Szeregi Fouriera.

dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
1 maja 2016
Szeregi Fouriera.
Denicja 1.
przedziale
Niech
[−T, T ].
f :R→R
b¦dzie funkcj¡ okresow¡ o okresie
2T, gdzie T ∈ R+ i caªkowaln¡ w
f nazywamy szereg funkcyjny
Szeregiem (trygonometrycznym) Fouriera funkcji
postaci:
∞
nπ nπ i
a0 X h
+
an cos
x + bn sin
x ,
2
T
T
n=1
(1)
gdzie
1
an =
T
ZT
nπ x dx,
T
n = 0, 1, 2, ...
(2)
nπ x dx,
f (x) sin
T
n = 1, 2, 3, ...
(3)
f (x) cos
−T
1
bn =
T
ZT
−T
Uwaga 2.
W przypadku
T =π
wzory (1)-(3) maj¡ odpowiednio posta¢:
∞
a0 X
[an cos (nx) + bn sin (nx)] ,
+
2
n=1
Zπ
1
an =
f (x) cos (nx) dx,
n = 0, 1, 2, ...
π
bn =
1
π
(4)
(5)
−π
Zπ
f (x) sin (nx) dx,
(6)
n = 1, 2, 3, ...
−π
Twierdzenie 3.
•
Szereg Fouriera funkcji
parzystej ma wszystkie wspóªczynniki bn równe zero, zatem ma posta¢:
∞
nπ a0 X
+
an cos
x ;
2
T
n=1
•
nieparzystej ma wszystkie wspóªczynniki
an
∞
X
równe zero, zatem ma posta¢:
bn sin
n=1
Uwaga 4.
Szereg Fouriera funkcji
f
nπ x .
T
nie musi by¢ zbie»ny w punkcie
suma w tym punkcie nie musi by¢ równa
f (x0 ).
1
x0 ,
a je»eli jest zbie»ny, to jego
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
Twierdzenie 5. Szereg trygonometryczny
w
R
a0
2
+
∞ P
an cos
n=1
nπ
x
T
jest szeregiem Fouriera swojej sumy tzn. wspóªczynniki
nπ
x
T
+ bn sin
an , b n
1 maja 2016
, zbie»ny jednostajnie
s¡ dane wzorami (2)-(3). (mo»e
by¢ równie» szeregiem Fouriera innej funkcji, ale nie mo»e ona by¢, tak jak suma, funkcj¡
ci¡gª¡)
Twierdzenie 6.
Szereg Fouriera funkcji klasy
Twierdzenie 7.
(kryterium Dirichleta)
Niech funkcja
f
ma w przedziale
C1
jest do niej zbie»ny jednostajnie.
[−T, T ] co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego
rodzaju oraz co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ ekstremów. Wówczas:
a) w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci funkcji
b) w ka»dym punkcie nieci¡gªo±ci
1
2
[−T, T ]
szereg Fouriera funkcji
szereg Fouriera funkcji
x0
nej granic jednostronnych:
c) na kra«cach przedziaªu
f
f
f
jest zbie»ny do funkcji
f (x);
jest zbie»ny do ±redniej arytmetycz-
lim+ f (x) + lim− f (x) ;
x→xo
x→xo
szereg Fouriera funkcji
f
jest zbie»ny do ±redniej arytmetycznej
granic jednostronnych na kra«cach:
1
2
Twierdzenie 8. Niech funkcja f
lim f (x) + lim− f (x) .
x→−T +
x→T
2π -okresow¡ funkcj¡ ci¡gª¡ i kawaªkami gªadka na przedziale
[−π, π]. Wówczas szereg Fouriera (4) funkcji f jest do niej zbie»ny jednostajnie i bezwzgl¦dnie na caªej
prostej R.
Niech
f
b¦dzie
2π
b¦dzie
okresow¡ funkcj¡ okre±lon¡ na przedziale
∞
X
[−π, π].
Szereg postaci:
cn einx
n=−∞
nazywamy szeregiem Fouriera funkcji
1
cn =
2π
Zπ
f
w postaci zespolonej. Wspóªczynniki cn s¡ okre±lone wzorami:
f (x)e−inx dx,
gdzie
n = ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
−π
Zwi¡zek pomi¦dzy rzeczywistymi (an , bn ), a zespolonymi (cn ) wspóªczynnikami szeregu Fouriera:
cn =


a0 ,
an −ibn
,
2

 a−n +ib−n
,
2
dla
n = 0;
n = 1, 2, 3, . . . ;
n = . . . , −3, −2, −1.
dla
dla
2
(7)
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
dr Krzysztof ›yjewski
1 maja 2016
Zadania
1. Wyznacz szereg Fouriera funkcji
f :R→R
( 2
π
2
x2
4
f (x) =
∞
P
Nast¦pnie wyznacz sum¦ szeregu
n=1
o okresie
dla
dla
2π,
gdzie:
x = 0;
x = (0, 2π].
1
.
n2
2. Znajd¹ szereg Fouriera:
a)
2π -okresowej kwadratowej funkcji falowej f
okre±lonej wzorem:
b) trójk¡tnej funkcji falowej okre±lonej wzorem
ka»dego
x∈R
warunek
Uzasadnij jakich warto±ci
3. Funkcj¦
f (x) = x2
x
f (x) = |x|
dla
x ∈ [−1, 1],
dla
dla
− π ≤ x < 0;
0 ≤ x < π;
speªniaj¡cej dla
f (x + 2) = f (x).
funkcje z podpunktów a), b) s¡ równe ich szeregom Fouriera.
rozwin¡¢ w szereg Fouriera:
a) w przedziale
(−π, π)
b) w przedziale
(0, π)
c) w przedziale
(0, 2π).
w szereg cosinusów;
w szereg sinusów;
Ponadto oblicz sumy szeregów
∞
P
n=1
1
,
n2
∞
P
n=1
(−1)n+1
,
n2
4. (*) Znajd¹ zespolony szereg Fouriera dla funkcji
∞
P
n=1
1
.
(2n−1)2
f (x) = sin x.
2π -okresowej kwadratowej
(
0
dla − π ≤ x < 0;
f (x) =
.
1
dla 0 ≤ x < π;
5. Znajd¹ zespolony szereg Fouriera dla
wzorem:
(
0
f (x) =
1
Korzystaj¡c ze wzorów (7) wyznacz wspóªczynniki rzeczywiste.
3
funkcji falowej
f
okre±lonej