MATEMATYKA+

MATEMATYKA+
MXMVD15P0T01
d^dz<dzEz
DĂŬƐLJŵĂůŶĂŝůŽƑđƉƵŶŬƚſǁ͗ϱϬ
WƌſŐnjĂůŝĐnjĞŶŝĂ͗ϯϯй
ϭWŽĚƐƚĂǁŽǁĞŝŶĨŽƌŵĂĐũĞĚŽƚLJĐnjČĐĞnjĂĚĂŷ
Ϯ͘ϭtƐŬĂnjſǁŬŝĚŽnjĂĚĂŷŽƚǁĂƌƚLJĐŚ
• dĞƐƚĚLJĚĂŬƚLJĐnjŶLJnjĂǁŝĞƌĂϮϯnjĂĚĂŷ͘
• tLJŶŝŬŝǁƉŝƐƵũĐnjLJƚĞůŶŝĞĚŽǁLJnjŶĂĐnjŽŶLJĐŚ
ďŝĂųLJĐŚƉſů͘
• njĂƐƉƌĂĐLJŽnjŶĂĐnjŽŶŽǁŬĂƌƚĂĐŚ
ŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ͘
• tĐnjĂƐŝĞƉƌĂĐLJŵŽǏŶĂŬŽƌnjLJƐƚĂđƚLJůŬŽnj͗
ƉƌnjLJďŽƌſǁĚŽƉŝƐĂŶŝĂŝƌLJƐŽǁĂŶŝĂ͕ͣdĂďůŝĐ
ŵĂƚĞŵĂƚĞĐnjŶŽ͕ĨŝnjLJĐnjŶŽ͕ĐŚĞŵŝĐnjŶLJĐŚ͞
ŝƉƌŽƐƚĞŐŽŬĂůŬƵůĂƚŽƌĂďĞnjŬĂƌƚLJŐƌĂĨŝĐnjŶĞũ͕
ŶŝĞƉŽƐŝĂĚĂũČĐĞŐŽĨƵŶŬĐũŝƌŽnjǁŝČnjLJǁĂŶŝĂ
ƌſǁŶĂŷŝƉƌnjĞŬƐnjƚĂųĐĂŶŝĂǁLJƌĂǏĞŷ
ĂůŐĞďƌĂŝĐnjŶLJĐŚ͘
• :ĞǏĞůŝǁLJŵĂŐĂŶĞũĞƐƚĐĂųĞƌŽnjǁŝČnjĂŶŝĞ͕
ƉƌnjĞĚƐƚĂǁ͕ŽƉƌſĐnjǁLJŶŝŬƵ͕ĐĂųLJƉƌnjĞďŝĞŐ
ƌŽnjǁŝČnjĂŶŝĂ͘:ĞǏĞůŝƉŽĚĂƐnjƚLJůŬŽǁLJŶŝŬ͕ƚŽ
ŶŝĞŽƚƌnjLJŵĂƐnjnjĂƚŽnjĂĚĂŶŝĞǏĂĚŶLJĐŚ
ƉƵŶŬƚſǁ͘
• KďŽŬŬĂǏĚĞŐŽnjĂĚĂŶŝĂƵŵŝĞƐnjĐnjŽŶŽ
ŵĂŬƐ͘ŝůŽƑđƉƵŶŬƚſǁ͘
• ĂƉŝƐLJŽďŽŬǁLJnjŶĂĐnjŽŶLJĐŚďŝĂųLJĐŚƉſůŶŝĞ
njŽƐƚĂŶČŽĐĞŶŝŽŶĞ͘
• KĚƉŽǁŝĞĚnjŝǁƉŝƐƵũĚŽŬĂƌƚLJŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ͘
• ųħĚŶLJnjĂƉŝƐƉƌnjĞŬƌĞƑůŝnjĂƉŝƐnjŶŽǁĞ
ƌŽnjǁŝČnjĂŶŝĞ͘
1
• EŽƚŽǁĂđŵŽǏŶĂǁĂƌŬƵƐnjƵnjĂĚĂŷ͕ŶŽƚĂƚŬŝ
ŶŝĞnjŽƐƚĂŶČŽĐĞŶŝŽŶĞ͘
Ϯ͘ϮtƐŬĂnjſǁŬŝĚŽnjĂĚĂŷnjĂŵŬŶŝħƚLJĐŚ
• EŝĞũĞĚŶŽnjŶĂĐnjŶLJůƵďŶŝĞĐnjLJƚĞůŶLJnjĂƉŝƐ
njŽƐƚĂŶŝĞƵnjŶĂŶLJnjĂďųħĚŶLJ͘
• WŽƉƌĂǁŶČŽĚƉŽǁŝĞĚǍŽnjŶĂĐnjǁLJƌĂǍŶŝĞ
ŬƌnjLJǏLJŬŝĞŵǁďŝĂųLJŵƉŽůƵŶĂŬĂƌĐŝĞ
ŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ͕ǁŐƌLJƐƵŶŬƵʹĚŽŬųĂĚŶŝĞ͘
