Zapisz jako PDF

Zderzenia relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna
Zasady zachowania
Relatywistyczne wyrażenie na pęd cząstki:
gdzie
Relatywistyczne wyrażenia na energię cząstki:
energia kinetyczna:
energia spoczynkowa:
energia całkowita:
Dla dowolnego izolowanego układu obowiązują zawsze:
zasada zachowania energii
zasada zachowania pędu
Transformacja
Zamiast rozważać niezależnie energię i pęd układu, wygodnie jest wprowadzić czterowektor energiipędu:
Przy zmianie układu odniesienia, czterowektor energii-pędu podlega transformacji Lorentza
identycznej z transformacją dla współrzędnych czasoprzestrzennych zdarzeń.
Widzimy, że energia całkowita odpowiada współrzędnej czasowej, zaś wektor pędu współrzędnym
przestrzennym.
Przykład I
Rakieta lecąca w kierunku Ziemi z prędkoscią
protonów o energii
obserwator na Ziemi?
GeV. Masa protonu
wystrzeliwuje w jej kierunku wiązkę
. Jaką energię protonów zmierzy
Pęd protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej):
Współczynniki transformacji Lorentza z układu rakiety do układu Ziemi:
Energia w układzie Ziemi:
Masa niezmiennicza
Jest to niezmiennik transformacji Lorenza, czyli wielkość, która nie zależy od wyboru układu
odniesienia
Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego masa niezmiennicza jest zachowana (nie zmienia się
w czasie). Wynika to z zasady zachowania energii i pędu.
Masa niezmiennicza jest podstawowym pojęciem w analizie zderzeń relatywistycznych, zwłaszcza w
procesach nieelastycznych (produkcja nowych cząstek).
Masa niezmiennicza jest tożsama z energią układu w układzie środka masy (
zderzających się cząstek mówimy o energii dostępnej w układzie środka masy.
). Dla
Dla pojedynczej cząstki masa niezmiennicza jest tożsama z masą cząstki (energią spoczynkową).
Przykład
Jaka jest masa cząstki, która poruszając się z energią kinetyczną
GeV/c ?
GeV ma pęd
Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej cząstki:
Energię całkowitą wyrażamy przez energię kinetyczną:
Otrzymujemy:
Układ środka masy
Niech dane będą
Energia układu cząstek:
Pęd układu cząstek:
Masa niezmiennicza tego układu:
Jak znaleźć układ środka masy (CMS), czyli układ w którym
?
Wiemy, że w CMS energia i pęd dane są przez
Energia i pęd wiążą się z
i
przez transformacje Lorentza:
Otrzymujemy z przekształcenia tych zależności związki na wspólczynniki transformacji do układu
środka masy:
Związki te obowiązują zarówno dla pojedyńczej cząstki jak i dowolnego układu cząstek!
Przykład
Z jaką prędkością porusza się elektron o energii
Współczynnik Lorentza dla elektronu (
(
)?
):
Widzimy więc, że
Wnioskujemy, że prędkość elektronu jest bardzo bliska prędkości światła,
różnicę:
Pęd elektronu:
, policzmy więc
Różnica między energią i pędem też dąży do zera:
Energia kinetyczna:
Różnica między energią całkowitą i kinetyczną:
Widzimy, że dla cząstki o energii
ultrarelatywistyczne):
(
) można przyjąć (przybliżenie
Zderzenia elastyczne
Klasyfikacja zderzeń
W przypadku nierelatywistycznym zderzenia dzieliliśmy na:
zderzenia elastyczne
Zachowany jest pęd i energia kinetyczna.
zderzenia nieelastyczne
Zachowany jest pęd, natomiast energia kinetyczna zamieniana zostaje (częściowo) na inne
formy energii (zazwyczaj ciepło).
W przypadku relatywistycznym energia całkowita i pęd są zawsze zachowane. Musimy zmodyfikować
klasyfikację zderzeń.
