Wykonali: Krzysztof Narloch, Grzegorz Polasik

Wykonali: Krzysztof Narloch, Grzegorz Polasik – studenci UKW w Bydgoszczy
Matematyki sp. Nauczycielskiej z dodatkowym nauczaniem informatyki, Rok II semestr IV (2010/2011).
I. Czy kiedykolwiek zastanawialiście się:
1. Jak długą kolejkę utworzyłyby wszystkie samochody produkowane w ciągu roku
na świecie?
2. Jak dużą powierzchnię zajęłyby zeszyty i podręczniki wszystkich uczniów Twojej
miejscowości, gdyby je ułożyć jeden obok drugiego?
3. Ile szczebli miałaby drabina sięgająca z ziemi do księżyca?
4. Ile ważą wszystkie mrówki na świecie?
5. A może zadawaliście sobie inne pytania tego typu? Tak? A czy wiecie, że takie
pytania nazywamy pytaniami Fermiego?
II. Enrico Fermi
Żył w latach 1901-54 roku. Był włoskim fizykiem,
jednym z najwybitniejszych uczonych XX wieku.. Profesor
uniwersytetu w Rzymie, Nowym Jorku, Chicago (1938
wyemigrował z faszystowskich Włoch do USA). Jeden z
najwybitniejszych ludzi dwudziestego wieku. Jeden z twórców
podstaw energetyki jądrowej, kierował ogółem prac nad bombą
atomową, uruchomił pierwszy reaktor jądrowy. Wraz z innymi
wybitnymi fizykami zgromadzonymi w miasteczku zwanym
Los Alamos w USA, odizolowani od reszty świata, dokonali
wielu odkryć.
W 1938 roku otrzymał Nagrodę Nobla, za swoją pracę, w
której przedstawił m.in. jak można rozbić jądro uranu
bombardując je neutronami.
Od jego nazwiska został nazwany gaz. Gaz Fermiego- to
taki, który zawiera zbiór identycznych, nieoddziaływujących na siebie cząstek opisywanych
przez statystykę Diraca Fermiego. Przykładem jest gaz elektronów w metalu.
Dla uczczenia Enrica Fermiego nadano w 1955 roku nazwę ferm. FERM Fm,
fermium, jest to sztucznie otrzymany promieniotwórczy pierwiastek chemiczny o liczbie
atom. 100, liczbie masowej najtrwalszego izotopu 257 (T1/2 = 80 dni); należy do
aktynowców; odkryty (razem z Einsteinem) 1952 przez G. Seaborga i jego
współpracowników w produktach eksplozji termojądrowej, przeprowadzonej na atolu
Eniwetok.
W swojej pracy Fermi posługiwał się zaawansowaną matematyką. Był tak sprawny w
przekształcaniu wzorów, że mógł zakładać się ze studentami, czy potrafi wyprowadzić
dowolny wzór, zanim oni zdążą pójść do biblioteki i znaleźć go w książce. Ponadto Fermi
zajmował się zaawansowaną matematyką. W swoich pracach zajmował się prostym, jasnym
językiem, ponieważ nie lubił zbytniego formalizmu, niepotrzebnego komplikowania opisu
zjawisk.
Bardzo lubił rozwiązywać nietypowe problemy, w których musiał szacować różne
dziwne wielkości np. "Ilu stroicieli fortepianów jest w Nowym Jorku?. Najsłynniejszym
pytaniem Fermiego jest: Ile ziarenek gorczycy znajduje się w 1 litrowym słoiku? Takie
pytania nazywamy pytaniami Fermiego nawet, jeśli wymyśli je ktoś inny. Aby znaleźć
odpowiedzi na tego typu pytania czasami wystarczy odszukać potrzebne informacje np. w
Internecie i wykonać obliczenia. Często jednak odpowiednich danych nigdzie nie
znajdziemy. Trzeba wówczas je oszacować, przyjmując rozsądne założenia lub wykonując
odpowiednie pomiary.
III. Zadania:
1. Wyobraź sobie, że wszyscy mieszkańcy Polski chwycili się za ręce. Porównaj długość tak
utworzonego łańcucha z długością równika. W Polsce mieszka około 38 mln osób.
Równik ma około 40 tys. km długości. Możemy przyjąć, że rozpiętość ramion jednej
osoby wynosi 120 cm.
Dane:
* 38 mln – liczba mieszkańców Polski
* 40 tys. km – długość równika
* 120 cm – rozpiętość ramion jednej osoby
Szukane:
* Długość łańcucha utworzonego przez mieszkańców
Polski, gdyby chwycili się za ręce
Rozwiązanie:
38 000 000 * 120 cm = 4 560 000 000 cm
100 cm = 1 m
4 560 000 000 cm = 45 600 000 m
1 000 m = 1 km
45 600 000 m = 45 600 km
45 600 km > 40 000km
Odpowiedź: Długość utworzonego łańcucha przez mieszkańców Polski jest większa od
długości równika.
2. Ile ziaren cukru jest w jednym kilogramie cukru?
Dane:
* Jeden kryształek cukru waży przeciętnie 0,2
mg (źródło: Internet).
Szukane:
* Ilość ziaren cukru w jednym kg cukru.
Rozwiązanie:
1 000 mg = 1 g
0,2 mg = 0,0002 g
10 g = 1 dag
0,0002 g = 0,00002 dag
100 dag = 1 kg
0,00002 dag = 0,0000002 kg
1 kg : 0,0000002 kg = 5 000 000 kryształków cukru
Odpowiedź: W kilogramie cukru znajduje się około 5 milionów ziarenek cukru.
