Teoria grup I

Teoria grup I
Andriy Panasyuk
1
Wprowadzenie do wykładu, cz. 1
Grupa: Zbiór 𝐺 wyposażony w ”działanie” 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 (skrótowo oznaczamy 𝜇(𝑎, 𝑏) =: 𝑎 ⋅ 𝑏 lub
poprostu 𝑎𝑏) spełniające następujące aksjomaty:
1. działanie jest łączne, czyli
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺;
2. istnieje element 𝑒 ∈ 𝐺, zwany ”neutralnym”, taki, że
𝑒𝑎 = 𝑎𝑒 = 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ 𝐺;
3. dla każdego 𝑎 ∈ 𝐺 istnieje element ”odwrotny” 𝑎−1 , czyli taki, że
𝑎𝑎−1 = 𝑎−1 𝑎 = 𝑒.
Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli 𝑒′ inny neutralny, to 𝑒′ = 𝑒′ 𝑒 = 𝑒. Analogicznie, dla
każdego 𝑎 ∈ 𝐺 element odwrotny 𝑎−1 jest wyznaczony jednoznacznie.
Podgrupa grupy 𝐺: Podzbiór 𝐻 ⊂ 𝐺 o własnościach 1) 𝜇(𝐻, 𝐻) ⊂ 𝐻 oraz 2) 𝐻 −1 ⊂ 𝐻, czyli
1) 𝑎𝑏 ∈ 𝐻 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 oraz 2) 𝑎−1 ∈ 𝐻 ∀ 𝑎 ∈ 𝐻.
Uwaga: 1) i 2) implikują 𝑒 ∈ 𝐻 oraz fakt, że podgrupa 𝐻 sama staje się grupą z działaniem 𝜇∣𝐻×𝐻 .
Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru 𝑋 nazywamy bijekcję 𝑎 :
𝑋 → 𝑋. Zbiór bijekcji oznaczamy 𝑆𝑋 (𝑆 od „symetrii”, grupę permutacji inaczej nazywamy „grupą
symetrii” zbioru 𝑋) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli 𝜇(𝑎, 𝑏) := 𝑎 ∘ 𝑏 : 𝑋 → 𝑋.
Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id𝑋 , element odwrotny do 𝑎 - odwzorowanie
odwrotne 𝑎−1 : 𝑋 → 𝑋.
Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy 𝑆𝑋 (:-o, na serio: jest to treść
twierdzenia Cayley’a).
Przykłady bardziej przyziemne:
1. 𝐺 = {∗} grupa jednoelementowa.
2. (ℤ, +), (ℝ, +), (ℂ, +), (ℤ𝑛 , +), (ℝ𝑛 , +), (ℂ𝑛 , +); przy tym mamy ciągi podgrup: ℤ ⊂ ℝ ⊂
ℂ, ℤ𝑛 ⊂ ℝ𝑛 ⊂ ℂ𝑛 .
1
3. (ℝ∕=0 , ⋅), (ℝ>0 , ⋅), (ℂ∕=0 , ⋅); ciąg podgrup ℝ>0 ⊂ ℝ∕=0 ⊂ ℂ∕=0 .
4. 𝑈 (1) := {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∣𝑧∣ = 1} (podgrupa ℂ∕=0 ).
5. 𝑆𝑛 , grupa permutacji zbioru 𝑛-elementowego.
Uwaga: 1.- 4. są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że
𝜇(𝑎, 𝑏) = 𝜇(𝑏, 𝑎) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.
5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli 𝑛 > 2.
Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że
zbiór 𝑋 wyposażony jest w pewną ”strukturę” 𝔖. Wybierzmy z 𝑆𝑋 tylko bijekcje o tej własności,
że one same i ich odwrotności ”zachowują” 𝔖, i oznaczmy przez 𝑆𝑋,𝔖 ich zbiór. Wtedy 𝑆𝑋,𝔖 jest
podgrupą w 𝑆𝑋 . Grupa 𝑆𝑋,𝔖 jest „grupą symetrii” struktury 𝔖 i często zawiera istotną informację o
𝔖 (zob. przykład „podłogi”, poniżej).
Przykład: 𝔖 struktura przestrzeni liniowej na 𝑋, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość
bijekcji, 𝑆𝑋,𝔖 = 𝐺𝐿(𝑋) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń
przestrzeni 𝑋.
Przykład: 𝔖 struktura przestrzeni liniowej na 𝑋 wraz z formą objętości 𝜎, 𝑆𝑋,𝔖 = 𝑆𝐿(𝑋) (od
angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni 𝑋 zachowujących
𝜎. Uwaga: 𝑆𝐿(𝑋) jest podgrupą 𝐺𝐿(𝑋).
Przykład: 𝔖 struktura przestrzeni euklidesowej na 𝑋, czyli 𝑋 jest przestrzenią liniową z zadaną
metryką euklidesową (∣), 𝑆𝑋,𝔖 = 𝑂(𝑋) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących metrykę. Uwaga: 𝑂(𝑋) jest podgrupą 𝐺𝐿(𝑋).
Przykład: 𝑆𝑂(𝑋) := 𝑆𝐿(𝑋) ∩ 𝑂(𝑋).
Przykład: Niech 𝑋 = ℝ4 będzie wyposażone w strukturę metryki (∣) o sygnaturze (1, 3), czyli 𝔖
będzie strukturą lorentzowską na 𝑋. Wtedy 𝑆𝑋,𝔖 = 𝑂(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących
(∣), jest tzw. grupą Lorentza.
Przykład: 𝔖 struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na 𝑋, zachowanie struktury oznacza ciągłość bijekcji, 𝑆𝑋,𝔖 grupa homeomorfizmów przestrzeni 𝑋.
Przykład: 𝔖 struktura rozmaitości gładkiej na 𝑋, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji,
𝑆𝑋,𝔖 grupa dyfeomorfizmów przestrzeni 𝑋.
Działanie (lewe) grupy 𝐺 na zbiorze 𝑋: Odwzorowanie 𝜈 : 𝐺 × 𝑋 → 𝑋 (skrótowo oznaczamy
też 𝜈(𝑔, 𝑥) =: 𝑔 ⋅ 𝑥) o własnościach
1. (𝑔1 ⋅ 𝑔2 ) ⋅ 𝑥 = 𝑔1 ⋅ (𝑔2 ⋅ 𝑥) ∀ 𝑔1 , 𝑔2 ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝑋;
2. 𝑒 ⋅ 𝑥 = 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.
Przykład: Działanie grupowe 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 jest przykładem lewego (oraz prawego) działania 𝐺
na 𝐺.
2
Przykład: Grupa 𝑆𝑋 w naturalny sposób działa na 𝑋: 𝑎 ⋅ 𝑥 := 𝑎(𝑥), 𝑎 ∈ 𝑆𝑋 , 𝑥 ∈ 𝑋. Uwaga: jest
to lewe działanie: (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑥 = (𝑎 ∘ 𝑏)(𝑥) = 𝑎(𝑏(𝑥)) = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑥).
Przykład: Analogicznie, 𝑆𝑋,𝔖 działa na 𝑋.
Orbita elementu 𝑥 ∈ 𝑋 działania 𝐺 na 𝑋: 𝐺 ⋅ 𝑥 := {𝑔 ⋅ 𝑥 ∣ 𝑔 ∈ 𝐺}.
Uwaga: 𝑋 jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś
orbicie (bo 𝑒 ⋅ 𝑥 = 𝑥), ponadto, jeśli 𝑥 ∈ 𝐺 ⋅ 𝑥′ oraz 𝑥 ∈ 𝐺 ⋅ 𝑥′′ , to 𝐺 ⋅ 𝑥′ = 𝐺 ⋅ 𝑥′′ (bo 𝑥 = 𝑔 ′ ⋅ 𝑥′ =
𝑔 ′′ ⋅ 𝑥′′ =⇒ 𝑥′ = (𝑔 ′ )−1 ⋅ 𝑔 ′′ ⋅ 𝑥′′ =⇒ 𝑔 ⋅ 𝑥′ = 𝑔 ⋅ (𝑔 ′ )−1 ⋅ 𝑔 ′′ ⋅ 𝑥′′ =⇒ 𝐺 ⋅ 𝑥′ ⊂ 𝐺 ⋅ 𝑥′′ i odwrotnie).
Stabilizator 𝐺𝑥 elementu 𝑥 ∈ 𝑋 względem działania 𝐺 na 𝑋: 𝐺𝑥 := {𝑔 ∈ 𝐺 ∣ 𝑔 ⋅ 𝑥 = 𝑥}.
Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: 𝑔1 ⋅ 𝑥 = 𝑥, 𝑔2 ⋅ 𝑥 = 𝑥 =⇒ (𝑔1 ⋅ 𝑔2 ) ⋅ 𝑥 = 𝑔1 ⋅ (𝑔2 ⋅ 𝑥) = 𝑔1 ⋅ 𝑥 = 𝑥
oraz 𝑔 ⋅ 𝑥 = 𝑥 =⇒ 𝑥 = 𝑔 −1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑥 = 𝑔 −1 ⋅ 𝑥.
′
Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: 𝑥′ = ℎ ⋅ 𝑥 =⇒ 𝐺𝑥 = ℎ−1 𝐺𝑥 ℎ
(Ćwiczenie).
Stabilizator 𝐺𝑌 podzbioru 𝑌 ⊂ 𝑋 względem działania 𝐺 na 𝑋: 𝐺𝑌 := {𝑔 ∈ 𝐺 ∣ 𝑔 ⋅ 𝑌 ⊂ 𝑌 }.
Przykład: Grupa 𝐷𝑛 symetrii wielokąta prawidłowego o 𝑛 wierzchołkach. Niech 𝑋 = ℝ2 ze
standardową metryką euklidesową, 𝑌 𝑛-kąt foremny o środku w zerze:
Wtedy 𝐷𝑛 jest podgrupą grupy 𝑂(𝑋) będąca stabilizatorem 𝑌 .
Przykład: Grupa 𝐺 symetrii „podłogi”, składa się z: 1)„kraty” ℤ × 2ℤ; 2) odbić względem prostych
poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki „płytek”; 3) obrotów o
180∘ względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi.
3
Grupa 𝐺 działa na ℝ2 . Orbita zera: ℤ × 2ℤ. Ona nie pokrywa się z „podłogą” (bo nie zawiera
„fugi”), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając
samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej
mierze odtworzyć strukturę obiektu.
Przykład: Grupa 𝐺 symetrii „kawałka podłogi”
jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i
poziomej przechodzących przez środek „kawałka” oraz ich złożenie, czyli obrót o 180∘ . Taka grupa
bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego „nijednorodność”. Do opisu symetrii
takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96].
4
2
Wprowadzenie do wykładu, cz. II
Grupy „dyskretne”: ℤ𝑛 , „symetrie podłogi” (nieskończone), 𝑆𝑛 , 𝐷𝑛 (skończone).
Grupy „ciągłe”: (ℝ𝑛 , +), (ℝ>0 , ⋅), (ℝ∕=0 , ⋅), (ℂ∕=0 , ⋅), 𝐺𝐿(𝑋), 𝑆𝐿(𝑋), 𝑂(1, 3) (niezwarte), 𝑈 (1), 𝑂(𝑋),
𝑆𝑂(𝑋) (zwarte).
Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (𝐺, 𝜇) takie, że 𝐺 jest wyposażone w strukturę przestrzeni
topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 oraz odwzorowanie 𝜖 : 𝑔 7→ 𝑔 −1 : 𝐺 → 𝐺 są ciągłe (gładkie).
Uwaga: Jeśli 𝐺 jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości) wszystkich odwzorowań.
Reprezentacja grupy 𝐺 w przestrzeni liniowej 𝑋: działanie 𝜈 : 𝐺 × 𝑋 → 𝑋 takie, że dla
każdego 𝑔 ∈ 𝐺 odwzorowanie 𝜈(𝑔, ⋅) : 𝑋 → 𝑋 jest liniowe.
Przykład: naturalna reprezentacja grup 𝐺𝐿(𝑋), 𝑆𝐿(𝑋), 𝑂(𝑋), 𝑆𝑂(𝑋), 𝑂(1, 3), 𝐷𝑛 w przestrzeni
𝑋.
Homomorfizm grup: Odwzorowanie 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach:
𝑓 (𝑒1 ) = 𝑒2 , 𝑓 (𝑎 ⋅1 𝑏) = 𝑓 (𝑎) ⋅2 𝑓 (𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺1 .
Izomorfizm grup: Homomorfizm 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie
𝑓 −1 : 𝐺2 → 𝐺1 automatycznie jest homomorfizmem: 𝑓 −1 (𝑐 ⋅ 𝑑) = 𝑓 −1 (𝑓 (𝑓 −1 (𝑐)) ⋅ 𝑓 (𝑓 −1 (𝑑))) =
𝑓 −1 (𝑓 (𝑓 −1 (𝑐) ⋅ 𝑓 −1 (𝑑))) = 𝑓 −1 (𝑐) ⋅ 𝑓 −1 (𝑑).
Grupa automorfizmów grupy 𝐺: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy
𝑆𝑋,𝔖 : 𝔖 jest strukturą grupy na zbiorze 𝑋 = 𝐺, a 𝑆𝑋,𝔖 grupą izomorfizmów z 𝐺 w 𝐺, które
nazywamy automorfizmami 𝐺. Oznaczamy Aut(𝐺) := 𝑆𝐺,𝔖 .
Przykład: Dla dowolnej 𝐺 odwzorowanie Id𝐺 : 𝐺 → 𝐺 jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie 𝑓 : 𝐺 → {∗} homomorfizmu.
Przykład: exp(⋅) : (ℝ, +) → (ℝ∕=0 , ⋅) homomorfizm, exp(⋅) : (ℝ, +) → (ℝ>0 , ⋅) izomorfizm.
Przykład: exp(2𝜋𝑖⋅) : (ℝ, +) → (ℂ∕=0 , ⋅) homomorfizm.
Przykład: 𝑓 : 𝑈 (1) → 𝑆𝑂(ℝ2 ) izomorfizm, tutaj 𝑆𝑂(ℝ2 ) grupa obrotów płaszczyzny, 𝑓 odwzorowuje liczbę 𝑒𝑖𝜙 w obrót o kąt 𝜙.
Równoważność działań: Działania 𝜈1 : 𝐺1 × 𝑋1 → 𝑋1 i 𝜈2 : 𝐺2 × 𝑋2 → 𝑋2 nazywają się
równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 oraz bijekcja ℎ : 𝑋1 → 𝑋2 takie, że
następujący diagram jest przemienny:
𝐺1 × 𝑋1
𝜈1
/
𝑓 ×ℎ
𝑋1
𝐺2 × 𝑋2
𝜈2
czyli ℎ(𝜈1 (𝑔, 𝑥)) = 𝜈2 (𝑓 (𝑔), ℎ(𝑥)) ∀ 𝑔 ∈ 𝐺1 , 𝑥 ∈ 𝑋1 .
Ważne pytania matematyczne:
5
/
ℎ
𝑋2
1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu;
2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności.
„Sklasyfikować” w ideale oznacza: 1) sporządzić listę „cegiełek”, czyli „prostych” 1 obiektów (grup w
przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę budowania z „cegiełek” bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany
obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z „cegiełek”.
W rzeczywistości, takie listy „cegiełek” istnieją, ale istnieją też obiekty nie „poddające się klasyfikacji”.
Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie „cegiełek” w przypadku grup.
Jądro homomorfizmu 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 : ker 𝑓 := 𝑓 −1 (𝑒2 ).
Podgrupa normalna: Podgrupę 𝐻 ⊂ 𝐺 nazywamy normalną, jeśli 𝑔𝐻𝑔 −1 ⊂ 𝐻 dla wszystkich
𝑔 ∈ 𝐺.
Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów:
Twierdzenie Podzbiór 𝐻 ⊂ 𝐺 grupy 𝐺 jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem
pewnego homomorfizmu 𝑓 : 𝐺 → 𝐺2 .
Dowód: (⇐=) Niech 𝑓 : 𝐺 → 𝐺2 będzie homomorfizmem, a 𝐻 := ker 𝑓 . Wtedy
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 =⇒ 𝑓 (𝑎) = 𝑒2 , 𝑓 (𝑏) = 𝑒2 =⇒ 𝑓 (𝑎𝑏) = 𝑓 (𝑎)𝑓 (𝑏) = 𝑒2 𝑒2 = 𝑒2 =⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝐻;
−1
𝑎 ∈ 𝐻 =⇒ 𝑓 (𝑎−1 ) = (𝑓 (𝑎))−1 = 𝑒−1
∈ 𝐻;
2 = 𝑒2 =⇒ 𝑎
𝑓 (𝑔𝐻𝑔 −1 ) = 𝑓 (𝑔)𝑓 (𝐻)𝑓 (𝑔 −1 ) = 𝑓 (𝑔)𝑒2 (𝑓 (𝑔))−1 = 𝑒2 =⇒ 𝑔𝐻𝑔 −1 ⊂ 𝐻.
Dowód implikacji (=⇒) pokrywa się z następującą konstrukcją.
Grupa ilorazowa 𝐺/𝐻 i homomorfizm naturalny 𝐺 → 𝐺/𝐻: Niech 𝐺 będzie grupą z działaniem 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 a 𝐻 ⊂ 𝐺 będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie 𝜇∣𝐺×𝐻 daje prawe
działanie grupy 𝐻 na zbiorze 𝐺. Orbita elementu 𝑔 ∈ 𝐺 pod względem tego działania ma postać
𝑔𝐻 = {𝑔ℎ ∣ ℎ ∈ 𝐻} i nazywa się prawą warstwą 𝑔 ze względu na 𝐻. Zbiór takich warstw oznaczamy
𝐺/𝐻. Zbiór 𝐺 jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą
rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy 𝐻: odwzorowanie
𝐻 ∋ ℎ 7→ 𝑔ℎ ∈ 𝑔𝐻 jest bijekcją.
Lemat Niech 𝐻 ⊂ 𝐺 będzie podgrupą normalną. Wtedy:
1. każda prawa warstwa 𝑔𝐻 pokrywa się z lewą warstwą 𝐻𝑔 := {ℎ𝑔 ∣ ℎ ∈ 𝐻};
2. wzór 𝑔𝐻 ⋅ 𝑔 ′ 𝐻 = (𝑔 ⋅ 𝑔 ′ )𝐻 zadaje poprawnie określone działanie 𝜇
¯ : 𝐺/𝐻 × 𝐺/𝐻 → 𝐺/𝐻
spełniające aksjomaty działania grupowego;
1
Słowo „prostych” piszemy w cudzysłowie, ponieważ „cegiełki” mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na
przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy
246 ⋅320 ⋅59 ⋅76 ⋅112 ⋅133 ⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31⋅41⋅47⋅59⋅71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 ≈
8 ⋅ 1053 elementów, zob. http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group
6
3. odwzorowanie 𝜋 : 𝐺 → 𝐺/𝐻, 𝜋(𝑔) := 𝑔𝐻 jest homomorfizmem grup.
Dowód: 1. 𝑔𝐻𝑔 −1 ⊂ 𝐻 ⇐⇒ 𝑔𝐻𝑔 −1 = 𝐻 ⇐⇒ 𝑔𝐻 = 𝐻𝑔
2. Poprawność: niech 𝑔1 ∈ 𝑔𝐻, 𝑔1′ ∈ 𝑔 ′ 𝐻, wtedy istnieją ℎ ∈ 𝐻, ℎ′ ∈ 𝐻 ′ takie, że 𝑔1 = 𝑔ℎ, 𝑔1′ = 𝑔 ′ ℎ′ .
Mamy 𝑔1 𝐻 ⋅ 𝑔1′ 𝐻 = (𝑔1 ⋅ 𝑔1′ )𝐻 = 𝑔ℎ𝑔 ′ ℎ′ 𝐻 = 𝑔ℎ𝑔 ′ 𝐻 = 𝑔ℎ𝐻𝑔 ′ = 𝑔𝐻𝑔 ′ = 𝑔𝑔 ′ 𝐻.
Łączność: (𝑔𝐻 ⋅ 𝑔 ′ 𝐻) ⋅ 𝑔 ′′ 𝐻 = (𝑔𝑔 ′ )𝐻 ⋅ 𝑔 ′′ 𝐻 = (𝑔𝑔 ′ )𝑔 ′′ 𝐻 = 𝑔(𝑔 ′ 𝑔 ′′ )𝐻 = 𝑔𝐻 ⋅ (𝑔 ′ 𝑔 ′′ )𝐻 = 𝑔𝐻 ⋅ (𝑔 ′ 𝐻 ⋅ 𝑔 ′′ 𝐻).
Element neutralny: 𝑒𝐻𝑔𝐻 = 𝑒𝑔𝐻 = 𝑔𝐻 = 𝑔𝑒𝐻 = 𝑔𝐻𝑒𝐻.
Element odwrotny: 𝑔 −1 𝐻𝑔𝐻 = 𝑔 −1 𝑔𝐻 = 𝑒𝐻 = 𝑔𝑔 −1 𝐻 = 𝑔𝐻𝑔 −1 𝐻.
3. 𝜋(𝑔𝑔 ′ ) = 𝑔𝑔 ′ 𝐻 = 𝑔𝐻𝑔 ′ 𝐻 = 𝜋(𝑔)𝜋(𝑔 ′ ), 𝜋(𝑒) = 𝑒𝐻. □
Uwaga I: Homomorfizm 𝜋 jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj.
ker 𝑓 = {𝑒1 }) (Ćwiczenie).
Obraz homomorfizmu:
Lemat Obraz 𝐻2 := im 𝑓 homomorfizmu 𝑓 : 𝐺1 → 𝐺2 jest pogrupą w 𝐺2 izomorficzną z 𝐺1 /𝐻1 ,
gdzie 𝐻1 := ker 𝑓 .
Dowód: Jeśli 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻2 , to istnieją 𝑎1 , 𝑏1 ∈ 𝐺1 takie, że 𝑓 (𝑎1 ) = 𝑎, 𝑓 (𝑏1 ) = 𝑏. Wtedy 𝑓 (𝑎1 𝑏1 ) =
−1
𝑓 (𝑎1 )𝑓 (𝑏1 ) = 𝑎𝑏, czyli 𝐻2 ⋅ 𝐻2 ⊂ 𝐻2 . Z kolei, 𝑓 (𝑎−1
= 𝑎−1 implikuje (𝐻2 )−1 = 𝐻2 .
1 ) = (𝑓 (𝑎1 ))
𝑓¯
Szukany izomorfizm określimy wzorem 𝐺1 /𝐻1 ∋ 𝑔𝐻1 7→ 𝑓 (𝑔) ∈ 𝐻2 . Odwzorowanie 𝑓¯ jest
określone poprawnie: jeśli 𝑔 ′ ∈ 𝑔𝐻 inny przedstawiciel warstwy, to 𝑔 ′ 𝑔 −1 = ℎ dla pewnego ℎ ∈ 𝐻, i
𝑓 (𝑔 ′ )(𝑓 (𝑔))−1 = 𝑓 (ℎ) = 𝑒2 skąd 𝑓 (𝑔 ′ ) = 𝑓 (𝑔). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz
że ma trywialne jądro. □
Przykład: Każda podgrupa 𝐻 grupy abelowej 𝐺 jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy
𝐺 = ℤ, 𝐻 = 𝑛ℤ, otrzymujemy grupę cykliczną ℤ𝑛 := ℤ/𝑛ℤ.
Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2𝜋𝑖⋅) : (ℝ, +) → (ℂ∕=0 , ⋅) jest podgrupa 𝑈 (1) ⊂ (ℂ∕=0 , ⋅), a
jego jądrem podgrupa (ℤ, +). Mamy więc izomorfizm ℝ/ℤ ∼
= 𝑈 (1).
Przykład: Niech sign : 𝑆𝑛 → (ℝ∕=0 , ⋅) homomorfizm odwzorowujący permutację 𝜏 w ±1 w zależności od znaku 𝜏 . Jądrem jest tutaj grupa alternująca 𝐴𝑛 permutacji parzystych, a obrazem
grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z ℤ2 . Mamy izomorfizm 𝑆𝑛 /𝐴𝑛 ∼
= ℤ2 .
Przykład: Niech 𝐺 będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie 𝜙 : 𝐺 → Aut(𝐺) wzorem
𝑔 7→ 𝐴𝑔 , 𝐴𝑔 (ℎ) := 𝑔ℎ𝑔 −1 (poprawność: 𝐴𝑔 (ℎℎ′ ) = 𝑔ℎℎ′ 𝑔 −1 = 𝑔ℎ𝑔 −1 𝑔ℎ′ 𝑔 −1 = 𝐴𝑔 (ℎ)𝐴𝑔 (ℎ′ ), 𝐴𝑔 (𝑒) =
𝑒, 𝐴−1
= 𝐴𝑔−1 ). Ponadto, samo 𝜙 jest homomorfizmem: 𝐴𝑔𝑔′ = 𝐴𝑔 ∘ 𝐴𝑔′ , 𝐴𝑒 = Id𝐺 . Jego obraz
𝑔
Int(𝐺) ⊂ Aut(𝐺) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych.
Okazuje się, że Int(𝐺) podgrupa normalna w Aut(𝐺): jeśli 𝑓 : 𝐺 → 𝐺 dowolny automorfizm, to
𝑓 ∘ 𝐴𝑔 ∘ 𝑓 −1 (ℎ) = 𝑓 (𝑔[𝑓 −1 (ℎ)]𝑔 −1 ) = 𝑓 (𝑔)𝑓 [𝑓 −1 (ℎ)]𝑓 (𝑔 −1 ) = 𝐴𝑓 (𝑔) (ℎ), czyli 𝑓 ∘ Int(𝐺) ∘ 𝑓 −1 ⊂ Int(𝐺).
Grupę ilorazową Out(𝐺) := Aut(𝐺)/Int(𝐺) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy
𝐺.
Grupy proste: Są to grupy 𝐺 nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od 𝐺 i {𝑒})
podgrup normalnych.
7
Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie
nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych2 . Np. prosta grupa Liego 𝑆𝐿(ℝ2 ) ma nietrywialną
dyskretną podgrupę normalną {±𝐼}.
To właśnie grupy proste są cegiełkami, „dającymi się sklasyfikować”.
