sprawdź tabelę

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w
systemie tabel semantycznych
Zapoznaj z poniŜszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o
wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŜonych i zastosuj
ją do dowodzenia przykładowych formuł, traktując, zgodnie z twierdzeniem o
pełności, dowody jako reprezentacje sprawdzania tautologiczności, w zapisie
których nie odnotowuje się interpretacji logicznej formuły A, ale gdy v(A)=1
zapisuje się „A” w wierszu (w odpowiednim miejscu drzewa – tabeli
semantycznej), a gdy v(A)=0, zapisuje się „¬A”. Następnie sprawdź podane
przykłady i uzasadnij odwołania do stosownych reguł wnioskowania.
Tabele prawdziwościowe dla formuł są wzorami, według których
określamy wartość logiczną zdania złoŜonego w zaleŜności od wartości zdań
składowych:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬A
1
1
0
0
A∨B
0
1
1
1
A∧B
0
0
0
1
A⇒B
1
1
0
1
A⇔B
1
0
0
1
Formuły, które są schematami tylko zadań prawdziwych nazywamy
tautologiami, a takie, które są schematami tylko zdań fałszywych nazywamy
kontr tautologiami lub sprzecznościami.
ZauwaŜmy, Ŝe na podstawie tabel prawdziwościowych dla spójników
zdaniowych dysponujemy następującą wiedzą:
• formuła ¬A jest tautologią, gdy dowolne zdanie o schemacie A jest
fałszywe, co oznacza, Ŝe A jest kontrtautologią,
• formuła A ∨ B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A ∨ B
co najmniej jedno ze zdań o schematach A, B jest prawdziwe, w
szczególności, gdy jedna z formuł A lub B jest tautologią,
• formuła A ∧ B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A ∧ B
oba zdania schematach A, B są prawdziwe, w szczególności, gdy obie
formuły A i B są tautologiami,
• formuła A ⇒ B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A ⇒
B, jeŜeli zdanie o schemacie A jest prawdziwe, to zdanie o schemacie B jest
prawdziwe, w szczególności, jeŜeli formuła A jest tautologią, to B jest teŜ
tautologią,
• formuła A ⇔ B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie A ⇔ B
oba zdania o schematach A, B mają tę samą wartość logiczną, w
szczególności, gdy obie formuły A i B są tautologiami lub kontrtautologiami,
RozwaŜmy teraz formuły poprzedzone kwantyfikatorami. Niech A(x) jest
dowolną formułą, w której x jest jedyną zmienną wolną. Oznaczmy zbiór
wszystkich zdań, których schematem jest ta formuła przez P, gdy wszystkie
zdania tego zbioru są prawdziwe, przez F, gdy są fałszywe, a przez T, gdy
niektóre zdania tego zbioru są prawdziwe, a niektóre fałszywe. Wiedzę o
wartościach logicznych zdań, których schematem jest formuła ∀xA(x) lub
formuła ∃xA(x) reprezentuje tabela
Wiedzę reprezentowaną przez powyŜszą tabelę, dla dowolnych funkcji
interpretacji, moŜemy teŜ sformułować następująco:
• jeŜeli formuła ∀xA(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x)
jest schematem zdań wśród których kaŜde zdanie jest prawdzie, np. zdanie o
schemacie A(c), gdzie wybór termu c nie zaleŜy od formuły A(x), a jedynie
od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny,
• jeŜeli formuła ∃xA(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła A(x)
jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest prawdzie,
np. zdanie o schemacie A(c), gdzie wybór termu c zaleŜy od formuły A(x) i
od dziedziny argumentu x, a więc moŜe być dokonany tylko raz podczas
formalizacji tekstu,
• jeŜeli formuła ¬∀xA(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła
¬A(x) jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest
prawdzie, np. zdanie o schemacie ¬A(c), gdzie wybór termu c zaleŜy od
formuły A(x) i od dziedziny argumentu x, a więc moŜe być dokonany tylko
raz podczas formalizacji tekstu,
• jeŜeli formuła ¬∃xA(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła
¬A(x) jest schematem zdań wśród których kaŜde zdanie jest prawdzie, np.
zdanie o schemacie ¬A(c), gdzie wybór termu c nie zaleŜy od formuły A(x),
a jedynie od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny,
Przykład 1.
L1. (modus ponendo ponens)
(((A⇒B)∧ A) ⇒ B)
Dowód.
1.