Dzielimy je na:
Zderzenia elastyczne
Zderzenia typu
(dwie cząstki w stanie począstkowym i dwie w końcowym), przy czym
cząstki po zderzeniu są takie same jak cząstki zderzające się (w szczególności nie zmieniają się
ich masy:
i
)
przykład:
Zderzenia nieelastyczne
Gdy cząstki w stanie końcowym są inne niż przed zderzeniem.
przykład:
Rozpraszanie elastyczne
Rozważmy zderzenie "pocisku" o masie
mamy (
):
i energii
z "tarczą" o masie
Możemy policzyć współczynniki transformacji do układu środka masy:
. Dla układu dwóch ciał
Pęd obu ciał w układzie środka masy można zapisać jako:
Energie obu ciał w układzie środka masy:
Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii to, tak jak w przypadku
klasycznym
W układzie środka masy wartości pędów nie ulegają zmianie!
Zakładamy tutaj, że masy cząstek nie zmieniają siem,
elastyczne).
i
(rozpraszanie
Przypadek
Uzyskane wyrażenia bardzo się upraszczają dla zderzeń cząstek o równej masie. Energia, pęd i masa
niezmiennicza układu dwóch cząstek:
Współczynniki transformacji do CMS:
Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy (z transformacji Lorenza dla spoczywającego ciała):
Wprowadźmy w układzie środka masy kąt
opisujący kierunek rozproszenia pierwszej cząstki.
Możemy teraz wypisać składowe czterowektora energii-pędu dla pierwszej cząstki w CMS:
Transformacja Lorentza do układu laboratoryjnego daje nam:
Zauważmy też, że
Możliwe wartości
i
spełniają warunek:
Warunek ten odpowiada równaniu elipsy w przestrzeni pędów. Transformacja Lorenza "spłaszcza"
rozkład pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku (w przypadku klasycznym mieliśmy okrąg).
Kąty rozproszenia mierzone w LAB (liczone ze stosunku poprzecznej i podłużnej składowej):
Możemy wyznaczyć kąt pomiędzy cząstkami po zderzeniu:
W przypadku rozproszenia pod kątem prostym w CMS (
)
W przypadku klasycznym kąt między rozproszonym pociskiem i tarczą, dla równych mas, zawsze był
równy
. W przypadku relatywistycznym kąty rozproszenia są mniejsze.
Dla dużych energii pocisku,
, kąt między cząstkami
W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi kątami!
Przykład
Elektron o energii
GeV rozprasza się elastycznie na spoczywającym elektronie (
MeV). Jaki kąt rozproszenia zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w CMS rozproszenie
nastapiło pod kątem prostym?
Masa niezmiennicza układu:
Współczynnik transformacji:
co odpowiada
Energia i pęd w CMS:
Transformacja do układu laboratoryjnego dla cząstki rozproszonej pod kątem orisrtn w CMS (kładąc
,
):
</math>
Kąt rozproszenia wynosi więc:
Przypadek
Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężką "tarczą" lekkiego "pocisku" (
)
) o wysokiej energii (
Jest to sytuacja z jaką często mamy do czynienia w zderzeniach fizyki cząstek (rozpraszanie
elektonów, mionów lub neutrin na tarczach jądrowych).
Pomijając wyrazy z
mamy:
Współczynniki transformacji do układu środka masy (dla
):
Pęd pocisku i tarczy w układzie środka masy:
Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego daje nam:
Możliwe wartości
i
spełniają więc warunek:
Odpowiada to ponownie równaniu elipsy.
W granicy
(
) pocisk rozprasza się zawsze ``do przodu" (
)!
Nawet dla
, jeśli
pocisk może przekazać tarczy znaczną część swojej energii.
Rysunek obok pokazuje możliwe wartości pędu dla przypadku
,
. Dla
nawet bardzo lekka sonda może "wybić" cząstkę tarczy...
Masa cząstki pocisku, dla dużych energii, przestaje być istotna.
