Rozdział 8 Paradoksy i zastosowania Mechaniki Kwantowej

Rozdział 8
Paradoksy i zastosowania
Mechaniki Kwantowej
8.1: Interpretacja Kopenhaska
8.2: Paradoks EinsteinaPodolskiego-Rosena
8.3: Stany splątane
8.4: Konsekwencje EPR
8.5: Ukryte założenia: lokalność i
realność
8.6: Twierdzenia Bella
8.7: Zastosowania splątania
kwantowego
• Kryptografia kwantowa
• Komputery kwantowe
• Kwantowa teleportacja
Albert Einstein (1879-1955)
The more success the quantum
theory has, the sillier it looks.
-Albert Einstein
Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech, www.physics.gatech.edu/frog/lectures
8.1: Interpretacja Kopenhaska
Mechanika kwantowa jest
jednym z najbardziej udanych
teorii w historii. Ale podczas
gdy jej przewidywania są
jasne, ich interpretacja nie
jest.
W wyniku rozmów między
Bohrem i Heisenbergiem silnie
wspieranych przez Maxa
Borna i Wolfgang Pauliego w
1927 roku powstała
Interpretacja Kopenhaska
mechaniki kwantowej.
Max Born (1882-1970)
Interpretacja Kopenhaska
1. System jest całkowicie opisany przez funkcją falową Y, która w pełni
opisuje wiedzę obserwatora o systemie. (Heisenberg)
2. Opis przyrody jest probabilistyczny. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest
kwadratem modułu funkcji falowej z nim związanej. (Max Born)
3. Zasada nieokreśloności Heisenberga mówi, że nie możemy poznać
wartości wszystkich właściwości systemu w tym danym czasie; właściwości
nie znane precyzyjnie opisane są przez prawdopodobieństwa.
4. Zasada komplementarności: materia wykazuje dualizm korpuskularnofalowy. Eksperyment może pokazać własności materialne cząstek lub ich
naturę falową, ale nie jednocześnie. (Bohr)
5. Urządzenia pomiarowe są głównie klasyczne i mierzą one klasyczne
właściwości, takie jak położenie czy pęd.
6. Zasada korespondencji Bohra i Heisenberga: w granicy gdy rozmiar
układu zbliża się do makroskopowego, opis kwantowo-mechaniczny
powinien dawać rezultaty zgodne z wynikami opisu klasycznego.
Nieokreśloność składowych spinu
Przypomnijmy, że składowe 𝑧 całkowitego momentu pędu i spinu są
jednocześnie poznawalne. Składowe 𝑥 i 𝑦 nie są.
Można wykazać, że:
Korzystając z:
A B 
Mamy, że:
S x S y 
1
2
 S x , S y   i S z

