5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych

5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych
Prostota równania Bernoulliego sprawia że stosowane jest ono również dla przepływu płynu
lepkiego, mimo że w tym przypadku wszystkie przemiany energii są nieodwracalne.
W przepływie między przekrojami 1-1 i 2-2 płyn lepki traci energię na skutek tarcia wewnętrznego
jak i tarcia o ściankę kanału, tak więc całkowita energia przepływającego płynu w przekroju 1-1 jest
większa od całkowitej energii w przekroju 2-2 i relację pomiędzy całkowitymi energiami w tym
przypadku można zapisać:
U 12
p1
U22
p
+
+ z1 >
+ 2 + z2
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
Jeżeli w powyższej zależności znak ">" zastąpimy przez "=” wówczas dla zachowania równości
energii występującej po obu stronach równania konieczne jest zwiększenie prawej strony o energię
straconą wskutek lepkości płynu, w wyniku czego otrzymamy równanie Bernoulliego dla płynu
lepkiego:
2
2
U1
p
U
p
+ 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + hstr
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
Człon hstr oznacza wysokość strat energii pomiędzy rozpatrywanymi przekrojami, które są sumą
strat tarcia na długości rurociągu i wszystkich strat miejscowych na poszczególnych elementach
rurociągu:
hstr = λ ⋅
LU2
U2
+ ∑ξ
d 2g
2g
gdzie: λ - współczynnik strat tarcia λ = f(Re, prędkości, chropowatości),
ξ - współczynnik strat lokalnych ξ = f(rodzaju przeszkody, prędkości).
70
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 5.1 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.2, str. 113)
Przez przewód z poziomym kolanem przepływa woda. Zmierzona różnica
poziomów wody w rurkach piezometrycznych przed i za kolanem wynosiła
h = 20 mmH2O. Średnica przewodu d = 30 mm, strumień objętości przepływu
Q = 1.5 dm3/s. Obliczyć wartość współczynnika straty lokalnej kolana.
Dane:
h = 20 mmH2O
d = 30 mm
Q = 1.5 dm3/s
Wyznaczyć:
ξ
Rozwiązanie:
2
2
U1
p
U
p
+ 1 + z 1 = 2 + 2 + z 2 + hstr
2⋅g ρ⋅ g
2⋅ g ρ⋅ g
1-1 – przekrój, w którym wpływa czynnik do kolana
2-2 – przekrój, w którym wypływa czynnik z kolana
U1 = U2 = U
z 1 = z2 = 0
4 ⋅Q
m
π⋅d 2
⇒U =
= 2.12
2
4
s
π⋅d
Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy stratę ciśnienia, spowodowaną zmianą
kształtu geometrycznego kolana:
p − p2 h ⋅ ρ ⋅ g
h str = 1
= 0.02 m
=
ρ⋅g
ρ⋅g
którą możemy wyrazić wzorem:
Q =U
hstr = ξ ⋅
U2
⇒
2⋅ g
ξ=
2 ⋅ g ⋅ hstr
U
2
=
2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.02
2.12 2
Otrzymujemy: ξ = 0.087
Zadanie 5.2 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.3, str. 113)
W poziomym przewodzie o średnicy d = 25 mm zmierzono ciśnienie
w dwóch przekrojach odległych o L = 8 m. Na podstawie różnicy
wysokości ciśnień, która wynosiła h = 770 mmH2O, obliczyć
współczynnik strat tarcia λ, jeśli prędkość wody w przewodzie
U = 1.5 m/s.
Dane:
d = 25 mm
L=8m
h = 770 mmH2O
U = 1.5 m/s
Wyznaczyć:
λ
Rozwiązanie:
71
= 0.087
2
2
U0
p
U
p
+ 0 + z 0 = 1 + 1 + z1 + hstr
2g
ρ⋅g
2g
ρ⋅g
U0 = U1 = U
z0 = z1 = 0
Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy różnicę ciśnień, określającą stratę ciśnienia
na długości przewodu:
h str =
p0 − p1 h ⋅ ρ ⋅ g
=
= 0.77 m
ρ⋅ g
ρ⋅ g
którą możemy wyrazić wzorem:
LU2
d 2g
Otrzymujemy: λ = 0.021
hstr = λ ⋅
⇒
λ=
2 ⋅ g ⋅ h str ⋅ d
L ⋅U 2
=
2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.77 ⋅ 0.025
8 ⋅ 1.5 2
= 0.021
Zadanie 5.3 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.4, str. 114)
Przewodem o średnicy d = 1 cm i długości L = 2 m przepływa
woda z lewego zbiornika do prawego na skutek różnicy
poziomów cieczy w zbiornikach. Jaka może być maksymalna
wysokość Hmax, aby w przewodzie był przepływ laminarny?
