Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

Instytut Politechniczny
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
Diagnostyka i niezawodność robotów
Laboratorium nr 6
Model matematyczny elementu naprawialnego
Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar
Cele ćwiczenia:
• Przypomnienie modelu matematycznego opisującego niezawodność elementu
naprawialnego.
• Koncepcja symulacyjnego badania niezawodności elementu naprawialnego
metodą Monte-Carlo.
• Napisanie programu pozwalającego na obliczenie przybliżenia funkcji
gotowości elementu naprawialnego.
1. Model matematyczny elementu naprawialnego
Rozważany jest element naprawialny działający w następujący sposób:
Element w chwili początkowej (t = 0) jest sprawny, działa i po upływie pewnego
czasu, którego rozkład określa funkcją F(t), uszkadza się. Rozpoczyna się naprawa, której czas
trwania opisany jest zmienną losową o dystrybuancie G(t). Po zakończeniu naprawy element
znowu staje się sprawny i cykl powtarza się.
Rozkłady czasu pracy elementu i czasu jego naprawy są wykładnicze, czyli
Stany niezawodnościowe elementu można określić tak
S0
- element sprawny
S1
- element uszkodzony
Graf stanów niezawodnościowych będzie wyglądał następująco
Rys. 1. Graf stanów elementu naprawialnego
Przejścia pomiędzy stanami następują w wyniku zdarzeń. W analizowanym systemie
można określić dwa zdarzenia: uszkodzenie, które powoduje przejście ze stanu sprawności
do stanu uszkodzenia i zakończenie naprawy, po wystąpieniu, którego następuje przejście ze
stanu uszkodzenia do stanu sprawności.
Celem analizy jest znalezienie funkcji prawdopodobieństw P0(t) i P1(t), czyli określenie
prawdopodobieństw znajdowania się w chwili czasu t w danym stanie. Jeśli tak jak to
założono powyżej (1), rozkłady czasów pracy i naprawy elementu są rozkładami
wykładniczymi to:
i
W związku z tym macierz przejść pomiędzy stanami systemu ma postać
(2)
Zakłada się ponadto, że w chwili początkowej (t =0) system jest sprawny a więc warunek
początkowy ma postać
(3)
ponadto zachodzi oczywisty związek pomiędzy prawdopodobieństwami P0(t) i P1(t)
(4)
Problem znalezienia prawdopodobieństw P0(t) i P1(t) sprowadza się, więc do zadania
rozwiązania układu równań różniczkowych
(5)
z warunkiem początkowym (3).
Rozwiązanie układu (5) można uzyskać metodą transformaty Laplace'a. W pierwszym kroku
procedury należy wyznaczyć macierz
skąd dalej, korzystając z ogólnej zależności w postaci
otrzymuje się rozwiązania układu w dziedzinie operatorowej
Aby otrzymać rozwiązanie w dziedzinie czasu, trzeba najpierw rozwiązać równanie
algebraiczne
Pierwiastkami równania są
Ostatnim krokiem procedury wyznaczania rozwiązania jest zastosowanie wzoru
pozwalającego obliczyć poszukiwane prawdopodobieństwa P0(t) i P 1 (t)
W przypadku rozwiązywanego zadania wzór dla prawdopodobieństwa P0(t) wraża się
jako
Po wykonaniu przejść granicznych otrzymuje się ostatecznie rozwiązanie P0(t) w postaci
(6)
Rozwiązanie P1(t) najłatwiej jest uzyskać wykorzystując wzór (4).
Funkcja gotowości określona wzorem określająca prawdopodobieństwo, że element w chwili
czasu t znajdzie się w stanie sprawności (stanie należącym do zbioru stanów S+) wyraża się w
prosty sposób jako
(7)
Natomiast liczbową charakterystykę określająca gotowość tzw. współczynnik gotowości
można wyznaczyć jako wartość asymptotyczną funkcji gotowości, czyli
(8)
przy czym prawdopodobieństwa Pi są asymptotycznymi wartościami prawdopodobieństw
Pi(t). Dla rozważanego wyżej elementu występuje tylko jeden stan sprawności (stan 0), czyli
funkcja gotowości A(t) wyrażona wzorem (7) przyjmuje w konsekwencji postać
Współczynnik gotowości A można obliczyć wykonując przejście graniczne we wzorze (6).
W efekcie otrzymuje się wynik w stosunkowo prostej postaci.
(9)
Przebieg funkcji gotowości dla elementu naprawialnego o wykładniczych rozkładach
czasu do uszkodzenia i czasu naprawy przedstawia rysunek 2.
