Ćwiczenie_1 - Zakład Inżynierii Fotonicznej

Ćwiczenie_1 - Zakład Inżynierii Fotonicznej

Optomechatronika - Laboratorium
Ćwiczenie 1
KOHERENTNE ODWZOROWANIE OPTYCZNE I FILTRACJA
CZĘSTOŚCI PRZESTRZENNYCH
1.1 Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z teorią dwustopniowego procesu formowania obrazu
optycznego i jej eksperymentalną weryfikacją z wykorzystaniem tzw. doświadczenia Abbego.
W procesie formowania obrazu optycznego wyróżnia się dwa etapy:
• Etap tworzenia widma częstości przestrzennych przedmiotu (przestrzennego sygnału
optycznego) w tzw. polu dyfrakcyjnym Fraunhofera. Etap ten opisuje przekształcenia
Fouriera funkcji przedmiotu.
• Etap tworzenia obrazu, w którym zaburzenia pochodzące od wzajemnie koherentnych
częstości przestrzennych interferują i tworzą obraz przedmiotu w polu dyfrakcyjnym
Fraunhofera tych częstości. Etap opisuje kolejne przekształcenie Fouriera, tym razem
widma częstości przestrzennych przedmiotu.
Łatwy dostęp do płaszczyzny widmowej w układzie optycznym umożliwia prowadzenie
dowolnych operacji filtracji częstości przestrzennych mających na celu modyfikację
rozkładu intensywności w obrazie.
Doświadczenie Abbego ułatwia zrozumienie procesu formowania obrazu optycznego
oraz ilustruje użyteczność opisu zjawisk optycznych za pomocą matematycznej analizy
fourierowskiej.
1.2 Wiadomości ogólne
Dwustopniowy proces formowania obrazu. Częstości przestrzenne
Układ optyczny do demonstracji i badań dwustopniowego procesu formowania obrazu
oraz filtracji częstości przestrzennych przedstawiony jest schematycznie na rys. 1.1.
y1
K
P1
ny
x1
L1
P2
nx
P3
L2
S
x2
f’
f’
f’
f’
f’
y2
Rys. 1.1 Schemat układu optycznego
Płaszczyznę przedmiotową P1 oświetla przestrzennie koherentna fala płaska
generowana przez kwasipunktowe źródło S umieszczone w płaszczyźnie ogniskowej
przedmiotowej obiektywu kolimatora K. Obiektyw L1 tworzy w swej płaszczyźnie
ogniskowej obrazowej P2 obraz źródła światła. Płaszczyzna P2 odpowiada tzw. płaszczyźnie
Copyright:
Zakład Techniki Optycznej
Instytut Mikromechaniki i Fotoniki
Politechnika Warszawska
autor: prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski
widmowej Fraunhofera (częstości przestrzennych) przedmiotu. W przypadku umieszczenia
przedmiotu o transmitancji V(x,y) w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu L1,
rozkład amplitud i faz w płaszczyźnie widmowej P2 jest opisany zależnością
V(ωx, ωy) = C1 ∫∫ Vx,y) exp{-i(ωxx + ωyy} dx dy,
(1.1)
gdzie ωx = 2πxs'/λf', ωy = 2πys'/λf', C1 – stała, xs' i ys' są współrzędnymi liniowymi w
płaszczyźnie P2, f' oznacza ogniskową obiektywów L1 i L2, granice całkowania od -∞ do +∞.