1
2

Y*  A, B  Y
Y*i S z Y  12

Dla elektronów,
pozytonów,
protonów i
neutronów
ms = ±1/2
mS
*
Y i (mS )Y 
2
2
 14
2
Podobnie dla obu pozostałych par składowych.
Zatem, tak długo jak dla danej cząstki mS ≠ 0, dla składowych 𝑥 i 𝑦 jej
spinu obowiązuje zasada nieokreśloności.
Oznacza to, że możemy zmierzyć jedną składową spinu, powiedzmy Sz,
(i uzyskamy ±ħ/2), ale pozostałe dwie składowe będą losowe.
Obiekcje wobec interpretacji kopenhaskiej
Wielu fizyków sprzeciwiło się interpretacji
w Kopenhadze z powodu jej
niedeterministycznej natury.
Były też zastrzeżenia do niejasnego
procesu pomiarowego, który konwertuje
probabilistyczną funkcję falową w
nieprobabilistyczny pomiar.
Wśród tych, którzy odrzucił tę
interpretację byli Albert Einstein, Max
Planck, Louis de Broglie, i Erwin
Schrödinger.
Einstein powiedział do Borna:
“Ja, w każdym razie, jestem przekonany, że Bóg nie gra w kości
(ze wszechświatem).”
Obiekcje wobec interpretacji kopenhaskiej
Louis de
Broglie
Erwin
Schrodinger
Max Planck
Werner
Heisenberg
Wolfgang
Pauli
Max Born
Paul Dirac
Niels Bohr
Maria Skłodowska
Curie
Hendrik
Lorenz
Albert
Einstein
Konferencja Solvaya 1927
Z 29 osób na zdjęciu 18 uzyskało nagrody Nobla , Maria Skłodowska z fizyki i chemii
Superpozycja stanów
(przypomnienie)
Atom może być w stanie stacjonarnym ale
może też być w stanie zwanym superpozycją
(sumą) stanów stacjonarnych. Będąc w stanie
superpozycji atom porusza się…
Energia
E2 stan
wzbudzony
E = h n
E1 stan
podstawowy
Y(r , t )  a1 1 (r ) exp(iE1t / )  a2 2 (r ) exp(iE2t / )
gdzie |ai|2 jest prawdopodobieństwem, że atom
znajduje się w stanie i.
Ciekawe jest, że prawdopodobieństwo znalezienia
atomu a takim stanie oscyluje w czasie:
Y (r , t )  a1 1 (r )  a2 2 (r ) 
2
2
2
2 Re[a1 1 (r )a2* 2* (r )]cos[( E2  E1 )t / ]
Oscylacje mają częstość proporcjonalną do różnicy energii stanów
stacjonarnych.
Kolaps funkcji falowej
Można powiedzieć, że jeśli układ pozostaje w superpozycji
stanów to jest to wyrazem braku naszej wiedzy o nim.
Y(r , t )  a1 1 (r ) exp(iE1t / )  a2 2 (r ) exp(iE2t / )
Mierząc energię powyższego stanu dostaniemy albo E1 albo E2, z
prawdopodobieństwami |a1|2 lub |a2|2 odpowiednio. W interpretacji
Kopenhaskiej, superpozycja stanów kolapsuje do stanu
mierzonego, a nieobserwowany składnik bezpowrotnie znika.
Ten proces nazywa się kolapsem funkcji falowej.
Nieobserwowany składnik znika z pola widzenia jak przegrany los
na loterii.
Kot Schrödingera
Aby wykazać absurdalność
interpretacji Kopenhaskiej,
Schrodinger zaproponował (ale na
szczęście nie zrealizował)
eksperyment w którym kot
zamknięty w szczelnym pudle może
być uśmiercony z
prawdopodobieństwem ½. Czy
przed otwarciem pudła kot jest
żywy czy martwy?
