Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
17. STATECZNOŚĆ OSIOWO ŚCISKANYCH PRĘTÓW PROSTYCH
17.1. Stateczność pręta w zakresie liniowo sprężystym.
Jednym z podstawowych założeń przyjętych na początku naszych rozważań było to, że
analizowane przez nas konstrukcje znajdują się w równowadze trwałej (inaczej statecznej) ale
jak dotąd, prócz prostych objaśnień, nie zostały sformułowane żadne analityczne warunki
gwarantujące taką równowagę lub jak powiemy w języku inżynierskim gwarantujące
stateczność konstrukcji. Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle ważnym
i skomplikowanym - i co więcej - stanowi jedną z przyczyn wystąpienia stanu granicznego
nośności. Konieczność uwzględnienia utraty stateczności w analizie mechanicznej
zachowania się konstrukcji dobitnie obrazuje następujące zadanie1, w którym należy
wyznaczyć dopuszczalną wysokość stalowego pręta prostego o polu przekroju poprzecznego
A = 1cm2, obciążonego tylko ciężarem własnym γ = 78.50 kN/m3, wykonanego ze stali o
wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu Rc = 215 MPa.
Warunek stanu granicznego nośności związanego jedynie z nie przekroczeniem
wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu, daje niżej wyznaczoną, dopuszczalną wysokość
pręta
γlA
≤ Rc
→ l≤
Rc
=
215 * 10 6
= 2.739 * 10 3 m .
A
γ
78.5 * 10
Jest rzeczą oczywistą, że nie ma możliwości realizacji konstrukcji o tych wymiarach z
zachowaniem jej prostoliniowego kształtu (jak to jest założone w wykonanych obliczeniach) i
w języku inżynierskim powiemy, że konstrukcja taka musi utracić swoją stateczność.
Zajmiemy się teraz podaniem analitycznych warunków zapewnienia równowagi statecznej dla
bardzo prostej konstrukcji, jaką jest osiowo ściskany pręt pryzmatyczny, wykonany z
materiału o własnościach fizycznych określonych prawem Hooke’a.
Zaczniemy od prostego „ideowego” objaśnienia trzech postaci równowagi w jakich
konstrukcja może się znajdować.
Jeżeli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego położenia równowagi ruch ciała jest
taki, że wychylenia jego punktów nie są większe tych początkowych to taką równowagę
nazywamy stateczną (trwałą).
I
II
3
W przeciwnym przypadku równowaga
jest niestateczna (nietrwała, chwiejna).
Można jeszcze wyróżnić szczególne
położenie
równowagi
zwane
równowagą obojętna w której punkty
ciała pozostają w położeniu po
wychyleniu. Opisaną sytuację można
zobrazować traktując konstrukcję jako
ciężką kulkę w różnych warunkach
podparcia
znajdującą
się
w
potencjalnym polu sił (rys. 17.1).
III
Rys. 17.1
Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze
chwiejnej III maksimum. W stanie równowagi obojętnej II wartość energii potencjalnej przy
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.
1
Przykład wzięty z książki S.Piechnik. Wytrzymałość Materiałów dla Wydziałów Budowlanych. PWN 1972.
231
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
17.2. Siła krytyczna
Zagadnienie utraty stateczności ściskanego osiowo pręta pryzmatycznego rozwiążemy w
sposób podany przez L.Eulera w 1744 r.
Rozważmy, pokazany na rys. 17.2, ściskany osiowo siłą P pręt przegubowo podparty na obu
końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga E i nadajmy mu
Z
w
Z
w(x)
Pkr
Y
Pkr
X
Jy = Jmin
l
Rys. 17.2
jakimś impulsem poprzecznym dowolnie małe początkowe ugięcie w płaszczyźnie
najmniejszej sztywności zginania. Jeżeli po usunięciu przyczyny ugięcia powróci on do swej
początkowej prostoliniowej postaci, oznacza to, że znajduje się w równowadze statecznej.
Powtarzając rozumowanie wraz ze zwiększaniem wartości siły P dojdziemy do sytuacji, w
której pręt po usunięciu przyczyny początkowego ugięcia pozostanie krzywoliniowy (nie
powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy). Oznacza to, że tym razem pręt znajduje
się w stanie równowagi obojętnej, a siłę, przy której to nastąpiło nazywać będziemy siłą
krytyczną Pkr . Tak więc:
siła krytyczna to siła przy której osiowo ściskany pręt znajduje się w stanie równowagi
obojętnej.
Wyliczmy tę siłę krytyczną. Równanie momentów w zakrzywionym pręcie przy obciążeniu
siłą krytyczną ma postać:
M ( x ) = Pkr w( x ) ,
(17.1)
a równanie różniczkowe jego ugiętej osi przyjmuje formę:
d 2 w( x )
dx
2
=−
M (x )
,
EJ min
(17.2)
z której otrzymujemy równanie różniczkowe wiążące ugięcie z siłą krytyczną:
d 2 w( x )
dx
2
+
Pkr
w( x ) = 0 .
EJ min
(17.3)
Przyjmując oznaczenie:
k2 =
Pkr
,
EJ min
(17.4)
zapiszemy je w postaci:
d 2 w( x )
+ k 2 w( x ) = 0 ,
2
dx
(17.5)
którego rozwiązaniem jest funkcja:
w( x ) = A sin kx + B cos kx .
(17.6)
Stałe całkowania A oraz B wyznaczymy z kinematycznych warunków brzegowych:
232
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
w(0) = 0 oraz w(l ) = 0 .
(17.7)
Pierwszy warunek daje B = 0 , natomiast drugi zależność 0 = Asin kl , z której przy założeniu
że A ≠ 0 (rozważamy pręt zakrzywiony, więc równocześnie nie może być B = 0 i A = 0 ),
dostajemy:
sin kl = 0 → k =
nπ
,
l
n = 1, 2, 3,....
