Logika - Katedra Logiki, Informatyki i Filozofii Nauki, Uniwersytet w

Transkrypt

Kazimierz Trzęsicki
Logika
Nauka i sztuka
Białystok 2006
4
Wyd. III, poprawione i poszerzone. Wersja elektroniczna.
Spis treści
1 Język
1.1 Pojęcie języka i jego funkcje . . . . . . . . . .
1.1.1 Pojęcie języka . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Funkcje języka . . . . . . . . . . . . .
1.2 Budowa i znaczenie wyrażeń . . . . . . . . . .
1.3 Kategorie wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Zdanie i prawdziwość . . . . . . . . . .
1.3.2 Nazwa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Predykaty, relacje, funkcje . . . . . . .
1.3.4 Spójniki . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Słówka kwantyfikujące . . . . . . . . .
1.3.6 Znaki interpunkcyjne i akcent logiczny
1.3.7 Tekst . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Błędy w słownym przekazywaniu myśli . . . .
2 Rozumowania i argumentacja
2.1 Uznawanie i uzasadnianie . . . . . . . . . .
2.2 Wynikanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wnioskowanie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Wnioskowanie dedukcyjne . . . . . .
2.3.2 Dowód wprost i dowód niewprost . .
2.3.3 Wnioskowanie uprawdopodobniające
2.3.4 Wnioskowanie redukcyjne . . . . . .
2.3.5 Indukcja enumeracyjna . . . . . . . .
2.3.6 Indukcja matematyczna . . . . . . .
2.3.7 Wnioskowania statystyczne . . . . .
2.3.8 Klasyfikacja rozumowań . . . . . . .
2.4 Argumentacja . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Z dziejów teorii argumentacji . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
18
25
37
38
49
72
88
108
113
117
124
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
141
143
152
156
156
159
166
171
173
178
180
222
226
227
6
SPIS TREŚCI
2.5
2.4.2
2.4.3
2.4.4
Błędy
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
2.5.6
2.5.7
2.5.8
2.5.9
Pojęcie argumentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Zasady argumentowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Metody argumentowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
w rozumowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Błędy wieloznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Non sequitur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Petitio principii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Non causa pro causa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Błąd uznania następnika i błąd odrzucenia poprzednika 258
Błędy nieuzasadnionego uogólnienia i prowincjonalizmu 261
Błędy reguły i wyjątku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Paradoksy logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Rola błędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3 Wynikanie, schematy i prawa logiki
3.1 Klasyczna logika zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Język klasycznego rachunku zdań . . . . . . . .
3.1.2 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Wynikanie w klasycznej logice zdań . . . . . . .
3.1.4 Schematy i prawa logiki zdań . . . . . . . . . .
3.2 Logika kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Sylogistyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Klasyczna logika predykatów . . . . . . . . . .
3.3 Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych
3.3.2 Reguły tworzenia dowodu założeniowego . . . .
3.4 Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Konceptualizacja, definiowanie . . .
4.1 Konceptualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ekstensjonalna i intensjonalna charakterystyka zakresów nazw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Podział logiczny i klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Partycja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Definicja przez abstrakcję . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Pojęcia porządkujące i typologiczne . . . . . . . . . . .
4.2 Definiowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Budowa definicji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Podział definicji ze względu na pełność . . . . . . . . .
4.2.3 Podział definicji ze względu na sposób definiowania . .
275
277
277
279
284
287
294
295
315
339
339
342
348
365
366
367
371
376
378
380
385
385
386
389
SPIS TREŚCI
4.3
4.2.4 Podział definicji ze względu na stylizację
4.2.5 Podział definicji ze względu na zadania .
4.2.6 Granice definiowania . . . . . . . . . . .
4.2.7 Poprawność definicji . . . . . . . . . . .
Eksplikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
390
391
395
396
407
5 Pytanie i odpowiedź
411
5.1 Budowa i rodzaje pytań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
5.2 Rodzaje odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
5.3 Praktyczne problemy stawiania pytań . . . . . . . . . . . . . 422
8
SPIS TREŚCI
Wstęp
Logika jako nauka, czyli teoretyczne i metodyczne dociekanie nad sposobami
rozumowania i wypowiadania myśli, powstała w starożytnej Grecji. Prawa
logiki są powszechne, to znaczy, że stosują się do wszystkich bez wyjątku rozumowań, niezależnie od tego, jakiej dziedziny przedmiotowej rozumowania
te dotyczą. Prawa logiki są również konieczne, to znaczy, że rozumowania
z nimi niezgodne są niepoprawne.
Idei logiki jako nauki o powszechnych i koniecznych prawach rozumowania możemy doszukiwać się w tekstach Platona (427–347 p.n.e.) — co nie
znaczy jednak, że Platon taką ideę miał. W dialogu Timajos, 47c pisze:
Co się nas tyczy, powiemy, że Bóg wynalazł wzrok i obdarzył
nas nim, abyśmy oglądając na niebie periodyczne ruchy rozumu
wykorzystali je w obrotach naszego rozumu, które są spokrewnione z tamtymi ruchami, chociaż są one uporządkowane, a te
w nas bywają niekiedy zakłócone; ponadto, byśmy studiując te
ruchy na niebie naśladowali ruchy Boskie, które nie dopuszczają
żadnego błędu, i poprawiali nieregularność ruchów w nas.
Arystoteles (384–322 p.n.e.) jest autorem traktatów logicznych, które
później nazwano Organon (narzędzie). Zawierają one pierwsze systematyczne badanie praw myślenia ze względu na pozyskiwanie wiedzy. Tworzą
faktycznie pierwszą próbę uczynienia z logiki nauki i w konsekwencji czynią
zasadne nazwanie ich autora twórcą logiki. Arystoteles nadał logice tak doskonały kształt, że jeszcze w XVIII w. Immanuel Kant (1724–1804) uważał,
że prawie niczego już do niej nie można dodać. Pisał, że logika1 :
od czasów Arystotelesa nie musiała zrobić żadnego kroku wstecz
[. . . ]. Osobliwe jest jeszcze to, że nie mogła dotychczas zrobić
1
I. Kant, Krytyka czystego rozumu, tłum. R. Ingarden, Warszawa 1986, B VIII; s. 21–
22.
9
10
WSTĘP
także ani kroku naprzód i że przeto wedle wszelkich danych wydaje się zamknięta i wykończona.
Historycy idei dociekają powodów zrodzenia się w starożytnej Grecji filozofii i nauki, bo przecież żadna inna cywilizacja nie stworzyła wystarczających zalążków tego, co przesądza o obliczu współczesnego świata. Rozwój
filozofii i nauki wymagał dociekań nad ich narzędziem: logiką. Być może logika rozwinęła się w Grecji i dlatego, że demokratyczny ustrój miast greckich
umożliwiał i czynił pożyteczną sztukę dyskutowania oraz poprawnego rozumowania i skutecznego argumentowania. Wartości te dostrzegali również
teoretycy demokracji amerykańskiej. Zdaniem Thomasa Jeffersona (1743–
1826) idea demokratycznego samo-rządzenia opiera się na rozumie a nie na
sile. W państwie demokratycznym, którego obywatele mają być kierowani
przez racje i perswazję, a nie przez siłę, sposób rozumowania nabiera pierwszorzędnego znaczenia. W 1815 r. w liście do Lafayette’a pisał:
Instead of that liberty which takes root and growth in the progress of reason, if recovered by mere force or accident, it becomes
with an unprepared people a tyranny still of the many, the few,
or the one.
Dziś, gdy świat coraz bardziej rządzony jest demokratycznie, gdy argument siły zastępowany jest przez siłę argumentów, greckiemu wynalazkowi
demokracji towarzyszy potrzeba znajomości innego greckiego wynalazku: logiki. Podobnie jak w starożytnych akademiach, średniowiecznych ośrodkach
edukacyjnych i uniwersytetach Oświecenia, logika zajmuje ważne miejsce
w działalności naukowej i dydaktycznej współczesnych szkół.
Można sądzić, że istotnym powodem wzrastającego znaczenia logiki jest
też rozwój techniki komputerowej i powszechność jej zastosowań. Jak maszyny są wielokrotnie sprawniejsze niż człowiek w wykonywaniu pracy fizycznej, tak komputery w coraz większym zakresie sprawnie zastępują człowieka
w pracy umysłowej, pozostawiając do wykonania człowiekowi to, co najbardziej ludzkie: rozumowanie. Efektywność maszyn i możliwości komputerów
czynią, że realizacja zadań zależy prawie wyłącznie od sprawnego i poprawnego rozumowania posługującego się nimi człowieka.
Współcześnie najważniejszym i podstawowym działem logiki jest logika
matematyczna2 . G. W. Leibniz (1646–1716) był pierwszym myślicielem,
który w sposób wyraźny sformułował koncepcję logiki jako rachunku. Projektował on naukę, którą określał jako mathesis universalis; miała to być
2
Logika matematyczna to teoria rozumowań matematycznych lub — co mamy tu na
uwadze — logika uprawiana metodami matematycznymi, rachunkowymi.
WSTĘP
11
matematyka obejmująca logikę, metafizykę, a nawet teologię. Dla zadań tej
nauki potrzebny był język symboliczny (linqua characteristica), a samo uzyskiwanie wiedzy miało się dokonywać za pomocą rachunku (calculus ratiocinator ). Pierwszymi logikami, których prace są realizacjami takiego pomysłu,
byli G. Boole (1815–1864) i G. Frege (1848–1925), który świadomie nawiązał
do Leibniza. Prace Boole’a, z których najważniejsze są The mathematical
analysis of logic (1847) i An investigation of the laws of thought (1854) oraz
prace Fregego, z których podstawową jest Begriffschrift 3 (1879), dały właściwy początek współczesnej logice formalnej. Istotny wkład w rozwój tej
nauki wnieśli logicy polscy. Jeden z działów logiki, mianowicie logika zdań,
była w okresie międzywojennym uznawana w świecie za polską specjalność.
Logika formalna jest podstawowa z punktu widzenia teorii logiki, stanowi
właściwą teorię rozumowań. Rachunek logiczny stosuje się jednak do specjalnego języka, różnego od języka naturalnego, w którym na co dzień przeprowadzamy rozumowania. Z punktu widzenia zastosowania rachunku logicznego konieczny jest więc «przekład» z języka naturalnego na język logiki
formalnej. Przekład taki zaś wymaga aparatu pojęciowego, który umożliwia
analizę logiczną języka naturalnego. Takiego aparatu pojęciowego dostarcza
semiotyka logiczna4 .
Logika formalna jest teorią, która jako taka nie musi być w pełni znana,
aby mogła być stosowana. Umiejętnie rachujemy wcale nie zajmując się teorią arytmetyczną. Sprawnie korzystamy z komputerów nie studiując zasad
budowy i nie studiując zasad programowania. Mając na uwadze praktyczne
wykorzystanie logiki wystarczy więc ograniczyć znajomość do tych wyników i fragmentów logiki formalnej, które mogą być zastosowane w pracy np.
prawnika. Logika praktyczna obejmuje więc to, co można określić mianem
logiki nieformalnej, albo też semiotyki logicznej i te wyniki logiki formalnej,
które mają charakter narzędziowy i mają przełożenie na zadania praktyczne,
które stoją przed współczesnym człowiekiem.
Logika jest jedną z najstarszych nauk. Niektóre jej dawne osiągnięcia
nawet w tych działach, które lepiej i trafniej ujmuje logika współczesna,
są przedmiotem współczesnych studiów i nauczania, jak to jest w wypadku
sylogistyki, której znajomość jest ważna dla np. teologów a także prawników.
Mimo że łacina przestała być językiem nauki, podobnie jak wcześniej
greka — filozofii, nauka i filozofia czerpią ze skarbca i łaciny, i greki. Stworzona dawniej terminologia, głównie pochodząca ze średniowiecza, utrzymuje
się do dziś. Tu też pozostaniemy przy wielu tradycyjnych terminach mając
3
4
Ideografia
Greckie σηµ²ιoν znaczy tyle, co „znak”.
12
WSTĘP
na uwadze i to, że ich znajomość ułatwia rozumienie np. nie tak jeszcze
dawnych tekstów prawniczych.
Logika jest nauką (logica docens). Logika jest również sztuką (logica
utens). O logice mówimy bowiem też jako o pewnej umiejętności, sprawności
w jasnym komunikowaniu myśli, poprawnym rozumowaniu i skutecznym argumentowaniu. Kto posiadł tę umiejętność, ten potrafi sprawnie realizować
swoje cele poszerzając wiedzę i pozyskując innych. Kto posiadł umiejętność
krytycznej oceny sensu czyjejś wypowiedzi, umie ocenić rozumowanie i nadać
właściwą wagę czyimś argumentom, ten będzie wolny od poddania się presji
komercyjnych mediów, przyrzeczeń polityków itp.
Logika nieformalna ma na celu ocenę, analizę i usprawnienie komunikowania i nieformalnych rozumowań, z którymi mamy do czynienia na co dzień
w różnych mediach i w kontaktach z innymi, w reklamach i debatach politycznych oraz w argumentacji prawniczej. Choć w wielu wypadkach właściwe
wydają się rozwiązania, których nie znajdujemy w logice klasycznej, to jednak logika klasyczna wciąż pozostaje podstawowym narzędziem wszelkiego
krytycznego myślenia.
Sztuka logiki możliwa jest bez podręcznikowej znajomości logiki. Można
poprawnie mówić nie znając teorii gramatycznej. Uczymy się jednak gramatyki i wiemy, jak bardzo ta znajomość jest przydatna tym, którzy dbają
o poprawność języka. Jak sama znajomość gramatyki nie gwarantuje jeszcze
poprawności gramatycznej wypowiedzi, tak znajomość logiki nie gwarantuje
poprawności logicznej. Są to sprawności i jak każda sprawność wymagają
stałego ćwiczenia. Niniejszy podręcznik ma pomóc w usprawnieniu naszych
umiejętności jasnego i jednoznacznego wypowiadania się, poprawnego rozumowania i skutecznego argumentowania.
Unika się na tyle, na ile to możliwe, wchodzenia w problematykę i terminologię, która ma znaczenie dla samej logiki jako teorii. Jeżeli jednak mówimy o zastosowaniu teorii logiki, to musimy zapoznać się z tym, co mamy
stosować. Współcześnie wykład logiki formalnej rozpoczyna się od rachunku
zdań. Wykład rachunku predykatów, na którym kończymy przedstawianie
logiki formalnej, poprzedzony jest omówieniem sylogistyki. Od strony teoretycznej wyniki sylogistyki stanowią fragment rachunku predykatów. Od
strony dydaktycznej ułatwia ona zrozumienie tego rachunku. Jej wykład
jest pouczający, bowiem jest ona dydaktycznie dobrze opracowana a język
sylogistyki, będąc bliższym językowi naturalnemu niż język logiki współczesnej, nie stwarza specjalnych problemów w jej zastosowaniach do rozumowań
przeprowadzanych w języku naturalnym. W wykładzie rachunku zdań i rachunku predykatów ograniczamy się do podstawowych pojęć i metod oceny
wnioskowań jako dedukcyjnych.
WSTĘP
13
Przyświecają nam cele praktyczne, stąd dużą wagę przywiązuje się do
przykładów. Znajdujemy ich wiele rozwiązując własne problemy, w kontaktach z innymi, w środkach społecznego przekazu. Dla bardziej wyrazistego
ukazania problemu lepiej nadają się przykłady sztuczne, zwykle cechuje je
jednak swoista naiwność: trudno uwierzyć, że ktoś popełnia aż tak proste
błędy. Żywe przykłady z mediów, reklam i debat ukazują za to rzeczywisty
charakter problemu. Do poszczególnych działów dołączmy zadania, których
rozwiązanie ma ułatwić zrozumienie wyłożonego materiału, usprawnić korzystanie z niego i utrwalić umiejętności.
14
WSTĘP
Rozdział 1
Język
1.1
Pojęcie języka i jego funkcje
Językiem posługujemy się na co dzień przede wszystkim w celu porozumiewania się. Używamy języka polskiego. Uczymy się angielskiego, niemieckiego
lub innego języka, którym posługuje się jakiś naród. Najbardziej powszechnym sposobem użycia języka jest mowa. Tekst pisany jest najstarszym i najczęstszym sposobem utrwalania komunikatu językowego. Dziś powszechne
staje się przechowywanie tekstów w formie zapisu elektronicznego, np. na
dysku komputerowym, a ich przekaz odbywa m.in. się za pomocą poczty
elektronicznej. Rodzi sie pytanie, czym jest język, jaka jest jego natura.
Z pytaniem tym bezpośrednio wiąże się pytanie o funkcje języka, o to, do
czego on służy.
1.1.1
Pojęcie języka
Język jest systemem znaków. To określenie języka wymaga objaśnienia tego,
co to jest znak i co to jest system.
Definicja 1.1. Znak to typ rzeczy (przedmiotów materialnych), co do którego istnieje umowa pewnej społeczności ludzkiej, do czego przedmioty tego
typu odnoszą się, jak je należy rozumieć.
Rzecz, materialny substrat znaku, może być znakiem ze względu na swój
kształt, jak jest w wypadku znaków języka pisanego, lub ze względu na typ
brzmienia, jak jest w wypadku języka mówionego. Pismo Braille’a, którym
posługują się niewidomi, wykorzystuje typ odczuć dotykowych, zaś w wypadku języka migowego rolę znaków pełnią typy ruchów (rąk).
15
16
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Najogólniej biorąc każdy zmysł może być wykorzystany do utworzenia
znaku. Mogą więc być znaki: wzrokowe, słuchowe, dotykowe, węchowe, smakowe, równowagi.
Zrozumienie znaku wymaga poznania umowy danej społeczności, konwencji jak ten znak należy rozumieć. Konwencję dotyczącą znaków języka,
którym posługujemy się jako członkowie danej społeczności, «wysysamy
z mlekiem matki» w trakcie przekazu kulturowego. Odczytanie pisma starożytnego Egiptu, hieroglifów, było możliwe po ustaleniu zasad, którymi
starożytni Egipcjanie kierowali się w ich rozumieniu jako znaków. Czasem
twórcy języka celowo ograniczają krąg osób rozumiejących znaki, jak to ma
miejsce w wypadku szyfru. Znak ze względu na to, że wymaga umowy jest
czymś charakterystycznym dla człowieka jako istoty społecznej.
Typy znaków można wyróżniać ze względu na typ konwencji i zakres
dostępności umowy. Mówi się więc o haśle, sygnale, symbolu, kodzie itp.
Znak ikoniczny to znak, którego forma graficzna jest jakoś podobna do tego,
na co wskazuje. Z powodu tego podobieństwa znaki ikoniczne są łatwe do
zapamiętania oraz łatwe do zrozumienia. Znakami ikonicznymi sa znaki
drogowe. Szczególnie rolę odgrywają w informatyce. Ikonki wykorzystywane
są do tworzenia interfejsu graficznego użytkownika.
Oznaka (objaw, symptom, ślad) podobnie jak znak jest rzeczą odnoszącą się do czegoś. Od znaku różni się przede wszystkim tym, że ma
charakter naturalny, czyli to, do czego się odnosi, nie jest przedmiotem jakieś umowy, lecz jest wyznaczone przez porządek naturalny. Dym jest w porządku naturalnym oznaką ognia. Dym może też być znakiem. Na to jednak,
aby wiedzieć czego jest znakiem, trzeba znać odpowiednią umowę. W czasie
konklawe dym wydobywający się z komina Kaplicy Sykstyńskiej w zależności od barwy jest znakiem tego, czy wybrano nowego papieża, czy też nie.
Ktoś, kto nie zna stosownej umowy, będzie widział tylko dym. Ktoś, kto zna
umowę, widząc kolor dymu będzie wiedział, jaki przebieg mają wybory. Aby
widząc dym kojarzyć go z ogniem, nie trzeba znać żadnej umowy takiej lub
innej społeczności. Pszczoły «informują się» o miejscu, w którym są kwiaty
za pomocą specjalnego tańca. Taniec ten jest «zrozumiały» dla wszystkich
pszczół danego gatunku, jednak nie dlatego, żeby w obrębie gatunku istniała
jakaś umowa, lecz dlatego, że gatunek ten zgodnie z prawami przyrody tak
a nie inaczej reaguje na bodźce naturalne. Badacze życia pszczół od badaczy
pisma węzełkowego Inków różnią się tym, że ci pierwsi poszukują prawa rządzącego reakcjami pszczół na bodźce pochodzące z «tańca», a ci drudzy dążą
do odtworzenia umowy, według której Inkowie rozumieli swoje «węzełki».
Lekarz na podstawie oznak stawia diagnozę, mając na uwadze naturalny
związek między tymi oznakami a chorobą, a nie ze względu na to, że w da-
1.1. POJĘCIE JĘZYKA I JEGO FUNKCJE
17
nej społeczności obowiązuje jakaś umowa co do rozumienia poszczególnych
danych o stanie zdrowia pacjenta, jako znaku jakiejś choroby. Społeczność
i lekarz mogą żywić przekonanie, że takie a takie objawy (oznaki) wskazują
na taką a taką chorobę. Lekarz powinien odrzucić takie przekonanie, jeśli są
tylko wystarczające racje, że tak naprawdę nie jest.
Języki możemy dzielić ze względu na typ rzeczy używanych na znaki
w tych językach. Najczęściej są to brzmienia, jak jest w wypadku języka
mówionego, lub napisy, jak jest w wypadku języka pisanego.
Języki możemy też dzielić ze względu na rodzaj konwencji. W wypadku
języka naturalnego sposób rozumienia jego znaków jest wynikiem historycznego procesu rozwoju tego języka i jest elementem przekazu kulturowego,
który dokonuje się poprzez wychowanie i kształcenie. Takie języki, są nimi
języki poszczególnych narodów, są językami naturalnymi. Język sztuczny
to język, który powstał w wyniku świadomego zamiaru stworzenia języka,
a umowa co do rozumienia jego znaków jest przedmiotem decyzji jego twórców. Przykładem języka sztucznego może być esperanto. Język nauki jest
oparty na języku naturalnym, a wzbogacany jeszcze o nowe znaki decyzjami
poszczególnych naukowców z danej dyscypliny i podlegający akceptacji środowiska naukowego. Szczególnymi językami są języki programowania, czyli
języki którymi «komunikujemy się» z komputerem.
Wyróżnienie języków dokonywane jest ze względów metodologicznych
również w ramach jednej dyscypliny. Prawnicy odróżniają język prawny
jako język aktów prawnych. W tym języku pisane są teksty publikowane
w np. Dzienniku Ustaw i Monitorze Polskim. Język prawniczy to język,
którym posługują się prawnicy, zarówno teoretycy jak i praktycy. W języku
tym komentuje się i interpretuje teksty języka prawnego. Język prawniczy
byłby więc językiem drugiego stopnia.
Mając na uwadze określenie języka jako systemu znaków możemy wyróżnić trzy aspekty, w których może być on opisywany i badany:
1. syntaktyczny, czyli dotyczący stosunków między wyrażeniami języka
— bo znaki zestawiane są zgodnie z jakimiś regułami;
2. semantyczny, czyli dotyczący stosunku języka do rzeczywistości, do
mówienia o której ten język służy — bo znaki odnoszą się do czegoś;
3. pragmatyczny, czyli dotyczący stosunków między językiem a jego
użytkownikiem — bo na to, by jakiś typ rzeczy był znakiem potrzeba,
by była społeczność, która go stworzyła i społeczność ta czymś kierowała się tworząc ten znak i tworząc go takim a nie innym.
18
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Te trzy stosunki: syntaktyczny, semantyczny i pragmatyczny pozostają
w zależnościach do siebie. A mianowicie pragmatyczny stosunek zakłada stosunki: semantyczny i syntaktyczny, a stosunek semantyczny zakłada stosunek syntaktyczny. Możemy badać system znaków rozważając tylko stosunki
między znakami, czyli ograniczając się do aspektu syntaktycznego. Jeśli
jednak chcemy rozważać aspekt semantyczny znaku, to musimy uwzględnić
aspekt syntaktyczny. To, jak kształtuje się relacja znaku do rzeczywistości, wymaga uwzględnienia znajomości tego, jak odnoszą się znaki do siebie.
Stosunek pragmatyczny zakłada zaś oba pozostałe stosunki: syntaktyczny
i semantyczny. Można bowiem rozważać stosunek znaku do użytkownika
tylko ze względu na stosunek znaku do rzeczywistości, a to nadto wymaga
również uwzględnienia stosunku znaków do siebie.
Reguły syntaktyczne umożliwiają tworzenie znaków ze znaków. Układ
znaków — zwykle jest to skończony ciąg — jest znakiem, gdy jest zbudowany
zgodnie z regułami syntaktycznymi.
Definicja 1.2. Znak złożony to znak zbudowany ze znaków zgodnie z regułami syntaktycznymi.
Definicja 1.3. Znak prosty to znak, który nie jest złożony.
Zauważmy, że znaki jako przedmioty materialne są złożone fizycznie. Sam
fakt, że w jakimś znaku dałoby się wyróżnić fragment, który oddzielnie jest
znakiem nie oznacza, że znak jest złożony. Warunkiem złożenia jest bowiem
to, aby znak ten jako całość dał się przedstawić jako zbudowany tylko ze
znaków.
Naukę o znakach i ich funkcjach nazywa się „semiotyką”. Już sofiści
(Kratylos i inni) oraz Platon okazjonalnie poruszali problemy semiotyczne.
Systematyczne ujął ją jednak dopiero Arystoteles. Podziału semiotyki na
syntaktykę, semantykę i pragmatykę dokonał Ch. Morris, od którego pochodzi też nazwa tej dziedziny wiedzy. Użycie terminu „semantyka” na oznaczenie badań nad stosunkami między znakiem a tym, czego jest to znak, zostało
uznane w nauce dzięki Alfredowi Tarskiemu, światowej sławy logikowi polskiemu.
1.1.2
Funkcje języka
Język jest pewnego rodzaju narzędziem. Omówimy cztery podstawowe funkcje tego narzędzia, a mianowicie:
1. przekazywania informacji,
19
2. wyrażania lub wywoływania stanów wewnętrznych,
3. powodowania działania lub powstrzymywania od działania,
4. zobowiązywania się użytkownika języka do czynienia czegoś lub do nieczynienia czegoś.
Zadaniem pierwszej z tu wymienionych funkcji, funkcji informacyjnej,
jest przekazywanie informacji o tym jak jest lub jak nie jest. Ta rola z punktu
widzenia logiki jest pierwotną funkcją języka. Logika zajmuje się językiem
przede wszystkim pod kątem jej prawidłowego wypełniania.
Informacja może być twierdząca, czyli głosząca, że taki a taki jest stan
rzeczy, bądź przecząca, czyli głosząca, że tak a tak nie jest w rzeczywistości, o której traktuje ta informacja. Informacja może być prawdziwa, czyli
zgodna ze stanem rzeczy, bądź fałszywa, czyli niezgodna z nim. Używamy języka w funkcji informacyjnej, gdy opisujemy jakiś stan rzeczy. Może to być
rzeczywistość postrzegana na co dzień lub może to być świat rzeczywisty,
dany w doświadczeniu naukowym. Nie ma tu znaczenia, czy przekazywana
informacja jest doniosła, czy błaha, ogólna, czy szczegółowa.
Przykładem użycia języka w funkcji informacyjnej jest tekst naukowy.
Raport, list handlowy są również tekstami, w których język wykorzystany
jest jako środek informowania. Nie znaczy to oczywiście, że język użyty
w funkcji przekazu informacji nie może niejako ubocznie wypełniać innych
ról i nie tylko informować, ale także np. powodować stany emocjonalne. Matematycy doceniają piękno tworzonych przez siebie teorii. Raport bankowy
może budzić zgoła inne emocje u tego, kogo informuje o zyskach, a inne
u tego, kogo informuje o stratach. W wypadku takich tekstów wywoływanie
emocji nie jest zamierzone, a w każdym razie nie jest pierwszoplanowe.
Ważną kategorią oceny wypowiedzi w funkcji informacyjnej jest wielkość informacji. Ocena ta może mieć charakter obiektywny lub subiektywny.
Miernikiem wielkości informacji dla kogoś (charakter subiektywny) może być
stopień oczekiwania przez osobę informowaną tego, że zajdzie sytuacja, o której traktuje ta wypowiedź. Prawdziwy komunikat może dla kogoś nie mieć
żadnej wartości informacyjnej, jeśli ten ktoś już wiedział o tym, co jest zawarte w treści komunikatu. Wielkość informacji w sensie obiektywnym może
być mierzona przez prawdopodobieństwo zajścia sytuacji opisywanej przez
ten komunikat: im mniejsze prawdopodobieństwo tym większa informacja.
Informacja może być doniosła (obiektywnie) lub doniosła dla kogoś (subiektywnie), gdy może być wykorzystana dla celów praktycznych, odpowiednio,
powszechnych lub indywidualnych; im więcej korzyści lub strat tym informacja bardziej doniosła. Informacja o pożarze fabryki jest doniosła dla tego,
20
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
kto był jej właścicielem i dla właściciela innej firmy, która może przejąć zamówienia. Błaha zaś i bez znaczenia dla kogoś, kto z tego tytułu nie odniesie
ani korzyści, ani strat.
Wypowiedzi w funkcji informacyjnej oceniane są przede wszystkim w kategoriach epistemologicznych, poznawczych. Podstawowymi zaś wartościami
epistemologicznymi są prawda i fałsz. Wypowiedzi w funkcji informacyjnej
oceniane sa więc głównie jako prawdziwe albo fałszywe.
Tekst literacki jest przykładem użycia języka w funkcji wyrażania lub wywoływania stanów wewnętrznych, inaczej, w funkcji ekspresywnej. Zadaniem tekstu literackiego nie jest informowanie o faktach, co nie znaczy, że nie
może być o nich mowy, mogą one nawet stanowić osnowę dzieła literackiego,
jak jest w wypadku powieści historycznej. Celem nie jest przedstawianie teorii, co nie znaczy, że pisarz nie był inspirowany jakąś teorią, której dał literacki wyraz, jak to ma miejsce w wypadku literatury science fiction. Istotne
dla tekstu literackiego jest dawanie wyrazu pewnym emocjom i wzbudzanie
emocji u czytelnika.
Jak wypowiedzi w funkcji informacyjnej oceniane są przede wszystkim
w kategoriach poznawczych, tak w wypadku ekspresywnej funkcji języka tymi
podstawowymi kategoriami są kategorie estetyczne, np. piękno i brzydota.