• WŝĞƌǁƐnjČĐnjħƑđƚĞƐƚƵĚLJĚĂŬƚLJĐnjŶĞŐŽ
;njĂĚĂŶŝĂϭʹϭϮͿƚǁŽƌnjČnjĂĚĂŶŝĂŽƚǁĂƌƚĞ͘
• tĚƌƵŐŝĞũĐnjħƑĐŝƚĞƐƚƵĚLJĚĂŬƚLJĐnjŶĞŐŽ
;njĂĚĂŶŝĂϭϯʹϮϯͿnjĂǁĂƌƚĞƐČnjĂĚĂŶŝĂ
njĂŵŬŶŝħƚĞnjǁLJďŽƌĞŵŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ͘tĞ
ǁƐnjLJƐƚŬŝĐŚnjĂĚĂŶŝĂĐŚͬůƵďŝĐŚĐnjħƑĐŝĂĐŚͬ
ƚLJůŬŽũĞĚŶĂŽĚƉŽǁŝĞĚǍũĞƐƚƉŽƉƌĂǁŶĂ͘
17
• :ĞǏĞůŝĐŚĐĞƐnjnjŵŝĞŶŝđŽĚƉŽǁŝĞĚǍ͕
ƐƚĂƌĂŶŶŝĞnjĂŬŽůŽƌƵũŽnjŶĂĐnjŽŶĞƉŽůĞ͕njĂƑ
ǁLJďƌĂŶČŽĚƉŽǁŝĞĚǍŽnjŶĂĐnjŬƌnjLJǏLJŬŝĞŵ
ǁŶŽǁLJŵƉŽůƵ͘
• ĂŶŝĞǁųĂƑĐŝǁČŽĚƉŽǁŝĞĚǍůƵďďƌĂŬ
ŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝŶŝĞƉƌnjLJĚnjŝĞůĂƐŝħƉƵŶŬƚſǁ
ƵũĞŵŶLJĐŚ͘
17
ϮĂƐĂĚLJƉŽƉƌĂǁŶĞŐŽnjĂƉŝƐƵŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ
• WŝƐnjĚųƵŐŽƉŝƐĞŵnjŶŝĞďŝĞƐŬŝŵůƵďĐnjĂƌŶLJŵ
ƚƵƐnjĞŵ͘WŝƐnjǁLJƌĂǍŶŝĞ͕ĐnjLJƚĞůŶŝĞ͘
• :ĂŬŝŬŽůǁŝĞŬŝŶŶLJƐƉŽƐſďǁƉŝƐLJǁĂŶŝĂ
ŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝŝǁŶŽƐnjĞŶŝĂƉŽƉƌĂǁĞŬƵnjŶĂŶLJ
njŽƐƚĂŶŝĞnjĂŽĚƉŽǁŝĞĚǍďųħĚŶČ͘
• KŝůĞďħĚnjŝĞƐnjƌLJƐŽǁĂđnjǁLJŬųLJŵŽųſǁŬŝĞŵ͕
ƉŽŐƌƵďǁƐnjLJƐƚŬŽĚųƵŐŽƉŝƐĞŵ͘
• KŝůĞŽnjŶĂĐnjLJƐnjǁŝħĐĞũƉſů͕ŽĚƉŽǁŝĞĚǍ
ƵnjŶĂŶĂnjŽƐƚĂŶŝĞnjĂďųħĚŶČ͘
• KĐĞŶŝŽŶĞnjŽƐƚĂŶČƚLJůŬŽŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ
ƵŵŝĞƐnjĐnjŽŶĞǁŬĂƌĐŝĞŽĚƉŽǁŝĞĚnjŝ͘
E/Kdt/Z:Z<h^F͕WK<:Ez:%K^KzEKZh::͊
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely
či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CZVV bude ve smyslu obecně
závazných právních norem považováno za porušení autorských práv.