Rozkład V(ωx, ωy) jest więc transformatą Fouriera przedmiotu amplitudowo-fazowego o
zespolonej transmitancji Vx,y), ωx i ωy noszą nazwę kołowych częstości przestrzennych
przedmiotu. Przedmiot można przedstawić jako zbiór rozkładów harmonicznych o różnych
częstościach przestrzennych νx = ωx/2π i νy = ωy/2π, o określonej amplitudzie, kierunku i
fazie, patrz rys. 1.2.
x
λ
k
θx
Λx=1/νx
z
f(x,y)
Rys. 1.2 Jednowymiarowa reprezentacja przestrzennej funkcji harmonicznej f(x,y) = V0exp[i2π(νxx +
νyy)] i odpowiadającej jej fali płaskiej. V0 – amplituda fali, νx i νy – częstości przestrzenne, Λx – okres
funkcji harmonicznej, sinθx = λνx (związek ten mówi, że kąt propagacji fali płaskiej jest wprost
proporcjonalny do częstości przestrzennej funkcji harmonicznej). Okres przestrzenny zaburzenia (fali)
wzdłuż kierunku propagacji k wynosi λ, a wzdłuż osi x wynosi λsinθx. Faza harmonicznej wynika z jej
usytuowania (przesunięcia poprzecznego w płaszczyźnie xy) względem początku układu
współrzędnych.
Na rys. 1.3 pokazano schematycznie reprezentację przedmiotu w postaci zbioru kilku
elementarnych obszarów o transmitancji opisanej funkcją harmoniczną o pewnej częstości
przestrzennej i pewnym kierunku w przestrzeni (płaszczyźnie xy). Wymiary poprzeczne
elementarnych obszarów są znacznie większe od okresu funkcji harmonicznej.
y
x
Rys. 1.3 Ugięcie fali płaskiej na przedmiocie złożonym z czterech funkcji harmonicznych o różnych
okresach przestrzennych i orientacji w przestrzeni (zaznaczono tylko wybrane kierunki propagacji fal).
2
Transmitancję przedmiotu można również zapisać jako superpozycję
dyfrakcyjnych opisywanych za pomocą szeregów Fouriera.
siatek
s
0
//
d
x
Rys. 1.4 Funkcja transmitancji binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej; d – okres siatki,
s – szerokość szczeliny o transmitancji równej 1, x – współrzędna prostopadła do linii siatki.
Przykładowo, transmitancję binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej pokazanej na rys. 1.4
opisuje szereg Fouriera
V(x,y) = ∑ an exp{in2πx/d},
(1.2)
gdzie sumowanie odbywa się teoretycznie od n = -∞ do n = +∞ (w praktyce, przy oświetleniu
siatki wzdłuż osi z, rys. 1.1 i 1.2, sinus kąta ugięcia θn fali płaskiej stanowiącej n-ty rząd
ugięcia siatki dyfrakcyjnej nie może przekraczać 900, an oznacza amplitudę n-tego rzędu
ugięcia siatki, rys. 1.5.
płaszczyzna
x
d
n = +3
n = +2
+θ1
-θ1
n = +1
n=0
n = -3
n = -2
widmowa Fouriera
(Fraunhofera)
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
n = -1
⎛λ⎞
sinθ n = n⎜ ⎟ = n (λ ν x )
⎝d⎠
Rys. 1.5 Kierunki propagacji siedmiu najniższych rzędów ugięcia binarnej amplitudowej siatki
dyfrakcyjnej oświetlonej falą płaską wzdłuż normalnej do płaszczyzny siatki oraz odpowiadające im
częstości przestrzenne zlokalizowane w płaszczyźnie widmowej Fouriera (Fraunhofera).
Funkcja opisana wzorem (1.2) jest funkcją prostokątną o współczynniku wypełnienia (s/d)
definiowanym jako iloraz szerokości szczeliny o transmitancji 1 do okresu. Dla funkcji
prostokątnej nieograniczonej wzdłuż osi x współczynniki Fouriera dane są wzorami
an = (s/d) sinc (ns/d),
a0 = s/d,
(1.3)
3
gdzie sinc(x) = sin(πx)/πx. Z uwagi na parzystość funkcji pokazanej na rys. 1.4 spełniona jest
zależność an = a-n = an*. Łatwo wykazać, że w przypadku siatki dyfrakcyjnej o współczynniku
wypełnienia (s/d) = 0.5 (tzw. siatka Ronchi) znikają parzyste rzędy ugięcia n = ±2, ±4, ±6, ...