3. * Ile boisk do siatkówki można posmarować dżemem z rocznej produkcji truskawek w
Polsce? Boisko do gry siatkówki jest prostokątem o wymiarach 18 × 9 m. Roczna
produkcja truskawek wynosi przeciętnie ok. 250 tys. t. Przyjmij, że grubość warstwy
dżemu wynosi 3 cm.
Dane:
* 18 x 9 m - wymiar boiska do siatkówki
* 3 cm – grubość warstwy dżemu
* 250 tys. t - roczna produkcja truskawek w Polsce
Szukane:
* Pole powierzchni boiska do siatkówki
* Objętość posmarowanego boiska do siatkówki dżemem truskawkowym
* Ilość boisk do siatkówki, które można posmarować dżemem
Rozwiązanie:
Pole boiska wynosi P = a * b
P = 18 * 9 = 162 m2
Objętość prostopadłościanu: V = a * b * H.
10 cm = 1 dm
3 cm = 0,3 dm
10 dm = 1 m
0,3 dm = 0,03 m
Objętość posmarowanego boiska do siatkówki dżemem truskawkowym wynosi więc:
V = 18 m * 9 m * 0,03 m = 4,86 m3
Załóżmy, że z 1 kg truskawek uzyskuje się słoik dżemu o objętości 2,5 l.
1 t = 1000 kg
250 000 t = 250 000 000 kg
Zatem z 250 000 000 kg truskawek uzyskuje się słoik dżemu o objętości:
250 000 000 * 2,5 = 625 000 000 l
Słoik dżemu truskawkowego sprzedaje się w słoikach o objętości 0,25 l. Zatem z
rocznej produkcji truskawek w Polsce uzyskuje się 625 000 000 l : 0,25 l =
2 500 000 000 słoików dżemu.
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l
4,86 m3 = 4860 dm3 = 4860 l
Ostatecznie ilość boisk do siatkówki które można posmarować dżemem z rocznej
produkcji truskawek w Polsce to:
625 000 000 l : 4860 l = 128 600, 823
Odpowiedź: Z rocznej produkcji truskawek w Polsce można posmarować dżemem
128 600 boisk do siatkówki.
Kochamy siatkówkę.
Truskawki pakuje się w łubianki, które zawierają 2 kg owoców.
Na 100 g produktu dżemu truskawkowego niskosłodzonego potrzeba ok. 40 g owoców.
Truskawki dojrzewaj w czerwcu.
Truskawki są pyszne ze śmietaną i cukrem.
4. Jak duży basen należałoby zbudować, by pomieścić w nim tyle wody, ile wypijają w
ciągu roku uczniowie twojej klasy? Jakie powinien mieć wymiary basen, gdy przyjmiemy,
że jest on sześcianem.
Dane:
Przyjmijmy, że
* 28 liczba uczniów klasy,
* 365 dni w 1 roku,
* 2,5 litra uczeń wypija przeciętnie w ciągu dnia
Szukane:
* Objętość basenu
* Długość krawędzi sześcianu
Rozwiązanie:
28 * 2,5 litra = 70 litrów
365 * 70 litrów = 25 550 litrów
Objętość sześcianu: V = a3, gdzie a to długość krawędzi sześcianu.
25 550 litrów = a3,
a = 29,45305182 ≈ 29,6 jednostek
Odpowiedź: Należałoby zbudować basen o pojemności 25 550 litrów. Gdybyśmy przyjęli,
że basen to sześcian to jego wymiary powinny mieć 29,6 x 29,6 x 29,6.
5. Ile much zmieści się w talerzu zupy?
Dane:
* Przyjmijmy, że mucha przypomina prostopadłościan. Z naszych badań, obserwacji i
obliczeń wynika, że muchy domowe przeciętnie osiągają długość ok. 8 mm, 6 mm
szerokości i 5 mm wysokości.
* Objętość zupy w talerzu wynosi ok. 0,5 l.
Szukane:
Ilość much w zupie.
Rozwiązanie:
Objętość prostopadłościanu wyraża się wzorem: V = a * b * H
V = 8 mm * 6 mm * 5 mm = 240 mm3
1000 mm3 = 1 cm3
240 mm3 = 0,24 cm3
1000 cm3 = 1 l (litr) = 1 dm3
0,24 cm3 = 0,00024 l
0,5 l : 0,00024 l = 2083,(3)
Odpowiedź: W naszej zupie może zmieścić się 2083 much.
Podczas naszych badań z muchami do naszej zupy wpadła jedna mucha. Czekamy na
pozostałe.
6. Inne pytania:
a. Czy wszystkie mrówki na świecie ważą razem więcej niż wszystkie słonie? Na
świecie jest około 5*1015 mrówek i ok. 500 tys. słoni. Przeciętna mrówka waży ok.
0,01 g, a przeciętny słoń ok. 4 t.
b. Ile szczebli miałaby drabina sięgająca z Ziemi do Księżyca? Odległość Księżyca od
Ziemi wynosi 384 400 km. Można przyjąć, że szczeble drabiny odległe są od siebie
o 30 cm.
c. Czy udźwignąłbyś 1000 zł, gdyby tę kwotę podarowano Ci w monetach
jednogroszowych? Moneta jednogroszowa waży 1,65 g.
d. Oszacuj, ile kilometrów przeszedłbyś na piechotę w ciągu całego twojego
dotychczasowego życia.