W wypadku użycia języka w funkcji 3, w funkcji dyrektywnej, na plan
pierwszy wysuwa się powodowanie jakiegoś działania lub zakazywanie czynienia czegoś. Tego typu użycie jest charakterystyczne dla tekstów prawniczych:
ustaw i przepisów. Funkcję dyrektywną tekst pełni w reklamie. W tej roli
występują zdania rozkazujące i pytajne języka potocznego. Kiedy mówię:
Zamknij okno!, nie zamierzam informować o czymś i nie dążę do budzenia
jakichś emocji, lecz przede wszystkim chodzi o spowodowanie określonego
działania: zamknięcia okna. Nie kradnij! zakazuje pewnego działania. Zdanie pytajne różni się formą jako wypowiedź od zdania rozkazującego. Daje się
jednak całkowicie na wypowiedź rozkazującą przełożyć. Kiedy pytam: Która
jest teraz godzina?, to w istocie domagam się pewnego działania, którym będzie odpowiedź na moje pytanie. Z powodzeniem mogę więc powiedzieć,
jeśli pominąć względy grzecznościowo-stylistyczne: Powiedz, która jest teraz
godzina!. Polecenie działania i zakaz mogą być wykonalne lub nie. Osoba,
osoby, do których skierowane jest polecenie lub zakaz, mogą się im poddać,
wykonać co nakazują lub zakazują, albo nie. Nie powiemy jednak o zdaniach rozkazujących i pytajnych, jak to ma miejsce dla zdań informujących,
że są prawdziwe lub nie. Oczywiście, takie wypowiedzi muszą nieść informacje pozwalające zidentyfikować te działania. Takie wypowiedzi mogą budzić
emocje zarówno z powodu formy, w jakiej zostały wypowiedziane (grzecz-
21
nie lub nie), jak też z powodu tego, co nakazują lub czego zakazują. Dla
«wzmocnienia» tekstu w funkcji dyrektywnej można też wzbudzać emocje.
Publiczne wystąpienie np. na wiecu ma na celu podjęcie przez uczestników
jakiś działań, np. oddanie w wyborach głosu na przemawiającego. Autor
takiego wystąpienia może nie tylko ujawniać swoją postawę i emocje, ale
może poprzez budzenie emocji uczestników wiecu dążyć do osiągnięcia swojego celu. W tym wypadku wyrażanie i wzbudzanie emocji nie jest celem
jak w wypadku funkcji ekspresywnej, lecz jest środkiem do celu, jakim jest
oczekiwane działanie.
Wypowiedzi nakazujące jakieś działania lub je zakazujące, czyli wypowiedzi w funkcji dyrektywnej oceniamy w kategoriach pragmatycznych, a więc
przede wszystkim jako skuteczne lub nie.
Przyrzeczenia, zobowiązania, potwierdzenia są rodzajami wypowiedzi,
w których na plan pierwszy wysuwa się funkcja 4, funkcja zobowiązywania się. Kiedy mówię: rzucę palenie, kiedy mówię: na następnych zajęciach
będziemy kontynuowali temat, to przyrzekam coś, zobowiązuję się do czegoś.
Kontrakt, umowa, rota przysięgi są tekstami, w których ta funkcja języka
jest pierwszoplanowa. Ktoś, kto przyrzeka lub zobowiązuje się, jest konsekwentny, gdy wypełnia to, co przyrzeka lub to, do czego się zobowiązuje.
Wypowiedzi w funkcji zobowiązywania się zawierają jakąś informację, przynajmniej tę, która pozwala zidentyfikować przedmiot zobowiązania i jego
podmiot. W wielu wypadkach teksty takie zwyczajowo winny budzić emocje, jak np. w wypadku zawierania związku małżeńskiego.
W ocenie wypowiedzi w funkcji zobowiązywania się ważne są intencje
tych, którzy zobowiązują się do czynienia lub nieczynienia czegoś. Przyrzeczenie i zobowiązanie są szczere, gdy osoba przyrzekająca lub zobowiązująca
się zamierza wypełnić to, co przyrzeka lub to, do czego się zobowiązuje. Wypowiedzi w funkcji zobowiązywania się oceniane są przede wszystkim w kategoriach moralnych.
Zauważmy, że funkcje języka 1 i 2 realizowane są przez opis, przedstawienie w wypadku 1 — świata obiektywnego, a w wypadku 2 — stanu subiektywnej świadomości. Funkcje 3 i 4 można pojąć jako skutkujące zmianą
w wypadku 3 — świata obiektywnego, a w wypadku 4 — stanu subiektywnej
świadomości. Gdyby zgodzić się, że to, co składa się na naszą świadomość,
to przekonania, uczucia i postawy, dążenia i oczekiwania wobec świata obiektywnego oraz intencje i zamiary w stosunku do samego siebie, to możemy
przyjąć, że komunikując przekonania używamy języka w funkcji 1, komunikując uczucia i postawy używamy języka w funkcji 2, komunikując dążenia
i oczekiwania w stosunku do świata obiektywnego używamy języka w funk-
22
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
cji 3, a komunikując intencje i zamiary w stosunku do samego siebie używamy
języka w funkcji 4.
W gramatyce szkolnej wyróżnia się typy zdań: oznajmujące, pytajne,
rozkazujące, wykrzyknikowe. Rodzaj użytych zdań nie rozstrzyga kwestii
funkcji, w jakiej zostały użyte. Można przecież zadać pytanie korzystając
ze zdania oznajmującego. Kiedy mówię do kelnera: Napiłbym się kawy, to
używam zdania oznajmującego dla spowodowania pewnego działania. Tak
zwane pytania retoryczne, to zdania pytajne użyte dla przekazania informacji. Wypowiedziane w odpowiednim kontekście zdanie jak długo jeszcze
w Rzeczypospolitej będzie rządziła prywata? może być pytaniem retorycznym. Celem jego wygłoszenia byłoby informowanie o stanie rzeczy, a nie
stawianie pytania o to, jaki ten stan rzeczy jest.
Wskazane zostały cztery funkcje języka. Nie znaczy to, że wypowiedzi,
teksty wypełniają zawsze tylko jedną z tych funkcji. Jest raczej tak, że
każda wypowiedź realizuje w większym lub mniejszym stopniu więcej niż
jedną funkcję. Tekst naukowy nie tylko informuje, ale i też może wyrażać. Utwór literacki nie tylko coś wyraża, ale i informuje, a nadto ma jakieś
przesłanie, czyli ma na celu spowodowanie jakiegoś działania lub spowodowanie zaniechania działania. Są teksty, w których to połączenie funkcji nie
jest czymś uzupełniającym, dodatkowym, lecz jest czymś istotnym, ważnym.
Modlitwa to — przyznajmy — dość swoisty tekst, który wypełnia funkcję
ekspresywną, ma na celu spowodowanie jakiegoś działania (przez tego, do
kogo się modlimy) oraz zawiera zobowiązania się modlącego do czynienia
lub nieczynienia czegoś. Kiedy oferuję jakiś towar do sprzedaży, to udzielam
informacji, co to jest, lecz jednocześnie tak dobieram słowa, aby przekonać
do jego kupna, a więc przekonać do podjęcia pewnego działania. Moje informowanie o towarze nie było bezinteresowne, na celu miało spowodowanie
pewnego działania, kupna. W reklamach dąży się nadto do wywoływania
pewnych postaw, wytworzenia stanu motywacji do kupna reklamowanego
towaru lub usługi. We wszelkiego rodzaju ceremoniach, takich jak ślub,
tekst ma informować, ma wywoływać uczucia, powodować pewne działania
i nadto zawiera zobowiązania. Język kontraktu zbliżony jest do języka ceremonialnego.
Wskazane zostały cztery funkcje języka. Nie znaczy to, że język może być
użyty tylko w tych funkcjach. Głębsze analizy ukazują wielość i różnorodność
funkcji języka. Istnieje bogata i różnorodna terminologia dla określenia funkcji języka. Funkcje można dzielić np. na poznawcze i instrumentalne. Funkcja poznawcza języka to funkcja opisowa, deskryptywna i prawdziwościowa.
W roli instrumentalnej język używany jest np. w funkcjach komunikatywnej, ewokatywnej, ekspresywnej, impresywnej, imperatywnej, promotywnej,
23
konotatywnej, perswazyjnej, argumentacyjnej, agitatywnej, performatywnej,
estymatywnej, interrogacyjnej, terapeutycznej, fatycznej, dydaktycznej. Ze
szczególnym wykorzystaniem języka mamy do czynienia w informatyce. Język stosowany jest do zapisu programów, czyli systemów sterowania urządzeniami elektronicznymi, w szczególności komputerów.
Języka brany jest w funkcji fatycznej, gdy używany jest dla nawiązania i podtrzymania więzi towarzyskich: odzywamy się do kogoś, aby w ten
sposób dać wyraz chęci pozostawania z tym kimś w bliższych stosunkach.
Kiedy z jakichś powodów rezygnujemy z tego, przestajemy się do tego kogoś
odzywać.
Języka używa się też dla «kreowania» rzeczywistości. Korzysta się wówczas z wyrażeń performatywnych.
Definicja 1.4. Wyrażenie performatywne to wyrażenie, którego użycie
w określonych okolicznościach (właściwych dla niego) powoduje zaistnienie
tego, co ono opisuje.
Formuła immatrykulacji powoduje, że zostaje studentem ktoś, do kogo
w czasie ceremonii inauguracji roku akademickiego rektor szkoły wyższej
zwróci się słowami tej formuły. Formuła zawarcia związku małżeńskiego
powoduje, że ktoś, kto ją wygłasza w okolicznościach opisanych w odpowiednich aktach prawnych, wstępuje w związek małżeński. Kiedy (na serio)
mówię „gratuluję”, to tym samym gratuluję, a więc dokonuję pewnego czynu
(różnego od samego aktu użycia języka).
Język interesuje logikę głównie, choć nie jedynie, jako środek przekazywania informacji.
Zadania
Zadanie 1.1. Wskaż funkcje, które mogą spełniać poniższe wyrażenia.
1. Nastąpił mi pan na nogę.
2. Czy jest prawdą, że podpisanie paktu Ribentrop-Mołotow między Rzeszą Niemiecką, a Związkiem Sowieckim miało bezpośredni i istotny
wpływ na wybuch II wojny światowej?
3. Jestem głodny.
4. Daj swemu dziecku to, co najlepsze!
— (reklama)
24
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
5. Prosimy o zapięcie pasów.
— (komunikat przed startem samolotu)
6. Tak dalej być nie musi.
— (hasło wyborcze)
7. Siła spokoju.
8. Nie chcę, ale muszę.
— (Lech Wałęsa)
9. Wybierzmy przyszłość.
10. Niech trójkąt ABC będzie trójkątem prostokątnym.
11. Załóżmy, że Jan dokonał wykroczenia.
Zadanie 1.2. W jakich funkcjach język użyty jest w prawie i w jego stosowaniu?
Zadanie 1.3. Jakie funkcje pełni język w reklamach?
Zadanie 1.4. Podaj przykłady zdań orzekającego, pytajnego, rozkazującego
i wykrzyknikowego, które w określonych okolicznościach pełnią funkcję:
1. informacyjną,
2. ekspresywną,
3. dyrektywną,
4. zobowiązywania.
Zadanie 1.5. Jakiego rodzaju wyrażeniami są: „zatwierdzam”, „radzę”, „przepraszam”, „oferuję”, „przyrzekam”, „sugeruję”, „ostrzegam”, „zamawiam”?
Zadanie 1.6. Czy słowo „niniejszym” jest charakterystyczne dla wypowiedzi
performatywnych, czyli w zasadzie występuje tylko w takich wypowiedziach
lub może być w nich użyte bez naruszenia sensu tych wypowiedzi?
1.2. BUDOWA I ZNACZENIE WYRAŻEŃ
25
Zadanie 1.7. Oceń racje stron sporu.
„To był bezpodstawny atak, nie poparty żadnymi dowodami” — powtarzali w sądzie J.Sz., W.C. i D.T.
Oskarżony A.L. bronił się, twierdząc, że w swoim wystąpieniu nie używał
zdań twierdzących, a tylko zadawał pytania. Nie było to więc według niego
pomówienie czy oskarżenie.
Politycy zgodnie stwierdzili przed sądem, że stawiane przez A.L. znaki
zapytania były tylko formą ucieczki i miały uchronić A.L. przed odpowiedzialnością polityczną.
„Przy takiej tchórzowskiej manierze polegającej na używaniu słowa ‘podobno’ oraz budowania zdań w formie aluzji i pytań ucieka się od odpowiedzialności” — zeznał minister W.C. Tego samego zdania byli pozostali
świadkowie: minister J.Sz. i poseł D.T.
J.Sz. stwierdził, że gdyby taka forma wypowiedzi, jaką zastosował A.L.
była dopuszczalna w Sejmie, to „na podstawie zestawu kłamstw, nie mając
dowodów na to co się mówi, można by oskarżać kogokolwiek bez ponoszenia
odpowiedzialności”.
1.2
Budowa i znaczenie wyrażeń
Na język jako system znaków składają się znaki, którymi są w wypadku języka pisanego typy napisów, a w wypadku języka mówionego typy głosów.
Te napisy i głosy konstruowane są zgodnie z regułami syntaktycznymi (zasadami gramatyki, składni) ze znaków w szczególności ze znaków prostych,
czyli elementów słownika. Dochodzą do tego reguły, które mówią jak te
napisy i głosy należy rozumieć. Są to reguły znaczeniowe (semantyczne).
Definicja 1.5. Język J to obiekt składający się ze słownika S, reguł składniowych (syntaktycznych) G i reguł znaczeniowych (semantycznych) Z,
czyli:
J = hS, G, Zi
Każdy język, jaki by on nie był, winien mieć te trzy składniki. Opis niektórych języków wyczerpuje się w określeniu tych trzech składników. Będzie
tak w wypadku języka rachunku arytmetycznego, języka rachunku logicznego, czy języka programowania. W wypadku niektórych języków, jak na
przykład języki naturalne dochodzą jeszcze inne reguły, choćby zasady stylistyki. Są to reguły o charakterze pragmatycznym. Reguły pragmatyczne
formułuje się też dla języków formalnych na przykład, gdy wprowadza się
26
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
zasady opuszczania nawiasów. Bez tych reguł języki te nie straciłyby na
wartości, jedynie wydłużyłyby się odpowiednie napisy.
Podane określenie języka wymaga rozwinięcia i dopowiedzenia, co należy
rozumieć przez słownik, reguły składni oraz reguły znaczeniowe.
Definicja 1.6. Znak prosty języka to wyraz (słowo) tego języka.
Rzeczy są złożone fizycznie. Poszczególne znaki mogą więc podlegać fizycznemu podziałowi. Te fizyczne części nawet gdyby były typem znaku nie
muszą być znakami. W językach naturalnych wyrazy zwykle budowane są ze
skończonego zbioru typów przedmiotów zwanych literami i głoskami. Wyraz
klub ma jako swoją część właściwą lub, lecz klub nie jest znakiem złożonym
języka polskiego, bowiem nie powstał ze złożenia zgodnie z regułami języka
polskiego jakichś wyrazów tego języka. Zauważmy, że k nie jest samodzielnym znakiem języka polskiego. Litery i głoski, z których zbudowany jest
znak prosty nie są znakami.
Wyrazy nie muszą być budowane z liter. Przykładem języka, którego
wyrazy nie są budowane z liter (głosek) jest język chiński. Podobnie jest
w wypadku języka arytmetyki, który jest rodzajem pisma ideograficznego.
Tego rodzaju są też języki rachunków logicznych. Najprostsze znaki w piśmie
ideograficznym odpowiadają znaczeniom wyrazów lub nawet całych zwrotów
języka potocznego. Jego znaki wyrazowe to ideogramy. Zauważmy, że tego
rodzaju znaki pełnią doniosłą rolę w wielu dziedzinach praktycznych. Są
tu znaki ruchu drogowego, różnego rodzaju piktogramy, jak choćby te stosowane w niektórych programach komputerowych (np. program Windows).
Oczywiście, nie o każdym systemie «pisma obrazkowego» możemy powiedzieć, że jest to język. Czasem te «obrazki» nie wiążą się z żadną umową
a działają jedynie skojarzeniowo. Komunikacja niewerbalna dokonuje się nie
tylko za pomocą symboli graficznych. Ktoś, kto był na giełdzie, mógł podziwiać zręczność, z jaką korzysta się ze specjalnego kodu ruchowego, gdzie do
porozumiewania się służą nie tylko ruchy rąk i ust, jak to jest w wypadku
osób głuchoniemych. Język nie jest też jedynym narzędziem komunikowania
się ludzi. Aktor, a może jeszcze bardziej mim przekazuje swój komunikat za
pomocą oznak.
Definicja 1.7. Słownik języka J to zbiór wszystkich i tylko wyrazów tego
języka.
Napis1 jest skończonym ciągiem wyrazów. Jednak nie każdy napis, nie
każdy skończony ciąg wyrazów jest znakiem języka.
1
Aby niepotrzebnie nie komplikować wykładu, będziemy ograniczać się do mówienia
o języku pisanym. Zwykle jednak wszystko, co powiemy, będzie stosować się do języka
27
Definicja 1.8. Skończony ciąg elementów słownika S języka J jest wyrażeniem języka J wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbudowany zgodnie z regułami
G gramatyki języka J , inaczej — zgodnie z jego regułami składniowymi
(syntaktycznymi).
O ciągu wyrazów zbudowanym zgodnie z regułami syntaktycznymi mówimy, że jest syntaktycznie spójny. Wyrażenia języka to syntaktycznie
spójne skończone ciągi wyrazów tego języka. Języki, których reguły składni
zależą wyłącznie od kształtu, formy wyrażeń to języki formalne. W wypadku języka naturalnego reguły składni są zależne od znaczeń wyrażeń. Od
znaczeń wyrażeń nie zależą reguły składniowe np. języka logiki formalnej.
Wyrażenia mogą być proste, gdy są wyrazami, i złożone, gdy zbudowane są z więcej niż jednego wyrazu.
Aby korzystać z języka, nie wystarczy mieć do dyspozycji słownik tego
języka i konstruować wyrażenia zgodnie z regułami składniowymi. Ucząc
się języka uczymy się również rozumienia jego wyrażeń. Dziecko sposób
rozumienia wyrażeń języka ojczystego czerpie w procesie przekazu kulturowego: różne konkretne sytuacje dają rodzicom i wychowawcom okazję do
przekazywania sposobu, w jaki należy rozumieć wyrażenia. Gdy uczymy się
języka obcego, o rozumieniu poszczególnych napisów i głosów w tym języku
jesteśmy zwykle informowani w naszym języku ojczystym. Znaczenie wyrażenia to sposób jego rozumienia. Przyporządkowywanie znaczeń wyrażeniom
dokonuje się według pewnych zasad. Te zasady zawarte są w regułach znaczeniowych, semantycznych języka.
Definicja 1.9. Znaczenie wyrażenia języka J , to sposób rozumienia tego
wyrażenia wyznaczony przez reguły znaczeniowe, czyli semantyczne, Z języka J .
Dla języków naturalnych typowe jest, że niektóre wyrażenia nie mają
w pełni sprecyzowanego znaczenia.
Definicja 1.10. Wyrażenie ma jasne znacznie lub, po prostu, wyrażenie
jest jasne wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie tego wyrażenia jest jednoznacznie określone.
Definicja 1.11. Znaczenie wyrażenia jest niejasne (mętne) lub, po prostu,
wyrażenie to jest niejasne (mętne) wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie tego
wyrażenia nie jest jednoznacznie określone.
w każdej innej formie i wystarczy jedynie dokonać stosownych modyfikacji, których wymaga specyfika danej formy, np. mówionej.
28
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Znaczenie wyrażenia jest bądź jasne, bądź jest niejasne, czyli mętne.
O wypowiedzi mówimy, że jest jasna wtedy i tylko wtedy, gdy jej znaczenie jest jednoznacznie określone. Mówimy zaś, że jest niejasna (mętna),
gdy tak nie jest. O autorze (nie)jasnej wypowiedzi mówimy, że wypowiada
się (nie)jasno.
O jasności lub niejasności i mętności wyrażenia możemy mówić jako
o pewnej nierelatywnej cesze tego wyrażenia. Może jednak być tak, że wyrażenie, które jest jasne w sensie absolutnym (nierelatywnym), nie jest jasne
subiektywnie, czyli nie jest jasne dla kogoś.
Definicja 1.12. Znaczenie wyrażenia jest jasne dla kogoś wtedy i tylko
wtedy, gdy ten ktoś to wyrażenie rozumie w dokładnie jeden określony sposób. Jest zaś niejasne dla kogoś, kto tego wyrażenia nie rozumie lub nie
rozumie w pełni.
Publikowane są słowniki, które podają znaczenie wyrazów. Mówimy więc
o słownikowym znaczeniu wyrazu.
W znaczeniu wyrażeń daje się wyróżnić sens deskryptywny (kognitywny)
oraz pragmatyczny (emocjonalny).
Definicja 1.13. Sens deskryptywny (kognitywny) wyrażenia to to, co
w jego znaczeniu odnosi się do przedmiotów, ich cech i związków (relacji)
między nimi.
Definicja 1.14. Sens pragmatyczny (emocjonalny) wyrażenia to składnik jego znaczenia wyrażający postawy, uczucia lub oceny tego, na co wskazuje sens deskryptywny (kognitywny) wyrażenia.
Sensy deskryptywne nazw „policjant”, „stróż porządku publicznego” i „gliniarz” w zasadzie nie różnią się. Nazwy te mają jednak różne sensy emocjonalne. „Policjant” jest emocjonalnie neutralny, „stróż porządku publicznego”
ma duże pozytywne zabarwienie emocjonalne, a „gliniarz” — odwrotnie, ma
duży pejoratywny ładunek emocjonalny.
Zwykle wyrażeniu przysługuje znaczenie określone przez znaczenia składających się na nie wyrazów.
Definicja 1.15. Dosłowne znaczenie wyrażenia to znaczenie tego wyrażenia określone przez znaczenia składających się na nie wyrazów.
Wyrażenia proste, jednowyrazowe, mogą mieć tylko znaczenie dosłowne.
Niektórym wyrażeniom złożonym przysługuje znaczenie nie będące funkcją
znaczeń poszczególnych wyrazów.
29
Definicja 1.16. Idiomatyczne znaczenie wyrażenia to znaczenie tego
wyrażenia, które przysługuje mu jako całości (i które jest różne od znaczenia
dosłownego tego wyrażenia).
Zauważmy, że znaczenie idiomatyczne może przysługiwać tylko wyrażeniom złożonym.
Definicja 1.17. Idiom to wyrażenie, któremu przysługuje znaczenie idiomatyczne.
Idiomom, oprócz znaczenia idiomatycznego, może, choć nie musi, przysługiwać znaczenie określone przez reguły semantyczne języka i znaczenia
wyrazów składających się na to wyrażenie, czyli znaczenie dosłowne. Wyrażeniu „tu leży pies pogrzebany” oprócz znaczenia idiomatycznego przysługuje
też znaczenie dosłowne. Inaczej jest w wypadku „gwóźdź programu”. Ma ono
tylko znaczenie idiomatyczne. Ucząc się języka, oprócz zapamiętywania znaczeń wyrazów słownika tego języka, musimy także uczyć się znaczeń jego
wyrażeń idiomatycznych.
Zdarza się, że jakiś wyraz ma więcej niż jedno znaczenie, czyli jest wieloznaczny, a nadto różne jego znaczenia nie są ze sobą związane, są przypadkowe, jak np. „zamek”, „koza”. Słowo „szyje” użyte może być jako rzeczownik
i jako czasownik.
Definicja 1.18. Homonim to wyraz, któremu przysługuje więcej niż jedno
znaczenie i znaczenia te nie są ze sobą powiązane.
W wypadku homonimów wieloznaczność ma charakter przypadkowy. Inaczej jest w wypadku wyrazów systematycznie wieloznacznych.
Definicja 1.19. Wyraz systematycznie wieloznaczny to wyraz, którego
poszczególne znaczenia pozostają ze sobą w systematycznych związkach wyznaczonych przez reguły znaczeniowe.
Wyrazami systematycznie wieloznacznymi są w języku polskim czasowniki. Np. „gra” w zdaniu „Jan gra na pianinie” może znaczyć, że Jan posiada umiejętność gry na pianinie. W tym wypadku mówimy o znaczeniu
potencjalnym. Może również znaczyć, że Jan w tym czasie, w którym dokonywana jest wypowiedź, siedzi przy pianinie powodując wydawanie przez
nie dźwięków. Mówimy wówczas, że czasownik ten użyty jest w znaczeniu
aktualnym.
Wyrazami systematycznie wieloznacznymi są również słówka okazjonalne. Znaczenie słówka okazjonalnego zależy od okoliczności i kontekstu
30
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
jego użycia, czyli jego znaczenie jest znaczeniem kontekstowym. Słówkami okazjonalnymi są okoliczniki czasu, jak: „teraz”, „dzisiaj”; okoliczniki
miejsca, jak: „tu”, „tam”; zaimki osobowe, jak: „ ja”, „ty”. Wyrażenie „będę
tam” nie ma określonego znaczenia, dopóki nie zostanie umieszczone w odpowiednim kontekście, który nadałby znaczenie wyrazowi „tam” oraz wskazałby
tego, kto tam będzie. W wypadku słówek okazjonalnych ich znaczenie zależy
od kontekstu językowego i od okoliczności, czyli pozajęzykowego kontekstu
użycia.
W wypadku takich słówek jak „dużo”, „wysoki” i „dobry” ich znaczenie
zależy zasadniczo od językowego kontekstu użycia. „Dużo” znaczy co innego,
gdy mówimy, że w klubie na spotkaniu z autorem książki było dużo uczestników, a co innego, gdy mówimy, że na meczu piłkarskim było dużo kibiców.
„Wysoki” w zdaniu „Jan jest wysoki” znaczy co innego niż w zdaniu „w Gąbinie był wysoki maszt radiowy”. „Dobry” w kontekście „dobry student” znaczy
co innego niż w kontekście „dobry lekarz”. Dla podanych słówek charakterystyczne jest, że mówią o pewnych własnościach związanych z relacjami.
„Dużo” wiąże się z relacją — więcej, „wysoki” — wyższy, „dobry” — lepszy. Relacja jest określana przez rodzaj przedmiotów, pomiędzy którymi
zachodzi. Relacja pomiędzy licznością zbiorów uczestników literackich spotkań klubowych jest różna od relacji pomiędzy licznością zbiorów kibiców
meczów piłkarskich. Relacja pomiędzy ludźmi ze względu na ich wzrost jest
różna od relacji między masztami radiowymi ze względu na ich wysokość.
Relacja bycia lepszym studentem jest różna od relacji bycia lepszym lekarzem. To, o jaką relację w danym wypadku chodzi, jest wskazywane przez
językowy kontekst użycia.
Definicja 1.20. Wyraz relacyjnie wieloznaczny to wyraz, którego znaczenie związane jest z relacją, ze względu na którą jest orzekany.
Zależy nam na bogatym języku. Jego wzbogacenie może nastąpić w drodze przypisywania wyrazom nowych znaczeń. Te nowe znaczenia mogą bazować na dotychczasowym znaczeniu wyrazu.
Definicja 1.21. Wyraz umyślnie wieloznaczny to wyraz, któremu dodano znaczenie metaforyczne lub analogiczne.
Wyrazami umyślnie wieloznacznymi są np.: „gniazdo”, „miara”. Wieloznaczność umyślna może być metaforą, czyli przenośnią, może też być
analogią. W znaczeniu pierwotnym „gniazdo” oznacza miejsce wylęgu piskląt w warunkach naturalnych. W kontekstach „gniazdo oporu” i „gniazdo
rodzinne” wyraz ten zyskuje inne, przenośne znaczenia. W wypadku analogii
31
znaczenia są do siebie podobne. Podobne są np. znaczenia wyrazu „miara”
w kontekstach: „miara wzrostu”, „miara wysokości”, „miara mądrości”, „miara
dorosłości”.
Zamierzona wieloznaczność może mieć różne powody. Kiedy Brytyjczycy
uznali, że czołgi mogą być skuteczną bronią, niewielką jednostkę czołgów
skierowano do Francji przed ofensywą nad Sommą. Dla zmylenia Niemców
mówiono o dostawie zbiorników na wodę dla piechoty, stąd nazwa angielska
nazwa czołgu: tank.
Zdarza się i tak, że to samo znaczenie przysługuje więcej niż jednemu wyrazowi. Ma to miejsce wówczas, gdy reguły znaczeniowe nakazują rozumieć
tak samo różne wyrazy. Równoznaczność wyrazów jest faktem wewnątrz językowym, tzn. nie zależy od jakiegokolwiek (pozajęzykowego) stanu rzeczy,
lecz jedynie od reguł znaczeniowych języka. Gdyby ktoś rozróżniał znaczenia
wyrazów, które są w danym języku równoznaczne, to ten ktoś wykazywałby
brak wiedzy językowej (a nie wiedzy pozajęzykowej).
Definicja 1.22. Wyraz w1 użyty w znaczeniu z1 jest synonimem wyrazu w2
wziętemu w znaczeniu z2 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenia z1 i z2 (istotnie)
nie różnią się.
Wyrazów synonimicznych możemy używać wymiennie. Zamiast „i” możemy użyć „oraz”, zamiast „kartofel” możemy napisać „ziemniak”. Czasem
użycie jednego z wyrazów synonimicznych jest sprawą zwyczajów językowych środowiska, preferencji stylistycznych lub, po prostu, aby uniknąć powtarzania (polepsza styl). Tworzone są słowniki wyrazów bliskoznacznych,
aby ułatwić użytkownikowi języka korzystanie z bogactwa wyrazów synonimicznych.
Ciąg wyrazów, który narusza reguły budowy wyrażeń — reguły składniowe — to nonsens. Nonsensem jest np. „spać Jan koniec”. Nonsensom,
ponieważ nie są zbudowane zgodnie z regułami składniowymi, reguły znaczeniowe nie przypisują znaczenia. Nonsensy mogą pełnić jakąś funkcję językową np. w tekście literackim, gdy zapisane jako przez kogoś wypowiedziane
są oznaką tego, że ten ktoś nie kontroluje swoich wypowiedzi.
Może też być tak, że dany ciąg wyrazów zbudowany jest zgodnie z regułami syntaktycznymi, lecz nie można mu przypisać znaczenia zgodnie z regułami semantycznymi. W tym wypadku mówi się o bezsensie. Wyrażenie
„młotek programu” jest zgodnie z regułami syntaktycznymi wyrażeniem. Jest
to jednak bezsens, bowiem nie można mu przypisać znaczenia według reguł
semantycznych. W języku matematyki bezsensem jest wyrażenie „większa
połowa”. Jest to nazwa, a zatem nie jest to nonsens. Jednak tej nazwie nie
przysługuje znaczenie według reguł znaczeniowych języka matematyki.
