Lista 2

Lista 2
Ci¡g arytmetyczny i geometryczny. Funkcje. Warto±¢ bezwzgl¦dna.
Zadanie 1
Znale¹¢ liczb¦
x
, dla której liczby
2, 2x+1 , 2x+1 + 6
w podanej kolejno±ci tworz¡ ci¡g
arytmetyczny.
Wyznaczy¢ wyraz ogólny ci¡gu arytmetycznego oraz sum¦
Zadanie 2
dwudziestu pocz¡tko-
S20
wych wyrazów gdy:
(a)
a3 = 3, a12 = 21,
(b)
a1 + a2 + a3 = 18, a21 + a22 + a23 = 116.
Zadanie 3
Obliczy¢ sum¦ wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3.
Zadanie 4
Cztery liczby tworz¡ ci¡g geometryczny. Je»eli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od
drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane ró»nice utworz¡ ci¡g arytmetyczny. Znale¹¢
te liczby.
Wyznaczy¢ wyraz ogólny ci¡gu geometrycznego oraz sum¦
Zadanie 5
S5
pi¦ciu pocz¡tkowych
wyrazów gdy:
(a)
a3 = 54, a6 = 2,
Zadanie 6
(a)
f (x) =
(b)
oraz
S7 = 127
16 .
0.313131 . . ..
Rozwi¡za¢ równanie
Zadanie 8.
a)
q = 21
Wykorzystuj¡c wzór na sum¦ szeregu geometrycznego zamieni¢ na uªamek zwykªy
1.888 . . . ,
Zadanie 7
(b) iloraz
√
x2 − x3 + x4 − · · · = 12 .
Wyznaczy¢ dziedzin¦ i zbiór warto±ci nast¦puj¡cych funkcji:
16 − x2 ,
Zadanie 9
b)
f (x) = √
1
2
x + 2x + 5
Poda¢ wzory funkcji zªo»onych
c)
f (x) =
f (x) = x − 1, g = 3x + 2,
Zadanie 10
a)
a)
e)
f (x) =
f (x) = x2 , g(x) =
√
x,
c)
x2 − 4
.
x+2
oraz okre±li¢ dziedziny tych
f (x) = |x|, g(x) =
√
x + 1.
Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji:
x+1
f (x) =
x−1
Zadanie 11
b)
d)
f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g
funkcji:
a)
x−1
x+1
b)
f (x) = 5 −
√
3
x + 1,
c)
f (x) = 3x+1 ,
d)
f (x) = x2 + 2x + 2
dla
Narysowa¢ wykresy funkcji:
f (x) = |6 − 2x|, b) f (x) = |x + 1| + |x − 1|, c) f (x) = x2 − 2|x| + 1, d) f (x) =
f (x) = 2|x−1| .
√
x ≥ −1.
x2 − 6x + 9 + |x|,
2
Zadanie 12
Korzystaj¡c z geometrycznej interpretacji warto±ci bezwzgl¦dnej zaznaczy¢ na osi
liczbowej zbiory punktów speªniaj¡cych podany ni»ej warunek. Znale¹¢ rozwi¡zanie równania lub
nierówno±ci:
a)
|x + 2| = 2,
Zadanie 13
b)
|3x − 2| > 1,
c)
|x − 2| = |3 − x|,
d)
|x + 2| > |x − 1|,
e)
|x + 1| + |x − 2| = 3.
Korzystaj¡c z geometrycznej interpretacji warto±ci bezwzgl¦dnej zapisa¢ podane zbiory
√ | · |.
√
√
a) {2, 16}, b) {1 + 3, 3 + 3}, c) 0 ≤ x ≤ 4 3,
√
√
e) x ∈ (−∞, − 3] ∪ [4 + 3, ∞).
punktów przy pomocy symbolu
Zadanie 14
a)
|x| +
√
d)
x ∈ (−∞, 2) ∪ (8, ∞),
Rozwi¡za¢ równania lub nierówno±ci:
2 = |x +
√
2|,
b)
|x + 1| + |x − 2| = 5,
c)
|x − 2| < x,
d)
|1 − 2x| − |x + 3| > x + 4.
Jerzy Legut
x = 2. Zad 2. a) a = −1, r = 2, S20 = 360,
b) a1 = 4, r = 2, S20 = 460 lub a1 = 8, r = −2, S20 = −220. Zad 3. S300 = 165150. Zad 4.
17
31
. Zad 6. a) 9 , b) 99 . Zad 7.
5, 10, 20, 40. Zad 5. a) a1 = 486, q = 31 , S5 = 726, b) a1 = 4, S5 = 31
4
√
x = − 12 . Zad 10. d) f −1 (x) = −1 + x − 1, dla x ≥ 1.
Odpowiedzi do wybranych zada«.
Zad.
1.