Zapisz jako PDF

Zasada zachowania energii
Praca i energia
Praca
Najprostszy przypadek:
Stała siła
działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o .
Praca jaką wykona przy tym siła
W przypadku siły działającej pod kątem w stosunku do przesunięcia praca jaką wykonuje
Składowa siły prostopadła do przesunięcia nie wykonują pracy!
Liczy się tylko równoległa składowa siły...
Przypadek ogólny:
Dowolna siła
wynosi
działa na punkt materialny P. Praca jaką wykonuje ta siła przy przesunięciu o
Aby policzyć pracę siły dla dowolnej drogi, musimy posumować wkłady od kolejnych małych
przesunięć
. W granicy nieskończenie małych przesunięć odpowiada to całkowaniu. Uzyskujemy
ogólny wzór na pracę siły
na drodze między A i B
Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonują pracy!
W szczególności nie wykonują pracy poznane już: siła Lorenza, siła Coriolisa i siły reakcji więzów.
Przykład:
Rozciągnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości:
Wykonana praca:
Graficznie całkę odpowiada polu powierzchni pod wykresem zależności składowej równoległej siły od
przesunięcia.
W ogólnym przypadku praca
jaką wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od:
przebytej drogi
np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do
toru ruchu
np. jeśli siły oporu zależą od wyboru toru
prędkości
siły oporu w ośrodku zależą od prędkości
czasu
jeśli działające siły zależą od czasu
Praca wykonana podczas ruchu z A do B zależy
od wybranej drogi lub
Energia kinetyczna
Przyjmijmy, że siła jest siłą wypadkową działającą na ciało P. Zmianę prędkości w ruchu
jednostajnie przyspieszonym możemy policzyć znając wartość siły, czas jej działania i masę ciała:
Gdzie skorzystaliśmy z wyrażenia na prędkość średnią w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
Mnożąc obie strony przez
otrzymujemy:
Pracę wykonana przez siłę podczas ruchu punktu z A do B możemy więc przedstawić jako:
Wielkość
wprowadzamy jako energię kinetyczną ciała (w przypadku klasycznym!).
Pracę siły wypadkowej możemy wyrazić poprzez zmianę energii kinetycznej ciała!
W ogólnym przypadku przyczynek do pracy jaką wykonuje siła
odległość
wynosi
Korzystając z podstawienia
Praca siły
od przesunięcia ciała P o małą
uzyskujemy
na drodze między A i B wyraża się przez całkę:
Niezależnie od postaci siły
i przebytej drogi praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała
Zakładamy jedynie, że na ciało nie działają inne siły, a układ, w którym wykonujemy pomiary jest
inercjalny.
Moc
Moc średnia opisuje średnią pracę wykonywaną na jednostkę czasu:
Moc chwilowa odpowiada mocy liczonej dla nieskończenie małego przedziału czasu
Wstawiając wyrażenie na przyrost pracy
na ciało siły:
uzyskujemy ogólny wzór na moc działającej
Moc siły jest proporcjonalna do prędkości ciała!
Jednostką pracy jest Dżul:
Jednostką mocy jest Wat:
Kiedyś używano jako jednostki mocy konia mechanicznego:
Energia potencjalna
Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym . Siła ciężkości działająca na masę
(przyjmujemy, że oś Y układu współrzędnych skierowana jest pionowo do góry).
Praca siły ciężkości przy przesunięciu ciała z A do B
:
Możemy wprowadzić energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego
Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej
Mówimy, że siła ciężkości jest siłą zachowawczą.
Siła
jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nią wykonana zależy tylko od
położenia punktów początkowego A i końcowego B
Pracę można wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej
Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości.
Jeśli droga jest zamknięta to praca siły zachowawczej jest zawsze równa zeru
całkę po drodze zamkniętej nazywamy cyrkulacją (krążeniem)
Jak pokazaliśmy powyżej siła ciężkości w jednorodnym polu grawitacyjnym jest zachowawcza. Siłami
zachowawczymi są też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległości (
szczególności siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły sprężystości...
