Zadania domowe 1

Analiza I.1, zima 2016 - seria domowa 1; termin – 14
października
Marcin Kotowski
7 października 2016
Oznaczenia: bxc oznacza część całkowitą liczby x, czyli największą liczbę całkowitą nie
większą od x. Z kolei {x} = x − bxc oznacza część ułamkową. Dla zbiorów A ⊆ B ⊆ R
powiemy, że A jest gęsty w B, jeśli dla każdego b ∈ B i dowolnego ε > 0 istnieje takie a ∈ A,
że |a − b| < ε.
Zadanie 1. (a) Udowodnij, że jeśli α ∈
/ Q, to ciąg ({nα})n­1 jest gęsty na odcinku [0, 1].
(b) Udowodnij, że dla dowolnej liczby niewymiernej α istnieje nieskończony ciąg liczb wymiernych pqnn taki, że dla n ­ 2:
pn α −
qn <
1
1
< 2
nqn
qn
Zadanie 2. Dla liczby rzeczywistej x rozważamy ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
x0 = x, xn+1 =
1
{xn }
Jeśli xn ∈ Z, to rozważamy jedynie skończony ciag x0 , . . . , xn . Wykaż, że x ∈ Q wtedy i
tylko wtedy, gdy dla pewnego n zachodzi xn ∈ Z.
Zadanie 3. Dla ciągu liczb całkowitych a0 , . . . , an , . . . określamy:
pn
:= [a0 , . . . , an ] = a0 +
qn
1
a1 +
1
..
. +
1
an−1 +
1
an
Z Zadania 2 wynika, że każda liczba wymierna daje się przedstawić w powyższej postaci dla
pewnego skończonego ciągu liczb całkowitych a0 , . . . , an . Przedstawienie postaci [a0 , . . . , an ]
nazywamy ułamkiem łańcuchowym. Wykaż, że pk , qk spełniają zależności:
1
(a)
p0 = a0
p1 = a0 a1 + 1
pk = pk−1 ak + pk−2
q0 = 1
q 1 = a1
qk = qk−1 ak + qk−2 , k ­ 2
(b)
pk−1 qk − pk qk−1 = (−1)k , k ­ 1
(c)
pk+1 pk
(−1)k
−
=
qk+1
qk
qk qk+1
Wywnioskuj, że liczby pk , qk są względnie pierwsze.
Zadanie 4. Dla liczby niewymiernej x określamy ciąg xn jak w Zadaniu 2 i kładziemy
an := bxn c. Udowodnij, że:
pn
(−1)n
x−
=
qn
(qn xn+1 + qn−1 )qn
oraz:
pn pn+1 x −
< x −
qn+1 qn Udowodnij, że jeśli dla pewnej liczby wymiernej
x −
p q
<
p
q
zachodzi:
pn x −
qn to q ­ qn . Innymi słowy, ułamki łańcuchowe pqnn stanowią ciag coraz lepszych wymiernych
przybliżeń liczby x i każdy taki ułamek jest najlepszym przybliżeniem spośród ułamków o
mianowniku co najwyżej qn .
Zadanie 5 (*). Liczbę α ∈ R nazwiemy algebraiczną stopnia d, jeśli jest zerem pewnego
wielomianu stopnia d o współczynnikach wymiernych i nie jest zerem żadnego takiego wielomianiu mniejszego stopnia. Udowodnij, że jeśli α ∈
/ Q jest liczbą algebraiczną stopnia d ­ 2,
to istnieje pewna stała Cα > 0 taka, że dla dowolnych p, q ∈ Z, q 6= 0 zachodzi:
α −
p Cα
­ d
q
q
Zadanie 6 (**). Rozważmy najmniejszą możliwą stałą C > 0 taką, że dla kazdej liczby
niewymiernej α istnieje nieskończenie wiele par p, q ∈ Z o własności:
α −
p C
<
q q2
Z Zadania 1 wynika, że C ¬ 1. Spróbuj oszacować stałą C z dołu lub oszacować z góry przez
coś mniejszego od 1.
2