Choć intuicja mówi, że tylko jedna z tych opcji może być prawdziwa,
mechanika kwantowa mówi, że obie! Mamy superpozycję kota
„żywego” z „martwym”.
Y (kota ) 
1
1
żywy 
martwy
2
2
Dokonanie pomiaru systemu, sprowadzającego się do otwarcia pudła,
kolapsuje kwantowy stan kota, który jest już tylko „żywy” lub „martwy”.
8.2: Paradoks
EPR
Wygląda na to, że w
mechanice kwantowej
istotną rolę odgrywa
świadomość
obserwatora
Einsteinowi nie podobały się takie wnioski i w późniejszych latach
sprzeciwiał się tym konsekwencjom mechaniki kwantowej. Jego
pytanie: "Czy naprawdę myślisz, że księżyc nie istnieje, jeśli na
niego nie patrzysz?" podkreśla głębię niechęci do roli
świadomości.
Najsilniejszym kontrargumentem był paradoksalna konsekwencja
mechaniki kwantowej znany obecnia jako paradoks EinsteinaPodolskiego-Rosena (EPR).
Praca Einsteina-Podolskiego-Rosena
Einstein był przekonany, że mimo iż mechanika kwantowa może być
wykorzystywana do bardzo dokładnych statystycznych
przewidywań wyników eksperymentów, to nie jest zupełną teorią
opisującą rzeczywistość fizyczną.
W 1935 roku Einstein, wspólnie z Borysem Podolskim i Nathanem
Rosenem, opublikował pracę "Czy kwantowo-mechaniczny opis
rzeczywistości fizycznej może być uznany za kompletny?"
W tej pracy, zaproponowali sprytny eksperyment myślowy, który miał
„powalić" zasadę nieokreśloności. W konkluzji doszli do wniosku, że
opis rzeczywistości dany przez funkcję falową nie jest zupełny:
„Kwantowo-mechaniczny opis rzeczywistości za pomocą
funkcji falowej nie jest kompletny, oznacza to, że muszą
istnieć ukryte zmienne, których nie znamy i w konsekwencji
nie mierzymy, które powodują nieokreśloność.”
Ukryte zmienne
Załóżmy, że planujesz rzut piłką
bejsbolową, nie biorąc pod
uwagę ruchu powietrza.
Ruch powietrza, w połączeniu z
rotacją piłki, powoduje
zakrzywienie jej lotu który
dodatkowo zaburzany zmianami
Faktyczne miejsce
ciśnienia, jest daleki od
upadku piłki dla tej
teoretycznej trajektorii
samej prędkości
parabolicznej.
poczatkowej
W wyniku powyższego piłka
ląduje w bardzo przypadkowym
miejscu.
Twoja teoria jest niezupełna, a
ciśnienie i prędkość powietrza
są ukrytymi zmiennymi.
Teoretycznie
obliczone
miejsce
upadku piłki
dla danej
prędkości
początkowej
Obszar upadku
Wyobraźmy sobie układ
dwu cząstek kwantowych,
o przeciwnych spinach.
Równoważnie można
przyjąć, że mamy układ
cząstek o całkowitym
spinie S równym zero.
Tak więc jeden spin jest
„do góry”, a drugi „w dół”,
ale nie wiem który jest
który.
8.3: Stany splątane
Początkowy układ
dwu cząsteczek
o spinie zero
Wyodrębnione z
układu początkowego
cząstki o przeciwnych
spinach
Teraz rozdzielmy cząstki i zmierzmy spin jednej z nich. Ponieważ
były one powiązane, ich funkcję falową nazywamy splątaną:
Y
1