Uwaga: Wierne odwzorowanie przedmiotu (np. w przypadku rozważanej binarnej
amplitudowej siatki dyfrakcyjnej uzyskanie ostrych krawędzi linii siatki) wymaga obecności
w płaszczyźnie obrazu wszystkich harmonicznych tworzących przedmiot. Brak wyższych
harmonicznych powodowany przez skończone wymiary poprzeczne układu optycznego, rys.
1.1, prowadzi do rozmycia krawędzi linii siatki. W przypadku małej liczby harmonicznych w
obrazie, np. trzech, uzyskuje się kosinusoidalny rozkład intensywności (zamiast rozkładu
prostokątnego).
Filtracja częstości przestrzennych
Dyskretny charakter widma (transformaty Fouriera) siatki dyfrakcyjnej, rys. 1.5,
pozwala na łatwą filtrację (modyfikację) częstości przestrzennych i szybką interpretację
obrazu po filtracji.
W omawianym układzie, rys. 1.1, można dokonywać dowolnych operacji w
płaszczyźnie widmowej P2 (częstości przestrzennych) sygnału i modyfikować niezależnie
amplitudę i fazę rozkładu amplitudy zespolonej w płaszczyźnie obrazu P3. Te operacje
przestrzennej filtracji optycznej, których podstawy zostały podane po raz pierwszy przez
Abbego w jego teorii formowania obrazu w mikroskopie, pozwalają na prowadzenie szeregu
analogowych operacji liniowych i nieliniowych na sygnale wejściowym V(x,y).
Zespolona amplitudowa transmitancja filtra F(νx, νy) spełnia następujące warunki
F(νx, νy) = │F(νx, νy)│exp[iΦ(x,y)],
│F(νx, νy)│≤ 1;
0 ≤Φ(νx, νy) ≤ 2π ,
(1.4)
i może być przedstawiona jako zbiór punktów leżących na lub wewnątrz okręgu
jednostkowego w płaszczyźnie zespolonej, rys. 1.6.
ImF((νx,νy)
(0,1)
(1,0)
(-1,0)
Re F(νx,νy)
(0,-1)
Rys. 1.6 Funkcja zespolonej transmitancji amplitudowej filtra przestrzennego.
Z rys. 1.6 wynikają możliwości syntezy trzech rodzajów filtrów:
• amplitudowych – przez zmianę gęstości optycznej (filtrowi takiemu odpowiadają punkty
leżące na osi rzeczywistej płaszczyzny zespolonej),
• fazowych – realizacja opóźnień fazowych przez zmianę grubości optycznej (punkty na osi
urojonej), oraz
• amplitudowo-fazowych – przez kombinację dwu poprzednich technik.
4
Obrazowanie w koherentnym układzie optycznym
Przez zastosowanie drugiego obiektywu umieszczonego w odległości ogniskowej od
płaszczyzny obrazu źródła światła P2, w płaszczyźnie P3 tworzony jest obraz przedmiotu.
Płaszczyzna P3 pokrywa się z płaszczyzną ogniskową obrazową obiektywu L2 jeśli przedmiot
V(x,y) znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej przedmiotowej obiektywu L1.
Należy podkreślić tutaj fakt, że w przedstawionym układzie optycznym mamy do
czynienia z kolejno następującymi po sobie transformacjami Fouriera dokonywanymi przez
obiektywy L1 i L2, a nie z przekształceniem odwrotnym następującym po pierwszym
przekształceniu Fouriera. Przekształcenie odwrotne, które charakteryzuje jądro całkowe
exp{i(ωxx + ωyy)}, wymagane jest z matematycznego punktu widzenia przy przejściu z
płaszczyzny widmowej (częstości przestrzennych) P2 do płaszczyzny P3. Ażeby pogodzić te
dwa fakty stosuje się odwrócony układ współrzędnych w płaszczyźnie P3, gdyż
TF { TF [V(x)] } = 2π V(-x),
(1.5)
gdzie TF oznacza operację przekształcenia Fouriera. W ten sposób układ optyczny może
również realizować odwrotne przekształcenie Fouriera i jednocześnie zachowana jest
zgodność z formalizmem matematycznym. Należy również zwrócić uwagę, że odwrócenie
układu współrzędnych zgodne jest z ujemnym znakiem powiększenia układu L1L2. Na rys.
