Klub 44 - DeltaMi

Klub 44
Rozwiązania zadań z matematyki z numeru 4/2015
Redaguje Marcin E. KUCZMA
Przypominamy treść zadań:
699. Cztery różne punkty na płaszczyźnie wyznaczają sześć odcinków. Załóżmy, że trzy spośród
tych odcinków mają jednakową długość a, zaś pozostałe trzy mają jednakową długość b,
przy czym a < b. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości stosunku b/a.
700. Czy dla każdej funkcji g : N → N, spełniającej warunek g(1) = 1, istnieje funkcja f : N → N,
spełniająca warunki f (n) ­ g(n) dla n ∈ N oraz f (mn) = f (m)f (n) dla każdej pary liczb
względnie pierwszych m, n ∈ N ? (N to zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich).
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
693 (W T = 1,72) i 694 (W T = 2,95)
z numeru 1/2015
Marek Spychała
Wojciech Tobiś
Janusz Olszewski
Łukasz Garncarek
Grzegorz Karpowicz
Krzysztof Maziarz
Paweł Najman
Jędrzej Garnek
Warszawa
Praszka
Warszawa
Opole
Wrocław
Kraków
Kraków
Poznań
42,75
42,44
40,50
37,98
37,05
35,37
33,64
33,12
699. Jeżeli trzy odcinki jednakowej długości tworzą trójkąt, to pozostałe trzy
odcinki (też jednakowej długości) spotykają się w pozostałym z czterech danych
punktów, który wobec tego
√ musi być środkiem owego trójkąta równobocznego.
W tym przypadku b/a = 3, i jest to jedna z możliwych wartości rozpatrywanego
stosunku. Dalej przyjmijmy, że nie pojawia się trójkąt równoboczny. Trzy odcinki
długości a tworzą wówczas łamaną (nie zamkniętą), i tak samo trzy odcinki
długości b. Można tak ustalić oznaczenia A, B, C, D danych punktów, by
|AB| = |BC| = |CD| = a, |BD| = |DA| = |AC| = b.
W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AC jest dłuższa niż ramiona.
W trójkącie równoramiennym ABD podstawa AB jest krótsza niż ramiona.
) BAC| < 60◦ < |<
) BAD|.
Zatem |<
Odcinek AD jest wspólnym bokiem przystających trójkątów równoramiennych
ABD oraz ACD (o podstawach AB, CD). Te trójkąty muszą być położone
symetrycznie – albo względem środka odcinka AD, albo względem symetralnej
tego odcinka. W pierwszym z tych przypadków powstałby równoległobok
ABDC; to jednak nie jest możliwe, skoro kąt BAC jest mniejszy od kąta BAD.
W drugim przypadku tworzy się trapez równoramienny ABCD o podstawach
AD (dłuższej) i BC (krótszej). Półproste AB → i DC → przecinają się w punkcie,
który nazwiemy K. Trójkąty równoramienne ADB i BKC mają równe
) BAD| = |<
) CBK|)
podstawy (|AB| = |BC| = a) i równe kąty przy podstawie (|<
– są więc przystające. Stąd |BK| = |AD| = b. Trójkąt BKC jest ponadto
podobny do AKD. Otrzymujemy proporcję
|AD|
|AK|
b
a+b
=
, czyli
=
.
|BC|
|BK|
a
b
−1
Stosunek λ = b/a spełnia zatem równanie
√ λ = λ + 1, którego jedynym
dodatnim pierwiastkiem jest λ = (1 + 5 )/2. Realizację tej wartości
uzyskujemy, biorąc jako A, B, C, D cztery wierzchołki pięciokąta foremnego.
√
Stąd √
odpowiedź: możliwymi wartościami stosunku b/a są liczby 3 oraz
(1 + 5 )/2.
Rozwiązanie zadania F 886.
Okres wahadła T = N/f , a stąd jego
długość L = gN 2 /4π 2 f 2 ≈ 1 m. Długość
obrazu wahadła jest więc znacznie
mniejsza od jego długości rzeczywistej
(L′ ≪ L). Oznacza to, że poszukiwana
odległość D od kamery do wahadła
wielokrotnie przewyższa ogniskową
obiektywu (D ≫ F ). Stąd z kolei
wynika, że obraz wahadła znajduje się
bardzo blisko ogniska obiektywu, a więc
odległość od obiektywu do kliszy,
na której powstaje obraz, jest
w przybliżeniu równa F . Stąd wynika,
że L/D ≈ L′ /F , czyli
′
2
2
2
′
D ≈ F L/L = F gN /4π f L ≈ 7 m.
700. Tak, dla każdej funkcji g łatwo wskazać funkcję f o wymaganych
własnościach. Niech (ak ) będzie rosnącym ciągiem wszystkich potęg liczb
pierwszych:
(a1 , a2 , a3 , . . .) = (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 16, . . .) = (2, 3, 22 , 5, . . .).
Funkcja f (o własności f (mn) = f (m)f (n) gdy nwd(m, n) = 1) jest wyznaczona
przez ciąg wartości f (ak ); zaś podany warunek multyplikatywności nie stawia
na owe wartości żadnych ograniczeń. Wobec tego konstruujemy taki ciąg
indukcyjnie. Niech f (a1 ) będzie dowolną liczbą naturalną większą od g(a1 ).
Załóżmy, że liczby f (a1 ), . . . , f (ak−1 ) zostały już określone. Patrzymy na zbiór
wszystkich liczb postaci g(s), gdzie s jest iloczynem różnych liczb ze zbioru
{a1 , . . . , ak }. Określamy f (ak ) jako dowolną liczbę naturalną większą
od wszystkich takich liczb g(s).
Wybrany ciąg wartości f (ak ), wraz z warunkiem multyplikatywności,
jednoznacznie generuje funkcję f : N → N. Spełnia ona także pozostały
z zadanych warunków; jeśli bowiem liczba n ∈ N zostanie zapisana jako iloczyn
n = ai1 . . . air , gdzie i1 < . . . < ir , wówczas
f (n) = f (ai1 ) . . . f (air ) ­ f (air ) > g(ai1 . . . air ) = g(n).
23