Uwzględnić tylko straty tarcia.
Dane:
Wyznaczyć:
d = 1 cm
Hmax
L=2m
Rozwiązanie:
Dla uproszczenia pomijamy energię kinetyczną przepływającego płynu w przewodzie i zakładamy,
że rozporządzalna wysokość H zostaje w całości zużyta na pokonanie straty tarcia w przewodzie:
LU2
hstr = H = λ ⋅
d 2g
W przepływie laminarnym współczynnik strat tarcia określamy zależnością:
64
λ=
,
Re
wtedy:
32 L U 2
H=
⋅
Re d g
W tym przypadku Hmax odpowiada prędkości Umax dla której liczba Remax wyniesie Re = 2300:
Remax =
H max =
d ⋅ U max
= 2300
ν
32 ⋅ L ⋅ ν 2 ⋅ Re max
g ⋅d3
=
32 ⋅ 2 ⋅ ( 9 .8 ⋅ 10 −7 ) 2 ⋅ 2300
9 .81 ⋅ 0 .01 3
Po podstawieniu otrzymujemy: Hmax = 0.015 m
72
Zadanie 5.4 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.5, str. 114)
Hartowniczy piec jest opalany olejem opałowym, zużycie którego
wynosi m& = 300 kg/h. Gęstość oraz kinematyczny współczynnik
lepkości oleju wynoszą odpowiednio: ρr = 880 kg/m3 i
ν = 0.25 cm2/s. Określić ciśnienie oleju w przewodzie przed
rozpylaczem, jeśli zbiornik z olejem opałowym znajduje się na
wysokości H = 8 m nad osią rozpylacza. Długość przewodu
L = 30 m, średnica d = 25 mm.
Dane:
m& = 300 kg/h = 0.0833 kg/s
ρ = 880 kg/m3
ν = 0.25 cm2/s = 0.25 ⋅ 10-4 m2/s
H=8m
L = 30 m
d = 25 mm
Wyznaczyć:
p
Rozwiązanie:
Strumień objętości wypływającej ropy:
Q=
m&
ρ
=
0.0833
m3
= 9.46 ⋅ 10 −5
880
s
Prędkość średnia:
U=
Liczba Reynoldsa:
Q 4 ⋅ Q 4 ⋅ 9.46 ⋅ 10 −5
m
=
=
=
0
.
193
s
S π ⋅ d 2 3.14 ⋅ 0.025 2
Re =
U ⋅ d 0.193 ⋅ 0.025
=
= 193
ν
0.25 ⋅ 10 −4
Liczba Re wskazuje na przepływ laminarny. Stratę ciśnienia na wskutek tarcia na długości L
obliczamy z prawa Hagena-Poiseuille’a:
π ⋅ ∆p ⋅ d 4
Q=
128 ⋅ µ ⋅ L
128 ⋅ Q ⋅ µ ⋅ L 128 ⋅ 9.46 ⋅ 10 −5 ⋅ 0.022 ⋅ 30
∆p =
=
= 6509 Pa
3.14 ⋅ 0.025 4
π⋅d4
gdzie dynamiczny współczynnik lepkości µ = ν ⋅ ρ = 0.25 ⋅ 10 −4 ⋅ 880 = 0.022
Wysokość ciśnienia przed rozpylaczem:
∆p
6509
=8−
= 7.25 m słupa oleju opałowego
Ho = H −
880 ⋅ 9.81
ρ⋅g
73
kg
m⋅s
Zadanie 5.5 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.9, str. 115)
Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą
podłączony jest przewód o średnicy d = 50 mm i
długości L = 25 m. Obliczyć prędkość wypływu
wody z przewodu, jeśli H = 5 m. Uwzględnić straty
lokalne i tarcia, przyjąć: ξ1 = 0.5 (strata na wypływie
ze zbiornika), ξ2 = 4 (strata na zaworze), λ = 0.03.
