I etap 2015

SUPERMATEMATYK KLASA II listopad 2015
część I - zadania jednokrotnego wyboru – 10 pkt
TYLKO JEDNA ODPOWIEDŹ POPRAWNA!
1. Sześcian połowy trzykrotności liczby jest równy trzykrotności połowy sześcianu tej liczby:
a) dla dowolnej liczby rzeczywistej b) tylko dla liczby 1 c) tylko dla liczby 0 d) nie ma takiej liczby.
2. Funkcja liniowa f spełniająca dla wszystkich liczb rzeczywistych x warunki: f(x) = f(x + 1) – 2 i f(1) = 3 ma
postać:
a) f(x) = x + 2
b) f(x) = x + 1
c) f(x) = 2x + 1
d) f(x) = 2x.
3. Dwa zewnętrzne styczne okręgi o równych promieniach długości 2 są styczne do prostej k. Trzeci okrąg
jest styczny do prostej k i zewnętrznie styczny do dwóch pierwszych okręgów. Zatem jego promień ma
długość:
a)
b)
√
c)
√
d) .
√
4. Pewna funkcja liniowa f, określona dla liczb rzeczywistych, spełnia warunki: f(1) = 2007 i f(2007) = 1.
Wtedy:
a) f(1000) < 1004
b) f(10) > 2000
c) f(3) – 2 = f(5) + 2
d) f(x) = x dla pewnej liczby rzeczywistej x.
5. Liczby a i b są liczbami całkowitymi. Wykresy funkcji y = 6x + b i y = ax + 3 przechodzą przez ten sam
punkt na osi odciętych. Ile różnych wartości może przyjmować suma a + b? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8.
6. Kwadrat ABCD o boku 10 zgięto wzdłuż przekątnej AC tak, że płaszczyzny trójkątów ABC i ACD są
prostopadłe. Odległość wierzchołków B i D jest teraz równa:
a) 5
b) 5√2
c) 10
d) 10√2.
7. Dla ilu liczb całkowitych x istnieje taka liczba całkowita y, że zachodzi równość x2 = y2 + 15?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8.
8. Czarnoksiężnik podarował zaczarowaną szkatułkę i podał dwa zaklęcia. Szkatułka ta na jedno z tych
zaklęć powiększa swoją zawartość o jednego talara, a na drugie podwaja liczbę talarów w niej znajdujących
się. Jaką najmniejszą liczbę zaklęć musiałbyś wypowiedzieć, aby w szkatułce, która była pusta, znalazło się
dokładnie 40 talarów? Uwaga! Nie wyjmujemy talarów ze szkatułki. a) 6
b) 7
c) 8
d) 14.
9. Jeżeli a i b są liczbami spełniającymi równanie (a – b)2 + (a + b – 4)2 = 0, to a ∙ b wynosi:
a) 2
b) 4
c) 0
d) nie można tego obliczyć.
10. Ile jest różnych prostokątów o bokach całkowitych, których pole i obwód wyraża się tą samą liczbą?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5.
część II - zadania wielokrotnego wyboru – 10 pkt (klasa II)
WSZYSTKIE ODPOWIEDZI MOGĄ BYĆ POPRAWNE!
1. Niech f będzie taką funkcją, że f(1) = 10 oraz f(x) = x2 ∙(f(x – 1) – 1) dla każdej całkowitej liczby x > 1.
Wówczas dla tej funkcji:
a) f(2) = 35
b) f(3) = 315
c) f(4) > 2006
d) f(10) < 100 ∙ f(9).
2. Dla liczb rzeczywistych x, y, z równość (x + y) ∙ (x + z) = x + (y ∙ z) jest spełniona:
a) gdy
=
=
=
b) gdy x = 0
c) gdy x + y + z = 1
d) zawsze.
3. Liczby a i b są takie, że a + b = 5 i ab = 3. Wtedy:
b) + =
a) a2 + b2 < 20
d) + < 6.
c) (a + 1)2 + (b + 1)2 = 31
4. W trójkąt o kątach 20o, 60o, 100o wpisano okrąg, a następnie połączono odcinkami punkty styczności,
otrzymując trójkąt T1. Wtedy:
a) trójkąt T1 jest prostokątny
b) trójkąt T1 jest ostrokątny
c) trójkąt T1 jest rozwartokątny
d) w trójkącie T1 jeden z kątów jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
5. Liczby a, b, c, d, e są dodatnie. Wiadomo, że ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = 5.Wtedy:
a) =
b)
∙
=
c) + <
d) wartość ilorazu nie zależy od a.
6. Dana jest dodatnia liczba p oraz takie liczby rzeczywiste x i y, że: + = p + 4orazx − y =
Wtedy:
a) xy = 1
b) x2 + y2 = p + 2
c) x4 + y4 = p2 + 4p + 2
d) wartość wyrażeń podpunktów a), b) i c) zależy od p.
p.
7. W kwadracie ABCD punkt E jest środkiem boku CD. Punkt P jest takim punktem wewnątrz tego
kwadratu, że AP = BP = EP = 10. Pole tego kwadratu jest:
a) liczbą wymierną
b) liczbą całkowitą
c) mniejsze niż 250
d) większe niż 250.
8. Istnieją takie trzy kolejne dodatnie liczby całkowite a, b i c, że liczba
a) parzysta
b) sześcianem liczby parzystej
%& + (a + b + c) jest:
c) kwadratem liczby całkowitej
d) podzielna przez 11.
9. Okrąg o długości 12π na pewno nie mieści się w:
a) kole o średnicy 13
b) trójkącie równobocznym o obwodzie 13
c) kwadracie o polu 16
d) prostokącie o polu 144.
10. Urocza księżniczka została uwięziona na szczycie baszty. Dzielny rycerz pragnący ją uwolnić, nie może
podejść bliżej niż na skraj lasu oddalonego od baszty o 500 stóp. Z tego miejsca widzi basztę pod kątem
45o. Jaka odległość w stopach, dzieli go od ukochanej?
a) 500
b) 500√2
c)
+++
√
d) mniejsza niż 750.
część III – zadania otwarte – 20 pkt ( klasa II )
KAŻDE ZADANIE ROZWIĄŻ NA ODDZIELNEJ KARTCE!
Zad. 1. Znany biznesmen jest właścicielem dwóch fabryk. Fabryka F1 przynosi 40% dochodu, a F2 - 60%.
Po roku jego dochód wzrósł o 15%, przy wzroście dochodu z fabryki F1 o 20%. Jak zmienił się dochód
z fabryki F2?
Zad. 2. Jacek pracujący jako gazeciarz potrzebuje 45 minut na dostarczenie gazet, a jeśli pomaga mu
siostra 20 minut. Ile czasu potrzebowałaby siostra na wykonanie tej pracy samodzielnie?
Zad. 3. Długości boków trójkąta są równe 17, 25, 28. Oblicz pole tego trójkąta oraz pole koła wpisanego
w ten trójkąt.
Zad. 4. Wykaż, że:
a) suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 przy podzieleniu przez 18
daje resztę 5,
b) jeżeli w trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego ma długość r, a promień okręgu opisanego R,
to pole tego trójkąta jest równe P = 2Rr + r2.
Powodzenia!!!