Elipsoida Ziemska, J. Chojnacka, G. Karwasz, Foton, 114, 2011

32
FOTON 114, -HVLHĔ2011
Elipsoida ziemska
Justyna Chojnacka, Grzegorz Karwasz
=DNáDG'\GDNW\NL)L]\NL
8QLZHUV\WHW0LNRáDMD.RSHUQLNDZ7RUXQLX
$UW\NXá\SRSXODUQRQDXNRZHZW\PZUHQRPRZDQ\FKF]DVRSLVPDFK>@, okreĞODMąNV]WDáW=LHPLMDNRÄQLHUHJXODUQ\NDUWRIHO´7\PF]DVHP UyĪQLFHZ]JOĊGQH
PLĊG]\GRNáDGQ\PNV]WDáWHPDHOLSVRLGąVąU]ĊGX±5 promienia Ziemi, natoPLDVWHOLSVRLGDOQHVSáDV]F]HQLHZ\QRVL7HVDPHSXEOLNDFMHQLHZ\MDĞQLaMą GODF]HJR HOLSVRLGD ]LHPVND PD WDNLH UR]PLDU\, D QLH LQQH 5R]ZDĪDQLD
o NV]WDáFLH =LHPL Vą GOD QDV SUHWHNVWHP GR SU]\SRPQLHQLD lub wprowadzenia
]DJDGQLHĔ ] elektrostatyki i JUDZLWDFML Z W\P SRMĊü WDNLFK MDN SRZLHU]FKQLD
ekwipoteQFMDOQDLJUDGLHQWSRWHQFMDáX
&]ĊĞü,
-DNLHJRNV]WDáWXMHVWÄNXOD´]LHPVND"
-DNLHJRNV]WDáWXMHVW=LHPLD"2GSRZLHGĨ]QDMąZV]\VF\± RF]\ZLĞFLHNXOLVWHJR.
W zasadzie jest ona QLHFRVSáDV]F]RQDQDELHJXQDFKZVNXWHNUXFKXREURWRZego. :U]HF]\ZLVWRĞFL NV]WDáW=LHPLRGELHJDRGHOLSVRLG\LSU]\SRPLQDWDNLSoJQLHFLRQ\NDUWRIHO>@NWyU\QD]\ZDP\JHRLGą.
Podobnie jak w wielu iQQ\FK SUREOHPDFK G\GDNW\F]Q\FK RGSRZLHGĨ jest
QLHFRWDXWRORJLF]QDNV]WDáWNXOL]LHPVNLHMWRziemsko±kula, czyli geoida. Nadal
nie ZLHP\LOHZ\QRVLVSáDV]F]HQLHGODF]HJRGRNáDGQLHW\OHQDLOHJHRLGDUyĪQL
VLĊ RG HOLSVRLG\ L MDNą UROĊ RGJU\ZDMą áDĔFXFK\ JyUVNLH L URZ\ RFHDQLF]QH
W istocieWRQDZHWQLH]QDP\]DVDG\MDNWDNąziemsko±NXOĊ Z\]QDF]\ü
3UREOHPQLHMHVWE\QDMPQLHM]JHRJUDILLDOH]IL]\NLLWRZFDOHQLHáDWZ\FR
PRĪQD ]DXZDĪ\ü ZHUWXMąF NVLąĪNL ] JHRGH]ML L ] JHRIL]\NL NWyUH WR WUDNWXMą
SUREOHP Z VSRVyE ODNRQLF]Q\ ± ÄNV]WDáW =LHPL WR SRZLHU]FKQLD MHGQDNRZHJR
SRWHQFMDáXVLá\FLĊĪNRĞFL´>@2W\PĪHSUREOHPQDOHĪ\GRQDXNĞFLVá\FKZLeG]LDá MXĪ .RSHUQLN NWyU\ ]DVWDQDZLDá VLĊ GODF]HJR ZRGD QLH VSá\ZD ] kuli
]LHPVNLHM2GNXOLVWRĞFL=LHPLLSUREOHPXZyG]DF]\QDVLĊMHJRDe revolutionibus: Ä7DNĪHLZRG\PRUVNLHXNáDGDMąVLĊGRSRVWDFLNXOLVWHMRF]\PZLHG]ą
ĪHJODU]HGRVWU]HJDMąF]Z\VRNRĞFLPDV]WXOąGVWDá\NWyUHJR]SRNáDGXRNUĊWX
MHV]F]HQLHZLGDü>«@:\SDGDáRWHG\DE\PQLHME\áRZyGQLĪOąGXE\ZRGD
QLHSRFKáRQĊáDFDáHM]LHPLVNRURREDWHHOHPHQW\QDVNXWHNVZHMFLĊĪNRĞFLGąĪą
GR WHJR VDPHJR ĞURGND >«@ MDNR OąG L ZRGD ZVSLHUDMą VLĊ QD MHGQ\P ĞURGNX
FLĊĪNRĞFL=LHPLNWyU\MHVW]DUD]HPĞURGNLHPMHMREMĊWRĞFL:RGD, EĊGąF OĪHMV]ą,
Z\SHáQLD UR]SDGOLQ\ ]LHPVNLH L GODWHJR PDáR MHVW ZRG\ Z VWRVXQNX GR OąGX
FKRFLDĪPRĪHQDSRZLHU]FKQLZLĊFHMZLGDüZRG\´ [4].
33
FOTON 114, J esieti 201 1
Fot. l. (Pozioma) powieruhnia morza jest
prostopadla do murarskiego ,.pionu". Kulka
położona ną poziomej płaszczyżnie pozostaje
w spoczynku. Pion wskazuje kierunek wypadkowej siły grawitacji i odśrodkowej siły
bezwładności. a pnionUca p:nvierzc JuUę stałego po tencjału grawitacyjnego (linia brzegowa w tle to port w GdaJisku, a czamy Ie wy
margines to pionowa futryna okna)
Po dsumowuj ąc, Kopemik zagadni enie kulisto ści Ziemi łączy z problemem
wody oblew<l]ącej lądy i ze śro dkiem ciężko ści Ziemi . Intuicja. jak wykażemy
dalej, genialn a!
z zegarem
Jak wiadomo, okres wal1adl a fizycznego zależy od wartości przyspieszenia
ziemskiego, dlatego teżprecyzja zegarów była kluczowa w pomiarach g.
