CAŁKI, POCHODNE

CAŁKI, POCHODNE
1. CAŁKA
Całkowanie możemy określić jako
sumowanie nieskończenie wielu nieskończenie
małych elementów. Przypuśćmy, że mamy
funkcję y = f(x) i chcemy obliczyć pole P
zawarte pomiędzy krzywą odpowiadającą tej
funkcji i osią x, w zakresie od x1 do x2.
Z pewnym przybliżeniem możemy to zrobić w
taki w sposób: dzielimy zakres <x1, x2> na
odcinki o jakiejś szerokości ∆x. Po wyznaczeniu
wartości funkcji f(x) w tych punktach podziału,
obliczamy pola prostokątów (pokazanych na
rysunku) i ich sumę traktujemy jako
przybliżoną, poszukiwaną przez nas wielkość:
P ≈ f ( x1 ) ⋅ ∆x + f ( x1 + ∆x ) ⋅ ∆x + f ( x1 + 2∆x ) ⋅ ∆x + f ( x1 + 3∆x ) ⋅ ∆x + ...
P ≈ [ f ( x1 ) + f ( x1 + ∆x ) + f ( x1 + 2∆x ) + f ( x1 + 3∆x ) + ...] ⋅ ∆x
Oznaczając przez n ilość prostokątów, możemy to zapisać:
n −1
P ≈ ∑ ( f ( x1 + k∆x )) ⋅ ∆x
k =1
Zmniejszając wielkość odcinków ∆x (a tym samym zwiększając ich ilość) będziemy
otrzymywać coraz dokładniejsze wartości P. Granicznym wypadkiem, gdy ∆x → 0
(natomiast n → ∞ ), jest dokładna, szukana przez nas wartość P. Taki "nieskończenie mały”
przyrost zmiennej x oznaczamy jako różniczkę dx (zamiast ∆x), a znak sumy Σ zastępujemy
znakiem całki ∫. Zapisujemy więc:
P=
x2
∫ f (x ) ⋅ ∆x
1
x1
2. POCHODNA
Jak już wspomnieliśmy, "zerowy" przyrost
zmiennej x oznaczamy dx i nazywamy różniczką
tej zmiennej. Odpowiadającą jej zmianę drugiej
zmiennej
(wartości
funkcji)
oznaczamy
odpowiednio dy. Stosunek tych różniczek
nazywamy pochodną funkcji i do jej oznaczenia
używamy apostrofu:
f ' (x ) =
dy df ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
= lim
dx
dx
∆x
∆x → 0
Patrząc na rysunek obok, widać że pochodna funkcji charakteryzuje jej pochylenie, a
ściśle mówiąc równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie
w stosunku do osi x. Jeśli funkcja w jakimś przedziale jest rosnąca, to jej pochodna, dla
wartości x zawartych w tym przedziale, będzie większa od zera. Pochodna ujemna oznacza,
że funkcja jest malejąca w danym obszarze. Podobnie będzie z tangensem kąta nachylenia
stycznej: dla kąta mniejszego od 90° będzie on dodatni, a dla kątów większych od 90° ujemny. Te własności pochodnej są wykorzystywane np. przy szukaniu maksimum czy
minimum funkcji.
Aby obliczyć pochodną funkcji, nie musimy szukać każdorazowo granicy ww.
wyrażenia dla ∆x→0. Dla różnego typu funkcji istnieją odpowiednie wzory (PATRZ:
Pochodne funkcji - wzory).
Po obliczeniu pierwszej pochodnej możemy obliczyć znowu pochodną otrzymanej
funkcji itd. (pod warunkiem, że otrzymywana funkcja w dalszym ciągu nadaje się do tego,
tzn. jest różniczkowalna). Te pochodne wyższych rzędów oznaczamy odpowiednią liczbą
apostrofów, a z użyciem różniczek zapisujemy je tak:
f ' (x ) =
f ' ' (x ) =
dy
dx
d2y
dx 2
f ' ' ' (x ) =
d3y
dx 3
itd.
Jeżeli mamy funkcję wielu zmiennych z = f(x,y) to obliczamy pochodną cząstkową
względem jednej ze zmiennych. Drugą ze zmiennych (lub wszystkie pozostałe, jeśli ich jest
więcej) traktujemy wtedy jako stałą, a wyniki zapisujemy tak:
Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu:
f 'X =
∂f ( x)
∂x
f 'Y =
∂f ( y )
∂y
Pochodna cząstkowa drugiego rzędu rzędu:
f ' XX =
∂f 2 ( x)
∂x 2
f 'YY =
∂f 2 ( y )
∂y 2
f ' XY =
∂f 2 ( y )
∂x∂y
3. CAŁKA CIĄG DALSZY
Jeśli umiemy już obliczać pochodne, to możemy powrócić do całek.
Całkowanie to po prostu działanie odwrotne w stosunku do różniczkowania. Mamy pochodną
funkcji i chcemy znaleźć właśnie tę funkcję:
f ' ( x) =
df ( x)
dx
df ( x) = f ' ( x) ⋅ dx
f ( x) = ∫ f ' ( x) ⋅ dx
Niestety odkrycie jakiej funkcji pochodną jest nasze wyrażenie podcałkowe, nie
zawsze jest proste. W ramach zadań wykonywanych podczas ćwiczeń z fizyki wystarczy
jednak znajomość podanych wzorów (PATRZ: Pochodne funkcji - wzory).
Ponadto pamiętać należy, że pochodna stałej jest równa zeru i dlatego po wyznaczeniu
całki możemy dodać do niej dowolną stałą c. Całkowanie, w przeciwieństwie do
różniczkowania, nie jest działaniem jednoznacznym.
Podobnie, jak przy obliczaniu pochodnych, całka sumy funkcji równa jest sumie
całek. Tak samo, całka iloczynu stałej przez funkcję równa jest iloczynowi tej stałej i całki
funkcji (stałą możemy wyłączyć przed znak całki).
f ( x) = ∫ ( g ' ( x) + h' ( x) ) ⋅ dx = ∫ g ' ( x) ⋅ dx + ∫ h' ( x) ⋅ dx
f ( x) = ∫ c ⋅ f ( x) ⋅ dx = c ⋅ ∫ f ( x) ⋅ dx ⋅ dx
Stosowane najczęściej metody rozwiązywania całek to całkowanie przez części i całkowanie
przez podstawienie. Przy całkowaniu przez części korzysta się ze wzoru:
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du (tę zależność uzyskuje się ze wzoru na pochodną iloczynu).
4. CAŁKA OZNACZONA
Wróćmy teraz do tego, od czego zaczęliśmy, czyli do wyznaczenia, przy pomocy
całki, pola ograniczonego przez jakąś krzywą. Obliczamy pole zawarte między sinusoidą
y = sinx i osią x, w zakresie od 0 do π.
π
P = ∫ sin( x) ⋅ dx = (− cos( x) ) 0 = (− cos(π )) − (− cos(0)) = 1 + 1 = 2
π
0
Szukane pole równe jest 2. Jak widzimy, wartość całki oznaczonej obliczamy odejmując jej
wartość dla dolnej granicy całkowania od jej wartości dla górnej granicy. Przy rozwiązywaniu
całek nieoznaczonych mogliśmy w wyniku dodać dowolną stałą c. Przy całkach oznaczonych
dodanie tej stałej nic by nie zmieniło, gdyż i tak by znikła przy odejmowaniu wartości dla
obydwu granic całkowania.