1
1 punkt
1
Rozłóż na iloczyn:
ሺͻ‫ ݔ‬െ ͵ሻ ൅ ሺ͵‫ ݔ‬െ ͳሻଶ ൌ
1 punkt
Dla ܽ ‫̳܀ א‬ሼͳሽ uprość:
2
ܽଶଶଶ െ ܽଶ଴
ൌ
ܽଵ଴ଵ െ ͳ
3
maks. 2 punkty
Dane jest równanie ‫ ݔ‬൅ ʹ ൌ ‫ ݌‬൅ ͸‫ ݔ‬z niewiadomą ‫ ܀ א ݔ‬i
parametrem ‫܀ א ݌‬.
ଶ
Określ wszystkie wartości parametru ‫݌‬, dla których równanie ma
przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
2
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 4
Alek kupił wycieczkę w cenie promocyjnej za 9000 Kč i zaoszczędził dzięki temu jedną
czwartą początkowej ceny wycieczki. Zniżka dotyczyła tylko transportu, którego cena
spadła na 40 % początkowej ceny. Pozostałe koszty wycieczki nie uległy zmianie.
(CZVV)
maks. 2 punkty
4
Oblicz początkową cenę transportu (d).
W kartach odpowiedzi przedstaw cały przebieg rozwiązania.
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 5
W układzie współrzędnych Oxy znajdują się oba ogniska E, F oraz punkt X elipsy.
y
X
1
E
O
1
x
F
(CZVV)
maks. 2 punkty
5
Określ długości wielkiej i małej półosi elipsy.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
3
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 6
Punkt Y leży wewnątrz odcinka CD.
ͷ
Pole trójkąta ABY wynosi pola trapezu ABCD (AB || CD).
͸
D
Y
C
A
15 cm
B
(CZVV)
maks. 2 punkty
6
Oblicz długość boku CD trapezu ABCD.
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 7
Prosta p leży na płaszczyźnie EFG górnej ściany sześcianu ABCDEFGH. Płaszczyzna ߪ
jest wyznaczona przez prostą p oraz wierzchołek D.
H
E
G
F
D
A
p
C
B
(CZVV)
maks. 2 punkty
7
Skonstruuj przekrój sześcianu ABCDEFGH płaszczyzną ߪ.
W kartach odpowiedzi popraw wszystkie linie długopisem.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
4
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 8
Na płaszczyźnie znajduje się prosta p oraz dwa różne punkty A i O.
p
O
A
(CZVV)
8
maks. 3 punkty
Skonstruuj trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB, którego oś
symetrii przechodzi przez punkt O a ramię BC leży na prostej p.
8.1
Przeprowadź analizę lub dokonaj opisu konstrukcji trójkąta ABC.
8.2
Wykonaj konstrukcję trójkąta ABC.
Znajdź wszystkie rozwiązania.
W kartach odpowiedzi popraw wszystkie linie i krzywe długopisem.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
5
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 9
Liczba pięciocyfrowa zawiera cztery identyczne cyfry różne od zera i jedną większą
cyfrę. Warunki te spełniają np. liczby 31 111, 22 922 itp.
(CZVV)
maks. 2 punkty
9
9.1
Podaj, ile liczb spełniających warunki zadania zawiera w sobie cyfrę 1.
9.2
Określ ilość wszystkich liczb spełniających warunki zadania.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
6
TEKST ŹRÓDŁOWY I WYKRESY DO ZADANIA 10
W kartezjańskim układzie współrzędnych ܱ‫ ݕݔ‬skonstruowano wykres funkcji
݂ǣ ‫ ݕ‬ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻଶ dla ‫܀ א ݔ‬.
Poprzez przesunięcie wykresu funkcji ݂ lub poprzez przesunięcie i połączenie jego
części otrzymano wykresy funkcji ݂ଵ i ݂ଶ .
y
y
݂
݂ͳ 1
O
1
y
O
x
1
1
x
݂ଶ 1
O
1
x
(CZVV)
maks. 3 punkty
10
10.1
Napisz wzór funkcji ݂ଵ .
10.2
Napisz wzór funkcji ݂ଶ .
10.3
Skonstruuj wykres funkcji ݂ଷ ǣ ‫ ݕ‬ൌ ȁሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻଶ െ ͳȁ, ‫܀ א ݔ‬.
Dokładnie zaznacz punkty przecięcia z osiami i ekstrema lokalne.
y
1
O
1
x
W karcie odpowiedzi popraw wykres długopisem.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
7
maks. 2 punkty
11
Dla ݊ ‫ ۼ א‬rozwiąż równanie:
ͳ
ͳ ଶ
ͳ ௡ ͶͲͺͲ
൅ ൬ ൰ ൅ ‫ ڮ‬൅ ൬ ൰ ൌ ௡ାସ ʹ
ʹ
ʹ
ʹ
W kartach odpowiedzi przedstaw cały przebieg rozwiązania.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
8
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 12
W Wąchocku wybrukowano drogę prowadzącą od ratusza okrągłymi płytami
brukowymi.
pierwsza
...
