zadanie 10 testy zgodnosci

Zadanie 5. W ramach ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu "Eksploatacja i utrzymanie
dróg" i "InŜynieria ruchu" studenci z IV roku specjalności „Drogi, ulice i lotniska”
wykonywali szereg pomiarów liczby samochodów oczekujących, przed przejściem dla
pieszych, na wykonanie skrętu w prawo, w poszczególnych cyklach sygnalizacji świetlnej.
Pomiary wykonywano w godzinach 1400 – 1600, w sumie w czasie 300 cykli. Na poziomie
istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę stosując test zgodności χ2, Ŝe rozkład liczby
oczekujących samochodów jest rozkładem Poissona. Liczby oczekujących samochodów dały
następujący rozkład:
SkrzyŜowanie z wyspą centralną – Plac Rodła w Szczecinie
Tab. 1
Liczby oczekujących pojazdów
0
1
2
3
4
5
Liczba cykli
10
27
29
19
8
7
Z treści zadania wynika, Ŝe nie jest sprecyzowany parametr λ rozkładu Poissona,
naleŜy więc postawić hipotezę H0: F ( x ) ∈ Ω , gdzie F ( x ) jest dystrybuantą rozkładu liczby
samochodów oczekujących przed przejściem dla pieszych, a Ω klasą wszystkich rozkładów
Poissona. Parametr λ szacuje się z próby za pomocą jego estymatora uzyskanego metodą
największej wiarygodności, którym jest średnia z próby równa x = 2,1 .
Przyjmując za λ tę wartość, z tablicy rozkładu Poissona odczytać moŜna
prawdopodobieństwo pj dla kaŜdej kolejnej liczby samochodów i przeprowadzić tabelaryczne
(tab. 3) dalsze obliczenia w celu uzyskania wartości statystyki χ2.
xj
0
1
2
3
4
5
Suma:
nj
F(uj)
npj
(nj – npj)2
50
100
80
40
20
10
300
0,122
0,257
0,270
0,189
0,099
0,063
1,000
12,2
25,7
27,0
18,9
9,9
6,3
300
4,84
1,69
4
0,01
3,61
0,49
Suma:
(n
− np j )
2
j
np j
0,397
0,066
0,148
0,001
0,365
0,078
1,054
Tab. 3
Miarą rozbieŜności rozkładów hipotetycznego i empirycznego jest statystyka χ2, której
wartość oblicza się ze wzoru:
r
(n j − np j ) 2
j =1
np j
χ =∑
2
(3)
Suma ostatniej kolumny jest więc poszukiwaną wartością testu statystyki χ2. Z tab. 4
dla α = 0,05 i liczby stopni swobody równej γ = n – l –1 = 6 – 1 – 1 = 4 odczytuje się wartość
krytyczną statystyki χ α2 = 9,49 . PoniewaŜ w danym przypadku χ 2 < χ α2 , więc nie ma
podstaw do odrzucania hipotezy, Ŝe rozkład liczby samochodów oczekujących przed
przejściem dla pieszych jest rozkładem Poissona.
Tab. 4
Wybrane wartości krytyczne χ α
2
Liczba stopni swobody γ:
Poziom
istotności α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,05
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
0,1
2,71
4,6
6,25
7,78
9,24
10,64
12,02
13,36
14,68
15,99
17,27
18,55