Siła a energia potencjalna
Praca wykonana przez siłę przy infintezymalnym (nieskończenie małym) przesunięciu
), w
Iloczyn skalarny możemy przedstawić poprzez składowe wektorów:
Zaś zmianę energii potencjalnej przez odpowiednie pochodne cząstkowe:
Porównując te wyrażenia otrzymujemy związek między siłą a energią potencjalną:
Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły.
Należy przy tym zauważyć, że energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej, istotne są
tylko jej zmiany.
Przykład:
Rozciągnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy.
Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna:
Siła sprężystości:
W momencie puszczenia sprężyny energia potencjalna zamienia się na kinetyczną...
Gradient
Przedstawioną powyżej funkcję (wektorową) energi potencjalnej:
nazywamy gradientem
Gradient możemy zdefiniować dla dowolnej funkcji skalarnej zależnej od położenia:
(używany do oznaczenia gradientu operator
nosi nazwę "nabla")
Gradient wskazuje kierunek w którym następuje największa zmiana wartości funkcji skalarnej
.
Wartość gradientu odpowiada wartości pochodnej funkcji
Siłę zachowawczą wyrażamy jako gradient energii potencjalej:
wzdłuż tego kierunku.
Zasada zachowania energii
Energia całkowita
Praca siły zachowawczej
pomiędzy A i B wyraża się przez energię potencjalną
Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało zmienia energię kinetyczną:
Przyrównując te dwa wyrażenia na pracę otrzymujemy:
Ale równość ta musi być spełniona dla dowolnych punktów A i B. Wnioskujemy więc, że energia
całkowita, będąca sumą energii potencjalnej i kinetycznej pozostaje stała:
W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.
Wahadło Galileusza
Dobrą ilustracją zasady zachowania energii jest tzw. wahadło Galileusza. Gwóźdź wbity poniżej
punktu zaczepienia wahadła powoduje, że jego długość ulega efektywnemu skróceniu przy przejściu
położenia równowagi. Siły reakcji więzów nie wykonują jednak pracy - nie mają wpływu na bilans
energii. Wysokość na jaką wznosi się wahadło nie zmienia się przy zmianie długości nici:
Spadek swobodny
W jednorodnym polu
grawitacyjnym ciało spada swobodnie z wysokości
Prędkość końcowa z zasady zachowania energii:
Taką samą prędkość uzyska wahadło puszczone z wysokości
Siły sprężystości
(
).
Rozważmy przemiany energii w ruchu kuli o masie
zawieszonej na sprężynie o współczynniku
sprężystości . Energia całkowita w ruchu pod wpływem sił sprężystości:
Kula porusza się ruchem harmonicznym z częstością
Zależność prędkości od czasu:
Podstawiając do wzoru na energię całkowitą:
. Zależność położenia od czasu:
Równania ruchu
Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej):
Czy znając
możemy rozwiązać równania ruchu ciała ?
Możemy wyznaczyć zależność
i skorzystać z II zasady dynamiki...
albo
Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii:
W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny...
Rozważmy dla uproszczenia przypadek jednowymiarowy: ruchu prostoliniowego pod działaniem siły
zachowawczej
, energia potencjalna
zapisać w postaci:
. Zasadę zachowania energii możemy wtedy
co można przekształcić do wyrażenia na prędkość
Rozdzielając zmienne i całkując stronami otrzymujemy:
Widzimy więc, że znając
możemy zawsze znaleźć związek między
i (znaleźć ruch ciała).
Przykład:
Ruch pod wpływem stałej siły:
Odpowiada to energii potencjalnej
Przyjmując, że w chwili początkowej
(
położenie ciała
)
mamy:
Całkując otrzymujemy:
z czego po przekształceniach otrzymujemy
Widzimy, że ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.
Jako
oznaczyliśmy predkość w chwili
. Wiąże się ona z energią całkowitą (w chwili
położenie
i energia potencjalna znika)
Zderzenia
Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania pędu (i momentu
pędu).
Zasada zachowania pędu jest zawsze bezwzględnie spełniona!
