Topologia

Topologia
Wykład 9
Ważne przykłady przestrzeni topologicznych
1. Kostka Hilberta
Definicja 1. Kostka Hilberta H to produkt przeliczalnie wielu odcinków [0, 1] z metryką
określoną wzorem
∞
X
1
d (xn ), (yn ) =
|xn − yn |.
2n
n=1
Stwierdzenie 1. Niech x = (xn )n∈N , x(k) = (xkn )n∈N będą elementami H .
Ciąg (x(k) )k∈N jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ∈ N zachodzi
(k)
limk→∞ xn = xn .
Stwierdzenie 2. Kostka Hilberta H jest homeomorficzna z produktem kartezjańskim
Q∞
1
n=1 [0, n ], w którym metrykę określono wzorem
v
u∞
uX
ρ (xn ), (yn ) = t (xn − yn )2 .
n=1
Dowód. Odpowiedni homeomorfizm produktu
(x1 , x2 , x3 , ...) 7→ (x1 , 2x2 , 3x3 , ...).
Q∞
1
n=1 [0, n ]
na H zapewnia przekształcenie
Stwierdzenie 3. Własności kostki Hilberta:
1. H jest ośrodkowa – ośrodkiem jest zbiór
{(yn ) ∈ QN : ∃n0 ∀n > n0 yn = 0}
2. H jest zupełna.
Twierdzenie 1 (Urysohn). Każda metryczna przestrzeń ośrodkowa jest homeomorficzna
z pewnym podzbiorem kostki Hilberta.
Mówiąc mniej formalnie, kostka Hilberta zawiera wszystkie możliwe niehomeomorficzne
przestrzenie liniowe.
Idea dowodu: Niech X będzie ośrodkową przestrzenią metryczną. Zastępujemy obowiązującą w X metrykę d przez metrykę d¯ równoważną z d, ograniczoną przez 1. Przypisujemy
każdemu x ∈ X ciąg odległości x od kolejnych elementów z ośrodka, tzn. tworzymy prze¯ q1 ), d(x,
¯ q2 ), ...) ∈ H , gdzie {q1 , q2 , ...} jest ośrodkiem w X. To jest
kształcenie x → (d(x,
szukany homeomorfizm.
Zarówno ta przestrzeń, jak i następna będą miały własność mocniejszą niż zupełność.
Są to przestrzenie zwarte.
1
2. Zbiór Cantora
1. Definicja
Niech F0 = [0, 1]. Dzielimy F0 na trzy równe części i wyrzucamy środkową (bez
brzegów) otrzymując F1 = [0, 13 ] ∪ [ 32 , 1]. Następnie każdy z dwóch pozostawionych
odcinków domkniętych dzielimy na trzy równe części i wyrzucamy środkową część
otrzymując F2 = [0, 19 ] ∪ [ 29 , 31 ] ∪ [ 32 , 79 ] ∪ [ 89 , 1]. Postępujemy indukcyjnie według reguły
Fn = Fn−1 \
[ 3k + 1 3k + 2 3n
k∈N
,
3n
.
Zbiór Fn jest sumą 2n odcinków domknietych długości 31n . W szczególności jest więc
domknięty. Definiujemy zbiór Cantora jako zstępujący przekrój
∞
\
C=
Fn .
n=1
Zbiór Cantora C dziedziczy metrykę z odcinka [0, 1], tzn. d(x, y) = |x − y|, możemy
więc mówić o przestrzeni metrycznej (C, d).
2. Reprezentacja w postaci ciągów {0, 1}
Rozważmy zbiór
C̃ =
(∞
X cn
n=1
3n
)
: cn = 0 ∨ cn = 2
⊂ [0, 1].
(Jest to zbiór tych wszystkich liczb z odcinka [0, 1], których rozwinięcie trójkowe nie
wymaga użycia cyfry 1).
P
cn
Łatwo zauważyć, że jeżeli c1 = 0, to liczba ∞
[0, 1 ], a jeżeli
n=1 3n należy do odcinka
P∞ cn
P∞ cn 3
2
c1 = 2, to n=1 3n należy do [ 3 , 1]. Ogólniej, jeśli cN = 0, to n=1 3n należy do
P −1 cn PN −1 cn
PN −1 cn
1
2 PN −1 cn
1
[ N
n=1 3n ,
n=1 3n + 3N ], a jeśli cn = 2, to do [ n=1 3n + 3N ,
n=1 3n + 3N −1 ].