Korzystając z (17.4), dla kolejnych liczb naturalnych otrzymujemy:
n = 1,
Pkr ,1 =
n = 2,
π 2 EJ min
Pkr , 2 =
n = 3,
Pkr ,1 =
l
2
4 π 2 EJ min
l
2
9 π 2 EJ min
l
2
w( x ) = A sin
,
,
,
π
l
w( x ) = A sin
w( x ) = A sin
x ,
l
2π
x,
l
3π
x,
l
l/2
l/3
l/2
l/3
l/3
.............,
co dowodzi, że każdej wartości siły krytycznej odpowiada inna forma deformacji pręta, albo inaczej - inna postać wyboczonego pręta, ale wszystkie są sinusoidami.
Jest rzeczą oczywistą, że za siłę krytyczną uznamy tę najmniejszą, odpowiadającą n = 1 . W
tym miejscu warto zwrócić uwagę, że impuls poprzeczny wywołujący to wstępne
zakrzywienie potrzebny jest tylko w rozważaniach teoretycznych. W rzeczywistości
odstępstwa od idealnych założeń, np. idealnej prostoliniowości pręta, osiowości przyłożenia
siły czy jednorodności materiału, same zawsze spowodują wyboczenie pręta.
Wyniki analizy prętów o innych warunkach podparcia pozwalają napisać jednolity wzór na
siłę krytyczną, nazywaną siłą krytyczną Eulera, w postaci:
PkrE =
π 2 EJ min
l w2
,
(17.8)
gdzie: l w = α l ,
(17.9)
nazywamy długością wyboczeniową.
Wartości współczynnika długości wyboczeniowej α zależnego od warunków podparcia
podano na rys. 17.3.
l
α=1
α=2
α =0.7
Rys. 17.3
233
α = 0.5
α=1
α=2
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
17.3. Naprężenia krytyczne
Zakres ważności wzoru Eulera na siłę krytyczną jest ograniczony własnościami fizycznymi
materiału ściskanego pręta. Ponieważ materiał analizowanego przez nas pręta był z założenia
materiałem liniowo sprężystym to naprężenia normalne w pręcie nie mogą przekraczać RH granicy stosowalności prawa Hooke’a (granicy proporcjonalności).
W celu wyznaczenia zakresu stosowalności wzoru (17.8) dokonamy jego przekształcenia.
Wpierw podzielimy obustronnie przez pole przekroju poprzecznego A
PkrE
π 2 EJ min
=
,
A
A l w2
a następnie, definiując pojęcie naprężenia krytycznego:
σ kr =
Pkr
,
A
(17.10)
i smukłości pręta:
λ=
lw
imin
,
(17.11)
gdzie: imin = J min / A - jest minimalnym
poprzecznego, możemy otrzymać zależność:
σ krE =
promieniem
bezwładności
π2E
λ2
przekroju
(17.12)
w której:
σ krE =
PkrE
oznacza naprężenie krytyczne Eulera.
A
Na wykresie zależności σ kr od λ (rys. 17.4), wykresem funkcji σ krE (λ ) jest hiperbola, której
zakres ważności jest ograniczony od góry, na osi rzędnych, wartością RH . Odpowiadającą
tej wartości naprężeń krytycznych σ kr , smukłość nazwiemy smukłością graniczną i
wyznaczymy z warunku:
RH =
π2E
λ2gr
→ λ gr = π
E
.
RH
(17.13)
σ kr
prosta Tetmajera-Jasińskiego
Re
hiperbola Eulera
RH
λ
λ gr
234
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Rys. 17.4
Zatem wzór Eulera jest ważny dla smukłości λ ≥ λ gr i naprężenia krytyczne są opisane
wówczas przez hiperbolę Eulera, a pręt pracuje w zakresie linio sprężystym.
W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy, jednak często, analizować utratę stateczności
również w zakresie nieliniowo sprężystym i sprężysto plastycznym, dla których smukłość
spełnia nierówność 0 ≤ λ < λ gr .
W stanach poza liniowo sprężystych posługiwać się będziemy zależnościami ustalonymi
empirycznie, z których najbardziej znanymi są, prosta Tetmajera-Jasińskiego określona
wzorem:
σ krT − J = a − b λ ,
(17.14)
oraz parabola Johnsona-Ostenfelda zdefiniowana równaniem:
σ krJ −O = A − B λ2 .
(17.15)
W obu powyższych zależnościach a, b, A oraz B to stałe materiałowe.
Aproksymacja krzywej teoretycznej prostą Tetmajera-Jasińskiego (patrz rys. 17.4) zakłada, że
dla prętów ,których smukłość λ → 0 (prętów krępych) stan graniczny nośności osiągany jest
przez uplastycznienie a nie poprzez utratę stateczności i stąd stałe a i b we wzorze
wyznaczone są z warunków :
σ krT − J = Re dla λ = 0 → a = Re ,
σ krT − J = RH dla λ = λ gr
→ RH = a − bλ gr
→ b=
Re − R H
λ gr
=
Re − RH
π
RH
,
E
gdzie: Re - wyraźna granica plastyczności. Zatem ostatecznie naprężenie krytyczne według
Tetmajera-Jasińskiego można zapisać w postaci wzoru:
σ krT − J = Re −
Re − R H
π
RH
λ.
E
(17.16)
17.4. Wymiarowanie osiowo ściskanych prętów z uwzględnieniem utraty stateczności
Poprawnie zaprojektowany osiowo ściskany pręt winien spełniać równocześnie dwa,
niezależne od siebie warunki stanu granicznego nośności tzn. był wytrzymały i znajdował się
w równowadze statecznej. Warunki te wymagają aby siła obciążająca P spełniała
nierówności:
P ≤ A * Rc i P ≤ Pkr ,
gdzie: A to pole przekroju poprzecznego pręta.
W praktyce inżynierskiej przy projektowaniu konstrukcji stalowych korzystamy z jednego
warunku, występującego w Polskich Normach Budowlanych, spełniającego równocześnie oba
te kryteria. Warunek ten można otrzymać wychodząc z nierówności zapewniającej
równowagę stateczną :
P ≤ Pkr
→
P ≤ σ kr (λ ) A .
