Systemy liczbowe używane w informatyce

Systemy liczbowe u ywane w informatyce
System dwójkowy
Dziesi tny (decygonalny) system liczbowy nie by u ywane od zawsze. Na pocz tku istnienia
ludzko ci oprócz obecnego systemu stosowano: dwudziestkowe (od ilo ci palców u r k
i nóg), pi tkowe (palce jednej r ki) i inne. W czasach staro ytnych na Bliskim Wschodzie
ukszta towa si system sze dziesi tkowy, który
utrzyma si
czy si z dziesi tnym, a jego wp yw
do dzisiaj w zapisie czasu (np. podzia godziny na 60 minut ) i w mierze
stopniowej k tów. Wraz z pojawieniem si komputerów rozpocz to intensywne korzystanie
z zapisu binarnego. Nie znaczy to jednak,
z komputerami, wystarczy tu wspomnie
e kodowanie binarne pojawi o si
wraz
o alfabecie Morse’a, który zosta stworzony
w wieku osiemnastym dla potrzeb telegrafu.
System dziesi tny i dwójkowy s systemami pozycyjnymi wagowymi tzn. znaczenie cyfry
zale y od jej po
enia oraz ka dej cyfrze jest przypisana inna waga. Dla systemu
dziesi tnego wagi to pot gi liczby 10 czyli: ...,
1
1
1
,
,
, 1, 10, 100, 1000, itd., za dla
1000 100 10
1 1 1
systemu binarnego wagi to pot gi liczby 2: ... , , , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,
8 4 2
1024 itd.
n
Ka
liczb mo emy rozpisa wed ug wzoru: L
ai N i , gdzie:
i m
–
L to liczba.
–
N to podstawa systemu (np. 10 dla systemu dziesi tnego lub 2 dla binarnego).
–
m to indeks ostatniej cyfry (tej z prawej strony), albo inaczej mówi c liczba przeciwna
do ilo ci cyfr po przecinku, np. w liczbie 248,0235 m = - 4.
–
n to indeks pierwszej cyfry (tej z lewej strony), albo inaczej mówi c ilo
cyfr przed
przecinkiem pomniejszona o 1, np. w liczbie 248,0235 n = 2. Wynika z tego, e pierwsza
cyfra przed przecinkiem ma indeks 0, poprzednie cyfry maj kolejne indeksy dodatnie,
a cyfry po przecinku maj kolejne indeksy ujemne numerowane w drug stron .
–
i to indeksy kolejnych cyfr.
–
ai to kolejne cyfry w naszej liczbie.
Przyk ady:
–
liczb dziesi tn 248,0235 mo na rozpisa :
248,0235
–
5
10
1
10000
3
1
1000
2
1
100
0
1
10
8 1 4 10
2 100 ;
liczb dwójkow 101011,1011 mo na rozpisa :
101011,1011
2
1
1
1
1
16
8
0
1
1
1
1 1 1 2
4
2
0 4 1 8 0 16 1 32 .
W raz z pojawieniem si systemu dwójkowego pojawi a si konieczno
dwójkowych na dziesi tkowe i odwrotnie. Na przyk adzie poka
zamiany liczb
zamian liczby naturalnej
190 na jej odpowiednik dwójkowy:
190 :
2
0
95
:
2
1
47
:
2
1
23
:
2
1
11
:
2
1
5
:
2
1
2
:
2
0
1
:
2
1
0
Liczb 190 dzielimy przez podstaw systemu, czyli przez 2. Reszt z dzielenia, czyli 0
zapisujemy po prawej stronie pionowej linii, za ca kowity wynik dzielenia 95 zapisujemy
pod liczb 190. Podobnie post pujemy z liczb 95, jednak w tym przypadku reszta z dzielenia
wynosi 1. Dzielenie powtarzamy, a ca kowity wynik z dzielenia dojdzie do 0, za wynik
odczytujemy od do u. Po
wykonaniu powy szych operacji otrzymujemy wynik:
(190)10=(10001110)2.
Otrzyman liczb zamienimy teraz na dziesi tkow :
(10111110)2 = 0·1+1·2+1·4+1·8+1·16+1·32+0·64+1·128 = 2+4+8+16+32+128 =190.
Przy zamianie u amków algorytm post powania jest podobny do zamiany liczb ca kowitych.
Tym razem jednak mno ymy liczb przez podstaw systemu, jako now liczb pod spodem
zapisujemy cz
u amkow otrzymanego iloczynu, natomiast cz
po prawej stronie. Jako przyk ad zamieni liczb 0,625.
ca kowit umieszczamy
0,625 ·
2
1
0,25
·
2
0
0,5
·
2
1
0
Wynik odczytujemy od góry i umieszczamy go po przecinku, czyli (0,625)10= (0,101)2. Dla
sprawdzenia
0,101 2
1
zamieni
1
1
1
0
1
8
4
2
otrzyman
0,125 0,5
liczb
na
dziesi tkow :
0,625 .
System szesnastkowy
Liczby dwójkowe s czytelne dla komputera, jednak korzystanie z nich przez cz owieka nie
jest atwe. Liczby zapisane binarnie s zbyt d ugie, a przez to ma o czytelne. Aby skróci
zapis wprowadzono do u ytku system szesnastkowy ( heksadecymalny ). Zamiana liczb
dwójkowych na szesnastkowe i na odwrót jest bardzo atwa i nie wymaga tylu czynno ci co
zamiana na system dziesi tny.
W systemie heksadecymalnym u ywamy nast puj cych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F, gdzie litery oznaczaj odpowiednio: 10, 11, 12, 13, 14, 15. Aby zamieni liczb
binarn na szesnastkow , zamieniamy czwórki cyfr 0 i 1 na odpowiadaj ce im cyfry od 0 do
F wed ug poni szej tabeli.
Liczba
Liczba
szesnastkowa
dwójkowa
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
2
Liczba
Liczba
szesnastkowa
dwójkowa
7
0111
8
1000
9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
5
B
9
Zamian pokazuje przyk ad: (100101101111001) 2
(25B9)16 .