Ale czy w zderzeniach ciał zachowana jest energia kinetyczna?
TAK
jeśli działające siły mają charakter zachowawczy (siły kulombowskie, siły spężystości). Po
zderzeniu ciała wracają do tego samego "stanu"
⇒
NIE
jeśli mamy wkład sił niezachowawczych, w szczególności gdy w wyniku zderzenia następują
trwałe zmiany (np. odkształcenia) w zderzających się ciałach
Zderzenia sprężyste
Zderzenia, w których zachowana jest energia kinetyczna nazywamy zderzeniami sprężystymi
(elastycznymi).
Rozważmy przypadek jednowymiarowy zderzenia dwóch wózków na torze powietrznym (pokaz).
Przed zderzeniem przyjmijmy dla uproszczenia, że jeden z wózków spoczywał:
Z zasad zachowania pędu możemy zapisać:
natomiast zachowanie energii kinetycznej daje:
Przekształcając te wyrażenia otrzymujemy
(z zachowania pędu)
(z zachowania energii)
Dzieląc stronami otrzymujemy
Wartość bezwzględna prędkości względnej ciał przed i po zderzeniu jest taka sama.
Przekształcając dalej otrzymujemy:
Ostatecznie:
Przypadek I
Przypadek szczególny: zderzenie ciał o równej masie
. Otrzymujemy wtedy
Zderzające się ciała "wymieniają się" prędkościami.
Rozwiązanie takie pozostaje słuszne także w przypadku gdy oba ciała poruszają się przed
zderzeniem (
)
Przypadek II
Rozważmy teraz zderzenie w przypadku
"tarczy".
, czyli gdy masa "pocisku" jest większa od masy
Podstawiając do wyrażeń na prędkość końcową otrzymujemy:
Po zderzeniu oba ciała poruszają się w tą samą stronę.
Przypadek graniczny:
Tak jak można przypuszczać, ciężki "pocisk" nie zauważa zderzenia z lekką tarczą i kontynuuje lot z
niezmienioną prędkością
"Tarcza" uzyskuje prędkość
Przypadek III
Możliwe jest też zderzenie z
, czyli gdy masa "pocisku" jest mniejsza od masy "tarczy".
Otrzymujemy wtedy:
Prędkość "pocisku" po zderzeniu zmienia znak. Oznacza to, że "pocisk" odbija się od "tarczy"!
Przypadek graniczny:
. Uzyskujemy
Sprężyste odbicie od "pocisku" od nieruchomej "ściany"
Należy przy tym zwrócić uwagę, że wartość prędkości pocisku nie zmienia się tylko przy odbiciu od
nieruchomej "ściany" (
).
Jeśli bardzo ciężka "tarcza" ("ściana") porusza się w kierunku początkowego ruchu "pocisku" to
zderzając się z nią "pocisk" traci energię.
Natomiast jeśli "tarcza" przybliża się do "pocisku" w wyniku zderzenia energia "pocisku" rośnie
Jest to mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) się gazu przy jego rozprężaniu (sprężaniu) molekuły gazu tracą lub zyskują energię w zderzeniu z poruszającym się tłokiem.
Zderzenia nie centralne
Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne, dla których parametr zderzenia
gdy "pocisk" trafiał w sam środek "tarczy".
W przypadku gdy parametr zderzenia
czyli
zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach.
Zasada zachowania pędu daje nam dwa równania, na zachowanie składowych X i Y pędu
(równoległej i prostopadłej do początkowej prędkości
Dla zderzeń spężystych możemy też skorzystać z zachowania energii kinetycznej:
Mamy trzy równania na cztery niewiadome (
,
,
i
).
Okazuje się, że znajomość
kinematyki zderzenia!
Musimy ustalić
,
oraz
i
(
) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej
albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kąt
Jeśli masy zderzających się sprężyscie ciał są równe
).
zagadnienie bardzo się upraszcza.