Już w średniowieczu bu dowano niezłe zegary. Takim jest zegar na Ratuszu
w Pradze i taki Jest w Kościele M ańackim w Gdansku. W zegarach tych spadaj ące wolno ciężarki napędzały system kół zębatych a poprzez nie wskazówki,.
figurki, kalen darz i resztę m echanizmów. Oczywiście, taki zegar nie mógł być
idealt1ie dokl adtly
Kłop oty
Fot. 2. Zegftr astronomiczny
z Pragi (141011490) i z Kościo ła
Mariackiego w Gdal><ku (1470,
Hans Diilu>ger). Zegary budowane przed odkryciem przez
Galileusza izochronizmu wahadla matematycznego dokładne
b,.O nie mogły. Zegar w Gdańsku
zreko1><1luowany
dzięki długim
staraniom prof. fizyki Politechnil<i Gdańskiej Andrzeja lanuszajtisa
34
FOTON 114, -HVLHĔ2011
:NDWHGU]HZ3L]LH*DOLOHXV]OLF]\áZDKQLĊFLD]ZLVDMąFHJR]NRSXá\NDQGHOaEUX7DNSRGREQRRGNU\áL]RFKURQL]PZDKDGáD'URJDGRGRNáDGQHJR]HJDUDE\áD
RWZDUWD/HF]QLHGRNRĔFD1DOHĪDáRMHV]F]HSRáąF]\üREDPHFKDQL]P\± FLĊĪDrNyZ L ZDKDGáD 3LHUZV]\ ]HJDU WHJR W\SX ]EXGRZDOL $QJOLF\ D )UDQFX] - 5iFKHUSRND]DáĪHVSyĨQLDVLĊRQQDUyZQLNXRPLQXW\QDGREĊ:WHQ
VSRVyE VWZLHUG]RQR GRĞZLDGF]DOQLH R LOH SU]\VSLHV]HQLH ]Lemskie jest mniejsze
QD UyZQLNX QLĪ QD ELHJXQLH 3U]\F]\Qą MHVW RF]\ZLĞFLH UXFK REURWRZ\ =LHPL
i ]ZLą]DQH] QLPSU]\VSLHV]HQLH2EOLF]HQLDMHGQDNQLHGRNRĔFDVLĊ]JDG]DMą
Poprawka do przyspieszenia ziemskiego z powodu ruchu obrotowego Ziemi
wynosi 0,0337 m/s2. Tymczasem standardowe przyspieszenie ziemskie wynosi
9,7803 m/s2 QDUyZQLNXL22 m/s2 QDELHJXQLHFRGDMHZLĊNV]ąUyĪQLFĊQLĪ
poprawka ]ZLą]DQD ] VLáą RGĞURGNRZą EH]ZáDGQRĞFL =JRGQLH ] Z\WáXPDF]eniem Europejskiej Agencji Kosmicznej ESA, mniejsze przyspieszenie grawitaF\MQHQDUyZQLNXZ\QLND]ZLĊNV]HMRGOHJáRĞFLSXQNWyZQDUyZQLNXRGĞURGND
=LHPL QLĪ SXQNWyZ QD ELHJXQLH 7R VWZLHUG]HQLH QLH Z\MDĞQLD jednak elipsoiGDOQHJRNV]WDáWX=LHPL&RZLĊFHMJG\E\NOXF]GRZ\MDĞQLHQLDNV]WDáWX=LHPL
OHĪDáZUR]ZDĪDQLDFKRZLHONRĞFLwypadkowej VLá\ G]LDáDMąFHMZUyĪQ\FKSXQktach globuWRPRĪQDE\Z\ZQLRVNRZDüĪH]SRZRGXPQLHMV]HMVLá\wypadkowej QDUyZQLNXQLĪQDELHJXQDFK=LHPLDSRZLQQDXOHFUR]SáDV]F]HQLXMDNJOLQD
QDV]\ENRZLUXMąF\PNROHJDUQFDUVNLP.OXF]HPGRUR]ZDĪDĔRNV]WDáFLH=Lemi nie jest ZLĊF]DJDGQLHQLHUyZQRZDJLVLá
:UyüP\ QD FKZLOĊ GR pewnego znanego schematu. 3RQLĪHM LOXVWUDFMD ]aPLHV]F]DQDZZLHOXSRGUĊF]QLNDFKIL]\NLLJHRJUDILL
Rys. 3. 5R]NáDGVLáQDREUDFDMąFHMVLĊ=LHPL:DUWRĞüVLáy grawitacji FG na kulistej nieobracają
FHM VLĊ =LHPL MHVW WDND VDPD QD UyZQLNX i na biegunach. Dodatkowo na masy poza biegunem
G]LDáDVLáD RGĞURGNRZDEH]ZáDGQRĞFL XNáDGQLHLQHUFMDOQ\