1.1 pokazano układ L1L2 o jednakowych ogniskowych f' obiektywów składowych. W
przypadku ogólnym, gdy oznaczymy przez f1' i f2' ogniskowe obiektywów L1 i L2,
powiększenie wyniesie (-f2'/f1').
Obrazowanie przedmiotów okresowych w układzie z przeogniskowaniem
W przypadku koherentnego obrazowania przedmiotów okresowych, np. wyżej omówionej
binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej, obserwuje się okresową zmianę kontrastu rozkładu
intensywności w płaszczyźnie detekcji w funkcji odległości (przeogniskowania) względem
płaszczyzny obrazu geometrycznego. Efekt ten związany jest z tzw. zjawiskiem
samoobrazowania, które występuje w przypadku interferencji minimum trzech rzędów
dyfrakcyjnych [5]. Można udowodnić [5], że w przypadku oświetlenia siatki dyfrakcyjnej
falą płaską, patrz rys. 1.1, rozkład intensywności tworzony przez rzędy ugięcia –1, 0 i +1
opisuje wzór
V(x,z)V*(x,z) = A02 + 2A12 +4A0A1cos(πλz/d2) cos (2πx/d) + 2A12 cos (4πx/d),
(1.6)
gdzie z oznacza odległość przeogniskowania względem płaszczyzny P3. Z ostatniego wzoru
wynika, że rozkład intensywności w płaszczyźnie obserwacji jest okresową funkcją z. Będzie
on równy rozkładowi intensywności w zogniskowanym obrazie siatki kosinusoidalnej
(transmitancję amplitudową siatki tego typu opisuje wzór (1.2); n = -1, 0, +1) danemu
wzorem
V(x,z=0)V*(x,z=0) = A02 + 2A12 + 4A0A1cos (2πx/d) + 2A12cos(4πx/d ),
(1.7)
gdy pierwszy kosinus cos(πλz/d2) we wzorze (1.6) będzie równy jedności, tzn. gdy z = 2nd2/λ,
n = 1,2,3, ... Dodatkowo, gdy cos(πλz/d2) = -1, czyli dla z = (2n + 1)d2/λ otrzymuje się ten
sam rozkład intensywności, ale przesunięty o pół okresu wzdłuż osi x. Gdy z = (n + ½ )d2/λ
amplituda pierwszej harmonicznej cos (2πx/d) rozkładu intensywności zeruje się. W tym
ostatnim przypadku obserwowana jest więc (poza składową stałą A02 + 2A12) druga
5
harmoniczna 2A12 cos(4πx/d) rozkładu intensywności, a więc prążki interferencyjne o
dwukrotnie mniejszym okresie od okresu obrazowanej siatki.
Wnioski dotyczące poosiowej lokalizacji płaszczyzn samoobrazów (w których powtarza się
rozkład amplitudy z płaszczyzny przedmiotu), wyprowadzone na przykładzie siatki
kosinuosidalnej z trzema rzędami ugięcia, pozostają ważne dla przedmiotów okresowych o
bardziej złożonej transmitancji amplitudowej, np. siatki binarnej, a więc przedmiotów
zawierających wyższe harmoniczne przestrzenne. Oczywiście rozkłady intensywności w
płaszczyznach samoobrazów i płaszczyznach pośrednich zależą od rozważanej transmitancji
przedmiotu. Przykładowo, w przypadku szczególnym amplitudowej siatki binarnej o
współczynniku wypełnienia (s/d) = 0.5, w płaszczyźnie z = (n + ½)d2/λ obserwuje się
jednorodny (stały) rozkład intensywności.