Rozpraszanie nierelatywistyczne
Przypomnijmy, że w podejściu klasycznym, w granicy
tarcza przejmuje bardzo niewielką
część energii pocisku. Rozproszony pocisk ma praktycznie niezmienioną energię i wartość pędu.
Przykład
Elektron o energii
GeV rozprasza się na spoczywającym protonie (
Jaka jest maksymalna energia jaką może uzyskać proton?
Masa niezmiennicza układu
Współczynnik transformacji:
Energia i pęd protonu w CMS:
\; \;
GeV).
Transformacja do LAB (maksymalna energia gdy
):
Proton może przejąć praktycznie całą energię elektronu!
Nie pomijając członu
w wyrażeniu na masę niezmienniczą otrzymujemy dokładniejszy wynik
rozproszony elektron zachowa 1% swojej energii całkowitej...
Zderzenia nieelastyczne
Klasyfikacja zderzeń
Zderzenia elastyczne to reakcje typu
, w których cząstki rozproszone są takie same jak cząstki
zderzające się. W szczególności:
i
W zderzeniach cząstek jest to jednak wyjątek (!)
W oddziaływaniach cząstek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo
wiele reakcji, w których powstają nowe cząstki:
Rozpady cząstek:
Produkcja pojedyńczej cząstki (tzw. "rezonansu"):
Rozproszenie nieelastyczne dwóch cząstek:
(przy czym jedna z cząstek na
końcu może być cząstką stanu początkowego)
Produkcja wielu cząstek:
(gdzie
oznacza dowolny stan wielocząstkowy)
Świat cząstek elementarnych
Zanim zajmiemy się szerzej zderzeniami nieelastycznymi cząstek poznajmy obiekty, które w takich
zderzeniach mogą uczestniczyć.
Fermiony
Fermiony są podstawowymi składnikami otaczającej nas materii. Świat "codzienny" zbudowany jest z
3 fundamentalnych "cegiełek": elektron oraz kwarków i .
Elektron występuje jako cząstka swobodna, natomiast kwarki są "uwięzione" w nukleonach. Każdy
nukleony składa się z 3 kwarków: proton to (uud), neutron - (udd).
Fizyka cząstek znalazła łącznie 12 fundamentalnych "cegiełek" materii, cząstek zwanych fermionami
(cząstek o spinie 1/2). Znamy 6 leptonów i 6 kwarków, które można podzielić na 3 tzw. pokolenia:
leptony
pokolenie 1
pokolenie 2
pokolenie 3
elektron
mion
taon
kwarki
neutrino el.
d
u
down
up
s
c
neutrino mionowe strange charm
neutrino taonowe
ładunek [e]
b
t
beauty
top
0
Każda z wymienionych cząstek ma też swoją antycząstkę (kolejne 12).
Wszystkie leptony obserwujemy jako cząstki swobodne. Natomiast kwarki są zawsze "uwięzione" w
hadronach (cząstkach oddziałujących silnie)
Bozony
"Cegiełki" materii oddziałują ze sobą poprzez wymianę nośników oddziaływań. Nośnik przekazuje
część energii i/lub pędu jednej cząstki drugiej cząstce.
oddziaływanie
grawitacyjne
źródło
masa
nośnik
grawiton
elektromagnetyczne ładunek el.
foton
silne
"kolor"
gluony
słabe
"ładunek słaby" "bozony pośredniczące"
moc
G
1
,
gdzie jako "moc" pokazano przykładowe porównanie wielkości oddziaływań dla dwóch sąsiadujących
protonów
Rozpady cząstek
Rozawżmy rozpad cząstki o masie
na
cząstek o masach
{(
)}.
Masa niezmiennicza przed rozpadem:
Masa niezmiennicza po rozpadzie:
Dla dowolnej pary cząstek ,
mamy (
):
Czyli
Ostatecznie otrzymujemy więc warunek:
Warunek konieczny, aby mógł mieć miejsce rozpad do określonego stanu cząstkowego można więc
zapisać w postaci:
gdzie
jest minimalną wartością kwadratu masy niezmienniczej stanu końcowego.