(17.17)
235
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Utożsamiając na wykresie zależności σ kr (λ ) (rys. 17.4) wyraźną granicę plastyczności Re z
wytrzymałością obliczeniową przy ściskaniu Rc możemy na mocy definicji napisać:
σ kr (λ ) = ϕ (λ ) Rc
by po wstawieniu do nierówności (17.17) dostać:
P
ϕ (λ ) A
≤ Rc
(17.18)
gdzie :
ϕ (λ ) =
σ kr (λ )
Rc
współczynnik wyboczeniowy.
(17.19)
Współczynnik wyboczeniowy przyjmuje wartości ϕ (λ ) ≤ 1 , i fizycznie spełnia rolę
współczynnika redukcyjnego pola przekroju poprzecznego A
(czyli tym samym
współczynnika redukcyjnego nośności obliczeniowej pręta), jest funkcją smukłości oraz
stałych materiałowych i w przedziale λ ≥ λ gr wynosi:
π 2E
ϕ (λ ) =
Rc λ2
,
a przedziale 0 ≤ λ < λ gr , przy zastosowaniu wzoru Tetmajera-Jasińskiego , przyjmuje postać:
ϕ (λ ) = 1 −
Rc − RH
π Rc
RH
λ.
E
Współczynniki wyboczeniowe, podane w formie tablic w Polskiej Normie PN-90/B-03200
dotyczącej obliczeń statycznych i projektowania konstrukcji stalowych, uwzględniają jeszcze
inne, dodatkowe niezwykle ważne dla zagadnienia utraty stateczności parametry, takie jak
początkowe zniekształcenia osi lub przekroju porzecznego prętów (tzw. imperfekcje). Stąd
wartości tych współczynników zależne są od tzw. smukłości względnej λ = λ λ p , gdzie λ p
jest smukłością porównawczą:
π
E
1.15 Rc
λp =
,
(17.20)
oraz od technologii wytwarzania (spawany, walcowany) i kształtu przekroju elementu.
Koncepcja współczynnika wyboczeniowego funkcjonuje również przy wymiarowaniu prętów
ściskanych w konstrukcjach drewnianych.
17.5. Przykłady
Przykład 17.5.1. Wyznaczyć siły krytyczne dla ściskanych osiowo prętów stalowych o
długości l = 1 m , wymiarach przekroju poprzecznego 3*6 cm podpartych jak na rysunkach,
jeśli RH = 200 MPa, Re = 215 MPa, Rc = 195 MPa, E = 205 GPa.
a
Pkr
l
b
Pkr
l
c
Pkr
l
Rozwiązanie
236
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Przyjmujemy, że warunki podparcia w obu płaszczyznach są takie same, więc wyboczenie
wystąpi w płaszczyźnie minimalnej sztywności zginania i minimalny moment oraz promień
bezwładności są równe:
J min
6 * 33
=
= 13.50 cm4 ,
12
J min
13.5
=
= 0.866 cm.
A
18.0
A = 3 * 6 = 18.0 cm2, imin =
E
=π
RH
Smukłość graniczna: λ gr = π
205 * 10 9
= 100.6
200 * 10 6
Przypadek a
λ=
Smukłość pręta:
lw
i min
=
2 * 100.0
= 230.946 > λ gr
0.866
PkrE =
Obowiązuje wzór Eulera:
π 2 EJ min
l w2
=
π 2 205 *10 9 *13.5 *10 −8
22
= 68.285 kN.
Przypadek b
λ=
Smukłość pręta
lw
i min
Obowiązuje wzór Eulera:
=
100.0
= 115.473 > λ gr
0.866
PkrE
=
π 2 EJ min
l w2
=
π 2 205 *10 9 *13.5 *10 −8
12
= 273.141 kN.
Przypadek c
λ=
Smukłość pręta
lw
i min
=
0.5 * 100.0
= 57.737 < λ gr
0.866
Utrata stateczności wystąpi w zakresie poza liniowo sprężystym i nie obowiązuje wzór
Eulera.
Przyjmując aproksymację prostą Tetmajera-Jasińskiego otrzymamy:
σ krT − J = Re −
Re − R H
π
RH
215 − 200 200 * 10 6
57.737 = 206.389 MPa
λ = 215 −
E
π
205 * 10 9
T −J
PkrT − J = A * σ kr
=18 *10 −4 * 206.389 *10 6 = 371.500 kN.
Warunek wytrzymałości we wszystkich trzech przypadkach daje dopuszczalną siłę
obciążającą
P ≤ A Rc =18 *10 −4 * 195 *10 6 = 351.0 kN.
Przykład 17.5.2. Wyznaczyć siłę krytyczną dla ściskanego osiowo pręta stalowego o
długości l = 1 m , wymiarach przekroju poprzecznego b × h = 3 × 6 cm podpartego jak na
rysunku, jeśli RH = 200 MPa, Re = 215 MPa, E = 205 GPa.
Z
Z
Y
Pkr
X
Y
h
b
l
237
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Rozwiązanie
W płaszczyźnie (X, Z) pręt jest jednym końcem zamocowany, a drugi koniec ma wolny,
natomiast w płaszczyźnie (X, Y) oba końce pręta są zamocowane.
Jy
3 * 63
54.0
A = 3 * 6 = 18.0 cm , J y =
= 54.00 cm4, i y =
=
= 1.73 cm,
12
A
18.0
2
Jz =
Jz
13.5
6 * 33
= 13.50 cm4, i z =
=
= 0.866 cm.
12
A
18.0
205 * 10 9
E
=π
RH
Smukłość graniczna: λ gr = π
200 * 10 6
= 100.6 .
Wyboczenie w płaszczyźnie (X, Z)
λ=
Smukłość pręta
l w 2 * 100.0
=
= 115.607 > λ gr
iy
1.73
PkrE
Obowiązuje wzór Eulera
=
π 2 EJ y
l w2
=
π 2 205 *10 9 * 54.0 * 10 −8
22
= 273.141 kN.