2
Dyskretność podgrupy 𝐻 ⊂ 𝐺 oznacza dyskretność 𝐻 jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego
punktu ℎ ∈ 𝐻 otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z 𝐻.
8
3
Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I
Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76]
Poniżej określimy sposoby „sklejania cegiełek”, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej
skomplikowanej grupy.
Iloczyn prosty grup 𝐺1 , . . . , 𝐺𝑛 : Jest to zbiór 𝐺1 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝐺𝑛 wyposażony w działanie (𝑔1 , . . . , 𝑔𝑛 ) ⋅
(ℎ1 , . . . , ℎ𝑛 ) := (𝑔1 ℎ1 , . . . , 𝑔𝑛 ℎ𝑛 ) z elementem neutralnym (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) oraz (𝑔1 , . . . , 𝑔𝑛 )−1 := (𝑔1−1 , . . . ,
𝑔𝑛−1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami
kwadratowymi [ ].)
Przykład: Grupa 𝐺𝐿+ (2, ℝ) := {𝐴 ∈ Mat(2, ℝ) ∣ det 𝐴 > 0} jest izomorficzna z ℝ>0 × 𝑆𝐿(2, ℝ),
gdzie 𝑆𝐿(2, ℝ) := {𝐴 ∈ Mat(2, ℝ) ∣ det 𝐴 = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm
√ zadajemy√ wzorem
𝐹 : ℝ>0 × 𝑆𝐿(2, ℝ) → 𝐺𝐿+ (2, ℝ), 𝐹 ([𝑥, 𝑋]) := 𝑥𝑋 a jego odwrotność to 𝑍 → [ det 𝑍, 𝑍/ det 𝑍].
Iloczyn półprosty 𝐺2 ⋉ 𝐺1 grup 𝐺2 i 𝐺1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy 𝐺2 na grupie 𝐺1 ,
„respektujące strukturę grupy” na 𝐺1 . Innymi słowy, zadany jest homomorfizm 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 )
(w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy 𝐺2 w grupie 𝐺1 ).
Określamy działanie na zbiorze 𝐺2 × 𝐺1 : [𝑔2 , 𝑔1 ] ⋅ [ℎ2 , ℎ1 ] := [𝑔2 ⋅ ℎ2 , 𝑔1 ⋅ 𝑓𝑔2 ℎ1 ] (tutaj oznaczyliśmy
𝑓𝑔2 ℎ1 := 𝑓 (𝑔2 )ℎ1 ).
Łączność: ([𝑔2 , 𝑔1 ] ⋅ [ℎ2 , ℎ1 ]) ⋅ [𝑗2 , 𝑗1 ] = [𝑔2 ⋅ ℎ2 , 𝑔1 ⋅ 𝑓𝑔2 ℎ1 ] ⋅ [𝑗2 , 𝑗1 ] = [(𝑔2 ⋅ ℎ2 ) ⋅ 𝑗2 , (𝑔1 ⋅ 𝑓𝑔2 ℎ1 ) ⋅ 𝑓𝑔2 ⋅ℎ2 𝑗1 ] =
[𝑔2 ⋅ℎ2 ⋅𝑗2 , (𝑔1 ⋅𝑓𝑔2 ℎ1 )⋅(𝑓𝑔2 ∘𝑓ℎ2 𝑗1 )] = [𝑔2 ⋅ℎ2 ⋅𝑗2 , 𝑔1 ⋅(𝑓𝑔2 ℎ1 ⋅𝑓𝑔2 (𝑓ℎ2 𝑗1 ))] = [𝑔2 ⋅(ℎ2 ⋅𝑗2 ), 𝑔1 ⋅(𝑓𝑔2 (ℎ1 ⋅𝑓ℎ2 𝑗1 ))] =
[𝑔2 , 𝑔1 ] ⋅ [ℎ2 ⋅ 𝑗2 , ℎ1 ⋅ 𝑓ℎ2 𝑗1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 ] ⋅ ([ℎ2 , ℎ1 ] ⋅ [𝑗2 , 𝑗1 ])
Element neutralny: [𝑒2 , 𝑒1 ]
Element odwrotny: [𝑔2 , 𝑔1 ]−1 := [𝑔2−1 , 𝑓𝑔2−1 𝑔1−1 ]
Inne oznaczenie dla 𝐺2 ⋉ 𝐺1 to 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 .
Przykład: Grupa 𝑂(ℝ2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej jest izomorficzna z iloczynem ℤ2 ⋉ 𝑆𝑂(ℝ2 ) grupy ℤ2 = {±1} z grupą obrotów[ 𝑆𝑂(ℝ]2 ).
𝑎 𝑏
Rzeczywiście, 𝑂(ℝ2 ) jest izomorficzna z grupą 𝑂(2, ℝ) = {𝐴 ∈ Mat(2, ℝ) ∣ 𝐴𝐴𝑇 = 𝐼} = {
∣
𝑐 𝑑
𝑎2 + 𝑏2 = 1, 𝑐2 + 𝑑2 = 1, 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0} a 𝑆𝑂(ℝ2 ) z 𝑆𝑂(2, ℝ) = {𝐴 ∈ 𝑂(2, ℝ) ∣ det 𝐴 = 1}).
Określmy homomorfizm
𝑓 : {±1}
[
] → Aut(𝑆𝑂(2, ℝ)) wzorem 1 7→ Id, −1 7→ 𝐿, gdzie 𝐿 : 𝑂𝜙 7→
cos 𝜙 − sin 𝜙
𝑂−𝜙 , tutaj 𝑂𝜙 :=
) jest macierzą obrotu o kąt 𝜙. Zauważmy, że 𝐿 rzeczywiście jest
sin 𝜙 cos 𝜙
elementem Aut(𝑆𝑂(2, ℝ)): odwzorowanie 𝐿 : 𝑆𝑂(2, ℝ) →[𝑆𝑂(2, ℝ)
] jest ograniczeniem do 𝑆𝑂(2, ℝ)
0 1
automorfizmu wewnętrznego 𝐴𝑔 grupy 𝑂(2, ℝ), gdzie 𝑔 =
(Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt).
1 0
Ponadto, ponieważ 𝑔 2 = 𝐼, odwzorowanie 𝑓 jest homomorfizmem.
Zostało zbudować izomorfizm 𝐹 : ℤ2 ×𝑓 𝑆𝑂(2, ℝ) → 𝑂(2, ℝ). Połóżmy 𝜎(1) := 0, 𝜎(−1) := 1
oraz 𝐹 ([𝑥, 𝑋]) := 𝑋𝑔 𝜎(𝑥) (mamy 𝑓 (𝑥) = 𝐴𝑔𝜎(𝑥) ). Wtedy 𝐹 ([𝑥, 𝑋] ⋅ [𝑦, 𝑌 ]) = 𝐹 ([𝑥𝑦, 𝑋𝐴𝑔𝜎(𝑥) (𝑌 )]) =
2
𝑋𝑔 𝜎(𝑥) 𝑌 𝑔 𝜎(𝑥) 𝑔 𝜎(𝑥𝑦) = 𝑋𝑔 𝜎(𝑥) 𝑌 𝑔 𝜎(𝑥 𝑦) = 𝑋𝑔 𝜎(𝑥) 𝑌 𝑔 𝜎(𝑦) = 𝐹 ([𝑥, 𝑋])⋅𝐹 ([𝑦, 𝑌 ]). Homomorfizm odwrotny:
𝐹 −1 (𝑍) := [det 𝑍, 𝑍𝑔 𝜎(det 𝑍) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że 𝐹 𝐹 −1 (𝑍) = 𝑍 oraz 𝐹 −1 𝐹 ([𝑥, 𝑋]) = [𝑥, 𝑋].)
Przykład: Grupa 𝐺𝐿(2, ℝ) := {𝐴 ∈ Mat(𝑛, ℝ) ∣ det 𝐴 ∕= 0}, jest izomorficzna z ℝ∗ ⋉ 𝑆𝐿(2, ℝ),
gdzie 𝑆𝐿(2, ℝ) : {𝐴 ∈ Mat(2, ℝ) ∣ det 𝐴 = 1}, a ℝ∗ to inne oznaczenie dla grupy (ℝ∕=0 , ⋅). Rzeczywiście, określmy odwzorowanie 𝜏 : ℝ∗ → {0, 1}, 𝜏 (𝑥) := 𝜎(sign(𝑥)), oraz homomorfizm 𝑓 : 𝑅∗ →
9
Aut(𝑆𝐿(2, ℝ)), 𝑓 (𝑥) := 𝐴𝑔𝜏 (𝑥) . Izomorfizm 𝐹 : ℝ∗ ×𝑓 𝑆𝐿(𝑛, ℝ) → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) określamy wzorem
𝐹 ([𝑥, 𝑋]) := 𝑥𝑋𝑔 𝜏 (𝑥) . Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły.
Przykład: Grupa 𝑆𝐸(2, ℝ) := 𝑆𝑂(2, ℝ) ×𝑓 ℝ2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj 𝑓 :
𝑆𝑂(2, ℝ) → Aut(ℝ2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie.
Uwaga 1: Jeśli 𝑓 jest homomorfizmem trywialnym, to 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 ∼
= 𝐺2 × 𝐺1 .
Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne 𝑓 , dla których też 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 ∼
= 𝐺2 × 𝐺1 ? Bardziej ogólnie: jeśli
′
𝑓, 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm 𝐺2 ×𝑓1 𝐺1 ∼
= 𝐺2 ×𝑓2 𝐺1
Uwaga 2: odwzorowanie 𝜋 : [𝑔2 , 𝑔1 ] 7→ 𝑔2 : 𝐺 → 𝐺2 jest epimorfizmem grup: 𝜋([𝑔2 , ∗][ℎ2 , ∗]) =
𝜋([𝑔2 ℎ2 , ∗]) = 𝑔2 ℎ2 = 𝜋([𝑔2 , ∗])𝜋([ℎ2 , ∗]). Stąd mamy wnioski: a) {𝑒}×𝐺1 = ker 𝜋 podgrupa normalna
w 𝐺 = 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 ; b) 𝐺/𝐺1 ∼
= 𝐺2 (izomorfizm grup).
Pytanie 2: Czy każda grupa 𝐺 posiadająca podgrupę normalną 𝐺1 jest izomorficzna z 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 ,
gdzie 𝑓 pewien homomorfizm z grupy ilorazowej 𝐺2 = 𝐺/𝐺1 w grupę Aut(𝐺1 )?
W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć.
𝑓𝑘−1
𝑓
𝑘
Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg ⋅ ⋅ ⋅ → 𝐺𝑘 →
𝐺𝑘+1 → ⋅ ⋅ ⋅ grup i ich
homomorfizmów taki, że im 𝑓𝑘−1 = ker 𝑓𝑘 dla każdego 𝑘.
𝜄
𝜋
Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci {∗} → 𝐺1 → 𝐺 → 𝐺2 → {∗}. W szczególności mamy: ker 𝜄 = {𝑒}, czyli 𝜄 jest włożeniem (monomorfizmem); im 𝜋 = 𝐺2 , czyli 𝜋 jest epimorfizmem; im 𝜄 = ker 𝜋, czyli podgrupa im 𝜄 ∼
= 𝐺1 jest podgrupą normalną, a grupa 𝐺2 jest izomorficzna
z grupą ilorazową 𝐺/𝐺1 .
Rozszerzenie grupy 𝐺2 za pomocą grupy 𝐺1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci
𝜄
𝜋
{∗} → 𝐺1 → 𝐺 → 𝐺2 → {∗}.
(1)
Przykład: 𝐺 = 𝐺2 ×𝑓 𝐺1 , 𝜄× (𝑔1 ) := [𝑒, 𝑔1 ], 𝜋× ([𝑔2 , 𝑔1 ]) := 𝑔2 .
𝜄
𝜄′
𝜋
𝜋′
Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia {∗} → 𝐺1 → 𝐺 → 𝐺2 → {∗} oraz {∗} → 𝐺1 → 𝐺′ →
𝐺2 → {∗} są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm 𝑄 : 𝐺 → 𝐺′ dla którego następujący diagram jest
przemienny:
>𝐺A
AA
}}
AA𝜋
}}
𝑄
AA
}
}
A
}
} 𝜄′
′
/ 𝐺′ 𝜋 / 𝐺
𝜄
{∗}
/𝐺
1
2
/
{∗}
Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2′ : czy każde rozsz𝜄×
𝜋×
𝜄
𝜋
erzenie {∗} → 𝐺1 → 𝐺 → 𝐺2 → {∗} jest równoważne z {∗} → 𝐺1 → 𝐺1 ×𝑓 𝐺2 → 𝐺2 → {∗} dla
pewnego 𝑓 ? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1′ : dla jakich
𝜄×
𝜋×
𝜄×
𝜋×
𝑓, 𝑓 ′ rozszerzenia {∗} → 𝐺1 → 𝐺1 ×𝑓 𝐺2 → 𝐺2 → {∗} oraz {∗} → 𝐺1 → 𝐺1 ×𝑓 ′ 𝐺2 → 𝐺2 → {∗} są
równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy 𝐺2
w szczególnym przypadku abelowej grupy 𝐺1 .
Założenie o grupie 𝐺1 : Od tego momentu zakładamy, że 𝐺1 jest abelowa. Operację w 𝐺1 będziemy
oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna).
10
Kohomologie grupy 𝐺2 o wartościach w (abelowej) grupie 𝐺1 : Niech 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 )
ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję 𝑐 : 𝐺𝑛2 → 𝐺1 nazywamy 𝑛-kołańcuchem na 𝐺2 o wartościach 𝐺1 . Zbiór 𝑛-kołańcuchów oznaczmy przez 𝐶 𝑛 (𝐺2 , 𝐺1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu
na dodawanie funkcji). Z definicji 𝐶 0 (𝐺2 , 𝐺1 ) = 𝐺1 . Określmy odwzorowania 𝑑𝑖 : 𝐶 𝑖 (𝐺2 , 𝐺1 ) →
𝐶 𝑖+1 (𝐺2 , 𝐺1 )
𝑑0 𝑐(𝑔) := 𝑓𝑔 𝑐 − 𝑐, 𝑐 ∈ 𝐺1 , 𝑔 ∈ 𝐺2 ;
𝑑1 𝑐(𝑔, ℎ) := 𝑓𝑔 𝑐(ℎ) − 𝑐(𝑔ℎ) + 𝑐(𝑔), 𝑔, ℎ ∈ 𝐺2 , 𝑐 ∈ 𝐶 1 (𝐺2 , 𝐺1 );
𝑑2 𝑐(𝑔, ℎ, 𝑗) := 𝑓𝑔 𝑐(ℎ, 𝑗) − 𝑐(𝑔ℎ, 𝑗) + 𝑐(𝑔, ℎ𝑗) − 𝑐(𝑔, ℎ), 𝑔, ℎ, 𝑗 ∈ 𝐺2 , 𝑐 ∈ 𝐶 2 (𝐺2 , 𝐺1 ).
Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) 𝑑𝑖 jest homomorfizmem grup; 2) 𝑑𝑖+1 𝑑𝑖 = 0. Z 2) mamy
wniosek: im 𝑑𝑖 ⊂ ker 𝑑𝑖+1 . Mówimy, że 𝑍 𝑖 (𝐺2 , 𝐺1 ) := ker 𝑑𝑖 jest 𝑖-tą grupą kocykli, 𝐵 𝑖 (𝐺2 , 𝐺1 ) :=
im 𝑑𝑖 jest 𝑖-tą grupą kobrzegów, a 𝐻 𝑖 (𝐺2 , 𝐺1 ) := ker 𝑑𝑖 / im 𝑑𝑖−1 jest 𝑖-tą grupą kohomologii grupy 𝐺2
(„o wartościach w 𝐺1 ”, lub, bardziej dokładnie, „w reprezentacji 𝑓 ”).
11
4
Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II
Próba odpowiedzi na pytanie 2′ : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej
sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie 𝐺2 na 𝐺1 , czyli homomorfizm 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ).
Istotnie, każdy element 𝑔 ∈ 𝐺 określa automorfizm wewnętrzny 𝐴𝑔 , który zachowuje podgrupę 𝐺1
ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm 𝐹 : 𝐺 → Aut(𝐺1 ), 𝑔 7→ 𝐴𝑔 ∣𝐺1 . Elementy
z 𝐺1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo 𝐺1 jest abelowa, czyli 𝐹 „przepuszcza się” przez 𝐺/𝐺1 .
Innymi słowy istnieje jedyny 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny:
𝐺 LLL
LLL
L𝐹LL
𝜋
LL%
𝑓
/
𝐺/𝐺1
Aut(𝐺1 )
.
Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania 𝜋 (czyli takie odwzorowanie 𝑠 : 𝐺2 → 𝐺, że 𝜋𝑠 = Id𝐺2 )
o własności 𝑠(𝑒2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela 𝑠(𝑔2 )
w każdej warstwie 𝜋 −1 (𝑔2 ), 𝑔2 ∈ 𝐺2 , co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów 𝐺 i 𝐺2 × 𝐺1 a
odwzorowań 𝜄, 𝜋 z włożeniem 𝜄× : 𝑔1 7→ [𝑒, 𝑔1 ] : 𝐺1 → 𝐺2 ×𝐺1 oraz z rzutem 𝜋× na pierwszą składową
odpowiednio. (Istotnie, jeśli 𝑔2 ∈ 𝐺2 , ℎ ∈ 𝜋 −1 (𝑔2 ) = 𝐺1 𝑠(𝑔2 ), to istnieje jedyne 𝑔1 := ℎ(𝑠(𝑔2 ))−1 ∈ 𝐺1
takie, że ℎ = 𝑔1 𝑠(𝑔2 ). Punkt ℎ utożsamiamy z parą [𝑔2 , 𝑔1 ].)
Dalej zakładamy, że 𝐺 = 𝐺2 ×𝐺1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w 𝐺2 ×𝐺1
są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania 𝜄× , 𝜋× są homomorfizmami grup.
Lemat Dopuszczalne mnożenia są postaci
[𝑔2 , 𝑔1 ][ℎ2 , ℎ1 ] = [𝑔2 ℎ2 , 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 + 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )],
(2)
gdzie 𝑐(𝑒, 𝑒) = 0 oraz 𝑐 ∈ 𝑍 2 (𝐺2 , 𝐺1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli 𝑐, 𝑐′ są dwoma kocyklami
odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to 𝑐 − 𝑐′ ∈ 𝐵 2 (𝐺2 , 𝐺1 ), czyli istnieje 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐺2 , 𝐺1 )
o własności 𝑐 − 𝑐′ = 𝑑𝑞. Przy tym 𝑞(𝑒) = 0.
Uwaga:
12
Dowód: Sposób utożsamienia 𝐺 z 𝐺2 × 𝐺1 implikuje wzór
[𝑒, ℎ1 ][𝑔2 , 𝑔1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 + ℎ1 ], 𝑔𝑖 , ℎ𝑖 ∈ 𝐺𝑖 .
Istotnie, element ℎ1 ∈ 𝜋 −1 (𝑒2 ) utożsamia się z [𝑒, ℎ1 (𝑠(𝑒2 ))−1 ] = [𝑒, ℎ1 ], element 𝑔 ∈ 𝜋 −1 (𝑔2 ) utożsamia
się z [𝑔2 , 𝑔(𝑠(𝑔2 ))−1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 ] (tutaj 𝑔1 := 𝑔(𝑠(𝑔2 ))−1 ), skąd element ℎ1 𝑔 ∈ 𝜋 −1 (𝑒2 𝑔2 ) = 𝜋 −1 (𝑔2 )
utożsamia się z [𝑔2 , ℎ1 𝑔(𝑠(𝑔2 ))−1 ] = [𝑔2 , ℎ1 𝑔1 ] = [𝑔2 , ℎ1 + 𝑔1 ].
Z kolei, sposób zadania homomorfizmu 𝑓 daje
[𝑔2 , 𝑔1 ][𝑒, ℎ1 ][𝑔2 , 𝑔1 ]−1 = [𝑒, 𝑓𝑔2 ℎ1 ].
Fakt, że 𝜋 jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że
[𝑔2 , 0][ℎ2 , 0] = [𝑔2 ℎ2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )]
dla pewnego 𝑐 ∈ 𝐶 2 (𝐺2 , 𝐺1 ). Używając tych wzorów dostajemy
[𝑔2 , 𝑔1 ][𝑒, ℎ1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 ][𝑒, ℎ1 ][𝑔2 , 𝑔1 ]−1 [𝑔2 , 𝑔1 ] = [𝑒, 𝑓𝑔2 ℎ1 ][𝑔2 , 𝑔1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 ]
oraz
[𝑔2 , 𝑔1 ][ℎ2 , ℎ1 ] = [𝑔2 , 𝑔1 ][𝑒, ℎ1 ][ℎ2 , 0] = [𝑔2 , 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 ][ℎ2 , 0] = [𝑒, 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 ][𝑔2 , 0][ℎ2 , 0] =
[𝑒, 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 ][𝑔2 ℎ2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )] = [𝑔2 ℎ2 , 𝑔1 + 𝑓𝑔2 ℎ1 + 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )].
Ponieważ 𝜄× ma być homomorfizmem, mamy 𝜄× (𝑔1 )𝜄× (ℎ1 ) = [𝑒, 𝑔1 ][𝑒, ℎ1 ] = [𝑒, 𝑔1 +𝑓𝑒 ℎ1 +𝑐(𝑒, 𝑒)] =
[𝑒, 𝑔1 + ℎ1 ] = 𝜄× (𝑔1 + ℎ1 ). Stąd 𝑐(𝑒, 𝑒) = 0.
Teraz sprawdźmy warunek kocyklu:
([𝑔2 , 0][ℎ2 , 0])[𝑗2 , 0] = [𝑔2 ℎ2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )][𝑗2 , 0] = [𝑔2 ℎ2 𝑗2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 ) + 𝑐(𝑔2 ℎ2 , 𝑗2 )]
[𝑔2 , 0]([ℎ2 , 0][𝑗2 , 0]) = [𝑔2 , 0][ℎ2 𝑗2 , 𝑐(ℎ2 , 𝑗2 )] = [𝑔2 ℎ2 𝑗2 , 𝑓𝑔2 𝑐(ℎ2 , 𝑗2 ) + 𝑐(𝑔2 , ℎ2 𝑗2 )].
Równoważność 𝑄 : 𝐺2 × 𝐺1 → 𝐺2 × 𝐺1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom 𝑐 i 𝑐′ oznacza istnienie
odwzorowania 𝑞 : 𝐺2 → 𝐺1 takiego, że 1) 𝑄([𝑔2 , 𝑔1 ]) = [𝑔2 , 𝑔1 + 𝑞(𝑔2 )] 2) 𝑄 jest homomorfizmem.
Warunek 2) implikuje następujące równości:
𝑄([𝑔2 , 0][ℎ2 , 0]) = 𝑄([𝑔2 ℎ2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 )]) = [𝑔2 ℎ2 , 𝑐(𝑔2 , ℎ2 ) + 𝑞(𝑔2 ℎ2 )] =
𝑄([𝑔2 , 0])𝑄([ℎ2 , 0]) = [𝑔2 , 𝑞(𝑔2 )][ℎ2 , 𝑞(ℎ2 )] = [𝑔2 ℎ2 , 𝑞(𝑔2 ) + 𝑓𝑔2 𝑞(ℎ2 ) + 𝑐′ (𝑔2 , ℎ2 )].
Stąd 𝑐(𝑔2 , ℎ2 ) − 𝑐′ (𝑔2 , ℎ2 ) = 𝑓𝑔2 𝑞(ℎ2 ) − 𝑞(𝑔2 ℎ2 ) + 𝑞(𝑔2 ).
Mamy też 0 = 𝑐(𝑒, 𝑒) − 𝑐′ (𝑒, 𝑒) = 𝑞(𝑒) − 𝑞(𝑒) + 𝑞(𝑒) = 𝑞(𝑒). □
Uwaga: Jeśli kocykl 𝑐 jest kobrzegiem, czyli 𝑐 = 𝑑𝑞 dla pewnego 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐺2 , 𝐺1 ), to odwzorowanie
𝑠′ : 𝑔2 7→ [𝑔2 , −𝑞(𝑔2 )] : 𝐺2 → 𝐺2 × 𝐺1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie 𝑠′ (𝑔2 ℎ2 ) =
[𝑔2 ℎ2 , −𝑞(𝑔2 ℎ2 )] jest równe 𝑠′ (𝑔2 )𝑠′ (ℎ2 ) = [𝑔2 , −𝑞(𝑔2 )][ℎ2 , −𝑞(ℎ2 )] = [𝑔2 ℎ2 , −𝑞(𝑔2 )−𝑓𝑔2 𝑞(ℎ2 )+𝑐(𝑔2 , ℎ2 )]
wskutek definicji 𝑑𝑞.
Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest
równoważne z {∗} → 𝐺1 →𝐺1 ×𝑓 𝐺2 →𝐺2 → {∗} jeśli i tylko jeśli odwzorowanie 𝜋 posiada cięcie
13
𝑠′ : 𝐺2 → 𝐺 będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia 𝑠 : 𝐺2 → 𝐺 (nie będącego
w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy 𝐺 z 𝐺2 × 𝐺1 a samo 𝑠 z odwzorowaniem 𝑔2 7→ [𝑔2 , 0].
Równowazność z iloczynem półprostym 𝐺1 ×𝑓 𝐺2 oznacza trywialność kocyklu 𝑐 (czyli istnienie 𝑞
takiego, że 𝑐 = 𝑑𝑞) i homomorficzność „nowego” cięcia 𝑠′ : 𝑔2 7→ [𝑔2 , −𝑞(𝑔2 )].
Uwaga: Element 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐺2 , 𝐺1 ) taki, że 𝑑𝑞 = 𝑐 jest określony z dokładnością do dodawania elementów kobrzegowych 𝑑𝑎 (tutaj 𝑎 ∈ 𝐺1 , 𝑑𝑎(𝑔2 ) = 𝑓𝑔2 𝑎 − 𝑎). Cięcie 𝑠′′ : 𝐺2 → 𝐺, 𝑠′′ (𝑔2 ) := [𝑔2 , −𝑞(𝑔2 ) −
𝑑𝑎(𝑔2 )], jest otrzymane z ciecia 𝑠′ zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego 𝐴𝑎 : 𝐺 → 𝐺, czyli
𝑠′′ = 𝐴𝑎 ∘ 𝑠′ . Istotnie, [𝑒, 𝑎][𝑔2 , −𝑞(𝑔2 )][𝑒, 𝑎]−1 = [𝑔2 , 𝑎 − 𝑞(𝑔2 )][𝑒, −𝑎] = [𝑔2 , 𝑎 − 𝑞(𝑔2 ) − 𝑓𝑔2 𝑎].
Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga składającą się z macierzy postaci
⎡
⎤
1 𝑎 𝑏
⎣ 0 1 𝑐 ⎦.
0 0 1
Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z ℝ3 . Mnożenie natomiast jest zadawane następującym wzorem: [𝑥, 𝑦, 𝑧][𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ] = [𝑥 + 𝑥′ , 𝑦 + 𝑦 ′ + 𝑥𝑧 ′ , 𝑧 + 𝑧 ′ ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej
𝐺2 = (ℝ2 , +) za pomocą grupy abelowej 𝐺1 = (ℝ, +) z kocyklem 𝑐([𝑥, 𝑧], [𝑥′ , 𝑧 ′ ]) := 𝑥𝑧 ′ (i trywialnym
działaniem 𝑓 ). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg 𝑑𝑞(𝑔, ℎ) = 𝑞(ℎ)−𝑞(𝑔ℎ)+𝑞(𝑔) na grupie
abelowej jest funkcją symetryczną argumentów 𝑔, ℎ. Kocykl 𝑐, natomiast, funkcją symetryczną nie
jest.
W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii 𝐻 2 (𝐶2 , 𝐶1 ) jest nietrywialna.
Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii 𝐻 2 (𝐺2 , 𝐺1 ) jest w bijekcji z klasami
równoważności rozszerzeń grupy 𝐺2 za pomocą grupy 𝐺1 .
Ćwiczenie: Pokazać, że klasy „autorównoważności” rozszerzenia (1) modulo „autorównoważności”
pochodzące z automorfizmów wewnętrznych 𝐴𝑎 , gdzie 𝑎 ∈ 𝐺1 , są w bijekcji z grupą 𝐻 1 (𝐺2 , 𝐺1 ).
Odpowiedź na pytanie 1′ : Ponieważ homomorfizm 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) jest jednoznacznie wyznac𝜄×
𝜋×
𝜄×
zony przez rozszerzenie (1), rozszerzenia {∗} → 𝐺1 → 𝐺1 ×𝑓 𝐺2 → 𝐺2 → {∗} oraz {∗} → 𝐺1 →
𝜋×
𝐺1 ×𝑓 ′ 𝐺2 → 𝐺2 → {∗} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑓 = 𝑓 ′ .
Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech 𝜈 : 𝐺×𝑋 → 𝑋 będzie
lewym działaniem grupy 𝐺 na zbiorze 𝑋. Pokazać, że: 1) przy ustalonym 𝑔 ∈ 𝐺 odwzorowanie
𝑥 7→ 𝜈(𝑔, 𝑥) : 𝑋 → 𝑋 jest bijekcją, czyli 𝜈(𝑔, ⋅) ∈ 𝑆𝑋 ; 2) odwzorowanie 𝑔 7→ 𝜈(𝑔, ⋅) : 𝐺 → 𝑆𝑋 jest
homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm 𝑓 : 𝐺 → 𝑆𝑋 zadaje działanie 𝜈 : 𝐺×𝑋 → 𝑋
według wzoru 𝜈(𝑔, 𝑥) := 𝑓𝑔 𝑥 (tutaj 𝑓𝑔 := 𝑓 (𝑔)).
„Działanie z kocyklem”: Niech 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) będzie homomorfizmem, a 𝑞 ∈ 𝑍 1 (𝐺2 , 𝐺1 ) pewnym
kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie 𝑓˜ : 𝐺2 → 𝑆𝐺1 , 𝑓˜𝑔2 𝑔1 := 𝑓𝑔2 𝑔1 + 𝑞(𝑔2 ), jest homomorfizmem,
czyli zadaje działanie 𝐺2 na 𝐺1 za pomocą „przekształceń afinicznych”.
Przykład 1: Niech 𝐺2 := (ℝ𝑛 , +), 𝐺1 := (ℝ𝑚 , +) i niech 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) homomorfizm trywialny.
Pokazać, że każdy operator liniowy 𝑞 : ℝ𝑛 → ℝ𝑚 jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego
punktu 𝑥 ∈ ℝ𝑚 ze względu na „działąnie z kocyklem” 𝑓˜.
Przykład 2: Niech 𝐺2 := 𝑆𝑂(2, ℝ), 𝐺1 := (ℝ2 , +) i niech 𝑓 : 𝐺2 → Aut(𝐺1 ) działanie naturalne.
Rozważmy kocykl 𝑞 = 𝑑𝑎 będący kobrzegiem (tutaj 𝑎 ∈ 𝐺1 , 𝑞(𝑔2 ) := 𝑓𝑔2 𝑎 − 𝑎, 𝑔2 ∈ 𝐺2 ). Opisać
14
„działanie z kocyklem” 𝑓˜. Odpowiedź: działanie 𝑓˜ polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu
−𝑎.
15
5
Elementy teorii grup krystalograficznych
Literatura dodatkowa:[Szc]3
Dygresja o topologii
Przestrzeń topologiczna: Zbiór 𝑋 wraz z rodziną podzbiorów {𝑈𝛼 }𝛼∈𝐴 nazywanych otwartymi o
własnościach:
1. zbiory ∅ oraz 𝑋 są otwarte;
∪
2. zbiór 𝛼∈𝐵 jest otwarty dla dowolnego podzbioru 𝐵 ⊂ 𝐴
3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Rodzinę {𝑈𝛼 }𝛼∈𝐴 nazywamy topologią na 𝑋.
Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru 𝑋.
Przykład 3: Niech 𝑋 przestrzeń topologiczna, 𝑌 ⊂ 𝑋 pewien podzbiór. Topologia indukowana na
𝑌 składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w 𝑋 z podzbiorem 𝑌 .
Odwzorowanie ciągłe 𝜙 : 𝑋 → 𝑌 pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie
takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w 𝑌 ) jest otwarty (w 𝑋).
∪
Podzbiór zwarty 𝐾 ⊂ 𝑋: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia 𝛼∈𝐵 𝑈𝛼 ⊃ 𝐾
zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone.
Topologia ilorazowa: Niech 𝑋 będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a ℛ ⊂ 𝑋 × 𝑋 relacją
równoważności. Zbiór 𝑋/ℛ = 𝑋/∼ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową.
Jest to najmocniejsza (czyli „najbogatsza”) topologia na 𝑋/𝑅, w której rzut naturalny 𝜋 : 𝑋 → 𝑋/ℛ
jest ciągły. Zbiór 𝑈 ⊂ 𝑋/𝑅 jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy 𝜋 −1 (𝑈 ) jest otwarty w 𝑋.
𝑑𝑒𝑓
Przykład: Niech 𝑋 = ℝ2 i niech (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) ⇐⇒ 𝑎 = 𝑐. Wtedy 𝑋/ naturalnie utożsamia się z
ℝ, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na ℝ.
𝑑𝑒𝑓
Uwaga: Jeśli grupa 𝐺 działa na zbiorze 𝑋, to relacja 𝑎 ∼ 𝑏 ⇐⇒ ∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑎 = 𝑔𝑏 jest relacją
równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór 𝑋/ ∼ (oznaczany przez 𝑋/𝐺) jest zbiorem orbit
działania 𝐺 na 𝑋.
Przykład: Niech 𝑋 = ℝ2 i niech grupa 𝑆𝑂(2, ℝ) działa w sposób naturalny na 𝑋. Wtedy
przestrzeń orbit 𝑋/𝐺 z topologią ilorazową jest promieniem {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≥ 0}. Jeśli 𝐶𝑛 ⊂ 𝑆𝑂(2, ℝ)
jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2𝜋/𝑛, to 𝑋/𝐶𝑛 jest stożkiem.
Grupa euklidesowa: Niech ℝ𝑛 będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny (∣). Odwzorowanie 𝜙 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 o własności (𝜙(𝑥)∣𝜙(𝑦)) = (𝑥∣𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 nazywamy izometrią. Ćwiczenie:
sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań.
Lemat Każda izometria 𝜙 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 jest superpozycją 𝑡𝑎 ∘ 𝐴 przekształcenia ortogonalnego 𝐴 ∈
𝑂(ℝ𝑛 ) i translacji 𝑡𝑎 : ℝ𝑛 → ℝ𝑛 , 𝑥 7→ 𝑥 + 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ𝑛 .
3
Zob. także http://pl.wikipedia.org/wiki/Krystalografia, http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group
16
Dowód: ćwiczenie.
Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy 𝐸(ℝ𝑛 ).
Lemat Grupa 𝐸(ℝ𝑛 ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym 𝑂(𝑛, ℝ) ⋉ ℝ𝑛 =: 𝐸(𝑛, ℝ).
Dowód: Niech [𝐴] będzie macierzą odwzorowania 𝐴 w dowolnej bazie ortonormalnej, a [𝑎] kolumną
współrzędnych elementu 𝑎. Określmy odwzorowanie 𝑡𝑎 ∘ 𝐴 7→ ([𝐴], [𝑎]) : 𝐸(ℝ𝑛 ) → 𝑂(𝑛, ℝ) × ℝ𝑛 .
Dla 𝑥 ∈ ℝ𝑛 mamy (𝑡𝑏 ∘ 𝐵) ∘ (𝑡𝑎 ∘ 𝐴)𝑥 = (𝑡𝑏 ∘ 𝐵)(𝐴𝑥 + 𝑎) = 𝐵𝐴𝑥 + 𝐵𝑎 + 𝑏, wiec złożenie izometrii
indukuje następujące działanie grupowe na 𝑂(𝑛, ℝ) × ℝ𝑛 : ([𝐵], [𝑏])([𝐴], [𝑎]) := ([𝐵][𝐴], [𝐵][𝑎] + [𝑏]).
□
Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę 𝐸(𝑛, ℝ).
Kozwarta grupa Γ ⊂ 𝐸(𝑛, ℝ): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit ℝ𝑛 /Γ
jest zwarta.
Przykład: Podgrupa Γ = {𝑡𝑎 ∣ 𝑎 ∈ ℤ𝑛 ⊂ ℝ𝑛 } ∼
= ℤ𝑛 translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta.
Przestrzeń orbit ℝ𝑛 /ℤ𝑛 jest torusem 𝑛-wymiarowym.
Obszar fundamentalny: Niech Γ ⊂ 𝐸(ℝ𝑛 ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór 𝐹 ⊂ ℝ𝑛 nazywamy
obszarem fundamentalnym działania Γ na ℝ𝑛 , jeśli
∪
𝑔𝐹 = ℝ𝑛
𝑔∈Γ
oraz 𝑔 int(𝐹 ) ∩ 𝑔 ′ int(𝐹 ) = ∅ dla 𝑔 ∕= 𝑔 ′ . Tutaj int(𝐹 ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru 𝐹 ,
czyli takich punktów 𝑝 ∈ 𝐹 , które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty 𝑈 ∋ 𝑝) zawarte
w 𝐹.
Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ =
ℤ𝑛 . Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów 𝐶𝑛 jest domknięty wycinek
nieograniczony o kącie 2𝜋/𝑛.
Krystalograficzna grupa Γ wymiaru 𝑛: Jest to dyskretna4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej 𝐸(𝑛, ℝ).
Przykład: Γ = ℤ𝑛 .
Twierdzenie (Bieberbacha)
1. Jeżeli Γ ⊂ 𝐸(𝑛, ℝ) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ𝑡 := Γ ∩ (𝐼 × ℝ𝑛 ) jest
normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ𝑡
jest skończona). Ponadto, Γ𝑡 jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w
żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z ℤ𝑛 .
2. Dla każdego 𝑛 istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru 𝑛.
3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru 𝑛 są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone
w grupie 𝐴(𝑛, ℝ) afinicznych przeksztalceń ℝ𝑛 .
4
Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym w przestrzeni topologicznej 𝑋 nazywamy taki podzbiór 𝑌 ⊂ 𝑋, że topologia indukowana na 𝑌 jest dyskretną.
17
(Bez dowodu.)
Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To
stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od
„kwazikryształów” i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem
ograniczonego „kawałka” tej struktury.
Przykład: Grupa ℤ1 := {𝑡(𝑛,0) ∣ 𝑛 ∈ ℤ} ⊂ 𝐸(2, ℝ) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego.
Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru 𝑛 wtedy
i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z ℤ𝑛 , będącą
maksymalną podgrupą abelową.
Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha.
Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny:
/
{∗}
/
ℤ𝑛
𝜄1
{∗}
/
/
ℝ𝑛
∣∣
{∗}
/
ℝ𝑛
/
/
Γ
𝜄2
{∗}
/
{∗}
∣∣
/
Γ̃
/
𝐺
𝜄4
𝐴(𝑛, ℝ)
/
𝐺
𝜄3
𝐺𝐿(𝑛, ℝ)
/ {∗},
którego składniki określimy poniżej.
W pierwszym wierszu 𝐺 := Γ/ℤ𝑛 , czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy
normalnej ℤ𝑛 w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę Γ̃ określmy jako iloczyn
półprosty 𝐺 ⋉ ℝ𝑛 , a odwzorowanie 𝜄1 , jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy
wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup 𝑓 : 𝐺 → Aut(ℤ𝑛 ) (wybieramy cięcie 𝑠 : 𝐺 → Γ i
określamy 𝑓 (𝑔) jako 𝐴𝑠(𝑔) ∣ℤ𝑛 ). Zauważmy, że Aut(ℤ𝑛 ) = 𝐺𝐿(𝑛, ℤ) (ostanie wyrażenie oznacza grupę
takich macierzy odwracalnych 𝑋, że 𝑋 i 𝑋 −1 mają współczynniki całkowite5 ) i oznaczmy przez 𝑓˜
złożenie 𝑓 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑛, ℤ) ,→ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) = Aut(ℝ𝑛 ), gdzie ,→ jest włożeniem naturalnym.
Żeby określić odwzorowanie 𝜄2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów 𝜙𝑠 : Γ → 𝐺×ℤ𝑛 (za pomocą
cięcia 𝑠). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl 𝑐 ∈ 𝑍 2 (𝐺, ℤ𝑛 )
(odpowiadający homomorfizmowi 𝑓 ) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ
każdy kocykl na 𝐺 o wartościach w ℤ𝑛 może być uważany za kocykl na 𝐺 o wartościach w ℝ𝑛 (ostatni
oznaczmy przez 𝑐˜), na iloczynie kartezjańskim 𝐺 × ℝ𝑛 mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2)
(zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem 𝑓˜ i kocyklem
𝑐˜.
Natępnie skorzystamy z faktu, że 𝐻 2 (𝐺, ℝ𝑛 ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi,
że każdy 2-kocykl na 𝐺 o wartościach w ℝ𝑛 jest kobrzegiem. W szczególności istnieje 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐺, ℝ𝑛 )
izomorfizm grupy Aut(ℤ𝑛 ) z grupą 𝐺𝐿(𝑛, ℤ) buduje się w sposób następujący. Niech 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ∈ ℤ𝑛 ⊂ ℝ𝑛
będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy 𝜙 ∈ Aut(ℤ𝑛 ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą
o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu 𝜙(𝑒𝑗 ) po tej że bazie. Macierz odwrotna
będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie 𝜙−1 rozumiane jako odwzorowanie ℝ𝑛 → ℝ𝑛 zachowuje kratę
ℤ𝑛 ⊂ ℝ𝑛 , w szczególności 𝜙−1 (𝑒𝑗 ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy,
że każdy inny wybór bazy 𝐴𝑒1 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 , gdzie 𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℤ), zadaje inny izomorfizm Aut(ℤ𝑛 ) ∼
= 𝐺𝐿(𝑛, ℤ).
5
18
taki, że 𝑑𝑞 = 𝑐˜. Z ogólnej teorii wiemy, że 𝑞 określa pewną bijekcję 𝐺 × ℝ𝑛 → 𝐺 × ℝ𝑛 , zadającą
izomorfizm wyżej określonej grupy 𝐺 × ℝ𝑛 z iloczynem półprostym Γ̃ := 𝐺 ×𝑓˜ ℝ𝑛 . Oznaczmy tę
˜
𝜄
2
bijekcję przez ˜𝜄2 , a 𝜄2 określmy jako złożenie 𝐺 = 𝐺 × ℤ𝑛 ,→ 𝐺 × ℝ𝑛 →
Γ̃.
˜
Teraz połóżmy 𝜄3 := 𝑓 i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej ℤ𝑛 implikuje monomorficzność odwzorowania 𝑓˜. Istotnie, jeśli 𝑔 ∈ 𝐺 jest nietrywialnym elementem należącym do jądra
𝑓 , to 𝐴𝑠(𝑔) zostawia każdy element z ℤ𝑛 na miejscu, czyli 𝑠(𝑔) komutuje z ℤ𝑛 . Wtedy podgrupa
generowana przez ℤ𝑛 i 𝑠(𝑔) jest abelowa. Z drugiej strony 𝑠(𝑔) ∕∈ ℤ𝑛 (bo 𝑠(𝑔) leży w nietrywialnej
warstwie), co przeczy maksymalności ℤ𝑛 .
Wreszcie określimy odwzorowanie 𝜄4 . Grupa 𝐴(𝑛, ℝ) afinicznych przekształceń przestrzeni ℝ𝑛
jest iloczynem półprostym 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) ⋉ ℝ𝑛 (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej). Odwzorowanie 𝜄4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (𝐺 ×𝜄3 ℝ𝑛 ) w drugi
(𝐺𝐿(𝑛, ℝ) ⋉ ℝ𝑛 ).
Ponieważ wszystkie odwzorowania 𝜄𝑗 są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę
𝐴(𝑛, ℝ). Zostało pokazać, że tak naprawdę 𝐺 leży w 𝑂(𝑛, ℝ) ⊂ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ). To wynika z następującego
lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji.
Lemat Każda skończona grupa macierzy 𝑛 × 𝑛 o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy
macierzy ortogonalnych.
Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w 𝐸(𝑛, ℝ). Dyskretność tej podgrupy wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego 𝐺 oraz podzbioru
dyskretnego ℤ𝑛 ⊂ ℝ𝑛 . Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ𝑡 ∼
= ℤ𝑛 (tę implikację przyjmujemy
bez dowodu). □
Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje
pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków:
1. Opisać wszystkie skończone podgrupy 𝐺 grupy 𝐺𝐿(𝑛, ℤ) (z dokładnością do izomorfizmu).
2. Opisać wszystkie włożenia 𝜄 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑛, ℤ) ∼
= Aut(ℤ𝑛 ), czyli działania wierne (z dokładnością
do równoważności).
3. Obliczyć 𝐻 2 (𝐺, ℤ𝑛 ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p. 2.
4. Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia odpowiadające różnym elementom 𝐻 2 (𝐺, ℤ𝑛 ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy
mogą być izomorficzne).
Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup „tapetowych” Grupami tapetowymi nazywamy
grupy krystalograficzne wymiaru 𝑛 = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu.
Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech 𝐺 ⊂ 𝐺𝐿(2, ℤ) będzie podgrupą skończoną. Wtedy
𝐺 jest izomorficzna z jedną z następujących grup
{𝐼}, 𝐶2 , 𝐶3 , 𝐶4 , 𝐶6 , 𝐷2 , 𝐷3 , 𝐷4 , 𝐷6 .
Przy tym grupa 𝐶2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy 𝐷2 i 𝐷3 ma ich 2.
19
Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby jedno) włożenie grup 𝐶3 , 𝐶6 w 𝐺𝐿(2, ℤ).
Trzy nierównoważne
włożenia
ℤ) ]zadają się wzorami 𝑣 7→ 𝑀𝑖 , 𝑖 =
[
] grupy[𝐶2 = {𝑒,
] 𝑣} w 𝐺𝐿(2,
[
−1 0
0 1
1 0
1, 2, 3, gdzie 𝑀1 :=
, 𝑀2 :=
, 𝑀3 :=
odpowiednio.
0 −1
1 0
0 −1
Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę 𝐻 2 (𝐶2 , ℤ2 ) dla trzech powyższych działań 𝐶2 na ℤ2 i
zbudować odpowiednie grupy tapetowe.
Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu 𝑐 ∈ 𝑍 2 (𝐺, 𝐺1 ):
𝑓𝑔 𝑐(ℎ, 𝑗) − 𝑐(𝑔ℎ, 𝑗) + 𝑐(𝑔, ℎ𝑗) − 𝑐(𝑔, ℎ) = 0, 𝑔, ℎ, 𝑗 ∈ 𝐺.
Podstawiając 𝑔, 𝑒, 𝑒 lub 𝑒, 𝑒, 𝑗 zamiast 𝑔, ℎ, 𝑗 otrzymujemy odpowiednio
𝑓𝑔 𝑐(𝑒, 𝑒) = 𝑐(𝑔, 𝑒), 𝑐(𝑒, 𝑗) = 𝑐(𝑒, 𝑒).
W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl 𝑐 na grupie dwuelementowej
𝐺 = 𝐶2 = {𝑒, 𝑣} wystarczy określić 𝑐(𝑒, 𝑒) oraz 𝑐(𝑣, 𝑣).
Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy 𝑐(𝑒, 𝑒), 𝑐(𝑣, 𝑣) grupy 𝐺1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo
sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy 𝑣, 𝑣, 𝑣 zamiast 𝑔, ℎ, 𝑗:
𝑓𝑣 𝑐(𝑣, 𝑣) − 𝑐(𝑒, 𝑣) + 𝑐(𝑣, 𝑒) − 𝑐(𝑣, 𝑣) = 0
(tutaj skorzystaliśmy z tego, że 𝑣 2 = 𝑒), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów:
𝑓𝑣 𝑐(𝑣, 𝑣) − 𝑐(𝑒, 𝑒) + 𝑓𝑣 𝑐(𝑒, 𝑒) − 𝑐(𝑣, 𝑣) = 0.
(3)
Podobnie, każdy 1-kołańcuch 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐶2 , 𝐺1 ) określony jest przez zadanie 𝑞(𝑒) oraz 𝑞(𝑣), a z definicji
„różniczki” 𝑑 mamy
𝑑𝑞(𝑒, 𝑒) = 𝑞(𝑒) − 𝑞(𝑒) + 𝑞(𝑒) = 𝑞(𝑒), 𝑑𝑞(𝑔, 𝑔) = 𝑓𝑔 𝑞(𝑔) − 𝑞(𝑒) + 𝑞(𝑔).
Niech 𝐺 := 𝐶2 , 𝐺1 := ℤ2 , 𝑐(𝑒, 𝑒) := (𝑎, 𝑏), 𝑐(𝑣, 𝑣) := (𝑟, 𝑠), 𝑞(𝑒) := (𝑚, 𝑛), 𝑞(𝑣) := (𝑘, 𝑙), 𝑎, 𝑏, 𝑟, 𝑠, 𝑚, 𝑛, 𝑘, 𝑙 ∈
ℤ.
Przypadek 1: 𝑓 : 𝐶2 → 𝐺𝐿(2, ℤ), 𝑓𝑣 := 𝑀1 . Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz (−𝑟, −𝑠) − (𝑎, 𝑏) +
(−𝑎, −𝑏) − (𝑟, 𝑠) = 0, skąd 𝑟 = −𝑎, 𝑠 = −𝑏. Zbadajmy, czy kocykl 𝑐 może być kobrzegiem 𝑑𝑞:
(𝑎, 𝑏) = 𝑐(𝑒, 𝑒) = 𝑑𝑞(𝑒, 𝑒) = 𝑞(𝑒) = (𝑚, 𝑛), (𝑟, 𝑠) = 𝑐(𝑣, 𝑣) = 𝑑𝑞(𝑣, 𝑣) = (−𝑘, −𝑙) − (𝑚, 𝑛) + (𝑘, 𝑙) = (−𝑚, −𝑛).
Czyli, jeśli określimy 𝑞(𝑒) := (𝑎, 𝑏), a 𝑞(𝑣) dowolnie, będziemy mieli 𝑐 = 𝑑𝑞. Innymi słowy 𝐻 2 (𝐶2 , ℤ2 ) = 0 w
tym przypadku.
Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy 𝑡(0,0) ∘ 𝑀1 , 𝑡(1,0) , 𝑡(0,1) i
być grupą symetrii poniższej „tapety”
20
Przypadek 2: 𝑓 : 𝐶2 → 𝐺𝐿(2, ℤ), 𝑓𝑣 := 𝑀2 . Wtedy (𝑠, 𝑟) − (𝑎, 𝑏) + (𝑏, 𝑎) − (𝑟, 𝑠) = 0, skąd 𝑎 + 𝑟 = 𝑏 + 𝑠. Czy
kocykl 𝑐 może być kobrzegiem 𝑑𝑞?
(𝑎, 𝑏) = 𝑐(𝑒, 𝑒) = 𝑑𝑞(𝑒, 𝑒) = 𝑞(𝑒) = (𝑚, 𝑛), (𝑟, 𝑠) = 𝑐(𝑣, 𝑣) = 𝑑𝑞(𝑣, 𝑣) = (𝑙, 𝑘)−(𝑚, 𝑛)+(𝑘, 𝑙) = (𝑘+𝑙−𝑚, 𝑘+𝑙−𝑛).
Określmy 𝑞(𝑒) wzorem 𝑞(𝑒) := (𝑎, 𝑏), a 𝑞(𝑣) := (𝑘, 𝑙) tak, żeby 𝑘 + 𝑙 = 𝑎 + 𝑟 = 𝑏 + 𝑠. Wtedy 𝑐 = 𝑑𝑞, czyli
𝐻 2 (𝐶2 , ℤ2 ) = 0 i w tym przypadku.
Przykładowa grupa tapetowa jest generowana przez elementy 𝑀2 , 𝑡(1,0) i jest grupą symetrii następującej
„tapety”
Przypadek 3: 𝑓 : 𝐶2 → 𝐺𝐿(2, ℤ), 𝑓𝑣 := 𝑀3 . Wtedy (𝑟, −𝑠) − (𝑎, 𝑏) + (𝑎, −𝑏) − (𝑟, 𝑠) = 0, skąd 𝑠 = −𝑏. Czy
kocykl 𝑐 może być kobrzegiem 𝑑𝑞?