Rozważmy najprostszy przypadek rozpadu dwuciałowego. W układzie rozpadającej się cząstki
produkty rozpadu mają równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane pędy:
Jaka będzie wartość pędu produktów rozpadu
?
Wyraźmy masę niezmienniczą przez pęd produktów:
Wydzielając pierwiastek i podnosząc do kwadratu
Większość wyrazów z pędem skróci się. Zostaje
Ostatecznie otrzymujemy:
Wyrażenie to bardzo się upraszcza w przypadku rozpadu na dwie cząstki o równych masach,
:
Energia produktów rozpadu wyniesie wtedy
Z kolei w granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki,
, otrzymujemy:
Energie cząstek po rozpadzie nie są równe !
Mierząc pęd (lub energię) jednego z produktów rozpadu, możemy wnioskować o masach pozostałych
cząstek.
Przykład
Pion
o masie
neutrino:
MeV rozpada się na mion
(o macie
MeV) i bezmasowe
Pędy produktów rozpadu:
Energie liczymy z definicji masy niezmienniczej (
):
Neutrino wynosi większość energii kinetycznej!
Prawo rozpadu
Wszystkie cząstki danego rodzaju (np. elektrony lub neutrony) są identyczne. Nie mają też "pamięci"
- ich własności nie zależą od czasu. Dla cząstek nietrwałych oznacza to, że prawdopodobieństwo ich
rozpadu w zadanym przedziale czasu jest zawsze takie samo.
Rozważmy bardzo mały przedział czasu
(znacznie mniejszy niż typowy czas rozpadu). Jeśli próbka
zawiera
cząstek to liczba oczekiwanych rozpadów musi być proporcjonalna do
i do
:
Całkując to równanie otrzymujemy:
Ostatecznie otrzymujemy prawo rozpadu promieniotwórczego
Pozostaje nam jednak nieznany parametr , który musimy powiązać z własnościami cząstki.
Prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu (dla pojedynczej cząstki) dane jest przez:
Parametr
możemy więc powiązać ze średnim czasem życia cząstki cząstki:
Ptrzymujemy więc wzory na prawdopodobieństwo rozpadu
oraz
Jeśli cząstka o masie
i średnim czasie życia (zawsze defniowanym w układzie cząstki) ma w
układzie obserwatora O' energię i pęd , to obserwator zmierzy:
zgodnie z formułą na dylatację czasu. Możemy też zdefiniować średnią drogę swobodną:
Przykład
Jaki powinien być pęd mionu produkowanego w górnych warstwach atmosfery (
mógł dolecieć do powierzchni Ziemi zanim się rozpadnie?
km), żeby
Prawdopodobieństwo rozpadu w funkcji odległości:
Prawdopodobieństwo, że mion doleci do powierzchni Ziemi:
Prawdopodobieństwo to jest formalnie niezerowe dla dowolnego pędu. Duże szanse dolecieć mają
jednak tylko miony, dla których
:
Dla mionu:
(
),
MeV:
Zderzenia
Przekrój czynny na produkcję kwarków (rejestrowanych w postaci hadronów) w funkcji dostępnej
energii w zderzeniu
:
W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny na produkcję kwarków.
Proces ten opisujemy jako anihilację
w wirtualny foton, który następnie rozpada sie na parę
Schematycznie przedstawia to poniższy diagram:
Produkcja rezonansów
Przy pewnych wartościach
obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rzędów wielkości.
Jest to efekt rezonansowej produkcji cząstek, którą można przedstawić schematycznie na diagramie:
Przy czym cząstka
jest nietrwała i rozpada się nastepnie (np. na parę kwarków). Aby w
zderzeniu dwóch cząstek powstała jedna cząstka (np:
) masa niezmiennicza
zderzających się cząstek musi być równa masie cząstki którą produkujemy
.