Dane:
d = 50 mm
L = 25 m
H=5m
ξ1 = 0.5, ξ2 = 4
λ = 0.03
Wyznaczyć:
U
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
2
2
U0
p0
U1
p
+
+ z0 =
+ 1 + z 1 + hstr
2g
ρ⋅ g
2g ρ ⋅ g
zakładając: U0 = 0, p0 = p1 = pa, z0 = H
2
h str
2
2
U
U
L U1
= λ⋅
+ ξ1 ⋅ 1 + ξ 2 ⋅ 1
d 2g
2⋅ g
2g
Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości
w przekroju wylotowym
U1 =
2⋅ g ⋅H
2 ⋅ 9.81 ⋅ 5
m
=
= 2.18
1 + ξ1 + ξ 2 + λ ⋅ L / d
1 + 0.5 + 4 + 0.03 ⋅ ( 25 / 0.05 )
s
Zadanie 5.6 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.11, str. 115)
Woda znajdująca się w górnym zamkniętym
zbiorniku
pod
ciśnieniem
pn = 10000 N/m2
przepływa do dolnego, otwartego zbiornika.
Określić strumień objętości wody, jeśli H1 = 10 m,
H2 = 1 m, H3 = 2 m, średnica przewodu d = 100 mm,
średnica odstojnika D = 200 mm, współczynnik
straty lokalnej zaworu
ξ5 = 4, promień kolan
R = 100 mm. Straty tarcia w rurociągu pominąć.
Współczynniki strat miejscowych wynoszą: ξ1 = 0.5,
ξ2 = 0.29 dla R/d = 1, ξ3 = [1-(f/F)]2 = [1−(1/4)]2 =
0.56, ξ4 = 0.37 dla f/F = 1/4, ξ6 = 1.
Dane:
pn = 10000 N/m2
H1 = 10 m, H2 = 1 m, H3 = 2 m
Wyznaczyć:
Q
74
d = 100 mm, D = 200 mm
R = 100 mm
ξ1 = 0.5, ξ2 = 0.29, ξ3 = 0.56,
ξ4 = 0.37, ξ5 = 4, ξ6 = 1
Rozwiązanie:
Obieramy przekrój 0-0 na powierzchni zwierciadła w lewym zbiorniku i przekrój 1-1 na wylocie z
przewodu do prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów:
U 0 2 pa + pn
U 1 2 p a + (H 3 − H 2 )ρ ⋅ g
+
+ H1 =
+
+ H 2 + hstr
2g
ρ⋅ g
2g
ρ⋅ g
Sumaryczna strata energii wyraża się wzorem:
2
2
2
2
2
U1
U1
U1
U2
U1
hstr = ξ 1 ⋅
+ 3⋅ξ2 ⋅
+ ξ5 ⋅
+ ξ4 ⋅
+ ξ3 ⋅
2⋅ g
2⋅ g
2⋅ g
2⋅ g
2⋅ g
zakładamy:
U0 = 0, U2 = U1(d/D)2
Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości
w przekroju 1-1:
2⋅ g ⋅(
U1 =
pn
+ H1 − H 3 )
ρ⋅g
1 + ξ1 + 3 ⋅ ξ 2 + ξ 4 + ξ 5 + ξ 3 ( d / D ) 4
=
 10000

2 ⋅ 9.81 ⋅ 
+ 10 − 2 
 1000 ⋅ 9.81

1 + 0.5 + 3 ⋅ 0.29 + 0.37 + 4 + 0.56 ⋅ (0.1 / 0.2) 4
= 5.12
Strumień objętości natomiast wynosi:
Q=
m3
π⋅d2
⋅ U 1 = 0.041
4
s
Zadanie 5.7 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.12, str. 116)
Woda przepływa z górnego zbiornika do dolnego przez lewar o
średnicy d = 50 mm i całkowitej długości L = 30 m. Określić:
strumień objętości przepływu oraz podciśnienie w najwyższej
część lewara, jeśli różnica poziomów wody w zbiornikach
wynosi H = 4.5 m. Położenie górnego kolana h = 2.5 m,
współczynniki strat tarcia λ = 0.03, kolan ξk = 0.29. Dane:
l = 12 m. Gęstość wody przyjąć ρ = 1000 kg/m3.
Dane:
d = 50 mm
L = 30 m, l = 12 m
H = 4.5 m, h = 2.5 m
λ = 0.03
ξk = 0.29
ρ = 1000 kg/m3
Wyznaczyć:
Q, pa - p2
Rozwiązanie:
Obieramy przekrój 0-0 na zwierciadle w lewym zbiorniku i przekrój 1-1 na wylocie z przewodu do
prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów:
75
m
s
U0 2
p
U 2 p + x⋅ ρ⋅ g
+ a +H +x= 1 + a
+ hstr
2g
ρ⋅g
2g
ρ⋅g
U 2
L U 12
+ 4 ⋅ξk ⋅ 1
d 2⋅ g
2⋅ g
zakładamy: U0 = 0, x - głębokość zanurzenia wylotu.
Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości
w przekroju 1-1:
hstr = λ ⋅
U1 =
m
2⋅ g ⋅H
2 ⋅ 9.81 ⋅ 4.5
=
= 2.1
1 + 4 ⋅ ξ k + λ( L / d )
1 + 4 ⋅ 0.29 + 0.03 ⋅ ( 30 / 0.05 )
s
Strumień objętości wynosi:
m3
s
4
Aby obliczyć ciśnienie w najwyższym punkcie przewodu, obieramy przekroje 0-0 i 2-2, dla których
zapisujemy równanie Bernoulliego:
Q=
π ⋅d2
⋅ U1 = 0.0041
U02
p
U 2
p
+ a = 2 + 2 + h + hstr
2g
ρ⋅ g
2g
ρ⋅ g
hstr
2
U 22
l U2
= λ⋅
+ ξk ⋅
d 2g
2g
U0 = 0, U2 = U1
Po uproszczeniu i przekształceniu równania Bernoulliego otrzymujemy:
pa − p2
U 2
N
l U 22
= λ⋅
+ ξ k ⋅ 2 + h = 4.2 mH 2 O ≈ 42000
2g
ρ⋅g
d 2g
m2
Zadanie 5.8 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.16, str. 116)
Przez przewód o średnicy d = 75 mm wypływa woda
ze zbiornika do atmosfery (na skutek różnicy
poziomów H) w ilości Q = 8.1 dm3/s. Określić różnicę
H i między poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem z
przewodu, jeśli długości odcinków wynoszą: L1 = 1 m,
L2 = 6 m, L3 = 60 m, L4 = 3 m, L5 = 70 m; współczynnik
straty lokalnej zaworu ξz = 4, współczynnik straty
lokalnej kolana ξk = 0.29; współczynnik straty lokalnej
kolana o mniejszej krzywiźnie ξ1 = 0.5; współczynnik
strat tarcia λ = 0.028.
Dane:
d = 75 mm
Q = 8.1 dm3/s
L1 = 1 m, L2 = 6 m, L3 = 60 m,
L4 = 3 m, L5 = 70 m
ξz = 4, ξk = 0.29, ξ1 = 0.5
λ = 0.028
Wyznaczyć:
H
76
Rozwiązanie:
Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
U0 2
p0
U 12
p
+
+H =
+ 1 + hstr ,
2g ρ ⋅ g
2g
ρ⋅g
gdzie suma strat energii wynosi:
L U 2
U 2
U 2
U 2
hstr = λ ⋅ c 1 + 2 ⋅ ξ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ξ k ⋅ 1 + ξ z ⋅ 1 ,
2⋅ g
2⋅ g
2⋅ g
d 2⋅ g
przy czym całkowita długość rurociągu: Lc = L1 + L2 + L3 + L4+ L5.
Zakładamy że : U0 = 0, ciśnienia w obu przekrojach kontrolnych są jednakowe p0 = p1 = pa.
Prędkość U1 obliczamy natomiast z równania ciągłości:
4 ⋅Q
U1 =
π⋅d2
Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, po przekształceniach znajdujemy
wysokość H:
L 
4 ⋅ Q2 
H= 2 4
 1 + 2 ⋅ ξ1 + 2 ⋅ ξ k + ξ z + λ ⋅ c  =
d 
π ⋅d ⋅g 
=
4 ⋅ 0.00812
1 + 6 + 60 + 3 + 70 

 1 + 2 ⋅ 0.5 + 2 ⋅ 0.29 + 4 + 0.028 ⋅
 = 5.82 m
2
4
0.075
3.14 ⋅ 0.075 ⋅ 9.81 

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zadanie 5.9 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.10, str. 115)
Poziomy przewód o średnicy d = 150 mm i
długości L = l1 + l2 (l1 = 10 m, l2 = 40 m) łączy dwa
otwarte zbiorniki. W zbiornikach jest woda do
wysokości H1 = 6 m, H2 = 2 m. Określić strumień
objętości wody przepływającej z lewego zbiornika
do prawego. Uwzględnić straty lokalne i tarcia:
ξ1 = 0.5, ξ2 = 4, ξ3 = 1, λ = 0.03.
m3
Odpowiedź: Q = 0.039
s
Zadanie 5.10 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.13, str. 116)
Określić maksymalny strumień objętości wody
przepływającej przez rurę przelewową, jeśli
H1 = 0.2 m, H2 = 5 m, współczynnik strat tarcia
λ = 0.03, średnica przewodu d = 100 mm, długość
przewodu L = 18 m, ξk = 0.29, ξ1 = 0.5 (H1 odległość od osi rury przelewowej do górnej krawędzi
zbiornika).