Wyboczenie w płaszczyźnie (X, Y)
λ=
Smukłość pręta
l w 0.5 * 100.0
=
= 57.737 < λ gr
iz
0.866
Utrata stateczności wystąpi w zakresie poza liniowo sprężystym.
Przyjmując aproksymację prostą Tetmajera-Jasińskiego otrzymamy:
σ krT − J = Re −
RH
215 − 200 200 * 10 6
57.737 = 206.389 MPa,
λ = 215 −
E
π
205 * 10 9
Re − R H
π
T −J
PkrT − J = A * σ kr
=18 *10 −4 * 206.389 *10 6 = 371.500 kN.
Siła krytyczna dla rozważanego pręta wynosi Pkr = 273.141 kN.
Przykład 17.5.3.2 Wyznaczyć siłę krytyczną i współczynnik długości wyboczeniowej, pręta
przegubowo podpartego obciążonego osiowo dwoma siłami ściskającymi jak na rysunku.
Z
X
2
Z
P
P
l
2
l
2
W pierwszym wydaniu podręcznika był błąd w rozwiązaniu tego przykładu.
238
Y
Jy = Jmin
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Rozwiązanie
w1
w1(x1)
A
Pkr
VA
Pkr
w2
B
w2(x2)
δ
X1 l
l
2
2
HB
X2
VB
Reakcje w zdeformowanym pręcie w stanie równowagi obojętnej wywołane poprzecznym
impulsem wyznaczone z warunków równowagi wynoszą (patrz rys. wyżej):
∑ X = 0 → H B = 2 Pkr ,
∑M A =0
→ VB =
Pkr δ
,
l
∑MB =0
→ VA =
Pkr δ
.
l
Równania momentów zginających , równania różniczkowe osi wyboczonego pręta oraz
ogólna postać ich rozwiązania w dwóch przedziałach charakterystycznym mają formę:
0 ≤ x1 ≤
l
2
0 ≤ x2 ≤
M 1 ( x1 ) = Pkr w1 ( x1 ) + Pkr δ x1 ,
d 2 w1 (x1 )
dx12
d 2 w1 (x1 )
dx12
=−
P w ( x ) + V A x1
M 1 (x1 )
= − kr 1
,
EJ min
EJ min
+ k12 w1 ( x1 ) = −
VA
x1
EJ min
w1 ( x1 ) = w1s ( x1 ) + A1 sin k1 x1 + B1 cos k1 x1
w1s ( x1 ) = −
VA
x1
Pkr
gdzie: k12 =
l
2
M 2 ( x 2 ) = 2 Pkr w2 (x 2 ) − V B x 2
d 2 w2 ( x 2 )
dx 22
d 2 w2 ( x 2 )
dx 22
=−
2 P w (x ) − V B x2
M 2 (x2 )
= − kr 2 2
,
EJ min
EJ min
+ k 2 w2 ( x 2 ) =
VB
x2
EJ min
w2 (x 2 ) = w2 s ( x 2 ) + A2 sin kx 2 + B2 cos kx 2
w2 s ( x 2 ) =
VB
x2
2 Pkr
Pkr
2 Pkr
, k 22 =
, w1s (x1 ) i w2 s (x 2 ) , całki szczególne równań niejednorodnych
EJ min
EJ min
a A1, B1, A2, i B2 to stałe całkowania , które należy wyznaczyć z kinematycznych warunków
brzegowych.
Kinematyczne warunki brzegowe w tym zadaniu opisują zależności:
1 / w1 (0 ) = 0
2 / w2 (0 ) = 0
→ B1 = 0
→ B2 = 0
239
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
i równania zdeformowanej osi pręta w poszczególnych przedziałach są następujące:
w1 ( x1 ) = −
δ
l
w2 ( x 2 ) =
x1 + A1 sin k1 x1 ,
δ
2l
x 2 + A2 sin kx 2 .
Pozostałe dwie stałe wyznaczamy z warunków zszycia:
3 / w1 (l 2 ) = w2 (l 2 ) = δ ,
4 / w1' (l 2) = − w'2 (l 2 ) .
Po wykorzystaniu dwóch pierwszych, trzeci warunek daje zależności:
A1 =
3δ
3δ
1
1
,
, A2 =
2 sin (k1l 2 )
4 sin (k 2 l 2 )
(a)
a czwarty równanie:
−
δ

+ k1 A1 cos(k1l 2) = −  + k 2 A2 cos(k 2 l 2) ,
l
2l

δ
które po wykorzystaniu (a) i relacji k 2 = 2 k1 oraz podstawieniu µ = k1 l 2 przyjmuje postać
3 2
1
3
1
+
−
=0
2 tg 2 µ tg (µ ) 2 µ
(
(b)
)
Numeryczne rozwiązanie równania (b) daje wynik:
µ = 1.2783 .
A ponieważ:
k12 l 2
, to
4
4µ 2
k12 = 2
→
l
µ2 =
Pkr =
4 µ 2 EJ min
l
2
=
6.5362 EJ min
l2
.
Ten ostatni wynik możemy zapisać w formie:
π 2 EJ min
Pkr =
,
2
(1.229 l )
zatem współczynnik długości wyboczeniowej α = 1.229 .
Przykład 17.5.4. Wyznaczyć siłę krytyczną i współczynnik długości wyboczeniowej
ściskanego osiowo pręta pryzmatycznego obciążonego jak na rysunku.
Z
Z
P
Y
X
Jy = Jmin
l
Rozwiązanie
Moment zginający w wyboczonym pręcie wynosi:
w(x)
Pkr
A
MB
w(x)
B
X
l
Pkr
VB
VA
240
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
M ( x ) = Pkr w( x ) − V A x .
Reakcja pionowa VA jest konsekwencją utwierdzenia na podporze B w wyniku czego
występuje tam moment zginający (moment utwierdzenia).
Zatem:
Pkr w( x ) − V A x
.
EJ min
Kolejne różniczkowania tego równania dają:
w′′(x ) = −
w′′′( x ) = −
Pkr w′ ( x ) − V A
,
EJ min
w IV ( x ) = −
Pkr w′′ ( x )
.
