teoria

Mocne Prawo Wielkich Liczb,
Centralne Twierdzenie Graniczne
Definicja 1. Ciąg {Xn }n∈N zmiennych losowych jest zbieżny do zmiennej losowej X:
a) prawie na pewno (prawie wszędzie, P -prawie wszędzie), jeżeli
P ( lim Xn = X) = 1,
n−→∞
p.n.
P −p.w.
p.w.
ozn. Xn −→ X, Xn −→ X, Xn −→ X.
b) według prawdopodobieństwa, jeżeli
∀ε>0
lim P (|Xn − X| > ε) = 0,
n−→∞
lim P (|Xn − X| < ε) = 1
n−→∞
P
ozn. Xn −→ X.
c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {FXn }n∈N jest zbieżny do dystrybuanty FX rozkładu zmiennej losowej X, przy n −→ ∞, w każdym punkcie ciągłości
D
d
dystrybuanty granicznej FX . Ozn. Xn −→ X, Xn −→ X.
Fakt 1. Zależności między rodzajami zbieżności zmiennych losowych są następujące:
p.n.
Xn −→ X
=⇒
P
Xn −→ X
=⇒
D
Xn −→ X.
Fakt 2. Jeżeli ciąg {Xn }n∈N zbiega wg rozkładu do stałej, to zbiega również wg prawdopodobieństwa do tej samej stałej.
D
D
D
D
Fakt 3. Jeżeli Xn −→ X i Yn −→ c, to Xn + Yn −→ X + c oraz Xn Yn −→ cX.
Mocne Prawo Wielkich Liczb (MPWL) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem parami
niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Jeżeli E|X1 | < ∞, to
X1 + . . . + Xn n→∞
−→ EX1 , P -prawie wszędzie.
n
Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze skończoną wartością oczekiwaną
i skończoną, dodatnią wariancją. Wówczas
X1 + . . . + Xn − nEX1 D
√
−→ X ∼ N (0, 1).
nV arX1
Wniosek (Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a) Niech Sn oznacza liczbę sukcesów
w schemacie n prób Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym doświadczeniu równym p (zatem Sn ∼ B(n, p)). Jeżeli V arSn > 0, to dla q = 1 − p mamy
Sn − np D
−→ X ∼ N (0, 1),
√
npq
zatem
Sn − np
n→∞
P a≤ √
≤ b −→ Φ(b) − Φ(a),
npq
gdzie Φ(t) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.