(𝑎, 𝑏) = 𝑐(𝑒, 𝑒) = 𝑑𝑞(𝑒, 𝑒) = 𝑞(𝑒) = (𝑚, 𝑛), (𝑟, −𝑏) = 𝑐(𝑣, 𝑣) = 𝑑𝑞(𝑣, 𝑣) = (𝑘, −𝑙)−(𝑚, 𝑛)+(𝑘, 𝑙) = (2𝑘−𝑚, −𝑛).
Spróbujmy określić 𝑞 wzorami 𝑞(𝑒) := (𝑎, 𝑏), 𝑞(𝑣) := (𝑘, 𝑙) tak, żeby 2𝑘 − 𝑎 = 𝑟. Widać, że 𝑎 + 𝑟 musi być
liczbą parzystą. Stąd naprzykład kocykl 𝑐 zadany przez 𝑐(𝑒, 𝑒) = (0, 1), 𝑐(𝑣, 𝑣) = (1, −1) jest kohomologicznie
nietrywialny, czyli nie istnieje 𝑞 ∈ 𝐶 1 (𝐶2 , ℤ2 ) takiego, że 𝑑𝑞 = 𝑐!
Łatwo też zrozumieć, że każdy kocykl 𝑐 ∈ 𝑍 1 (𝐶2 , ℤ2 ) rozumiany jako element 𝑍 1 (𝐶2 , ℝ2 ) jest kohomologicznie trywialny (por. dowód twierdzenia Zassenhausa), bo 𝑘 obliczamy ze wzoru 𝑘 = (𝑟 + 𝑎)/2.
Obliczmy grupę 𝐻 2 (𝐶2 , ℤ2 ) (czyli ile jest tych kocykli nietrywialnych). Każdy kocykl wyznacza się
jednoznacznie przez liczby 𝑎, 𝑏, 𝑟, mamy więc, 𝑍 2 (𝐶2 , ℤ2 ) ∼
= ℤ3 . Z kolei, 𝐵 2 (𝐶2 , ℤ2 ) = {(𝑎, 𝑏, 2𝑘 − 𝑎) ∣
𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ ℤ} = {(𝑎, 𝑏, 𝑥) ∣ 𝑎 + 𝑥 ∈ 2ℤ}. Zauważmy, że 𝐵 2 (𝐶2 , ℤ2 ) ⊂ 𝑍 2 (𝐶2 , ℤ2 ) jest jądrem epimorfizmu
ℤ3 → ℤ/2ℤ, (𝑎, 𝑏, 𝑥) 7→ [𝑎 + 𝑥], gdzie [𝑎 + 𝑥] jest klasą parzystości liczby 𝑎 + 𝑥. Ostatecznie, 𝐻 2 (𝐶2 , ℤ2 ) ∼
=
ℤ/2ℤ ∼
= 𝐶2 .
W przypadku 3 mamy 2 nieizomorficzne grupy tapetowe odpowiadające 2 elementom grupy 𝐻 2 . Jedna,
odpowiadająca kocyklowi trywialnemu, przykładowo jest generowana przez 𝑀3 , 𝑡(2,0) , 𝑡(1,0) i jest grupą symetrii
„tapety”
Druga, odpowiadająca kocyklowi nietrywialnemu, naprzykład może być generowana przez 𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 , 𝑡(0,1)
i jest grupą symetrii „tapety”
21
Jak „zobaczyć” nietrywialny kocykl 𝑐? Najpierw zauważmy, że elementy grupy Γ są kombinacjami
𝑝𝑘1 𝑞 𝑙1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑝𝑘𝑚 𝑞 𝑙𝑚 , gdzie 𝑘𝑖 , 𝑙𝑖 ∈ ℤ, a 𝑝 = 𝑡(0,1) , 𝑞 = 𝑡((1/2),0) ∘ 𝑀3 są wyżej wymieniomymi generatorami.
Ponieważ, jak łatwo sprawdzić 𝑞 2 = 𝑡(1,0) , 𝑀3 ∘ 𝑡(1/2,0) = 𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 oraz 𝑀3 ∘ 𝑝 = 𝑡(0,−1) ∘ 𝑀3 , każdy
element grupy Γ jest postaci 𝑡(𝑛,𝑙) lub 𝑡(𝑛/2,𝑙) ∘ 𝑀3 , gdzie 𝑛, 𝑙 ∈ ℤ.
Przypomnijmy (zob. dowód lematu o dopuszczalnych mnożeniach w iloczynie kartezjańskim 𝐺2 × 𝐺1 ),
że wartość kocyklu 𝑐(𝑔, ℎ) można „odczytać” z mnożenia elementów postaci (𝑔, 0), (ℎ, 0) w iloczynie kartez𝑠
𝑠
jańskim. Wybierzmy cięcie 𝑠 : 𝐶2 → Γ naprzykład tak: 𝑒 7→ 𝑡(0,1) , 𝑣 7→ 𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 . Taki wybór cięcia daje
nam utożsamienie 𝑡(0,1) 7→ (𝑒, (0, 0)), 𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 7→ (𝑣, (0, 0)) i, jako wniosek, następujące utożsamienie Γ
𝜓
𝜓
(jako zbioru) z 𝐶2 × ℤ2 : 𝑡(𝑛,𝑙) 7→ (𝑒, (𝑛, 𝑙 − 1)), 𝑡(𝑛/2,𝑙) ∘ 𝑀3 7→ (𝑣, (𝑛 − 1, 𝑙)) (tutaj 𝑛, 𝑙 ∈ ℤ). Mamy
(𝑒, (0, 0))(𝑒, (0, 0)) = 𝜓(𝑡(0,1) )𝜓(𝑡(0,1) ) = 𝜓(𝑡(0,1) 𝑡(0,1) ) = 𝜓(𝑡(0,2) ) = (𝑒, (0, 1)),
skąd 𝑐(𝑒, 𝑒) = (0, 1). Analogicznie
(𝑣, (0, 0))(𝑣, (0, 0)) = 𝜓(𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 )𝜓(𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 ) = 𝜓(𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 ∘ 𝑡(1/2,0) ∘ 𝑀3 ) = 𝜓(𝑡(1,0) ) = (𝑒, (1, −1)),
skąd 𝑐(𝑣, 𝑣) = (1, −1).
22
6
Elementarna teoria reprezentacji, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ser88]
Reprezentacja grupy 𝐺 w przestrzeni wektorowej 𝑉 nad ciałem 𝕂: jest to lewe działanie
𝜈 : 𝐺 × 𝑉 → 𝑉 grupy 𝐺 na 𝑉 poprzez transformacje liniowe. Definicja równoważna: Reprezentacją
𝐺 w 𝑉 nazywamy homomorfizm 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) z grupy 𝐺 w grupę odwracalnych liniowych (nad
𝕂) przekształceń przestrzeni 𝑉 .
Ćwiczenie 1: Sprawdzić równoważność definicji, czyli pokazać, że 1) odwzorowanie 𝜌𝜈 (𝑔) = 𝜈(𝑔, ⋅) :
𝑉 → 𝑉 należy do 𝐺𝐿(𝑉 ); 2) odwzorowanie 𝑔 7→ 𝜌𝜈 (𝑔) : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) jest homomorfizmem; 3)
odwrotnie, jeśli 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) pewien homomorfizm, to 𝜈𝜌 (𝑔, 𝑣) := 𝜌(𝑔)𝑣 jest działaniem liniowym.
Ćwiczenie 2: Sprawdzić, że w sposób podobny każde prawe działanie liniowe 𝜈 : 𝑉 ×𝐺 → 𝑉 (będziemy
takie działania nazywać antyreprezentacjami) generuje pewien antyhomomorfizm 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 )
(czyli 𝜌(𝑔1 𝑔2 ) = 𝜌(𝑔2 )𝜌(𝑔1 )).
Ćwiczenie 3: Udowodnić, że każde prawe działanie 𝑥 7→ 𝑥𝑔 grupy 𝐺 na zbiorze 𝑋 zadaje lewe
działanie według wzoru 𝑔𝑥 := 𝑥𝑔 −1 i na odwrót.
Przykład podstawowy: Niech 𝜈 : 𝑋 × 𝐺 → 𝑋 będzie prawym działaniem grupy 𝐺 na dowolnym
zbiorze 𝑋 i niech 𝑉 := Fun(𝑋, 𝕂) będzie przestrzenią funkcji na 𝑋 o wartościach w 𝕂. Wtedy
wzór (𝑔𝑓 )(𝑥) := 𝑓 (𝑥𝑔), 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓 ∈ 𝑉 , zadaje reprezentację 𝐺 w 𝑉 . Istotnie, przekształcenie
𝑓 7→ 𝑔𝑓 jest liniowe oraz ((𝑔1 𝑔2 )𝑓 )(𝑥) = 𝑓 (𝑥(𝑔1 𝑔2 )) = 𝑓 ((𝑥𝑔1 )𝑔2 ) = (𝑔2 𝑓 )(𝑥𝑔1 ) = (𝑔1 (𝑔2 𝑓 ))(𝑥).
W ten oto sposób możemy sprowadzić badanie dowolnych działań do badania działań liniowych.
Uwaga: Jest kilka wersji powyższej konstrukcji. Na przykład, każde lewe działanie 𝐺 na 𝑋 zadaje antyreprezentację (𝑓 𝑔)(𝑥) := 𝑓 (𝑔𝑥), bądź, ze względu na powyższe Ćwiczenie, reprezentację (𝑔𝑓 )(𝑥) :=
𝑓 (𝑔 −1 𝑥).
Podprzestrzeń niezmiennicza 𝑊 ⊂ 𝑉 reprezentacji 𝜈 : 𝐺 × 𝑉 → 𝑉 : Jest to podprzestrzeń 𝑊
o własności 𝐺𝑊 ⊂ 𝑊 (równoważnie, 𝜌(𝑔)𝑊 ⊂ 𝑊 ∀𝑔 ∈ 𝐺).
W podprzestrzeni niezmienniczej 𝑊 ⊂ 𝑉 mamy nową reprezentacje grupy 𝐺. Jest nią 𝜈∣𝐺×𝑊 :
𝐺 × 𝑊 → 𝑊 (nazywamy ją podreprezentacją reprezentacji 𝜈).
Przykład: Niech 𝐺 będzie grupą obrotów w ℝ3 mających wspólną oś. Wtedy właśnie ta oś jest
podprzestrzenią niezmienniczą.
Reprezentacja nieprzywiedlna: Jest to reprezentacja nie posiadająca nietrywialnych (różnych od
{0} i 𝑉 ) podprzestrzeni niezmienniczych.
Przykład: Niech 𝐺 = 𝑆𝑂(ℝ2 ) z naturalnym działaniem na ℝ2 . Jest to reprezentacja nieprzywiedlna, bo każda nietrywialna podprzestrzeń jest prostą przechodzącą przez zero, a żadna z takich
prostych nie zachowuje się przez grupę obrotów.
Zauważmy, że grupa 𝐺 jest izomorficzna z grupą z poprzedniego przykładu. W ten sposób mamy
dwie nierównoważne reprezentacje grupy 𝑆𝑂(ℝ2 ).
Reprezentacje nieprzywiedlne będą „cegiełkami”, które będziemy próbować „sklasyfikować” i z
których będziemy budować inne reprezentacje.
Reprezentacja w pełni przywiedlna: Jest to reprezentacja 𝐺 o tej własności, że dla każdej
podprzestrzeni 𝑊 ⊂ 𝑉 niezmienniczej istnieje niezmiennicza podprzestrzeń dopełniająca 𝑍 ⊂ 𝑉
(czyli taka, że 𝑊 ⊕ 𝑍 = 𝑉 ).
23
[
]
𝑎 𝑏
Przykład: Niech grupa 𝐺 := {
∣ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} działa w sposób naturalny na ℝ2 :
0 𝑎
[
][ ] [
]
𝑎 𝑏
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
=
.
0 𝑎
𝑦
𝑎𝑦
[ ]
𝑥
Wtedy 𝑊 := {
∣ 𝑥 ∈ ℝ} jest podprzestrenią niezmienniczą tego działania, dla której nie istnieje
0
dopełniającej podprzestrzeni niezmienniczej. Dlaczego?
Rozkład skończeniewymiarowej reprezentacji 𝜈 : 𝐺 × 𝑉 → 𝑉 w pełni przywiedlnej na
nieprzywiedlne: Algorytm: Jeśli 𝑉 jest nieprzywiedlna, koniec. Jeśli nie, istnieje podprzestrzeń
niezmiennicza 𝑉1 ⊂ 𝑉 i dopełniająca podprzestrzeń niezmiennicza 𝑉2 . Jeśli obie są nieprzywiedlne,
koniec. Jeśli nie, stosujemy powyższy algorytm do 𝑉1 oraz 𝑉2 .
Iterując powyższe działania, na końcu (tutaj przydaje się skończeniewymiarowość) otrzymamy
rozkład 𝑉 = 𝑊1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ 𝑊𝑘 przestrzeni 𝑉 na nieprzywiedlne podprzestrzenie niezmiennicze.
Zupełna przywiedlność reprezentacji grup skończonych
Twierdzenie Niech 𝐺 będzie grupą skończoną, a 𝑉 przestrzenią skończeniewymiarową nad ciałem
𝕂 równym ℝ lub ℂ. Wtedy każda reprezentacja 𝐺 w 𝑉 jest w pełni przywiedlna.
Najpierw udowodnimy następujący
Lemat W założeniach powyższego twierdzenia, na 𝑉 istnieje niezmienniczy istnieje iloczyn skalarny
(∣) (dwuliniowy w przypadku rzeczywistym i półtoraliniowy w zespolonym). Niezmienniczość oznacza
(𝑔𝑥∣𝑔𝑦) = (𝑥∣𝑦) ∀𝑔 ∈ 𝐺, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉.
Dowód: Niech ⟨∣⟩ dowolny iloczyn skalarny. Okreśłmy
∑
(𝑥∣𝑦) :=
⟨ℎ𝑥∣ℎ𝑦⟩.
ℎ∈𝐺
∑
Niezmienniczość (∣) jest oczywista: (𝑔𝑥∣𝑔𝑦) = ℎ∈𝐺 ⟨ℎ𝑔𝑥∣ℎ𝑔𝑦⟩ = ℎ∈𝐺 ⟨ℎ𝑥∣ℎ𝑦⟩ = (𝑥∣𝑦).
Sprawdzamy własności iloczynu skalarnego. 1) dwuliniowość (półtoraliniowość) wynika z tej
że własności ⟨∣⟩ oraz z liniowości odwzorowania 𝑥 7→ 𝑔𝑥; 2) symetria, (𝑥∣𝑦) = (𝑦∣𝑥), i nieujemna
określoność, (𝑥∣𝑥) ≥ 0, – z tych że własności ⟨∣⟩; 3) (∣) jest niezdegenerowany: (𝑥∣𝑥) =
∑
ℎ∈𝐺 ⟨ℎ𝑥∣ℎ𝑥⟩ = 0 implikuje (na mocy dodatniej określoności ⟨∣⟩) następującą własność:
∑
⟨ℎ𝑥∣ℎ𝑥⟩ = 0 ∀ℎ ∈ 𝐺,
w szczególności ⟨𝑥∣𝑥⟩ = 0 i 𝑥 = 0. □
Teraz jesteśmy w stanie udowodnić twierdzenie. Niech 𝑊 ⊂ 𝑉 będzie podprzestrzenią niezmienniczą. Wtedy dopełnienie ortogonalne 𝑊 ⊥ względem (∣) tez będzie niezmiennicze. Istotnie, jeśli
𝑤 ∈ 𝑊 ⊥ , to (𝑤∣𝑣) = 0 dla każdego 𝑣 ∈ 𝑊 . Ale z niezmienniczości (∣) również (𝑔𝑤∣𝑔𝑣) = 0 dla
każdego 𝑣 ∈ 𝑊 . Ponieważ 𝑔𝑣 przebiega całe 𝑊 , gdy 𝑣 przebiega 𝑊 , wnioskujemy, że 𝑔𝑤 ∈ 𝑊 ⊥ ,
czyli 𝑊 ⊥ jest podprzestrzenią niezmienniczą. □
24
Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że odwzorowania 𝑥 7→ 𝑔𝑥, 𝑔 ∈ 𝐺 w bazie ortonormalnej przestrzeni
𝑉 reprezentują się przez macierze ortogonalne (w przypadku 𝕂 = ℝ) lub unitarne (w przypadku 𝕂 =
ℂ). W szczególności, otrzymaliśmy dowód lematu, z którego korzystaliśmy w dowodzie twierdzenia
Zassenhausa.
Niektóre operacje na reprezentacjach
Reprezentacja dualna do reprezentacji 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ): jest to reprezentacja 𝜌∗ : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ∗ )
określona przez 𝜌∗ (𝑔) := (𝜌(𝑔 −1 ))∗ . Można też określić 𝜌∗ (𝑔) := (𝜌(𝑔))∗ , ale to będzie antyreprezentacja.
Suma prosta reprezentacji 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ): Jest to reprezentacja 𝜌 grupy 𝐺 w
przestrzeni 𝑉1 ⊕ 𝑉2 zadana przez 𝜌(𝑔) := (𝜌1 (𝑔), 𝜌2 (𝑔)). Jeśli 𝜌1 (𝑔), 𝜌2 (𝑔) są reprezentowane przez
macierze z 𝐺𝐿(𝑛, 𝕂), 𝐺𝐿(𝑚, 𝕂) odpowiednio, to 𝜌(𝑔) jest reprezentowana przez macierz
[
]
𝜌1 (𝑔)
0
.
0
𝜌2 (𝑔)
Iloczyn tensorowy reprezentacji 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ): Jest to reprezentacja 𝜌 grupy 𝐺
w przestrzeni 𝑉1 ⊗ 𝑉2 zadana przez 𝜌(𝑔) := 𝜌1 (𝑔) ⊗ 𝜌2 (𝑔). Jeśli 𝜌1 (𝑔), 𝜌2 (𝑔) są reprezentowane przez
macierze [𝜌1 (𝑔)] ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝕂), [𝜌2 (𝑔)] ∈ 𝐺𝐿(𝑚, 𝕂), to 𝜌(𝑔) jest reprezentowana przez macierz będącą
iloczynem tensorowym tych macierzy.
Przypomnijmy, że, jeśli operator 𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑉1 ) jest reprezentowany przez macierz [𝐴] := 𝐴𝑖𝑗 w bazie
𝑟1 , . . . , 𝑟𝑛 , czyli 𝐴𝑟𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 𝑟𝑖 (stosujemy konwencję Einsteina: sumujemy po jednakowym indeksach),
a operator 𝐵 ∈ 𝐺𝐿(𝑉2 ) jest reprezentowany przez macierz [𝐵] := 𝐵𝑙𝑘 w bazie 𝑠1 , . . . , 𝑠𝑚 (czyli
𝐵𝑠𝑙 = 𝐵𝑙𝑘 𝑙𝑠𝑘 ), to 𝐴 ⊗ 𝐵(𝑒𝑗 ⊗ 𝑒𝑙 ) := 𝐴𝑟𝑗 ⊗ 𝐵𝑠𝑙 = 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑙𝑘 𝑟𝑖 ⊗ 𝑠𝑘 .
Innymi słowy, w bazie 𝑟𝑖 ⊗ 𝑠𝑘 , 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, 𝑘 ∈ 1, . . . , 𝑚, operator 𝐴 ⊗ 𝐵 jest reprezentowany
przez macierz 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑙𝑘 .
25
7
Elementarna teoria reprezentacji, cz. II
Literatura dodatkowa: [Ser88, Ada69]
Założenia: W tym rozdziale rozpatrujemy tylko skończone grupy 𝐺 i ich skończeniewymiarowe
reprezentacje w przestrzeniach wektorowych nad ℂ.
Charakter reprezentacji 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ): Jest to funkcja 𝜒𝜌 : 𝐺 → ℂ zadana wzorem 𝜒𝜌 (𝑔) :=
Tr(𝜌(𝑔)). Przypomnijmy, że Tr 𝐴 oznacza ślad operatora liniowego działającego w przestrzeni liniowej. Jeśli [𝐴] := 𝐴𝑖𝑗 jest macierzą reprezentującą operator 𝐴 w jakiejkolwiek bazie, to Tr 𝐴
obliczamy jako Tr[𝐴] = 𝐴𝑖𝑖 (kontynuujemy wykorzystanie konwencji Einsteina). Przy tym wynik
nie zależy od wyboru bazy dzięki łatwo sprawdzalnej tożsamości Tr[𝐴][𝐵] = Tr[𝐵][𝐴], z której w
szczególności wynika, że Tr[𝐵][𝐴][𝐵]−1 = Tr[𝐴] dla dowolnej macierzy niezdegenerowanej [𝐵].
Niektóre własności charakteru 𝜒𝜌
Lemat
1. 𝜒𝜌 (𝑒) = dim 𝑉 ;
2. 𝜒𝜌 (𝑔 −1 ) = 𝜒𝜌 (𝑔) ∀𝑔 ∈ 𝐺;
3. 𝜒𝜌 (ℎ𝑔ℎ−1 ) = 𝜒𝜌 (𝑔) ∀𝑔, ℎ ∈ 𝐺.
Dowód: Ad. 1. 𝜒𝜌 (𝑒) = Tr Id𝑉 = dim 𝑉 .
Ad. 2. Z istnienia niezmienniczego iloczynu skalarnego na 𝑉 wynika, że wartości własne 𝜆𝑖 operatora
𝜌(𝑔) spełniają warunek 𝜆𝑖 𝜆𝑖 = 1 (istotnie, jeśli 𝑥𝑖 jest odpowiednim wektorem własnym, to (𝑥𝑖 ∣𝑥𝑖 ) =
(𝜌(𝑔)𝑥𝑖 ∣𝜌(𝑔)𝑥𝑖 ) = (𝜆𝑖 𝑥𝑖 ∣𝜆𝑖 𝑥𝑖 ) = 𝜆𝑖 𝜆𝑖 (𝑥𝑖 ∣𝑥𝑖 ), skąd 𝜆𝑖 𝜆𝑖 = 1).
Niech 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 , 𝑛 = dim 𝑉 , będą wartościami własnymi operatora 𝜌(𝑔) z uwzględnieniem krotności. Wtedy
∑
∑
−1
−1
−1
𝜒𝜌 (𝑔) = Tr 𝜌(𝑔) =
𝜆𝑖 =
𝜆−1
𝑖 = Tr(𝜌(𝑔) ) = Tr(𝜌(𝑔 )) = 𝜒𝜌 (𝑔 ).
Ad. 3. 𝜒𝜌 (ℎ𝑔ℎ−1 ) = Tr(𝜌(ℎ)𝜌(𝑔)𝜌(ℎ)−1 ) = Tr 𝜌(𝑔) = 𝜒𝜌 (𝑔). □
Charakter a operacje nad reprezentacjami
Lemat Niech 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ) będą dwiema reprezentacjami. Wtedy
1. 𝜒𝜌∗1 = 𝜒𝜌1 ;
2. 𝜒𝜌1 ⊕𝜌2 = 𝜒𝜌1 + 𝜒𝜌2 ;
3. 𝜒𝜌1 ⊗𝜌2 = 𝜒𝜌1 ⋅ 𝜒𝜌2
Dowód - ćwiczenie
Operatory splatające i równoważność reprezentacji: Niech 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 →
𝐺𝐿(𝑉2 ) będą dwiema reprezentacjami. Operatorem splatającym pomiędzy 𝜌1 i 𝜌2 nazywamy taki
operator 𝐹 : 𝑉1 → 𝑉2 , że następujący diagram jest przemienny dla dowolnego 𝑔 ∈ 𝐺:
𝑉1
𝜌1 (𝑔)
𝐹
𝑉2
𝜌2 (𝑔)
26
/ 𝑉1
𝐹
/ 𝑉2 .
Przestrzeń operatorów splatających z 𝑉1 do 𝑉2 będziemy oznaczali Hom𝐺 (𝑉1 , 𝑉2 ).
Mówimy, że reprezentacje 𝜌1 i 𝜌2 są równoważne6 , jeśli istnieje operator splatający będący izomorfizmem przestrzeni liniowych.
Uwaga: Reprezentacje równoważne mają jednakowe charaktery: 𝜌1 (𝑔) = 𝐹 −1 ∘ 𝜌2 (𝑔) ∘ 𝐹 , skąd
Tr 𝜌1 (𝑔) = Tr 𝜌2 (𝑔).
Lemat Schura
Lemat Niech 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ) będą dwiema reprezentacjami nieprzywiedlnymi i
niech 𝐹 : 𝑉1 → 𝑉2 będzie operatorem splatającym. Wtedy
1. Jeśli 𝜌1 i 𝜌2 nie są równoważne, to 𝐹 = 0.
2. Jeśli 𝑉1 = 𝑉2 =: 𝑉, 𝜌1 = 𝜌2 , to 𝐹 = 𝜆 Id𝑉 dla pewnego 𝜆 ∈ ℂ.
Dowód: Ad. 1. Niech 𝑊1 := ker 𝐹 ⊂ 𝑉1 . Wtedy 𝑊1 jest podprzestrzenią niezmienniczą względem
reprezentacji 𝜌1 . Istotnie, jeśli 𝑤 ∈ 𝑊1 , to 𝐹 𝜌1 (𝑔)𝑤 = 𝜌2 (𝑔)𝐹 𝑤 = 0, skąd 𝜌1 (𝑔)𝑤 ∈ 𝑊1 . Z nieprzywiedlności 𝜌1 wynika, że 𝑊1 = 𝑉1 (koniec dowodu) lub 𝑊1 = {0}, czyli 𝐹 jest monomorfizmem.
Niech teraz 𝑊2 := im 𝐹 ⊂ 𝑉2 . Okazuje się, że i 𝑊2 jest podprzestrzenią niezmienniczą (względem
𝜌2 ): 𝜌2 (𝑔)𝑊2 = 𝜌2 (𝑔)𝐹 𝑉1 = 𝐹 𝜌1 (𝑔)𝑉1 ⊂ 𝑊2 . Znowu nieprzywiedlność implikuje, że 𝑊2 = {0} (koniec
dowodu) lub 𝑊2 = 𝑉2 . Ostatnia możliwość nie może zachodzić ze względu na to, że reprezentacje
𝜌1 , 𝜌2 nie są równoważne.
