Periodycznie trzęsione sieci optyczne

Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Piotr Sierant
UJ, Zakład Optyki Atomowej, Grupa teoretyczna
4 marca 2016
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Plan referatu
1
Sieci optyczne i ich opis teoretyczny
2
Periodyczna modulacja sieci w reżimie wysokiej częstotliwości
3
Trzęsienie sieci w przypadku rezonansowym: dwupasmowy
model BH
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Sieć optyczna
Potencjał optyczny
|E (x)|2
ω − ω1
przeciwbieżne wiązki ⇒ fala stojąca
V (~x ) ∝
E (~x ) ∝ cos(~k~x )
np. potencjał sieci kubicznej:
V (~x ) = Vx cos2 (kx x) + Vy cos2 (ky y ) + Vz cos2 (kz z)
I.Bloch, Nat. Phys. 1, 23 - 30
(2005)
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Opis sieci optycznej
Gaz ultrazimnych bozonów, D. Jaksch et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3108(1998)
Z
H=
3
†
d x Ψ̂ (~x )
~p 2
+ V (~x )
2m
g
Ψ̂(~x ) +
2
Z
d 3 x Ψ̂† (~x )Ψ̂† (~x )Ψ̂(~x )Ψ̂(~x )
w bazie f. Wanniera, przybliżenie ciasnego wiązania
X
X
U X
b̂i† b̂j +
H = −J
n̂i (n̂i − 1) +
i n̂i
2
hi,ji
Piotr Sierant
i
i
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Fizyka modelu Bosego-Hubbarda
Tunelowanie vs oddziaływanie
H = −J
X
b̂i† b̂j +
hi,ji
Kwantowe przejście fazowe
UX
n̂i (n̂i − 1)
2
i
J
U
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Szybkie trzęsienie siecią optyczną
różnica fazy ∆ν ∝ sin(ωrf t) pomiędzy wiązkami ⇒ sieć optyczna oscyluje
siła bezwładności ( F. Grusdt, et. al., Phys. Rev. A 89, 043621 (2014) )
Hsh (t) = K sin(ωrf t)
X
i n̂i
i
modyfikuje tunelowanie
−J
X
b̂i† b̂j + K sin(ωrf t)
hi,ji
X
Û
i n̂i ⇐⇒
i
X
hi,ji
J0 exp i
K
sin(ωrf t)(i − j) b̂i† b̂j
ωrf
efektywnie uśrednienie Hamiltonianu po
czasie (H. Lignier et al., Phys. Rev. Lett.,
99 220403 (2007) )
Jeff = JJ0
K
ωrf
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Rezonansowo sprzężone stany s i p
Dwupasmowy model Bose–Hubbarda
H0 = −
X
Js si† sj + Jp pi† pj +
hi,ji
X h Uss
2
Xi nis (n1s − 1) +
Es si† si + Ep pi† pi
Upp p p
n (n − 1) + Ups nis nip +
2 i 1
i
i
Jp
Ep-Es
Js
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Rezonansowo sprzężone stany s i p
Periodyczna modulacja sieci
H(t) = H0 + J cos(ωh t)
X
(pi† sj + h.c.) + T cos(ωh t)
hi,ji
+K cos(ωh t)
X
(pi† si + h.c.)
i
i(si† si + pi† pi ) + cos(ωv t)
X
∆s nis + ∆p nip
i
i
warunek rezonansu
X
nr ωh = (Ep − Es ) + δ
Jp
T
J
T
Js
sin(wht)
sin(wvt)
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Rezonansowo sprzężone stany s i p
Hamiltonian efektywny
Heff =
+
X
Uss
2
†
+ †
− †
Jsp
(pi si+1 + pi si+1
) + Jsp
(pi+1 si + pi+1 si† ) + Tsp
i
X
nis (n1s − 1) +
Upp
2
X
(pi† si + pi si† )
i
X
i
nip (n1p − 1) + Ups
i
Tsp
X
nis nip + δ
i
i
J+sp J-sp
Piotr Sierant
Tsp
X
d
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
pi† pi ,
Hamiltonian spinowy
Granica Motta U J, δ, wypełnienie sieci ν = 1 ⇒ nis + nip = 1 na każdym węźle
sieci.