EJ min
To równanie różniczkowe czwartego rzędu zapiszemy w formie:
w IV ( x ) + k 2 w′′( x ) = 0 ,
P
gdzie: k 2 = kr .
EJ min
(a)
Całkę ogólną równania (a) można zapisać w postaci:
w( x ) = C1 + C 2 x + C 3 sin kx + C 4 cos kx .
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:
1/ w(0) = 0 → C1 + C 4 = 0 → C1 = −C 4 ,
2/ w′′(0) = 0 → C 4 = 0 ,
3/ w(l ) = 0 → C 2 l + C3 sin kl = 0 ,
4/ w′(l ) = 0 → C 2 + C3 k cos kl = 0 .
Pewnego objaśnienia wymaga drugi kinematyczny warunek brzegowy. Jego sens fizyczny,
oznaczający zerowanie się momentu zginającego w punkcie A (podpora przegubowo
przesuwna) staje się oczywisty, jeśli zauważymy, że:
M ( x ) = − w′′( x )EJ min
Z dwóch ostatnich warunków otrzymujemy równanie:
kl = tg kl ,
którego najmniejszy dodatni, różny od zera pierwiastek ma wartość kl = 4.4934 .
Tak więc:
Pkr =
4.4934 2 EJ min
l2
= 20.1906
EJ min
l2
,
lub inaczej:
Pkr =
π 2 EJ min
(0.6992 * l )2
≈
π 2 EJ min
(0.7 l )2
.
Współczynnik długości wyboczeniowej dla takiego pręta wynosi α = 0.7 .
241
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Przykład 17.5.5. Wyznaczyć siłę krytyczną i współczynnik długości wyboczeniowej
ściskanego osiowo pręta pryzmatycznego obciążonego jak na rysunku.
Z
Z
P
Y
X
Jy = Jmin
l
Rozwiązanie
Moment zginający w wyboczonym pręcie wynosi:
MB
w(x)
MA
Pkr
A
Pkr
w(x)
B
X
l
M ( x ) = Pkr w( x ) − M A .
Stąd równanie różniczkowe osi wyboczonego pręta ma postać:
w′′(x ) =
M A − Pkr w ( x )
EJ min
Tak jak w poprzednim przykładzie, kolejne różniczkowania tego równania dają:
w′′′( x ) = −
Pkr w′ ( x )
,
EJ min
w IV ( x ) = −
Pkr w′′ ( x )
,
EJ min
w IV ( x ) + k 2 w′′( x ) = 0 ,
P
gdzie: k 2 = kr .
EJ min
(a)
Całkę ogólną równania (a) można zapisać w postaci:
w( x ) = C1 + C 2 x + C 3 sin kx + C 4 cos kx .
Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych, ale zanim je sformułujemy zwróćmy
uwagę na zależność między trzecią pochodną ugięcia i siłą poprzeczną. Wiemy już, że:
M ( x ) = − w′′( x )EJ min ,
więc po obustronnym różniczkowaniu otrzymamy:
M ′( x ) = − w′′′( x )EJ min ,
ale M ′( x ) = Q( x ) , zatem Q( x ) = − w′′′( x )EJ min .
Indeks „min” przy momencie bezwładności w ogólnym przypadku zależności różniczkowych
między momentem zginającym, siłą poprzeczną i odpowiednimi pochodnymi funkcji ugięcia
winien być zastąpiony indeksem wskazującym oś zginania.
Kinematyczne warunki brzegowe w tym pręcie mają postać:
242
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
1/ w(0) = 0 → C1 + C 4 = 0 ,
2/ w′(0) = 0 → C 2 + kC3 = 0 → C 2 = −kC 3 ,
3/ w′(l ) = 0 → C 2 + kC3 cos kl − kC 4 sin kl = 0 ,
4/ w′′′(l ) = 0 → − k 3C 3 cos kl + k 3C 4 sin kl = 0 .
Czwarty kinematyczny warunek brzegowy mówi o zerowaniu się siły poprzecznej na
podporze B.
Podstawienie do warunku trzeciego, C 2 = −kC3 z warunku drugiego i C 4 = C 3 cos kl sin kl z
warunku czwartego daje zależność:
C 3 sin kl = 0 .
Stała całkowania C3 nie może być równa zeru bo wówczas zerują się pozostałe stałe
całkowania i w( x ) = 0 , co przeczy założonej krzywoliniowej formie wyboczonego pręta,
więc:
sin kl = 0 → k =
nπ
,
l
n = 1, 2, 3,....
Najmniejszy pierwiastek tego równania daje siłę krytyczną o wartości:
Pkr =
π 2 EJ min
l2
, z której wynika iż współczynnik długości wyboczeniowej dla takiego pręta
α = 1.
Przykład 17.5.6. O jaką wartość ∆T musi wzrosnąć temperatura otoczenia obustronnie
zamocowanego pręta stalowego, o długości l = 12 m i przekroju złożonego z dwóch
kątowników równoramiennych 150*150*12, aby utracił on swoją stateczność. Stałe
materiałowe pręta wynoszą: moduł Younga E = 205 GPa, granica proporcjonalności RH = 200
MPa, współczynnik rozszerzalności cieplnej liniowej ε T = 12 * 10 −6 / o C .
Z0
Z0
Y0
X
l = 12 m
Siła krytyczna dla pręta obustronnie zamocowanego pracującego w zakresie liniowo
sprężystym ma wartość:
PkrE =
π 2 EJ min
l w2
, gdzie: l w = 0.5 l
Pod wpływem podniesienia temperatury o ∆T pręt podparty w sposób nieskrępowany może
się wydłużyć o ∆ l = ε T ∆T l . Ponieważ pręt jest zamocowany to wydłużenie redukowane jest
do zera przez ściskającą siłę osiową P spełniającą zależność:
P=
∆ l EA
l
→ P=
ε T ∆T l EA
l
.
243
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Z porównania obu tych sił otrzymamy krytyczną wartość zmiany temperatury otoczenia, przy
której pręt utraci swą stateczność:
ε T ∆T l EA
l
gdzie: λ =
=
π 2 EJ min
lw
i min
l w2
→ ∆T =
π2
,
ε T λ2
.