32
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Język służy nie tylko do komunikowania faktów, lecz także naszej wobec
nich postawy. Kiedy mówię: „Nie jest prawdą, że dzisiaj jest wtorek”, neguję
zachodzenie, istnienie pewnej sytuacji. W tej sprawie ktoś może mieć inne
zdanie. Różnimy się wówczas co do faktów. Kiedy mówię: „Dzisiaj mamy
dobrą pogodę”, to wyrażam pewną postawę, wypowiadam ocenę pogody.
Ktoś inny może inaczej oceniać dzisiejszą pogodę. Różnimy się więc co do
postawy, oceny. Może być tak, że:
1. dwoje ludzi ani nie różni się co do faktu, ani nie różni się wobec niego
postawą;
Dwie osoby lubiące słoneczną pogodę i będące na wczasach mogą być
np. zgodne co do stanu pogody i w ocenie tej pogody.
2. dwoje ludzi nie różni się co do stwierdzenia pewnego faktu, a różni się
jego oceną;
Dwie osoby, z których jedna lubi słoneczną i bezdeszczową pogodę i jest
na wczasach, a druga prowadzi gospodarstwo rolne, w którym uprawy
wymagają znacznej ilości wilgoci, mogą być np. zgodne co do stanu
pogody — że jest słonecznie i bezdeszczowo — a różnić się w ocenie
tej pogody.
3. dwoje ludzi różni się co do faktu, a nie różni się w ocenie;
Jedna osoba może np. twierdzić, że Jan zna język angielski, a druga,
że Jan nie zna tego języka; osoby te różnią się więc co do faktu; osoby
te mogą być jednak zgodne w ocenie przydatności znajomości języka
angielskiego przez Jana.
Wreszcie czwarta i ostatnia możliwa sytuacja —
4. dwoje ludzi różni się zarówno w sprawie faktu, jak i postawą wobec
niego.
Jedna osoba może np. uważać, że Jan umie włamywać się do kas pancernych, a druga, że nie. Osoba, która uważa, że Jan umie włamywać
się do kas pancernych może tę umiejętność oceniać pozytywnie a osoba,
która ma inne zdanie w sprawie faktu — oceniać negatywnie. Może
też być tak, że osoba, która uważa, że Jan umie włamywać się do kas
pancernych, umiejętność tę ocenia negatywnie, a osoba, która uważa,
że Jan nie potrafi włamywać się do kas pancernych — pozytywnie.
Wartościowanie, ocenianie czegoś może być ocenianiem z punktu widzenia moralności, czyli przede wszystkim jako dobrego lub złego. Może to być
ocena estetyczna, wówczas mówimy o pięknie i brzydocie. Możemy też mówić
33
o ocenach utylitarnych, wówczas mówimy o użyteczności i bezużyteczności.
Nasze postawy i oceny możemy wyrażać korzystając ze specjalnych słówek:
„dobre”, „złe”; „piękne”, „brzydkie”; „korzystne”, „niekorzystne” itd. Może się
to też dokonywać przez użycie wyrażeń nacechowanych pejoratywnie lub
nacechowanych pozytywnie. W okresie PRL-u używano nazwy „Związek
Radziecki”. Był to termin wprowadzony do powszechnego użycia przez komunistów. W okresie przed II wojną światową stosowana była nazwa „Związek
Sowiecki”. Konteksty, w których była używana, spowodowały, że była nacechowana pejoratywnie i to stało się powodem używania w oficjalnym języku
PRL-u wyłącznie terminu „Związek Radziecki”. Otóż ktoś, kto mówił: „Związek Sowiecki”, właśnie z powodu pejoratywnego nacechowania tego terminu,
wyrażał swoją negatywną postawę wobec Związku Socjalistycznych Republik Radzieckich. W działalności gospodarczej chroni się nazwę marki —
osiągnięcie pozytywnego kojarzenia nazwy kosztuje, a następnie daje korzyści. Dlatego też oprócz uznanej nazwy firmowej „Panasonic” spotykamy np.
„Pavasonic”, „Panasaonic”, „Panasonix”. Czasem tylko podejrzenie o pejoratywne nacechowanie wystarcza, aby ich miejsce zajmowały słowa, które się
jeszcze nie «zużyły». Zamiast „dozorca” używa się „administrator domu”, do
zajęcia miejsca „listonosza” pretendował „doręczyciel” itp. Wyrażeniami nacechowanymi pejoratywnie są: „biurokrata”, „anarchista”, „faszysta”. Wyrażeniami nacechowanymi pozytywnie są: „menedżer”, „demokrata”, „patriota”.
W argumentacji, w zależności od jej celu, używa się takich słów, które przez
swoje nacechowanie wzmacniają argumentację. Gdy ktoś argumentuje za
czymś, co opisuje się raczej wyrażeniami nacechowanymi pejoratywnie, zwykle dąży do stosowania określeń, które takiego nacechowania nie mają. Ten
sposób postępowania polega na stosowaniu eufemizmów. Zamiast powiedzieć: „dokonał malwersacji”, można użyć eufemizmu i powiedzieć: „zrobił
fałszywy krok finansowy”. «Życie» eufemizmów jest krótkie. Eufemizm raz
użyty traci swoją rolę z powodu skojarzenia z rzeczywistością, do której się
odnosi. Zyskując pejoratywne nacechowanie musi być systematycznie zastępowany przez eufemizm na samego siebie. Ktoś, kto może użyć w swojej
argumentacji wyrażeń nacechowanych, zwykle tę sytuację wykorzystuje dla
jej wzmocnienia. W dyskusji na temat legalizacji przerywania ciąży obserwujemy używanie przez jedną ze stron określeń typu: „prawo do własnego
ciała”, „prawo wyboru”, „aborcja”, a przez drugą określeń typu: „prawo do
życia”, „zabójstwo nie narodzonych”.
Wypowiedź nacechowana emocjonalnie przeszkadza w racjonalnym podejściu do podejmowanego w niej zagadnienia. Bywa, że zależy nam na
przedstawieniu jakiejś sprawy bez wyrażenia naszego wobec niej stanowiska,
a więc w języku nie nacechowanym emocjonalnie, czyli w języku neutral-
34
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
nym emocjonalnie. Mogę powiedzieć: „Drużyna piłkarska A wygrała 2:1
z drużyną B”. Mogę powiedzieć: „Drużyna piłkarska B przegrała 1:2 z drużyną A”. Każda z tych dwu wypowiedzi jest nacechowana emocjonalnie. Ten
sam fakt mogę zakomunikować w sposób neutralny mówiąc: „Mecz między
drużyną piłkarską A a drużyną B zakończył się wynikiem 2:1” 2 . Nie zawsze jest to tak proste. Wypowiedzi „Prawo do niezawisłego sądu należy do
podstawowych praw człowieka” nie można — jak się zdaje — przeformułować tak, aby ktoś, kto mówi o tym fakcie, mógł być odbierany jako ktoś,
kto zajmuje stanowisko neutralne. Język nauki powinien być emocjonalnie
neutralny. Nawet wyrażenia, które w języku potocznym są emocjonalnie
nacechowane, tracą to nacechowanie w języku nauki. Na przykład nazwa
„szlachetny metal”, będąca w języku potocznym nacechowana pozytywnie,
traci to nacechowanie w podręcznikach z fizyki i chemii.
Zadania
Zadanie 1.8. Podaj przykłady wyrażeń mających ten sam sens deskryptywny
a różne sensy emocjonalne.
Zadanie 1.9. W wybranym tekście zastąp słowa nacechowane negatywnie
przez słowa emocjonalnie neutralne a następnie przez nacechowane pozytywnie.
Zadanie 1.10. Wskaż różnicę pomiędzy:
1. „wotum nieufności” a „wotum zaufania”
2. wotum nieufności a wotum zaufania.
Zadanie 1.11. Jak pod wpływem publicystyki może zmieniać się sens emocjonalny wyrazu „ciemnogród”?
Zadanie 1.12. Wskaż różnicę między nazwami „Włochy” i „Italia”.
Zadanie 1.13. W jakiej roli występuje słowo „logiczna” w wyrażeniu „logiczna
przesłanka”.
Zadanie 1.14. Czy w przekonaniu wypowiadającego zwrot: „nie wstydzę się
przyznać, że jestem liberałem” wyraz „liberał” jest nacechowany emocjonalnie?
2
W języku środowiska sportowego obowiązują określone zasady podawania wyniku meczu w zależności od tego, która drużyna to drużyną gospodarzy, a która gości. Tu mamy
na uwadze język potoczny, który nie narzuca w tym względzie specjalnych zasad.
35
Zadanie 1.15. W trakcie jednej z debat telewizyjnych rzecznik SdRP zgłosił
zastrzeżenia wobec używania przez dziennikarzy określenia „partia postkomunistyczna”, po wyjaśnieniach musiał jednak przyznać, że określenie jego
parti jako partii postkomunistycznej jest zgodne ze znaczeniem tego wyrażenia. Czym tłumaczysz postępowanie rzecznika SdRP?
Zadanie 1.16. Na podanym przykładzie wskaż rolę wyrażeń nacechowanych.
Rosyjski prezydent Władimir Putin występując na Światowym Kongresie
Agencji Prasowych w Moskwie czynił zarzuty „niektórym mediom”. Według
niego, media były zbyt neutralne w czasie kryzysu w Biesłanie.
„Jak możemy nazywać terrorystów angielskim słowem ‘rebels’ — powstańcy. Dla takich ludzi są tylko słowa ‘zabójca’ i ‘terrorysta’ ” — oświadczył Putin.
Rosja wielokrotnie protestowała przeciwko «zbytniej wyrozumiałości»
wobec czeczeńskich separatystów, których zachodnie media nazywają bojownikami, rebeliantami, powstańcami lub separatystami. Rosyjskie agencje
i telewizje używają od lat sformułowań „bandyci”, „bojówkarze”, „członkowie
nielegalnych ugrupowań zbrojnych” czy „terroryści”.
Ulubionym obiektem krytyki Rosjan po biesłańskiej tragedii stała się
brytyjska BBC, która w odniesieniu do zbrojnego komanda nigdy nie użyła
słowa „terroryści”. Przedstawiciele BBC tłumaczą, że ich kodeks etyczny
surowo zabrania używania tego słowa w jakichkolwiek materiałach.
Zadanie 1.17. W kampanii prezydenckiej w Polsce w 2005 r. o jednym z kandydatów informowano, że jego dziadek służył w Wermachcie. Która z rywalizujących stron o tym mówiła i dlaczego?
Zadanie 1.18. Podaj przykłady wyrażeń, które oprócz znaczenia idiomatycznego mają znaczenie dosłowne oraz takich wyrażeń, które mają tylko
znaczenie idiomatyczne.
Zadanie 1.19. Niech słownikiem S języka J będzie zbiór { #, $, $, %, ! }.
Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka J są skończone ciągi w elementów zbioru S,
spełniające następujące warunki:
1. jeśli w ciągu w występują $ i $, to ciąg ten nie jest wyrażeniem języka
J,
2. jeśli w ciągu w występują # i %, to ciąg ten nie jest wyrażeniem języka
J.
Czy warunki 1 i 2 określają język?
36
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka J są wszystkie skończone ciągi w elementów
zbioru S, spełniające następujące warunki:
1. w ciągu w nie występują zarazem $ i $,
2. w ciągu w nie występują zarazem # i %.
Czy wyrażeniami tak określonego języka są:
1. $$$
2. $#
3. $#$%
4. {$#
5. %$ %}
Niech gramatyka (reguły syntaktyczne) języka J są takie, że poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka J są wszystkie skończone ciągi w elementów
zbioru S, które spełniają przynajmniej jeden z warunków:
1. w ciągu w nie występują zarazem $ i $,
2. w ciągu w nie występują zarazem # i %.
Czy wyrażeniami tak określonego języka są:
1. $$$
2. $#
3. $#$%
4. {$#
1.3. KATEGORIE WYRAŻEŃ
1.3
37
Kategorie wyrażeń
Ze szkolnej nauki o języku znamy podział wyrażeń3 . Wśród części mowy
wyróżnia się rzeczowniki, czasowniki, przymiotniki itd. Logika dla swoich
potrzeb też dokonuje podziału wyrażeń na kategorie. Wyrażeniom językowym przypisuje się kategorie syntaktyczne (odpowiadające rolom składniowym pełnionym przez te wyrażenia).
Definicja 1.23. Wyrażenie w 1 w danym miejscu wystąpienia w wyrażeniu
w 2 (jako napis) jest wymienialne (wymienialne salva congruitate) z wyrażeniem w 3 wtedy i tylko wtedy, gdy po wpisaniu wyrażenia w 3 w wyrażeniu
w 2 w to miejsce, w którym występuje wyrażenie w 1 otrzymamy ciąg wyrazów
będący wyrażeniem.
Na przykład w wyrażeniu „Jan pisze listy” wyrażenie „pisze” jest wymienialne z wyrazem „czyta”. Wyraz „listy” nie jest zaś wymienialny z wyrażeniem „ładnie wygląda”.
Definicja 1.24. Kategoria składniowa (kategoria syntaktyczna) jest
to klasa wszystkich i tylko wyrażeń wzajemnie wymienialnych.
Dwa wyrażenia należą więc do tej samej kategorii składniowej wtedy
i tylko wtedy, gdy są wzajemnie wymienialne w dowolnych wyrażeniach
w każdym miejscu ich wystąpienia. Wyrażeniami tej samej kategorii składniowej są „ziemniak” i „seler”.
Kategoria syntaktyczna to każda (maksymalna) klasa wyrażeń należących do tej samej kategorii składniowej. Dowolne dwa wyrażenia w 1 i w 2
należące do tej klasy są wzajemnie wymienialne w dowolnych wyrażeniach
i nadto do tej klasy należy każde wyrażenie w 3 wzajemnie wymienialne z wyrażeniami należącymi do tej klasy.
W wypadku języka, którego wyrażeniom może przysługiwać więcej niż
jedno znaczenie, jak to ma miejsce dla języka naturalnego, wyrażenie w zależności od tego, w jakim jest wzięte znaczeniu, ma taką lub inną kategorię
składniową. Wyraz „szyje” w jednym znaczeniu jest rzeczownikiem w liczbie
mnogiej, a w drugim znaczeniu jest czasownikiem. Przypisując wyrażeniu
kategorię składniową mamy na uwadze wyrażenie wzięte w określonym znaczeniu.
3
W dalszym ciągu mówiąc o wyrażeniach będziemy mieli na uwadze wyrażenia jakiegoś
jednego ustalonego języka. Możemy więc używać terminu „wyrażenie” zamiast „wyrażenie
języka J ”. Podobnie — jeśli nie będzie to prowadzić do nieporozumienia — będziemy
postępować z innymi terminami, których użycie powinno być zrelatywizowane do języka,
jak np.: „wyraz”, „zdanie”, „nazwa”.
38
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Dla nazwania kategorii składniowych stosowane są terminy znane z nauki
gramatyki. Terminom tym jednak w logice nadaje się specyficzne znaczenie.
Wyróżnimy kategorie zdań, nazw, predykatów, spójników oraz słówek kwantyfikujących.
To, z wyrazów jakich rodzajów gramatycznych zbudowane jest wyrażenie wyznacza strukturę lingwistyczną (gramatyczną) tego wyrażenia.
Struktura logiczna wyrażenia wyznaczona jest przez kategorie syntaktyczne wyrazów, z których to wyrażenie jest zbudowane. Problem przekładu
wyrażenia języka naturalnego na wyrażenie języka logiki to przede wszystkim problem wskazania takiej struktury logicznej, aby zachodziła intuicyjna
równoznaczność wyrażenia przekładanego z jego przekładem.
Zadania
Zadanie 1.22. Wskaż niektóre wyrazy, które należą do tej samej kategorii
składniowej co „i”.
Zadanie 1.23. Czy może być tak, że jakieś wyrażenie należy do różnych
kategorii?
Zadanie 1.24. Czy jeżeli wyrażenie w 1 należy do tej samej kategorii składniowej, co wyrażenie w 2 , to wyrażenie w 2 należy do tej samej kategorii
składniowej, co wyrażenie w 1 ?
Zadanie 1.25. Czy, jeżeli wyrażenie w 1 należy do tej samej kategorii składniowej, co wyrażenie w 2 , a w 2 należy do tej samej kategorii składniowej co
wyrażenie w 3 , to wyrażenie w 1 należy do tej samej kategorii składniowej co
wyrażenie w 3 ?
1.3.1
Zdanie i prawdziwość
Pewne wyrażenia są prawdziwe lub fałszywe. O wypowiedzi „Warszawa jest
stolicą Polski” powiemy, że jest prawdziwa. O wypowiedzi „Białystok jest
stolicą Polski” powiemy, że jest fałszywa. O wyrażeniu „czerwony kwiat”
ani nie powiemy, że jest fałszywe, ani że jest prawdziwe. Podobnie będzie
w wypadku „Zamknij drzwi!” i „Kto jest prezydentem Polski?”.
Definicja 1.25. Zdanie w sensie logicznym to takie i tylko takie wyrażenie,
które jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe.
Definicja 1.26. Sąd to sposób rozumienia zdania, czyli znaczenie zdania.
Zdarza się, że jakieś wyrażenie służy do wypowiedzenia wielu zdań. Wyrażenie takie ma syntaktyczną postać zdania, a wzięte poza kontekstem jest
39
wieloznaczne. Dopóki nie wiemy, jaki sąd należy wiązać z takim wyrażeniem,
dopóty nie możemy ani twierdzić, że jest ono prawdziwe, ani twierdzić, że
jest ono fałszywe. Może się bowiem zdarzyć, że wzięte w jednym znaczeniu jest zdaniem prawdziwym, a wzięte w innym znaczeniu, jest zdaniem
fałszywym.
Definicja 1.27. Zdanie α języka J1 jest równoznaczne ze zdaniem β języka J2 4 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie zdania α w języku J1 jest takie
samo jak znaczenie zdania β w języku J2 .
Zdania równoznaczne to zdania z jednego języka, którym reguły znaczeniowe tego języka przyporządkowują jeden i ten sam sąd lub zdania z różnych
języków, którym w każdym z tych języków ich reguły znaczeniowe przyporządkowują to samo znaczenie. Przetłumaczyć zdanie jednego języka na
zdanie drugiego to tyle, co znaleźć w języku, na który tłumaczymy, takie
zdanie, które wyraża taki sam sąd jak zdanie, które tłumaczymy.
Zdania są podstawową kategorią wyrażeń. Na zdania w sensie logicznym
nadają się zdania oznajmujące w sensie gramatycznym. Zdaniami w sensie
logicznym nie są ani zdania pytajne, ani rozkazujące i wykrzyknikowe. Tego
ustalenia terminologicznego nie należy rozumieć tak, że zasady logiki nie stosują się do wypowiedzi, w których występują zdania inne niż oznajmujące,
lub że logika zajmuje się tylko zdaniami typu oznajmującego. Niewątpliwie
jednak logika interesuje się przede wszystkim rozumowaniami, a dla nich
podstawowe są zdania jako wyrażenia prawdziwe lub fałszywe. Zrozumienie podanej definicji zdania wymaga dopowiedzenia, czym są prawdziwość
i fałszywość.
Gdy w zwykłych codziennych sytuacjach mówimy o prawdziwości wypowiedzi5 , to mamy na uwadze zgodność tej wypowiedzi z tym, jak jest
w rzeczywistości. Gdy mówię „pakunek A jest cięższy niż pakunek B”, to
o prawdziwości tej wypowiedzi rozstrzyga się porównując ciężary obu pakunków. Gdy w rzeczywistości pakunek A waży więcej niż pakunek B, to
moja wypowiedź jest uznawana za prawdziwą. Gdy zaś tak nie jest, a więc
gdy A waży tyle samo, co B lub B waży więcej niż A, to moja wypowiedź
4
Nie zakładamy, że język J2 jest różny od języka J1 .
Słowa „prawdziwy” używa się też w innych kontekstach i znaczeniach, np. na odróżnienie produktów od ich namiastek i substytutów, jak w wypadku: „prawdziwa kawa”.
Podobnie słowo „fałszywy” może być użyte nie tylko w odniesieniu do zdań. Mówimy np.
o prawdziwym przyjacielu i o fałszywym przyjacielu, mówimy o prawdziwym pokoju, ale
nie ma czegoś, co określalibyśmy jako fałszywy pokój, o kimś, np. o Janie, możemy mówić,
że jest fałszywy, ale nie mówimy (a w każdym razie nie wiemy, co to mogłoby znaczyć),
że Jan jest prawdziwy (możemy zaś powiedzieć: „Jan jest prawdziwym przyjacielem”).
5
40
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
uznawana jest za fałszywą. Takie podejście wskazuje, że kierujemy się klasycznym rozumieniem prawdy.
Definicja 1.28. Zdanie jest prawdziwe wówczas i tylko, gdy w rzeczywistości jest tak, jak to zdanie głosi. Zdanie jest zaś fałszywe wówczas i tylko,
gdy w rzeczywistości nie jest tak, jak zdanie to głosi.
Klasycznie rozumiana prawdziwość zdania nie zależy od tego, kto dane
zdanie wygłasza oraz od stanu wiedzy subiektywnie lub obiektywnie rozumianej.
Powyższe określenia prawdziwości i fałszywości zdań są potocznym sformułowaniem klasycznej koncepcji prawdy. Klasyczne pojęcie prawdy
jest dziełem starożytnych Greków i stanowi jeden z fundamentów cywilizacji europejskiej. Takie określenia prawdziwości i fałszywości znajdujemy
u Arystotelesa. Na przykład w swoim podstawowym dziele filozoficznym
„Metafizyka” pisze on:
Twierdzenie o Bycie, że nie istnieje, albo o Nie-Bycie, że istnieje,
jest fałszem; natomiast twierdzić, że Byt istnieje, a Nie-Byt nie
istnieje, jest prawdą.
A w innym fragmencie tego dzieła głosi, że
Prawda albo fałsz z punktu widzenia rzeczy zależy od ich połączenia lub rozdzielenia; kto więc myśli o rozdzielonym, że jest
rozdzielone, a o połączonym, że jest połączone, mówi prawdę,
natomiast głosi fałsz, jeżeli się myśli przeciwnie o tym stanie rzeczy.
Duże uznanie zyskała definicja tak pojmowanej prawdy sformułowana przez
żyjącego w Egipcie lekarza i filozofa żydowskiego Izaaka ben Salomona (845–
940). W łacińskim przekładzie głosi ona:
Veritas est adaequatio intellectus et rei, secundum quod intellectus dicit esse quod est vel non esse quod non est.
Zwrot:
veritas est adaequatio intellectus et rei
można by przetłumaczyć:
prawda jest zgodnością poznania i rzeczy.
41
Problemem była definicja, która, po pierwsze, wyrażałaby to, co zawarte
jest w klasycznym rozumieniu prawdy, a po drugie, spełniałaby warunki poprawności definicji formułowane w teorii definicji. Pierwszy warunek określa
się jako warunek intuicyjnej trafności, a drugi — metodologicznej poprawności. Definicję klasycznego rozumienia prawdy, spełniającą oba warunki,
podał A. Tarski (1901–1983) w pracy „Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych” z 1933 r. Definicja ta prowadzi do zgodnych z intuicyjną treścią
klasycznego rozumienia prawdy twierdzeń takich, jak to, że każde zdanie
jest prawdziwe albo fałszywe. Koncepcja prawdy według klasycznego, czyli
zgodnościowego rozumienia jest — jak też się mówi — korespondencyjną koncepcją prawdy.
Klasyczne rozumienie prawdy jest powszechne w nauce oraz w życiu codziennym. Filozofowie dyskutują nad innymi, różnymi od klasycznej koncepcjami prawdy, np. koherencyjną, pragmatyczną.
Wyrażając się swobodnie można powiedzieć, że w wypadku definicji koherencyjnej na to, aby zdanie było prawdziwe, potrzeba by nie wykluczało
się, by było zgodne ze zdaniami już uznanymi za prawdziwe. W sprawie tego,
co wystarcza, aby było prawdziwe, istnieją jednak różne opinie zwolenników
tej koncepcji.
Zdanie prawdziwe w sensie klasycznym nie może się wykluczać z innymi
zdaniami prawdziwymi, sama zgodność nie wystarcza jednak, aby było prawdziwe. Można bowiem wskazać zdanie fałszywe, które nie wyklucza się ze
zdaniami prawdziwymi.
W wypadku pragmatycznej koncepcji prawdy, pochodzącej od W. Jamesa (1842–1910), zdanie jest prawdziwe, gdy daje podstawę dla skutecznego działania. O przedmiocie powiemy, że jest niebieski nie dlatego, że jest
niebieski, lecz dlatego, że jest to bardziej użyteczne. Czy Ziemia jest okrągła? Odpowiedź zależy od użyteczności odpowiedzi. Kiedyś użyteczna była
odpowiedź, że jest płaska. Dzisiaj użyteczna jest odpowiedź, że jest okrągła.
W przyszłości ta odpowiedź może być inna, jednak będzie o tym decydowała
użyteczność tej odpowiedzi.
Działa się skutecznie, opierając się na zdaniach prawdziwych w sensie
klasycznym. Zdarza się jednak, że np. skutecznie leczy się jakieś schorzenie, kierując się fałszywym przekonaniem co do działania stosowanego leku.
Dowodzą tego doświadczenia z tzw. placebo.
Prawdziwość zdania w sensie koherencyjnym lub pragmatycznym jest
zatem warunkiem koniecznym prawdziwości w sensie klasycznym. Nie jest
zaś warunkiem wystarczającym.
Relatywność prawdy głoszą ci, co uważają, że prawdziwość zdania
zależy od okresu historycznego, kultury lub grupy społecznej. Zdanie, które
42
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
jest prawdziwe w jednym okresie historycznym nie musi być takie w innym
czasie. Zdanie prawdziwe dla ludzi jednej kultury nie musi być takie dla
ludzie innej tradycji. Grupa społeczna, klasa, a nawet płeć, ma swoje prawdy,
które nie są prawdami innych grup.
Zgodnie z klasową koncepcją prawdy odrzucano jako burżuazyjne pseudonauki np. teorię względności i genetykę. Podział ten utrzymał się najdłużej tam, gdzie sprawdzanie trwa najdłużej (ale i koszty są największe):
w dziedzinie nauk społecznych.
Współcześnie wielu zwolenników ma feminizm. Na przykład feministyczna matematyka w związku z mniejszym naciskiem na męską koncepcję
„dowodu” ma zrewolucjonizować świat i doprowadzić do rozwiązania dotąd
nierozwiązywalnych problemów. Pogląd ten ma znajdować oparcie w koncepcji matematyki Stephen’a Wolframa.
Rozstrzygnięcia w zakresie rozumienia prawdy mają dalekosiężne konsekwencje filozoficzne i światopoglądowe. Ci, którzy opowiadają się za korespondencyjną koncepcją prawdy, w etyce opowiadają się za etycznym realizmem. Zadaniem etyki jest poszukiwanie i uzasadnianie absolutnych prawd
moralnych. Normy etyczne są powszechne, tzn. obowiązują bez względu
na czas historyczny, kulturę, grupę społeczną itp. Ci, którzy przyjmują relatywistyczne rozumienie prawdy mogą w zgodzie z tak rozumianą prawdą
głosić relatywizm moralny. Normy etyczne są różne w różnych czasach, różnych kulturach itp. Gdy przyjmie się, że prawdziwe jest to, co większość
ludzi uważa za prawdziwe, to w sprawie norm moralnych można rozstrzygać
za pomocą referendum. Dla niektórych nawet wynika to z zasad demokratycznego charakteru życia społecznego. Rozstrzygnięcia w kwestii etyki mają
istotne konsekwencje dla prawa.
Pytanie, co to jest prawda, które Piłat stawia stojącemu przed sądem
Chrystusowi, jest pytaniem, które musi stawiać sobie każdy.
Przyjęcie klasycznego rozumienia prawdy nie prowadzi do odrzucenia tolerancji jako tolerancji dla osób, czyli poszanowania ludzi bez względu na ich
poglądy, bez względu na to, czy mają, czy też nie mają racji.
W naszych rozważaniach stać będziemy na gruncie klasycznego rozumienia prawdy. Dla logiki jest ono podstawowe. Zauważmy bowiem, że nawet
ci, którzy głoszą inne koncepcje, muszą stawiać pytanie, czy ich rozumienie
prawdy jest zgodne z rzeczywistością, a więc pytają o prawdziwość, w sensie
klasycznym, zdań, za pomocą których formułują swoją koncepcję.
Od prawdziwości i fałszywości odróżnić należy kategorie szczerości (prawdomówności) i kłamstwa. Prawdziwość i fałszywość są obiektywnymi własnościami zdań. O zdaniu możemy zaś orzekać, że jest szczere, lub że jest
kłamstwem, ze względu na kogoś, kto to zdanie wypowiada.
43
Definicja 1.29. Ktoś jest szczery (prawdomówny) wypowiadając zdanie
α, gdy wygłaszając α jako zdanie prawdziwe czyni to zgodnie ze swoimi
przekonaniami.
Może się zdarzyć, że ktoś wygłasza jakieś fałszywe zdanie będąc przekonanym o jego prawdziwości. W takim wypadku ten ktoś mówiąc nieprawdę
myli się. Zarzut kłamstwa wobec tego kogoś jest bezpodstawny. Mówienie
nieprawdy nie jest tym samym, co kłamanie.
Definicja 1.30. Ktoś kłamie wygłaszając zdanie α, gdy wygłaszając α jako
zdanie prawdziwe czyni to niezgodnie ze swoimi przekonaniami.
Może się zdarzyć, że ktoś kłamiąc mówi prawdę. Jest tak, gdy mówiący
jest przekonany o fałszywości wygłaszanego zdania, a zdanie to jest prawdziwe.
Od prawdziwości i fałszywości należy również odróżniać kategorie wiedzy i niewiedzy subiektywnie lub obiektywnie rozumianych. Ktoś może nie
wiedzieć lub nikt może nie wiedzieć, a nawet czasem ze względów np. technicznych nikt nigdy nie będzie wiedział, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy
fałszywe. Ono samo jednak jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Albowiem
to, co ono głosi, jest bądź zgodne, bądź niezgodne ze stanem rzeczy.
Może się np. zdarzyć, że wątpię, czy jest tak, jak głosi jakieś zdanie α.
Zatem ani nie twierdzę, że α jest prawdziwe, ani nie twierdzę, że α jest
fałszywe. Czy zatem α nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe? To, że wątpię,
czy jest tak jak głosi α, nie znaczy, że nie jest tak, że:
bądź jest tak, że α, bądź nie jest tak, że α.