1D SRZ\ĪV]\P U\VXQNX VLáD odĞURGNRZa EH]ZáDGQRĞFL Fo jest wyolbrzyPLRQDDOHQLH]WHJRSRZRGXU\VXQHNMHVWEáĊGQ\2WyĪ]VXPRZDQLHZHNWRUo-
FOTON 114, -HVLHĔ 2011
35
ZHVLá\JUDZLWDFML FG LVLá\RGĞURGNRZHMEH]ZáDGQRĞFL Fo GDMHVLáĊ Q NWyUD
na rys. 3 nie jest SURVWRSDGáDGRSRZLHU]FKQL=LHPL6LáD Q PDZLĊFVNáDGRZą
Z]GáXĪSRZLHU]FKQL=LHPL6NáDGRZDWDSRZRGRZDáDE\UXFKPDVZRG\ZNLeUXQNXUyZQLND, IDOHNLORPHWURZHMZ\VRNRĞFL
0DP\ WX V\WXDFMĊ DQDORJLF]Qą ] SUREOHPHP áDGXQNX HOHNWU\F]QHJR QD SoZLHU]FKQL SU]HZRGQLND àDGXQHN QD SRZLHU]FKQL SU]HZRGQLND PRĪH VLĊ VZoERGQLHSU]HPLHV]F]DüWDNDMHVWGHILQLFMDÄSU]HZRGQLND´2LOHUR]NáDGáDGXnNXQDSRZLHU]FKQLSU]HZRGQLNDE\áE\WDNLĪHZ]GáXĪ powierzchni przewodniND LVWQLDáDE\ VNáDGRZD ZHNWRUD QDWĊĪHQLD SROD LQQ\PL VáRZ\ LVWQLDáDE\ VLáD
HOHNWU\F]QD Z]GáXĪ SRZLHU]FKQL, WR áDGXQHN HOHNWU\F]Q\ SU]HPLHV]F]DáE\ VLĊ
WDNGáXJRDĪQRZ\UR]NáDGáDGXQNX]QLZHORZDáE\WRSROH3ROHHOHNWU\F]QHQD
powierzchni SU]HZRGQLND QLH PD ZLĊF VNáDGRZHM styczQHM :áDĞFLZ\ U\VXQHN
dla Äkuli´ ziemskiej to U\V.XOD]LHPVNDPXVLE\üVSáDV]F]RQD7\ONRZywczas wektor Q MHVW Z NDĪG\P SXQNFLH =LHPL SURVWRSDGá\ GRMHM SRZLHU]FKQL
0RĪQD Z\ND]DüĪHZyZF]DV=LHPLDMHVWHOLSVRLGą1DU\VGRNRQDOLĞP\WHJR
graficznie ± UR]FLąJDMąFNRáR]U\VZ poziomie.
Rys. 4. (OLSVRLGD REURWRZD MHVW ÄLGHDOQą´ SRZLHU]FKQLą =LHPL 7\ONR Z W\P SU]\SDGNX ZHNWRU
VLá\ Q QLHPDVNáDGRZHMstycznej do powierzchni Ziemi
Jak ZLĊFZ\]QDF]\üWĊHOLSVRLGĊPHWRGąUR]ZDĪDĔIL]\F]Q\FK":UyüP\GR
HOHNWURVWDW\NL6WZLHUG]HQLHĪHUR]NáDGáDGXQNXQDSRZLHU]FKQLMHVWWDNLĪHQLH
Z\WZDU]D VNáDGRZHM styczQHM SROD PRĪQD Z\UD]Lü WHĪ Z LQQ\ VSRVyE Sowierzchnia SU]HZRGQLNDMHVWSRZLHU]FKQLąRVWDá\PSRWHQFMDOH elektrycznym.
.ROHMQH HWDS\ UR]XPRZDQLD Z\NUDF]DMą SR]D SURJUDP V]NRá\ ĞUHGQLHM FKRü
QLHSU]HNUDF]DMąXPLHMĊWQRĞFLZLHOXXF]QLyZ3U]\WRF]P\GREU]H]QDQHZ]oU\ QD HQHUJLĊ potencjaOQą Ep w polu grawitacyjnym (lub elektrostatycznym)
FOTON 114, -HVLHĔ2011
36
i QDZDUWRĞüVLá\JUDZLWDFML F SRFKRG]ąFHRG masy punktowej (lub áDGXQNX
punktowego).
Ep = ±GMm/r
(1)
i
F = GMm/r2
(2)
gdzie M MHVW PDVą FLDáD Z\WZDU]DMąFHJR SROH JUDZLWDF\MQH m PDVą FLDáD
umieszczonego w tym polu, G VWDáąJUDZLWDFML, a r ± RGOHJáRĞFLąRGĞURGNDFLDáD
Z\WZDU]DMąFHJRSROHJUDZLWDF\MQH
'ZDZ]RU\EDUG]RÄSRGREQH´.WR]QDUDFKXQHNUyĪQLF]NRZ\RGUD]XZLG]L
ĪHVLáDMHVWSRFKRGQąHQHUJLLpotencjalnej po zmiennej r (ze znakiem minus).
F = ±dEp /dr
(3)
5]HF]\ZLĞFLHSRFKRGQąIXQNFMLy = 1/x jest funkcja yƍ= ±1/x2=DXZDĪP\ĪH
w UyZQDQLX(1) MHVW]QDNPLQXVSRSUDZHMVWURQLHHQHUJLDRGG]LDá\ZDQLDJUawiWDF\MQHJR GZyFK PDV MHVW ujemna ± PDV\ VLĊ SU]\FLąJDMą, F]\OL VLáD G]LDáD
w kierunku ±rHQHUJLDURĞQLHZNLHUXQNXr i (wynosi zero dla r = ’.
