Zobacz zadania na konkurs Gimnazjum

Zadania konkursowe dla gimnazjum
Część II.
26.
27.
W trapezie ABCD, gdzie AB i CD są podstawami, przekątne przecinają
się w punkcie O. Udowodnij, że pole trójkąta BCO jest równe polu
trójkąta AOD.
Trójkąt ABD jest prostokątny. Oblicz pole trójkąta ABC wiedząc, że
AB= 3 cm, BC= 3,5 cm, CD= 1,5 cm, DA= 4 cm.
28. Drewniany klocek w kształcie prostopadłościanu o wymiarach
7 cm x 4 cm x 5 cm pomalowano na zielono i pocięto na 140
jednakowych sześcianików. Ile sześcianików ma 3 ściany zielone, ile
ma 2 ściany zielone, a ile 1 ścianę zieloną? Ile jest sześcianików , które
nie są pomalowane?
29. Przekątna prostopadłościanu jest równa 35, a stosunek jej krawędzi
wynosi 2:3:6. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
30. Pies goni zająca, który znajduje się w odległości 60 swoich skoków od
psa. Gdy zając zrobi 9 skoków , w tym czasie pies zrobi ich 6. Wielkość
3 psich skoków jest równa wielkości 7 skoków zająca. Ile skoków musi
zrobić pies, aby dogonić zająca?
31. Do wykonania abażuru Asia potrzebowała pół koła wyciętego z
1
kartonu. Odcięła z niego półkole o promieniu równym promienia
3
dużego półkola, jak na rysunku. Pozostałą część zszyła tak, aby
otrzymać abażur. Jego pole powierzchni jest równe 400π cm2. Jaki był
promień dużego półkola, z którego Asia wycięła swój abażur?
32. Do wykonania ogrodzenia zatrudniono sześciu robotników, którzy na
wykonanie pracy potrzebowali 4 dni. Ilu robotników należałoby
zatrudnić, aby to ogrodzenie wykonali w ciągu 3 dni?
33. Uczniów pewnej szkoły ustawiono w kwadrat (tj. tyle samo rzędów ,
co uczniów w rzędzie). Następnie próbowano ich ustawić w prostokąt,
zmniejszając liczbę rzędów o 4, i zwiększając liczbę uczniów w rzędzie
o 5. Okazało się, że brakuje 3 uczniów do wypełnienia tego
prostokąta. Ilu uczniów liczyła ta szkoła?
34. Do zbiornika dopływa woda czterema rurami. Gdyby dopływała tylko
pierwszą rurą, zbiornik napełniłby się w ciągu jednego dnia, tylko
drugą rurą w ciągu 2 dni, trzecią w ciągu 3 dni, czwartą w ciągu 4 dni.
Jaką część dnia zajmie napełnienie zbiornika, gdy woda będzie
dopływać jednocześnie wszystkimi rurami.
35. Po dwóch kolejnych obniżkach o 20 % za każdym razem cena płaszcza
wynosi 320 zł. Jaka była cena płaszcza przed obniżkami?
36. Przekątna trapezu równoramiennego ma 16 cm i tworzy z
podstawami tego trapezu kąt 45o. Oblicz pole tego trapezu.
37. W okrąg o promieniu r = 5,3 cm wpisano prostokąt ABCD. Następnie
połączono środki boków tego prostokąta i otrzymano czworokąt
EFMN. Oblicz obwód otrzymanego czworokąta.
38. Wewnątrz trójkąta równobocznego obrano dowolny punkt K. Z tego
punktu poprowadzono odcinki prostopadłe do każdego boku trójkąta.
Uzasadnij, że suma długości tych odcinków jest równa wysokości tego
trójkąta.
39. Wykaż, że jeżeli w liczbie trzycyfrowej środkowa cyfra jest równa sumie skrajnych cyfr, to
liczba ta jest podzielna przez 11.
40. Ile jest liczb całkowitych x spełniających jednocześnie warunki 𝑥 ≥
1
−0,75 i 𝑥 ≤ 1 .
3