Produkcja
w eksperymencie L3 przy
akceperatorze LEP
Najbardziej masywnym rezonansem produkowanym dotychczas w zderzeniach
jest bozon
Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla
ale ma ono skończoną szerokość, opisaną tzw. rozkładem Breita-Wignera:
Szerokość rezonansu wiąże się (zasada nieoznaczoności) z czasem życia produkowanej cząstki:
Produkcja wielu cząstek
:
Produkcja par
w eksperymentach
przy akceperatorze LEP
Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstały dwie lub więcej nowych cząstek, np:
masa niezmiennicza zderzających się cząstek musi być większa lub równa sumie mas
produkowanych cząstek:
W przypadku produkcji par bozonów
masa niezmiennicza zderzających się elektronów musi spełniać warunek
160 GeV
Energia dostępna
Mase niezmienniczą zderzających się cząstek
określamy też jako energię dostępną w układzie
środka masy. Energia dostępna jest to część energii kinetycznej, która może zostać zamieniona na
masę (energię spoczynkową) nowych cząstek.
mówi nam ile energii możemy zużyć na
wyprodukowanie nowych cząstek.
Przykład
Aby wyprodukować antyproton w reakcji
musimy mieć
Należy zwrócić uwagę, że liczymy wszystkie cząstki w stanie końcowym, także cząstki pierwotne.
Określoną wartość energii dostępnej możemy uzyskać na rózne sposoby:
Zderzenia z tarczą
Cząstka "pocisk" o energii
uderza w nieruchomą tarczę. Kwadrat masy niezmienniczej:
w granicy
Wiązki przeciwbieżne
Zderzenia wiązek o energiach
i
:
w granicy
Uzyskujemy dużo wyższe wartości energii dostępnej niż w przypadku zderzenia "z tarczą"!!!
Przykład
Wiązka protonów o energii 50 GeV (
na tarczy wodorowej (protony):
)
dwie wiązki przeciwbieżne:
Energia progowa
Jest to minimalna energia wiązki
przy której możliwa jest dana reakcja. Sprowadza się to do
warunku przekroczenia przez masę niezmienniczą pocisku i tarczy minimalnej masy niezmienniczej
danej przez masy produktów reakcji. Kwadrat minimalnej masy niezmienniczej:
Zderzenia z tarczą
W zderzeniach z nieruchomą tarczą:
Możemy policzyć jaka jest minimalna energia całkowita pocisku:
Minimalna energia kinetyczna pocisku:
Minimalna energia kinetyczna pocisku, w zderzeniach z tarczą, więże się z przyrostem masy:
Energia kinetyczna pocisku jest "zużywana" na zwiększenie masy układu...
Przykład 1
Produkcja anty-protonów w reakcji
Minimalna masa niezmiennicza:
Podstawiając otrzymujemy:
Wiązki przeciwbieżne
Dla wiązek przeciwbieżnych (dla uproszczenia przyjmujemy
,
) mamy
Minimalna energia wiązki przy której możliwe jest wyprodukowanie danego stanu dana jest przez
Minimalna energia kinetyczna
Należy zauważyć, że energia rośnie liniowo z masą produkowanego stanu (na tarczy: kwadratowo!).
Dużo niższe energie potrzebne są do wytworzenia tego samego stanu w zderzeniach wiązek
przeciwbieżnych
Przykład 1 (c.d.)
Produkcja anty-protonów w reakcji
Minimalna energia kinetyczna protonów w przypadku zderzenia wiązeg przeciwbieżnych
(na tarczy: 5.63 GeV)
Przykład 2
Produkcja par bozonów
w zderzeniach elektron-pozyton:
Gdybyśmy chcieli użyć pojedyńczej wiązki pozytonów i tarczy, minimalna energia wiązki wyniosłaby (
,
)
Tak ogromnych energii nie jesteśmy w stanie wytworzyć ! Dotychczas uzyskiwane wiązki pozytonów
miały energie
, projektowane przyszłe akceleratory mogą dostarczyć energii
...
Dla przeciwbieżnych wiązek elektron-pozyton:
Takie energie to już nie problem (uzyskiwane były w akceleratorze LEP)...