Mamy DUJXPHQW SU]HPDZLDMąF\ ]D W\P ĪH VLáD MHVW SRFKRGQą HQHUJLL potencjalnej
SRSU]HVXQLĊFLXDQDWĊĪHQLHSRODSRFKRGQąSRWHQFMDáX-HVWQLm Z]yUQDSUDFĊW
W = Fs
(4)
gdzie s MHVW SU]HVXQLĊFLHP :]yU WR RF]\ZLĞFLH EDUG]R EDUG]R XSURV]F]RQ\ &R
]URELüMHĞOL VLáD QLH MHVW VWDáD"7U]HED ZyZF]DV PQRĪ\ü FKZLORZą VLáĊ SU]H] fragment GURJL QD MDNLP VLáD MHVW Z PLDUĊ VWDáD ,QQ\PL VáRZ\ QDOHĪ\ FDáNRZDü VLáĊ
Z]GáXĪPDá\FKRGFLQNyZGURJLGs1LHFROHSV]\Z]yUQDSUDFĊPDZLĊFSRVWDü
W œF ds
(5)
7HQQLHVSRGREDáE\VLĊLIL]\NRPLPDWHPDW\NRPDOHQDPWDNDSRVWDüZ\VWDUF]\
&DáNRZDQLHWRRSHUDFMDÄRGZURWQD´GRUyĪQLF]NRZDQLDF]\OL
F = dW/ds
(6)
DSRQLHZDĪZ\NRQDQDSUDFDW R]QDF]DVWUDFRQąHQHUJLĊUyZQDQLDLVąUywQRZDĪQH
Aby ]UR]XPLHüGODF]HJR=LHPLDPDNV]WDáWHOLSVRLG\SRWU]HEQDMHV]F]HG\JUeVMD ] NDUWRJUDILL : NWyU\P NLHUXQNX Sá\Qą VWUXPLHQLH Z JyUDFK" 2F]\ZLĞFLH
w Gyá to znaczy Z SRSU]HN SURVWRSDGOH GR SR]LRPLF &R ZLĊFHM VWUXPLHQLH
Sá\Qą WDP JG]LH SR]LRPLFH Vą XáRĪRQH QDMJĊĞFLHM ]RE rys. 5. 5]HNL Sá\Qą
w kierunku JG]LHMHVWQDMZLĊNV]\VSDGHNWHUHQX
37
FOTON 114, J esieti 201 1
Rys. 5 Aby się w gótaclt nie zmę­
cz>", należy cbodzić wzdłuż poziomic. Wzdłuż poziomic nie wznosimy się ani w górę ani w dóL nie
zmienia się więc nasza en~Tgia poteucjalna. Rzeki natomiast płyną
w kierunku najwię kszego spadku prosłof"dle do poziomic i 111m gdzie
są one najgęS<:ieJ ułożone (Courtesy:
Wyd. Witaliskil
Dumy
•
948
(
Możemy podsumować nasze dotychczasowe rozwazania. Między silą a energią
(łub analog~cznie: między natężeniem poła a p otencjałem) zach odzi następujący
związek:
natężenie poła
(dla pola grawitacyjnego nazywane też przyspieszeniem
grawitacyj nym) jest prostopadle do powierzchni ekwip otencjalnych i jest
zawsze zwrócone w stronę mai ej ącego potenej alu.
Przepiękny
wzór zn aj dziemy np.
\V
WJ' kladach R. Feytun ana:
natężenie
pola E jest
gradi entem potencjału f' (ze z.nalciem minus: natężenie pola ma kierunek .spadku. po-
ten cj al u)
E=-gradV=-VV
(7)
gdzie pog:JUbione E i pogrubi ony operator na\~ b. przypominają. że z ami eniamy pole
skalarne ( czyli potencj a!) n a pole wektorO\ve ( czyli natężenie pola) .
W pokoju powierzchnią stalego potencj ału grawitacyj nego (powierzchnią
ekwipotencjalną) jest poziomo ustawiony stół. Kropla wody pozostaje na nim
w równowadze, nie spływa.
Aby więc po "kuli ziemskiej " nie przelewały się kilometrowe fale, jej p owierzchnia musi być powierzchnią stałego potencjału grawitacyjnego. Rozumiemy więc rys. 4 w nowy sposób: elipsoida jest powierzchnią ekwipotencj alną
wypadkowego pola siły grawitacji i sily odśro dkowej bezwładności. Jak wyglą­
da powierzchnia ekwipotencjaln a w wirującym akwarium z wodą znaj duj ącym
się w stałym, pionowym polu grawitacyjnym pokazuje fot. 6.
FOTON 114, 1esiet\ 2011
Fot. 6. Na cząstki zttajdujące się no powierzcłuU swobodnej w wilującym akwarium
działa sila grawitacji i sila odśrodkowa bezwladt\Ości. Powierzchnia wody, w ptofilu
parabolo, jest w .kożdym punkcie ptasiopadła
do wypadkowej tych dwóch sil. Powierzchnia
wody jest powierzchnią ekwipotencjalną
Jakie rozmiary ma elipsoida b ędąca p owierzchnią ekwipotencjalną na wirukuli o rozmiarach i masie Ziemi wyliczymy w drug~ej części artykułu.
j ącej
L ite1-:. tur:l
[l) Dovide C astelvecchi. The Geoid: Why a map oj Emth~ g~·avit_r y ields a potatoshaped planet, Scientific American, 01 .04.2011 http://blogs.s<ientificam ericon .com/
observations/20 l l /04/0 l /!he-geoid-why-o-m ap-o f- earths-gravity-yiel ds-a-potato'J>apecl-plan et/
[2) W. Niedzi cki, Geoida, Ambemet, http:/Avww. am bemet.pl/Filmy.php#Geoida,
zob. też: http://dydaktyko.fizyka.wnk .pl/Physics_is_ftulimovies/geoidal .mpg
[3) R. Dmow ska, Fi=yka skorupy i wnęn·=a Ziem i, w: EncJ>Idopedia Fi=yiO Wspólc=esnej, PWN, Warszowal973, s. 8!:5
[4] M. Kopernik, O obrotach cial niebieskich. tltun. L.A. Birkemn ajer, Wydawnictwo
ZakładNarodowy \m. Ossalit\ski ch, Wrocław
Część
2004,
Księga
pierwsza, s. 3 :5-40
II
Elipsoida ziemska
Na rozważaniach o powierzchniach ekwipotenq alnych i gradientach pola grawitacyjnego probl emy z powierzchnią Ziemi dopiero się zaczynają. Potrafimy
obliczyć powierzchnie ekwip otencjalne dla ładunku Oub masy) punktowej lub
masy kulistej: są to po prostru powierzchni e sferyczne. Aj ak jest w przypadku
elipsoidy? Dokładne rozwiązanie wymaga złożonych metod matematycznych,
ale daje się modelowo uprościć.
Czym j est elipsoida? Widziana z bieguna jest to kula o promieniu bieguno wym,.,, z dodatkową masą skupioną głównie w strefie równikowej (rys. 1).