Pierwszego dnia ułożono jedną płytę o średnicy 51 cm, drugiego dnia dwie płyty
o średnicy 52 cm, kolejnego dnia trzy płyty o średnicy 53 cm itd.
Aż do końca kontynuowano pracę zgodnie z tą samą zasadą. Każdego dnia ułożono
o jedną płytę więcej, niż dnia poprzedniego i równocześnie średnica płyt zwiększyła się
o 1 cm.
Ostatniego dnia ułożono największą liczbę płyt o średnicy 130 cm.
(CZVV)
maks. 3 punkty
12
12.1
Oblicz, ile płyt na drodze miało średnicę 130 cm.
12.2
Oblicz, iloma płytami wybrukowano w Wąchocku całą drogę.
12.3
Oblicz średnicę płyty, która została ułożona na drodze jako tysięczna z kolei.
We wszystkich częściach zadania 12 przedstaw cały przebieg rozwiązania w kartach
odpowiedzi.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
9
13
maks. 3 punkty
Równania (13.1−
−13.3) rozwiąż w zbiorze ‫ ܀‬i do każdego równania
przyporządkuj prawdziwe twierdzenie z propozycji
przedstawionych w punktach A–E.
13.1
Ž‘‰ሺ‫ ݔ‬െ ʹሻ ൌ Ž‘‰ሺʹ െ ‫ݔ‬ሻ
______
13.2
Ž‘‰ሺͳ െ ‫ݔ‬ሻ ൅ Ž‘‰ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ Ž‘‰ሺͶ െ ‫ݔ‬ሻ
______
13.3
Ž‘‰ሺ‫ ݔ‬൅ ʹሻ ൌ Ͳ
______
A)
Równanie nie ma rozwiązania.
B)
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, pierwiastek równa się െʹ.
C)
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, pierwiastek równa się ʹ.
D)
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, pierwiastek nie równa się ani െʹ,
ani ʹ.
E)
Równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
10
maks. 3 punkty
14
Przyporządkuj do każdej nierówności (14.1−
−14.3) jej rozwiązanie
(A−
−E) w zbiorze ‫܀‬.
14.1
ʹ
൐ Ͳ
ͳെ‫ݔ‬
______
14.2
ʹ‫ݔ‬
൐ Ͳ
ͳെ‫ݔ‬
______
14.3
ʹ‫ݔ‬
൐ െͳ
ͳെ‫ݔ‬
______
A)
ሺͲǢ ͳሻ
B)
ሺെͳǢ ͳሻ
C)
ሺെλǢ ͳሻ
D)
ሺͲǢ λሻ
E)
inne rozwiązanie
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 15
Dla ‫ ܀ א ݔ‬dane jest:
‫ ܣ‬ൌ ሺʹ‫ ݔ‬൅ ͳሻଶ
‫ ܤ‬ൌ ሺʹ‫ݔ‬ሻଶ
‫ ܥ‬ൌ ሺʹ‫ ݔ‬െ ͳሻଶ
(CZVV)
2 punkty
15
Które z następujących wyrażeń jest odpowiednikiem wyrażenia
ሺ‫ ܣ‬െ ‫ܤ‬ሻ ή ሺ‫ ܤ‬െ ‫ܥ‬ሻ?
A)
Ͷ‫ ܤ‬െ ͳ
B)
ͺ‫ ܤ‬െ ͳ
C)
‫ ܤ‬ଶ െ ͳ
D)
ͳ
E)
żadne z podanych
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
11
TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 16
Dane są dwa równania:
–‰ ͵‫ ݔ‬ൌ Ͳ
I.
II.
–‰ ʹ‫ ݔ‬ൌ ξ͵
Zbiór wszystkich rozwiązań pierwszego równania w przedziale ‫Ͳۃ‬Ǣ ʹɎ‫ ۄ‬nazwiemy ୍ ,
zbiór wszystkich rozwiązań drugiego równania w przedziale ‫Ͳۃ‬Ǣ ʹɎ‫ ۄ‬nazwiemy ୍୍ .
(CZVV)
2 punkty
16
Ile elementów zawiera iloczyn ୍ ‫? ୍୍ ځ‬
(tzn. liczba wspólnych pierwiastków obu równań w przedziale ‫Ͳۃ‬Ǣ ʹɎ‫ۄ‬.)