Zauważmy, że klasyczne pojęcie prawdy jest pojęciem relacyjnym (nie należy tego mylić z relatywizmem w rozumieniu prawdy). To, czy zdanie jest
prawdziwe, czy nie, zależy od stanu rzeczy, ze względu na który to zdanie orzekamy. Zwykle gdy mówimy, że zdanie jest prawdziwe, nie mówimy
o tym ze względu na jaki stan rzeczy, ze względu na jaki «świat», jest ono
prawdziwe. Domyślnie przyjmujemy, że jest to świat realny, otaczająca nas
rzeczywistość.
Pewne sytuacje życia codziennego sugerowałyby, że czasem przyjmujemy
nie relacyjne a relatywistyczne rozumienie prawdy. Jest tak jednak tylko
pozornie. Kiedy bowiem zdarza się nam słyszeć?:
To jest prawdą dla ciebie, ale nie dla mnie.
Zwykle jest tak w wypadku wypowiedzi oceniających. Wypowiedź: „Bill
Clinton jest dobrym prezydentem” może być różnie rozumiana ze względu na
44
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
możliwe różne rozumienia słowa „dobry”. Zależnie od rozumienia tego słowa
zdanie to jest prawdziwe lub fałszywe. „Jan jest dobrym kolegą” nawet przy
jednym znaczeniu słowa „dobry” jest zdaniem prawdziwym dla tej osoby,
dla której Jan jest dobrym kolegą, zaś fałszywym dla tej osoby, dla której
Jan nie jest dobrym kolegą. Nie ma przecież żadnej sprzeczności w tym,
by ta sama osoba była dobrym kolegą kogoś jednego i nie była dobrym kolegą kogoś drugiego. Podobnie będzie w wypadku zdania „lody pistacjowe
są smaczne”. Gdy mówię, że to nieprawda, to zwykle mam na uwadze to, że
mi lody pistacjowe nie smakują. W istocie mówię więc o fałszywości zdania
„lody pistacjowe mi smakują”. Powodem różnicy poglądów co do tego, czy
zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, może też być stan wiedzy osób, które
różnią się poglądami. Stwierdzając więc, że zdanie α jest prawdziwe dla Jana
a fałszywe dla Piotra, głosimy, że Jan uważa α za prawdziwe, a Piotr za fałszywe. Sytuacja taka, że dwie osoby zajmują różne stanowisko w sprawie
prawdziwości jakiegoś zdania, nie jest argumentem przeciwko klasycznemu
rozumieniu prawdy, daje się bowiem wyjaśnić także przy klasycznym rozumieniu prawdy.
Prawdziwość i fałszywość to wartości logiczne zdań. Stoimy na stanowisku, że zdania są bądź prawdziwe, bądź fałszywe, czyli uznajemy zasadę
dwuwartościowości. Przyjmujemy więc, że oprócz prawdziwości i fałszywości nie ma innych wartości logicznych6 . Zasada dwuwartościowości jest
podstawowym założeniem logiki klasycznej.
Określenie prawdziwości jako zgodności tego, co zdanie głosi z tym, jak
jest w rzeczywistości, nic nie mówi o tym, jak tę zgodność stwierdzić, czyli
nie podaje kryterium (probierza) prawdziwości. Okazuje się, że mogą
być różne sprawdziany tego, czy zdanie jest prawdziwe. W związku z dyskusją koherencyjnej i pragmatycznej koncepcji prawdy zauważyliśmy, że nie
stoją one w sprzeczności z klasycznym rozumieniem prawdy. Mogą one stanowić podstawę dla kryterium prawdy rozumianej klasycznie. W wypadku
koherencyjnej koncepcji prawdy zdanie prawdziwe nie może wykluczać się
ze zdaniami prawdziwymi, a więc gdy zdanie wyklucza się z jakimś zdaniem
prawdziwym, to zdanie to można odrzucić jako fałszywe. W wypadku pragmatycznej koncepcji prawdy zdanie prawdziwe daje podstawę do skutecz6
Rozważa się możliwość innych wartości logicznych niż prawda i fałsz. Badania nad
logikami więcej niż dwuwartościowymi, logikami wielowartościowymi, zostały zapoczątkowane przez J. Łukasiewicza i E. Posta. Wielowartościowe rachunki logiczne znajdują
zastosowanie w badaniach nad systemami logiki, mogą być wykorzystane dla opisu zagadnień technicznych lub — przez filozofów przyrody — dla lepszego zrozumienia niektórych
zjawisk, np. kwantowych. Jeśli chodzi o teorię rozumowań, to logiki wielowartościowe nie
spełniły oczekiwań ich twórców — naszym myśleniem «rządzi» logika dwuwartościowa.
45
nego działania, a więc nieskuteczne działanie wskazuje na fałszywość zdania,
w oparciu o które działamy. Ze względu na rodzaj kryterium prawdy zdania
dzielimy na te, których wartość logiczna:
1. jest określona przez znaczenia składających się na nie wyrażeń;
2. jest zależna od rzeczywistości, o której jest zdanie.
W wypadku niektórych zdań dla stwierdzenia ich prawdziwości wystarcza
znajomość znaczenia składających się nie wyrażeń. Ktoś, kto rozumie słowo
„kawaler”, na podstawie samego znaczenia uznaje za prawdziwe zdanie „kawaler nie ma żony”. Stwierdzenie prawdziwości zdania „α lub nieprawda, że
α” wymaga tylko rozumienia zwrotów „lub” i „nieprawda, że” oraz uwzględnienia budowy tego zdania.
Definicja 1.31. Zdanie analityczne to zdanie, które jest prawdziwe na
mocy znaczenia składających się na nie wyrażeń i swej budowy.
Zdanie analityczne to zdanie, którego nie można uznać za fałszywe bez
naruszenia reguł semantycznych.
Podobnie jak można stwierdzić prawdziwość zdania na podstawie samego
znaczenia, tak można też stwierdzić fałszywość zdania. Ma to miejsce w wypadku zdań „trójkąt ma cztery boki” oraz „α i nieprawda, że α”.
Definicja 1.32. Zdanie wewnętrznie sprzeczne (wewnętrznie kontradyktoryczne) to zdanie, które jest fałszywe na mocy znaczenia składających się na nie wyrażeń i swej budowy.
Zdanie wewnętrznie sprzeczne (wewnętrznie kontradyktoryczne) to zdanie, którego nie można uznać za prawdziwe bez naruszenia reguł semantycznych języka. Należy odróżniać między zdaniem kontradyktorycznym
a bezsensem. Zdanie kontradyktoryczne nie jest bezsensem, bowiem wyraża
pewien sąd, ma znaczenie. Bezsens mając nawet syntaktyczną postać zdania jest wyrażeniem, któremu zgodnie z regułami semantycznymi nie można
przypisać znaczenia, a tym samym nie przysługuje mu wartość logiczna.
Mówiąc o funkcji informacyjnej języka zauważyliśmy, że obiektywna zawartość informacyjna komunikatu może być mierzona prawdopodobieństwem
zajścia sytuacji opisywanej przez ten komunikat. Zgodnie z tym zdania analityczne nie przekazywałyby żadnej informacji, zaś zdania wewnętrznie kontradyktoryczne byłyby zdaniami z maksymalną informacją (tyle że fałszywą).
W wypadku zdań analitycznych i wewnętrznie kontradyktorycznych dla
ustalenia ich prawdziwości i, odpowiednio, fałszywości nie jest konieczny kontakt poznawczy z rzeczywistością (pozajęzykową). Inaczej jest w wypadku
46
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
pozostałych zdań w sensie logicznym, czyli zdań, które nie są ani analityczne,
ani wewnętrznie kontradyktoryczne.
Definicja 1.33. Zdanie syntetyczne to zdanie, stwierdzenie prawdziwości
którego wymaga poznawczego kontaktu z rzeczywistością, o której jest to
zdanie.
Zdaniem syntetycznym jest „Jan Kowalski jest ojcem Piotra Kowalskiego”.
Ustalenie ojcostwa nie jest proste. Nie jest jednak w ogóle możliwe na podstawie samych znaczeń wyrażeń i budowy zdania.
Znaczenie i budowa zdań mogą być źródłem pewnych związków między
nimi.
Definicja 1.34. Zdanie α jest logicznie równoważne zdaniu β wtedy
i tylko wtedy, gdy analityczne jest zdanie „α wtedy i tylko wtedy, gdy β”.
Zdania równoznaczne są logicznie równoważne. Przykładem zdań logicznie równoważnych są „Warszawa jest stolicą Polski” i „stolicą Polski jest
Warszawa”. Dwa zdania tworzą parę zdań logicznie równoważnych wówczas,
gdy na mocy ich znaczenia i budowy wykluczone jest, aby było możliwe, że
jedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe. Zdania logicznie równoważne
mogą być bądź współprawdziwe, bądź współfałszywe. Zdaniami logicznie
równoważnymi są więc również „Białystok jest stolicą Polski” i „stolicą Polski jest Białystok”. Każde zdanie jest logicznie równoważne samemu sobie.
Zdaniami logicznie równoważnymi są „α ∧ β” i „β ∧ α”.
Definicja 1.35. Zdanie α jest sprzeczne ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,
gdy zdanie „α wtedy i tylko wtedy, gdy β” jest zdaniem wewnętrznie sprzecznym.
Przykładem zdań sprzecznych mogą być zdania: „Warszawa jest stolicą
Polski”, „Warszawa nie jest stolicą Polski”. Dwa zdania tworzą parę zdań
sprzecznych wtedy i tylko wtedy, gdy na mocy znaczenia wykluczona jest
możliwość ich współprawdziwości i wykluczona jest możliwość ich współfałszywości. Zdaniami sprzecznymi są więc zawsze zdanie i jego negacja: α,
nie-α. Zdaniami sprzecznymi są jednak nie tylko takie zdania. Sprzeczne są
zdania: „każdy student ma wykłady z logiki”, „niektórzy studenci nie mają
wykładów z logiki” 7 .
Definicja 1.36. Zdanie α dopełnia się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,
gdy zdanie „α lub β” jest zdaniem analitycznym.
7
Zdanie to (na mocy prawa De Morgana) jest logicznie równoważne negacji zdania
„każdy student ma wykłady z logiki”.
47
Przykładem zdań dopełniających się są zdania: „niektóre stoły mają
cztery nogi”, „niektóre stoły nie mają czterech nóg”. Zdania dopełniają się,
gdy na mocy ich znaczenia i budowy wykluczona jest ich współfałszywość.
Definicja 1.37. Zdanie α wyklucza się ze zdaniem β wtedy i tylko wtedy,
gdy zdanie „α i β” jest zdaniem wewnętrznie kontradyktorycznym.
Zdania, które się wykluczają, nie mogą być współprawdziwe. Przykładem takich zdań są: „ten stół jest biały”, „ten stół jest zielony”.
Zdania, które się dopełniają, nie muszą się wykluczać, a zdania, które się
wykluczają, nie muszą się dopełniać. Gdy tak jednak jest, to są to zdania
sprzeczne. Zdania są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy się wykluczają
i dopełniają zarazem.
Zadania
Zadanie 1.26. Czy kategorie: postępow e, współczesne, tak sądzi większość
ludzi, są «konkurentami» kategorii prawdy?
Zadanie 1.27. Podaj jeszcze inne niż wymienione w zad. 1.26 powody, dla
których niektórzy uznają zdania.
Zadanie 1.28. Podaj przykład tekstu, w którym występują zdania fałszywe
i zdania prawdziwe oraz żadne z tych zdań nie wyklucza się z innymi.
Zadanie 1.29. Czy świadek zeznający pod przysięgą może być ukarany, gdy:
1. kłamie?
2. mówi nieprawdę?
Zadanie 1.30. Zaklasyfikuj podane zdania jako analityczne, kontradyktoryczne lub syntetyczne:
1. Białystok jest w Polsce.
2. Każde polskie miasto jest w Polsce.
3. Niektóre psy są łaciate.
4. Wiem, co wiem.
5. Niektóre koty jedzą ryby, a niektóre nie jedzą ryb.
6. Niektóre koty jedzą ryby i nie jedzą ryb.
48
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
7. Większość kotów je ryby i większość nie je.
8. Jest wiele drzew w Puszczy Białowieskiej.
9. Wszystkie drzewa w Puszczy Białowieskiej są drzewami.
10. Niektórzy kawalerowie nie są szczęśliwi.
11. Wszyscy kawalerowie nie są żonaci.
12. Niektórzy kawalerowie są żonaci.
13. Niektórzy kawalerowie są kobietami.
14. Jesteśmy, kim jesteśmy.
15. Fałsz jest fałszem, niezależnie jak dawny; prawda jest prawdą, chociażby zrodziła się wczoraj.
16. Nic w biznesie nie jest tak cenne, jak czas.
17. Jesteśmy na nieodwracalnej drodze wolności i demokracji — lecz może
się to zmienić.
18. Jestem tak bardzo za, że aż przeciw. (Lech Wałęsa)
19. Jeśli coś nie działa, to nie działa.
20. To, że wszystko jest inne, nie znaczy, że coś się zmieniło.
21. Byłem zdrowy przez całe życie oprócz kilku ostatnich lat, gdy choruję
na serce.
22. Wielkość jest wielkością, bez względu na setki błędów.
23. Główną przyczyną masowego analfabetyzmu jest fakt, że każdy umie
czytać i pisać.
24. Analfabeta? Napisz jeszcze dziś prośbę o bezpłatną pomoc.
w autobusach w San Francisco).
(Napis
25. Gdy ludzi są bez pracy, mamy bezrobocie.
26. Jestem tolerancyjny wobec wszystkich z wyjątkiem nietolerancyjnych.
27. Nasza przeszłość jest historią.
49
28. Wszystkie dzieci są młode.
29. Istnieję.
30. Umowa nie zostanie dotrzymana chyba, że zdarzy się cud.
Zadanie 1.31. Podaj zdanie logicznie równoważne, zdanie sprzeczne, zdanie
dopełniające się i zdanie wykluczające się ze zdaniem:
1. Nieprawda, że α;
2. α lub β;
3. α i β;
4. Jeżeli α, to β;
5. α wtedy i tylko wtedy, gdy β;
6. Każde x jest P;
7. Niektóre x są P;
8. Żadne x nie jest P;
9. Niektóre x nie są P.
Zadanie 1.32. Czy prawdziwe może być zdanie „to, co mówię nie jest prawdą” 8 ?
Zadanie 1.33. Nieomylnym jest ktoś, kto w wypadku dowolnego zdania α
na pytanie, czy wie, że α, jeśli α jest fałszywe, odpowiada, że nie wie. Czy
można być nieomylnym?
Zadanie 1.34. Wszechwiedzącym jest ktoś, kto w wypadku dowolnego zdania
α na pytanie, czy wie, że α, jeśli α jest prawdziwe, odpowiada, że wie. Czy
można być wszechwiedzącym?
1.3.2
Nazwa
Drugą, obok zdań, ważną kategorią wyrażeń są nazwy. Wyrażenia: „krzesło”, „stół”, „Jan”, „najwyższy budynek świata”, „nauczyciel matematyki” są
nazwami.
Nazw używamy do wskazywania przedmiotów: osób, rzeczy, przedmiotów
abstrakcyjnych. To, do wskazania jakich przedmiotów nazwy można użyć,
jest składnikiem znajomości języka.
8
Por. o paradoksie kłamcy w części 2.5.8 pt. Paradoksy logiczne.
50
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Definicja 1.38. Nazwa to wyrażenie, które służy do wskazywania przedmiotów.
Ta semantyczna definicja nazwy przez jej funkcję może być zastąpiona
definicją syntaktyczną przez wyróżnienie w słowniku kategorii nazw i wskazanie reguł syntaktycznych tworzenia nazw. Nazwy nadają się na podmiot
lub orzecznik.
W języku naturalnym jako nazwy mogą być użyte rzeczowniki, przymiotniki, imiesłowy przymiotnikowe, przysłówki, liczebniki.
Zakres i znaczenie nazwy
Definicja 1.39. Nazwa oznacza (denotuje) przedmiot, do wskazania którego jest używana. Przedmiot oznaczany przez nazwę to jej desygnat9 .
Pojęcie nazwy — jak w ogóle wyrażenia — zrelatywizowane jest to języka. Kiedy mówimy tu o nazwie mamy na uwadze nazwę jakiegoś języka J .
Reguły semantyczne języka J wyznaczają jego dziedzinę, czyli uniwersum,
tj. — mówiąc po prostu — świat, o którym można mówić za pomocą języka
J . Zwykle, w szczególności w przykładach, gdy nie jest zaznaczone, o jaki
język chodzi, mamy na uwadze język naturalny.
Definicja 1.40. Zbiór desygnatów wszystkich nazw danego języka to zbiór
uniwersalny (dziedzina) tego języka (symb.: U).
W wypadku arytmetyki liczb naturalnych zbiorem uniwersalnym jest
zbiór liczb naturalnych. Elementy tego zbioru są desygnatami wszystkich
nazw liczb naturalnych. Jeśli dziedziną rozważań jest świat roślin, co ma
miejsce w wypadku botaniki, to zbiorem uniwersalnym jest zbiór roślin. Rośliny są wszystkimi desygnatami nazw języka botaniki.
Określenie zbioru uniwersalnego (dziedziny) jest składnikiem definicji języka.
Elementami zbioru uniwersalnego nie muszą być przedmioty (realnie) istniejące. Możemy tworzyć — i tworzymy — języki do mówienia o wytworach
wyobraźni. Do zbioru uniwersalnego języka bajki o krasnoludkach i sierotce
Marysii należeć będą krasnoludki, Marysia i inne postacie z tej bajki.
Desygnaty nazwy jednoznacznie określają jej zakres (denotację).
Definicja 1.41. Przedmiot a należy do zakresu nazwy „A” wtedy i tylko
wtedy, gdy a jest desygnatem nazwy „A”.
9
Designo — po łacinie — wyznaczam, wskazuję.
51
Stoły są desygnatami nazwy „stół”. Do zakresu tej nazwy należą wszystkie i tylko stoły.
Zakres nazwy zależy od uniwersum języka. Desygnatami nazwy mogą
być bowiem tylko elementy zbioru uniwersalnego. Zakres nazwy nie może
wychodzić poza dziedzinę języka.
Zakres nazwy można określać ze względu na stan faktyczny, czyli jak jest
w rzeczywistości lub ze względu na logiczną możliwość. Rozróżniamy więc
pomiędzy zakresem analitycznym a zakresem syntetycznym.
Definicja 1.42. Zakresem analitycznym nazwy jest zbiór wszystkich
i tylko logicznie możliwych jej desygnatów.
Definicja 1.43. Zakresem syntetycznym nazwy jest zbiór wszystkich
i tylko tych przedmiotów, które są jej desygnatami.
Zauważmy, że zakres syntetyczny zawiera się w zakresie analitycznym,
tzn. każdy element zakresu syntetycznego jest elementem zakresu analitycznego, ale nie koniecznie na odwrót. Na przykład analityczny zakres nazwy
„pasażerskie lotnisko w Białymstoku” jest niepusty, ale jej zakres syntetyczny
jest pusty i taki będzie dopóki w Białymstoku nie zostanie pobudowane lotnisko pasażerskie.
W wypadku syntetycznego rozumienia zakresu rozróżniać można zakresy
biorąc pod uwagę sytuację aktualną lub historyczną. Można więc twierdzić,
że nazwa „król Polski” jest pusta, mając na uwadze stan aktualny lub, że
nazwa ta ma wiele desygnatów, kiedy pod uwagę bierzemy historię Polski.
Zdarza się, że te same co do kształtu wyrażenia służą do wypowiedzenia
różnych nazw. Gdy zajdzie taka potrzeba będziemy mówić o wyrażeniu
nazwowym.
Definicja 1.44. Wyrażenie nazwowe to wyrażenie, które może być użyte
do wypowiedzenia nazwy.
Definicja 1.45. Pojęcie to sposób rozumienia nazwy, czyli znaczenie nazwy.
Wyrażeniu może przysługiwać więcej niż jedno znaczenie, a więc z wyrażeniem nazwowym może być wiązane więcej niż jedno pojęcie. Dopóki
nie wiemy, jakie w danym wypadku pojęcie należy wiązać z wyrażeniem
nazwowym, dopóty nie wiemy do wypowiedzenia jakiej nazwy jest to wyrażenie użyte. Kiedy mówimy o „nazwie” mamy na uwadze wyrażenie należące do kategorii nazw z przysługującym mu — jeżeli mu przysługuje —
52
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
znaczeniem. Kiedy mówimy tu np. o „nazwie wieloznacznej” to mamy na
uwadze wyrażenie nazwowe, które może być użyte do wypowiedzenia różnych nazw. Wyrażenia „nazwa” używamy więc również w znaczeniu „wyrażenie nazwowe”. Będziemy tak postępować w wypadkach użycia tradycyjnej
terminologii. W każdym wypadku powinno być jasne, w jakim znaczeniu
termin „nazwa” został użyty. Terminu „nazwa” będziemy tu z zasady używać na oznaczenie wyrażeń kategorii nazwowej wziętej w dokładnie jednym
znaczeniu. Unikniemy w ten sposób zwrotów w rodzaju „nazwa A wzięta
w znaczeniu z”.
Definicja 1.46. Nazwa A z języka J1 jest równoznaczna z nazwą B z języka J2 10 wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie nazwy A w języku J1 jest takie
samo jak znaczenie nazwy B w języku J2 .
Nazwy równoznaczne to nazwy z jednego języka, którym reguły znaczeniowe tego języka przyporządkowują jedno i to samo pojęcie lub nazwy
z różnych języków, którym w każdym z tych języków ich reguły przyporządkowują to samo znaczenie. Przetłumaczyć jakąś nazwę z jednego języka na
drugi to znaczy tyle samo, co wskazać w drugim języku nazwę, której przyporządkowane jest to samo pojęcie, co nazwie w języku, z którego tłumaczymy.
Nazwami równoznacznymi są np. „kartofel” i „ziemniak”.
Terminu „pojęcie” używamy — jeśli nie będzie to specjalnie zaznaczone —
w znaczeniu „znaczenie nazwy”. Samo słowo „pojęcie” ma więcej niż jedno
znaczenie. O pojęciu mówimy jako o wiedzy, poglądzie lub opinii. Kiedy
mówię, że nie mam pojęcia jak działa komputer, to mówię, że nie wiem jak
działa komputer. Kiedy ktoś mówi, że nie ma pojęcia co sądzić o jakiejś
sprawie, to mówi tyle, że nie ma w tej sprawie opinii. Ponieważ „pojęcie”
jest wyrażeniem nazwowym, znaczy to więc, że przyporządkowane jest mu
więcej niż jedno pojęcie. Gdy jednak mówimy o pojęciu jako o znaczeniu
określonej nazwy, to nie możemy mówić, że jest ono wieloznaczne. Zdanie stwierdzające to będzie zdaniem wewnętrznie kontradyktorycznym. Na
przykład zdanie „pojęcie zamku jest wieloznaczne” jest równoważne zdaniu
„znaczenie słowa ‘zamek’ jest wieloznaczne” lub — co na jedno wychodzi —
„znaczenie słowa ‘zamek’ ma więcej niż jedno znaczenie”. Zdaniami prawdziwymi, a tym samym nie będącymi wewnętrznie kontradyktorycznymi są
zdania:
Słowu „zamek” reguły semantyczne przyporządkowują więcej niż jedno
pojęcie.
Słowo „zamek” ma więcej niż jedno znaczenie.
10
Nie zakładamy, że język J2 jest różny od języka J1 .
53
Definicja 1.47. Nazwa jest wieloznaczna zakresowo wtedy i tylko wtedy,
gdy jej zakres w jednym znaczeniu jest różny od jej zakresu w innym znaczeniu.
Wieloznaczna zakresowo jest np. nazwa „zamek”.
Nazwy wieloznaczne zakresowo są wieloznaczne. Odwrotna sytuacja nie
musi mieć miejsca. Nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszkaniec Warszawy” są równozakresowe, ale nie są równoznaczne.
Znaczenie nazwy jest jej cechą obiektywną, określone jest bowiem przez
reguły znaczeniowe języka. Użytkownicy języka nie naruszając tych reguł
mogą wiązać z nazwą przysługiwanie lub nie jakichś cech przez jej desygnaty.
Definicja 1.48. Treść językowa (konotacja) nazwy to zbiór tych i tylko
tych cech, które zgodnie z regułami semantycznymi przypisywane są każdemu
jej desygnatowi.
Treść językowa nazwy:
1. nie zależy od posiadania przez nazwę desygnatów;
Nazwy pustej użytkownik języka będzie używał do wskazania każdego
przedstawienia przedmiotu, które będzie ujmowało cechy należące do
treści językowej takiej nazwy. Rysunek będzie uznany za przedstawienie krasnoludka, jeśli przedmiot przedstawiony na rysunku, będzie
miał cechy zawarte w treści nazwy „krasnoludek”.
2. nie musi obejmować wszystkich wspólnych cech desygnatów;
To, że treść językowa nazwy nie musi obejmować wszystkich cech
wspólnych desygnatów tej nazwy może skutkować uznaniem pewnych
przedmiotów za desygnaty nazwy, choć nimi nie są, jak np. w wypadku języka potocznego treść językowa nazwy „ryba” umożliwiałaby
uznanie wieloryba za rybę (bo w treści nazwy „ryba” uwzględnione są
tylko niektóre cechy wspólne wszystkim rybom i wszystkie te cechy
przysługują również wielorybom), a treść językowa nazwy „gwiazda”
umożliwiałaby uznanie planet za gwiazdy (bo wszystkie cechy zawarte
w treści nazwy „gwiazda” posiadają również planety).
ponadto
3. może obejmować cechy, które w rzeczywistości nie przysługują wszystkim jej desygnatom.
W tym, że treść językowa można obejmować cechy, które nie przysługują wszystkim jej desygnatom należy upatrywać trudności zwykłego
użytkownika języka w uznaniu nietoperza za ssaka (bo ssak potocznie
kojarzy się ze zwierzęciem, które nie jest zdolne do latania).
54
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Treść językowa ma charakter historyczny. Musimy być tego świadomi
czytając dawne teksty: tym samym wyrazom niekoniecznie towarzyszyły te
same treści, które wiążemy z nimi współcześnie. Treść językowa ma również
charakter subiektywny. Musimy być tego świadomi w kontaktach z innymi:
wpływ mają wykształcenie, środowisko, różnice kulturowe i religijne. Nie
tylko ważne jest, co się mówi (jakie słowa są wypowiadane), ale też kto
mówi, np. z zasady polityk jest za postępem i rozwojem, lecz w zależności
od reprezentowanej przez niego opcji politycznej słowa „postęp” i „rozwój”
mogą mieć zasadniczo różne treści. Zdarza się, że temu samemu wyrazowi
różne słowniki przypisują różną treść językową. Ta sama nazwa różni się
treścią w zależności od języka. Treść nazwy „woda” w języku potocznym nie
pozwala jej odnosić się do lodu, inaczej zaś jest w języku nauki.
Mówimy też o treści pełnej.
Definicja 1.49. Treścią pełną nazwy jest zbiór cech, które łącznie przysługują każdemu jej desygnatowi.
Nazwy są równoznaczne wtedy i tylko wtedy, gdy nie różnią się treścią.
W zbiorze wszystkich cech można wyróżnić takie, które same w pełni
charakteryzują zakres nazwy. Będzie to treść charakterystyczna.
Definicja 1.50. Treścią charakterystyczną nazwy jest zbiór cech taki,
że każdy desygnat tej nazwy posiada te cechy oraz tylko przedmioty będące
jej desygnatami posiadają te cechy łącznie.
Treść charakterystyczna nazwy jest więc jednoznaczną charakterystyką
jej zakresu. Na przykład treść charakterystyczną nazwy „człowiek” tworzą
cechy zwierzęcości i rozumności: człowiek to zwierze rozumne.
Danej nazwie można przyporządkować więcej niż jedną treść charakterystyczną. Na przykład kwadrat jest jednoznacznie charakteryzowalny przez
bycie prostokątem równobocznym, ale również może być jednoznacznie scharakteryzowany jako prostokąt równoboczny wpisywalny w koło. Wyróżnić
możemy treść charakterystyczną minimalną, czyli taką, że odrzucenie z niej
jakiejkolwiek cechy powoduje, że treść ta przestaje być treścią charakterystyczną tej nazwy.
Definicja 1.51. Treścią konstytutywną nazwy jest najmniejsza treść
charakterystyczna tej nazwy. Cechy składające się na treść konstytutywną
to cechy konstytutywne.
Cechami konstytutywnymi człowieka są zwierzęcość i rozumność. Łącznie
te cechy składają się na treść konstytutywną nazwy „człowiek”.
55
Może być tak, że treści konstytutywne nazwy są różne. Na przykład
kwadrat możemy minimalnie jednoznacznie charakteryzować jako prostokąt
równoboczny lub możemy w taki sam sposób scharakteryzować go jako czworobok równoboczny (romb) wpisywalny w koło.
Ze względu na dane cechy konstytutywne wyróżniamy cechy względem
nich pochodne.
Definicja 1.52. Cechą konsekutywną desygnatów nazwy są te cechy,
które nie są konstytutywne a których przysługiwanie każdemu desygnatowi
nazwy wynika z faktu przysługiwania im cech konstytutywnych.
Cechami konsekutywnymi kwadratu jako prostokąta równobocznego są
np. wpisywalność w koło, przecinanie się przekątnych pod katem prostym,
równość obu przekątnych.
Każdemu desygnatowi nazwy może przysługiwać cecha, która nie jest ani
cechą konstytutywną ani cechą konsekutywną. Na przykład cecha dwunożności należy do pełnej treści nazwy człowiek, a nie jest ani cechą konstytutywna
ani konsekutywną człowieka. Taka cecha to cecha przygodna.
Supozycje
Nazwy mogą być użyte na różne sposoby, w logice tradycyjnej określane jako
supozycje11 . Sposoby te charakteryzowane są przez to, do wskazania czego
nazwa została użyta.
Definicja 1.53. Nazwa użyta jest w supozycji naturalnej (suppositio naturalis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do każdego ze swoich desygnatów.
W zdaniu „człowiek jest śmiertelny” nazwa „człowiek” odnosi się do każdego swojego desygnatu. Zdanie „człowiek jest śmiertelny” jest więc równoważne zdaniu „każdy człowiek jest śmiertelny”.
Definicja 1.54. Nazwa użyta jest w supozycji przedmiotowej (suppositio personalis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do jednego ze swoich
desygnatów.
W zdaniu „widzę człowieka” nazwa „człowiek” odnosi się do jednego ze
swoich desygnatów.
Definicja 1.55. Nazwa użyta jest w supozycji formalnej (suppositio simplex, zwanej też suppositio formalis) wtedy i tylko wtedy, gdy użyta jest jako
nazwa gatunku wszystkich i tylko swoich desygnatów.
11
Supponere — po łacinie — zastępować, podstawiać, podkładać.
