Indukcja Matematyczna Krzysztof R. Apt

Indukcja Matematyczna
Krzysztof R. Apt
1
Zagadka
Czy mozna byc w 1/3 Chinczykiem?
2
Indukcja Matematyczna i Funkcje
f (1) = 2,
f (n + 1) = 2 · f (n).
A wiec
f (2) = 2 · f (1) = 4,
f (3) = 2 · f (2) = 8,
f (4) = 2 · f (3) = 16,
itd.
Wyglada, ze
f (n) = 2n.
3
Zgadza sie dla n = 1, 2, 3, 4.
Ale jak to udowodnic dla wszystkich n ≥ 1?
Zasada indukcji matematycznej:
• Wpierw dowodzimy wlasnosc dla n = 1.
Tzw. podstawa indukcji.
• Nastepnie zakladamy, ze jest to prawdziwe
dla n i dowodzimy wlasnosc dla n + 1.
Tzw. krok indukcyjny.
Jesli udowodnimy te dwa fakty, to udowodnilismy
f (n) = 2n
dla wszystkich n ≥ 1.
4
Dowod
f (1) = 2,
f (n + 1) = 2 · f (n).
f (n) = 2n?
1. Zachodzi dla n = 1.
2. Zalozmy, ze to zachodzi dla jakiegos n.
Wowczas
f (n + 1) = 2 · f (n) = 2 · 2n = 2n+1.
3. Wniosek:
f (n) = 2n
zachodzi dla wszystkich n ≥ 1.
5
Hugs
Hugs> :load f.hs
Main> f(10)
1024
gdzie f.hs to po prostu definicja f :
f(1) = 2
f(n+1) = 2*f(n).
6
Indukcja Matematyczna i Relacje
Zauwaz:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
7
Twierdzenie
Suma pierwszych n liczb nieparzystych = n2.
Dowod
Oznaczmy te sume przez S(n).
Krok indukcyjny.
Zauwaz:
S(n + 1) = S(n) + 2n + 1.
Ale
S(n) = n2,
wiec
S(n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.
8
Wimbledon
S. Williams
V. Zvonareva
S. Williams
S. Williams
V. Zvonareva
P. Kvitova
T. Pironkova
4 zawodniczki, 3 mecze.
Twierdzenie
W drzewie binarnym z n ≥ 1 poziomami:
Liczba lisci (zawodniczek): 2n−1.
Liczba wewnetrznych wierzcholkow (meczy):
2n−1 − 1.
Przyklad n = 3.
2n−1 = 4, 2n−1 − 1 = 3.
Przyklad n = 8.
2n−1 = 128, 2n−1 − 1 = 127.
9
Pytanie
Zalozmy, ze jest 106 graczy. Ilu meczy potrzeba
by wylonic zwyciezczynie?
10
Czasami zaczynamy od n = 5
Udowodnij
n2 < 2n.
n
1
2
3
4
5
lewa prawa
strona strona
1
2
4
4
9
8
16
16
25
32
Twierdzenie
n2 < 2n zachodzi dla n ≥ 5.
11
Zadanie domowe
Udowodnij, ze dla n ≥ 1 ostatnia cyfra 6n jest
6.
12
Wieze Hanoi
1
2
3
4
5
13
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
14
3
1
2
1
3
2
1
2
3
1
2
3
15
Twierdzenie
Dla kazdego n ≥ 1 jest rozwiazanie zagadki
wiez Hanoi.
Dowod
• Wpierw dowodzimy wlasnosc dla n = 1.
Podstawa indukcji: n = 1.
Przesun dysk z A do B.
• Krok indukcyjny: z n do n + 1.
– przesun gorne n dyskow
z A do C przy uzyciu B.
– przesun najwiekszy dysk z A do B,
– przesun n dyskow
z C do B przy uzyciu A.
16
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
17
1
2
3
4
Prolog
Kod w jezyku Prolog:
move(1,A,B,C) :write(’move top disk from ’),
write(A),
write(’ to ’),
write(B),
nl. % newline
move(M,A,B,C) :M>1,
N is M-1,
move(N,A,C,B),
move(1,A,B,C),
move(N,C,B,A).
18
Prolog
move(3,A,B,C).
move
move
move
move
move
move
move
top
top
top
top
top
top
top
disk
disk
disk
disk
disk
disk
disk
from
from
from
from
from
from
from
19
A
A
B
A
C
C
A
to
to
to
to
to
to
to
B
C
C
B
A
B
B
Triomina
Pytanie: Czy mozna pokryc triominami dowolna
szachownice bez jednego pola?
20
Tak
Twierdzenie (Golomb)
Dla kazdego n ≥ 1 mozna pokryc triominami
dowolna szachownice o wymiarach 2n na 2n
bez jednego pola.
21
Czy mozna byc w 1/3 Chinczykiem?
Twierdzenie
Dla kazdego n ≥ 1 i k ≤ 2n mozna byc w
k/2n Chinczykiem.
22
Mieszanie Farb
|
|
|
|
|_____|
|
|
| B |
|_____|
|
|
|
|
|_____|
|
|
| C |
|_____|
23
|
|
|
|
|_____|
|
|
| N |
|_____|
Twierdzenie
Dla kazdej farby w kazdym wiadrze jest jej
k/2n litra dla jakiegos k ≤ 2n.
A jesli k/2n = 1/3, to 3k = 2n.
24
Maly prezent z Holandii
25