¬(((A⇒B)∧ A) ⇒ B)
2.
((A⇒B)∧ A)
3.
¬B
4.
(A⇒B)
5.
A
6.1 ¬A
6.2 sprz. 5, 6.1
6. ¬A⇒ sprz.
7.1 B
7.1 sprz. 3, 7.1
7. B⇒ sprz.
6.
sprz.
(załdow.mwp.)
(1, (NC))
(1, (NC))
(2, (K))
(2, (K))
(4, (C), zał.dod.)
(6.1->6,2)
(4, (C), zał.dod.)
(7.1->7,2)
(z 4 wynika sprz., 6, 7)
L2. (modus tollendo tollens)
(((A⇒B)∧ ¬B) ⇒ ¬A)
Dowód. (analogiczny jak w L1)
L3. (modus tollendo ponens)
(((A∨B)∧ ¬B) ⇒ A)
Dowód.
1.
¬(((A∨B)∧ ¬B) ⇒ A)
2.
((A∨B)∧ ¬B)
3.
¬A
4.
(A∨B)
5.
¬B
6.1 A
6.2 sprz. 3, 6.1
6.
A ⇒ sprz.
7.1 B
7.2 sprz. 5, 7.1
7.
B ⇒ sprz.
8.
sprz.
(zał.dow.nwp.)
(1, (NC))
(1, (NC))
(2, (K))
(2, (K))
(4,(A), zał.dod)
(6.1->6.2)
(4, (A), zał.dod.)
(7.1->7.2)
(z 4 wynika sprz., 6, 7)
L4. (prawo transpozycji)
((A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A))
Dowód.
1.
¬((A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A))
2.1 (A ⇒ B) ∧ ¬(¬B ⇒ ¬A)
2.2 (A ⇒ B)
2.3 ¬(¬B ⇒ ¬A)
2.4 ¬B
2.5 ¬¬A
2.6 A
2.7.1 ¬A
2.7.2 sprz. 2.6, 2.7.1
2.8.1 B
2.8.1 sprz. 2.4, 2.8.1
3.1 ¬(A ⇒ B) ∧ (¬B ⇒ ¬A)
3.2 ¬(A ⇒ B)
3.3 (¬B ⇒ ¬A)
3.4 A
3.5 ¬B
3.6.1 ¬¬B
3.6.2 B
3.6.3 sprz. 3.5, 3.6.2
3.7.1 ¬A
3.7.2 sprz. 3.4, 3.7.1
3.
sprz.
(zał.dow.nwp.)
(1, (NE), zał.dod.)
(2.1, (K))
(2.1, (K))
(2.3, (NC))
(2.3, (NC))
(2.5, (NN))
(2.1, (C), zał.dod.)
(2.2, (C), zał.dod.)
(1. (NE), zał.dod.))
(3.1, (K))
(3.1, (K))
(3.2, (NC))
(3.2, (NC))
(3.3, (C), zał.dod.)
(3.6.1, (NN))
(3.3, (C), zał.dod.)
Dowód. (notacja drzewowa)
¬((A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A))
¬(A ⇒ B)
(¬B ⇒ ¬A)
(A ⇒ B)
¬(¬B ⇒ ¬A)
¬B
¬¬A
A
A
¬B
¬¬B
B
¬A
¬A
B
L5. (prawo redukcji do absurdu)
(((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B)) ⇒ ¬A)
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B)) ⇒ ¬A)
((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B))
¬¬A
A
(A ⇒ B)
(A ⇒ ¬B)
¬A
B
¬A
¬B
L6. (prawo negacji implikacji)
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B))
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B))
¬(A ⇒ B)
¬(A ∧ ¬B)
¬¬(A ⇒ B)
(A ∧ ¬B)
(A ⇒ B)
A
¬B
¬A
A
¬¬B
B
¬B
¬A
B
L7. (prawo de Morgana dla koniunkcji)
(¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B))
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B))
¬(A ∧ B)
¬(¬A ∨ ¬B)
¬¬A
¬¬B
¬¬(A ∧ B)
(¬A ∨ ¬B)
(A ∧ B)
A
B
A
B
¬A
¬B
¬A
¬B
L8. (prawo de Morgana dla alternatywy)
(¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B))
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B))
¬(A ∨ B)
¬(¬A ∧ ¬B)
¬A
¬B
¬¬A
¬¬B
A
B
¬¬(A ∨ B)
(¬A ∧ ¬B)
(A ∨ B)
¬A
¬B
A
B
L9. (sylogizm hipotetyczny)
(((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C))
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C))
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C))
¬(A ⇒ C)
(A ⇒ B)
(B ⇒ C)
A
¬C
¬A
B
¬B
C
L10. (dylemat konstrukcyjny prosty)
((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ C)
Dowód. (notacja drzewowa)
¬((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ C)
(((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ∧ (A ∨ B))
¬C
(A ⇒ C)
(B ⇒ C)
(A ∨ B)
¬A
¬B
A
C
C
B
L11. (dylemat konstrukcyjny złoŜony)
((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ D)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ (C∨ D))
Dowód. (notacja drzewowa)
¬((((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ D)) ∧ (A ∨ B)) ⇒ (C∨ D))
(((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ D)) ∧ (A ∨ B))
¬(C∨ D)
¬C
¬D
(A ⇒ C)
(B ⇒ D)
(A ∨ B)
¬A
¬B
A
C
D
B
Tablice praw rachunku kwantyfikatorów
L12. (prawo de Morgana dla kwantyfikatora generalnego)
(¬∀xA(x) ⇔ ∃x(¬A(x)))
Dowód. (notacja linearna)
1.