Człony tunelowania jako zaburzenie, w podprzestrzeni stanów o niskiej energii
wirtualne procesy 2-go rzędu np.
+
J sp
J+sp J sp
J-sp
Z każdym oczkiem można związać spin 1/2:
σiz =
H=
X
1 p
n − nis ,
2 i
y
x
σix σi+1
− σiy σi+1
−
σi+ = pi† si ,
Jz z z
σ σ
2 i i+1
σi− = pi si†
+ hz
X
i
i
Piotr Sierant
σiz + hx
X
σix ,
i
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Transformacja Jordana–Wignera
σi− = ci
i−1
Y
1 − 2ci† ci ,
σi+ = ci†
j=1
i−1
Y
1 − 2ci† ci
j=1
aplikując do modelu spinowego otrzymuje się oddziałujący łańcuch Kitaeva
Faza topologiczna ⇔ zerowe mody boczna dla łańcucha z OBC
1
0,75
0,5
0,25
0
-0,25
-0,5
-0,75
-1
T = 1.5
0
10
20
30
0,5
T = 2.9
0,375
0,25
0,125
0
0
10
Piotr Sierant
20
30
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Kwantowy magnetyzm
Zewnętrzne pola magnetyczne hx i hz zależą od parametrów modulacji sieci ⇔
przejścia pomiędzy różnymi fazami magnetycznymi w układzie (J. Kurmann et al.,
Physica A 112, 235 (1982) ):
hx % faza Spin–Flop przechodzi w paramagnetyczną
hz % faza Incommensurate przechodzi w ferromagnetyczną
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Sieci optyczne
kontrolowalność: każdy człon w Hamiltonianie ma swoje mikroskopowe
pochodzenie, parametry sieci moga byc zmieniane poprzez zmianę zewnętrznych
pól laserowych
różnorodność: można realizować modele, w które są niestandardowe dla FCS
zjawiska z nowymi przejściami fazowymi
Periodyczna modulacja sieci
wpisuje się dobrze w program kwantowej symulacji dostarczając kolejnych
zewnętrznych parametrów, które można kontrolować
hamiltoniany efektywne zawierają człony nowego typu ⇒ można w ten sposob
otrzymywać układy realizujace kwantowy magnetyzm, fazy topologiczne,
syntetyczne pola cechowania
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Uśrednianie Hamiltonianu po czasie
H(t) = H(t + T ) ⇒ (H(t) − i~∂t ) |un (t)i = n |un (t)i
W bazie Floqueta–Focka |{njα }, mi ≡ eimωh t UF (t)|{njα }i, elementy macierzowe
Hamiltonianu to
(0)
hh{njα }, m|H(t) − i~∂t |{nj0α }, m0 ii = δm,m0 h{njα }|Ht.a. + m~ωh |{nj0α }i
(m−m0 )
+(1 − δm,m0 )h{njα }|Ht.a.
|{nj0α }i,
gdzie
(m)
Ht.a. =
1
T
Z
T
dt eimωh t UF† (t)HUF (t) − i~UF† (t)∂t UF (t) .
0
Piotr Sierant
Periodycznie trzęsione sieci optyczne
Transformacja Jordana–Wignera
σi− = ci
i−1
Y
1 − 2ci† ci ,
σi+ = ci†
j=1
i−1
Y
1 − 2ci† ci
j=1
aplikując do modelu spinowego otrzymuje się oddziałujący łańcuch Kitaeva
H=−
1
2
1+
Jz
2
X
1
2
ni + 2
X
ci† ci+1 + h.c. −
i
+T
X
i
1−
Jz
2
X
†
ci† ci+1
+ h.c.
i
ni ni+1
i
Faza topologiczna ⇔ zerowe mody boczna dla łańcucha z OBC
1
0,75
0,5
0,25
0
-0,25
-0,5
-0,75
-1
T = 1.5
0,5
T = 2.9
0,375
0,25
0,125
0
0
10
20
30
Piotr Sierant
0
10
20
30
Periodycznie trzęsione sieci optyczne