2
A

B

1

2
A

B
Stany splątane
Mamy swobodę wyboru składowej
spinu którą mierzymy. Wybierzmy
więc składową prostopadłą do
kierunku wybranego poprzednio.
W tym przypadku funkcję falową
1

możemy zapisać jako kombinację: Y 
2
A
 B
1

2
A

B
Mechanika kwantowa mówi, że nie można wykonać precyzyjnych
pomiarów obu składowych, bo jeden pomiar zaburza drugi.
W każdym razie pomiar dowolnej składowej spinu jednej cząstki
określa tą składową spinu drugiej. Kiedy pomiar jest wykonywany,
funkcja falowa ulega kolapsowi
Y 
1

2
A

B

1

2
A

B
lub Y 
1

2
A
 B
1

2
A

B
Paradoks EPR
Zróbmy teraz coś bardzo interesującego: zmierzmy pionową składową
spinu cząstki A i poziomą składową spinu cząstki B.
Ponieważ pomiar pionowej składowej spinu cząstki A określa tą
składową dla obu cząstek a pomiar poziomej składowej spinu cząstki
B określa tą składową również dla oby cząstek można by
przypuszczać, że określiliśmy obie składowe spinu każdej z cząstek!
8.4: Konsekwencje
paradoksu EPR
Gdyby tak było, mechanika kwantowa
byłaby niepełna, tzn. dostatecznie
sprytny eksperymentator potrafiłby,
wbrew zasadzie nieokreśloności,
zmierzyć obie składowe spinu.
Byłby to argument za istnieniem
ukrytych zmiennych,
dodatkowych wielkości, które
istnieją i mają wpływ na układ, ale
my ich jeszcze nie znamy i nie
potrafimy mierzyć ani kontrolować.
Einstein, gestem zdaje się
pokazać, że rozprawił się z
mechaniką kwantową
A jednak, trik Einsteina nie działa!
Pomiar pionowej składowej spinu cząstki A powoduje kolaps stanów
splątanych tej składowej obu cząstek. A jednocześnie powoduje
nieokreśloność składowych poziomych obu cząstek! Mierząc
pionową składową spinu cząstki A mierzymy jednocześnie tą
składową cząstki B. Nawet jeśli się do cząstki B nie zbliżymy.
Mechanika kwantowa wygrywa! Mechanika kwantowa - Einstein 1:0.
Ale teraz można mieć wątpliwość: informacja nie może poruszać się
szybciej niż prędkość światła. Załóżmy, że obie cząstki są znacznie
od siebie oddalone i wykonujemy na nich pomiary w bardzo krótkim
odstępie czasowym, więc nie ma czasu aby informacja, że
dokonaliśmy pomiarów na cząstce A, dotarła do cząstki B i zakłóciła
jaj pomiar. To powinno obronić pomysł Einsteina.
Ale tak nie jest! Informacja w splatanej parze najwyraźniej
porusza się nieskończenie szybko. Tak więc szczególna teoria
względności Einsteina nie znajduje tu zastosowania!
Mechanika kwantowa znów wygrywa! Mech. kwant. - Einstein 2:0.
8.5: Ukryte założenia paradoksu EPR
Zasada realności: cząstki posiadają
określone własności nawet jeśli nie
są obserwowane (mierzone).
Zasada lokalności: informacja z
pomiaru jednaj części dwu
izolowanych systemów nie może
wpływać na drogą, szczególnie jeśli
miałaby się poruszać z prędkością
nadświetlną
Wzięte razem te dwie, pozornie oczywiste, zasady wyznaczają
maksymalny stopień możliwej koordynacji pomiędzy dwoma
izolowanymi systemami lub cząstkami.
A jednak, obie te zasady są błędne!
Splątanie kwantowe
W mechanice kwantowej jest możliwa sytuacja, kiedy pomiar stanu
jednej cząstki wpływa na stan innej, nawet kiedy cząstki te nie
oddziałują z sobą w sposób klasyczny
W takiej sytuacji mówimy że cząstki te są w stanach splątanych
(entangled states)
Enstein nazwał splątanie kwantowe „upiornym działaniem na
odległość” (spooky action at a distance)
Stan dwucząstkowy jest splątany, jeśli nie można go przedstawić
jako iloczyn dwu stanów jednocząstkowych:
Y
1
1
2
A
1B
1
0
2
A
0
B
(stan Bella)
W przeciwnym przypadku stan nazywamy separowalnym (decomposable)
1
Y   0 A 0 B  1 A 0 B  0 A 1 B  1 A 1 B
2
1
1