Rys.2. Funkcja gotowości elementu naprawialnego (X = 0.001, p = 0.01 )
Jak widać po dostatecznie długim czasie gotowość, czyli prawdopodobieństwo
sprawności stabilizuje się wokół asymptoty określonej wzorem (9).
2. Badanie niezawodności elementu naprawialnego metodą symulacji
Monte-Carlo
W poprzednim punkcie przeanalizowano najprostszy z możliwych przypadek systemu
naprawialnego (pojedynczy element przy wykładniczych rozkładach czasów
niesprawności i naprawy). Mimo prostoty systemu, znalezienie rozwiązania w postaci
prawdopodobieństw przebywania w stanach jako funkcji czasu nie było wcale aż tak
łatwe. Należało rozwiązać układ dwóch równań różniczkowych liniowych. W przypadku
systemów bardziej skomplikowanych, liczba równań zaczyna rosnąć. Dla przykładu, gdyby
analizować zaproponowaną metodą system zbudowany z dwóch elementów
naprawialnych, trzeba by rozwiązać układ czterech równań, dla systemu składającego się
z trzech elementów równań byłoby już 8 a dla 10 elementów 1024. Sensowne jest
zastanowić, czy nie ma innej metody, która pozwalałaby łatwiej rozwiązać problem, być
może jedynie w przybliżeniu.
Można zaproponować następującą procedurę symulacyjną, która pozwoli na
wykonanie eksperymentów prowadzących do oszacowania charakterystyk
probabilistycznych badanego systemu.
1.
Napisać program symulacyjny pozwalający na generowanie przebiegu zmian
stanu systemu w czasie.
2.
Używając programu napisanego w punkcie 1 wygenerować dostatecznie dużo
przebiegów czasowych zmian stanu.
3.
Oszacować poszukiwane charakterystyki niezawodności (np. odpowiednie
prawdopodobieństwa ) uśredniając realizacje wygenerowane w punkcie 2.
Dla opisanego poprzednio przypadku systemu złożonego z jednego elementu
naprawialnego program symulacyjny, który pozwala na generację przebiegu czasowego
zmian stanu może wyglądać na przykład tak:
Przykładowe wywołanie funkcji z argumentami:
lambda = 1000, (średni czas do uszkodzenia, λ = 0.001 )
mi = 100, (średni czas naprawy ,μ= 0.01)
t = 2000, (chwila zakończenia symulacji)
draw = 1, (rysowanie wykresu czasowego)
spowoduje narysowanie przebiegu czasowego zmian stanu elementu naprawialnego, który
został pokazany na rys. 3
Rys.3. Wykres zmian stanu w czasie
Jak można łatwo zauważyć na wykresie w momencie zakończenia symulacji (t = 2000)
element jest sprawny, czyli jego stan przyjmuje wartość 0, funkcja zwróci więc liczbę 0.
3. Zadania do wykonania
Posługując się podaną powyżej funkcją realizacja(lambda, mi, t, draw)
spróbować wykonać następujące analizy:
• Kilkakrotnie wywołać funkcję zmieniając czas symulacji ( argument t ) i
zaobserwować jak wyglądają przebiegi czasowe zmian stanu.
• Napisać funkcję gotowosc(t, n) pozwalającą wyznaczyć oszacowanie wartości
funkcji gotowości A(t) elementu naprawialnego w chwili t .
Aby to zrobić, należy zgodnie z punktem 2 procedury opisanej w poprzednim
punkcie, wielokrotnie (n razy) uruchomić program generacji przebiegów zmian
stanu w czasie i wyznaczyć oszacowania funkcji gotowości A(t) ze wzoru:
gdzie
k - liczba wywołań funkcji realizacja(lambda, mi, t, draw), których w chwili t osiągnięto
stan sprawności (stan 0),
n - liczba wszystkich wywołań funkcji realizacja(lambda, mi, t, draw) wykonywanym
eksperymencie.
Uwaga: argument draw należy ustawić w tym przypadku na 0 aby uniknąć wielokrotnego
rysowania przebiegów czasowych
• Sprawdzić jak wyznaczone oszacowanie zależy od liczny powtórzeń n.
• Napisać program rysujący przebieg funkcji gotowości elementu naprawialnego (podobnej
do tej na rysunku 2) wywołując n razy funkcję gotowosc(t, n) dla różnych wartości
zmiennej t.
4. Literatura
1. Grabski F., Jaźwiński J., „Metody bayesowskie w niezawodności i diagnostyce”,
Wydawnictwo WKŁ 2001
2. Maksymiuk J., „Niezawodność maszyn i urządzeń elektrycznych”, Wydawnictwo Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2003
3. Wendy L. Martinez, Angel Martinez, Jeffrey Solka, „Exploratory Data Analysis with
MATLAB”, Second Edition, Wydawnictwo CRC PR INC