IV Konkurs Matematyczny UniMat eliminacje 23 lutego 2015 r. czas

III Liceum Ogólnokształcące im. Unii Lubelskiej w Lublinie
Plac Wolności 4, 20-005 Lublin
Tel./Fax: 81 532 09 47, e-mail: [email protected]
IV Konkurs Matematyczny
UniMat
eliminacje
23 lutego 2015 r.
czas: 90 min.
Przed Tobą do rozwiązania test składający się z 20 zadań. Do każdego zadania podano
4 odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest prawdziwa. Twoim zadaniem jest
wypełnienie tabeli odpowiedzi wpisując T (tak) lub N (nie) w zależności od tego, czy
odpowiedź jest prawdziwa czy fałszywa. Za każdą prawidłową odpowiedź otrzymasz
3 punkty, za brak odpowiedzi 0 punktów, za złą odpowiedź stracisz 1 punkt.
UWAGA 1 Jeśli w zadaniu udzielisz cztery odpowiedzi N lub trzy odpowiedzi N i nie
udzielisz odpowiedzi T, otrzymasz za to zadanie minus 12 punktów.
UWAGA 2 Podczas konkursu nie możesz korzystać z kalkulatora.
Na kartę odpowiedzi wpisz wyraźnie swoje imię, nazwisko oraz gimnazjum.
Oto przykład wypełniania karty odpowiedzi:
Nr
Zad.
a)
1
2
T
N
ODPOWIEDZI
b)
c)
d)
N
N
T
N
Punkty
N
T
Powodzenia!
1.
Bryła ABCDEFGH jest sześcianem, którego krawędź ma długość a. Wobec tego:
1 3
a
2
2 2 3
b) Objętość bryły AFCH jest równa
a
3
1
c) Objętość bryły AFCH jest równa a 3
3
a) Objętość bryły AFCH jest równa
d) Bryła AFCH nie jest ostrosłupem.
2.
Liczba a =
3
2− 3
−3 3
a) Jest liczbą niewymierną
b) Jest liczbą całkowitą
c) Jest liczbą ujemną
d) Jest taką liczbą, że
a
2
⋅ 27 jest liczbą całkowitą
3.
Po rozwinięciu powierzchni bocznej walca na płaszczyźnie otrzymano kwadrat o boku
4π. Objętość tego walca jest równa:
a) 4π
b) 4π2
c) 16π
d) 16π2
4.
W trapezie ABCD, AB||CD, poprowadzono przekątne BD i AC, które przecięły się w
punkcie E. Wiemy, że |AB|=3|CD| oraz pole trójkąta AED P ( AED ) = 12 . Prawdą jest
więc, że:
a)
b)
c)
d)
P ( BCE ) = 3P (CDE )
P ( ABE ) = 9 P (CDE )
Trapez ABCD ma pole równe 56
Trapez ABCD ma pole równe 64
5.
Czy podana liczba jest podzielna przez 2424
a) 3232
b) 3636
c) 5454
d) 6060
6.
Czy istnieje taka liczba pierwsza p, że
a) liczba p+5 jest pierwsza;
b) liczba p+7 jest pierwsza;
c) liczba p+9 jest pierwsza;
d) liczba p+13 jest pierwsza?
7.
Czy prawdziwa jest równość
a) ( 3 − 2)2 = 3 − 2
b)
( 3 − 2)4 = ( 3 − 2)2
c)
( 3 − 2)6 = ( 3 − 2)3
d)
( 5 − 2) 2 = 5 − 2
8.
Liczba a = 3 4 + 35 + 3 6 + 37 .
a) jest podzielna przez 25
b) jest podzielna przez 5
c) ma co najmniej 36 dzielników
d) ma co najwyżej 40 dzielników
9.
Wiadomo, że a ≤ b ≤ c ≤ d liczba d = 20 oraz średnia arytmetyczna liczb a,b,c,d jest
równa 10. Wynika stąd, że:
a) liczba a jest równa 0
b) liczba a może być ujemna
c) liczba a może być równa -21
d) liczba a może być równa 6
10. Liczba x spełnia jednocześnie oba warunki: | x − 3 |= 2 oraz | x + 2 |= 3 . Wynika stąd,
że:
a) nie ma takiej liczby x
b) jest tylko jedna taka liczba
c) są dokładnie dwie takie liczby
d) są więcej niż dwie takie liczby
11. Ile jest liczb całkowitych a, dla których wartość wyrażenia
całkowitą?
a)
b)
c)
d)
a 2 + 3a + 5
jest także liczbą
a +1
Jest dokładnie 1 taka liczba
Są dokładnie 3 takie liczby
Są dokładnie 4 takie liczby
Jest co najmniej 5 takich liczb.
12. W półokręgu o środku S i średnicy AB poprowadzono cięciwy AC i BD.
Jeśli ∠BAC = 21o oraz ∠BFC = 52 o , to:
o
a) α = 97
o
b) α = 98
c) α = 99 o
d) α = 73 o
13. Czy dla dowolnej liczby całkowitej a
a) Liczba ( a − 2015) ⋅ ( a − 2014) ⋅ ( a − 2013) ⋅ ( a − 2012)
b) Liczba ( a − 2015) ⋅ ( a − 2014) ⋅ ( a − 2013) ⋅ ( a − 2012)
c) Liczba ( a − 2015) ⋅ ( a − 2014) ⋅ ( a − 2013) ⋅ ( a − 2012)
d) Liczba ( a − 2015) ⋅ ( a − 2014) ⋅ ( a − 2013) ⋅ ( a − 2012)
jest podzielna przez 3,
jest podzielna przez 4,
jest podzielna przez 5,
jest podzielna przez 8?
14. Jeśli x = 32015 + 22015 . Zatem:
a) x jest liczbą podzielną przez 15
b) x jest liczbą podzielną przez 5
c) ostatnią cyfrą liczby x jest 5
d) ostatnią cyfrą liczby x jest 9
15. Jeśli x, y, z są liczbami całkowitymi, to prawdą jest, że
a) jeśli x+y+z jest parzysta, to xyz też jest parzysta
b) jeśli x+y+z+2015 jest parzysta, to 2015xyz też jest parzysta
c) jeśli xyz+2015 jest parzysta, to x+y+z+2015 też jest parzysta
d) jeśli (x-y)z jest nieparzysta, to xyz też jest nieparzysta
16. Jeżeli
a+b a
= , gdzie c ≠ 0 , b ≠ 0 , a ≠ 0 to:
c
b
c
b
a) = 1 +
b
a
b) ac > ab
c) a = bc − 1
b2
d) a =
c−b
17. Suma cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równa 7. Wobec tego iloczyn cyfr tej liczby jest
równy:
a) 8
b)7
c) 0
d) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
18. Ile jest liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 3?
a) jedna
b) są cztery takie liczby
c) jest co najwyżej 6 takich liczb
d) jest więcej niż 6 takich liczb
19. Cenę pewnego towaru podniesiono o 25%. Aby nowa cena wróciła do początkowej
należałoby ją teraz obniżyć o
a) 18%
b) 20%
c) 25%
d) 28%
20. Trapez, którego podstawy mają długość 6 i 9 został podzielony przekątną na dwa
trójkąty. Pole jednego z tych trójkątów jest równe 18. Pole tego trapezu może być
równe:
a) 24
b) 30
c)45
d) 60