56
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
W zdaniach „w klasyfikacji zoologicznej człowiek zaliczony jest do gromady ssaków” oraz „w obrębie gromady ssaków człowiek należy do rzędu
naczelnych” wyraz „człowiek” nazywa gatunek wszystkich i tylko desygnatów nazwy „człowiek”. Kiedy mówimy, że człowiek pochodzi od małpy, to
zarówno nazwa „małpa” jak i „człowiek” użyte są w supozycji formalnej.
Definicja 1.56. Wyrażenie użyte jest w supozycji materialnej (suppositio
materialis) wtedy i tylko wtedy, gdy odnosi się do samego siebie.
Nazwa „człowiek” użyta jest w supozycji materialnej w zdaniu:
Wyraz „człowiek” jest nazwą.
Prawdą jest, że „człowiek” jest nazwą, a nie jest prawdą, że człowiek jest
nazwą. W języku pisanym — co tu praktykujemy — użycie wyrażenia w supozycji materialnej zaznaczamy ujmując je w cudzysłowy12 . W wypadku,
gdy wyrażenie użyte w supozycji materialnej występuje w innym wyrażeniu
użytym w supozycji materialnej będziemy stosować: ‘, ’.
W języku mówionym nie wypowiada się cudzysłowu. Użycie jednak wyrażenia przez poprzedzenie go np. słowem „wyrażenie” tworzy kontekst,
w którym to wyrażenie należy brać jako użyte w supozycji materialnej. Gdy
mówię: „krzesło pisze się przez erzet” to kontekst wskazuje na użycie wyrazu
„krzesło” w supozycji materialnej mimo, że brak formalnych wyróżników
takiego użycia. Tego rodzaju praktyka rezygnowania z użycia formalnych
wskaźników użycia wyrażenia w supozycji materialnej jest stosowana także
w języku pisanym i to również przez logików. Można tak postąpić, gdy kontekst jednoznacznie wskazuje na to, w jakiej supozycji wyrażenie jest użyte
a użycie cudzysłowu raczej utrudniało by percepcję tekstu.
Definicja 1.57. Nazwa cudzysłowowa to nazwa wyrażenia powstała przez
ujęcie tego wyrażenia w cudzysłowy.
Z pojęciem supozycji materialnej wiąże się pojęcie stopnia języka. Mając
jakiś język J 1 (język przedmiotowy, język pierwszego rzędu) możemy chcieć
go badać, wygłaszać o nim twierdzenia itp. Musimy więc dysponować językiem drugiego rzędu J 2 , który nam to umożliwi. W języku J 2 możemy
tworzyć nazwy wyrażeń języka J 1 poprzez branie tych wyrażeń w cudzysłowy.
12
Zauważmy, że nie jest to jedyna funkcja cudzysłowu. Używa się go również, aby
wyróżnić tekst cytowany i jego tytuł, albo aby zaznaczyć użycie jakiegoś wyrażenia w innym znaczeniu niż dosłowne i słownikowe. Dla tego ostatniego celu w niniejszej książce
zdecydowano się zastosować: « ».
57
Definicja 1.58. Język J2 jest metajęzykiem języka J 1 wtedy i tylko
wtedy, gdy zawiera nazwy wyrażeń języka J 1 .
Zdanie „w arytmetyce zwykle stosuje się cyfry arabskie” nie należy do
języka arytmetyki jak np. zdania: „2 + 2 = 4”, „2 + 2 = 5”, lecz do metajęzyka tego języka. Do języka matematyki nie należą terminy takie, jak
„równość”, „równanie”, z którymi spotykamy się praktycznie w każdym podręczniku matematyki. Do języka arytmetyki należy symbol „=”, w języku
arytmetyki sformułowane jest równanie: „x + 3 = 5”.
Wyróżnia się języki ze względu na to, czy zawierają wyrażenia odnoszące
się do innego języka. Język pierwszego stopnia to język, za pomocą którego mówimy o pewnej dziedzinie przedmiotowej. Jego metajęzyk to język
drugiego stopnia. Metajęzyk języka n-tego stopnia to język stopnia (n + 1).
Zakresowe stosunki między nazwami
Zakresy nazw są zbiorami. Możemy więc mówić o operacjach teoriomnogościowych na zakresach nazw. Niech zakresem nazwy „X ” będzie zbiór X .
Suma zakresów nazw „A” i „B” to zbiór A ∪ B taki, że
x ∈ (A ∪ B)
wtedy i tylko wtedy, gdy
x ∈ A lub x ∈ B.
Zbiór A ∪ B jest zakresem nazwy „A lub B”. Na przykład zakresem nazwy
„krzesło lub fotel” jest suma teoriomnogościowa zakresu nazwy „krzesło” i zakresu nazwy „fotel”.
Iloczyn zakresów nazw „A” i „B” to zbiór A ∩ B taki, że
x ∈ (A ∩ B)
x ∈ A i x ∈ B.
Zbiór A∩B jest zakresem nazwy „A i B”. Na przykład zakresem nazwy „student i sportowiec” jest przecięcie zakresu nazwy „student” i zakresu nazwy
„sportowiec”.
Dopełnieniem do zbioru uniwersalnego zakresu nazwy „A” jest zbiór A0
taki, że
x ∈ A0
x 6∈ A.
58
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zbiór A0 jest zakresem nazwy „nie-A”. Na przykład zakresem nazwy „niestudent” jest dopełnienie do zbioru uniwersalnego zakresu nazwy „student”.
Dopełnieniem względnym do zakresu nazwy A zakresu nazwy B jest zbiór
A \ B taki, że
x∈A\B
x ∈ A i x 6∈ B.
Operacje teoriomnogościowe są przydatne m.in. przy wyszukiwaniu danych. Praktycznie każda licząca się wyszukiwarka umożliwia wyszukiwanie
złożone. Na przykład możemy poszukiwać dokumentów, które zawierają
słowa „logika” i „prawo” a nie zawierają słowa „matematyka”:
(logika ∩ prawo) \ matematyka,
czyli:
(logika AN D prawo) AN D (N OT matematyka).
Pomiędzy zakresami nazw jako zbiorami mogą zachodzić różne stosunki
teoriomnogościowe. Stosunki między zakresami nazw omówimy zakładając,
że
1. jej desygnaty dają się liczyć (nazwa policzalna),
2. dowolny przedmiot jest albo nie jest desygnatem danej nazwy (nazwa
ma ostry zakres),
3. zakresy nie są zbiorami pustymi, czyli że nazwy mają przynajmniej
jeden desygnat (nazwa jest niepusta),
oraz że
4. istnieje zbiór uniwersalny, czyli zbiór którego elementami są wszystkie
desygnaty tych nazw.
Zakresy nazw spełniających powyższe warunki 1–4 graficznie można przedstawiać jako koła. Zbiór uniwersalny (U) zaś jako prostokąt, w którym te
koła znajdują się.
Definicja 1.59. Nazwy A i B są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
każdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy B i każdy desygnat nazwy
B jest desygnatem nazwy A, czyli gdy zakresy tych nazw są równe.
59
Zakresowo równoważne są nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszkaniec Warszawy”. Zakresowo równoważne są wszystkie nazwy równoznaczne
(synonimy). Odwrotnie być nie musi, czyli — o czym była mowa w związku
z wieloznacznością zakresową — zakresowa równoważność nie pociąga za
sobą równoznaczności. Nazwy „mieszkaniec stolicy Polski” i „mieszkaniec
Warszawy” są równozakresowe ale nie są równoznaczne.
U
A
B
A = B
Definicja 1.60. Nazwa A jest nadrzędna względem nazwy B wtedy i tylko
wtedy, gdy:
1. każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A,
oraz
2. są desygnaty nazwy A, które nie są desygnatami nazwy B.
U
+
A
B
A ⊃ B
Nazwa „człowiek” jest nadrzędna w stosunku do nazwy „nauczyciel”. Każdy
nauczyciel jest człowiekiem, lecz nie każdy człowiek jest nauczycielem.
60
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zdarza się, że zakres wyrażenia nazwowego w jednym znaczeniu jest nadrzędny względem zakresu tego wyrażenia w innym znaczeniu (znaczeniu
właściwym — sensu proprio). Kiedy chcemy powiedzieć, że bierzemy to
wyrażenie w tym znaczeniu, w którym jest ono nazwą nadrzędna, to mówimy,
że bierzemy je w szerszym znaczeniu (sensu largo). Zgodnie z prawdą
możemy powiedzieć: Gra w warcaby jest sportem w szerokim tego słowa
znaczeniu.
Definicja 1.61. Nazwa A jest podrzędna względem nazwy B wtedy i tylko
wtedy, gdy:
1. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem nazwy B
oraz
2. nie każdy desygnat nazwy B jest desygnatem nazwy A.
U
+
B
A
A ⊂ B
Nazwa „nauczyciel” jest podrzędna względem nazwy „człowiek”. Zdarza się,
że zakres wyrażenia nazwowego w jednym znaczeniu jest podrzędny względem zakresu w innym znaczeniu (znaczeniu właściwym — sensu proprio).
Kiedy chcemy powiedzieć, że bierzemy wyrażenie w tym znaczeniu, w którym jest ono podrzędne, to mówimy, że bierzemy je w węższym znaczeniu
(sensu stricto). Zgodnie z prawdą możemy powiedzieć: Gra w warcaby nie
jest sportem w wąskim tego słowa znaczeniu.
Definicja 1.62. Nazwa A krzyżuje się z nazwą B wtedy i tylko wtedy,
gdy:
1. istnieją desygnaty nazwy A, które nie są desygnatami nazwy B,
2. istnieją desygnaty nazwy A, które są desygnatami nazwy B,
61
3. istnieją desygnaty nazwy B, które nie są desygnatami nazwy A.
U
B
A
+
+
+
A ⊃⊂ B
Krzyżują się nazwy „nauczyciel” i „inwalida”; nie krzyżują się nazwy „województwo” i „gmina”.
Definicja 1.63. Nazwy A i B pozostają w stosunku przeciwieństwa
(wykluczania) wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma takiego przedmiotu, który
byłby zarazem desygnatem nazwy A i desygnatem nazwy B.
U
B
A
A⊃⊂ B
Nazwy „A” i „B” są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy A ∩ B = ∅.
W stosunku przeciwieństwa pozostają nazwy „pies” i „kot”.
Definicja 1.64. Nazwy A i B pozostają w stosunku podprzeciwieństwa
(dopełniania) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy przedmiot ze zbioru uniwersalnego jest bądź desygnatem nazwy A, bądź desygnatem nazwy B.
62
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
U
A
B
A ∪ B = U
Nazwy „A” i „B” dopełniają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich suma teoriomnogościowa jest równa zbiorowi uniwersalnemu. Jeśli zbiorem uniwersalnym jest zbiór liczb całkowitych, to nazwami pozostającymi w stosunku
podprzeciwieństwa są „liczba całkowita mniejsza od 10” i „liczba całkowita
dodatnia”. Jeśli zbiorem uniwersalnym jest zbiór państw, to nazwami podprzeciwnymi są „państwo o gospodarce wolnorynkowej” i „państwo nieeuropejskie”.
Definicja 1.65. Nazwy A i B są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy nazwy
te wykluczają się i dopełniają się.
U
A
B
A ∪ B = U, A ∩ B = ∅
Nazwy „A” i „B” są sprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy sumą ich zakresów
jest zbiór uniwersalny a ich iloczynem teoriomnogościowym jest zbiór pusty.
W wypadku, gdy zbiorem uniwersalnym jest zbiór liczb naturalnych, to nazwami sprzecznymi są „liczba parzysta” i „liczba nieparzysta”. Każda liczba
naturalna jest bądź parzysta, bądź nieparzysta, a ponadto żadna liczba nie
63
jest parzysta i nieparzysta zarazem. Przykładem nazw sprzecznych w dziedzinie zwierząt są „pies” i „nie-pies”. Zauważmy tu, że przedrostek „nie” nie
zawsze tworzy nazwę sprzeczną, np. nazwami sprzecznymi nie są „przyjaciel”
i „nieprzyjaciel”. Nazwami antonimicznymi, czyli nazwami o przeciwstawnym znaczeniu są pary nazw takich jak np.: „dobry” — „zły”, „wysoki” — „niski”. Nazwy antonimiczne pozostają w stosunku przeciwieństwa
lub sprzeczności. Stwierdzenie zachodzenia takiego stosunku uznaje się na
podstawie samych znaczeń branych pod uwagę nazw antonimicznych, czyli
jest podobnie jak w wypadku nazw równoznacznych, gdy na podstawie znaczeń nazw stwierdza się równość ich zakresów. Jak równość zakresów nazw
nie przesądza tego, czy są to nazwy równoznaczne, tak przeciwieństwo lub
sprzeczność nazw nie przesądzają tego, czy są nazwy antonimiczne.
Podział nazw
Nazwy ze względu na budowę dzielimy, tak jak wyrażenia w ogóle, na proste
i złożone.
Definicja 1.66. Nazwa prosta zbudowana jest z (dokładnie) jednego wyrazu.
Nazwą prostą jest „dom”.
Definicja 1.67. Nazwa złożona składa się z więcej niż jednego wyraz.
Nazwą złożoną jest „stolica Polski”.
Ze względu na stosunek do uniwersum nazwy dzielimy na uniwersalne i
nieuniwersalne.
Definicja 1.68. Nazwa uniwersalna to nazwa, której zakresem jest zbiór
uniwersalny.
W wypadku języka arytmetyki liczb naturalnych nazwą uniwersalną jest
nazwa „liczba naturalna”. W wypadku języka botaniki nazwą uniwersalna
jest „roślina”.
Definicja 1.69. Nazwa nieuniwersalna to nazwa, której zakres jest różny
od uniwersum.
Zakres nazwy „liczba pierwsza” jest różny od zbioru liczb naturalnych.
W języku arytmetyki liczba naturalnych jest to zatem nazwa nieuniwersalna.
„Drzewo” to nazwa nieuniwersalna języka botaniki.
Nazwy dzielimy na policzalne i niepoliczalne (masowe).
64
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Definicja 1.70. Nazwa policzalna to nazwa, której desygnaty dają się
liczyć.
Nazwami policzalnymi są np. „człowiek”, „drzewo”. W wypadku nazw
policzalnych możemy mówić o ich liczbie, np. o dziesięciu ludziach.
Istnieją przedmioty, które nie podlegają liczeniu. Są to przedmioty masowe. Ilość przedmiotu masowego podlega mierzeniu. Na przykład mówimy
o metrze sześciennym wody.
Definicja 1.71. Nazwa niepoliczalna (masowa) to nazwa przedmiotu,
który nie podlega liczeniu, czyli przedmiotu masowego.
Nazwami niepoliczalnymi (masowymi) są np. „woda”, „powietrze”.
Ze względu na liczbę desygnatów nazwy policzalne dzielimy na puste,
jednostkowe i ogólne. Określenie liczby desygnatów wymaga ustalenia:
1. jaki jest zbiór uniwersalny rozważanego języka,
2. jak rozumiany jest zakres, w szczególności, czy rozumiany jest analitycznie, czy syntetycznie,
3. czy mam się na uwadze sytuację aktualną, czy też historyczną.
Definicja 1.72. Nazwa pusta to nazwa, która nie ma desygnatów.
Przykładami nazw pustych są: „żonaty kawaler”, „krasnoludek”.
Definicja 1.73. Nazwa jednostkowa to nazwa, które ma dokładnie jeden
desygnat.
Nazwami jednostkowymi są: „Białystok”, „najwyższy szczyt świata”.
Definicja 1.74. Nazwa ogólna to nazwa mająca więcej niż jeden desygnat.
Nazwami ogólnymi są: „mieszkaniec Białegostoku”, „stół”.
Ze względu na sposób wskazywania desygnatów nazwy dzielimy na generalne i indywidualne.
Definicja 1.75. Nazwa generalna to nazwa przysługująca przedmiotowi
ze względu na cechy, jakie są przypisywane temu przedmiotowi.
Nazwa „kwadrat” to nazwa generalna. Przysługuje ona wszystkim i tylko
tym przedmiotom, które posiadają pewną cechę, mianowicie cechę bycia prostokątem równobocznym. Nie należy mylić nazw generalnych z nazwami
ogólnymi.
65
W wypadku nazw indywidualnych nie są brane pod uwagę cechy, jak to
ma miejsce w wypadku nazw generalnych.
Definicja 1.76. Nazwa indywidualna przysługuje jakiemuś przedmiotowi
ze względu na ustanowienie, że przedmiot ten tak będzie nazywany.
Stolica Polski nazywa się „Warszawa”. To miasto będzie się tak nazywać
również, gdyby zdarzyło się, że utraciło cechę bycia stolicą Polski. Nazwa
„stolica Polski” to nazwa generalna, a nazwa „Warszawa” to nazwa indywidualna. Nasze nazwiska to nazwy indywidualne. Przysługują nam niezależnie
od naszych cech. Nie należy mylić nazw indywidualnych z jednostkowymi.
Ze względu na rodzaj przedmiotów, którymi są desygnaty, nazwy dzielimy na konkretne i abstrakcyjne.
Definicja 1.77. Nazwa konkretna to nazwa, której desygnatami są osoby,
rzeczy i coś, co sobie jako osoby lub rzeczy wyobrażamy.
Nazwami konkretnymi są: „krzesło”, „krasnoludek”, „Henryk Sienkiewicz”.
Definicja 1.78. Nazwy abstrakcyjne to nazwy przedmiotów abstrakcyjnych, a więc cech, stosunków, stanów, zjawisk itd.
Nazwami abstrakcyjnymi są: „białość” (cecha), „przyjaźń” (stosunek),
„burza” (stan).
Kiedy nazwę abstrakcyjną traktuje się jak nazwę konkretną popełnia się
błąd.
Definicja 1.79. Błąd hipostazowania popełnia ktoś, kto nazwie abstrakcyjnej przypisuje konkretne desygnaty.
Ze względu na strukturę, wewnętrzną budowę desygnatów, nazwy dzielimy na zbiorowe i niezbiorowe. Podział ten jest oparty na podziale przedmiotów na zbiorowe i niezbiorowe. Przedmioty zbiorowe są wyraźnie złożone
z jakichś przedmiotów. Więź łącząca te przedmioty, dzięki której możemy
mówić o przedmiocie zbiorowym (agregacie, zbiorze w sensie kolektywnym),
może być różnoraka: przestrzenna, jak w wypadku lasu; organizacyjna, jak
w wypadku wojska; przestrzenna i organizacyjna, jak w wypadku województwa; społeczna, jak w wypadku organizacji społecznej. Innym rodzajem
przedmiotów byłyby przedmioty proste, niezłożone, jeśli złożoności nie pojmujemy np. w sensie fizycznym, w jakim wszystkie w ogóle przedmioty
materialne są złożone z dających się fizycznie wyróżnić części materialnych.
Definicja 1.80. Nazwa zbiorowa to nazwa, której desygnaty są przedmiotami zbiorowymi.
66
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Nazwami zbiorowymi są np.: „armia” — gdyż armia to ustrukturowana
grupa żołnierzy, zespół osób; „las” — gdyż las to zespół drzew; „województwo” — gdyż województwo może być pojęte jako zespół gmin.
Definicja 1.81. Nazwy niezbiorowe to nazwy, których desygnaty są przedmiotami prostymi (niezłożonymi).
Nazwa „stół” to nazwa niezbiorowa.
Nazwy ze względu na to, czy w swoim znaczeniu odnoszą się lub nie odnoszą do innych przedmiotów dzieli się na relatywne (zależne) i nierelatywne
(absolutne, niezależne).
Definicja 1.82. Nazwa relatywna (zależna) to nazwa, której desygnatem jest każdy przedmiot, który pozostaje w określonym przez znaczenie tej
nazwy związku z pewnym innym przedmiotem lub przedmiotami.
Nazwami relatywnymi są „dłużnik” i „syn”. Desygnaty nazw zależnych
z konieczności pozostają w określonej relacji z pewnymi przedmiotami. W znaczeniu nazwy „dłużnik” zawarte jest odniesienie do wierzyciela. Nie ma dłużnika bez wierzyciela. Nazwa „syn” w swoim znaczeniu odnosi się do matki
i ojca. Nie ma syna bez ojca lub matki.
W wypadku nazw niezależnych to, czy dany przedmiot jest, czy też nie
jest ich desygnatem nie zależy od relacji, związków tego przedmiotu z innymi
przedmiotami.
Definicja 1.83. Nazwa nierelatywna (absolutna, niezależna) to nazwa, której znaczenie nie wskazuje na jakiś stosunek jej desygnatów do jakiegoś przedmiotu lub przedmiotów.
Nazwami absolutnymi są: „człowiek”, „stół”. Ludzie mogą i są w różnych relacjach z innymi przedmiotami. Znaczenie nazwy „człowiek” jednak
tego nie przesądza. Jest faktem biologicznym, że człowiek ma matkę i ojca.
Fakt ten jednak nie jest «zakodowany» w treści nazwy „człowiek”. Inaczej
mówiąc wyrażenie „ten człowiek nie miał ani ojca, ani matki” nie jest bezsensem. Bezsensem zaś jest „ten syn nie miał ani ojca, ani matki”. Jest wiele
wyrażeń, które w jednym znaczeniu są nazwami relatywnymi, a w innym absolutnymi. W zdaniu „Jan jest nauczycielem” nazwa „nauczyciel” jest nazwą
absolutną i służy do wskazania wykonywanego zawodu. W zdaniu „Jan jest
nauczycielem Piotra” wyraz „nauczyciel” jest użyty jako nazwa relatywna.
Nazwy ze względu na to, czy ich znaczenie wyraźnie przypisuje pewne
cechy desygnatom lub ich wyraźnie odmawia dzieli się na, odpowiednio, prywatywne i nieprywatywne.
67
Definicja 1.84. Nazwa prywatywna to nazwa, której znaczenie wyraźnie
wskazuje na brak (privatio) jakiejś cechy jej desygnatów (która naturalnie
lub racjonalnie powinna im przysługiwać).
Nazwa „niezdrowy” wskazuje wyraźnie na brak zdrowia. Nazwą prywatywną jest „nierozumny”. Jej znaczenie wyraźnie wskazuje na brak cechy
bycia rozumnym. Przedrostek „nie” nie zawsze jest wskaźnikiem nazwy prywatywnej. Nazwa „nieprzyjaciel” wprost nie odmawia swoim desygnatom
cechy bycia przyjacielem. Jej desygnatami są nie tyle ci, którzy nie są przyjaciółmi, lecz ci, którzy są wrodzy, mają cechę wrogości w stosunku do tego,
kogo są nieprzyjaciółmi.
Definicja 1.85. Nazwa nieprywatywna to nazwa, której znaczenie wyraźnie nie wskazuje na brak jakiejś cechy jako własności jej desygnatów.
Definicja 1.86. Nazwa jest ostra wtedy i tylko wtedy, gdy zgodnie z regułami znaczeniowymi dowolny przedmiot należy albo nie należy do zakresu
tej nazwy.
Przykładem nazwy ostrej jest „kwadrat”. Podobnie nazwą ostrą jest
„dziecko Matyldy” (nazwa „dziecko” jest tu użyta w znaczeniu relatywnym).
Mogą być wątpliwości, czy dana osoba jest dzieckiem Matyldy, jest jednak
jasne, że dana osoba jest albo nie jest dzieckiem Matyldy. Zgodnie z regułami znaczeniowymi nastolatkami są te i tylko te osoby, które mają «naście»
lat, czyli więcej niż dziesięć, a mniej niż dwadzieścia. Nazwa „nastolatek”
jest więc ostra.
Definicja 1.87. Nazwa jest nieostra wtedy i tylko wtedy, gdy są przedmioty, które, nie naruszając reguł znaczeniowych, użytkownik języka może,
ale nie musi uznać za jej desygnaty.
Przykładem nazwy nieostrej może być „dziecko” w znaczeniu, w którym
występuje w zdaniu „Jaś jest jeszcze dzieckiem”, czyli w znaczeniu nierelatywnym. Istnieje powszechna zgoda użytkowników języka co do tego, że osoba
mająca dwa lata życia to dziecko, podobnie, że osoba mająca czterdzieści
lat to już nie dziecko. W wypadku osoby mającej czternaście lat wystąpi
jednak różnica zdań. Ktoś może uważać, że osoba czternastoletnia to jeszcze
dziecko, ktoś inny, że już nie. Każda z odpowiedzi jest możliwa, reguły języka
bowiem tej kwestii nie rozstrzygają. Nazwy języka potocznego z zasady są
nieostre, ale nie tylko w tym języku występują takie nazwy. Paleontolodzy,
poszukiwacze ogniwa łączącego w procesie ewolucji małpy z człowiekiem,
mają problem z ostrością nazwy „człowiek” w języku biologii. W związku ze
68
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
stosowaniem do przetwarzania informacji technik komputerowych tworzone
są teorie zbiorów takich, które byłyby zakresami nazw nieostrych. Tu o zakresach nazw mówiliśmy jako o zbiorach w zwykłym sensie (tak jak są one
rozumiane w teorii mnogości).
Nazwa jest bądź ostra, bądź nieostra. Ten podział nazw jest ich podziałem ze względu na określoność zakresu. W wypadku nazwy ostrej zakres jest
dobrze określony, zaś w wypadku nazwy nieostrej tak nie jest, zakres nie jest
określony.
Treść językowa nie w każdym wypadku jest dobrze określona. Z całą
pewnością będziemy mieli kłopoty z podaniem treści językowej tak zwykłych
nazw, jak: „stół”, „krzesło”.
Definicja 1.88. Nazwa ma wyraźną treść (jest wyraźna) wtedy i tylko
wtedy, gdy w wypadku dowolnej cechy, cecha ta należy albo nie należy do
treści językowej tej nazwy.
Definicja 1.89. Nazwa ma niewyraźną treść (nie jest wyraźna) wtedy
i tylko wtedy, gdy są cechy, których przynależność do treści językowej tej
nazwy nie jest określona.
Nazwa jeśli jest wyraźna, to jest ostra. Jeśli ma ona określoną treść, to
ma też określony zakres. Odwrotnie nie musi zachodzić: nazwa może być
ostra a mimo to nie być wyraźna.
Fakt, że nazwa wyraźna jest ostra daje podstawę dla uczynienia ostrą
nazwy nieostrej. W wielu wypadkach prawnicy i administratywiści i nie
tylko oni potrzebują nazw ostrych. Nazwa „małoletni” staje się ostra przez
określenie jej treści, gdy podaje się granice wiekowe. Nazwa „ubogi” jako
nazwa osoby uprawnionej do jakiegoś zasiłku społecznego, uczyniona jest
ostrą przez podanie wysokości maksymalnego dochodu na osobę żyjącą we
wspólnym gospodarstwie domowym. Zauważmy jednak również, że w wielu
wypadkach nie jest wskazane uczynienie nazwy ostrą. Możemy sobie tylko
wyobrazić, jakie mogłyby pojawić się komplikacje, gdyby nazwa „zbrodnia
dokonana ze szczególnym okrucieństwem” miałaby być uczyniona ostrą.
Definicja 1.90. Nazwa intuicyjna to nazwa, która jest ostra, ale nie jest
wyraźna.
Nazwy „stół”, „krzesło” i „konwalia” są nazwami intuicyjnymi. Ich zakresy
są ostre. Jednak ich treści nie są dobrze określone.
Nazwa intuicyjna to nazwa o znaczeniu intuicyjnym (naocznym).
Zauważmy, że sama definicja nazwy intuicyjnej nie pozwala nam w prosty
sposób stwierdzać, czy dana nazwa jest, czy też nie jest intuicyjna.
69
Inaczej niż w wypadku nazw intuicyjnych jest w wypadku terminów13 .
Definicja 1.91. Termin to nazwa wyraźna (i tym samym ostra).
Nazwy możemy porównywać ze względu na stosunki między ich treściami.
Treść jednej nazwy może być bogatsza niż innej. Treści nazw możemy
wzbogacać o pewne cechy. Do treści nazwy „student” możemy dodać cechę „zdolny”. Do treści „zdolny student” możemy dodać cechę „pracowity”.
Nazwa „pracowity i zdolny student” jest podrzędna zakresowo względem nazwy „zdolny student”, a ta względem nazwy „student”. Wzbogacając treść
dochodzimy więc do nazwy zakresowo podrzędnej w stosunku do nazwy,
której treść wzbogacamy.
Definicja 1.92. Determinowanie treści nazwy, inaczej specjalizacja nazwy to procedura wzbogacania treści tej nazwy.
Determinując treść nazwy otrzymujemy nazwę o zakresie nie większym
niż zakres nazwy determinowanej.
Procedura odwrotna do determinowania to abstrahowanie.
Definicja 1.93. Abstrahowanie od treści nazwy, inaczej generalizacja
nazwy, to procedura zubażania treści tej nazwy.
Odrzucając od treści nazwy „pracowity i zdolny student” cechę „pracowity” otrzymujemy nazwę zakresowo nadrzędną względem tej nazwy. W wyniku abstrahowania otrzymujemy nazwę o zakresie nie mniejszym niż zakres
nazwy, od treści której abstrahujemy. Wskaźnikiem językowym operacji abstrahowania jest zwrot np. „abstrahujmy”.
Pomiędzy zakresem nazwy a treścią nazwy zachodzi związek taki, że jeżeli
nazwa A jest nadrzędna względem nazwy B, to treść nazwy A jest uboższa
od treści nazwy B. Odwrotnie, jeżeli treść nazwy A zawiera się w treści
nazwy B, to nazwa B jest podrzędna względem nazwy A. Biorąc nazwę
w sensie szerszym (sensu largo), bierzemy ją treściowo uboższą. Biorąc zaś
nazwę w sensie węższym (sensu stricto), bierzemy ją treściowo bogatszą.
Nazwa „student” oznacza kogoś, kto ma zdany egzamin maturalny i uczy się
— w szerszym sensie słowa „student” — w dowolnej szkole, a w sensie węższym słowa „student” — w szkole wyższej14 . Nazwa „uczeń szkoły wyższej”
jest zakresowo podrzędna względem nazwy „uczeń szkoły pomaturalnej lub
wyższej”. Treść nazwy „uczeń szkoły wyższej” jest jednak bogatsza od nazwy
„uczeń szkoły pomaturalnej lub wyższej”.
13
Terminus to rzymskie bóstwo granic. Nazwa ta w języku łacińskim oznaczała również
znaki graniczne.
14
Nazwa „student” może być jeszcze używana w innych węższych i szerszych znaczeniach.
70
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Podsumowując zauważmy, że nazwy dzielimy:
według:
1.
2.
3.
4.