39
FOTON 114, J esieti 201 1
Rys. l. Elipsoidę, w dużym przybliżeniu, ale akceptow•lnym dla obliczenia polencjalu, może my
uważać za kulę o promieniu biegunowym r11 z dodatkową masą w postaci pierścienia doo koła
równika
Potenqał jest wielkością addytywną, możemy więc potencjał grawitacyj ny
na biegunie obliczyć j ako sumę p otencj ału pochodzącego od kuli o promieniu r 0
i po tencjału piedcienia o m asie wynikaj ącej z różnicy m as elip soidy i kuli
o protmemu r,.
Z danych geograficznych znanty pr01meń biegun owy 1 równikowy Zietm
(ten ostatni większy o 2 1 km ) oraz średnią gęstość Ziemi ' - 5, 515 g/cnl (taką
gęstosć, pośrednią między gęstości ą żelaza a gęstością granitu, ma na przykład
minerał piryt FeSl)· W obliczeniach przyjmi emy 5- 6 cyfr znaczących. z przyczyn, które będąjasne na koricu artykułu). Oto dane wyjściowe:
rr = 6,37824 5 · 106 m -promiet1 równikowy Ziemi,
r, = 6,35 6752 · 106 m- p:romiet1 biegunowy Ziemi,
Pz = 5, 515 · l 03 k~ - średnia gęstość Ziemi,
m
Mz= 5,9741 · 10 2' - masa Zietni (dla spraw dzenia poprawno ści rachunków),
ml
.
-·
G= 6,67428 -10- 11 - l - stała grawttaq t.
kg · s
l. Potencjał grawit acyj ny dwóch kul o promieniach równych pronuentowt
biegunowemu alb o równikowemu, odpowiednio, ro alb o r •.
'Nie znamy dokładnych gęstosc1 zewnętrznych W!llSłw Zie nu (na pewi\D Więcej niż 3 g/cm').
W zerowym przybliżeni\1 przyjmujemy S.ednią gęstośc Ziemi (5,5 g/cm'>. co daje poprawkę
nieco za dużą- Dopiero przyjęcie .mniejszej gęs tośd ze wnętrznych wustw Ziemi, mniej więcej
jak prawdopodobna gęstośc płaszcza (3,3- 3,6 g/cm') pop••wia zgod!10ść obliczonej powierzcllni
ekwipotencjalnej z rzeczywi<tymi rozmiaruui elipsoidy ziemskiej .
FOTON 114, -HVLHĔ2011
40
D3RWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\NXOLRSURPLHQLXUyZQ\Prb:
Vb
G ˜ MZ
rb
(1)
0DVĊ =LHPL Z\]QDF]DP\ SU]HNV]WDáFDMąF Z]yU U Z
MZ
Ÿ MZ
V
UZ ˜ V .
4 3
ʌ r REMĊWRĞüNXOLVWąGRWU]\PXMHP\ĪH
3 b
4
M Z U Z ˜ ʌ rb3
3
LSRU]ąGNXMąFZ]yUGRVWDMHP\ĪH
W miejsce V podstawiamy V
4
(2)
G ˜ U Z ˜ ʌ ˜ rb2 .
3
-HVWWRZDĪQ\Z\QLNLPZLĊNV]\SURPLHĔNXOLW\PSU]\WHMVDPHMJĊVWRĞFL
ZLĊNV]\SRWHQFMDáQDjej powierzchni FKRG]LRZDUWRĞüEH]Z]JOĊGQą.
3RGVWDZLDMąF RGSRZLHGQLH GDQH OLF]ERZH RWU]\PXMHP\ ZDUWRĞü SRWHQFMDáX
JUDZLWDF\MQHJRNXOLRSURPLHQLXUyZQ\PSURPLHQLRZLELHJXQRZHPX=LHPL
Vb
Vb
6, 22715 ˜107
m2
.
s2
E3RWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\NXOLRSURPLHQLXUyZQ\P rr:
.RU]\VWDMąF ]H Z]RUX 2 QD SRWHQFMDá JUDZLWDF\MQ\ ]DVWĊSXMąF Z QLP rb
promieniem UyZQLNRZ\P rr, D WDNĪH SRGVWDZLDMąF SR]RVWDáH GDQH OLF]ERwe
RWU]\PXMHP\ZDUWRĞü SRWHQFMDáXGODNXOLRSURPLHQLXrr:
Vr
6, 26933 ˜ 107
m2
.
s2
3RWHQFMDá QD UyZQLNX Z W\P RV]DFRZDQLX E\áE\ ZLĊNV]\ (w liczbach bezZ]JOĊGQ\FKQLĪQDELHJXQLH$OHSRZROL
2. :NáDGSRWHQFMDáXVLá\odĞURGNRZHMEH]ZáDGQRĞFLGRSRWHQFMDáXJUDZLWDF\jnego Ziemi.
3U]HPLHV]F]DMąF VLĊ Z]GáXĪ SURPLHQLD QD ZLUXMąFHM WDUF]\ OXE NXOL prze]Z\FLĊĪ\üPXVLP\VLáĊRGĞURGNRZąRLOHSRUXV]DP\VLĊZNLHUXQNX centrum).