Odpowiedź: Q = 0.0285
m3
s
77
Zadanie 5.11
Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą do poziomu
H = 30 m podłączony jest przewód o długości L i
średnicy d = 50 mm. Obliczyć ile wynosi długość
przewodu L jeżeli prędkość wypływu wody z przewodu
do atmosfery wynosi 2 m/s. Uwzględnić straty lokalne i
tarcia, przyjmując: ξ1 = 0.5, ξ2 = 4, λ = 0.03. Ciśnienie
powietrza nad lustrem wody i w miejscu wypływu wody
z przewodu do otoczenia wynosi 760 mmHg.
Odpowiedź: L = 236 m.
Zadanie 5.12 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.23, str. 119)
W zamkniętym zbiorniku zawierającym wodę, nad
powierzchnią zwierciadła znajduje się gaz o ciśnieniu
pn = 200 kN/m2. Na stałej głębokości H = 1 m pod
zwierciadłem wody dołączono do zbiornika przewód o
długości L = 15 m. Jaka jest średnica przewodu, jeśli
strumień
objętości
wypływającej
wody
wynosi
3
Q = 7.36 dm /s?. Przyjąć współczynnik strat tarcia równy
λ = 0.0144. Straty lokalne oraz energię
kinetyczną
wylotową pominąć jako małe w stosunku do strat tarcia.
Odpowiedź: d = 0.034 m.
Zadanie 5.13 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.24, str. 119)
Woda przepływa z lewego zbiornika do prawego rurą o
średnicy d = 40 mm i długości L = 50 m. Nadciśnienie w
lewym zbiorniku pn = 120 kN/m2, różnica poziomów
cieczy w zbiornikach wynosi H = 3 m. Jaki jest strumień
objętości wody Q, jeżeli współczynnik strat lokalnych na
wejściu wynosi ξ = 0.5 a współczynnik strat tarcia wynosi
λ = 0.018.
Odpowiedź: Q = 0.00357 m3/s.
Zadanie 5.14 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.26, str. 119)
Przez przewód o średnicy d1 = 20 mm i przy różnicy wysokości
H = 1.5 m wypływa benzyna ze zbiornika do lejka
umieszczonego na beczce. Wysokość lejka h = 100 mm,
średnica wylotu rurki lejka d2 = 30 mm. Określić, czy przy
pełnym otwarciu zaworu benzyna będzie wylewać się z lejka
przez jego górną krawędź. Współczynnik straty lokalnej
zaworu ξz = 3, kolanka ξk = 3. Straty tarcia pominąć.
Odpowiedź: Q1 = 0.82 dm3/s, Q2 = 1 dm3/s, a więc benzyna
nie będzie się wylewać z lejka.
78
Zadanie 5.15
Ze zbiornika z wodą o stałym poziomie H = 1.5 m
wyprowadzony jest poziomo przewód o średnicy D = 7.5
cm i długości l = 5 m, przez który woda wypływa do
atmosfery. Obliczyć strumień objętości przepływu z
uwzględnieniem strat przepływu.
Jak zmieni się strumień objętości przepływu gdy
przewód zostanie przedłużony do l1 = 35 m ?.
Jaki musi być poziom wody w zbiorniku aby przy
dłuższym przewodzie utrzymać poprzedni strumień
objętości przepływu ?. W obliczeniach zastosować metodę kolejnych przybliżeń przy założeniu, że
błąd względny obliczenia prędkości nie może przekraczać 3%.
Odpowiedź: Q = 17.4 dm3/s, Q1 = 8.1 dm3/s, H1 = 5.7 m.
Zadanie 5.16 (poz. bibl. [3], zad. 6.6.6, str. 123)
Woda z górnego zbiornika jest doprowadzana do
zbiornika dolnego trzema przewodami o średnicach
d1 = 20 mm, d2 = 30 mm, d3 = 60 mm i długościach
l1 = l2 = l3 = 60 m, przy czym wysokość rozporządzalna
H = 5 m. Jaka musi być średnica przewodu zastępczego
aby jego strumień objętościowy przepływu był równy
sumie strumieni objętościowych wody przepływającej
przez poszczególne przewody?.
Wartość współczynnika strat tarcia λ uzależniona jest od
liczby Reynoldsa Re, natomiast straty miejscowe oraz
energię wylotową wody pominąć. Przy obliczaniu
prędkości przepływu zastosować metodę kolejnych
przybliżeń przy założeniu, że błąd względny obliczenia nie może przekraczać 3%.
Odpowiedź: dz = 65 mm, Qz = 8.65 dm3/s.
79