5.
liczby wyrazów składowych
policzalności desygnatów
stosunku do uniwersum
liczby desygnatów
sposobu wskazywania
desygnatów
6. tego, do czego odnoszą się
7. struktury desygnatów
8. określoności zakresu
9. wskazywania przez
znaczenie na stosunek
10. wskazywania przez
znaczenie na brak
jakiejś cechy desygnatów
11. określoności treści
na:
—
—
—
—
proste i złożone
policzalne i niepoliczalne
uniwersalne, nieuniwersalne
ogólne, jednostkowe i puste
—
—
—
—
generalne i indywidualne
konkretne i abstrakcyjne
zbiorowe i niezbiorowe
ostre i nieostre
— relatywne i absolutne
— prywatywne i nieprywatywne
— wyraźne i niewyraźne
Zadania
Zadanie 1.35. Co jest desygnatem nazwy „krzesło” a co nazwy „‘krzesło’ ”?
Zadanie 1.36. W jakiej supozycji użyta jest nazwa „zając” w wyrażeniu:
„zając jest popularny w Polsce”?
Zadanie 1.37. Czy czasownik jest rzeczownikiem? Czy „czasownik” jest rzeczownikiem?
Zadanie 1.38. Wskaż różnicę znaczeniową pomiędzy nazwami „liczba” i „cyfra”.
Zadanie 1.39. Podaj przykłady wyrażeń metajęzykowych w:
1. języku polskim;
2. języku prawa.
Zadanie 1.40. Podaj przykłady wypowiedzi z użyciem w różnych supozycjach nazwy „prawo”.
71
Zadanie 1.41. Określ stosunki zakresowe między nazwami:
1. „drzewo”, „las”;
2. „generał”, „pułkownik”;
3. „gmina”, „województwo”;
4. „gmina”, „powiat”.
Zadanie 1.42. Czy nazwami sprzecznymi są:
1. „dobry”, „niedobry”?
2. „prawdziwy”, „nieprawdziwy’ ?
3. „przyjaciel”, „nieprzyjaciel”?
Zadanie 1.43. Opisz wszystkie zależności i różnice między nazwami:
1. „kaleka”, „niepełnosprawny”, „sprawny inaczej”, „sprawny”, „niekaleka”;
2. „legalny”, „nielegalny”, „bezprawny”, „pozaprawny”.
Zadanie 1.44. Czy „termin” jest terminem?
Zadanie 1.45. Przeanalizuj poniższy tekst.
1. W jakich funkcjach użyty został cudzysłów?
2. Zapisz ten tekst stosując cudzysłów tylko do zaznaczenia użycia wyrażenia w supozycji materialnej.
Przeciętny człowiek „sposób działania” nazwałby pewnie „sposobem działania”. No, ale to takie zwyczajne jakieś. Co innego „modus operandi”. To już
i fachowo brzmi, i minister jakoś tak lepiej w wywiadzie wypada. Dlaczego
więc nie powtarzać tego przy każdej dogodnej sytuacji? Podobnie z „przypadkiem”. Słowo „przypadek” każdy zna i nie ma się czym ekscytować. Za
to nie każdy zna „czasową koincydencję”. To już termin nawet nie fachowy,
lecz superfachowy.
72
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
1.3.3
Predykaty, relacje, funkcje
Pojęcie predykatu i relacji
Na to, aby mając nazwę zbudować zdanie, potrzebne jest jeszcze jakieś wyrażenie. Zdanie „Jan śpi” zbudowane jest z nazwy „Jan” i wyrażenia „śpi”,
które nie jest nazwą. „Jan jest wyższy od Piotra” jest zdaniem zbudowanym
z dwóch nazw „Jan” i „Piotr” oraz z wyrażenia „ jest wyższy od”.
Definicja 1.94. Predykat n-argumentowy to wyrażenie, które łącznie
z n nazwami tworzy zdanie15 .
Wyraz „śpi” to przykład predykatu jednoargumentowego, a fraza „ jest
wyższy od” jest predykatem dwuargumentowym.
Logika wyróżnia predykat równości. Jest to predykat dwuargumentowy.
Z języka arytmetyki znamy symbol równości: „=”. Pisząc „2 + 2 = 2 × 2”
dostajemy zdanie prawdziwe. Fałszywe jest zaś zdanie „2+2 = 5”. W języku
naturalnym w roli predykatu równości może być użyte słowo „ jest”. Jest
tak w zdaniu „stolicą Polski jest Warszawa”, co też wypowiadamy zdaniem
„stolica Polski to Warszawa”.
Przy okazji zauważmy, że słowo „ jest” może znaczyć tyle, co „istnieje”,
jak w zdaniu „ jest ktoś taki, kogo kocham” lub „był sad” („był” jest formą
czasu przeszłego od „ jest”). „Jest” jest wówczas predykatem jednoargumentowym. Jako predykat jednoargumentowy służy do budowy zdań egzystencjalnych, czyli zdań stwierdzających istnienie. „Jest” jako predykat
dwuargumentowy może być:
1. predykatem równości: a jest b, [a = b];
w tym wypadku argumentami predykatu „ jest” są nazwy jednostkowe;
2. wskazywać na przynależność przedmiotu nazywanego przez pierwszy
argument do zakresu nazwy będącej drugim argumentem,
jak np. w zdaniu „Jan jest nauczycielem”, [w języku teorii zbiorów:
a ∈ B]; w tym wypadku pierwszy argument predykatu „ jest” jest nazwą
indywidualną, a drugi jego argument jest nazwą generalną;
3. wskazywać, że desygnaty nazwy będącej pierwszym argumentem są
desygnatami nazwy będącej drugim argumentem, przy tym oba argumenty są nazwami ogólnymi.
15
Zarówno pojęcie zdania jak i nazwy charakteryzowane było semantycznie. Pojęcie
predykatu zdefiniowane jest w kategoriach syntaktycznych. Są tego powody natury dydaktycznej. Wydaje się bowiem, że definicja predykatu n-argumentowego jako wyrażenia,
którego znaczeniem jest n-członowa relacja byłaby trudniejsza do zrozumienia. W kategoriach syntaktycznych sformułowana będzie też definicja spójnika.
73
Zdanie „człowiek jest ssakiem” głosi, że każdy desygnat nazwy „człowiek” jest desygnatem nazwy „ssak” [w języku teorii zbiorów: A ⊆ B];
w tym wypadku oba argumenty predykatu „ jest” są użyte w supozycji naturalnej. Szczególnym wypadkiem takiego użycia „ jest” jest jego
użycie do stwierdzenia równości zakresów dwu nazw, czyli równoważności nazw (a więc w roli nie różniącej się istotnie od roli wskazanej
w pkt. 1), jak np. „człowiek jest zwierzęciem rozumnym”, „kwadrat jest
prostokątem równobocznym”, [w języku teorii mnogości: A = B].
W logice tradycyjnej zdaniom zbudowanym za pomocą dwuargumentowego predykatu „ jest” — są to zdania podmiotowo-orzecznikowe — przypisywano specjalną rolę. Oprócz zdań podmiotowo-orzecznikowych wyróżniano jeszcze zdania podmiotowo-orzeczeniowe, które sprowadzano do postaci podmiotowo-orzecznikowej. Zdanie podmiotowo-orzeczeniowe „Jan uczy
się” przekształcane jest na zdanie podmiotowo-orzecznikowe „Jan jest uczącym się”.
Zdanie podmiotowo-orzecznikowe, w którym „ jest” jest użyte jak w pkt. 1
to zdanie identycznościowe.
Definicja 1.95. Zdanie identycznościowe to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, w którym podmiot i orzecznik są nazwami jednostkowymi i które
stwierdza identyczność desygnatów tych nazw.
Zdanie podmiotowo-orzecznikowe, w którym predykat „ jest” użyty jest
jak w pkt. 3 to zdanie subsumpcyjne.
Definicja 1.96. Zdanie subsumpcyjne to zdanie, którego podmiot i orzecznik są nazwami ogólnymi i które stwierdza, że desygnaty podmiotu są desygnatami orzecznika.
Nazwy odnoszą się do pewnych przedmiotów, swoich desygnatów. Predykaty też mają odpowiedniki w rzeczywistości. Jednoargumentowe predykaty
wskazują na cechy przedmiotów16 . Na przykład predykat „. . . jest biały”
może być użyty do zbudowania prawdziwego zdania wtedy i tylko wtedy,
gdy desygnat nazwy, za pomocą której budujemy zdanie z tym predykatem, ma cechę białości. Predykaty dwu i więcej argumentowe odnoszą się
do relacji (stosunków). Na to, aby zdanie „Jan jest mężem Zofii” zbudowane
za pomocą predykatu „. . . jest mężem . . . ” było prawdziwe, konieczne jest
16
Jednoargumentowym predykatem jest „ jest” w zdaniach egzystencjalnych. W tym
wypadku predykat jednak nie odnosiłby się do cechy. Trudno przecież mówić o istnieniu
jako cesze. Miałyby ją bowiem wszystkie przedmioty istniejące, a nie miałyby wszystkie
«przedmioty nie istniejące».
74
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
i wystarcza, aby Jan był mężem Zofii, czyli aby między Janem a Zofią zachodziła relacja (zachodził stosunek) bycia mężem. W formalnej teorii relacji
mówi się o tym, że para uporządkowana, której pierwszym członem jest Jan
a drugim Zofia należy do relacji bycia mężem.
Elementy teorii relacji
W formalnej teorii relacji w definicji relacji korzysta się z pojęcia n-elementowego zbioru uporządkowanego, czyli — jak to będziemy mówić — n-tki
uporządkowanej (krotki). To, że zbiór A, którego wszystkimi elementami
są a1 , . . . an jest n-elementowym zbiorem uporządkowanym, którego pierwszym elementem jest a1 , a n-tym elementem jest an będziemy zapisywali:
(a1 , . . . , an ).
Jasność wystarczającą dla dalszych wywodów uzyskamy ograniczając się do
odpowiedzi na pytanie, kiedy dwie n-tki uporządkowane są równe:
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) wtedy i tylko wtedy, gdy ai = bi , 1 ≤ i ≤ n.
Zauważmy, że równość w dziedzinie zbiorów uporządkowanych określona jest
tylko dla zbiorów o tej samej liczbie elementów. Pytanie, czy np. dwuelementowy zbiór uporządkowany jest równy, powiedzmy, trójelementowemu
zbiorowi uporządkowanemu nie ma sensu.
Definicja 1.97. Relacja n-członowa to klasa n-tek uporządkowanych.
Zgodnie z definicją między elementami n-tek uporządkowanych nie musi
zachodzić jakiś związek treściowy. Taki związek ma miejsce np. w wypadku małżeństwa, jako zbioru par uporządkowanych wszystkich i tylko takich ludzi, że pierwszy element pary jest małżonkiem drugiego elementu pary.
Nie ma zaś związku treściowego w wypadku relacji {(Białystok, Warszawa),
(Poznań, Rzeszów)}17 . Ta relacja jest określona czysto formalnie.
Definicja 1.98. Niech R będzie n-członową relacją:
m
m
{(a11 , a12 , . . . , a1n ), . . . , (am
1 , a2 , . . . , an ) . . . }.
m
m
Pole relacji R to zbiór: {a11 , a12 , . . . a1n , . . . , am
1 , a2 , . . . an . . . }.
17
W teorii mnogości {a1 , a2 , . . . } to zbiór, którego wszystkimi elementami są: a1 , a2 , . . . .
75
Pole relacji to zbiór przedmiotów, na którym relacja jest określona, czyli
zbiór tych i tylko tych przedmiotów, które mogą pozostawać w tej relacji.
Na przykład zbiór wszystkich ludzi jest polem relacji bycia krewnym. Pytanie o pokrewieństwo dwóch ludzi ma sens na gruncie znaczenia wyrazu
„krewny” w języku polskim. Relacja ta nie jest określona na zbiorze roślin,
komputerów, mebli itp.
Definicja 1.99. Niech R będzie n-członową relacją:
m
m
{(a11 , . . . , a1i , . . . , a1n ), . . . , (am
1 , . . . , ai , . . . , an ) . . . }.
I -tą dziedziną relacji R jest zbiór {a1i , a2i , . . . am
i , . . . }. W wypadku relacji
dwuczłonowej, czyli gdy n = 2, 1-dziedzina to dziedzina, a 2-dziedzina to
przeciwdziedzina tej relacji.
Umówmy się co do korzystania z następujących skrótów. Niech R będzie
relacją. To, że przedmioty x i y z pola relacji R są w relacji dwuczłonowej R
będziemy zapisywali: xRy. Uniwersalnym zapisem uwzględniającym relacje
o innej niż dwa liczbie członów jest: R(x1 ,. . . ,xn ), gdzie n jest liczbą członów.
Stosuje się też zapis: (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R.
Relacje zachodzą między obiektami formalnymi, rzeczami i ludźmi. Zrozumienie relacji ważne jest więc dla poznania w jakiejkolwiek dziedzinie.
Pojęcie społeczeństwa jest pojęciem zbiorowym. Na społeczeństwo składają
się ludzie i różnorodne relacje między nimi. Prawo reguluje stosunki (relacje) między ludźmi. Zrozumienie tego, czym jest relacja, jakie są szczególne
klasy relacji itp. jest więc ważne dla prawnika.
n-argumentowy predykat odnosi się do relacji n-członowej.
Definicja 1.100. N -członowa relacja R, której polem jest zbiór U, jest
zakresem n-argumentowego predykatu P wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego x1 , x2 , . . . , xn ∈ U:
P(x1 , x2 , . . . , xn ) wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R.
Definicja 1.101. N -członową relacją pełną, której polem jest zbiór U
jest zbiór wszystkich i tylko n-tek uporządkowanych, które dadzą się zbudować z elementów zbioru U.
Definicja 1.102. N -członową relacją pustą, której polem jest zbiór U
jest pusty zbiór n-tek uporządkowanych, które dadzą się zbudować z elementów zbioru U.
76
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Między relacjami, ponieważ są zbiorami, mogą zachodzić stosunki, jakie
mogą zachodzić między zakresami nazw. O predykatach n-argumentowych
(relacjach n-członowych) możemy mówić jako pozostających w stosunku równoważności, podrzędności, nadrzędności, krzyżowania, przeciwieństwa (wykluczania się). Ponieważ mamy określoną relację pełną, to możemy mówić
o stosunku dopełniania się relacji a tym samym o stosunku przeciwieństwa
i sprzeczności między predykatami. Oczywiście, określone są operacje teoriomnogościowe.
W zbiorze ludzi sumą relacji ojcostwa i relacji macierzyństwa jest relacja
rodzicielstwa. Sumą relacji bycia bratem i relacji bycia siostrą jest relacja
bycia bratem lub siostrą. Niech U będzie polem relacji R i relacji S. Sumą
relacji R i relacji S jest relacja R ∪ S taka, że dla każdego x1 , x2 , . . . , xn ∈
U: (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ (R ∪ S) wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R
lub (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ S.
W zbiorze ludzi przecięciem (iloczynem) relacji bycia młodszym i relacji
bycia ciotką jest relacja bycia młodszą i ciotką zarazem. Iloczynem relacji
bycia bratem i bycia wyższym jest relacja bycia wyższym bratem. Niech U
będzie polem relacji R i relacji S. Iloczynem relacji R i relacji S jest relacja
R ∩ S taka, że dla każdego x1 , x2 , . . . , xn ∈ U: (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ (R ∩ S)
wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R i (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ S.
W wypadku relacji możemy rozważać nie tylko stosunki teoriomnogościowe między nimi. Ich elementami są bowiem przedmioty złożone, jakimi
są n-tki uporządkowane. Możliwe jest więc również badanie związków między
relacjami ze względu na same człony relacji, a ponadto możliwe są operacje
na relacjach odnoszące się do ich elementów, n-tek uporządkowanych. Tego
rodzaju operacją na relacjach dwuczłonowych jest operacja konwersji.
Definicja 1.103. Niech U będzie polem relacji R i relacji R−1 . Dwuczłonowa relacja R−1 jest konwersem dwuczłonowej relacji R wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U: xRy wtedy i tylko wtedy, gdy yR−1 x.
Konwersem relacji bycia identycznym jest relacja bycia identycznym,
czyli relacja bycia identycznym i jej konwers są sobie równe. Relacja bycia
identycznym i jej konwers są zakresami predykatu równości. W zbiorze ludzi
relacja bycia rodzicem i jej konwers, czyli relacja bycia dzieckiem, wykluczają się, ale nie dopełniają się. Predykaty, których te relacje są zakresami,
pozostają w stosunku przeciwieństwa. W zbiorze liczb naturalnych relacja
większości lub równości dopełnia się, ale nie wyklucza ze swoim konwersem,
czyli relacją mniejszości lub równości. Predykaty, których zakresami są te
relacje, czyli „≤” i „≥”, pozostają do siebie w stosunku podprzeciwieństwa.
77
W zbiorze liczb naturalnych konwersem relacji mniejszości jest relacja większości. Relacje te wykluczają i dopełniają się. Predykat mniejszości (<)
pozostaje w stosunku sprzeczności z predykatem większości (>). Nie należy
mylić konwersu n-członowej relacji R z jej dopełnieniem do relacji pełnej,
czyli z n-członową relacją S taką, że (x11 , x12 , . . . , x1n ) ∈ S wtedy i tylko wtedy,
gdy nieprawda, że (x11 , x12 , . . . , x1n ) 6∈ R.
Definicja 1.104. Niech U będzie polem dwuczłonowych relacji R i S. Superpozycją (iloczynem względnym, złożeniem) relacji R i relacji S
jest relacja R ◦ S taka, że dla każdego x, y ∈ U:
x(R ◦ S)y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje z (∈ U) takie, że xRz i zSy.
Przykładem relacji, która jest wynikiem superpozycji, jest stosunek powinowactwa, który zachodzi między jednym z małżonków a krewnymi drugiego. Niech R będzie relacją bycia małżonkiem a S relacją bycia krewnym.
Relacja (R ◦ S) jest relacją powinowactwa. x jest powinowatym y wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje takie z, że x jest małżonkiem z a z jest krewnym y.
Relacja bycia dziadkiem jest wynikiem złożenia relacji bycia ojcem i relacji
bycia rodzicem. Jan jest dziadkiem Pawła wtedy i tylko wtedy, gdy Jan jest
ojcem jednego z rodziców Pawła.
Szczególnym wypadkiem operacji iloczynu względnego jest potęgowanie
relacji. Jest to iloczyn względny relacji przez samą siebie. Relacja bycia
wnukiem jest wynikiem potęgowania relacji bycia dzieckiem. Jan jest wnukiem Pawła wtedy i tylko wtedy, gdy Jan jest dzieckiem jednego z dzieci
Pawła.
Możliwość formalnego opisu związków między relacjami jest szczególnie
doniosła dla zastosowania technik informatycznych. Im więcej związków między danymi można będzie opisać w sposób «zrozumiały» dla komputera, tym
więcej zadań będzie mógł on wykonać. Wskazywane tu związki można przełożyć na język, którym «posługuje» się komputer.
Definicja 1.105. N -członowa relacja R jest relacją w zbiorze U wtedy
i tylko wtedy, gdy wszystkie n-tki uporządkowane składające się na relację R zbudowane są z elementów zbioru U.
Szczególnie ważnymi klasami relacji dwuczłonowych są relacje zwrotne,
symetryczne, przechodnie, równoważności, antysymetryczności, częściowego
porządku, spójności i porządku liniowego. Wszystkie one są relacjami dwuczłonowymi. Relacja należy do określonej klasy relacji, jeśli wszystkie elementy pola relacji spełniają właściwy dla tej klasy warunek.
78
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Definicja 1.106. Relacja R jest zwrotna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego x ∈ U:
xRx.
Relacja jest zwrotna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element
zbioru U pozostaje w tej relacji sam do siebie. Zwrotna jest np. relacja bycia
tego samego wzrostu. Zwrotna nie jest relacja bycia wyższym.
Definicja 1.107. Relacja R jest symetryczna w zbiorze U wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U:
jeśli xRy, to yRx.
Relacja symetryczna w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli przedmiot x
ze zbioru U pozostaje w tej relacji do przedmiotu y ze zbioru U, to również przedmiot y pozostaje w tej relacji do przedmiotu x. W zbiorze ludzi
symetryczna jest relacja bycia krewnym, a nie jest relacja bycia przełożonym.
Definicja 1.108. Relacja R jest przechodnia w zbiorze U wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego x, y, z ∈ U:
jeśli xRy i yRz, to xRz.
Relacja przechodnia w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli zachodzi między
x i y oraz między y i z, to zachodzi również między x i z, gdzie x, y, z są
elementami zbioru U. W zbiorze ludzi przechodnia jest np. relacja bycia
wyższym. Przechodnia nie jest relacja bycia znajomym.
Definicja 1.109. Relacja równoważności (w zbiorze U) to relacja, która
jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (w zbiorze U).
Na przykład relacja urodzenia się w tym samym roku jest relacją równoważności, podobnie relacja wykonywania tego samego zawodu. Relacja
podobieństwa w zbiorze ludzi nie spełnia warunku przechodniości, nie jest
zatem relacją równoważności. Znana z geometrii relacja podobieństwa trójkątów jest relacją równoważności.
Relacją równoważności jest relacja identyczności. Zachodzenie relacji
identyczności zapisujemy łącząc predykatem równości nazwy przedmiotów,
które pozostają w tej relacji. Definicja relacji identyczności pochodzi od Leibniza i znana jest jako zasada identyczności przedmiotów nieodróżnialnych
(identitas indiscernibilium).
Definicja 1.110. Przedmioty są identyczne wtedy i tylko wtedy, gdy nie
są odróżnialne pod względem przysługujących im własności.
79
Leibniza definicja identyczności ma bardzo ważną konsekwencję. Mianowicie pozwala ona każde zdanie o jakimś przedmiocie a1 , z zachowaniem
wartości logicznej tego zdania, orzec o przedmiocie identycznym z a1 . Jeżeli
a1 = a2 , to w każdym zdaniu α możemy zastąpić „a1 ” przez „a2 ” i odwrotnie,
i po tym zastąpieniu wartość logiczna zdania α nie ulegnie zmianie.
Przedmiot sam od siebie nie różni się pod względem swoich własności,
zatem relacja identyczności jest zwrotna (prawo zwrotności dla relacji identyczności). Jeżeli jeden przedmiot nie różni się od drugiego pod względem
swoich własności, to drugi własnościami też nie różni się od pierwszego, czyli
relacja identyczności jest symetryczna (prawo symetrii dla relacji identyczności). Jeżeli drugi z przedmiotów nie różniących się własnościami nie różni się
od trzeciego, to pierwszy też nie różni się od trzeciego. Relacja identyczności
jest więc przechodnia (prawo przechodniości dla relacji identyczności)18 .
Ważnym typem relacji są relacje porządkujące. Porządkowanie przedmiotów ma znaczenie zarówno w nauce, jak i w działaniach praktycznych.
Przeprowadza się je według jakiejś zasady wyznaczonej przez relację porządkującą.
Definicja 1.111. Relacja R jest antysymetryczna w zbiorze U wtedy
i tylko wtedy, gdy dla każdego x, y ∈ U:
jeśli xRy, to nieprawda, że yRx.
Relacja antysymetryczna w zbiorze U to relacja taka, że jeżeli przedmiot
x jest w relacji do przedmiotu y, to y nie jest w w tej relacji do x, gdzie x, y
są elementami zbioru U. Relacja bycia matką jest relacją antysymetryczną.
Relacja znania kogoś nie jest antysymetryczna — zdarza się, że choć x zna
y, to i y zna x.
Definicja 1.112. Relacja, która jest antysymetryczna i przechodnia (w zbiorze U) to relacja częściowo porządkująca (w zbiorze U).
Relacja bycia potomkiem jest relacją częściowo porządkującą. Relacja
bycia ojcem nie jest przechodnia, zatem nie jest częściowo porządkująca.
O relacji częściowo porządkującej w zbiorze U mówimy, że częściowo porządkuje zbiór U.
18
Paradoksalność identyczności stwierdzał Wittgenstein:
. . . powiedzieć o dwu rzeczach, że są identyczne, to niedorzeczność; a powiedzieć o jednej, że jest identyczna sama ze sobą, to nie powiedzieć nic.
L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, tłum. B. Wolniewicz, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN 2000, 5.5303.
80
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Definicja 1.113. Relacja R jest spójna w zbiorze U wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego x, y ∈ U:
jeśli x 6= y, to xRy lub yRx.
Relacja spójna w zbiorze U to relacja taka, że dowolne dwa przedmioty
ze zbioru U są same ze sobą w tej relacji.
Definicja 1.114. Relacja R jest (liniowo) porządkująca (w zbiorze U)
wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna, przechodnia i spójna (w zbiorze U).
Relacja większości w zbiorze liczb naturalnych jest relacją (liniowo) porządkującą. Relacja bycia potomkiem nie jest spójna, zatem nie jest relacją
liniowo porządkującą.
O relacji (liniowo) porządkującej w zbiorze U mówimy, że (liniowo) porządkuje zbiór U.
Ludzi możemy uporządkować korzystając z relacji bycia potomkiem, będzie to wówczas częściowy porządek. Możemy również uporządkować alfabetycznie, biorąc w kolejności alfabetycznej ich nazwiska i imiona. Będzie
to wówczas porządek liniowy (jeśli pominąć trudności pojawiające się w wypadku ludzi o tych samych nazwiskach i imionach). W książkach telefonicznych w porządku alfabetycznym podane są nazwiska abonentów telefonicznych. Urzędy skarbowe posługują się «peselem» dla uporządkowania danych
o podatkach. Numery rejestracyjne samochodów też umożliwiają liniowe
uporządkowanie dokumentów.
Wiele relacji przechodnich i spójnych nie spełnia warunku antysymetryczności. W zbiorze zdarzeń są zdarzenia równoczesne, zatem relacja
wcześniej-później nie jest w tym zbiorze antysymetryczna. Liniowo uporządkować można klasy zdarzeń równoczesnych. Jeżeli klasa zdarzeń równoczesnych wyznacza moment czasowy, to relacja wcześniej-później wyznacza
liniowy porządek w zbiorze momentów czasowych.
Definicja 1.115. Porządek R jest gęsty w zbiorze U wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ U takich, że x 6= y istnieje z ∈ U takie, że
xRz oraz zRy.
Porządek gęsty to taki porządek, że pomiędzy dowolnymi dwoma elementami zbioru, z których jeden poprzedza drugi istnieje różny od nich trzeci
element zbioru U, który «znajduje się między nimi». Tak uporządkowane są
liczby wymierne hQ, <i: dla dowolnych dwóch liczb wymiernych x, y takich,
że x < y istnieje trzecia z, że x < z i z < y. Tak uporządkowane są również
liczby rzeczywiste hR, <i.
81
Dyskretnie uporządkowane są liczby naturalne hN, <i.
Definicja 1.116. Porządek R jest dyskretny w zbiorze U wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnego x ∈ U: jeżeli istnieje y ∈ U takie, że xRy, to
istnieje z(∈ U) takie, że [xRz oraz (z = y lub zRy) i nie istnieje u(∈ U)
takie, że xRu i uRz].
Definicja ta głosi, że każdy element zbioru U ma bezpośredni następnik
(według relacji R). Sytuacja taka ma miejsce w wypadku liczb naturalnych
i całkowitych hZ, <i. W wypadku tych liczb każda liczba ma też bezpośredni
poprzednik, czyli < spełnia jeszcze następujący warunek.
Dla dowolnego x ∈ U : jeżeli istnieje y ∈ U takie, że yRx,
to istnieje z (∈ U) takie, że [zRx oraz (z = y lub yRz)
i nie istnieje u(∈ U) takie, że zRu i uRx].
W wypadku liczb naturalnych i całkowitych pomiędzy dwoma bezpośrednio
sąsiadującymi liczbami nie ma liczby pośredniej
Korzystamy z pojęć największego, najmniejszego, maksymalnego i minimalnego elementów zbioru. Mówimy np., że ktoś jest najwyższy w jakiejś
grupie ludzi; że ktoś jest najlepszym studentem na jakimś roku studiów.
O pewnych ludziach mówimy, że są naszymi najdalszymi żyjącymi przodkami. Pojęcia te wymagają zdefiniowania.
Definicja 1.117. Element a zbioru U jest:
1. R-największym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy xRa, dla
wszelkich x ze zbioru U takich, że x 6= a;
2. R-najmniejszym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy aRx, dla
wszelkich x ze zbioru U takich, że x 6= a;
3. R-maksymalnym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze
U nie istnieje x takie, że x 6= a i aRx;
4. R-minimalnym (w zbiorze U) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze U
nie istnieje x takie, że x 6= a i xRa.
Element R-największy (R-najmniejszy), jeśli istnieje, to jest tylko jeden.
Elementów R-maksymalnych (R-minimalnych) może być więcej niż jeden.
Element R-największy (R-najmniejszy) jest też elementem R-maksymalnym (R-minimalnym), lecz niekoniecznie na odwrót.
82
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Pojęcia największego, najmniejszego, maksymalnego i minimalnego elementu zbioru są zrelatywizowane do określonego stosunku. Kiedy mówimy
np. o najlepszym studencie na jakimś roku, to mamy na uwadze relację bycia
lepszym studentem; kiedy zaś mówimy o najdalszym przodku, to mamy na
uwadze relację bycia przodkiem. W języku potocznym to, o jakich mówimy
elementach, jest zwykle domyślne. Na przykład o maksymalnych elementach w zbiorze przodków mówimy jako o najdalszych przodkach. Domyślną
relacją, ze względu na którą mówimy o elementach maksymalnych w zbiorze
przodków, jest częściowo porządkująca relacja bycia przodkiem. Samo słowo
„najdalszy” z powodzeniem zaś mogłoby być użyte na oznaczenie elementu
największego, np. w pytaniu o najdalej od Białegostoku położone miasto polskie na trasie Białystok-Warszawa-Poznań-Berlin. To, co decyduje, w jakim
znaczeniu słowo „najdalszy” zostało użyte, to domyślna relacja, ze względu
na którą pytamy, czy to o element największy, czy to o element maksymalny.
Relacja bycia przodkiem jest relacją częściowo porządkującą i dlatego pytanie o najdalszych przodków jest pytaniem o elementy maksymalne. Relacja
bycia położonym dalej na odcinku, którego początkiem jest jeden z członów
relacji, jest relacją liniowo porządkującą i dlatego pytanie o miasto polskie
położone najdalej od Białegostoku na trasie Białystok-Warszawa-PoznańBerlin jest pytaniem o element największy.
Predykaty są wyrażeniami, które łącząc się z nazwami dają w wyniku zdania. Podobnie, łącząc nazwy pewnymi wyrażeniami (a czasem przez proste
zestawienie) możemy otrzymywać nazwy. Będą to nazwy złożone. Wyrażenia, które łącząc nazwy dają w wyniku nazwy, mają odniesienia do funkcji.