3U]HPLHV]F]DMąFVLĊZLĊFZ\NRQXMHP\SUDFĊ: przypadku pola grawitacyjneJR]Z\NRQDQąSUDFąF]\OL]H]PLDQąHQHUJLLSRWHQFMDOQHM NRMDU]\P\SRWHQFMDá
JUDZLWDF\MQ\ 3U]H] DQDORJLĊ VLOH RGĞURGNRZHM SU]\SLVDü PRĪHP\ VWRVRZQ\
SRWHQFMDáNWyU\XPRZQLHQD]ZLHP\ SRWHQFMDáHPVLá\RGĞURGNRZHMSRMDZLDVLĊ
RQQSZWHRULL]GHU]HĔ %H]WHJRSRWHQFMDáXZ\OLF]RQDSRZLHU]FKQLDHOLSVRLG\
FOTON 114, -HVLHĔ 2011
41
nie XZ]JOĊGQLDáDb\ HIHNWyZ ]ZLą]DQ\FK ] REURWHP =LHPL $E\ Z\]QDF]\ü
SRWHQFMDáVLá\RGĞURGNRZHMVNRU]\VWDP\]HZ]RUX]F]ĊĞFL,DUW\NXáX
Przyspieszenie odĞURGNRZHVLá\EH]ZáDGQRĞFLPDZDUWRĞü
a = Ȧ2R,
(3)
2ʌ
MHVWSUĊGNRĞFLąNąWRZą, a R MHVWRGOHJáRĞFLąRGRVLREURWX
T
3RWHQFMDáVLá\odĞURGNRZHM1 Z\QRVLZLĊF
gdzie Z
Vo
1
Z 2 R2
2
(4)
WDN DE\ SRFKRGQD SRWHQFMDáX SR ]PLHQQHM R Z]LĊWD ]H ]QDNLHP PLQXV E\áD
UyZQDprzyspieszeniu RGĞURGNRZHPXa.
rad
Dla Ziemi T = 23 h 56 min (nie 24 KVWąG Z 7,28877 ˜105
.
s
3RGVWDZLDMąF GR Z]RUX QD Vo SR]RVWDáH GDQH OLF]ERZH GRVWDMHP\ ZDUWRĞü
SRWHQFMDáu VLá\ odĞURGNRZHM NWyUa ZSá\ZD QD NRĔFRZą ZDUWRĞü SRWHQFMDáX
grawitacyjnego:
Vo
0,10806 ˜ 106
m2
.
s2
3R]RVWDMą GR SROLF]HQLD SRSUDZNL HOLSVRLGDOQH 3RWHQFMDá SRFKRG]ąF\ RG
SLHUĞFLHQLDQLHMHVWWUXGQ\GRSROLF]HQLD:V]\VWNLHHOHPHQW\PDV\SLHUĞFLenia UyZQLNRZHJR ]QDMGXMą VLĊ Z WHM VDPHM RGOHJáRĞFL RG ELHJXQD UyZQHM
rb 2 rr 2 , Z]yUSU]\MPXMHZLĊFSRVWDü
a) 3RSUDZNDHOLSVRLGDOQDQDELHJXQLHGRSRWHQFMDáXGODNXOLRSURPLHQLXrb)
wynosi
MP
V pb G ˜
(5)
1
2
(rr rb2 ) 2
gdzie:
Vpb ± SRWHQFMDáSLHUĞFLHQLDSRZVWDáHJRZRNyáNXOLRSURPLHQLXrb,
MP ± PDVDSLHUĞFLHQLD
0DVĊ SLHUĞFLHQLD REOLF]\P\ RGHMPXMąF RG PDV\ =LHPL ± elipsoid\ PDVĊ
Ziemi ± kuli o promieniu UyZQ\P SURPLHQLRZL ELHJXQRZHPX 6WąG
1
8ZDĪQ\F]\WHOQLN]DXZDĪ\ĪHREOLF]DQ\SRWHQFMDáÄVLá\GRĞURGNRZHM´SU]HPQRĪRQ\SU]H]
PDVĊSRUXV]DMąFHJRVLĊFLDáDMHVWFRGRZDUWRĞFLEH]Z]JOĊGQHMUyZQRZDĪQ\HQHUJii kinetycznej
WHJRFLDáDòmX2.
41
FOTON 114, l esiet\ 1011
4
4
2
3
Po
Mp = Pz · n ·r, -13 - Pz · }mb
3
»Jb.$tt Z'UIIti-~Jip:wida
podstawieniu
dattych
liczb owych
masa Zinó- kN.li
otrzymujemy M p = 4. 017678 ·I011 kg, czyli mme.J niż l% m asy całej Ziemt.
Podstawiaj ąc masę pierścienia do wzom (5) wyznaczamy wattość poprawki do
p otenej al u
v,. - 0, -9778 lO
--
?
.
UwzględniaJąc tę elipsoirdalną poprawkę
6m l
l .
s
otrzymujemy warto ść potencjału
Ziemi na biegunie:
V..r = - 6, 22715 · lO 7 -
1
6
1m
O, 29778 -10 = - 6,35693 -10 - 1-
~~
'
...
s
b) Poten.:jał piedcienia (poprawka elip soidalna na brakujące' czasze biegunowe, zob. tys. 2) dl a kuli o promieniu r,:
R:f.'. 2 Elipsoida widziana z równika, to kula o promieniu tównikowym r, od której odjęto dwie czapy
nad biegunami. B rakujące czapy zastępujemy w obliczemach równoważnymi ,y·eumymi masami umieszczonymi na biegunach
· Stosujemy takie prz)bliżenie p=z aualogię z elekhostatyi<ą. leśli jakieś cia!o jest w swej obję­
łoSet Jedoorodtue naładowane elekh)<znie, a pewlUI jego część jest elekh)<zrue oboj ębut, to może­
my oblicZ)'Ó potencj ał wywołany takim ładunkie m przyjmując, że całe cia!o jest naładowane, po
czym odjąć prz)"zyoek od części nie naładowanej zakladając, Z. dodatkowo ta część jest naładowa­
na przeciwnie. Brakująca masa na ·czaszach biegunoW)"h elipsoidy. w potóMUUliu do kuli o ptotnieniu tóWllikowym (czyli większym niż biegunowy) to jakby"ujemna" masa !)"h czasz.
FOTON 114, -HVLHĔ 2011
43
Vp r
Mp
G
1
(rr2 rb2 ) 2
0DVĊ tego* SLHUĞFLHQLD REOLF]DP\ RGHMPXMąF RG PDV\ NXOL R SURPLHQLX rr
PDVĊ=LHPL ± elipsoidy: M p 4 ʌ ˜ U Z rr3 rr2 rb ˜22 NJ ZauwaĪ
3
P\ĪHPDVDczasz biegunowych MHVWGZDUD]\PQLHMV]DQLĪSLHUĞFLHQLDUyZQikowego.