Ad. 2. Niech 𝜆 pewna wartość własna operatora 𝐹 . Połóżmy 𝐹 ′ := 𝐹 − 𝜆 Id𝑉 . Wtedy 𝐹 ′ też jest
operatorem splatającym (pomiędzy 𝜌 i 𝜌, gdzie 𝜌 := 𝜌1 = 𝜌2 ). Argumenty przytoczone w pierwszej
części dowodu pozwalają wywnioskować, że 𝐹 ′ = 0 (czyli 𝐹 = 𝜆 Id𝑉 – koniec dowodu) lub 𝐹 ′ jest
izomorfizmem. Ostatnia możliwość nie zachodzi, bo 𝐹 ′ ma nietrywialne jądro (zawierające wektor
własny odpowiadający wartości własnej 𝜆). □
Wnioskiem z lematu Schura jest następujący fakt: dim Hom𝐺 (𝑉1 , 𝑉2 ) = 0 w przypadku, gdy 𝜌1 , 𝜌2
nie są równoważne, oraz dim Hom𝐺 (𝑉, 𝑉 ) = 1.
Relacje ortogonalności dla charakterów: Rozważmy przestrzeń Fun(𝐺, ℂ) funkcji na 𝐺 o wartościach zespolonych. Następujące parowanie
(𝜙∣𝜓) :=
1 ∑
𝜙(𝑔)𝜓(𝑔) 𝜙, 𝜓 ∈ Fun(𝐺, ℂ)
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
(tutaj ∣𝐺∣ oznacza rząd, czyli ilość elementów grupy 𝐺) spełnia wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego
(Ćwiczenie).
Twierdzenie Niech 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ) będą dwiema reprezentacjami. Wtedy
(𝜒𝜌1 ∣𝜒𝜌2 ) = dim Hom𝐺 (𝑉1 , 𝑉2 ).
W szczególności, charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą układ ortonormalny.
Do dowodu tego twierdzenia będziemy potrzebowali następujący
6
Por. definicję z Wykładu 2
27
Lemat Niech 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) będzie reprezentacją. Połóżmy 𝑃 :=
1
∣𝐺∣
∑
𝑔∈𝐺
𝜌(𝑔) : 𝑉 → 𝑉 . Wtedy
1. Operator 𝑃 jest projektorem, czyli 𝑃 2 = 𝑃 .
2. im 𝑃 = 𝑉 𝐺 := {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ 𝜌(𝑔)𝑥 = 𝑥 ∀𝑔 ∈ 𝐺}.
∑
∑
∑
∑
1
1
1.
𝑃 2 = ∣𝐺∣
= ∣𝐺∣1 2 𝑔∈𝐺 ℎ∈𝐺 𝜌(𝑔)𝜌(ℎ) =
𝑔∈𝐺 𝜌(𝑔)( ∣𝐺∣
ℎ∈𝐺 𝜌(ℎ))
∑
1
𝜌(𝑔ℎ)
=
2
𝑔∈𝐺
ℎ∈𝐺
𝑔∈𝐺 𝑃 = 𝑃 .
∣𝐺∣
∣𝐺∣
∑
∑
1
1
Ad. 2. Jeśli 𝑥 ∈ im 𝑃 , to 𝑥 = ∣𝐺∣
𝑔∈𝐺 𝜌(𝑔)𝑦 dla pewnego 𝑦 ∈ 𝑉 oraz 𝜌(ℎ)𝑥 = ∣𝐺∣
𝑔∈𝐺 𝜌(ℎ𝑔)𝑦 =
𝐺
𝑃 𝑦∑
= 𝑥, czyli im 𝑃 ⊂
∑𝑉 . Odwrotnie, jeśli 𝑋 ∈ 𝑉 jest punktem stałym reprezentacji 𝜌, to 𝑃 𝑥 =
1
1
𝑔∈𝐺 𝜌(𝑔)𝑥 = ∣𝐺∣
𝑔∈𝐺 𝑥 = 𝑥, skąd 𝑥 ∈ im 𝑃 . □
∣𝐺∣
Dowód:
∑
1
Ad.
∑
Dowód twierdzenia: Oznaczmy przez Hom(𝑉1 , 𝑉2 ) przestrzeń operatorów liniowych z 𝑉1 w 𝑉2 i zadajmy działanie grupy 𝐺 na tej przestrzeni wzorem (𝜌(𝑔)𝐹 )(𝑥) := 𝜌2 (𝑔)(𝐹 (𝜌1 (𝑔 −1 )𝑥) (Ćwiczenie:
sprawdzić, że w ten sposób otrzymujemy reprezentację grupy 𝐺 w przestrzeni Hom(𝑉1 , 𝑉2 )). Element 𝐹 ∈ Hom(𝑉1 , 𝑉2 ) jest punktem stałym tego działania, jeśli i tylko jeśli dla każdego 𝑔 ∈ 𝐺
natępujący diagram jest przemienny:
𝜌1 (𝑔 −1 )
𝑉1 o
𝐹
𝑉2
𝜌2 (𝑔)
𝑉1
𝐹
/ 𝑉2 ,
czyli 𝐹 jest operatorem splatającym. Innymi słowy Hom(𝑉1 , 𝑉2 )𝐺 = Hom𝐺 (𝑉1 , 𝑉2 ).
Rozważmy odwzorowanie 𝛼 : 𝑉1∗ ⊗𝑉2 → Hom(𝑉1 , 𝑉2 ) zadane wzorem (𝛼(𝛾 ⊗𝑣2 ))𝑣1 := 𝛾(𝑣1 )𝑣2 , 𝛾 ∈
∗
𝑉1 , 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖 . Jest to izomorfizm przestrzeni liniowych, przy czym działanie 𝜌 przechodzi na następujące: 𝜌˜(𝑔)(𝛾 ⊗ 𝑣2 ) := 𝜌∗1 (𝑔)𝛾 ⊗ 𝜌2 (𝑔)𝑣2 , gdzie (𝜌∗1 (𝑔)𝛾)(𝑣1 ) = 𝛾(𝜌1 (𝑔 −1 )𝑣1 ) (działanie dualne do 𝜌1 ).
Reprezentacje 𝜌 i 𝜌˜ są równoważne, mamy więc 𝜒𝜌 = 𝜒𝜌˜. Ostatecznie mamy
(𝜒1 ∣𝜒2 ) =
1 ∑
1 ∑
1 ∑
1 ∑
𝜒1 (𝑔)𝜒2 (𝑔) =
𝜒𝜌˜ =
𝜒𝜌 =
Tr 𝜌(𝑔) = Tr 𝑃 = dim im 𝑃 =
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
dim Hom𝐺 (𝑉1 , 𝑉2 ).
Tutaj skorzystaliśmy z faktu, że ślad projektora jest równy wymiarowi jego obrazu (istotnie, każdy
rzut jest operatorem diagonalizowalnym z wartościami własnymi równymi 1, 0, przy czym wymiar
obrazu jest równy krotności wartości własnej 1). □
28
8
Elementarna teoria reprezentacji, cz. III
Założenia: Jak i w poprzednim, w tym rozdziale rozpatrujemy tylko skończone grupy 𝐺 i ich
skończeniewymiarowe reprezentacje w przestrzeniach wektorowych nad ℂ.
Charakter reprezentacji wyznacza ją z dokładnością do równoważności:
Twierdzenie
1. Niech 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) będzie reprezentacją, a 𝑉 = 𝑊1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ 𝑊𝑘 jej rozkładem na podreprezentacje nieprzywiedlne7 . Jeśli 𝜌0 : 𝐺 → 𝑊 jest pewną reprezentacją nieprzywiedlną, to ilość składowych 𝑊𝑖 równoważnych z 𝑊 jest równa (𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌0 ) (liczbę tę nazywamy
krotnością wchodzenia reprezentacji 𝑊 w reprezentację 𝑉 ).
2. Reprezentacje o tych samych charakterach są równoważne.
Dowód: Ad. 1. Na mocy twierdzeń z poprzedniego wykładu mamy 𝜒𝜌 = 𝜒1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜒𝑘 , gdzie 𝜒𝑖 jest
charakterem reprezentacji 𝑊𝑖 , oraz
(𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌0 ) = (𝜒1 ∣𝜒𝜌0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (𝜒𝑘 ∣𝜒𝜌0 ) = dim Hom𝐺 (𝑊1 , 𝑊 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + dim Hom𝐺 (𝑊𝑘 , 𝑊 ).
Lemat Schura, z kolei, mówi, że w ostatniej sumie „przeżywają” tylko te człony, które odpowiadają
składowym 𝑊𝑖 równoważnym z 𝑊 .
Ad. 2. Niech 𝜌1 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉1 ), 𝜌2 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉2 ) będą dwiema reprezentacjami z 𝜒𝜌1 = 𝜒𝜌2 .
Wtedy dowolna nieprzywiedlna reprezentacja 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑊 ) wchodzi w 𝑉1 i 𝑉2 z jedna i tę samą
krotnością, równą (𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌1 ) = (𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌2 ). □
Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji:
Twierdzenie Reprezentacja 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy (𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌 ) =
1.
Dowód: Jeśli 𝑉 jest nieprzywiedlna, to „wchodzi w siebie” z krotnością 1. Odwrotnie, niech 𝜌 będzie
dowolną reprezentacją,
∑ a 𝑉 = 𝑊1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ 𝑊𝑘 jej rozkładem na podreprezentacje nieprzywiedlne.
Wtedy (𝜒𝜌 ∣𝜒𝜌 ) = 𝑖𝑗 (𝜒𝑖 ∣𝜒𝑗 ). Z relacji ortogonalności wnioskujemy, że, jeśli ta suma jest równa 1,
to 𝑘 = 1.
Ile jest reprezentacji nieprzywiedlnych? Klasą sprzężoności nazywamy orbitę działania 𝐺 ∋
𝑎 7→ 𝐴𝑎 ∈ Aut(𝐺) grupy 𝐺 na sobie poprzez automorfizmy wewnętrzne. Innymi słowy, dwa elementy
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 należą do jednej klasy spzężoności wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 𝑔 ∈ 𝐺 taki, że 𝑎 = 𝑔𝑏𝑔 −1 .
Funkcją klas nazywamy funkcję 𝐹 : 𝐺 → ℂ stałą na klasach sprzężoności. Funkcje klas tworzą
przestzeń wektrową, którą będziemy oznaczali prez Cl(𝐺). Z poprzedniego wykładu wiemy, że każdy
charakter reprezentacji jest funkcją klas. Okazuje się, że charaktery prawie wyczerpują funkcje klas.
Dokładniej, ma miejsce
Twierdzenie
Cl(𝐺).
1. Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą bazę ortonormalną przestrzeni
Taki rozkład jest dalece niejednoznaczny. Np. dla reprezentacji grupy 𝐺 := ℂ∗ = (ℂ∕=0 , ⋅) w przestrzeni ℂ2 zadanej
wzorem ℂ∗ ∋ 𝜆 7→ 𝜆𝐼 ∈ 𝐺𝐿(2, ℂ) każda podprzestrzeń 1-wymiarowa będzie podreprezentacją nieprzywiedlna. Czyli
ℂ2 można rozłożyć na nieprzywiedlne na nieskończenie wiele sposobów.
7
29
2. Ilość nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych grupy 𝐺 jest równa liczbie klas sprężoności.
Dowód: Ad. 2. Z punktu 1 wynika, że liczba nierównoważnych reprezentacji nieprzywiedlnych jest
równa dim Cl(𝐺). Z drugiej strony funkcja klas wyznacza się jednoznacznie przez swoje wartości na
tych klasach, czyli dim Cl(𝐺) jest równe liczbie klas sprzężoności. □
Żeby udowodnić punkt 1 musimy udowodnić pewny lemat i omówić tzw. reprezentację regularną
grupy.
Lemat Niech 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) będzie pewną reprezentacją, a 𝐹 ∈ Cl(𝐺). Wtedy:
∑
1. Operator 𝐿(𝜌, 𝐹 ) : 𝑔∈𝐺 𝐹 (𝑔)𝜌(𝑔) : 𝑉 → 𝑉 jest operatorem splatającym (pomiędzy 𝜌 i 𝜌);
2. W przypadku, gdy 𝜌 jest nieprzywiedlna, 𝐿(𝜌, 𝐹 ) = 𝜆 Id𝑉 oraz 𝜆 =
∣𝐺∣
dim 𝑉
(𝐹 ∣𝜒𝜌 ).
∑
∑
−1
−1
Dowód: Ad. 1. Mamy 𝜌(ℎ)𝐿(𝜌, 𝐹 )𝜌(ℎ)−1 =
=
𝑔∈𝐺 𝐹 (𝑔)𝜌(ℎ)𝜌(𝑔)𝜌(ℎ)
𝑔∈𝐺 𝐹 (𝑔)𝜌(ℎ𝑔ℎ ) =
∑
𝑔∈𝐺 𝐹 (𝑔)𝜌(𝑔) = 𝐿(𝜌, 𝐹 ), więc 𝜌(ℎ)𝐿(𝜌, 𝐹 ) = 𝐿(𝜌, 𝐹 )𝜌(ℎ) dla dowolnego ℎ ∈ 𝐺, czyli 𝐿 jest operatorem splatającym.
Ad. 2. Z lematu Schura wnioskujemy, że 𝐿(𝜌, 𝐹 ) = 𝜆 Id𝑉 . Obliczmy ślad tego operatora. Z jednej
strony Tr(𝜆 Id𝑉 ) = 𝜆 dim 𝑉 , z innej zaś
∑
∑
𝐹 (𝑔) Tr 𝜌(𝑔) =
𝐹 (𝑔)𝜒𝜌 (𝑔) = ∣𝐺∣(𝐹 ∣𝜒𝜌 ).□
Tr 𝐿(𝜌, 𝐹 ) =
𝑔∈𝐺
𝑔∈𝐺
Reprezentacja regularna grupy 𝐺: Oznaczmy elementy grupy 𝐺 przez 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 , przy czym
niech 𝑒1 := 𝑒. Wtedy 𝐺 działa na {𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 } z lewej strony przez lewe mnożenie: 𝑒𝑖 7→ 𝑔𝑒𝑖 . Oznaczmy przez 𝑉𝑟𝑒𝑔 przestrzeń wektorową rozpiętą przez wektory 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 orzaz przedłużmy powyższe
działanie do liniowego działania na 𝑉𝑟𝑒𝑔 według liniowości (czyli 𝑔(𝛼1 𝑒1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 ) := 𝛼1 𝑔𝑒1 + ⋅ ⋅ ⋅ +
𝛼𝑛 𝑔𝑒𝑛 ). Otrzymaną reprezentację nazywamy (lewą) regularną reprezentacją grupy 𝐺.
Dowód punktu 1 twierdzenia: Z relacji ortogonalności wiemy, że charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych tworzą układ ortonormalny. Czyli, do udowodnienia zostaje tylko zupełność tego układu.
Innymi słowy, musimy dowieść, że nie istnieje funkcji klas ortogonalnej do wszystkich charakterów
reprezentacji nieprzywiedlnych.
Otóż niech 𝐹 taka funkcja. Wtedy, według powyższego lematu, operator 𝐿(𝜌, 𝐹 ) jest zerowy
dla dowolnej nieprzywiedlnej reprezentacji 𝜌. Ponieważ każda reprezentacja rozkłada się na nieprzywiedlne, mamy też 𝐿(𝜌, 𝐹 ) = 0 dla dowolnej reprezentacji, w szczególności dla reprezentacji regularnej 𝜌 = 𝜌𝑟𝑒𝑔 . Stąd
∑
𝐹 (𝑔)𝑔𝑒1 .
0 = 𝐿(𝜌𝑟𝑒𝑔 , 𝐹 )𝑒1 =
𝑔∈𝐺
Ponieważ wektory {𝑔𝑒1 }𝑔∈𝐺 tworzą układ liniowo niezależny w 𝑉𝑟𝑒𝑔 , mamy 𝐹 (𝑔) = 0 dla każdego
𝑔 ∈ 𝐺, czyli 𝐹 ≡ 0. □
Rozkład reprezentacji regularnej na nieprzywiedlne:
Twierdzenie
1. Każda reprezentacja nieprzywiedlna 𝜌𝑖 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉𝑖 ) wchodzi w 𝑉𝑟𝑒𝑔 z krotnością równą swojemu wymiarowi 𝑛𝑖 := dim 𝑉𝑖 .
30
2. Wymiary 𝑛𝑖 spełniają tożsamość.
∑
𝑛2𝑖 = ∣𝐺∣.
𝑖
Dowód: Ad. 1. Niech 𝑔 ∕= 𝑒, wtedy dla każdego ℎ ∈ 𝐺 mamy 𝑔ℎ ∕= ℎ. Czyli dla każdego 𝑖 wektor
𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑔)𝑒𝑖 w rozkładzie po bazie 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 nie ma nietrywialnego składnika proporcjonalnego do 𝑒𝑖 .
Stąd wnioskujemy, że wszystkie wyrazy diagonalne macierzy operatora 𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑔) w bazie 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 są
zerowe i Tr 𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑔) = 𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑔) = 0.
Z kolei 𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑒) = Tr Id𝑉𝑟𝑒𝑔 = ∣𝐺∣.
Stosując twierdzenie o krotności wchodzenia, mamy
(𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 ∣𝜒𝜌𝑖 ) =
1 ∑
1
1
𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑔)𝜒𝜌𝑖 (𝑔) =
𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 (𝑒)𝜒𝜌𝑖 (𝑒) =
∣𝐺∣𝜒𝜌𝑖 (𝑒) = 𝑛𝑖 .
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
∣𝐺∣
∣𝐺∣
Ad. 2. Z punktu 1 widzimy, że 𝜒𝜌𝑟𝑒𝑔 =
otrzymujemy szukaną tożsamość. □
∑
𝑖
𝑛𝑖 𝜒𝜌𝑖 . Obliczjąc to wyrażenie na elemencie neutralnym 𝑒,
Reprezentacje nieprzywiedlne 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) grup abelowych: Są jednowymiarowe. Istotnie,
ponieważ 𝑔ℎ = ℎ𝑔, mamy 𝜌(𝑔)𝜌(ℎ) = 𝜌(ℎ)𝜌(𝑔) dal wszystkich 𝑔, ℎ ∈ 𝐺, skąd operator 𝜌(ℎ) jest
operatorem splatającym dla 𝜌. Według lematu Schura ma być postaci 𝜌(ℎ) = 𝜆(ℎ) Id𝑉 przy czym
𝜆(ℎ1 ℎ2 ) = 𝜆(ℎ1 )𝜆(ℎ2 ), czyli 𝜆 : 𝐺 → ℂ∗ = 𝐺𝐿(1, ℂ) jest homomorfizmem. Jasne, że reprezentacja
ℎ → 𝜆(ℎ) Id𝑉 jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy dim 𝑉 = 1 (lub 0, co nie rozpatrujemy,
bo jest trywialne).
Zauważmy, że reprezentacja jednowymiarowa 𝐺 → 𝐺𝐿(ℂ) = ℂ∗ każdej grupy pokrywa się ze
swoim charakterem 𝜒𝜌 : 𝐺 → ℂ.
Przykład: Znajdźmy wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy cyklicznej 𝐶𝑛 = {𝑒, 𝑎, 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛−1 }.
Wiemy, że są jednowymiarowe i, ponieważ wymiar reprezentacji regularnej jest 𝑛, ma ich być 𝑛.
Każda taka reprezentacja ma postać 𝑒 7→ 1, 𝑎 7→ 𝜆 = 𝜒(𝑎) ∈ ℂ∗ , 𝑎𝑘 = 𝜆𝑘 , 𝑘 = 2, . . . , 𝑛 − 1, przy czym
𝜆𝑛 = 1. Stąd 𝜆 musi być jednym z pierwiastków 𝑛-go stopnia z jedynki {1, 𝜖, 𝜖2 , . . . , 𝜖𝑛−1 }, 𝜖 = 𝑒2𝑖𝜋/𝑛 .
Tabela charakterów dla 𝑛 = 4 ma postać
𝜒0
𝜒1
𝜒2
𝜒3
𝑒 𝑎
1 1
1 𝜖
1 𝜖2
1 𝜖3
𝑎2
1
𝜖2
1
𝜖2
𝑎3
1
𝜖3
𝜖2
𝜖
Przykład: Grupa 𝐷2 ∼
= 𝑉4 ∼
= ℤ2 × ℤ2 . Ogólnie grupa 𝐷𝑛 symetrii 𝑛-kąta foremnego składa
2
się z elementów postaci 𝑒, 𝑎, 𝑎 , . . . , 𝑎𝑛−1 , gdzie 𝑎 obrót płaszczyzny o kąt 2𝜋/𝑛 oraz elementów
postaci 𝑠, 𝑠𝑎, 𝑠𝑎2 , . . . , 𝑠𝑎𝑛−1 , gdzie 𝑠 jakiekolwiek odbicie zachowujące wielokąt. Elementy te spełniają
następujące relacje: 𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑠2 = 𝑒, 𝑠𝑎𝑘 𝑠 = 𝑎−𝑘 . Grupa 𝐷𝑛 jest iloczynem półprostym 𝐶2 × 𝑓 𝐶𝑛 .
Tutaj 𝐶2 := {𝑒, 𝑠}, 𝑓 : 𝐶2 → Aut𝐶𝑛 jest dane wzorem 𝑓 (𝑒) = Id, 𝑓 (𝑠)𝑎𝑘 = 𝑎−𝑘 .
W szczególności, 𝐷2 , grupa symetrii 2-kąta foremnego (jak śmiesznie to nie brzmi), składa się z
𝑒, 𝑎, 𝑠, 𝑠𝑎. Ponieważ 𝑠𝑎𝑠 = 𝑎−1 = 𝑎 i 𝑠−1 = 𝑠, mamy 𝑠𝑎 = 𝑎𝑠 oraz 𝑎𝑠𝑎 = 𝑠 = 𝑠𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑎 = 𝑎 = 𝑠𝑎𝑠, czyli
jest przemienna. Ma więc mieć 4 jednowymiarowe reprezentacje nieprzywiedlne. Każdy z elementów
𝑔 grupy jest inwolucją, czyli 𝑔 2 = 𝑒, skąd odpowiadająca mu 1 × 1-macierz 𝜌(𝑔) musi być równa ±1.
31
Ponadto 𝜌(𝑒) = 1. Łatwo się przekonać, że tylko następujące 4 wektory spełnieją te wymogi i tworzą
układ ortonormalny:
𝜒0
𝜒1
𝜒2
𝜒3
𝑒 𝑎 𝑠 𝑠𝑎
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
1 1 -1 -1
Komutant grupy i reprezentacje: Komutantem 𝐺′ grupy 𝐺 nazywamy najmniejszą podgrupę
normalną 𝐺′ ⊂ 𝐺 taką, że grupa ilorazowa 𝐺/𝐺′ jest abelowa. Jeśli 𝜌′ : 𝐺/𝐺′ → 𝐺𝐿(𝑉 ) jest
reprezentacją nieprzywiedlną grupy 𝐺/𝐺′ (𝑉 musi być 1-wymiarowe), to 𝜌′ ∘ 𝜋, gdzie 𝜋 : 𝐺 → 𝐺/𝐺′
jest rzutem naturalnym, jest nieprzywiedlną reprezentacją grupy 𝐺.
Prykład: Niech 𝐺 := 𝐷3 . Wtedy 𝐺′ = 𝐶3 = {𝑒, 𝑎, 𝑎2 } a 𝐺/𝐺′ ∼
= 𝐶2 . Klasy sprzężoności są następu2
2
jące {𝑒}, {𝑎, 𝑎 }, {𝑠, 𝑠𝑎, 𝑠𝑎 }. Grupa 𝐺 ma 2 reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące
z reprezentacji 𝐺/𝐺′ = 𝐶2 . Oto ich charaktery
𝜒0
𝜒1
𝑒 𝑎 𝑎2
1 1 1
1 1 1
𝑠 𝑠𝑎
1 1
-1 -1
𝑠𝑎2
1
-1
Reprezentacja regularna jest 6-wymiarowa, więc mamy dwie możliwości: albo jeszcze 4 reprezentacje 1-wymiarowe, albo jedna reprezentacja 2-wymiarowa (wchodząca z krotnością 2). Okazuje
2
się,
( że zachodzi druga możliwość:
)
( rozważmy
) naturalną reprezentację 𝐺 na ℝ daną wzorami 𝑎 7→
cos 2𝜋/3 − sin 2𝜋/3
1 0
, 𝑠 7→
i zinterpretujmy ją jako reprezentację w ℂ2 . Tabelka
sin 2𝜋/3 cos 2𝜋/3
0 −1
uzupełni się do następującej:
𝜒0
𝜒1
𝜒2
𝑒 𝑎 𝑎2
1 1 1
1 1 1
2 -1 -1
𝑠 𝑠𝑎
1 1
-1 -1
0 0
𝑠𝑎2
1
-1
0
Ponieważ (𝜒2 ∣𝜒2 ) = 1, odpowiednia reprezentacja jest nieprzywiedlna.
