatecznie (po przekształceniu) σ : x − 2 y − z −1 = 0 . St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1 4 [2] Napisa równanie ogólne płaszczyzny σ przechodz cej przez punkty A = ( 2,1, − 1) , B = (1, − 2, − 1) , C = (1,1,1) . Jaka jest odległo pocz tku układu od tej płaszczyzny? Rozwi zanie. Skorzystamy ze wzoru x − xA σ : xB − x A xC − x A σ: x−2 −1 −1 y − yA yB − y A yC − y A z − zA zB − z A = 0 . zC − z A y −1 z + 1 | Ax P + By P + Cz P + D | | −6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 + 7 | −3 0 = 0 → σ : − 6 x + 2 y − 3z + 7 = 0 → d = = =1 2 2 2 2 2 2 A + B + C ( − 6 ) + 2 + ( − 3 ) 0 2 Zadania 1. Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez trzy punkty M 1 = (1;−1;−2 ) , M 2 = (2;1;2 ) , M 3 = (−2;0;−7 ) . 2. Obliczy odległo punktu M = (3,1, − 1) od płaszczyzny P : 22 x + 4 y − 20 z − 45 = 0 . 3. Znale miedzy płaszczyznami P1 : 11x − 2 y − 10 z + 30 = 0 i P2 : 11x − 2 y − 10 z − 15 = 0 . 4. Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez punkt M = (1, − 1, 1) i prostopadłej do dwóch płaszczyzn P1 : x − y + z − 1 = 0 , odległo P2 : 2 x + y + z + 1 = 0 . x − y + 2 z − 5 = 0 i płaszczyzn Oyz . 5. Znale 6. Napisa równanie płaszczyzny przechodz cej przez punkty M 1 = (1;1;1) i M 2 = ( 2;2;2) oraz prostopadłej do płaszczyzny k t mi dzy płaszczyzn P: x+ y−z =0. 7. Napisa równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny P : 3 x − 6 y − 2 z + 14 = 0 i odległej od niej o 3. 8. Napisa równanie płaszczyzny równoodległej od płaszczyzn P1 : x + y − 2 z − 1 = 0 i P2 : x + y − 2 z + 3 = 0 . 9. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez o z i przez punkt M = (1; − 2;1) . 10. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt M = ( 2; 3; − 4) i równoległ do płaszczyzny yz . 11. Oblicz obj to ostrosłupa ograniczonego płaszczyzn π : x + 2 y − 3z + 2 = 0 i płaszczyznami układu współrz dnych. 12. Punkt M = ( 2; − 1; 2) jest rzutem pocz tku układu współrz dnych na płaszczyzn . Wyznacz jej równanie. 13. Znajd k t mi dzy płaszczyznami π1 : x + y − 1 = 0 , π 2 : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 . 14. Wyznacz płaszczyzn , do której nale punkty: A = (1; − 2;1) , B = (−1; 0;1) , C = (0; 0; − 1) . 15. Wyznacz płaszczyzn , do której nale punkty: A = (0;1;1) , B = ( 2; 0; 0) , C = (1; − 1; 0) . 16. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; − 3; − 7) i równoległ do płaszczyzny σ : 2 x − 6 y − 3 z + 5 = 0 . 17. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkty P = ( 2; 3; − 1) , Q = (1; 5; 3) i prostopadł do płaszczyzny σ : 3 x − y + 3 z + 15 = 0 . 18. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; − 3; − 7) i równoległ do wektorów: a = [ −3, 2, − 1] , b = [1, 2, 3] . 19. Wyznacz płaszczyzn przechodz c przez punkt P = ( 2; 0; 4) i jego rzuty na płaszczyzny: π : x − 7 y + 2 z = 0 , σ : 5 x + 3 y − z = 0 . 20. Oblicz długo wysoko ci ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka S = (1; 4; − 2) na cian zawieraj c wierzchołki A = (0; − 1;1) , B = (3; 5;1) , C = (1; − 3; − 1) . 21. Oblicz obj to czworo cianu o wierzchołkach A = (1;1;1) , B = (0;1; 2) , C = (1; 2; 3) , D = ( 2;1; 3) . 1. 2 x + y − z − 3 = 0 ; 2. 3 2 ; 3. 3 ; 4. 2 x − y − 3z = 0 ; 5. 60 ; 6. x − y = 0 ; 7. 3x − 6 y − 2 z − 7 = 0 , 3x − 6 y − 2 z + 35 = 0 ; 8. x + y − 2 z + 1 = 0 ; 9. 2 x + y = 0 ; 10. x − 2 = 0 ; 11. 2 9 ; 12. 2 x − y + 2 z − 7 = 0 ; 13. arccos 14 ; 14. 2 x − 2 y + z − 7 = 0 ; 15. x − y + 3 z − 2 = 0 ; 16. 2 x − 6 y − 3z − 43 = 0 ; 17. 2 x + 3 y − z − 14 = 0 ; 18. 7 x + 8 y − 8 z − 62 = 0 ; 19. x + 11y + 38 z − 154 = 0 ; St. Kowalski, Wykłady z matematyki (dla studentów kierunku Mechanika) – wykład 2 – 1 5