0 A  1 B
0 A  1 B


2
2
Niesamowitość Mechaniki Kwantowej
EPR zakłada, że cząstki mają spin niezależny od obserwatora (Realność),
oraz, że informacja nie może poruszać się z prędkością nadświetlną
(Lokalność).
Wydaje się, że dopóki ich nie
mierzymy, cząsteczki po prostu nie
mają właściwości. To nie tylko
kwestia naszej niewiedzy.
A informacje mogą rozprzestrzeniać
się z prędkością nadświeltną.
Efekty te są znane jako zachowania
nielokalne, dziwactwa (weirdness)
mechaniki kwantowej
a potocznie upiornym działaniem
na odległość.
8.6: Lokalność i realność
nie działają.
John Bell w 1964 roku w pracy "On the
Einstein Podolski Rosen paradoks",
pokazał, że lokalność i realność
prowadzi do szeregu wymagań
znanych jako nierówności Bella.
John Bell (1928-1990)
Alain Aspect (1947-)
Alain Aspect przeprowadził wiele
pięknych eksperymentów,
udowadniając niezbicie, że w
naszym wszechświecie
nierówności Balla są naruszone a
mechanika kwantowa całkiem
nieźle to wyjaśnia.
Wiedza post-EPR
Paradoks EPR (który okazał się
nie być paradoksem) pogłębił
nasze rozumienie mechaniki
kwantowej poprzez wykazanie,
że pomiar kwantowy ma
charakter całkowicie
nieklasyczny i nieintuicyjny.
Przed EPR, pomiar często przedstawiano jako zaburzenie
fizyczne bezpośrednio zadawane mierzonemu układowi. Na
przykład, mierząc położenie elektronu, oświeca się go światłem,
które powoduje zaburzenie położenia elektronu a w
konsekwencji jego nieokreśloność.
Takie wyjaśnienia są w niektórych przypadkach nadal aktualne,
ale paradoks EPR pokazuje, że "pomiar" może być
wykonywany na cząstce bez bezpośredniego naruszania jej,
przez wykonanie pomiaru na odległej cząstce z nią splątanej.
Interpretacja Kopenhaska trzyma się dobrze!
Według interpretacji Kopenhaskiej, prawa fizyki znamy tylko
poprzez wyniki pomiarów.
Obraz dla
jednej szczeliny
Obraz dla
dwu szczelin
Możemy określić w którym miejscu foton dotrze do ekranu
obserwując jego błysk. Interpretacja Kopenhaska odrzuca
pytania o to, gdzie foton był pomiędzy emisją w aparacie, a
momentem kiedy błysnął na ekranie.
Alternatywy dla
interpretacji
Kopenhaskiej
Teoria Wieloświatów
(Hugh Everett III)
Teoria Wieloświatów mówi, że
funkcja falowa jest rzeczywista
ale zaprzecza rzeczywistości jej
kolapsu. Teoria głosi, że
wszystkie możliwe alternatywne
historie i przyszłe ewolucje są
rzeczywiste, każda z nich jest
realizowana w odrębnym od
naszego, lecz rzeczywistym
"świecie" (lub "wszechświecie").
Każdy możliwy wynik każdego
pomiaru istnieje w swoim własnym
"świecie". Więc jest bardzo dużo, być
może nieskończenie wiele
wszechświatów. Wszystko, co mogło
się stać w przeszłości, ale się nie
stało, w rzeczywistości miało miejsce
w przeszłości jakiegoś innego
wszechświata lub wszechświatów.
Alternatywy dla interpretacji
Kopenhaskiej
Teoria Fali Przewodniej
W 1927 roku Louis de Broglie zasugerował, realność funkcji
David Bohm
falowej Schrödingera, która miałaby kierować ruchem
(1917-1992)
rzeczywistych cząstek wzdłuż wyznaczanych przez nią
ścieżek. W 1952 roku David Bohm zaproponował, że funkcja falowa
zawiera formę energii nie znaną fizyce klasycznej, którą nazwał
"kwantowym potencjałem" lub "falą przewodnią„ (guide wave).
W eksperymencie z dwiema szczelinami, fala przewodnia mogłaby
przechodzić przez obie szczeliny kierowałaby rzeczywistym ruchem
cząstek tak, aby uzyskać obraz interferencyjny. Chociaż interpretacja de
Broglie’a-Bohma mówi, że istnieją realne cząstki podążające po
prawdziwych trajektoriach, statystyczny charakter funkcji falowej i
zasada nieoznaczoności Heisenberga, pozostają w mocy. W interpretacji
tej pozostaje jednak kwantowa dziwaczność, polegająca na tym, że
zaburzenia fali przewodniej miałyby się propagować natychmiastowo.
8.7: Zastosowania splątania kwantowego
Obecnie rozwija się wiele technologii opartych o splatanie kwantowe.