Prykład: Niech 𝐺 := 𝐷4 . Wtedy 𝐺′ = 𝐶2 = {𝑒, 𝑎2 } a 𝐺/𝐺′ ∼
= 𝐷2 . Istotnie, 𝑠𝑎2 𝑠 = 𝑎2 , (𝑠𝑎)𝑎2 (𝑠𝑎)−1 =
2 3
2
2
2 2
2 −1
2 2 2
2
3 2
(𝑠𝑎)𝑎 𝑎 𝑠 = 𝑠𝑎 𝑠 = 𝑎 , (𝑠𝑎 )𝑎 (𝑠𝑎 ) = 𝑠𝑎 𝑎 𝑎 𝑠 = 𝑎 , (𝑠𝑎 )𝑎 (𝑠𝑎3 )−1 = 𝑠𝑎3 𝑎2 𝑎𝑠 = 𝑎2 , czyli 𝐺′ jest
normalna. Oto odpowiednie warstwy i ich tabelka mnożenia:
{𝑒, 𝑎2 }
{𝑎, 𝑎3 }
{𝑠, 𝑠𝑎2 } {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 }
{𝑒, 𝑎2 }
{𝑒, 𝑎2 }
{𝑎, 𝑎3 }
{𝑠, 𝑠𝑎2 } {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 }
3
3
2
{𝑎, 𝑎 }
{𝑎, 𝑎 }
{𝑒, 𝑎 } {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 } {𝑠, 𝑠𝑎2 }
{𝑠, 𝑠𝑎2 }
{𝑠, 𝑠𝑎2 } {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 } {𝑒, 𝑎2 }
{𝑎, 𝑎3 }
{𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 } {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 } {𝑠, 𝑠𝑎2 }
{𝑎, 𝑎3 }
{𝑒, 𝑎2 }
Stąd widzimy izomorfizm 𝐺/𝐺′ ∼
= 𝐷2 . Klasy sprzężoności są następujące: {𝑒}, {𝑎2 }, {𝑎, 𝑎3 },
{𝑠, 𝑠𝑎2 }, {𝑠𝑎, 𝑠𝑎3 }. Grupa 𝐺 ma 4 reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące z reprezentacji 𝐺/𝐺′ = 𝐷2 oraz jedną
reprezentację nieprzywiedlną
pochodzącą z reprezentacji
(
)
( 2-wymiarową
)
cos 2𝜋/4 − sin 2𝜋/4
1 0
naturalnej na ℝ2 : 𝑎 7→
, 𝑠 7→
. A oto tabela charakterów:
sin 2𝜋/4 cos 2𝜋/4
0 −1
32
𝜒0
𝜒1
𝜒2
𝜒3
𝜒4
𝑒 𝑎 𝑎2
1 1 1
1 -1 1
1 -1 1
1 1 1
2 0 -2
𝑎3
1
-1
-1
1
0
33
𝑠 𝑠𝑎
1 1
1 -1
-1 1
-1 -1
0 0
𝑠𝑎2
1
1
-1
-1
0
𝑠𝑎3
1
-1
1
-1
0
9
Reprezentacje indukowane, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ser88, CR88]
Dygresja algebraiczna:
Pierścień: Jest to grupa abelowa (𝐴, +) (odpowiednie działanie nazywamy dodawaniem) wyposażona
w dodatkowe działanie (𝑎, 𝑏) 7→ 𝑎 ⋅ 𝑏 (nazywane mnożeniem), które spełnia następujące aksjomaty:
1. (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 (mnożenie jest łączne);
2. 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐, (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴.
Mówimy, że (𝐴, +, ⋅) jest pierścieniem z jedynką, jeśli istnieje element 1 ∈ 𝐴 będący elementem
neutralnym względem mnożenia, tj. 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴.
Przykład: Pierścień ℤ liczb całkowitych.
Przykład: Każde ciało 𝕂 jest pierścieniem.
Przykład: Zbiór Fun(𝑋, 𝕂) funkcji na dowolnym zbiorze 𝑋 o wartościach w dowolnym ciele 𝕂 jest
piersćieniem z jedynką (1 jest funkcja stała, równa jeden). Jest to przykład pierścienia przemiennego
nie będącego ciałem (o ile zbiór 𝑋 jest więcej niż jednoelementowy).
Przykład: Zbiór Mat(𝑘, 𝕂) macierzy 𝑘×𝑘 o wyrazach w ciele 𝕂 jest pierścieniem z jedynką (1 = 𝐼).
Jest to przykład pierścienia nieprzemiennego (o ile 𝑘 > 1).
Przykład: Zbiór 𝐶0 (ℝ𝑘 , ℝ) funkcji ciagłych na ℝ𝑘 o wartościach w ℝ znikających w zerze jest
przykładem pierścienia bez jedynki.
Lewy moduł nad pierścieniem 𝐴 z jedynką: Jest to grupa abelowa (𝑀, +) wyposażona w działanie
𝜈 : 𝐴×𝑀 → 𝑀 (zapis skrócony 𝜈(𝑎, 𝑚) := 𝑎𝑚, 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 ), które spełnia następujące aksjomaty:
1. 𝑎(𝑚 + 𝑛) = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑀 ;
2. (𝑎 + 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 ;
3. (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑚 = 𝑎(𝑏𝑚) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 ;
4. 1𝑚 = 𝑚 ∀𝑚 ∈ 𝑀 .
Uwaga: Analogicznie definiujemy pojęcie prawego modułu nad 𝐴. Jeśli pierścień jest przemienny,
każdy lewy moduł może być przekształcony w prawy 𝑚𝑎 := 𝑎𝑚 i odwrotnie.
Przykład: Niech 𝐴 := 𝕂 będzie ciałem, a 𝑀 przestrzenią wektorową nad 𝕂. Wtedy 𝑀 jest lewym
(i prawym) 𝕂-modułem.
Przykład: Niech 𝐴 := Fun(𝑋, 𝕂), a 𝑀 := Fun(𝑋, 𝕂𝑘 ) będzie zbiorem funkcji na 𝑋 o wartościach
w 𝕂𝑘 . Wtedy 𝑀 jest lewym modułem nad 𝐴 względem naturalnego mnożenia wektor-funkcji przez
funkcję.
Przykład: Niech 𝐴 := Mat(𝑘, 𝕂), a 𝑀 := 𝕂𝑘 . Wtedy 𝑀 jest lewym modułem nad 𝐴 względem
naturalnego działania macierzy na wektory kolumny.
34
Przykład: Niech 𝑀 := 𝐴 i 𝑎𝑏 := 𝑎 ⋅ 𝑏. Wtedy 𝑀 jest modułem nad sobą. Ogólniej, niech
𝑀 := 𝐴 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝐴 będzie iloczynem prostym grup (𝐴, +). Wprowadzając działanie 𝑎(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) :=
(𝑎 ⋅ 𝑎1 , . . . , 𝑎 ⋅ 𝑎𝑘 ) otrzymujemy lewy 𝐴-moduł 𝐴𝑘 .
Przykład: Każda grupa abelowa (𝐻, +) jest lewym modułem nad ℤ. Działanie zadajemy tak:
𝑛ℎ := ℎ + ⋅ ⋅ ⋅ + ℎ (𝑛 razy). Odwrotnie, każdy ℤ-moduł jest poprostu grupą abelową.
Morfizm modułow 𝑁 i 𝑀 nad 𝐴: Jest to homomorfizm 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 grup (𝑀, +), (𝑁, +) „respektujący” działanie 𝐴, czyli taki, że 𝑓 (𝑎𝑚) = 𝑎𝑓 (𝑚), 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀 . Izomorfizmem nazywamy morfizm
będący bijekcją (odwrotność jest automatycznie morfizmem - Ćwiczenie).
Iloczyn tensorowy modułów 𝑀 i 𝑁 nad 𝐴: Niech 𝑁 będzie lewym, a 𝑀 prawym modułem nad
𝐴. Niech 𝐻 będzie dowolną grupą abelową oraz 𝑓 : 𝑀 × 𝑁 → 𝐻 będzie homomorfizmem grup o
własnościach 1) 𝑓 (𝑚1 + 𝑚2 , 𝑛) = 𝑓 (𝑚1 , 𝑛) + 𝑓 (𝑚2 , 𝑛) ∀𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁 ; 2) 𝑓 (𝑚, 𝑛1 + 𝑛2 ) =
𝑓 (𝑚, 𝑛1 ) + 𝑓 (𝑚, 𝑛2 ) ∀𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛1 , 𝑛2 ∈ 𝑁 ; 3) 𝑓 (𝑚𝑎, 𝑛) = 𝑓 (𝑚, 𝑎𝑛) ∀𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑎 ∈ 𝐴. Wtedy
mówimy, że 𝑓 jest zbalansowany.
Konstrukcja: Niech 𝐹 (𝑀, 𝑁 ) oznacza zbiór formalnych skończonych kombinacji liniowych elementów z 𝑀 ×𝑁 o współczynnikach całkowitych. Jest to ℤ-moduł, czyli grupa abelowa. Przez 𝐹0 (𝑀, 𝑁 )
oznaczamy podgrupę generowaną przez elementy postaci (𝑚1 + 𝑚2 , 𝑛) − (𝑚1 , 𝑛) − (𝑚2 , 𝑛), (𝑚, 𝑛1 +
𝑛2 ) − (𝑚, 𝑛1 ) + (𝑚, 𝑛2 ), (𝑚𝑎, 𝑛) − (𝑚, 𝑎𝑛). Połóżmy 𝑀 ⊗𝐴 𝑁 := 𝐹 (𝑀, 𝑁 )/𝐹0 (𝑀, 𝑁 ) oraz określmy
𝜋 : 𝑀 × 𝑁 → 𝑀 ⊗𝐴 𝑁 wzorem 𝜋(𝑚, 𝑛) :=: 𝑚 ⊗ 𝑛 := (𝑚, 𝑛) + 𝐹0 (𝑀, 𝑁 ).
Twierdzenie
1. Kanoniczne odwzorowanie 𝜋 : 𝑀 × 𝑁 → 𝑀 ⊗𝐴 𝑁 jest zbalansowanym homomorfizmem grup.
2. Dla dowolnej grupy abelowej 𝐻 oraz homomorfizmu zbalansowanego 𝑓 : 𝑀 × 𝑁 → 𝐻 istnieje
jedyny homomorfizm grup 𝑀 ⊗𝐴 𝑁 → 𝐻 taki, że następujący diagram jest przemienny:
𝑀 ⊗O 𝐴 𝑁
JJ
JJ
JJ
𝜋
JJ
J$
𝑓
/ 𝐻.
𝑀 ×𝑁
3. Jeśli dodatkowo 𝑀 jest lewym modułem nad pierścieniem 𝐴′ , to 𝑀 ⊗𝐴 𝑁 też jest lewym 𝐴′
modułem (działanie zadajemy tak: 𝑎′ (𝑚 ⊗ 𝑛) := (𝑎′ 𝑚) ⊗ 𝑛).
Dowod - Ćwiczenie
Algebra nad ciałem 𝕂: jest to pierścień (𝐴, +, ⋅) wyposażony w dodatkowe działanie 𝕂 × 𝐴 → 𝐴
(mnożenie przez skalary) takie, że 1) (𝐴, +) wraz z tym działaniem jest przestrzenią wektorową; 2)
𝛼(𝑎 ⋅ 𝑏) = (𝛼𝑎) ⋅ 𝑏 = 𝑎 ⋅ (𝛼𝑏) ∀𝛼 ∈ 𝕂, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.
Przykład: Wszystkie powyższe przykłady pierścieni oprócz ℤ są jednocześnie przykładami algebr.
Lewy moduł nad algebrą 𝐴 z jedynką: Jest to lewy moduł 𝑀 nad pierścieniem (𝐴, +, ⋅) wyposażony w
dodatkową strukturę przestrzeni wektorowej nad 𝕂, przy czym (𝛼𝑎)𝑚 = 𝑎(𝛼𝑚) ∀𝛼 ∈ 𝕂, 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈
𝑀.
Przykład: Wszystkie powyższe przykłady modułów oprócz modułów nad ℤ są jednocześnie przykładami modułów nad algebrami.
35
Algebra grupowa ℂ[𝐺] grupy skończonej 𝐺: Jest to przestrzeń wektorowa 𝑉𝑟𝑒𝑔 = Spanℂ {𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 }
reprezentacji
regularnej, w której zadane jest naturalne mnożenie: (𝛼1 𝑒1 +⋅ ⋅ ⋅ 𝛼𝑛 𝑒𝑛 )⋅(𝛽1 𝑒1 +⋅ ⋅ ⋅ 𝛽𝑛 𝑒𝑛 ) :=
∑
𝛼
𝛽
𝑒
⋅
𝑒
𝑗 . Algebra ℂ[𝐺] jest algebrą z jedynką (1 = 𝑒1 = 𝑒).
𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑖
Uwaga: Inne spojrzenie na algebrę grupową (które jest bardziej stosowne pod kątem uogólnienia na
grupy nieskończone) jest następujące. Rozważmy zbiór Fun(𝐺, ℂ) funkcji na 𝐺 o wartościach w ℂ i
zadajmy w nim mnożenie (splot funkcji) następującym wzorem:
∑
𝐹 ∗ 𝑆(𝑔) :=
𝐹 (𝑔ℎ−1 )𝑆(ℎ).
ℎ∈𝐺
Niech 𝐸𝑖 oznacza funkcję zadaną wzorem
𝐸𝑖 (𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 i niech 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 𝑒𝑘 . Wtedy 𝐸𝑖 ∗ 𝐸𝑗 (𝑒𝑟 ) =
{
∑𝑛
1 jeśli 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 𝑒𝑟
−1
−1
= 𝐸𝑘 (𝑒𝑟 ). Stąd 𝐸𝑖 ∗ 𝐸𝑗 = 𝐸𝑘 ⇔ 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 𝑒𝑘 ,
𝑙=1 𝐸𝑖 (𝑒𝑟 𝑒𝑙 )𝐸𝑗 (𝑒𝑙 ) = 𝐸𝑖 (𝑒𝑟 𝑒𝑗 ) =
0 jeśli 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ∕= 𝑒𝑟
czyli widzimy izomorfizm algebr (ℂ[𝐺], ⋅) i (Fun(𝐺, ℂ), ∗).
Reprezentacje 𝐺 = lewe ℂ[𝐺]-moduły: Niech 𝑉 będzie przestrenią wektorową nad ℂ, w której
liniowo działa grupa skończona 𝐺. Wtedy 𝑉 jest lewym modułem nad ℂ[𝐺]: (𝛼1 𝑒1 + ⋅ ⋅ ⋅ 𝛼𝑛 𝑒𝑛 )𝑥 :=
𝛼1 𝑒1 𝑥 + ⋅ ⋅ ⋅ 𝛼𝑛 𝑒𝑛 𝑥. Łatwo sprawdzić, że aksjomaty działania implikują aksjomaty modułu. Odwrotnie, jeśli 𝑉 jest lewym ℂ[𝐺]-modułem, ograniczając się do działania elementów bazowych 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛
otrzymujemy rprezentacje grupy 𝐺 w 𝑉 .
Uwaga: Operatory splatające pomiędzy dwiema reprezentacjami 𝑉1 i 𝑉2 odpowiadają morfizmom
ℂ[𝐺]-modułow (Ćwiczenie: sprawdzić).
36
10
Reprezentacje indukowane, cz. II
Literatura dodatkowa: [Ser88, CR88]
Reprezentacje indukowane: Niech 𝐻 ⊂ 𝐺 będzie podgrupą grupy skończonej 𝐺 i niech 𝑊 ⊂ 𝑉
będą takimi przestrzeniami wektorowymi, że 𝐺 działa liniowo na 𝑉 (czyli mamy homomorfizm 𝜌 :
𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 )) i
𝐻𝑊 ⊂ 𝑊
(4)
(czyli 𝜌(𝐻)𝑊 ⊂ 𝑊 ). Łatwo się przekonać, że podprzestrzeń 𝑠𝑊 ⊂ 𝑉 zależy tylko od prawej warstwy
𝑠𝐻 = {𝑠ℎ ∣ ℎ ∈ 𝐻} elementu 𝑠 ∈ 𝐺 ze względu na podgrupę 𝐻, a nie zależy od wyboru reprezentanta
𝑠 danej warstwy. Istotnie, (𝑠ℎ)𝑊 = 𝑠(ℎ𝑊 ) = 𝑠𝑊 .
Niech 𝑅 ⊂ 𝐺 oznacza ∑
zbiór reprezentantów
warstw (każda warstwa jest reprezentowana jedynym
∑
8
reprezentantem ). Suma 𝑠∈𝐺 𝑠𝑊 = 𝑟∈𝑅 𝑟𝑊 ⊂ 𝑉 jest podprzestrzenią niezmienniczą ze względu
na działanie grupy 𝐺.
Jeśli
∑
𝑟𝑊 = 𝑉
(5)
𝑟∈𝑅
i , ponadto, jest to suma prosta, czyli
𝑟𝑊 ∩ 𝑟′ 𝑊 = {0},
(6)
gdzie 𝑟, 𝑟′ reprezentują różne warstwy, mówimy, że reprezentacja 𝑉 grupy 𝐺 jest indukowana przez
reprezentację 𝑊 podgrupy 𝐻.
Lemat Istnieje jedyna (z dokładnością do równoważności) reprezentacja grupy 𝐺 indukowana przez
zadaną reprezentację podgrupy 𝐻 w przestrzeni 𝑊 .
Dowód: Rozważmy reprezentację 𝑊 jako lewy ℂ[𝐻]-moduł, a algebrę grupową ℂ[𝐺] jako prawy
ℂ[𝐻]-moduł (ostatnie jest możliwe, ponieważ każda algebra 𝐴 może być rozpatrywana jako lewy
i prawy moduł nad dowolną swoją podalgebrą 𝐵 ⊂ 𝐴). Teraz możemy rozpatrzeć grupę abelową
𝑉 := ℂ[𝐺] ⊗ℂ[𝐻] 𝑊 . Co więcej, można je rozpatrywać jako lewy ℂ[𝐺]-moduł, czyli reprezentację
grupy 𝐺.
Warunek (4) dla tej reprezentacji 𝑉 wynika z tego, że przestrzeń 𝑊 jest włożona w 𝑉 jako ℂ[𝐻]podmoduł9 . Włożenie takie realizuje się wzorem 𝑊 ∋ 𝑤 7→ 1 ⊗ 𝑤 ∈ 1 ⊗ 𝑊 = {1 ⊗ 𝑤 ∣ 𝑤 ∈ 𝑊 } ⊂ 𝑉 .
Istotnie, dla ℎ ∈ ℂ[𝐻], 𝑤 ∈ 𝑊 mamy ℎ(1 ⊗ 𝑤) = (ℎ1) ⊗ 𝑤 = (1ℎ) ⊗ 𝑤 = 1 ⊗ ℎ𝑤, czyli włożenie
𝑤 7→ 1 ⊗ 𝑤 jest morfizmem ℂ[𝐻]-modułow.
Warunek (5) z kolei jest wnioskiem z faktu, że grupa∑𝐺 jest sumą teoretyko-mnogościową warstw
𝑠𝐻. Istotnie, ostatni warunek oznacza rozkład ℂ[𝐺] = 𝑟∈𝑅 ℂ[𝑟𝐻], gdzie oznaczyliśmy przez ℂ[𝑟𝐻]
powłokę liniową (nad ℂ) warstwy ∑
𝑟𝐻, a sumę rozumiemy∑w sensie teorii przestrzeni
liniowych.
∑
Powyższy rozkład daje rozkład 𝑉 = 𝑟∈𝑅 ℂ[𝑟𝐻]⊗ℂ[𝐻] 𝑊 = 𝑟∈𝑅 𝑟ℂ[𝐻]⊗ℂ[𝐻] 𝑊 = 𝑟∈𝑅 𝑟 ⊗ℂ[𝐻] 𝑊 .
Wreszcie zauważmy, że różne warstwy mają puste przecięcie, co oznacza, że w powyższych wzorach
możemy zastąpić znak sumy znakiem sumy prostej, co daje warunek (6).
8
Umówmy się, ze warstwa 𝐻 jest reprezentowana przez 𝑒
Podmodułem modułu 𝑉 nad algebrą 𝐴 nazywamy podgrupę 𝑊 ⊂ 𝑉 stabilną ze względu na działanie 𝐴, czyli
taką, że 𝐴𝑊 ⊂ 𝑊
9
37
Zostało pokazać jednoznaczność. W tym celu rozważmy ⊕
dowolną 𝐺-reprezentację 𝑉 ′ indukowaną
′
przez 𝐻-reprezentację 𝑊 i skorzystajmy z rozkładu 𝑉 ′ =
𝑟∈𝑅 𝑟𝑊 . Odwzorowanie 𝐹 : 𝑉 → 𝑉
zadajemy wzorem 𝑟𝑤 7→ 𝑟 ⊗ 𝑤 dla 𝑤 ∈ 𝑊, 𝑟 ∈ 𝑅. Jest to liniowa (nad ℂ) injekcja, a obliczenie
wymiarów 𝑉 i 𝑉 ′ pokazuje, że jest to też i bijekcja. Łatwo widać też, że jest to morfizm ℂ[𝐺]modułów. □
Charakter reprezentacji 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) indukowanej przez 𝐻-reprezentację 𝑊 :
Twierdzenie Niech 𝜒𝑊 : 𝐻 → ℂ będzie charakterem reprezentacji 𝑊 . Wtedy
𝜒𝜌 (𝑥) =
1
∣𝐻∣
∑
𝜒𝑊 (𝑔 −1 𝑥𝑔).
𝑔∈𝐺,𝑔 −1 𝑥𝑔∈𝐻
⊕
Dowód: Każdy element 𝑥 ∈ 𝐺 wyznacza automorfizm 𝜌(𝑥) przestrzeni 𝑉 =
𝑟∈𝑅 𝑟𝑊 , który
przestawia podprzestrzenie 𝑟𝑊 . Dla każdego 𝑟 ∈ 𝑅 wybierzemy bazę {𝑒(𝑟)1 , . . . , 𝑒(𝑟)𝑤 } przestrzeni
𝑟𝑊 taką, że {𝑒(𝑟)1 , . . . , 𝑒(𝑟)𝑤 }𝑟∈𝑅 jest bazą 𝑉 . Na diagonali macierzy automorfizmu 𝜌(𝑥) w tej
bazie niezerowe wyrazy będą odpowiadały tylko tym elementom 𝑒(𝑟)𝑖 , dla których 𝑥𝑟𝑊 = 𝑟𝑊 , czyli
𝑥𝑟 ∈ 𝑟𝐻, czyli 𝑟−1 𝑥𝑟
∑ ∈ 𝐻.
Stąd Tr 𝜌(𝑥) = 𝑟∈𝑅,𝑟−1 𝑥𝑟∈𝐻 Tr(𝜌(𝑥)∣𝑟𝑊 ). Z innej strony, przemienny diagram
𝑊
𝜌(𝑟)
𝜌(𝑟−1 𝑥𝑟)
𝑟𝑊
/
𝜌(𝑥)
/
𝑊
𝜌(𝑟)
𝑟𝑊
pokazuje, że Tr(𝜌(𝑥)∣𝑟𝑊 ) = Tr(𝜌(𝑟−1 𝑥𝑟)∣𝑊 ) = 𝜒𝑊 (𝑟−1 𝑥𝑟). Mamy więc
∑
𝜒𝜌 (𝑥) =
𝜒𝑊 (𝑟−1 𝑥𝑟).
𝑟∈𝑅,𝑟−1 𝑥𝑟∈𝐻
Teraz zauważmy, że dla wszystkich 𝑔 ∈ 𝑟𝐻 (𝑔 = 𝑟ℎ dla pewnego ℎ ∈ 𝐻) mamy równoważność
𝑔 −1 𝑥𝑔 ∈ 𝐻 ⇐⇒ ℎ−1 𝑟−1 𝑥𝑟ℎ ∈ 𝐻 ⇐⇒ 𝑟−1 𝑥𝑟 ∈ 𝐻 oraz, w założeniu, że 𝑟−1 𝑥𝑟 ∈ 𝐻, równość
𝜒𝑊 (𝑔 −1 𝑥𝑔) = 𝜒𝑊 (ℎ−1 𝑟−1 𝑥𝑟ℎ) = 𝜒𝑊 (𝑟−1 𝑥𝑟) (bo 𝜒𝑊 ∈ Cl(𝐻)). Stąd teza. □
Wzorując na wzorze z twierdzenia połóżmy dla dowolnej 𝐹 ∈ Cl(𝐻)
Ind𝐹 (𝑥) :=
1
∣𝐻∣
∑
𝐹 (𝑔 −1 𝑥𝑔).
𝑔∈𝐺,𝑔 −1 𝑥𝑔∈𝐻
Wzór wzajemności Frobeniusa:
Twierdzenie Niech 𝐹 ∈ Cl(𝐻), 𝑆 ∈ Cl(𝐺). Oznaczmy Res𝑆 := 𝑆∣𝐻 . Wtedy
(𝐹 ∣Res𝑆)𝐻 = (Ind𝐹 ∣𝑆)𝐺 .
38
Dowód: Korzystając z własności charakteru 𝜒(𝑔) = 𝜒(𝑔 −1 ) mamy
(Ind𝐹 ∣𝑆)𝐺 =
1 ∑
∣𝐺∣∣𝐻∣ 𝑥∈𝐺
1
∣𝐺∣∣𝐻∣
∑
𝐹 (𝑔 −1 𝑥𝑔)𝑆(𝑥) =
𝑔∈𝐺,𝑔 −1 𝑥𝑔∈𝐻
∑
𝐹 (𝑔 −1 𝑥−1 𝑔)𝑆(𝑥).
𝑥,𝑔∈𝐺,𝑔 −1 𝑥𝑔∈𝐻
Podstawiając do ostatniego wyrażenia 𝑦 −1 = 𝑔 −1 𝑥−1 𝑔 otrzymujemy
(Ind𝐹 ∣𝑆)𝐺 =
∑
1
𝐹 (𝑦 −1 )𝑆(𝑔𝑦𝑔 −1 ) =
∣𝐺∣∣𝐻∣ 𝑔∈𝐺,𝑦∈𝐻
∑
1
1 ∑
𝐹 (𝑦)𝑆(𝑦) =
𝐹 (𝑦)𝑆(𝑦) = (𝐹 ∣Res𝑆)𝐻 .□
∣𝐺∣∣𝐻∣ 𝑔∈𝐺,𝑦∈𝐻
∣𝐻∣ 𝑦∈𝐻
Przykład: Grupa 𝑇 ostrosłupa: Grupa 𝑇 obrotów ostrosłupa foremnego jest izomorficzna z
𝐴4 i ma następujące klasy sprzężoności:
𝐾1
𝐾2
𝐾3
𝐾4
1
(12)(34),(13)(24),(14)(23)
(123),(214),(314),(432)
(132),(241),(314),(423)
Suma 𝐾1 ∪ 𝐾2 jest komutantem 𝑇 ′ grupy 𝑇 , który jest izomorficzny z 𝐷2 . Iloraz 𝑇 /𝑇 ′ ma 3 elementy,
jest więc izomorficzny z 𝐶3 . Mamy trzy reprezentacje nieprzywiedlne 1-wymiarowe pochodzące z
reprezentacji 𝐶3 :
𝑉1
𝑉2
𝑉3
𝐾1
1
1
1
𝐾2
1
1
1
𝐾3
1
𝜖
𝜖2
𝐾4
1
𝜖2
𝜖
Z rozkładu reprezentacji regularnej wnioskujemy, że brak nam jeszcze jednej reprezentacji 3-wymiarowej
albo dziewięciu 1-wymiarowych. Ostatnia możliwość nie zachodzi, ponieważ grupa, której wszystkie
nieprzywiedlne reprezentacje są 1-wymiarowe jest abelowa (Ćwiczenie). Łatwo pokazać, że brakująca
reprezentacja 3-wymiarowa 𝑉 jest reprezentacją naturalną grupy 𝑇 w przestrzeni 3-wymiarowej.
