INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
• Zjawisko indukcji elektromagnetycznej, SEM indukcji
• Prawo Faradaya
• Samoindukcja, współczynnik samoindukcji
• Energia i gęstość energii pola magnetycznego
• Prawa elektrodynamiki w ośrodkach materialnych
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
L
B
v
dl x v
dl
kierunek obiegu
konturu
dS
vdt
Na ładunek q, znajdujący się na elemencie dl, działa siła
Element powierzchni „zyskany”
w ciągu czasu dt
r
r r
dS = v dt × dl
r
r r
dS
⇒ dl × v = −
dt
r
r r
F = qv × B
Praca tej siły przy przesunięciu ładunku q o dl
r
r r r
r r
r r
d∆Φ B
 dS  r
r
dW = F ⋅ dl = q(v × B ) ⋅ dl = q (dl × v ) ⋅ B = q −
 ⋅ B = −q
dt
 dt 
r r
r r
Strumień indukcji magnetycznej ∆Φ B ≡ B ⋅ dS ⇒ Φ B ≡ ∫∫ B ⋅ dS
S
Całkowita praca, wykonana przez pole magnetyczne
B nad ładunkiem q podczas przesuwania go wokół
krzywej zamkniętej L
r r r
dΦ B
W = q ∫ (dl × v ) ⋅ B = −q
dt
L
Z punktu widzenia obserwatora, związanego z obwodem, przepływ ładunku wywołany jest
przyłoŜeniem róŜnicy potencjałów
dΦ B
W = E p (L ) − E p (0 ) = q∆U = −q
dt
Prawo Faradaya
Siła elektromotoryczna indukcji ma wartość
=−
dΦ B
dt
Reguła Lenza. Siła elektromotoryczna indukcji ma taki zwrot, Ŝe wywołany przez nią przepływ
prądu w obwoadzie zamkniętym wytwarza strumień indukcji magnetycznej, przeciwdziałający
zmianie strumienia indukcji magnetycznej, obejmowanego przez obwód.
Postać róŜniczkowa prawa Faradaya
r r
r r
∂
= ∫ E ⋅ dl = − ∫∫ B ⋅ dS
∂t S
L
r r r
r
r r
∂
∂ r r
lim ∫ E ⋅ dl = S ⋅ rotE = − lim ∫∫ B ⋅ dS = − B ⋅ S
S →0
S → 0 ∂t
∂t
L
S
r
r
∂B
⇒ rotE = −
∂t
SAMOINDUKCJA
Zmianom strumienia indukcji magnetycznej obejmowanego przez obwód zawsze towarzyszy
powstanie siły elektromotorycznej. Dotyczy to równieŜ strumienia, wytwarzanego przez prąd,
płynący w samym obwodzie.
dl
S
r
dB
L
I
r r
r µ 0 I dl × r
B=
4π ∫L r 3
r r
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS
w kaŜdym punkcie obwodu
współczynnik samoindukcji
S
r
 µ0  dl × rr  r 
Φ B =  ∫∫  ∫ 3  ⋅ dS  I = LI

 4π S  L r 
1444
424444
3
≡L
KaŜdej zmianie natęŜenia prądu towarzyszy pojawienie się siły elektromotorycznej
samoindukcji
dI
∂Φ B
= −L
=−
dt
∂t
B
Przykład: współczynnik samoindukcji dla kabla
koncentrycznego
x<r⇒B=0
x
I
r
R
I
L
r ≤ x ≤ R ⇒ B(x ) =
µ0 I
2πx
x>R⇒B=0
dx
B
I
r r R µ0 I
µ 0 Il R
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = ∫
ldx =
ln
r
2πx
2π
S
r
I
l
R
S
r
x
µ 0l R
⇒L=
ln
r
2π
ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO
ZałóŜmy, Ŝe w obwodzie, przez przyłoŜenie zewnętrznej siły elektromotorycznej,
zmieniamy natęŜenie prądu. Wówczas w obwodzie indukuje się SEM samoindukcji
Zewnętrzna SEM w celu przesunięcia ładunku dq w tym
obwodzie musi wykonać pracę
= −L
dI
Idt = LIdI
dt
I
1
W = E p = ∫ Lidi = LI 2
2
0
dW = Udq = L
Praca potrzebna do wytworzenia w obwodzie prądu I zostaje
zmagazynowana w postaci energii pola magnetycznego
Gęstość energii pola magnetycznego (energia na jednostkę objętości)
Rozpatrzmy ponownie kabel koncentryczny i zwiększmy promień kabla wewnętrznego o dr.
Spowoduje to likwidację pola w obszarze dV i zmianę energii pola o dW
dV = 2πrldr
1 2 dL
1 µ0lI 2
dW 1 2 dL
= I
⇒ dW = I
dr = −
dr
2 dr
2 2πr
dr 2 dr
Gęstość energii pola magnetycznego
2
1  µ0 I 
1
dW
(B(r ))2
=
=
w=−


2µ0
dV 2µ 0  2πr 
Ogólnie
B2
w=
2µ0
dI
dt
PRAWA ELEKTRODYNAMIKI W OSRODKACH MATERIALNYCH
(dotychczas poznane; nie jest to jeszcze pełny układ równań Maxwella)
r r
r
∫∫ D ⋅ dS = q ⇔ divD = ρ
Prawo Gaussa
S
Prawo Faradaya
r
r
r
r
∂Φ B
∂B
E
⋅
d
l
=
−
⇔
rot
E
=
−
∫L
∂t
∂t
r r
r
∫∫ B ⋅ dS = 0 ⇔ divB = 0
S
Prawo Ampere’a
r r
r r
∫ H ⋅ dl = I ⇔ rotH = j
L
Równania materiałowe
r
r
D = ε rε 0 E
r
r
B = µr µ0 H
r
r
j = σE
Gęstość energii pola elektromagnetycznego
1 r r 1 r r
w = E⋅D+ H ⋅B
2
2