P∞ cn
Albo prościej, jeśli liczba n=1 3n należy do przedziału [ 3Nk−1 , 3k+1
N −1 ] i ma na N -tym
miejscu 0, to wiemy, że jeśli podzielimy ten przedział na trzy równe części, to liczba
ta będzie należeć do pierwszej (lewej) części tego przedziału, a jeśli cN = 2, to do
części ostatniej. Stąd C̃ ⊂ C. Z drugiej strony, każdy element x zbioru C pozwala
P
cn
skonstruować ciąg (cn ) złożony z zer i dwójek tak, by x = ∞
n=1 3n . Mamy więc
C = C̃, czyli otrzymujemy jeszcze inną charakteryzację zbioru Cantora. Przy tym,
jeśli oznaczymy
Ia1 a2 ...an =
(∞
X cn
3n
n=1
)
: ∀i = 1, ..., n ci = ai (ci ∈ {0, 1, 2})
to Ia1 a2 ...an jest pewnym przedziałem [ 3kn , k+1
3n ] i
[
Fn =
(c1 ,...,cn
Ic1 ...cn .
)∈{0,2}n
Dla poprawy estetyki zwykle zastępuje się dwójkę przez jedynkę i otrzymuje reprezentację zbioru Cantora jako zbiór ciągów {0, 1}N . Metrykę wprowadza się standardowo
ρ (xn ), (yn ) =
∞
X
|xn − yn |
n=1
2
2n
.
Wtedy przekształcenie π : {0, 1}N → C dane wzorem
π (xn ) =
∞
X
2xn
n=1
3n
jest homeomorfizmem.
3. Własności zbioru Cantora
Stwierdzenie 4. Zbiór Cantora jest nieprzeliczalny.
Dowód. Wiemy, że {0, 1}N jest nieprzeliczalny, a jest równoliczny ze zbiorem Cantora.
Stwierdzenie 5. (C, d) jest przestrzenią zupełną.
Dowód. C jest zbiorem domkniętym w R (przekrój domkniętych), a (R, d) jest zupełna.
Stwierdzenie 6. Zbiór Cantora jest zbiorem brzegowym w [0, 1] (i w R).
Dowód. Na ćwiczeniach.
Stwierdzenie 7. Zbiór Cantora jest przestrzenią ośrodkową.
Dowód. Na ćwiczeniach. Wskazówka: proponuję skorzystać z reprezentacji zbioru Cantora jako {0, 1}N . Rozważyć zbiór tych ciągów (xn ), których elementy przyjmują wartość 1 skończenie wiele razy.
Stwierdzenie 8. Zbiór Cantora nie ma punktów izolowanych (tzn. każdy punkt zbioru Cantora jest jego punktem skupienia).
Dowód. Na ćwiczeniach.
4. Ciekawe twierdzenia podkreślające ważność zbioru Cantora.
Twierdzenie 2. Odcinek [0, 1] jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.
Idea dowodu: Potraktujmy C jako {0, 1}N . Odpowiednią ciągłą surjekcją jest funkcja:
ϕ(x1 , x2 , ...) =
x1 x2 x3
+
+
+ ...
2
4
8
zwana „schodami Cantora”. Ta funkcja zamienia ciągi zero-jedynkowe na rozwinięcia
dwójkowe liczb z odcinka. Nie jest różnowartościowa, bo np. ciąg 1000... i 01111...
kodują tę sama liczbę. Ale można pokazać, że jest ciągła i na.
Lemat 1.
(a) Produkt kartezjański zbioru Cantora ze sobą C × C jest homeomorficzny ze
zbiorem Cantora.
3
(b) Produkt kartezjański przeliczalnie wielu kopii zbioru Cantora C × C × C × ...
jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora.
Idea dowodu: Utożsamiamy C z {0, 1}N .
(a) Definiujemy homeomorfizm π : C → C × C wzorem
π (x1 , x2 , x3 , ...) = (x1 , x3 , x5 , ...), (x2 , x4 , x6 , ...)
Dość łatwo zrozumieć, że π jest różnowartościowe i „na”. Aby dowodzić ciągłości (zarówno π, jak i π −1 ) trzeba wybrać metrykę w C × C, np. d1 ((a1 , a2 ), (b1 , b2 )) =
d(a1 , b1 ) + d(a2 , b2 ), gdzie d jest metryką w C.
(b) Obrazem (x1 , x2 , x3 , ...) jest ciąg (y1 , y2 , y3 , ...), gdzie yn jest n-tym wierszem poniższej macierzy nieskończonej
y1 = (x1 , x2 , x4 , ...)
y2 = (x3 , x5 , ... ...)
y3 = (x6 , ... ... ...)
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
Twierdzenie 3. Kostka Hilberta jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.
Idea dowodu: Niech ϕ oznacza ciągłe przekształcenie {0, 1}N na [0, 1] (jak w Tw. 2),
a pi oznacza homeomorfizm C na C × C × C × ... (jak w Tw. 1). Wtedy definiujemy
ciągłą surjekcję ψ : {0, 1}N → H kładąc dla x ∈ {0, 1}N :
(x1 , x2 , x3 , ...) = π(x)
ψ(x) = (ϕ(x1 ), ϕ(x2 ), ϕ(x3 ), ...)
4