Znany z arytmetyki symbol „+” łącząc nazwy liczb daje nazwę liczby, np.
„2 + 2” oznacza liczbę 4. W języku naturalnym taki charakter ma wyrażenie „stolica. . . ”. Wstawiając w miejsce kropek nazwę państwa otrzymamy
nazwę (generalną) stolicy tego państwa. Od strony formalnej funkcje łączy
się z relacjami.
Definicja 1.118. N -członowa relacja R jest jednoznaczna w m-tej dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ U:
jeżeli
1. R(x1 ,. . . ,xn ) i R(y 1 ,. . . ,y n )
oraz
2. xi = yi dla każdego i takiego, że 1 ≤ i ≤ (m − 1) lub (m + 1) ≤ i ≤ n,
to xm = ym .
83
Relacja jednoznaczna w m-tej dziedzinie to relacja taka, że gdy dla i 6= m,
i-ty człon jednej n-tki uporządkowanej jest równy odpowiadającemu mu itemu członowi drugiej n-tki uporządkowanej, to równe są też m-te człony
tych n-tek uporządkowanych.
Definicja 1.119. N -członowa relacja R jest jednoznaczna wtedy i tylko
wtedy, gdy jest jednoznaczna w n-tej dziedzinie.
Relacje są przedmiotami. Termin „ jednoznaczny” jest tu użyty w zasadniczo różnym znaczeniu niż gdy używany jest w odniesieniu do wyrażeń.
Jednoznaczny predykat nie musi wskazywać jednoznacznej relacji. Na przykład predykat „. . . jest matką . . . ” jest jednoznaczny. Relacja bycia matką
zaś nie jest jednoznaczna.
W wypadku jednoznacznej relacji dwuczłonowej ma miejsce jednoznaczne
przyporządkowanie elementom jednego zbioru (elementom dziedziny tej relacji) elementów drugiego zbioru (elementów przeciwdziedziny tej relacji).
Takie przyporządkowanie poszczególnym elementom jednego zbioru dokładnie jednego elementu drugiego zbioru jest funkcją. Najogólniej rzecz biorąc:
Definicja 1.120. Funkcja to relacja jednoznaczna. Kolejne początkowe
(n − 1) człony tej relacji to argumenty a n-ty człon tej relacji to wartość
(n − 1)-argumentowej funkcji, gdzie n jest liczbą członów relacji.
N-członową relację R, która jest funkcją, można pojąć jako przyporządkowanie każdemu (n − 1)-wyrazowemu ciągowi dokładnie jednego elementu.
(N − 1)-argumentowa funkcja to funkcja (n − 1)-zmiennych.
Kiedy mówimy, że coś jest funkcją czegoś, to winniśmy mieć na uwadze
znaczenie, które wiąże się z terminem „funkcja” i nie używać tego terminu
na oznaczenie takiej zależności, takiej relacji, która nie jest funkcją. Prawdą
jest, że np. podatki są funkcją dochodów. Znaczy to, że wielkość dochodu
jednoznacznie wpływa na wielkość podatku19 . Nie jest prawdą, że cena towaru jest funkcją kosztów robocizny. Koszty robocizny mają znaczenie dla
ustalenia ceny towaru, lecz nie musi to być wpływ jednoznaczny — dwaj
producenci, mając różne koszty robocizny i jednakowe wszystkie pozostałe
koszty, mogą sprzedawać swój wyrób po tej samej cenie (lub przy tych samych kosztach robocizny po różnych cenach). Cena biletu kolejowego jest
funkcją długości trasy. Dwie osoby mające te same uprawnienia do zniżek
i decydujące się na jazdę tego samego rodzaju pociągiem i klasą, jeśli długość ich tras przejazdu jest taka sama, zapłacą tyle samo za bilet. Funkcją
19
Nie znaczy to, że dochód jest jedynym parametrem określającym wielkość podatku.
Wartość podatku jest funkcją wielu zmiennych, w szczególności dochodu, ulg i zwolnień.
84
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
ceny biletu nie jest długość trasy. Dwie osoby jadące w tym samym przedziale, mające te same uprawnienia do zniżek, po poinformowaniu się, że
zapłaciły tyle samo za bilet oraz wsiadły na tej samej stacji i jadą bez przesiadki nie mogą na tej podstawie wnioskować, że wysiądą na tej samej stacji
(ceny biletów naliczane są według stref). Opłata za rozmowę telefoniczną
jest funkcją czasu rozmowy. Jednak czas rozmowy nie jest funkcją ceny:
informacja o opłacie za rozmowę telefoniczną przy naliczaniu np. minutowym i strefowym nie pozwala na określenie czasu rozmowy. Zależność czasu
rozmowy od ceny rozmowy telefonicznej nie jest funkcją.
Definicja 1.121. Dwuczłonowa relacja taka, że ona i jej konwers są jednoznaczne to funkcja wzajemnie jednoznaczna.
Definicja 1.122. Dwuczłonowa relacja, której konwers jest relacją jednoznaczną to relacja odwrotnie jednoznaczna.
Relacja wzajemnie jednoznaczna to relacja, która jest jednoznaczna i odwrotnie jednoznaczna.
Jednoargumentowa funkcja jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko
wtedy, gdy każda wartość tej funkcji jest przyporządkowana tylko jednej
wartości argumentu. Funkcją wzajemnie jednoznaczną jest funkcja bycia
żoną w społeczeństwach, w których mężczyzna może mieć tylko jedną żonę,
a kobieta tylko jednego męża. Funkcją wzajemnie jednoznaczną jest również
zależność: y = 2x.
Skończone dwuczłonowe relacje można opisywać za pomocą grafu. Na
rysunku podaje się nazwy przedmiotów pozostających w relacji. Fakt zachodzenia relacji między określonymi przedmiotami zaznaczany jest przez
połączenie nazw tych przedmiotów strzałkami w taki sposób, że przedmioty
x i y pozostają w relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy poruszając się od x zgodnie z kierunkiem wskazywanym przez strzałkę dojdziemy do y. Na przykład,
relacja {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} ma następujący graf:
Relacje binarne można przedstawić też za pomocą tablicy (macierzy).
Relacja z powyższego przykładu miałaby następującą tablicę:
85
1
2
1
+
2
+
+
3
+
+
3
4
+
4
+
Najogólniej rzecz biorąc opis skończonej relacji za pomocą tabeli, której
wiersze i kolumny przyporządkowane są wzajemnie jednoznacznie elementom
dziedziny i przeciwdziedziny tej relacji przeprowadza się w ten sposób, że
w wypadku, gdy między xi a xj zachodzi relacja, oznaczeniu podlega pole
tabeli wyznaczone przez wiersz xi i kolumnę xj .
Pojęcie relacyjnej bazy danych
Gromadzenie danych, przekształcanie ich zasobów oraz wyszukiwanie danych
wymaga odpowiednich narzędzi.
Definicja 1.123. Baza danych to zbiór danych w postaci tabel oraz narzędzi stosowanych do gromadzenia, przekształcania oraz wyszukiwania danych.
Teoria baz danych oparta jest na teorii relacji. Dane zwykle przedstawiamy w postaci tabeli. Tabela ma kolumny i wiersze. Kolumny odpowiadają dziedzinom. Wiersze n-tkom uporządkowanym. Informatycy posługują
się inną terminologią. W kolumnach zapisuje się atrybuty a w wierszach
(krotkach) znajdują się rekordy. Dana to najmniejsza, elementarna jednostka informacji o obiekcie będąca przedmiotem przetwarzania. Zapisywana
jest w polu, czyli na skrzyżowaniu kolumny i wiersza. Rekordy składają się
z pól. Dane mają określony typ, czyli formę zapisu informacji. Na przykład
w wypadku typu liczbowego dane mogą być tylko liczbowe a w wypadku
typu logicznego dane przyjmują tylko jedną z dwu wartości: prawda, fałsz.
Dane mają również określony format, czyli postać. Na przykład pod format daty: dd-mm-yy podpada dana: 22-01-47 a nie podpada dana: 41-13-07.
Określenie formatu danych ułatwia poprawne zapisywanie danych: program
komputerowy nie akceptuje danych niezgodnych z ustalonym formatem.
Przykładami tabel są tabela ocen i tabela pomocy stypendialnej.
Nazwisko i imię
Kowalski Jan
Nowak Zdzisław
Malinowski Tomasz
egz. ust.
5
4
4
egz. pis.
4
5
4
ocena końcowa
4.5
4.5
4
86
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Dane Nazwisko i imię są typu znakowego. Dane egz. ust., egz. pis., ocena
końcowa są typu liczbowego.
Nazwisko i imię
Kowalski Jan
Nowak Zdzisław
Malinowski Tomasz
rok st.
II
I
III
soc.
140
0
200
nauk.
250
250
0
styp. łączne
390
250
200
Tabele w bazie danych powiązane są różnymi relacjami. W wypadku
przykładów tabele powiązane są atrybutem nazwisko i imię.
Rekordy mogą być sortowane, czyli porządkowane według jakiegoś kryterium. Kryterium to nazwa lub nazwy pól według których odbywa się
sortowanie. Sortowanie może być różnego rodzaju, np. rosnące (alfabetycznie lub liczbowo). Na przykład sortowanie rosnące tabeli ocen według
kryterium nazwisko i imię daje w wyniku tabelę:
Nazwisko i imię
Kowalski Jan
Malinowski Tomasz
Nowak Zdzisław
egz. ust.
5
4
4
egz. pis.
4
4
5
ocena końcowa
4.5
4
4.5
Zapytanie (kwerenda) to konstrukcja językowa, za pomocą której wyszukuje się dane z bazy danych.
Tworzenie bazy danych, jej przekształcanie i sposoby wyszukiwania danych określone są przez system zarządzania bazą danych. Jest to program, za pomocą którego wykonuje się tabele i formularze, przeprowadza
kwerendy, tworzy raporty, makra, procedury itd.
Zadania
Zadanie 1.46. Podaj przykład predykatu trójargumentowego.
Zadanie 1.47. Wskaż pole relacji bycia dłużnikiem.
Zadanie 1.48. Wskaż konwers relacji:
1. bycia dłużnikiem,
2. bycia małżonkiem,
Zadanie 1.49. Scharakteryzuj:
87
1. relację bycia przełożonym
2. bycia podwładnym.
Zadanie 1.50. Co to za relacja?
{(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . . , . . . , (n, n + 1), (n, n + 2),
(n, n + 3), . . . }
Zadanie 1.51. Czy relacja bycia nauczycielem jest funkcją?
Zadanie 1.52. Czy cena biletu kolejowego jest w Polsce funkcją:
1. długości trasy przejazdu?
2. wieku podróżnego?
3. zawodu podróżnego?
4. posiadania przez podróżnego legitymacji uprawniającej do zniżki?
5. rodzaju pociągu?
6. tego, czy jest to trasa krajowa, czy zagraniczna?
Zadanie 1.53. Udowodnij, że relacja jest równa swojemu konwersowi wtedy
i tylko wtedy, gdy jest symetryczna.
Zadanie 1.54. Udowodnij, że relacje jest w stosunku wykluczania ze swoim
konwersem wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna.
Zadanie 1.55. Udowodnij, że relacja jest w stosunku dopełniania ze swoim
konwersem wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójna.
Zadanie 1.56. Udowodnij, że relacja antysymetryczna jest przeciwzwrotna.
(Dwuczłonowa relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze U wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego x ∈ U: nieprawda, że xRx.)
Zadanie 1.57. Ile elementów ma zbiór {a1 , a2 , . . . , an } taki, że ai = aj , dla
każdego i, j: 1 ≤ i, j ≤ n?
Zadanie 1.58. Niech U = {1, 2, 3}. Określ pełną dwuczłonową relację.
Zadanie 1.59. Co jest superpozycją:
1. relacji bycia ojcem i relacji bycia matką
2. relacji bycia matką i relacji bycia ojcem?
Zadanie 1.60. Czy są dwa identyczne przedmioty? Jeśli tak, to wskaż je.
88
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
1.3.4
Spójniki
Ze zdań możemy budować zdania. W każdym języku istnieją różne sposoby
tworzenia zdań ze zdań. Służyć temu celowi mogą wyrażenia (w gramatyce nazywane spójnikami i partykułami) lub zestawienie zdań (połączenie
zdań składowych wraz z użyciem w języku mówionym stosownej intonacji,
a w języku pisanym odpowiedniej interpunkcji). W języku polskim istnieje
sto kilkadziesiąt wyrazów, które w połączeniu ze zdaniami tworzą zdania.
Definicja 1.124. N-argumentowy spójnik to wyrażenie, które łącznie
z n zdaniami tworzy zdanie20 . Zdania, z którymi spójnik tworzy zdanie to
argumenty tego spójnika.
Słowo „lub” może być użyte do połączenia zdania „Jan kocha Zosię” ze
zdaniem „Jan kocha Marysię”. Z takiego połączenia otrzymujemy zdanie „Jan
kocha Zosię lub Jan kocha Marysię”. Zdanie to zwykle zapisujemy jako „Jan
kocha Zosię lub Marysię”. Zdanie „Jan kocha Zosię i Marysię” jest zdaniem
otrzymanym przez połączenie naszych zdań spójnikiem „i”. Spójnikiem nie
jest „ jest”. Wyrażenie, które jest spójnikiem w sensie logicznym, nie musi
być spójnikiem w sensie gramatycznym. Podobnie, nie wszystkie spójniki
w sensie gramatycznym są wyrażeniami służącymi do budowy zdań z innych
zdań, a więc nie wszystkie spójniki w sensie gramatycznym są spójnikami
w sensie logicznym.
Spójniki dzieli się ze względu na liczbę ich argumentów. Spójnik jest
jednoargumentowy, gdy z jednym zdaniem tworzy zdanie. Przykładem spójnika jednoargumentowego są wyrażenia: „nieprawda, że . . . ”, „możliwe, że
. . . ”. Spójniki dwuargumentowe to: „. . . lub . . . ”, „. . . i . . . ”, „ jeżeli . . . , to
. . . ”, „. . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ”, „z tego, że . . . wynika, że . . . ”.
Definicja 1.125. Zdanie złożone to zdanie zbudowane za pomocą spójnika.
Definicja 1.126. Zdanie proste to zdanie, które nie jest złożone.
„Jan kocha Zosię” i „Jan kocha Marysię” to zdania proste. Zdanie „Jan
kocha Zosię i Marysię” jest zaś zdaniem złożonym.
Definicja 1.127. Spójnikiem głównym w zdaniach o budowie: sα, αsβ,
gdzie s jest spójnikiem a α i β są zdaniami jest s.
20
Por. przypis 15 na stronie 72.
89
Spójniki prawdziwościowe
Definicja 1.128. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem negacji wtedy
i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy zdanie-argument jest fałszywe
2. fałszywe, gdy zdanie-argument jest prawdziwe.
Definicja 1.129. O zdaniu złożonym α, zbudowanym za pomocą spójnika
negacji i zdania β, będziemy mówili, że jest negacją (zaprzeczeniem)
zdania β.
Zdanie „nieprawda, że Jan jest studentem” jest negacją zdania „Jan jest
studentem”. Podobnie jest ze zdaniem „Jan nie jest studentem”. Negację zdania β będziemy zapisywali: nie-β. W języku logiki formalnej, w rachunkach
logicznych, zapisuje się ją: ¬ β.
Zdanie i jego negacja tworzą parę zdań sprzecznych. Znaczy to, że przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe — jest to treścią zasady wyłączonego
środka — i że przynajmniej jedno z nich jest fałszywe — jest to treścią zasady niesprzeczności.
Zauważmy, że negacja negacji zdania jest logicznie równoważna temu zdaniu. Fakt ten jest treścią zasady podwójnego przeczenia. W niektórych
językach naturalnych, np. w łacinie i w niemieckim podwójnego przeczenia
używa się dla stwierdzenia bardziej stanowczego uznania zdania podwójnie
zaprzeczanego. W języku polskim samo zaprzeczenie wyrażane bywa za pomocą kilku „zaprzeczeń”, a czasem wielość przeczeń służy do wypowiedzenia
bardziej stanowczego odrzucenia zdania zaprzeczanego. Ta ostatnia sytuacja
ma miejsce, gdy zamiast powiedzieć: „nie widziałem go” powiemy: „nigdy
nie widziałem go”.
Definicja 1.130. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem alternatywy
wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnika
jest:
1. prawdziwe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,
2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są fałszywe.
alternatywy oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest alternatywą zdań β
i γ. Zdania β i γ to człony tej alternatywy.
90
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zdanie „Jan jest nauczycielem lub pracuje w kuratorium oświaty” jest alternatywą zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan pracuje w kuratorium oświaty”.
Kolejność argumentów w alternatywie nie ma znaczenia dla jej wartości logicznej. Alternatywę zdań β i γ będziemy zapisywali: β lub γ. W rachunkach
logicznych alternatywę tę zapisuje się: β ∨ γ.
Zauważmy, że zdanie o postaci alternatywy zwykliśmy wygłaszać wówczas, gdy nie wiemy, które ze zdań-argumentów jest prawdziwe. Na przykład
mówię: „Jan studiuje prawo lub ekonomię”, gdy nie wiem, czy Jan studiuje
prawo, czy też ekonomię, a jednak wiem, że Jan studiuje prawo lub ekonomię. Gdy jednak wiem, że Jan studiuje prawo, a mówię: „Jan studiuje prawo
lub ekonomię”, to mówię mniej niż wiem. Moja wypowiedź pozostaje wszak
prawdziwa, jeśli prawdą jest, że Jan studiuje prawo. Podobnie będzie w wypadku, gdy wiedząc, że Jan studiuje prawo i że studiuje ekonomię mówię:
„Jan studiuje prawo lub ekonomię”.
Spójnika „lub” używa się, gdy nie wie się które ze zdań-argumentów alternatywy jest prawdziwe i nie ma podstaw do wykluczenia, że wszystkie
zdania-argumenty są prawdziwe. Zdarza się jednak, że są podstawy dla wykluczenia możliwości współprawdziwości branych pod uwagę zdań. Aby ten
fakt zakomunikować tylko za pomocą spójnika, potrzebny jest spójnik alternatywy rozłącznej.
Definicja 1.132. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem alternatywy
rozłącznej wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą
tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,
2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe lub oba są fałszywe.
alternatywy rozłącznej oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest alternatywą rozłączną zdań β i γ. Zdania β i γ to człony tej alternatywy.
Zdanie „Jan jest nauczycielem albo (Jan jest) urzędnikiem” jest alternatywą rozłączną zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan jest urzędnikiem”. Alternatywę rozłączną zdań β i γ będziemy zapisywali: β albo γ. W rachunkach
logicznych zwykle nie wprowadza się specjalnego symbolu na alternatywę
rozłączną, można ją bowiem w prosty sposób wypowiedzieć za pomocą kombinacji negacji i równoważności (spójnika, który będzie tu omówiony jako
ostatni). Jeżeli istnieje potrzeba wprowadzenia symbolu alternatywy rozłącznej to stosowany jest znak: ⊕. W języku potocznym dla wyraźnego zaznaczenia, że chodzi o wypowiedzenie spójnika alternatywy rozłącznej używa
91
się np. frazy: „albo . . . , albo. . . ”. W wypowiedzi typu: „podlega karze pozbawienia wolności lub grzywny, albo obu tych kar” słowo „lub” potraktowane
jest tak, jakby wyrażało spójnik alternatywy rozłącznej. W zdaniu „bez cła
wolno przywieźć jedną butelkę wódki albo dwie butelki wina” wyraz „albo”
użyty jest jako spójnik alternatywy rozłącznej. Ktoś, kto przywozi jedną
butelkę wódki i dwie butelki wina zobowiązany jest zapłacić cło. Inaczej byłoby, gdyby przepis był sformułowany za pomocą spójnika „lub”, czyli gdyby
brzmiał: „bez cła wolno przywieźć jedną butelkę wódki lub dwie butelki
wina”.
Mówimy: „ani mnie to grzeje, ani ziębi”, „ani widu, ani słychu”. Mówimy
„ani Jan nie jest zdolny, ani nie jest pracowity”, choć w istocie to złożenie
zdań „Jan jest zdolny” i „Jan jest pracowity” rozumiemy tak, jak złożenie
zdań za pomocą „ani. . . , ani. . . ” bez słówka „nie”.
Definicja 1.134. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem binegacji
(podwójnego przeczenia, funktorem Łukasiewicza) wtedy i tylko wtedy,
gdy zdanie złożone zabudowane za pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy oba zdania-argumenty są fałszywe,
2. fałszywe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe.
binegacji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest binegacją zdań β i γ.
Zdania β i γ to człony tej binegacji.
Wartość logiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocą spójnika binegacji jest zawsze taka sama jak wartość logiczna zaprzeczenia zdania złożonego zbudowanego z tych samych zdań-argumentów za pomocą spójnika
alternatywy (nierozłącznej), czyli zdania te są logicznie równoważne. W rachunkach logicznych dla zapisu binegacji stosuje się zapis: β ↓ γ, a odczytuje
się: „ani β, ani γ”.
Definicja 1.136. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem koniunkcji
jest:
1. prawdziwe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe,
2. fałszywe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe.
koniunkcji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest koniunkcją zdań β
i γ. Zdania β i γ to człony tej koniunkcji.
92
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zdanie „Jan jest nauczycielem i pracuje w kuratorium oświaty” jest koniunkcją zdań „Jan jest nauczycielem” i „Jan pracuje w kuratorium oświaty”.
Kolejność argumentów w koniunkcji nie ma znaczenia dla jej wartości logicznej. Koniunkcję zdań β i γ będziemy zapisywali: β i γ. W rachunkach
logicznych stosuje się zapis: β ∧ γ.
Rozważając koniunkcję zauważmy, że jej definicja — podobnie jak definicje pozostałych spójników — nie podaje żadnego wyrażenia, które pełniłoby
rolę tego spójnika. Jest to sprawą decyzji terminologicznej, któremu słowu
języka polskiego zostanie powierzona rola czy to spójnika koniunkcji, czy
to innego spójnika. Decyzja nie jest arbitralna, pod uwagę bierze się bowiem znaczenia poszczególnych słów w języku naturalnym. Konwencjonalny
charakter ustalenia terminologicznego bierze się stąd, że znaczenia wybranych słów różnią się od znaczeń, które przypisujemy spójnikom. W języku
naturalnym udaje się wskazać takie użycia tych słów, które nie są zgodne
z ich rolą jako spójników o znaczeniach określonych definicjami. Na przykład
w wypadku słówka „i” — któremu wyznacza się rolę spójnika koniunkcji —
tam, gdzie mamy do czynienia ze zdaniami odnoszącymi się do faktów mających miejsce w różnym czasie, lecz nie zawierających dat, na znaczenie
zdania złożonego zbudowanego za pomocą spójnika „i” ma wpływ kolejności
zdań połączonych tym słówkiem. Jest tak w wypadku zdań: „Zosia urodziła
syna”, „Zosia wyszła za mąż” oraz: „Jan zachorował”, „Jan poszedł na rentę”.
W języku naturalnym zdanie koniunkcyjne wypowiada się też — jest to kwestia stylu — używając słówek np. „oraz”, „a”. I tak nie powiemy „Jan jest
adwokatem i Piotr jest nauczycielem”, lecz „Jan jest adwokatem a Piotr jest
nauczycielem”.
W logice rozważa się też spójnik, który jest zaprzeczeniem koniunkcji,
podobnie jak binegacja jest zaprzeczeniem alternatywy.
Definicja 1.138. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem dysjunkcji
(funktorem Sheffera) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zabudowane
za pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy przynajmniej jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe,
2. fałszywe, gdy oba zdania-argumenty są prawdziwe.
dysjunkcji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest dysjunkcją zdań β
i γ. Zdania β i γ to człony tej dysjunkcji.
W rachunkach logicznych dla zapisu dysjunkcji stosuje się zapis: β/γ.
Spójnik ten można odczytywać korzystając z faktu, że zdanie zbudowane
93
za jego pomocą jest równoważne zaprzeczeniu koniunkcji jego argumentów,
czyli zdanie β/γ czytamy: „nieprawda, że zarazem β i γ”.
W wypadku dwuargumentowego spójnika implikacji o zdaniu będącym
jego pierwszym argumentem będziemy mówili, że jest poprzednikiem implikacji a o drugim, że jest następnikiem implikacji.
Definicja 1.140. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem implikacji
jest:
1. prawdziwe, gdy
(a) poprzednik jest fałszywy
lub
(b) następnik jest prawdziwy,
2. fałszywe, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy.
implikacji oraz zdań β i γ, będziemy mówili, że jest implikacją zdań β i γ
lub zdaniem warunkowym.
Zdanie „ jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra” jest implikacją. Implikację, której poprzednikiem jest zdanie β a następnikiem γ będziemy zapisywali: jeżeli β, to γ. W rachunkach logicznych stosuje się zapis: β ⇒ γ.
W języku naturalnym implikację wypowiada się za pomocą wielu fraz.
Może to być „gdy. . . , to. . . ”, „skoro. . . , to. . . ”, „ponieważ. . . , to. . . ” itp.
Wypowiadamy z przekonaniem jako prawdziwe zdanie „ jeżeli β, to γ”,
gdy nie wiemy czy β i γ są prawdziwe, lecz wiemy, że jeśli β jest prawdziwe,
to i γ jest prawdziwe. Jeśli wiemy, że β jest prawdziwe i wiemy, że prawdziwe
jest zdanie „ jeżeli β, to γ”, to wiemy, że prawdziwe jest γ. Wiedząc zaś, że
γ jest prawdziwe raczej nie powiemy „ jeżeli β, to γ”, a powiemy γ. Zdania
„ jeżeli β, to γ” niezależnie od naszej wiedzy, co do prawdziwości poprzednika
lub następnika możemy użyć w argumentacji. Implikacji używamy też dla
wypowiedzenia niemożliwości. Zdanie β stwierdzające to, o czym chcemy
powiedzieć, że jest niemożliwe, brane jest jako poprzednik, a jako następnik
bierze się zdanie, które stwierdza coś, co jest powszechnie uznane za niemożliwe. Chcąc np. powiedzieć, że niemożliwe jest, aby Jan wykonał swoją
pracę na czas, mogę powiedzieć: „Jeżeli Jan wykona tę pracę na czas, to mi
kaktus na dłoni wyrośnie”.
Za pomocą spójnika implikacji, jak za pomocą każdego innego spójnika,
możemy budować zdania z dowolnych zdań. Nie znaczy to jednak, by takie
94
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
dowolne połączenia faktycznie pojawiały się w naszych zwykłych wypowiedziach. Wypowiedź, tekst jest o czymś. Tworzące ją zdania są o tym czymś,
na temat, nie są przypadkowe. Pewna osobliwość zdań (wszystkie one są
prawdziwe zgodnie z podanymi rozumieniami spójników): „Jan jest nauczycielem lub Warszawa jest stolicą Polski”, „Księżyc jest naturalnym satelitą
Ziemi i w centrum Warszawy znajduje się Pałac Kultury i Nauki”, „ jeżeli
Kraków leży nad Wisłą, to złoto jest pierwiastkiem”, bierze się z tego, że
takie zdania nie pojawiają się w zwykłym sposobie mówienia. W praktycznie budowanych zdaniach, w wypadku alternatywy i koniunkcji ma miejsce
jakaś zgodność treści między zdaniami-argumentami. Może to być zgodność ze względu na to, że zdania te odnoszą się do tego samego aspektu
i fragmentu dziedziny przedmiotowej, jak np. w wypadku zdania „to jest
czerwone lub różowe”, a co nie ma miejsca w wypadku zdania „to jest czerwone lub jest kulą”. W zwykłym sposobie mówienia w wypadku implikacji
między poprzednikiem a następnikiem zachodzi jakiś związek bogatszy niż
tylko zgodność treściowa. Warto tu wskazać na cztery takie związki. Można
powiedzieć, że wyraża je spójnik implikacji.
Pomiędzy tym, co stwierdza poprzednik a tym, co stwierdza następnik
implikacji, może zachodzić związek:
1. przyczynowo-skutkowy,
Taka sytuacja ma miejsce w wypadku zdań: „ jeżeli na ciało działa
niezrównoważona siła, to ciało porusza się ruchem przyśpieszonym”,
„ jeżeli będziesz palił, to będziesz ponosił szkodę na zdrowiu”.
2. strukturalny,
Związek taki zachodzi w wypadku zdań: „ jeżeli dzisiaj jest poniedziałek, to jutro będzie wtorek”, „ jeżeli spojrzysz na Mnicha od strony
Morskiego Oka, to na lewo zobaczysz Mniszka”. Związek strukturalny
to związek zachodzący ze względu na stosunek przestrzenny, czasowy,
stosunek zależności służbowej itp.
3. tetyczny,
Związek tetyczny to związek powstały z ustanowienia. Tego rodzaju
związek występuje w wypadku zdań: „Jeżeli jest się studentem, to
można uzyskać odroczenie od służby wojskowej”, „Jeżeli prowadzi się
działalność gospodarczą, to należy płacić podatki”.
4. wynikania,
Jest to związek, który stanowi szczególny przedmiot zainteresowań logiki. O stosunku wynikania między zdaniami będzie mowa w związku
95
z rozumowaniami. Najogólniej rzecz biorąc, związek wynikania zachodzi między zdaniami α i β wówczas i tylko wówczas, gdy prawdziwość zdania α gwarantuje prawdziwość zdania β. Szczególnym wypadkiem wynikania jest wynikanie bezpośrednie na podstawie znaczenia
poprzednika i następnika implikacji. Taki związek to związek analityczny Związek analityczny na miejsce w wypadku zdania: jeżeli Jan
jest kawalerem, to Jan nie ma żony.
Nie należy mylić implikacji ze stosunkiem wynikania. Implikacja jest
spójnikiem, który może wyrażać stosunek wynikania. Inaczej mówiąc,
jeśli z α wynika β, to prawdziwa jest implikacja: „ jeśli α, to β”; jednak
prawdziwość tej implikacji nie oznacza, że z jej poprzednika wynika jej
następnik.
W logice rozważa się ograniczenie możliwości użycia frazy „ jeżeli. . . ,
to. . . ” do łączenia zdań, które pozostają w pewnych formalnych związkach.
Oprócz warunków prawdziwości, które są takie same jak dla powyżej zdefiniowanej implikacji, jako warunek konieczny poprawności podaje się różne
warunki formalne, jakie powinny zachodzić między zdaniami łączonymi frazą
„ jeżeli. . . , to. . . ”. Każdy tak opisany spójnik to implikacja formalna. Dla
odróżnienia, powyżej zdefiniowaną implikację nazywa się implikacją materialną. Implikacja materialna ma prowadzić do paradoksów. Tak twierdzą
zwolennicy implikacji ścisłej, która miałaby realizować — jak chciał twórca
jej teorii C. I. Lewis (1883–1964) — ideę implikacji formalnej. Niezależnie
od usiłowań stworzenia zadowalającej teorii implikacji formalnej, implikacja
materialna ma trwałe miejsce w nauce: wystarcza do wypowiedzenia najbardziej skomplikowanych myśli i przeprowadzenia najbardziej subtelnych
rozumowań.