W kryptografii kwantowej, splątane cząstki są używane do przesyłania
sygnałów, tak aby że nie można było ich podsłuchać bez śladu.
W komputerze kwantowym
stany splątane są
wykorzystywane do
wykonywania obliczeń
równoległych, co umożliwia
znaczne, w stosunku do
komputerów klasycznych,
przyspieszenie obliczeń.
Kwantowa teleportacja to
odtworzenie zadanego stanu
kwantowego na odległość.
Kryptografia kwantowa
Bennett, Brassard (1984), Eckert (1991)
Alicja i Bartek chcą wymienić się
informacjami w taki sposób aby Ewa nie
mogła ich podsłuchać
Artur Eckert
ur. 1961 we Wrocławiu
pracuje w Cambridge
Alicja
Ewa
Bartek
Prawo Moore’a
Motywacja
- Faktoryzacja klasyczna
Ważnym problemem jest rozkład dużych liczb
całkowitych na czynniki pierwsze – tzw.
faktoryzacja
Klasyczne algorytmy potrafią się uporać z tym
problemem w czasie wykładniczym, tzn. rozkład
liczby N do zapisu której potrzebujemy n =
log2(N) bitów wymaga czasu proporcjonalnego do
2 n
Na przykład, typowy PC może rozłożyć liczbę
 78 cyfrową (n = 256) w 4 godziny
 174 cyfrową (n = 576) w 43 dni
 617 cyfrową (n = 2048) w 300 000 lat
(taka długość jest obecnie rekomendowana dla kryptografii RSA)
Motywacja
- Faktoryzacja kwantowa
Wykładniczy wzrost czasu obliczeń jest
charakterystyczny dla wielu klasycznych
problemów obliczeniowych
Kwantowy algorytm Shora jest w stanie
faktoryzować liczbę o długości n w czasie
wielomianowym – proporcjonalnym do n3
Komputer kwantowy z zaimplementowanym
algorytmem Shora rozłoży liczbę
 78 cyfrową (n = 256) w 4 godziny
 617 cyfrową (n = 2048) w 85 dni
(a zatem istnienie komputera kwantowego byłoby kresem klasycznej kryptografii
opartej na algorytmie RSA)
Do czego nam jest potrzebny
komputer kwantowy?
Wiele praktycznych problemów nie da się
obliczyć w sensownym czasie przy pomocy
komputerów klasycznych
Np. aby rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę zawierającą 1000
cyfr potrzeba czasu dłuższego niż czas życia Wszechświata
Przyspieszenie tradycyjnych procesorów
napotyka na coraz większe trudności
obiektywne
Teoretycznie, komputer kwantowy powinien
umożliwić wielokrotnie szybsze przetwarzanie
informacji
Komputer kwantowy
Komputer kwantowy wykorzystuje własności
cząstek w skali mikro (nano) przewidywane przez
mechanikę kwantową
W tradycyjnych komputerach informacje zapisane
są w postaci bitów
W komputerach kwantowych informacje są zawarte
w kubitach
Idea komputera kwantowego jest dobrze
opracowana w teorii
W praktyce, jego konstrukcja napotyka na duże
problemy
Qubit jako dwustanowy układ
kwantowy
Kwantowy Bit (Kubit) to układ w
koherentnej superpozycji dwu
ortogonalnych stanów:
warunek normalizacji
Sfera Blocha
|1>
|0>
Algorytmy kwantowe
Kwantowym algorytmem nazywamy dowolny algorytm
wymagający do zastosowania mechaniki kwantowej
Peter Shor (1994) rozkład dużej liczby na czynniki pierwsze w czasie
wielomianowym (a nie wykładniczym)
Lov Grover (1995) algorytm przeszukiwania bazy danych
dowolny algorytm kwantowy W = UiUj…Uk można
zrealizować za pomocą uniwersalnego zestaw
bramek {U1,…,Un}
Kryteria DiVincenzo realizacji idei
komputera kwantowego
David DiVincenzo z IBM, sformułował listę 5 warunków
które muszą być spełnione aby można było zbudować
komputer kwantowy:
1. Możliwość fizycznej realizacji dostatecznie dużej liczby
qubitów
2. Możliwość ustalenia stanu początkowego qubitów
3. Istnienie uniwersalnego zestaw bramek wykonujących
żądane operacje na qubitach
4. Czas dekoherencji qubitów dużo dłuższy od czasu
działania bramek kwantowych (ok. 105 razy)
5. Możliwość odczytania stanu końcowego układu qubitów
Kwantowa teleportacja
Ch.Bennett (1993), A.Zellinger, F.di Martini (1997)
Splątane kubity A i B
A
C
1
2
00 
1
2
Alicja chce przesłać Bartkowi kubit
C (w nieznanym stanie)
11
B
Teraz Bartek zna
stan B
Splątuje kubit C z A
przekształca B w C
Kilka transformacji
Mierzy C
Taraz Bartek ma
qubit C
2012-1102
37/54