Potrzebujemy wyliczyć minimalny promień bezwładności przekroju.
Z tablic profili walcowanych odczytujemy dane dla jednego kątownika
η
Z tablic profili walcowanych odczytujemy
dane dla jednego kątownika
ξ
10.85
45°
Pole przekroju: A = 34.9 cm2,
wymiary w cm
4.15
główne centralne momenty bezwładności:
J ξ = 1186 cm4, J η = 305 cm4.
10.85
4.15
Z
Y
Główne centralne osie bezwładności przekroju tego pręta to
jego osie symetrii. Momenty bezwładności względem tych osi
mają wartość:
J y = 2 * J ξ = 2 * 1186 = 2372 cm4,
[ (
) ]=
= 2 [305 + 34.9 (4.15 * 2 ) ] = 3014.261 cm .
J z = 2 J η + A 4.15 * 2
2
2
4
Minimalny promień bezwładności:
imin = i y =
2372
= 5.829 cm.
69.8
Smukłość:
λ=
lw
imin
=
0.5 *1200
102.934 .
5.829
Ponieważ do obliczeń przyjęto siłę krytyczną Eulera, należy sprawdzić czy smukłość pręta
jest większa od smukłości granicznej.
λ gr
205 * 10 3
E
=π
=π
= 100.58 , zatem λ > λ gr .
RH
200
Zmiana temperatury otoczenia powodująca utratę stateczności rozważanego pręta wynosi:
π2
π2
=
= 77.62 °C.
∆T =
ε T λ2 12 *10 −6 *102.934 2
244
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Jeśli zmienione zostaną warunki podparcia pręta z zamocowanych na przegubowe, to
wówczas jego smukłość będzie równa:
λ=
lw
imin
=
1 *1200
= 205.867 ,
5.829
a krytyczna zmiana temperatury będzie wynosić:
∆T =
π2
π2
=
= 19.41 °C.
ε T λ2 12 * 10 −6 * 205.867 2
17.6. Zastosowanie metody energetycznej przy wyznaczaniu siły krytycznej
Rozwiązanie zagadnienia utraty stateczności drogą całkowania równania różniczkowego
krzywoliniowej postaci pręta w bardziej złożonych przypadkach obciążenia czy jego
geometrii, często prowadzi do skomplikowanych równań różniczkowych o zmiennych
współczynnikach, których rozwiązanie wymaga złożonych metod matematycznych i bywa
przyczyną braku zamkniętych rozwiązań analitycznych.
W takich przypadkach chętnie korzystamy z metod energetycznych, umożliwiających szybkie
otrzymanie przybliżonego rozwiązania. Dalej omówimy metodę Timoshenki - Ritza
wyznaczania siły krytycznej wykorzystującą twierdzenie o minimum całkowitej energii
potencjalnej układu. Twierdzenie to mówi, że: w położeniu równowagi stałej całkowita
energia potencjalna układu Π zdefiniowana wzorem:
Π = Lw − L z ,
(17.21)
gdzie: L z - praca sił zewnętrznych, Lw - praca sił wewnętrznych, osiąga minimum.
We wspomnianej metodzie zakładamy równanie odkształconej osi pręta odpowiadające
kinematycznym i statycznym warunkom brzegowym:
n
w (x ) = ∑ C m f m ( x ) ,
(17.22)
m =1
i dalej na podstawie założonego równania odkształconej osi pręta obliczamy pracę sił
zewnętrznych oraz pracę sił wewnętrznych , a następnie rozpisujemy układ równań
∂Π
= 0.
(17.23)
∂ Cm
Otrzymany w ten sposób układ równań (17.23) jest układem równań liniowych jednorodnych
ze względu na współczynniki C m . Z przyrównania do zera wyznacznika tego układu
wyznaczamy przybliżoną wartość siły krytycznej.
Uzyskana tą metodą siła krytyczna ma wartość zawsze większa od dokładnej, i tym bliższą
dokładnej im bliższą rzeczywistej jest założona postać ugiętej osi pręta w stanie
krzywoliniowej równowagi.
Jeżeli w miejsce skończonego szeregu funkcji (17.22) przyjmiemy, że zdeformowaną oś
opisuje jedna funkcja:
w(x ) = C f ( x ) ,
to w miejsce układu równań (17.23) otrzymujemy jedno równanie z którego wyznaczamy siłę
krytyczną prostym wzorem zawierającym pierwszą i drugą pochodną funkcji f (x ) . W celu
jego wyprowadzenia rozważmy pręt pokazany niżej na rys.
245
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
du
α
w(x)
dx
u
P
Z
P
X
X
Y
Jy = Jmin
l
Praca sił wewnętrznych, która równa się energii sprężystej układu, przy pominięciu wpływu
sił podłużnych wynosi:
l
Lw = U = ∫
0
M y2 (x )
2 EJ y
dx .
Uwzględniając, związek różniczkowy między momentem zginającym i drugą pochodną linii
ugięcia M y = − EJ y w'' (x ) , otrzymujemy:
l
Lw = U =
M y2 (x )
∫ 2EJ y
dx =
EJ y
2
0
l
∫ [w (x)] dx = C
2
''
2
l
EJ y
''
2
∫ [ f (x )] dx .
2
0
0
Aby obliczyć pracę sił zewnętrznych potrzebujemy wyznaczyć poziome przemieszczenia u .
Wyliczymy je jako różnicę między długością pierwotną l a rzutem zdeformowanej osi pręta
na oś X.
Z rysunku pokazanego wyżej, łatwo obliczymy zależność między dowolnie małym odcinkiem
pręta dx i dowolnie małym przemieszczenie jego końca du:
du = dx(1 − cos α ) .