1.3 Przebieg ćwiczenia
Do wykonywania ćwiczenia student otrzymuje zestawiony na ławie optycznej układ
kolimatora dający wiązkę o płaskim czole falowym propagującą się wzdłuż ławy. Na ławie
ustawiane będą elementy optyczne według rys.1.1 w kolejności wynikającej z niżej
przedstawionych zadań. Jako przedmiot wykorzystana będzie binarna amplitudowa siatka
dyfrakcyjna omówiona w poprzednim punkcie instrukcji.
Kolejność wykonywania ćwiczenia:
1. Zaobserwować zmiany w energetycznym widmie Fraunhofera (płaszczyzna P2, rys.1.1)
binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej w funkcji jej okresu przestrzennego „d” i
ustawienia kątowego płaszczyzny siatki względem wiązki oświetlającej (obrót w
płaszczyźnie siatki wokół kierunku propagacji wiązki i obrót pozapłaszczyznowy wokół
osi obrotu równoległej i prostopadłej do linii siatki). Częstości przestrzenne siatek: 10, 25
i 40 linii/mm.
Wykonanie:
Wstawić w płaszczyźnie P2 (rys.1.1) kamerę CCD lub matówkę. Naszkicować lub
zarejestrować przy pomocy kamery CCD i zapisać rozkłady widmowe zaobserwowane w
normalnym położeniu siatki/siatek oraz przy obrotach w płaszczyźnie (wokół normalnej
do płaszczyzny siatki) i obrotach pozapłaszczyznowych (wokół osi obrotu leżącej w
płaszczyźnie siatki, w szczególności osi równoległej i prostopadłej do linii siatki)..
2. Zaobserwować płynną zmianę skali widma częstości przestrzennych siatki.
Wykonanie:
Wstawić siatkę przedmiotową na ławie optycznej pomiędzy obiektywem L1 (rys.1.1) a
kamerą CCD. Przesunąć siatkę maksymalnie blisko obiektywu L1. Zarejestrować przy
pomocy kamery CCD lub naszkicować z matówki obraz widma. Przesunąć siatkę wzdłuż
osi optycznej w kierunku kamery CCD lub matówki. Naszkicować lub zarejestrować
przy pomocy kamery CCD widmo siatki. Opisać charakter zmian skali widma.
3. Uzyskać obrazy binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej o częstości 10 linii/mm w
płaszczyźnie P3 sprzężonej optycznie z płaszczyzną P1, rys. 1.1, tworzone przez:
a) harmoniczne 0 i +1; 0, -1 i +1; -1 i +1 oraz wszystkie harmoniczne jednakowego
znaku z zastosowaniem filtra częstości przestrzennych w płaszczyźnie P2,
b) wszystkie harmoniczne przepuszczane przez układ optyczny L1-L2, bez stosowania
filtra częstości przestrzennych.
Wykonanie:
Wstawić kamerę CCD lub matówkę w płaszczyźnie P3 (rys.1.1). Wstawić siatkę
przedmiotową w płaszczyźnie P1 (rys.1.1). Wstawić filtr częstości przestrzennych w
6
płaszczyźnie P2 (rys.1.1). Wykonać punkty a) i b) rejestrując rozkłady widma przy
pomocy kamery CCD lub szkicując rozkłady intensywności obserwowane na matówce.
Obliczyć rozkłady intensywności dla przypadków interferencji rzędów ugięcia: 0 i +1
oraz –1 i +1. Porównać te rozkłady.
Przykład wyznaczania rozkładu intensywności tworzonego przez rzędy ugięcia 0 i +1:
Ze wzoru (1.2) amplitudy zespolone rzędów ugięcia są równe: a0 i a1exp(i2πx/d).