¬(¬∀xA(x) ⇔ ∃x(¬A(x)))
2.1 (¬∀xA(x) ∧ ¬∃x(¬A(x)))
2.2 ¬∀xA(x)
2.3 ¬∃x(¬A(x))
2.4 ¬A(c1)
2.5 ¬¬A(c1)
2.6 sprz. 2.4, 2.5
3.1 (¬¬∀xA(x) ∧ ∃x(¬A(x)))
3.2
¬¬∀xA(x)
3.3
∃x(¬A(x))
∀xA(x)
3.4
(zał.dow,nwp.)
(1, (NE), zał.dow.nwp))
(2.1, (K))
(2.1, (K))
(2.2, (NALLX))
(2.3, (NEX))
(1, (NE),zał.dow.nwp.)
(3.1, (K))
(3.1, (K))
(3.2, (NN))
3.5
3.6
3.7
4.
¬A(c2)
(3.3, (EX))
(3.4, (ALLX))
A(c2)
Sprz. 3.5, 3.6
sprz.
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(¬∀xA(x) ⇔ ∃x(¬A(x)))
¬∀xA(x)
¬∃x(¬A(x))
¬A(c1)
¬¬A(c1)
¬¬∀xA(x)
∃x(¬A(x))
∀xA(x)
¬A(c2)
A(c1)
L17. (drugie prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację)
(∀x(A(x) ⇒ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ⇒ ∃xB(x)))
Dowód. (notacja linearna)
1.
¬(∀x(A(x) ⇒ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ⇒ ∃xB(x)))
(zał.dow.nwp.)
∀x(A(x) ⇒ B(x))
(1, (NC))
2.
¬(∃xA(x) ⇒ ∃xB(x))
(1, (NC))
3.
4.
∃xA(x)
(3, (NC))
¬∃xB(x)
(3, (NC))
5.
6.
A(c1)
(4, (EX))
7.
(A(c1) ⇒ B(c1))
(3, (ALLX))
8.1 ¬A(c1)
(7, (C),zał.dod.)
8.2 sprz. 6, 8.1
9.1 B(c1)
(7, (C),zał.dod.)
9.2 ¬B(c1)
(5, (NEX))
9.3 sprz. 9.1, 92
10. sprz.
Dowód. (notacja drzewowa)
¬(∀x(A(x) ⇒ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ⇒ ∃xB(x)))
∀x(A(x) ⇒ B(x))
¬(∃xA(x) ⇒ ∃xB(x))
∃xA(x)
¬∃xB(x)
A(c1)
(A(c1) ⇒ B(c1))
¬A(c1)
B(c1)
¬B(c1)
L33. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego z generalnym)
(∃x∀yA(x,y) ⇒ ∀y∃xA(x,y))
Dowód. (notacja linearna)
1.
¬(∃x∀yA(x,y) ⇒ ∀y∃xA(x,y))
∃x∀yA(x,y)
2.
3.
¬∀y∃xA(x,y)
∀yA(c1,y)
4.
5.
¬∃xA(x,c2)
6.
A(c1,c2)
7.
¬A(c1,c2)
8.
sprz. 6, 7
(zał.dow.nwp.)
(1, (NC))
(1, (NC))
(2, (EX))
(3, (NALLX)
(4, (ALLX))
(5, (NEX))