2EOLF]DMąFSRWHQFMDáUyZQRZDĪQHJRSLHUĞFLHQLDRWU]\PXMHP\SRSUDZNĊ
m2
.
s2
Znak Ä´ R]QDF]DĪHSRSUDZNĊRGMĊOLĞP\ RGSRWHQFMDáXNXOLRSURPLHQLXrr
± w analogii ]SRWHQFMDáHPelektrostatycznym EUDNXMąFąPDVĊQDczaszach biegunowych WUDNWXMHP\ MDN áDGXQHN HOHNWU\F]Q\ SU]HFLZQHJR ]QDNX 3RWHQFMDá
grawitacyjny Vr,g QLH XZ]JOĊGQLDMąF\ SRWHQFMDáX RGĞURGNRZHJR Z\QRVL ZLĊF
QDUyZQLNX
Vp r
Vr , g
0,14965 ˜ 106
6, 269332 ˜ 107 0,014965 ˜ 107
Vr
6, 254367 ˜ 107
V pr
m2
s2
8Z]JOĊGQLDMąF dodatkowo SRWHQFMDá RGĞURGNRZ\ GRVWDMHP\ ĪH FDáNRZLW\
SRWHQFMDáJUDZLWDF\MQ\Vr SXQNWyZQDSRZLHU]FKQLZiemi±elipsoidy wynosi na
UyZQLNX
Vr
6, 254367 ˜107 0,010806 ˜ 107
Vr , g
Vo
6, 26517 ˜ 107
m2
.
s2
3RWHQFMDá JUDZLWDF\MQ\ QD ELHJXQLH L QD UyZQLNX Vą w takim oszacowaniu
UyZQH]GRNáDGQRĞFLąGR3RZLHU]FKQLDZLUXMąFHMLVSáDV]F]RQHMQDELeJXQDFK=LHPLMHVWZLĊFSRZLHU]FKQLąHNZLSRWHQFMDOQą
0RĪQD SRWHQFMDá\QDUyZQLNXLELHJXQLHRV]DFRZDüGRNáDGQLHMDOHQDOHĪaáRE\WHJRGRNRQDüQLH]DSRPRFą]JUXEQ\FKSU]\EOLĪHĔDOH NRU]\VWDMąF]PeWRGUDFKXQNXFDáNRZHJRDSRQDGWRWU]HED]QDü]ZLĊNV]ąGRNáDGQRĞFLąJĊVWRĞü
UyĪQ\FKZDUVWZ=LHPL
2EOLF]RQHZDUWRĞFLSRWHQFMDáyZVb, Vr,g oraz Vo LGRĞZLDGF]DOQHZDUWRĞFLrr
i rb SRSU]H] F\WRZDQ\ MXĪ NLONDNURWQLH Z]yU SR]ZDODMą Z SURVW\ VSRVyE2
-HVWWRLQQ\SLHUĞFLHĔQLĪRPDZLDQ\ZF]HĞQLHMQDVWHn MHVWÄELHJXQRZ\´
=RJyOQHJRZ]RUXLZ]RUyZQDSRWHQFMDá\JUDZLWDF\MQ\LRGĞURGNRZ\GHGXNXMHP\ĪH
ab =Vb/rb, a ar = Vr,g/rr+2Vo/rrQDELHJXQLHLUyZQLNXRGSRZLHGQLR
*
2
44
FOTON 114, -HVLHĔ2011
REOLF]\üSU]\VSLHV]HQLH]LHPVNLHQDUyZQLNXLELHJXQLH:DUWRĞFLWDNREOLF]RQH
Z\QRV]ą PV2 i 9,843 m/s2 RGSRZLHGQLR Z QLH]áHM ]JRGQRĞFL ] ZDUWoĞFLDPLGRĞZLDGF]DOQ\PLF\WRZDQ\PLQDSRF]ąWNXDUW\NXáX
3RGVXPRZXMąFLGHDOQ\NV]WDáW=LHPLRGELHJDRGU]HF]\ZLVWHJRXNV]WDáWRZania ,GHDOQD SRZLHU]FKQLD =LHPL WR WDND MDNą SU]\EUDáRE\ PRU]H FDáNRZLFLH Mą
REOHZDMąFH± SRZLHU]FKQLDPRU]DMHVWZNDĪG\PSXQNFLHHNZLSRWHQFMDOQDÄSo]LRPD´DLQQ\PLVáRZ\SURVWRSDGáDGRsumy VLá\JUDZLWDFML LRGĞURGNRZHMVLá\
EH]ZáDGQRĞFLĝURGHN=LHPLWRQLHMHMĞURGHNJHRPHWU\F]Q\DOHSXQNWGRNWyUeJR]ELHJDMąVLĊZV]\VWNLHÄSLRQ\´PXUDUVNLH]DZLHV]RQHZUyĪQ\FKPLHMVFDFKQD
powierzchni ZiePL-DNSLVDá.RSHUQLN± MHVWWRĞURGHNFLĊĪNRĞFL=LHPL
Przyspieszenie grawitacyjne WRSRFKRGQDSRWHQFMDáXZ]GáXĪSURPLHQLD ± jeĞOL ZLĊF SRZLHU]FKQLD HNZLSRWHQFMDOQD SU]HELHJD GDOHM RG ÄĞURGND´ =LHPL WR
przyspieszenie grawitacyjne jest tam mniejsze, jak WR PD PLHMVFH QD UyZQLNX
Przedstawione obliczenie poprawki do powierzchni ekwipotencjalnej wynikają
FHM]UXFKXREURWRZHJR=LHPLLMHMVSáDV]F]HQLDMHVWG\GDNW\F]QLHLQVSLUXMąFH
FKRüSRGUĊF]QLNLWHJRWHPDWXXQLNDMą
Dodatkowe, lokalne poprawki dla ustalenia referencyjnego, grawitacyjnego
NV]WDáWX =LHPL F]\OL NV]WDáWX geoidy Z\QLNDMą ] ORNDOQ\FK UyĪQLF Z JĊVWRĞFL
SáDV]F]D:LĊNV]DJĊVWRĞüVNDáGDMHZLĊNV]ąEH]Z]JOĊGQą ZDUWRĞüSRWHQFMDáXQD
powierzchni. Z kolei, pRQDG SRZLHU]FKQLą =LHPL ZDUWRĞü EH]Z]JOĊGQD SRWHnFMDáX]PQLHMV]DVLĊ]Z\VRNRĞFLą1DGVNDáDPLFLĊĪNLPLSRZLHU]FKQLHHNZLSoWHQFMDOQHSU]HELHJDMąZLĊFZ\ĪHMGDOHMRGĞURGND=LHPLQLĪQDd VNDáDPLOHkkimi. Europejska Agencja Kosmiczna (ESA) stwierdza: ÄQDG SRGPRUVNą JyUą
morze wybrzusza sLĊNXJyU]H´.