Z zasad zachowania dostajemy wtedy:
Zauważamy, że wektory ,
i
rozproszenia zachodzi relacja:
tworzą trójkąt prostokątny. Oznacza to, że między kątami
Stan końcowy zależy od parametru zderzenia
⇒ zderzenie centralne
⇒ brak zderzenia (kule mijają się)
Układ środka masy
Rozważmy izolowany układ wielu ciał. Zakładamy przy tym, że nasz układ odniesienia jest układem
inercjalnym.
Zasada zachowania pędu:
Środek masy
Klasyczna definicja położenia środka masy:
Położenie środka masy jest średnią ważoną z położeń
wagami
.
poszczególnych składników układu liczoną z
Ruch środka masy (przy założeniu, że masy poszczególnych elementów układu nie ulegają zmianie,
=const) można zapisać jako:
Mnożąc przez sumę mas:
Pęd układu możemy związać z ruchem środka masy.
Prędkość środka masy: (klasycznie)
Zawsze możemy tak zmienić układ odniesienia, żeby środek masy spoczywał ⇒ układ środka masy
(CMS)
Układ środka masy
Układ środka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia. Szereg relacji
bardzo się w nim upraszcza.
Zasada zachowania pędu w CMS (zmienne w CMS oznaczamy ):
Jest to jednocześnie ogólna definicja układu środka masy słuszna także w przypadku
relatywistycznym (
)
Zderzenia nie centralne
Porównajmy opis zderzenia nie centralnego w układzie laboratoryjnym i układzie środka masy:
W układzie laboratoryjnym otrzymujemy w ogólnym przypadku skomplikowane wyrażenia na
prędkości końcowe w funkcji np. kąta rozproszenia
(łatwiej jeśli
).
W układzie środka masy rachunki bardzo się upraszczają. Z zasady zachowania pędu (definicja
układu środka masy):
uzyskujemy wprost związki między prędkościami i kątami rozproszenia ciał:
Wstawiając związek między prędkościami
otrzymujemy z zasady zachowania energii
do wyrażenia na energię kinetyczną
Czyli
i
W układzie środka masy (!) niezależnie od mas zderzających się ciał, wartości ich prędkości przed
i po zderzeniu sprężystym są takie same.
Przypadek
Układ środka masy
Układ laboratoryjny
Układ środka masy
Układ laboratoryjny
Przypadek
Rysunki wykonano dla
⇒
⇒
Przypadek
.
w układzie środka masy
w układzie laboratoryjnym
Układ środka masy
Rysunki wykonano dla
⇒
⇒
Układ laboratoryjny
.
w układzie środka masy
w układzie laboratoryjnym
Korzystając z definicji środka masy mamy związek między wartościami prędkości:
Wektory prędkości tworzą trójkąt (patrz rysunek):
Kąt rozproszenia "pocisku" w układzie laboratoryjnym będzie maksymalny, gdy będzie to trójkąt
prostokątny (patrz rysunek obok):
Jeśli
"pocisk" rozprasza się w ograniczonym przedziale kątów
Natomiast dla "tarczy" ograniczenie nie zależy od stosunku mas:
Energia układu
Rozważmy ponownie izolowany układ wielu ciał (opisywany w inercjalnym układzie odniesienia).
Transformacja prędkości z układu środka masy do układu laboratoryjnego:
Energia kinetyczna układu:
Z zasady zachowania pędu:
Ostatecznie więc otrzymujemy:
Energia kinetyczna układu jest sumą energii "wewnętrznej" (
całości.
Moment pędu układu
Transformacja galileusza:
Całkowity moment pędu względem początku układu
) i energii kinetycznej układu jako
Z definicji CMS:
otrzymujemy:
Moment pędu układu jest sumą "wewnętrznego" momentu pędu (
masy) i momentu pędu układu jako całości.
) (liczonego względem środka
Ruch środka masy
Dla układu izolowanego
środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
⇒ dla układu jako całości spełniona jest I Zasada Dynamiki
Pod działaniem sił zewnętrznych:
zmiana pędu układu:
⇒ spełniona II~ Zasada Dynamiki
W oparciu o pojęcie środka masy możemy opisać ruch układu jako całości stosując równania ruchu
punktu materialnego.