Spójrzmy na tę reprezentację z punktu widzenia reprezentacji indukowanych. Oznaczmy elementy grupy 𝑇 ′ przez 𝑒, 𝑎, 𝑏, 𝑐 i rozważmy 1-wymiarowa reprezentację 𝜌′ podgrupy 𝐻 = 𝑇 ′ taką,
że 𝜌′ (𝑎) = −1, 𝜌′ (𝑏) = −1 oraz indukowaną reprezentację 𝑉 o charakterze 𝜒𝑉 = Ind𝜒𝜌′ . Wtedy
(𝜒𝜌′ ∣Res𝜒𝑉𝑖 )𝐻 = 0 (bo 𝜒𝜌′ = 𝜌′ , 𝜌′ (𝑒) = 1, 𝜌′ (𝑎) = −1, 𝜌′ (𝑏) = −1, 𝜌′ (𝑐) = 1, Res𝜒𝑉𝑖 (𝑒) = Res𝜒𝑉𝑖 (𝑎) =
Res𝜒𝑉𝑖 (𝑏) = Res𝜒𝑉𝑖 (𝑐) = 1). Ze wzoru wzajemności Frobeniusa mamy też (𝜒𝑉 ∣𝜒𝑣𝑖 )𝐺 = 0. Stąd
żadna z reprezentacji 𝑉𝑖 nie wchodzi do 𝑉 , co pokazuje nieprzywiedlność ostatniej. Istotnie, 𝑉 jest
3-wymiarowa (bo ∣𝐺/𝐻∣ = ∣𝑇 /𝑇 ′ ∣ = 3). Gdyby była przywiedlna, musiałaby zawierać niezmienniczą
podprzestrzeń 1-wymiarową, która, z kolei, musiałaby być izomorficzną z jedną z 𝑉𝑖 . Ćwiczenie:
obliczyć charakter reprezentacji 𝑉 na dwa sposoby: 1) z tabelki charakterów; 2) korzystając ze
wzoru na charakter reprezentacji indukowanej.
39
11
Reprezentacje rzeczywiste i kwaternionowe
Literatura dodatkowa: [Ada69, iJIM93, Tra]
Dygresja liniowo-algebraiczna
Kompleksyfikacja 𝑉 ℂ rzeczywistej przestrzeni wektorowej 𝑉 : Jest to przestrzeń wektorowa
nad ℂ zdefiniowana przez 𝑉 ℂ := ℂ ⊗ℝ 𝑉 ; tutaj rozumiemy ℂ jako prawy ℝ-moduł, a 𝑉 jako lewy.
Jeśli 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 jest bazą przestrzeni 𝑉 , możemy patrzeć na 𝑉 ℂ jako na zbiór formalnych kombinacji
liniowych 𝛼1 𝑒1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 o współczynnikach zespolonych z naturalnymi operacjami przestrzeni
wektorowej. Przy tym 𝛼𝑖 𝑒𝑖 odpowiadają tensorom prostym 𝛼𝑖 ⊗ 𝑒𝑖 , a wektory 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 tworzą też
bazę przestrzeni 𝑉 ℂ . Z tej interpretacji wnioskujemy, że dimℂ 𝑉 ℂ = dimℝ 𝑉 .
Mamy też ℝ-izomorfizm ℂ ⊗ℝ 𝑉 = (ℝ ⊕ 𝑖ℝ) ⊗ℝ 𝑉 ∼
= 𝑉 ⊕ 𝑖𝑉 .
Kompleksyfikacja 𝐿ℂ : 𝑉 ℂ → 𝑉 ℂ operatora liniowego 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 : 𝐿ℂ := Idℂ ⊗𝐿. Jeśli [𝐿]
jest macierzą operatora 𝐿 w bazie 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 , to macierz operatora 𝐿ℂ w tej że bazie, interpretowanej
jako baza 𝑉 ℂ , będzie się pokrywała z [𝐿].
Struktura rzeczywista na przestrzeni zespolonej: Teraz spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:
co wyróżnia przestrzenie będące kompleksyfikacjami wśród wszystkich przestrzeni zespolonych?
Na przestrzeni 𝑊 := 𝑉 ℂ jest naturalna operacja sprzężenia 𝑅 : 𝛼 ⊗ 𝑣 7→ 𝛼
¯ ⊗ 𝑣, 𝛼 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ 𝑉 . Ma
ona następujące własności: 1) 𝑅 : 𝑊 → 𝑊 jest operatorem półliniowym, czyli addytywnym oraz
¯
takim, że 𝑅(𝛽𝑤) = 𝛽𝑅(𝑤),
𝛽 ∈ ℂ, 𝑤 ∈ 𝑊 ; 2) 𝑅2 = Id; 3) zbiór punktów stałych odwzorowania 𝑅
ℂ
pokrywa się z 𝑉 ⊂ 𝑉 (tutaj 𝑉 jest włożone w 𝑉 ℂ jako zbiór {𝛼 ⊗ 𝑣 ∣ 𝛼 ∈ ℝ, 𝑣 ∈ 𝑉 }).
Teraz niech 𝑊 będzie dowolną przestrzenią wektorową nad ℂ. Strukturą rzeczywistą na przestrzeni
𝑊 nazwiemy odwzorowanie 𝑅 : 𝑊 → 𝑊 spełniające warunki 1), 2). Jeśli 𝑅 jest takim operatorem,
to zbiór 𝑉 := 𝑊 𝑅 jego punktów stałych ma strukturę przestrzeni wektorowej nad ℝ. Istotnie, 𝑉
jest zamknięte ze względu na dodawanie (oczywiste, bo 𝑅 addytywny) oraz ze względu na mnożenie
przez skalary z ℝ (𝑅𝑤 = 𝑤, 𝛽 ∈ ℝ =⇒ 𝑅(𝛽𝑤) = 𝛽𝑅𝑤 = 𝛽𝑤).
Ponadto, mamy naturalny ℂ-izomorfizm 𝑊 → 𝑉 ℂ . Istotnie, niech 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 będzie bazą przestrzeni
𝑊 𝑅 . Wtedy 𝑖𝑒1 , . . . , 𝑖𝑒𝑛 jest bazą przestrzeni własnej 𝑊−1 ⊂ 𝑊 operatora 𝑅 odpowiadającej wartości
własnej −1 i mamy 𝑊 = 𝑊 𝑅 ⊕ 𝑊−1 = 𝑊 𝑅 ⊕ 𝑖𝑊 𝑅 = ℂ ⊗ 𝑊 𝑅 . Łatwo widzieć, że izomorfizm ten
nie zależy od wyboru bazy w 𝑊 𝑅 .
Jeśli 𝐿 : 𝑊 → 𝑊 jest operatorem ℂ-liniowym, to 𝐿 = 𝑁 ℂ dla pewnego operatora ℝ-liniowego
𝑁 : 𝑉 → 𝑉 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐿𝑅 = 𝑅𝐿. Istotnie, ostatni warunek oznacza, że 𝐿 zachowuje
𝑉 = 𝑊 𝑅 ; połóżmy 𝑁 := 𝐿∣𝑉 . Ćwiczenie: dopracować szczegóły.
Urzeczywistnienie (forma rzeczywista) 𝑉ℝ przestrzeni zespolonej 𝑉 : Ponieważ ℝ ⊂ ℂ
możemy patrzeć na 𝑉 jako na przestrzeń wektorową nad ℝ, którą będziemy oznaczali przez 𝑉ℝ . Przy
tym 𝑉 i 𝑉ℝ pokrywają się jako zbiory, ale dimℝ 𝑉ℝ = 2 dimℂ 𝑉 . Istotnie, jeśli 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 jest bazą 𝑉 ,
to wektory 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 , 𝑖𝑒1 , . . . , 𝑖𝑒𝑛 tworzą bazę 𝑉ℝ .
Forma rzeczywista 𝐿ℝ operatora zespolonego 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 : Jest to operator 𝐿 rozumiany jako
operator ℝ-liniowy działający z 𝑉ℝ w 𝑉ℝ . Jeśli [𝐿] jest macierzą operatora 𝐿 w bazie 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ,
i [𝐿] = [𝐿]′ + 𝑖[𝐿]′′ , gdzie [𝐿]′ := Re[𝐿], [𝐿]′′ := Im[𝐿] (części rzeczywista i urojona), to macierz
operatora 𝐿ℝ w bazie 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 , 𝑖𝑒1 , . . . , 𝑖𝑒𝑛 jest dana wzorem (Ćwiczenie: sprawdzić).
[
]
[𝐿]′ −[𝐿]′′
.
[𝐿]′′ [𝐿]′
40
Struktura zespolona na przestrzeni rzeczywistej 𝑉 : A teraz pytanie: co wyróżnia przestrzenie
będące formami rzeczywistymi wśród wszystkich przestrzeni rzeczywistych? Odpowiedzialną za takie
wyróżnienie jest tzw. struktura zespolona na 𝑉 . Jest to operator 𝐽 : 𝑉 → 𝑉 o własności 𝐽 2 = − Id.
Operator ten jest odzwierciedleniem mnożenia przez jedynkę urojoną. Jeśli 𝐽 jest takim operatorem,
wprowadzamy w 𝑉 strukturę przestrzeni zespolonej przez 𝑖𝑣 := 𝐽𝑣, 𝑣 ∈ 𝑉 (dodawanie i mnożenie
przez skalary rzeczywiste mamy za darmo). W szczególności, wymiar przestrzeni 𝑉 nad ℝ musi być
parzysty.
Operator 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 jest forma rzeczywistą pewnego operatora zespolonego wtedy i tylko wtedy,
gdy 𝐿𝐽 = 𝐽𝐿.
Najpierw kompleksyfikacja, potem urzeczywistnienie: (𝑉 ℂ )ℝ ∼
= 𝑉 ⊕ 𝑉 (Ćwiczenie).
Najpierw urzeczywistnienie, potem kompleksyfikacja: (𝑉ℝ )ℂ ∼
= 𝑉 ⊕ 𝑉 (Ćwiczenie); tutaj
przez 𝑉 oznaczamy przestrzeń sprzężoną do 𝑉 , czyli ℂ-liniową przestrzeń, której struktura addytywna
pokrywa się z tą z 𝑉 , a mnożenie przez skalary zadane jest wzorem 𝛼 ∗ 𝑣 := 𝛼
¯ 𝑣, 𝛼 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ 𝑉 .
Przestrzenie i operatory sprzężone: Przestrzenie sprzężone wprowadziliśmy wyżej. Niech 𝐿 :
𝑉 → 𝑊 będzie operatorem liniowym. Ten sam operator rozumiany jako operator 𝑉 → 𝑊 będziemy
oznaczać 𝐿− . Jest półliniowy: 𝐿− (𝛼𝑣) = 𝛼𝐿− 𝑣 = 𝛼
¯ ∗ 𝐿− 𝑣. Analogicznie definiujemy operator
− −
−
𝐿 : 𝑉 → 𝑊 (też półliniowy), i kładziemy 𝐿 := 𝐿 : 𝑉 → 𝑊 (ostatni jest operatorem liniowym).
Algebra kwaternionów ℍ: Jest to algebra nad ℝ generowana jako przestrzeń wektorowa przez
cztery wektory 1, 𝑖, 𝑗, 𝑘 spełniające następujące reguły mnożenia:
1. 1 jest elementem neutralnym względem mnożenia;
2. 𝑖2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = −1, 𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = 𝑖, 𝑘𝑖 = 𝑗.
Wnioskiem z powyższych reguł są tożsamości 𝑗𝑖 = −𝑘, 𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑖𝑘 = −𝑗 oraz możliwość reprezentacji
kwaterniona 𝛼1 + 𝛽𝑖 + 𝛾𝑗 + 𝛿𝑘 w postaci 𝛼1 + 𝛽𝑖 + (𝛾1 + 𝛿𝑖)𝑗, czyli za pomocą pary liczb zespolonych
(𝛼1 + 𝛽𝑖, 𝛾1 + 𝛿𝑖). Inaczej, ℍ = ℂ ⊕ ℂ𝑗.
Reprezentacja macierzowa algebry ℍ: Łatwo się przekonać, że następujace macierze spełniają
powyższe reguły względem standardowego mnożenia macierzy:
[
]
[
]
[
]
[
]
1 0
0 𝑖
0 1
𝑖 0
1 :=
, i :=
, j :=
, k :=
.
0 1
𝑖 0
−1 0
0 −𝑖
Wszystkie kombinacje liniowe tych macierzy o współczynnikach rzeczywistych będą tworzyły algebrę
ℍ.
Prawa przestrzeń wektorowa 𝑉 nad ℍ: Jest to prawy moduł nad ℍ (lewy moduł daje nierównoważne
pojęcie, ponieważ ℍ jest nieprzemienna).
Operator ℍ-liniowy na 𝑉 definiujemy jako odwzorowanie 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 będące morfizmem ℍmodułów (czyli addytywne odwzorowanie, spełniające 𝐿(𝑣ℎ) = 𝐿(𝑣)ℎ, 𝑣 ∈ 𝑉, ℎ ∈ ℍ).
Forma zespolona 𝑉ℂ kwaternionowej prawej przestrzeni liniowej 𝑉 : Ponieważ ℂ ⊂ ℍ,
mamy strukturę przestrzeni ℂ-liniowej na 𝑉 . Formę zespoloną 𝐿ℂ operatora ℍ-liniowego 𝐿 : 𝑉 → 𝑉
definiujemy podobnie jak w przypadku formy rzeczywistej operatora zespolonego (czyli zapominamy,
że jest ℍ-liniowy, a pamiętamy, że jest ℂ-liniowy).
41
Struktura kwaternionowa na prestrzeni zespolonej 𝑉 : Jest to struktura, która wyróżnia formy
zespolone przestrzeni kwaternionowych wśród przestrzeni zespolonych. Definiuje się jako operator
półliniowy 𝐻 : 𝑉 → 𝑉 o własności 𝐻 2 = − Id (jest odzwierciedleniem prawego mnożenia przez 𝑗).
Jeśli 𝐻 jest takim operatorem, wprowadzamy w 𝑉 strukturę prawego ℍ-modułu przez 𝑣𝑗 := 𝐽𝑣
(dodawanie i mnożenie przez skalary zespolone już mamy). W szczególności, wymiar przestrzeni 𝑉
nad ℂ musi być parzysty.
Można pokazać, że operator 𝐿 : 𝑉 → 𝑉 jest formą zespoloną wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐿𝐻 = 𝐻𝐿.
Jak to się przekłada na reprezentacje
Struktura rzeczywista 𝑅 : 𝑊 → 𝑊 na reprezentacji zespolonej 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ): Jest
to struktura rzeczywista na przestrzeni zespolonej 𝑉 , będąca operatorem splatającym dla 𝜌. Z
powyższych rozważań wnioskujemy, że 𝑊 = 𝑉 ℂ , gdzie 𝑉 := 𝑊 𝑅 , oraz, że istnieje taka reprezentacja
rzeczywista 𝜏 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ), ze 𝜌(𝑔) = 𝜏 (𝑔)ℂ dla każdego 𝑔 ∈ 𝐺.
Reprezentacja kwaternionowa grupy 𝐺 w prawej przestrzeni kwaternionowej 𝑉 : Jest
to homomorfizm grup 𝜁 : 𝐺 → 𝐺𝐿ℍ (𝑉 ), gdzie przez 𝐺𝐿ℍ (𝑉 ) oznaczyliśmy grupę odwracalnych
ℍ-liniowych odwzorowań z 𝑉 w 𝑉 .
Struktura kwaternionowa 𝐻 : 𝑉 → 𝑉 na reprezentacji zespolonej 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ): Jest
to z kolei struktura kwaternionowa na przestrzeni zespolonej 𝑉 , będąca operatorem splatającym
dla 𝜌. Możemy wprowadzić strukturę prawej ℍ-przestrzeni liniowej na 𝑉 oraz pokazać, że istnieje
reprezentacja kwaternionowa 𝜁 : 𝐺 → 𝐺𝐿ℍ (𝑉 ) taka, że 𝜌(𝑔) = 𝜁(𝑔)ℂ dla dowolnego 𝑔 ∈ 𝐺.
Reprezentacja sprzężona do reprezentacji zespolonej 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ): Jest to reprezentacja
𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) w przestrzeni 𝑉 zadana wzorem 𝜌(𝑔) := 𝜌(𝑔), 𝑔 ∈ 𝐺. Reprezentacje 𝜌 i 𝜌, na pozór
jednakowe, mogą być nie równoważne. Istotnie, operator 𝑣 7→ 𝑣 : 𝑉 → 𝑉 (czyli Id− ) jest operatorem
splatającym pomiędzy 𝜌 i 𝜌, ale nie jest liniowy (jest półliniowy). Ale może też istnieć nietrywialny
operator liniowy splatający, realizujący równoważność 𝜌 i 𝜌.
Lemat Niech 𝜌 będzie reprezentacją nieprzywiedlną i równoważną z 𝜌 i niech 𝐶 : 𝑉 → 𝑉 będzie
(liniowym) operatorem splatającym, realizującym tę równoważność. Wtedy 𝐶 jest określony z dokładnością do czynnika liczbowego, który można wybrać tak, żeby 𝐶 − : 𝑉 → 𝑉 było strukturą rzeczywistą
lub kwaternionową.
Dowód: Niech 𝐶 ′ : 𝑉 → 𝑉 będzie innym operatorem splatającym, realizującym równoważność.
Wtedy 𝐶 −1 𝐶 ′ : 𝑉 → 𝑉 jest operatorem splatającym (pomiędzy 𝜌 i 𝜌) i według lematu Schura musi
być postaci 𝜆 Id dla pewnego 𝜆 ∈ ℂ. Mamy więc 𝐶 ′ = 𝜆𝐶. Zauważmy, że operator 𝐶 : 𝑉 → 𝑉 = 𝑉
jest operatorem splatającym (pomiędzy 𝜌 i 𝜌), stąd możemy położyć 𝐶 ′ := (𝐶)−1 i dostać (𝐶)−1 =
¯ Id. Ponieważ Tr(𝐶𝐶) = Tr(𝐶𝐶), skalar 𝜆 musi być
𝜆𝐶. Mamy więc 𝐶𝐶 = (1/𝜆) Id, 𝐶𝐶 = (1/𝜆)
√
rzeczywisty.√ Teraz zauważmy, że 𝐶𝐶 = (𝐶 − )(𝐶 − ). Zastępując 𝐶 przez 𝜆𝐶 w przypadku 𝜆 > 0
lub przez 𝑖 ∣𝜆∣ w przypadku 𝜆 < 0, otrzymujemy wynik. □
Typy reprezentacji: Mówimy, że reprezentacja zespolona 𝜌 jest typu
1. zespolonego, jeśli 𝜌 i 𝜌 nie są równoważne;
2. rzeczywistego, jeśli są równoważne i 𝐶 − po przeskalowaniu jest struktura rzeczywista;
3. kwaternionowego, jeśli są równoważne i 𝐶 − po przeskalowaniu jest struktura kwaternionowa.
42
Twierdzenie (Frobeniusa–Schura) Niech 𝜒 będzie charakterem nieprzywiedlnej zespolonej reprezentacji 𝜌 : 𝐺 → 𝐺𝐿(𝑉 ) skończonej grupy 𝐺 i niech
𝑥 :=
1 ∑
𝜒(𝑔 2 )
∣𝐺∣ 𝑔∈𝐺
Wtedy
1. 𝑥 = 0 ⇐⇒ 𝜌 jest typu zespolonego;
2. 𝑥 = 1 ⇐⇒ 𝜌 jest typu rzeczywistego;
3. 𝑥 = −1 ⇐⇒ 𝜌 jest typu kwaternionowego.
Dowod: zob. [Tra].
Przykład: Rozważmy naturalną 1-wymiarową reprezentację grupy cyklicznej 𝐶𝑛 = {𝑒, 𝑎, 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛−1 }
o charakterze 𝜒, 𝜒(𝑎𝑗 ) = 𝜖𝑗 , 𝜖 := 𝑒𝑖2𝜋/𝑛 . Reprezentacja ta nie może byc typu kwaternionowego, bo
wymiar przestrzeni jest nieparzysty.
Z kolei, żeby reprezentacja ta była typu rzeczywistego wartości własne wszystkich operatorów
reprezentacji muszą być rzeczywiste. To sugeruje, że ta reprezentacja jest typu rzeczywistego tylko
w przypadku 𝑛 = 2. Istotnie, w tym przypadku 𝑥 = (1/2)(𝜒(𝑒2 ) + 𝜒(𝑎2 )) = (1/2)(𝜒(𝑒) + 𝜒(𝑒)) = 1.
Dla 𝑛 = 3 mamy 𝑥 = (1/3)(𝜒(𝑒2 )+𝜒(𝑎2 )+𝜒(𝑎4 )) = (1/3)(𝜒(𝑒)+𝜒(𝑎2 )+𝜒(𝑎)) = (1/3)(1+𝜖2 +𝜖) =
0.
Dla 𝑛 = 4: 𝑥 = (1/4)(𝜒(𝑒2 ) + 𝜒(𝑎2 ) + 𝜒(𝑎4 ) + 𝜒(𝑎6 )) = (1/4)(𝜒(𝑒) + 𝜒(𝑎2 ) + 𝜒(𝑒) + 𝜒(𝑎2 )) =
(1/4)(1 + (−1) + 1 + (−1)) = 0.
Ćwiczenie: Jak jest dla dowolnego 𝑛?
43
12
Grupy Liego, cz. I
Literatura dodatkowa: [Ada69, Tra]
Grupa Liego: Jest to grupa (𝐺, 𝜇) taka, że 𝐺 jest wyposażone w strukturę rozmaitości różniczkowej
o tej własności, że działanie grupowe 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 oraz odwzorowanie 𝜖 : 𝑔 7→ 𝑔 −1 : 𝐺 → 𝐺 są
gładkie.
Przykład podstawowy: 𝐺 := 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑋 ∈ Mat(𝑛, ℝ) ∣ det 𝑋 ∕= 0} grupa odwracalnych
2
macierzy 𝑛 × 𝑛 o wyrazach rzeczywistych. Funkcja det : Mat(𝑛, ℝ) ∼
= ℝ𝑛 → ℝ jest wielomianem na
2
2
ℝ𝑛 , więc jest ciągła. Wnioskujemy stąd, że zbiór {𝑋 ∈ Mat(𝑛, ℝ) ∣ det 𝑥 = 0} = det−1 (0) ⊂ ℝ𝑛
2
jest domknięty, a jego dopełnienie 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) jest zbiorem otwartym w ℝ𝑛 . Możemy teraz wyposażyć
2
𝐺 w strukturę rozmaitości gładkiej „odziedziczonej” z ℝ𝑛 .
Mnożenie macierzy 𝜇 : Mat(𝑛, ℝ) × Mat(𝑛, ℝ) → Mat(𝑛, ℝ), (𝑋, 𝑌 ) 7→ 𝑋𝑌 , jest odwzorowaniem
2
2
2
wielomianowym ℝ𝑛 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 , jest więc gładkie i zostaje takim po ograniczeniu do zbioru
otwartego 𝐺 × 𝐺 ⊂ Mat(𝑛, ℝ) × Mat(𝑛, ℝ).
2
Odwzorowanie 𝜖 : 𝐺 → 𝐺, 𝑋 7→ 𝑋 −1 , jest zadane przez odwzorowanie wymierne na ℝ𝑛 , czyli
takie, że jego składowe są stosunkami wielomianów. Przy tym wielomian pojawiający się w mianown2
iku to wyznacznik. Ostatni nie zeruje się na podzbiorze 𝐺 ⊂ ℝ𝑛 , stąd 𝜖 również jest odwzorowaniem
gładkim.
Uwaga: Analogicznie możemy rozpatrywać grupę 𝐺 := 𝐺𝐾(𝑛, ℂ) odwracalnych macierzy 𝑛 × 𝑛 o
2
2
wyrazach zespolonych. Można ją rozpatrywać jako podzbiór otwarty w Mat(𝑛, ℂ) ∼
= ℂ𝑛 ∼
= ℝ2𝑛
i traktować jako grupę Liego. Istotnie, odwzorowania 𝜇 i 𝜖 będą odpowiednio wielomianowym i
wymiernym (z niezerującym się mianownikiem) odwzorowaniami od części rzeczywistych i urojonych
wyrazów macierzy.
Alternatywne spojrzenie polega na patrzeniu na 𝐺 jako na rozmaitość zespoloną i zespoloną grupę
Liego.
Podgrupa Liego 𝐻 ⊂ 𝐺 w grupie Liego 𝐺: Jest to podgrupa, będąca podrozmaitośćią gładką w
𝐺. Grupa 𝐻 sama jest grupą Liego. Istotnie, odwzorowania 𝜇 : 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 i 𝜖 : 𝐺 → 𝐺 ograniczone
do 𝐻 × 𝐻 i 𝐻 odpowiednio, są gładkie.
Przykład: Niech 𝐺 := 𝐺𝐿(1, ℂ) ∼
= ℂ∗ , 𝐻 := 𝑈 (1) = {𝑧 ∈ 𝐺𝐿(1, ℂ) ∣ 𝑧 𝑧¯ = 1}. Równanie 𝑧 𝑧¯ = 1
w zmiennych rzeczywistych ma postać 𝑥2 + 𝑦 2 = 1, czyli zadaje okręg jednostkowy, podrozmaitość
gładką w 𝐺.