Ponieważ kąt α jest mały to: α ≈ sin α ≈ tg α = w' (x ) i kolejno przekształcenia dają:
2
2
(1 − cos α ) = 2 sin ≈ 2 tg ≈ 2 1 α  ≈ 2 1 tg α  = 1 w' (x )
2
2
2
2 
2

2
α
2
α
[
]
2
Stąd całkowite przemieszczenie u wynosi:
l
l
1
C2
u = ∫ (1 − cos α ) dx = ∫ w ' ( x ) 2 dx =
20
2
0
[
]
l
∫ [ f (x )]
'
2
dx , i
0
i praca sił zewnętrznych jest równa:
l
C2
Lz = P u = P
f ' ( x ) 2 dx .
∫
2 0
Całkowita energia potencjalna analizowanego pręta jest równa:
[
]
l
l
C2
Π = Lw − L z = U = C
f ( x ) dx − P
f ' ( x ) 2 dx ,
∫
∫
2 0
2 0
i przyrównanie do zera jej pochodnej względem stałego współczynnika C daje równanie
2
EJ y
[
''
]
2
246
[
]
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
l
l
dΠ
= C EJ y ∫ f '' ( x ) 2 dx − PC ∫ f ' ( x ) 2 dx = 0 ,
dC
0
0
[
]
[
]
z którego otrzymujemy poszukiwany wzór na siłę krytyczną:
l
EJ min
2
''
∫ [ f (x )] dx
0
Pkr =
.
l
∫ [ f ' (x )]
2
(17.24)
dx
0
17.6.1. Przykłady
Przykład 17.6.1.1. Wyznaczyć siłę krytyczną i współczynnik długości wyboczeniowej, pręta
przegubowo podpartego obciążonego osiowo dwoma siłami ściskającymi jak na rysunku.
Z
Z
P
P
X
l
2
l
2
Y
Jy = Jmin
Zakładamy równanie odkształconej osi pręta w postaci:
w(x ) = C sin
πx
l
,
(a)
które spełnia kinematyczne warunki brzegowe - zerowanie się ugięcia na podporach oraz
statyczne warunki brzegowe - zerowanie się tam momentów zginających.
u 2
w
P
u
P
X
l
2
l
2
Praca sił wewnętrznych wynosi:
l
Lw = U =
M y2 (x )
∫ 2EJ y
dx =
0
EJ y
2
l
∫ [w (x)] dx =
2
''
0
EJ y
2
C
2
π4
l4
l
∫
0
sin 2
πx
l
dx =
EJ y π 4 2
C
4 l3
Przemieszczenie punktu przyłożenia siły na lewej podporze jest równe:
1
u=
2
l
∫ [w (x )]
'
0
2
dx = C
2
π2
2l 2
l
∫
0
cos 2
πx
l
dx = C 2
π2
4l
,
stąd całkowita praca sił zewnętrznych wynosi:
247
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
Lz = P u + P
u 3 π2 2
= P
C .
2 8
l
Całkowita energia potencjalna analizowanego pręta jest równa:
3 π2 2
2
C
P
C1 , i przyrównanie do zera jej pochodnej względem
−
1
8 l
4l3
współczynnika C daje równanie:
Π = Lw − L z = EJ y
π4
E Jy π 4
dΠ
3 π2
=
C− P
C=0 ,
dC
2 l3
4 l
z którego wyznaczamy poszukiwane wartości siły krytycznej i współczynnika długości
wyboczeniowej
Pkr =
2
2
2 π E J min π E J min
=
.
3
l2
(1.225 l )2
Siła krytyczna dla tego pręta otrzymana metodą całkowania równania różniczkowego (patrz
przykład 17.5.3) wyniosła
Pkr =
6.5362 EJ min
l2
=
π 2 EJ min
(1.229 l )2
,
stąd błąd rozwiązania metodą energetyczną wynosi 0.67 %.
Policzmy ponownie to zadanie przy założonym innym równaniu odkształconej osi pręta.
Przyjmijmy teraz równanie w formie:
w(x ) =
C
l2
x(l − x ) ,
(b)
które spełnia kinematyczne warunki brzegowe ale nie daje zerowania się momentów
zginających na podporach bo:
C
(l − 2 x ) , w '' (x ) = − 2C2 , i druga pochodna jest różna od zera. Zatem równanie (b)
2
l
l
jest „gorsze” od równania (a) i zobaczymy jaki to będzie miało wpływ na wartość siły
krytycznej.
Kolejno obliczamy:
w ' (x ) =
moment zginający: M y = − EJ y w'' (x ) = EJ y
l
pracę sił wewnętrznych: Lw = U = ∫
0
przemieszczenie lewej podpory: u =
M y2 ( x )
2 EJ y
1
2
2C
,
l2
dx =
2 EJ y
l4
l
∫ [w (x )]
'
2
dx =
0
248
l
C
2
∫
0
C2
2l
l
dx =
2 EJ y
l3
C2,
2
(l − 2 x ) 2 dx = C ,
4 ∫
0
6l
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
3
2
u
2
pracę sił zewnętrznych: L z = P u + P = Pu =
C2
P,
4l
całkowitą energię potencjalną pręta: Π = Lw − L z =
2 EJ y
l3
C2 −
C2
P,
4l
aby z zerowania się jej pochodnej:
d Π 8E Jy
P
=
C − C − = 0 , wyznaczyć siłę krytyczną:
3
dC
l
l
Pkr =
8 E J min
l2
=
π 2 E J min
(1.111l )2
.
Tym razem błąd rozwiązania metodą energetyczną wynosi 18.30 %.
Przykład 17.6.1.2. Wyznaczyć siłę krytyczną, pręta przegubowo podpartego, o skokowo
zmiennym momencie bezwładności obciążonego osiowo dwoma siłami ściskającymi jak na
rysunku.
Z
P
P
Jy
X
Z
2Jy
l
2
l
2
Y
Jy = Jmin
Zakładamy równanie odkształconej osi pręta w postaci:
w(x ) = C sin
πx
l
.