A)
0
B)
1
C)
2
D)
3
E)
inna liczba
2 punkty
17
Istnieje takie ‫ ܀ א ݔ‬, dla którego liczby ‫ ݔ‬െ ξ͸; ξ‫ ݔ ;ݔ‬൅ ξ͸ tworzą trzy
kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
Ile wynosi iloraz tego ciągu?
A)
ξ͸
B)
ξ͵
C)
ξ͸ െ ξ͵
D)
ξ͸ െ ξʹ
E)
ξ͵ ൅ ξʹ
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
12
2 punkty
Podaj wielkość dowolnego wektora ‫ݒ‬Ԧ ൌ ሺ͵Ǣ ‫ݕ‬Ǣ ‫ݕ‬ሻ, który jest
prostopadły do wektora ‫ݓ‬
ሬሬԦ ൌ ሺെ͵Ǣ െ‫ݕ‬Ǣ ʹ‫ݕ‬ሻ?
18
A)
ȁ‫ݒ‬Ԧȁ ൌ ͵ξ͵
B)
ȁ‫ݒ‬Ԧȁ ൌ ͵ξ͸
C)
ȁ‫ݒ‬Ԧȁ ൌ ͸ξ͵
D)
ȁ‫ݒ‬Ԧȁ ൌ ͻξ͸
E)
nie da się jednoznacznie określić
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 19
W sześcianie ABCDEFGH punkt L jest środkiem krawędzi BC a punkt K leży w jednej
czwartej krawędzi AB, bliżej punktu A (K ‫ א‬AB ‫ ר‬ȁKBȁ ൌ ͵ȁAKȁ).
Objętość bryły KBLH wynosi 2 cm3.
H
G
F
E
D
C
L
A
B
K
(CZVV)
2 punkty
19
Ile wynosi objętość sześcianu ABCDEFGH?
A)
8 cm3
B)
12 cm3
C)
24 cm3
D)
32 cm3
E)
inna objętość
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
13
TEKST ŹRÓDŁOWY I RYSUNEK DO ZADANIA 20
Dwie części dachu domu składają się z prostokątów, które łączą się na szczycie pod
kątem ͳͲͷι. Kąt nachylenia dachu jest inny na każdej stronie (na lewej stronie wynosi ͵Ͳι).
105°
30°
(CZVV)
2 punkty
20
W jakim stosunku pozostają do siebie wielkości pól powierzchni
obu części dachu?
A)
͵ǣ ʹ
B)
ʹǣ ξ͵
C)
ξ͵ǣ ξʹ
D)
ξ͵ǣ ͳ
E)
ξʹǣ ͳ
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
14
2 punkty
21
Ile wynosi wyraz wolny w rozwinięciu dwumianowym wyrażenia
ቆ
ͳ
ξ‫ݔ‬
ଵହ
ଶ
൅‫ ݔ‬ቇ ?
Uwaga: wyraz wolny nie zawiera ‫ݔ‬.
A)
ͳͷǨ
ͳͲǨ ή ͷǨ
B)
ͳͷǨ
ͳʹǨ ή ͵Ǩ
C)
ͳͷǨ
ͺǨ ή ͹Ǩ
D)
ͳͷǨ
͸Ǩ ή ͻǨ
E)
żaden z wymienionych
2 punkty
22
W urządzeniu losującym znajduje się 5 liczb różnych od zera oraz 3 zera.
Wylosowane liczby nie wracają do urządzenia losującego.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród pięciu wylosowanych
liczb będą dokładnie dwa zera?
A)
ͳ
Ͷ
B)
ͷ
ʹͺ
C)
ͳͷ
ʹͺ
D)
͵
ͷ͸
E)
ͳ͵
ͷ͸
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
15
23
maks. 3 punkty
Dla każdej z następujących liczb ‫ א ݖ‬۱ (23.1–23.3) zadecyduj,
czy wyrażenie ȁ‫ ݖ‬൅ ͵‹ȁ ൑ Ͷ jest prawdziwe (T), czy nieprawdziwe (N).
T
23.1
‫ ݖ‬ൌ െ͹‹
23.2
‫ ݖ‬ൌ െͶ
23.3
‫ ݖ‬ൌ ͵ െ ͷ‹
N
SPRAWDŹ, CZY WPISAŁEŚ/AŚ WSZYSTKIE ODPOWIEDZI DO KARTY ODPOWIEDZI.
© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2015
16