Algebraiczne grupy liniowe: Są to podgrupy 𝐻 ⊂ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) grupy macierzy odwracalnych, będące
2
zbiorami algebraicznymi w Mat(𝑛, ℝ) ∼
= ℝ𝑛 (zbiór 𝐻 ⊂ ℝ𝑚 nazywamy algebraicznym, jeśli istnieją
wielomiany 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑘 na ℝ𝑚 takie, że 𝐻 := {𝑥 ∈ ℝ𝑚 ∣ 𝑓1 (𝑥) = 0, . . . , 𝑓𝑘 (𝑥) = 0}).
Lemat Algebraiczne grupy liniowe są podgrupami Liego w 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).
2
Dowód: Niech 𝐻 := {𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∣ 𝑓1 (𝑥) = 0, . . . , 𝑓𝑘 (𝑥) = 0} ⊂ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) będzie algebraiczną grupą
∂𝑓𝑖
] i połóżmy 𝑟 := max𝑥∈𝐻 rank 𝐽[𝑓 ](𝑥), 𝑃 :=
liniową. Rozważmy macierz Jacobiego 𝐽[𝑓 ](𝑥) = [ ∂𝑥
𝑗
{𝑥 ∈ 𝐻 ∣ rank 𝐽[𝑓 ](𝑥) = 𝑟}. Zauważmy, że zbiór 𝑃 jest niepusty.
Skorzystajmy z „ jednorodności” grupy 𝐻 ⊂ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ). Dokładniej, niech 𝑦 ∈ 𝐻 będzie dowolnym
elementem, a 𝑥 ∈ 𝑃 . Wtedy istnieje ℎ ∈ 𝐻 taki, że ℎ𝑥 = 𝑦. Odwzorowanie 𝐿ℎ : 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) →
𝐺𝐿(𝑛, ℝ), 𝑔 7→ ℎ𝑔, jest dyfeomorfizmem. Stąd rank 𝐽[𝑓 ](𝑦) = rank 𝐽[𝑓 ](𝑥) = 𝑟.
44
Widzimy, że rząd 𝐽[𝑓 ] jest stały na całym 𝐻. Z twierdzenia o stałym rzędzie wnioskujemy, że 𝐻
jest powierzchnią (wymiaru 𝑛2 − 𝑟). □
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝐿(𝑛, ℝ) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) ∣ det 𝑋 = 1}, 𝑇𝑒 𝐺 = {𝑥 ∈ Mat(𝑛, ℝ) ∣ Tr 𝑥 = 0}.
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝐿(𝑛, ℂ) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) ∣ det 𝑋 = 1}.
Przykład: 𝐺 := 𝑂(𝑛, ℝ) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) ∣ 𝑋𝑋 𝑇 = 𝐼𝑛 }.
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝑂(𝑛, ℝ) = 𝑂(𝑛, ℝ) ∩ 𝑆𝐿(𝑛, ℝ)
𝑇
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝑝(𝑛, ℝ) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(2𝑛, ℝ) ∣ 𝑋𝐽𝑋 = 𝐽}, tutaj 𝐽 :=
[
]
0 𝐼𝑛
.
−𝐼𝑛 0
𝑇
Przykład: 𝐺 := 𝑈 (𝑛) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) ∣ 𝑋𝑋 = 𝐼𝑛 }
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝑈 (𝑛) = 𝑈 (𝑛) ∩ 𝑆𝐿(𝑛, ℂ).
𝑇
Przykład: 𝐺 := 𝑆𝑝(𝑛) = {𝑋 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, ℍ) ∣ 𝑋𝑋 = 𝐼𝑛 }, tutaj 𝐺𝐿(𝑛, ℍ) oznacza grupę odwracalnych macierzy 𝑛 × 𝑛 owyrazach kwaternionowych, a 𝑋 oznacza macierz otrzymaną z macierzy 𝑋 zastosowaniem sprzężenia kwaternionowego do każdego wyrazu: 𝛼1 + 𝛽𝑖 + 𝛾𝑗 + 𝛿𝑘 = 𝛼1−𝛽𝑖−𝛾𝑗 −𝛿𝑘.
Przykład podgrupy nie będącej podgrupą Liego: Zauważmy, że podgrupa Liego 𝐻 ⊂ 𝐺 jest
podzbiorem domkniętym w grupie Liego 𝐺. Do zbudowania takiego przykładu wystarczy więc znaleźć
podgrupę niedomkniętą.
Przykład: Grupa (ℝ, +) jest grupą Liego a jej podgrupa ℚ liczb wymiernych nie jest domknięta:
ℚ = ℝ.
45
13
Grupy Liego, cz. II
Algebra Liego (𝑉, [, ]): Jest to przestrzeń wektorowa 𝑉 nad ciałem 𝕂 wyposażona w działanie
2-liniowe (𝑥, 𝑦) 7→ [𝑥, 𝑦] : 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 , spełniające następujące warunki:
1. [𝑥, 𝑦] = −[𝑦, 𝑥] ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 (skośna symetria);
2. [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [𝑦, [𝑧, 𝑥]] + [𝑧, [𝑥, 𝑦]] = 0 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 (tozsamość Jacobiego).
Przykład: Niech (𝐴, ⋅) będzie dowolną algebrą łączną. Wtedy (𝐴, [, ]), gdzie [𝑥, 𝑦] := 𝑥 ⋅ 𝑦 − 𝑦 ⋅ 𝑥
jest algebrą Liego (Ćwiczenie: sprawdzić). W szczególności, Mat(𝑛, 𝕂) z komutatorem macierzowym
jest algebrą Liego. Oznaczamy 𝔤𝔩(𝑛, 𝕂) := (Mat(𝑛, 𝕂), [, ]).
Ogólniej, jeśli 𝑊 jest dowolną przestrzenią wektorową, zbiór End(𝑊 ) endomorfizmów przestrzeni
𝑊 (czyli operatorów liniowych 𝐿 : 𝑊 → 𝑊 ) jest algebrą Liego.
Homomorfizm algebr Liego (𝑉1 , [, ]1 ) i (𝑉2 , [, ]2 ): Jest to odwzorowanie liniowe 𝜙 : 𝑉1 → 𝑉2
zachowujące „nawiasy”, czyli 𝜙[𝑥, 𝑦]1 = [𝜙𝑥, 𝜙𝑦]2 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉1 .
Ćwiczenie: Niech (𝑉, [, ]) będzie przestrzeią wektorową wyposażoną w działanie 2-liniowe skośnie
symetryczne. Określmy operator ad𝑥 ∈ End(𝑉 ) wzorem ad𝑥 𝑦 := [𝑥, 𝑦], 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 . Pokazać, że
tożsamość Jacobiego (TJ) jest równoważna następującemu warunkowi: [ad𝑥 , ad𝑦 ] = ad[𝑥,𝑦] (w szczególności, jeśli [, ] spełnia TJ, to odwzorowanie 𝑥 7→ ad𝑥 : 𝑉 → End(𝑉 ) jest homomorfizmem algebr
Liego).
Podalgebra 𝔥 ⊂ 𝔤 algebry Liego (𝔤, [, ]): Jest to podprzestrzeń liniowa w 𝔤 zamknięta ze względu
na nawias: [𝔥, 𝔥] ⊂ 𝔥.
Przykład: Podprzestrzeń 𝔰𝔩(𝑛, ℝ) ⊂ 𝔤𝔩(𝑛, ℝ) macierzy bezśladowych (mamy Tr([𝑥, 𝑦]) = Tr(𝑥𝑦 −
𝑦𝑥) = 0 dla dowolnych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝔤𝔩(𝑛, ℝ), w szczególności komutator macierzy bezśladowych jest bezśladowy).
Przykład: Podprzestrzeń 𝔬(𝑛, ℝ) ⊂ 𝔤𝔩(𝑛, ℝ) macierzy skośnie ortogonalnych, czyli takich macierzy
𝑥, że 𝑥 = −𝑥𝑇 . Dla 𝑥, 𝑦 ∈ 𝔬(𝑛, ℝ) mamy [𝑥, 𝑦]𝑇 = (𝑥𝑦 − 𝑦𝑥)𝑇 = 𝑦 𝑇 𝑥𝑇 − 𝑥𝑇 𝑦 𝑇 = 𝑦𝑥 − 𝑥𝑦 = −[𝑥, 𝑦].
Algebra Liego różniczkowań algebry łącznej (𝐴, ⋅): Różniczkowaniem algebry łącznej nazywamy odwzorowanie liniowe 𝑑 : 𝐴 → 𝐴 spełniające warunek 𝑑(𝑥 ⋅ 𝑦) = 𝑑𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑑𝑦. Różniczkowania tworzą podprzestrzeń 𝐷 ⊂ End(𝐴) i, ponadto, podalgebrę Liego w (End(𝐴), [, ]). Istotnie,
(𝑑1 𝑑2 − 𝑑2 𝑑1 )(𝑥 ⋅ 𝑦) = 𝑑1 (𝑑2 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑑2 𝑦) − 𝑑2 (𝑑1 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑑1 𝑦) = 𝑑1 𝑑2 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑑2 𝑥 ⋅ 𝑑1 𝑦 + 𝑑1 𝑥 ⋅ 𝑑2 𝑦 +
𝑥 ⋅ 𝑑1 𝑑2 𝑦 − (𝑑2 𝑑1 𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑑1 𝑥 ⋅ 𝑑2 𝑦 + 𝑑2 𝑥 ⋅ 𝑑1 𝑦 + 𝑥 ⋅ 𝑑2 𝑑1 𝑦) = (𝑑1 𝑑2 − 𝑑2 𝑑1 )𝑥 ⋅ 𝑦 + 𝑥 ⋅ (𝑑1 𝑑2 − 𝑑2 𝑑1 )𝑦.
Algebra Liego Vect(𝑀 ) pól wektorowych na rozmaitości gładkiej 𝑀 : Rozważmy przestrzeń
(ℂ∞ (𝑀, ℝ), ⋅) funkcji gładkich na 𝑀 o wartościach rzeczywistych ze strukturą (przemiennej) algebry
łącznej względem mnożenia punktowego funkcji. Różniczkowania tej algebry nazywają się polami
wektorowymi na 𝑀 i tworzą algebrę Liego względem komutatora.
𝜏
Inaczej na pola wektorowe można patrzeć jako na cięcia gładkie wiązki stycznej 𝑇 𝑀 → 𝑀 .
Elementami 𝑇 𝑀 są pary (𝑣, 𝑥), gdzie 𝑥 ∈ 𝑀 , a 𝑣 jest wektorem stycznym do 𝑀 zaczepionym w
punkcie 𝑥. Zbiór wszystkich takich wektorów, czyli włokno nad 𝑥, oznaczamy 𝑇𝑥 𝑀 . Każde pole
wektorowe ma więc postać (𝑣(𝑥), 𝑥), gdzie 𝑥 ∈ 𝑀 , a wektor 𝑣(𝑥) ∈ 𝑇𝑥 𝑀 gładko zależy od punktu 𝑥.
Wiązka 𝑇 𝑀 jest wiązką lokalnie trywialną, czyli jej ograniczenie 𝑇 𝑈 na mały podzbiór otwarty
𝑈 ⊂ 𝑀 może być utożsamione z wiązką trywialną ℝ𝑛 × 𝑈 → 𝑈 , gdzie 𝑛 = dim 𝑀 , a jej cięcia
46
mogą być utożsamione z parami (𝑓 (𝑥), 𝑥), gdzie 𝑥 ∈ 𝑈 , a 𝑓 : 𝑈 → ℝ𝑛 , 𝑓 (𝑥) = (𝑓 1 (𝑥), . . . , 𝑓 𝑛 (𝑥))
jest funkcją gładką. Utożsamienie włókien wiązki 𝑇 𝑈 z ℝ𝑛 jest związane z wyborem współrzędnych
lokalnych (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) na 𝑈 . Alternatywnie, pole wektorowe zapisujemy jako 𝑓 = 𝑓 𝑖 ∂𝑖 (sumowanie
po 𝑖), gdzie ∂𝑖 := ∂𝑥∂ 𝑖 , a jego działanie na funkcje 𝐹 ∈ ℂ∞ (𝑈, ℝ) wygląda następująco: 𝑓 𝐹 := 𝑓 𝑖 (∂𝑖 𝐹 )
(jest różniczkowaniem w sensie powyższej definicji).
Dla komutatora pól wektorowych mamy następujący wzór:
[𝑓, 𝑔]𝑖 (𝑥) = 𝑓 𝑗 (𝑥)(∂𝑗 𝑔 𝑖 (𝑥)) − 𝑔 𝑗 (𝑥)(∂𝑗 𝑓 𝑖 (𝑥))
(Ćwiczenie: sprawdzić).
Zachowanie pól wektorowych względem dyfeomorfizmów 𝜓 : 𝑀 → 𝑀 : Każdy taki dyfeomorfizm generuje odwzorowanie styczne 𝜓∗ : 𝑇 𝑀 → 𝑇 𝑀 , które na parach (𝑣, 𝑥), 𝑥 ∈ 𝑀, 𝑣 ∈ 𝑇𝑥 𝑀 ,
będziemy zapisywali jako 𝜓∗ (𝑣, 𝑥) = (𝜓∗ ∣𝑥 𝑣, 𝜓(𝑥)), tutaj 𝜓∗ ∣𝑥 : 𝑇𝑥 𝑀 → 𝑇𝜓(𝑥) 𝑀 jest pewnym odwzorowaniem liniowym. Jeśli 𝜓(𝑥0 ) = 𝑦0 , i jeśli (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ), (𝑦 1 , . . . , 𝑦 𝑛 ) są współrzędnymi lokalnymi
w otoczeniach 𝑋 ∋ 𝑥0 , 𝑌 ∋ 𝑦0 , odwzorowanie 𝜓 można zadać jako 𝑛-tkę funkcji (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) 7→ (𝑦 1 =
𝜓 1 (𝑥), . . . , 𝑦 𝑛 = 𝜓 𝑛 (𝑥)). Odwzorowanie 𝜓∗ ∣𝑥 : 𝑇𝑥 𝑀 ∼
= ℝ𝑛 × {𝑥} → 𝑇𝜓(𝑥) 𝑀 ∼
= ℝ𝑛 × {𝜓(𝑥)} pokrywa
się wtedy z macierzą Jacobiego
⎡
⎤
∂1 𝜓 1 . . . ∂1 𝜓 𝑛
⎢
.. ⎥
𝐽[𝜓](𝑥) := ⎣ ...
. ⎦
∂𝑛 𝜓 1 . . . ∂𝑛 𝜓 𝑛
traktowaną jako odwzorowanie liniowe ℝ𝑛 → ℝ𝑛 .
Odwzorowanie 𝜓∗ działa na pola wektorowe: Vect(𝑀 ) ∋ 𝑓 7→ 𝜓∗ 𝑓 ∈ Vect(𝑀 ), 𝑓 = (𝑓 (𝑥), 𝑥) 7→
(𝐽[𝜓](𝑥)𝑓 (𝑥), 𝜓(𝑥)). Okazuje się, że 𝜓∗ : Vect(𝑀 ) → Vect(𝑀 ) jest homomorfizmem algebry Liego,
czyli 𝜓∗ [𝑓, 𝑔] = [𝜓∗ 𝑓, 𝜓∗ 𝑔] (Ćwiczenie: sprawdzić).
Algebra Liego lewoniezmienniczych pól wektorowych na grupie Liego 𝐺: Dla 𝑔 ∈ 𝐺
określmy odwzorowanie lewej translacji 𝐿𝑔 : 𝐺 → 𝐺 wzorem 𝐿𝑔 𝑥 := 𝑔𝑥. Mając element 𝑣 ∈ 𝑇𝑒 𝐺
możemy zbudować pole wektorowe 𝑣 𝑙 ∈ Vect(𝐺) kładząc 𝑣 𝑙 = ((𝐿𝑔 )∗ ∣𝑒 𝑣, 𝑔). Tak okreslone pole
wektorowe jest lewoniezmiennicze, czyli (𝐿𝑔 )∗ 𝑣 𝑙 = 𝑣 𝑙 . Istotnie, jeśli 𝑣 𝑙 = (𝑣 𝑙 (𝑔), 𝑔), to (𝐿𝑔′ )∗ 𝑣 𝑙 =
((𝐿𝑔′ )∗ ∣𝑔 𝑣 𝑙 (𝑔), 𝐿𝑔′ 𝑔) = ((𝐿𝑔′ )∗ ∣𝑔 (𝐿𝑔 )∗ ∣𝑒 𝑣, 𝑔 ′ 𝑔) = ((𝐿𝑔′ 𝐿𝑔 )∗ ∣𝑒 𝑣, 𝑔 ′ 𝑔) = ((𝐿𝑔′ 𝑔 )∗ ∣𝑒 𝑣, 𝑔 ′ 𝑔) = 𝑣 𝑙 . Tutaj skorzystaliśmy z tożsamości (𝜓 ∘ 𝜂)∗ = 𝜓∗ ∘ 𝜂∗ , gdzie 𝜓, 𝜂 są dowolnymi dyfeomorfizmami.
Odwrotnie, jeśli pole 𝑤 ∈ Vect(𝐺) jest lewoniezmiennicze, to 𝑤 = 𝑣 𝑙 , gdzie 𝑣 := 𝑤(𝑒). Mamy
więc utożsamienie zbioru 𝔤 lewoniezmienniczych pól wektorowych z włóknem 𝑇𝑒 𝐺. Okazuje się, że 𝔤
jest podalgebrą Liego w Vect(𝐺). To wynika z następującego lematu.
Lemat Niech (𝑉, [, ]) będzie algebrą Liego, a Ψ pęwnym zbiorem jej homomorfizmów. Wtedy zbiór
𝑉 Ψ := {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ 𝜓(𝑥) = 𝑥 ∀𝜓 ∈ Ψ} jest podalgebrą Liego.
Dowód: Niech 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 Ψ , wtedy dla każdego 𝜓 ∈ Ψ mamy 𝜓[𝑥, 𝑦] = [𝜓𝑥, 𝜓𝑦] = [𝑥, 𝑦], czyli [𝑥, 𝑦] ∈
𝑉 Ψ.
Algebra Liego 𝔤 grupy Liego 𝐺: Jest to określona powyżej algebra Liego pól lewoniezmienniczych
na 𝐺. Oznaczamy też 𝔤 = Lie(𝐺). Zauważmy, że, ponieważ odwzorowanie 𝜙𝑙 : 𝑇𝑒 𝐺 → 𝔤, 𝑣 7→ 𝑣 𝑙 ,
jest izomorfizmem przestrzeni liniowych, dim 𝔤 = 𝑛 = dim 𝐺. Ponadto, używając tego izomorfizmu,
47
możemy „przenieść” strukturę algebry Liego z 𝔤 na 𝑇𝑒 𝐺 według wzoru [𝑣, 𝑤] := 𝜙−1
𝑙 [𝜙𝑙 𝑣, 𝜙𝑙 𝑤] =
𝑙
𝑙
[𝑣 , 𝑤 ](𝑒).
Dlatego też często pod „algebrą Liego” grupy 𝐺 rozumie się przestrzeń 𝑇𝑒 𝐺 wyposażona w
powyższy nawias.
2
2
Przykład: Niech 𝐺 := 𝐺𝐿(𝑛, ℝ). Ponieważ 𝐺 jest zbiorem otwartym w ℝ𝑛 , mamy 𝑇 𝐺 = ℝ𝑛 × 𝐺
i każde pole wektorowe jest
⎡ postaci (𝑉 (𝑋), 𝑋), gdzie
⎤ 𝑉 (𝑋) jest gładka funkcja na 𝐺 o wartościach
𝑉11 (𝑋) . . . 𝑉1𝑛 (𝑋)
⎦. Łatwo widzieć, że jeśli 𝑉 ∈ 𝑇𝐼 𝐺 ∼
...
macierzowych: 𝑉 (𝑋) = ⎣
= Mat(𝑛, ℝ),
𝑉𝑛1 (𝑋) . . . 𝑉𝑛𝑛 (𝑋)
′ ′
to 𝑉 𝑙 = (𝑋𝑉, 𝑋). Innymi słowy, 𝑉 𝑙 = 𝑋𝑖𝑗 𝑉𝑗𝑘 ∂𝑖𝑘 . Stąd [𝑉 𝑙 , 𝑊 𝑙 ]𝑖 𝑘 = (𝑋𝑖𝑗 𝑉𝑗𝑘 ∂𝑖𝑘 𝑋𝑖′ 𝑗 ′ 𝑊𝑗 ′ 𝑘′ ) −
(𝑋𝑖𝑗 𝑊𝑗𝑘 ∂𝑖𝑘 𝑋𝑖′ 𝑗 ′ 𝑉𝑗 ′ 𝑘′ ) = (𝑋𝑖𝑗 𝑉𝑗𝑘 𝛿𝑖𝑖′ 𝛿𝑘𝑗 ′ 𝑊𝑗 ′ 𝑘′ ) − (𝑋𝑖𝑗 𝑊𝑗𝑘 𝛿𝑖𝑖′ 𝛿𝑘𝑗 ′ 𝑉𝑗 ′ 𝑘′ ) = (𝑋𝑖′ 𝑗 𝑉𝑗𝑘 𝑊𝑘𝑘′ ) − (𝑋𝑖′ 𝑗 𝑊𝑗𝑘 𝑉𝑘𝑘′ ) =
′ ′
𝑋𝑖′ 𝑗 [𝑉, 𝑊 ]𝑗𝑘′ = ([𝑉, 𝑊 ]𝑙 )𝑖 𝑘 . Stąd struktura algebry Liego na 𝑇𝐼 𝐺 ∼
= Mat(𝑛, ℝ) „przeniesiona” z
algebry Liego pól lewoniezmienniczych pokrywa się z 𝔤𝔩(𝑛, ℝ).
Ćwiczenie: Niech 𝐻 ⊂ 𝐺 będzie podgrupą Liego grupy Liego 𝐺. Pokazać, że podprzestrzeń 𝑇𝑒 𝐻 ⊂
𝑇𝑒 𝐺 jest podalgebrą Liego w algebrze Liego 𝔤 = 𝑇𝑒 𝐺 i, co więcej, 𝑇𝑒 𝐻 jako algebra Liego pokrywa
się z 𝔥 = Lie(𝐻).
Przykład: Niech 𝐺 := 𝐺𝐿(𝑛, ℝ), 𝐻 := 𝑂(𝑛, ℝ). Wtedy 𝑇𝐼 𝐺 = 𝔤 = 𝔤𝔩(𝑛, ℝ), a podprzestrzeń
𝑇𝐼 𝐻 może być obliczona jako zbiór wektorów stycznych w zerze do krzywych gładkich 𝑡 7→ 𝑐(𝑡) ∈
𝑂(𝑛, ℝ), 𝑐(0) = 𝐼. Różniczkując tożsamość 𝑐(𝑡)(𝑐(𝑡))𝑇 = 𝐼 w zerze, otrzymujemy 𝑐′ (0)(𝑐(0))𝑇 +
𝑐(0)(𝑐′ (0))𝑇 = 0, skąd 𝑐′ (0) + (𝑐′ (0))𝑇 = 0. Wnioskujemy stąd, że 𝑇𝐼 𝐻 składa się z macierzy skośnie
ortogonalnych i że 𝔥 = 𝔬(𝑛, ℝ).
Twierdzenia Liego
Twierdzenie (I twierdzenie Liego) Jeśli dla skończenie wymiarowej algebry Liego 𝔤 istnieje grupa
Liego 𝐺 taka, że 𝔤 = Lie(𝐺), to istnieje też jedyna jednospójna grupa Liego 𝐺′ o własności 𝔤 =
Lie(𝐺′ ).
Uwaga: Jednospójność oznacza sciągalność każdej pętli.
Przykład: Grupy Liego (ℝ, +) i 𝑈 (1) mają tę samą algebrę Liego ℝ (z nawiasem zerowym [𝑥, 𝑦] =
0 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Pierwsza z nich jest jednospójna, druga nie.
Twierdzenie (II twierdzenie Liego) Niech 𝜙 : 𝔤1 → 𝔤2 będzie homomorfizmem skończenie wymiarowych algebr Liego i niech 𝐺1 , 𝐺2 będą takimi grupami Liego, że 𝔤𝑖 = Lie(𝐺𝑖 ), 𝑖 = 1, 2. Jeśli 𝐺1
jest jednospójna, to istnieje jedyny homomorfizm grup Liego Φ : 𝐺1 → 𝐺2 „całkujący” 𝜙.
Uwaga: Homomorfizmem grup Liego nazywamy odwzorowanie Φ : 𝐺1 → 𝐺2 będące 1) homomorfizmem grup; 2) odwzorowaniem gładkim. Okazuje się, że odwzorowanie Φ∗ ∣𝑒1 : 𝑇𝑒1 𝐺1 → 𝑇𝑒2 𝐺2 jest
homomorfizmem odpowiednich algebr Liego 𝜙 := Φ∗ ∣𝑒1 : 𝔤1 → 𝔤2 . Mówimy, że Φ „całkuje” 𝜙.
Twierdzenie (III twierdzenie Liego) Dla każdej skończenie wymiarowej algebry Liego 𝔤 istnieje
grupa Liego 𝐺 taka, że 𝔤 = Lie(𝐺).
Twierdzenia Liego pokazują, że badanie grup Liego w dużej mierze sprowadza się do badania
algebr Liego.
48
Literatura
[Ada69] J. Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969.
[CR88]
Charles W. Curtis and Irving Reiner, Representation theory of finite groups and associative
algebras, John Wiley and Sons, 1988.
[iJIM93] A. I. Kostrikin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, 1993.
[Kir72]
A.A. Kirillov, Elementy teorii reprezentacji, Nauka, 1972, W języku rosyjskim.
[Kir76]
, Elements of the theory of representations, Springer-Verlag, Berlin, 1976, Translated
from the Russian.
[Ser88]
Jean-Pierre Serre, Reprezentacje liniowe grup skończonych, PWN, 1988.
[Szc]
Andrzej Szczepański, Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych, Wykład monograficzny, dostępne na http://mat.ug.edu.pl/∼aszczepa/crystall1.pdf.
[Tra]
Andrzej Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje, Skrypt do wykładu, dostępne na
http://www.fuw.edu.pl/˜amt.
[Wei96] Alan Weinstein, Grupoids: Unifying internal and external symmetry, Notices Amer. Math.
Soc. 43 (1996), 744–752, dostępne na http://arxiv.org/abs/math.RT/9602220.
49