Rozkład intensywności oblicza się w następujący sposób:
│a0 + a1exp(i2πx/d)│2 = [a0 + a1exp(i2πx/d)] [a0 + a1exp(i2πx/d)]* =
[a0 + a1exp(i2πx/d)] [a0 + a1exp(-i2πx/d)] =
a02 +a12 + a0a1exp(-i2πx/d) + a0a1exp(i2πx/d) = a02 + a12 +2a0a1cos(2πx/d).
Uwaga: * oznacza wielkość sprzężoną.
4. Przeprowadzić górnoprzepustową filtrację częstości przestrzennych.
Wykonanie:
Zablokować niskie częstości przestrzenne w płaszczyźnie widma P2 (rys.1.1).
Zaobserwować wzmocnienie krawędzi (zarysu) przedmiotu. Zarejestrować rozkład
intensywności przy pomocy kamery CCD lub naszkicować obraz obserwowany na
matówce. Wyjaśnić charakter obserwowanego zjawiska.
5. Zaobserwować wpływ przeogniskowania płaszczyzny obserwacji względem płaszczyzny
P3, rys. 1.1, na obrazowanie przedmiotu okresowego w postaci amplitudowej siatki
dyfrakcyjnej o częstości przestrzennej 10 linii/mm.
Wykonanie:
Przy pomocy filtra częstości przestrzennych przepuścić rzędy ugięcia –1,0,+1.
Przemieszczając kamerę CCD lub matówkę obserwować zmieniający się rozkład
intensywności.
Usunąć z układu filtr częstości przestrzennych. Przemieszczając kamerę CCD lub
matówkę w kierunku równoległym do osi optycznej układu obserwować zmieniające się
rozkłady intensywności.
Wyznaczyć odległość samoobrazowania d2/λ, przedyskutować i opisać obserwowane
zmiany intensywności - patrz wzór (1.6).
Uwaga: w położeniu wyjściowym, bez przeogniskowania, płaszczyzna detektora (matrycy
CCD) powinna pokrywać się z płaszczyzną obrazu geometrycznego siatki (płaszczyzna
P3).
6. Stosując jako przedmiot dwuwymiarową okresową strukturę dyfrakcyjną (krzyżową
siatkę dyfrakcyjną) wytworzyć z niej jednowymiarową strukturę okresową za pomocą
filtracji w płaszczyźnie częstości przestrzennych, patrz rys. 1.7.
Ile takich struktur różniących się kierunkiem linii w obrazie można uzyskać?
Sygnał wejściowy
(siatka krzyżowa)
(a)
Transformata
Fouriera
(b)
Filtr
amplitudowy
(c)
Obraz
po filtracji
(d)
Rys 1.7 Przykład operacji filtracji częstości przestrzennych dającej jednowymiarowy okresowy
rozkład intensywności z dwuwymiarowej struktury okresowej (np. siatki krzyżowej lub
dwuwymiarowej matrycy punktów).
7
Uwaga: odpowiedzi na pytania i polecenia wytłuszczone w tekście opisu ćwiczenia
zamieścić w sprawozdaniu.
W sprawozdaniu nie opisywać sposobu wykonania ćwiczenia i wykorzystanego
sprzętu pomiarowego!
1.4 Literatura uzupełniająca
1. J.R. Meyer-Arendt, Wstęp do optyki, PWN, Warszawa, 1977, rozdz. 4.3.
2. W.T. Cathey, Przetwarzanie informacji optycznej i holografia, PWN, Warszawa 1978,
rozdz. 2.
3. M. Pluta, Mikroskopia optyczna, PWN, Warszawa 1982, rozdz. 1.6, 3.3, 3.4.1.
4. K. Gniadek, Optyka fourierowska, WPW, Warszawa 1987.
5. R. Jóźwicki, Teoria odwzorowania optycznego, PWN, Warszawa 1988, rozdz. 3 i 7.
6. R. Jóźwicki, Podstawy inżynierii fotonicznej, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2006.
8