Równanie momentów zginających przyjmuje formę:
π2
M y = − EJ y w'' (x ) = C EJ y
l
2
sin
πx
l
,
pracę sił wewnętrznych jest równa:
Lw =
EJ y
2
C
2
π4
l4
l 2
∫
0
sin
2
πx
l
dx +
2 EJ y
2
C
2
π4
l4
l
∫
sin 2
l 2
πx
l
dx =
EJ y
2
C2
π4 l
l4 4
+
2 EJ y
2
C2
π4 l
l4 4
4
=
3 π EJ y 2
C
8 l3
Przemieszczenia zewnętrznych sił ściskających jak i praca tych sił są takie same jak w
przykładzie 17.6.1.1.
Lz = P u + P
u 3 π2 2
= P
C .
2 8
l
Stąd całkowita energia potencjalna analizowanego pręta wynosi:
249
=
.
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
4
3 π EJ y 2 3 π 2 2
C − P
C .
Π = Lw − L z =
8 l3
8
l
Z przyrównanie do zera jej pochodnej względem stałego współczynnika C otrzymujemy:
Pkr =
π 2 E J min
l2
.
X
Przykład 17.6.1.3.
Wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia pręta
wspornikowego, jak na rysunku obok, o
przekroju A obciążonego tylko ciężarem
własnym γ .
Z
l
Jy = Jmin
Y
Z
Mamy tutaj do czynienia z zagadnieniem utraty stateczności pręta ściskanego osiowo
obciążeniem ciągłym q = γ A równomiernie rozłożonym wzdłuż jego osi.
Moment zginający w dowolnym przekroju pręta
przy zdeformowanej jego osi (patrz rys. obok)
wynosi:
X
w(x)
l
M y ( x ) = ∫ q[η (ξ ) − w( x )]dξ , gdzie: q = γ A .
x
Równanie różniczkowe ugiętej osi pręta ma postać:
EJ y
d 2 w( x )
dx
2
η (ξ )
q
l ξ
x
l
l
w
∫
= q[η (ξ ) − w(x )] dξ .
x
Powyższe równanie różniczkowe o zmiennych współczynnikach można rozwiązać stosując
nieskończone szeregi otrzymując (patrz np. S.P.Timoshenko, R.Gere: Teoria stateczności
sprężystej. Arkady, Warszawa 1963) w wyniku:
(ql )kr = 7.8372EJ min
l
=
π 2 EJ min
(1.122 l ) 2
.
(c)
Teraz przykład ten rozwiążemy stosując metodę energetyczną.
Przyjmijmy linię ugięcia w postaci:

πx 
w(x ) = C 1 − cos  , która spełnia kinematyczne warunki brzegowe (zerowanie się ugięcia i
2l 

kąta ugięcia w utwierdzeniu).
Przy przyjętej formie linii ugięcia moment zginający określa zależność:
250
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
l
l
l
∫
∫
∫


πξ
πξ l
2l
 dξ − q w( x ) dξ = q C  ξ −
 x−
M y (x ) = q[η (ξ ) − w( x )] dξ = q C 1 − cos
sin
π
2l 
2 l 

x
x
x
− q w( x )ξ
l
x


π x 
π x
2l 
 =
  − q C (l − x ) 1 − cos
= q C (l − x ) − 1 − sin
π
l
l
2
2







π x 2l 
π x 

= q C (l − x ) cos
− 1 − sin
2l π 
2 l 

stąd praca sił wewnętrznych (równa energii sprężystej) wynosi:
l
Lw = U =
M y2 (x )
∫ 2EJ y
dx = C 2
0
q 2l 3  1
9
32 
 + 2 − 3.
2 EJ y  6 π
π 
Praca wykonana przez ciągle rozłożone obciążenie osiowe wynosi (patrz wyrażenie na
pionowe przemieszczenie punktów osi pręta wywołane założoną jej deformacją podane w
przykładzie 17.6.1.1.):
l
∫
L z = q (l − x )
0
l
πx
1 '
qπ 2
qπ 2 2  1
1 
w ( x ) 2 dx = 2 C 2 (l − x ) sin 2
dx =
C  − 2 .
2
2l
8
8l
4 π 
0
[
]
∫
Otrzymanie powyższe wyniku wymaga wykonania dość żmudnych całkowań.
Całkowita energia potencjalna zdeformowanego pręta jest równa:
q 2l 3 2  1 9
32  qπ 2 2  1 1 
C  + 2 − 3 −
C  − 2 .
Π = Lw − L z =
2 EJ y
8
π 
6 π
4 π 
Przyrównując do zera jej pochodną względem C otrzymujemy:
∂Π
q 2l 3  1 9
32  qπ 2  1 1 
=
C + 2 − 3 −
C − 2 = 0 .
∂C
EJ y  6 π
4
π 
4 π 
Stąd krytyczna wartość ciężaru pręta wynosi:
(q l )kr
=
7.869 EJ min
l2
=
π 2 EJ min
(1.120 l ) 2
.
(d)
Porównanie zależności (c) i (d) pokazuje, że błąd między rozwiązaniem otrzymanym drogą
całkowania równania różniczkowego a metodą energetyczną jest znikomy i wynosi około
0.41 %.
Policzmy krytyczna wysokość wspornikowego pręta przyjmując, że wykonany został ze stali
o module Younga E = 205 GPa i ciężarze własnym γ = 78.50 kN/m3, a jego przekrój
poprzeczny jest kwadratowy o boku 1 cm. Aby ją wyznaczyć przekształcamy zależność (c)
otrzymując:
(q l )kr =
7.837 EJ min
l2
→
3
l kr
7.837 EJ min
=
q
→
3
l kr
7.837 EJ min
=
γA
→
3
l kr
Wstawienie wartości stałych materiałowych i wymiarów przekroju daje:
251
=
2
7.837 E imin
γ
.
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych
l kr3 =
7.837 * 205 * 10 9 * 10 −4
78.50 * 10 3 * 12
→ l kr = 5.546 m.
Przytoczony na początku tego rozdziału warunek nośności w postaci nie przekroczenia
wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu dał dopuszczalną wysokość takiego pręta równą
2.739*103 m. Pokazuje to, jak w tym przypadku decydujące znaczenie na nośność konstrukcji
ma zjawisko utraty stateczności.
252