'RĞZLDGF]DOQH Z\]QDF]HQLHUHIHUHQF\MQHM SRZLHU]FKQL =LHPL QLHMHVW EyQDMPQLHMSURVWHQDOHĪ\PLHU]\üVLáĊJUDZLWDFMLZSREOLĪXSRZLHU]FKQL=LHPL
i Z\]QDF]\ü ] W\FK SRPLDUyZ NV]WDáW SRZLHU]FKQL HNZLSRWHQFMDOQHM 8F]\QLá
WRRVWDWQLRF]Xá\VDWHOita *2&(QDOHĪąF\GR(6$ODWDMąF\QDPDáHMZ\VRNoĞFLNPL XĪ\ZDMąF\GRNRUHNW\WUDMHNWRULLVLOQLNyZQDVWUXPLHQLHMRQyZ
NVHQRQRZ\FK3RWZLHUG]LáRQQLHZLHONLHRGFK\OHQLDRGSRZLHU]FKQLHOLSVRLG\
U]ĊGX±100 m, +80 m, w rejonie Oceanu Indyjskiego i Islandii, odpowiednio.
Paradoksalnie, w UHMRQLH +LPDODMyZ SRZLHU]FKQLD UHIHUHQF\MQD JHRLG\ SU]ebiega pod SRZLHU]FKQLą HOLSVRLG\ QDMZ\ĪV]H JyU\ ĞZLDWD WR GU\IXMąFD NUD
OHNNLFKVNDá
36 2JyOQLH SRPLDU\ VLá\ FLĊĪNRĞFL SRWUDILP\ SU]HSURZDG]Lü ] GRNáDGQRĞFLą
GRF\IU]QDF]ąF\FK2GG]LDá\ZDQLHJUDZLWDF\MQH.VLĊĪ\FDL6áRĔFDGDMHSR
SU]HFLZOHJá\FK VWURQDFK UyZQLND UyĪQLFH RGSRZLDGDMąFH ]PLDQLH SR]LRPX
SRZLHU]FKQL HNZLSRWHQFMDOQHM U]ĊGX NLONX PHWUyZ MDN WR REUD]XMą SU]\Sá\Z\
45
FOTON 11 4, J esieti 201 1
morza3. Na ósmą cy frę znaczącą lokalnej sily grawitacji ma wpływ rozmie szczenie wieżowców w otoczeniu badanego punktu, zob. [l ].
Rozważania o Ziemi oblanej morzami i powierzchniach ekwipotencjalnych
wyj asniaj ą nie tylko spóżnianie się zegarów na równiku i elipsoidalny kształt
naszego globu, ale potwierdzają ruch obrotowy Ziemi.
.
/ ·- l
' ,.;#'J/Jj'.' ...i;,
.
-
'
~-
.
Fot. l. Wbrew l'OZJXlWS'Zechnionym. a niepełnym cytowaniem, napis na
JXlmniku w TofUluu glosi ,,Ruszy! Zienuę, wstrzymał Słońce i 11iebo". To
włamie wilujące
niebo, ,,którego rozmiarów nie znamy, a być
może znać
nie możeruf [4], nieJXlkoiło Mikołaja Kopenrika pięćset lat tenm (JXlW'Sianie Ko:mmtar:a jest datowane gdzieś nuędzyrokiem 1510 a 1514)
P odziękowania
Autorzy dziękują panu redaktorowi Witoldowi Zawadzkiemu za wnikliwą leki cenne uwagi.
turę rękopisu
L itn·a tur:l
[l) Ew:opej skaAgen cja Kosmi czna, http://www.e sa.intlim agesiC2 _ gravity_ crop.jpg
[2) R .H. Steward, ln b·oduction to Physical Oceanography,
http; //oceamvorl d.tamu .edulresources/ocng_textb ooklchapterl 7/chapterl7 _04.htm
[3) Irving Michelson, Tides ' Tortured Theory ,. Btdettin of the Atomie Sci entists, March
1974, zob. http://booh.google.c om
[4) M. Kopemik, O obrotach c ial niebieskich, tlunt. L .A Birkenm ajer, Wydawnictwo
Z akładNarodowy im. Ossalitiski ch, Wrocław 2004
' Amplituda plyw<iw oceaniczn::,<:h określona z jXltencja!u grawitacyjnego· i JXllencja!u doŚIO dkowego jest 1ądu metrów, więcej niż rzeczywiste pływy na otwartym oceanie . De cydujący
wpływ na wielkość pływów mają zjawiska mecha>uki ciec:y [2].
ZagadJuenia pływów oceaniczn::,<:h próbowali rozwiązywac najW)bibliejsi ucze1u od Sir Ne-
wtolUI przez Markiza de Laplace 'a do Lorda Kelvina [3], a nan-. t wielki JXll<ki matematyk
i ftlozof eJXlki romantyzmu Józef Maria Hoene Wroński. Żaruternu z nich tak do końca się to rue
udało. więc
my nie b~dziemysię tego runvet podejmo wać_ .