a, b

CAŁKA OZNACZONA
Niech dana będzie funkcja ciągła f na przedziale [a, b]
(ciagła =⇒ całkowalna).
Definicja. Całką oznaczoną funkcji f na [a, b] (ozna∫b
czamy a f (x)dx) nazywamy liczbę F (b) − F (a), tzn.
∫ b
f (x)dx = F (x)|ba= F (b) − F (a),
a
gdzie F jest dowolną pierwotną funkcją dla f (powyższy wzór nazywa się wzorem Newtona-Leibniza).
Geometryczna interpretacja całki oznaczonej.
Całka oznaczona jest równa polu pomiędzy wykresem
funkcji y = f (x) a osią Ox w granicach przedziału
[a, b], przy czym tam, gdzie funkcja jest wyżej tej osi,
polu przypisujemy znak +, a tam, gdzie niżej, znak –.
Z definicji całki oznaczonej,
∫a
a f (x)dx = 0;
∫a
∫b
b f (x)dx = − a f (x)dx;
∫b
∫c
∫b
a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx, gdzie c ∈ (a, b).
Ponadto z reguł całkowania wynika, że
∫b
∫b
1. a cf (x)dx = c a f (x)dx,
1
2.
3.
∫b
∫b
∫b
a (f (x) ± g(x))dx = a f (x)dx ± a g(x)dx,
∫b ′
∫b
b
′
a f (x)g(x)dx = f (x)g(x)|a − a f∫(x)g (x)dx
b
= f (b)g(b) − f (a)g(a) − a f (x)g ′(x)dx,
4. jeśli x = ϕ(t), to
∫b
a
f (x)dx =
∫ ϕ−1(b)
ϕ−1 (a)
f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.
∫1
Przykłady. Obliczyć: 0 (3x5 + 2x4 + 5x2 − x + 6)dx,
∫2
∫π
∫π
∫ 2 x+1
2
1 x dx, 1 ln xdx, 0 x sin(x)dx, 0 cos(x + 1)dx,
∫1 x
x
(e
+
5)e
dx
0
Zastosowanie całki do obliczania pól obszarów.
Przykład. Obliczyć pole figury, ograniczonej osią Ox,
prostymi x = 0, x = 3π/2 oraz wykresem funkcji cosinus.
Przykład. Obliczyć {
pole figury, ograniczonej osią Ox
x, jeśli x 6 1
oraz funkcją f (x) =
2 − x, jeśli x > 1.
Przykład. Obliczyć pole figury, ograniczonej prostymi
x = 1, y = x, y = 2x.
Przykład. Obliczyć pole
wy√ obszaru ograniczonego
kresami funkcji f (x) = x i g(x) = x2.
Całka niewłaściwa. Niech ciągła funkcja f będzie
określona na [a, +∞) i całkowalna w dowolnym prze2
∫b
dziale [a, b] (czyli dla każdego b > a istnieje a f (x)dx).
∫ +∞
Całką niewłaściwą a f (x)dx nazywamy granicę całki
∫b
a f (x)dx, gdy b → +∞, tzn.
∫ +∞
∫ b
f (x)dx = lim
f (x)dx.
b→+∞
a
a
(Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f
na (−∞, b] i na (−∞, ∞)).
Jeśli granica istnieje, to mówimy, że całka istnieje (jest
zbieżna), w przeciwnym przypadku - nie istnieje (jest
rozbieżna).
Podsumowując: jeśli całka niewłaściwa istnieje, to można
ją obliczyć ze wzorów:
∫ +∞
f (x)dx = lim F (x) − F (a),
x→+∞
a
∫ b
f (x)dx = F (b) − lim F (x),
x→−∞
−∞
∫ +∞
f (x)dx = lim F (x) − lim F (x).
−∞
Przykłady.
∫ +∞ −|x|
dx
−∞ e
x→+∞
∫ +∞
0
−x
e dx,
∫0
x→−∞
x
−∞ 2
3
dx,
∫ +∞
1
1
dx,
x2
∫ +∞ 1
1
x dx,