W wypadku obu alternatyw: nierozłącznej i rozłącznej, binegacji oraz koniunkcji i dysjunkcji kolejność zdań-argumentów nie ma wpływu na wartość
logiczną zdania złożonego zbudowanego za pomocą tych spójników. Inaczej
jest w wypadku implikacji.
Definicja 1.142. Implikacja odwrotna (zdanie warunkowe odwrotne)
do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli β, to α”.
Implikacją odwrotną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) pisze wiersze” jest zdanie „ jeżeli Jan pisze wiersze, to (Jan) jest poetą”.
Implikacja i implikacja do niej odwrotna dopełniają się, ale nie wykluczają, czyli nie mogą być współfałszywe, choć mogą być współprawdziwe.
Definicja 1.143. Implikacja przeciwna (zdanie warunkowe przeciwne) do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli nie-α, to nie-β”.
96
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Implikacja przeciwną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) pisze
wiersze” jest zdanie „ jeżeli Jan nie jest poetą, to (Jan) nie pisze wierszy”.
Implikacja i implikacja do niej przeciwna dopełniają się, ale nie wykluczają się.
Definicja 1.144. Implikacja przeciwstawna (zdanie warunkowe przeciwstawne) do zdania „ jeżeli α, to β” to zdanie „ jeżeli nie-β, to nie-α”.
Implikacją przeciwstawną do zdania „ jeżeli Jan jest poetą, to (Jan) pisze
wiersze” jest zdanie „ jeżeli Jan nie pisze wierszy, to (Jan) nie jest poetą”.
Implikacja i implikacja do niej przeciwstawna są zdaniami logicznie równoważnymi. Implikacja przeciwstawna jest implikacją odwrotną do implikacji przeciwnej.
Definicja 1.145. Dwuargumentowy spójnik jest spójnikiem równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego
spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy
(a) oba zdania-argumenty są prawdziwe
lub
(b) oba zdania-argumenty są fałszywe,
2. fałszywe, gdy jedno zdanie-argument jest prawdziwe, a drugie fałszywe.
równoważności oraz zdań β i γ będziemy mówili, że jest równoważnością
zdań β i γ, a o zdaniach β i γ, że są sobie równoważne.
Zdanie „liczba a jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma
jej cyfr jest podzielna przez 3” jest równoważnością. Zdania „liczba a jest
podzielna przez 3” i „suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3” są sobie
równoważne. Równoważność należy odróżniać od równoznaczności. Zdania
mające to samo znaczenie, zdania równoznaczne, w myśl podanej definicji
równoważności są sobie równoważne. Zależność odwrotna nie zachodzi. Nie
wszystkie zdania równoważne są równoznaczne. Zdanie „liczba a jest podzielna przez 3” nie jest równoznaczne ze zdaniem „suma cyfr liczby a jest
podzielna przez 3”. Równoważność zdań β i γ będziemy zapisywali: β wtedy
i tylko wtedy, gdy γ. W języku symbolicznym logiki formalnej zapisuje się
to zaś: β ⇔ γ.
97
Podobnie jak w wypadku implikacji, w zwykłym sposobie mówienia spójnikiem równoważności łączymy zdania pozostające ze sobą w jakichś związkach. Nasze uwagi o implikacji można odnieść do równoważności.
Związki między implikacją a równoważnością staną się bardziej zrozumiałe jeśli uświadomimy sobie, że równoważność „α wtedy i tylko wtedy,
gdy β” daje się wyrazić za pomocą dwóch implikacji, a mianowicie „ jeśli α,
to β” i implikacji do niej odwrotnej, „ jeśli β, to α”. Na jedno wychodzi, czy
wypowiemy te dwie implikacje, czy równoważność. Fakt ten tłumaczy też
dlaczego w zwykłym sposobie mówienia spójnik równoważności jest rzadko
używany — myśl można bowiem wyrazić posługując się prostszym, choćby
tylko w sposobie wysłowienia, spójnikiem implikacji.
Omówione spójniki: negacji, alternatyw, binegacji, koniunkcji, dysjunkcji, implikacji i równoważności charakteryzują się tym, że wartości logiczne
ich argumentów jednoznacznie wyznaczają wartość logiczną zdania złożonego. Na tę wartość nie ma wpływu treść zdań-argumentów. Są to spójniki
prawdziwościowe.
Definicja 1.147. Spójnik prawdziwościowy to spójnik taki, że wartość
logiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocą tego spójnika jest w sposób charakterystyczny dla tego spójnika wyznaczona przez wartości logiczne
zdań-argumentów.
Przykładami spójników, które nie są prawdziwościowe, mogą być frazy
„konieczne jest, że . . . ”, „możliwe, że . . . ”. Zdanie „2 + 2 = 4” jest prawdziwe
oraz zdanie „konieczne jest, że 2+2 = 4” jest prawdziwe. Jednak w wypadku
zdania prawdziwego „Warszawa jest stolicą Polski”, zdanie „konieczne jest, że
Warszawa jest stolicą Polski” jest zdaniem fałszywym. Zdanie „Kraków jest
stolicą Polski” jest zdaniem fałszywym, a zdanie „możliwe, że Kraków jest
stolicą Polski” jest zdaniem prawdziwym. Fałszywe jest zdanie „2 + 2 = 5”
i fałszywe jest też „możliwe, że 2 + 2 = 5”.
Dwuargumentowym spójnikiem, który nie jest prawdziwościowy jest fraza
„z tego, że . . . wynika, że . . . ”. W wypadku zdań: „a jest kwadratem”, „a ma
cztery boki” zachodzi stosunek wynikania: prawdą jest, że „z tego, że a jest
kwadratem wynika, że a ma cztery boki”. W wypadku zdań prawdziwych:
„Słońce jest gwiazdą”, „Księżyc jest planetą” fałszywe jest zdanie „z tego, że
Słońce jest gwiazdą wynika, że Księżyc jest planetą”.
Spójniki prawdziwościowe negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności są przedmiotem rozważań w klasycznym rachunku logicznym.
Interesującym zagadnieniem jest liczba spójników prawdziwościowych
różniących się tylko sposobem przyporządkowywania wartości logicznej zdaniu złożonemu. W wypadku spójników jednoargumentowych są dokładnie
98
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
cztery takie spójniki. Spójników dwuargumentowych jest dokładnie szesnan
ście. Ogólnie biorąc jest 22 prawdziwościowych spójników n-argumentowych.
Natychmiast powstaje pytanie, czy możliwe jest wypowiedzenie wszystkich
spójników prawdziwościowych za pomocą pewnej skończonej ich liczby. Zauważamy bowiem, że zamiast „ jeżeli α, to β” możemy równoważnie powiedzieć „nie-α lub β”. Spójnik implikacji daje się więc wyeliminować, bo można
go wypowiedzieć za pomocą negacji i alternatywy. Może więc dałoby się
wypowiedzieć wszystkie dające się pomyśleć spójniki prawdziwościowe korzystając tylko ze skończonego ich zbioru? Odpowiedź na to pytanie jest
pozytywna. Okazało się, że są nawet dokładnie dwa dwuargumentowe spójniki prawdziwościowe, z których każdy z osobna może wypełnić to zadanie.
Są nimi binegacja i dysjunkcja. Dla nas istotne jest to, że omówione przez nas
spójniki prawdziwościowe: negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności też umożliwiają wypowiedzenie wszystkich dających się choćby
tylko pomyśleć spójników prawdziwościowych o skończonej liczbie argumentów.
Zdanie „Jan pracuje na uniwersytecie, na politechnice lub w liceum” jest
prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze
zdań: „Jan pracuje na uniwersytecie”, „Jan pracuje na politechnice”, „Jan
pracuje w liceum”. Zdanie to zbudowane jest z trzech zdań-argumentów połączonych spójnikiem trójargumentowym. Podobnie można budować zdanie
złożone z jeszcze większej liczby zdań-argumentów. Spójnik, który łączyłby
te zdania to n-argumentowa alternatywa.
Definicja 1.148. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumentowej alternatywy wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za
pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy chociaż jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,
2. fałszywe, gdy wszystkie zdania-argumenty są fałszywe.
n-argumentowej alternatywy oraz zdań β1 , β2 , . . . , βn będziemy mówili, że
jest n-członową alternatywą zdań β1 , β2 , . . . , βn . Zdania β1 , β2 , . . . , βn
to człony tej alternatywy.
Zdanie „Jan mieszka w Białymstoku, w Łapach albo w Ełku” jest zbudowane z trzech zdań-argumentów i trójargumentowego spójnika alternatywy
rozłącznej. Ogólnie biorąc możemy mówić o n-argumentowym spójniku alternatywy rozłącznej.
99
Definicja 1.150. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumentowej alternatywy rozłącznej wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone
zbudowane za pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań-argumentów jest prawdziwe,
2. fałszywe, gdy prawdziwe są co najmniej dwa lub fałszywe są wszystkie
zdania-argumenty.
n-argumentowej alternatywy rozłącznej oraz zdań β1 , β2 , . . . , βn będziemy
mówili, że jest n-członową alternatywą rozłączną zdań β1 , β2 , . . . , βn .
Zdania β1 , β2 , . . . , βn to człony tej alternatywy rozłącznej.
W języku spotykamy też zdania, które należałoby uznać za zbudowane
z n-argumentowego spójnika koniunkcji. Na przykład zdanie „Jan studiuje,
pracuje i uprawia sport” zbudowane jest za pomocą trójargumentowego spójnika koniunkcji.
Definicja 1.152. N -argumentowy spójnik jest spójnikiem n-argumentowej koniunkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za
pomocą tego spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy wszystkie ze zdań-argumentów są prawdziwe,
2. fałszywe, gdy przynajmniej jedno ze zdań-argumentów jest fałszywe.
n-argumentowej koniunkcji oraz zdań β 1 ,β 2 , . . . , β n będziemy mówili, że
jest n-członową koniunkcją zdań β1 , β2 , . . . , βn . Zdania β1 , β2 , . . . , βn to
człony tej koniunkcji.
Zauważmy, że wskazane n-argumentowe spójniki to cała klasa spójników. W wypadku n = 2 są to spójniki alternatywy, alternatywy rozłącznej,
koniunkcji. W wypadku n > 2 mówimy, że są to spójniki wieloargumentowe, a zdania zbudowane za ich pomocą to wieloczłonowa alternatywa,
wieloczłonowa alternatywa rozłączna, wieloczłonowa koniunkcja.
Jak możemy spójniki te wyrazić za pomocą spójników dwuargumentowych?
Odpowiedź w tym wypadku jest szczególnie prosta. Zauważmy bowiem, że
w wypadku zarówno alternatywy, alternatywy rozłącznej i koniunkcji ma
miejsce własność łączności, czyli dla dowolnych zdań α, β, γ:
1. wartość logiczna zdania (α ∨ β) ∨ γ jest taka sama jak wartość logiczna
zdania α ∨ (β ∨ γ);
100
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
2. wartość logiczna zdania (α ⊕ β) ⊕ γ jest taka sama jak wartość logiczna
zdania α ⊕ (β ⊕ γ);
3. wartość logiczna zdania (α ∧ β) ∧ γ jest taka sama jak wartość logiczna
zdania α ∧ (β ∧ γ).
Zatem zdanie złożone zbudowane ze zdań α1 , α2 , . . . , αn i
1. spójnika alternatywy jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań α1 , α2 , . . . , αn jest prawdziwe, czyli jego wartość
logiczna jest taka sama jak wartość logiczna zdania zbudowanego z tych
zdań i n-argumentowego spójnika alternatywy;
2. spójnika alternatywy rozłącznej jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy,
gdy dokładnie jedno ze zdań α1 , α2 , . . . , αn jest prawdziwe, czyli jego
wartość logiczna jest taka sama jak wartość logiczna zdania zbudowanego z tych zdań i n-argumentowego spójnika alternatywy rozłącznej;
3. spójnika koniunkcji jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
zdania α1 , α2 , . . . , αn są prawdziwe, czyli jego wartość logiczna jest
taka sama jak wartość logiczna zdania zbudowanego z tych zdań i nargumentowego spójnika koniunkcji.
Zadania
Zadanie 1.61. Podaj niektóre wyrażenia języka polskiego mogące pełnić rolę
spójnika:
1. negacji,
2. alternatywy,
3. alternatywy rozłącznej,
4. binegacji,
5. koniunkcji,
6. dysjunkcji,
7. implikacji,
8. implikacji odwrotnej,
9. równoważności?
101
Zadanie 1.62. Wskaż różnice znaczeniowe między zdaniami: „Wyrażenie należy do jednej kategorii składniowej”, „Wyrażenie należy do tylko jednej kategorii składniowej”, „Wyrażenie należy do jednej i tylko jednej kategorii składniowej”.
Zadanie 1.63. Jakim zdaniem jest implikacja, której:
1. poprzednik i następnik są zdaniami analitycznymi,
2. poprzednik i następnik są zdaniami kontradyktorycznymi,
3. poprzednik i następnik są zdaniami syntetycznymi,
4. której następnik jest zdaniem analitycznym,
5. której następnik jest zdaniem kontradyktorycznym,
6. której następnik jest zdaniam syntetycznym,
7. której poprzednik jest zdaniem analitycznym,
8. której poprzednik jest zdaniem kontradyktorycznym,
9. której poprzednik jest zdaniam syntetycznym?
Zadanie 1.64. Czy jest prawdą, że
1. wszystkie zdania analityczne są parami równoważne,
2. wszystkie zdania kontradyktoryczne są parami równoważne,
3. wszystkie zdania syntetyczne są parami równoważne?
Zadanie 1.65. Otrzymałeś zaproszenie na przyjęcie z adnotacją: „Proszę powiadomić tylko w wypadku rezygnacji”. Czy naruszasz tę prośbę, gdy:
1. powiadamiasz i nie przychodzisz,
2. powiadamiasz i przychodzisz,
3. nie powiadamiasz i przychodzisz,
4. nie powiadamiasz i nie przychodzisz?
Zadanie 1.66. Masz cztery karty. Na jednej stronie każdej z nich jest litera
a na drugiej cyfra. Karty leżą na stole. Na widocznej stronie znajdują się,
kolejno: A, 1, B, 2. Stawiasz hipotezę, że:
102
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
jeżeli na karcie znajduje się A, to na jej drugiej stronie jest 1.
Które karty musisz odkryć, aby mieć całkowitą pewność, że hipoteza jest
prawdziwa, jeśli tych kart powinieneś odkryć jak najmniej?
Zadanie 1.67. Na pewnej wyspie mieszkają ludzie, którzy zawsze mówią
prawdę i ludzie, którzy zawsze mówią nieprawdę. Na rozdrożu dwóch dróg,
z których jedna prowadzi do stolicy kraju stoi tubylec. Jakie jedno pytanie
należy mu zadać, aby po usłyszeniu odpowiedzi „tak” albo „nie” wiedzieć,
która droga prowadzi do stolicy kraju?
Słówka modalne
Spośród spójników, które nie są prawdziwościowe, ze względu na rolę w naszych wypowiedziach na szczególną uwagę zasługują słówka modalne. Z fraz
„konieczne jest, że” i „możliwe jest, że” korzystaliśmy, aby pokazać, że wartość
logiczna ich argumentów sama nie wyznacza wartości logicznej zdania złożonego i trzeba brać pod uwagę treść zdań-argumentów. Frazy te to słówka
modalne. Modalnością zajmował się już Arystoteles. W tradycyjnej logice
ograniczano się do zdań podmiotowo-orzecznikowych: S jest P. Współczesne ujęcie jest ogólniejsze. Tradycyjne ujęcie — jak się wydaje — ma jednak
pewne zalety dydaktyczne.
W tradycyjnej ontologii mówi się o sposobie przysługiwania lub nieprzysługiwania własności P przedmiotowi a (modalność de re). Są to:
1. konieczność (necessarium est), jeśli własność P nie może nie przysługiwać przedmiotowi a;
2. niemożliwość (impossibile est), jeśli własność P nie może przysługiwać przedmiotowi a;
3. niekonieczność, czyli przygodność (contingens est), jeśli własność
P może nie przysługiwać przedmiotowi a;
4. możliwość (possibile est), jeżeli własność P może przysługiwać przedmiotowi a.
Definicja 1.154. Zdaniem modalnym (w sensie tradycyjnym) jest zdanie, które stwierdzając przysługiwanie przedmiotowi a własności P mówi
nadto o tym, jak własność ta przysługuje przedmiotowi a.
103
Rola słówka modalnego w zdaniu polega na określeniu tego, jak własność
P przysługuje przedmiotowi a. Frazy, które służą jako słówka modalne, bywają niejednoznaczne. W zdaniu „Jan musi mieć matkę” mówi się o konieczności biologicznej. Z inną koniecznością mamy do czynienia w zdaniu „Jan
musi udać się do lekarza”. Podobnie jest z możliwością. O innej możliwości
mowa w zdaniu „Jan może zdać egzamin”, a o innej w zdaniu „Jan może
lewitować”.
Logika współczesna nie ogranicza się do zdań podmiotowo-orzecznikowych.
Modalność jest czymś, co cechuje sytuację, ze względu na którą zdanie jest
prawdziwe lub fałszywe (modalność de dicto). Słówka modalne traktowane
są zaś jako spójniki. Podobnie jak jakaś własność może na różne — wyżej
opisane — sposoby przysługiwać przedmiotowi, tak też w różny sposób mogą
zachodzić sytuacje.
Co znaczy to, że sytuacja może zachodzić, nie może zachodzić, jest konieczna lub jest niekonieczna?
Wyobraźmy sobie świat, w którym wszystko jest jak w świecie rzeczywistym, poza tym że podręcznik z logiki nie leży na stole, lecz na półce, czyli
w tym świecie zamiast pewnej sytuacji (a mianowicie, że podręcznik leży na
stole) ma miejsce sytuacja od niej różna. Ten świat jest możliwy z punktu
widzenia świata rzeczywistego. Odpowiedź na nasze pytanie wymaga odpowiedzi na pytanie, jakie światy są możliwe i na pytanie, jak rozumieć
to, że świat jest osiągalny z «naszego świata», czyli możliwy ze względu na
«nasz świat». Świat możliwy z punktu widzenia praw przyrody nie musi być
możliwy z punktu widzenia zasad moralnych, zasad prawnych lub uznanych
norm zachowań. Sytuacja jest możliwa, jeśli zachodzi w możliwym świecie
osiągalnym (z «naszego świata»). Sytuacja jest konieczna, jeśli ma miejsce
w każdym z takich możliwych światów.
Ograniczenia na konstrukcje możliwych światów wyznaczają specyficzne
rozumienie sposobu, w jaki zachodzi sytuacja. Inne będzie ono, gdy będziemy mieli na uwadze ograniczenia przez prawa przyrody, inne, gdy będą
to ograniczenia przez zasady moralne lub prawne, inne gdy będzie to ograniczenie przez zasady logiczne. Na przykład jeśli weźmiemy pod uwagę świat,
w którym obowiązują prawa fizyki i biologii, to Jan może głośno rozmawiać
na wykładzie. Możliwa jest również sytuacja, że Jan nie rozmawia na wykładzie. Jeśli weźmiemy pod uwagę normy obowiązujące studentów uczestniczących w wykładzie, to Jan nie może głośno rozmawiać na wykładzie.
Jakiekolwiek jednak ograniczenie weźmiemy pod uwagę, to nie może jednak
być tak, aby jakaś sytuacja była możliwa, a nie była możliwa ze względu na
zasady logiczne: to, co jest możliwe, jest możliwe w sensie logicznym, ale
nie na odwrót: to, co jest możliwe w sensie logicznym nie musi być możliwe
104
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
w innym sensie, np. moralnym. To, co jest konieczne w sensie logicznym, jest
konieczne w każdym innym sensie, ale nie na odwrót: to, co jest konieczne
w jakimś sensie nie musi być konieczne w sensie logicznym.
Możemy mówić o sposobach zachodzenia sytuacji, czyli modalnościach
fizycznych, praktycznych, moralnych, normatywnych itp. Modalność aletyczna21 (logiczna, metafizyczna) odnosi do sposobu zachodzenia sytuacji.
Modalność epistemiczna22 odnosi do sposobu poznania. Modalność deontyczna23 dotyczy sposobu obowiązywania zasad moralnych i prawnych. Modalność egzystencjalna dotyczy sposobu istnienia.
Kiedy będziemy mówili tu o możliwości i konieczności, będziemy mieli
na uwadze ich rozumienie, jako możliwości i konieczności logicznych.
Definicja 1.155. Zdaniem modalnym jest zdanie, które oprócz tego, że
stwierdza zachodzenie pewnej sytuacji mówi też o sposobie jej zachodzenia.
Z punktu widzenia modalności zdania dzieli się na asertoryczne, apodyktyczne i problematyczne.
Definicja 1.156. Zdanie asertoryczne to zdanie, które stwierdza zachodzenie pewnej sytuacji (bez określenia sposobu jej zachodzenia, modalności).
Zdaniem asertorycznym jest wyrażenie „Jan jest prawnikiem”.
Definicja 1.157. Zdanie apodyktyczne to zdanie (modalne), które stwierdza konieczność lub niemożliwość pewnej sytuacji.
Zdaniami apodyktycznymi są: „niemożliwe, że Jan był wczoraj w kinie”,
„konieczne jest uzyskanie zaliczenia z logiki”, „podatnik musi rozliczyć się
z podatku do końca kwietnia”.
Definicja 1.158. Zdanie problematyczne to zdanie (modalne), które
stwierdza niekonieczność (przygodność) lub możliwość pewnej sytuacji.
Zdaniami problematycznymi są: „możliwe, że Jan był wczoraj w kinie”,
„testament nie musi być sporządzony przez notariusza”.
Zdania modalne tworzymy za pomocą słówek modalnych. Słówka modalne są spójnikami jednoargumentowymi.
Definicja 1.159. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem możliwości
jest:
21
Greckie „aletheia” znaczy tyle, co „prawda”.
Greckie „episteme” znaczy tyle, co „poznanie”, „wiedza”.
23
Greckie „deon” znaczy tyle, co „powinność”.
22
105
1. prawdziwe, gdy w jakimś możliwym świecie prawdziwe jest zdanieargument;
2. fałszywe, gdy w żadnym możliwym świecie zdanie-argument nie jest
prawdziwe.
Jako modalny spójnik możliwości stosuje się wyrażenie „możliwe, że”.
Definicja 1.160. Jednoargumentowy spójnik jest spójnikiem konieczności wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie złożone zbudowane za pomocą tego
spójnika jest:
1. prawdziwe, gdy w każdym możliwym świecie prawdziwe jest zdanieargument;
2. fałszywe, gdy w przynajmniej w jednym możliwym świecie zdanieargument nie jest prawdziwe.
Jako modalny spójnik konieczności stosuje się wyrażenie „konieczne, że”.
Pomiędzy zdaniami modalnymi — przypomnijmy, że mamy na uwadze
modalności logiczne — zachodzą następujące związki:
1. jeśli prawdziwe jest zdanie „konieczne jest, że α”, to prawdą jest, że
α (jeśli sytuacja, która zachodzi, jest jedną z alternatywnych sytuacji,
które bierzemy pod uwagę);
2. jeśli prawdą jest, że α, to prawdziwe jest zdanie „możliwe jest, że α”
(jeśli sytuacja, która zachodzi, jest jedną z sytuacji alternatywnych);
konsekwencją 1 i 2 jest, że
3. jeśli prawdziwe jest zdanie „konieczne jest, że α”, to prawdziwe jest
zdanie „możliwe jest, że α”;
4. zdanie „nie jest możliwe, że nie-α jest równoważne zdaniu „konieczne
jest, że α;
5. zdanie „nie jest konieczne, że nie-α równoważne jest zdaniu „możliwe
jest, że α.
Niektóre ze wskazanych związków między modalnościami logicznymi mogą
zachodzić również dla innych niż logiczne rozumień modalności. Na przykład
dla modalności w sensie prawnym zachodzi związek 3.
Związki logiczne między modalnościami logicznymi można przedstawić
na diagramie.
106
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Niech ¤ będzie skrótem dla „konieczne, że . . . ” a ♦ nie będzie skrótem
dla „możliwe, że . . . ”.
♦α
przeciwieñstwo
sp
sp
rz
rz
e
e
cz
cz
n
n
o
o
œæ
œæ
podprzeciwieñstwo
¤ ¬α
podporz¹dkowanie
podporz¹dkowanie
¤α
♦ ¬α
Zdania ¤α i ¤¬α są przeciwne, tzn. nie mogą być współprawdziwe, choć
mogą być współfałszywe.
Zdania ♦α i ♦¬α są podprzeciwne, tzn. mogą być współprawdziwe a nie
mogą być współfałszywe.
Zdanie ♦α jest podporządkowane zdaniu ¤α, tzn. prawdziwość zdania
¤α gwarantuje prawdziwość zdania ♦α. Podobnie zdanie ♦¬α jest podporządkowane zdaniu ¤¬α.
Zdania ¤α i ♦¬α oraz zdania ¤¬α i ♦α są sprzeczne, tzn. dokładnie
jedno z pary zdań sprzecznych jest prawdziwe i dokładnie jedno jest fałszywe.
Słówka modalne bez względu na to, jakie ich rozumienie jest wyznaczone
przez ograniczenia na konstrukcję możliwych światów, zawsze mogą być interpretowane dwojako: epistemicznie i nieepistemicznie. Konstrukcja możliwego świata jest konstrukcją myślową i nie przesądza odpowiedzi na pytanie,
czy chodzi o możliwość i konieczność jako coś wyznaczonego przez naturę rzeczy, czy też jest to coś wyznaczone przez nasze poznanie — świat jest jaki
jest, a jedynie w naszym poznaniu jawi się jako mogący być innym. Kiedy
mówię, że „ jutro może spotkam Jana”, to mogę mieć na uwadze stwierdzenie
— będzie to rozumienie nieepistemiczne — że natura rzeczy i zdarzeń jest
taka, że sytuacja opisywana przez to zdanie jest możliwa bądź też mogę mieć
na uwadze stwierdzenie — będzie to interpretacja epistemiczna — że moja
wiedza na temat rzeczy i zdarzeń oraz praw nimi rządzących nie wyklucza
zajścia sytuacji, że jutro spotykam Jana.
W języku prawa oraz zarządzeń i regulaminów słówka modalne pełnią
ważną rolę. Modalności wyrażane są też przez wypowiedzi, które formą
nie różnią się od zdań asertorycznych. Wypowiedź „głosowanie w sprawach
107
osobowych jest tajne” wyraża konieczność tajnego głosowania w sprawach
osobowych. Słowo „może” w wypowiedzi „obywatel może złożyć odwołanie
od decyzji administracyjnej organu pierwszej instancji” wyraża obowiązek
państwa rozpatrzenia takiego odwołania przez odpowiedni organ administracyjny. Fraza „powinien” jest mniej kategoryczna niż „musi” lub odpowiednia
wypowiedź asertoryczna wyrażająca obowiązek.
Zadania
Zadanie 1.68. Dla jakich znaczeń „mógł” fałszywe jest zdanie „Jan mógł
okraść Piotra”?
Zadanie 1.69. Jakie znaczenia ma zdanie: „nikt nie mógł dosiąść konia Aleksandra Wielkiego”?
Zadanie 1.70. Jaką wartość logiczną ma zdanie „konieczne, że α” jeżeli α jest
zdaniem:
1. analitycznym?
2. wewnętrznie kontradyktorycznym?
3. syntetycznym?
Zadanie 1.71. Jaką wartość logiczną ma zdanie „możliwe, że α” jeżeli α jest
zdaniem:
1. analitycznym,
2. kontradyktorycznym,
3. syntetycznym?
Zadanie 1.72. Dla jakiego znaczenia „konieczne” prawdą jest, że „ jeżeli nie
jest konieczne, że α, to konieczne jest, że nie-α”?
Zadanie 1.73. Przeanalizuj poniższy tekst i odpowiedz na następujące pytania:
1. Czy odróżniasz to, co wiesz od tego, w co wierzysz?
2. Czy to, w co wierzysz, jest składnikiem twojej wiedzy?
3. Według jakich kryteriów z zewnątrz można by wyróżniać w twoich
przekonaniach to, co wiesz, od tego, w co wierzysz?
108
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
4. Kto byłby uprawniony do rozstrzygania, które z twoich przekonań są
prawdziwe, a które są fałszywe?
Wyrażenia „wiem, że α” i „wierzę, że α” intuicyjnie różnią się zasadniczo. Wiara jest stanem subiektywnym, podczas gdy wiedzę winien
charakteryzować obiektywizm. Jeśli ktoś — powiedzmy — Zenek, ma
wybitnie staroświeckie poglądy i w swojej wiedzy astronomicznej zatrzymał się na piątym stuleciu przed naszą erą, to prawdziwe może być
zdanie „Zenek wierzy, że Ziemia spoczywa na żółwiu niesionym przez
cztery słonie”, ale — i to niezależnie od poglądów Zenka — niedorzecznością byłoby stwierdzenie „Zenek wie, że Ziemia spoczywa na żółwiu
niesionym przez cztery słonie”. Rzecz w tym, że nie można wiedzieć
czegoś, co nie jest prawdą, można w to najwyżej wierzyć. Inna rzecz,
że różnica ta jest dostrzegalna jedynie z zewnątrz: dla samego Zenka
jego wiara od jego wiedzy może być nieodróżnialna.
Zadanie 1.74. Które z poniższych zdań są prawdziwe?:
1. To, co jest zakazane nie jest dozwolone.
2. Dozwolone jest to, co nie jest zakazane.
3. To, co nie jest zakazane jest dozwolone.
4. To, co jest zakazane jest niedozwolone.
5. To, co jest niedozwolone nie jest dozwolone.
6. To, co jest obowiązkowe jest dozwolone.
7. To, co jest obowiązkowe nie jest zakazane.
8. To, co nie jest obowiązkowe jest dozwolone.
1.3.5
Słówka kwantyfikujące
Spośród typów wyrażeń, z których budowane są zdania, warto wyróżnić
słówka kwantyfikujące. Przykładami takich słówek są: każdy, niektórzy, nikt; zawsze, czasem, nigdy. Za ich pomocą budujemy zdania takie jak:
„każdy dąży do szczęścia”, „niektórzy są pracowici”, „czasem mamy szczęście”.
W zdaniu „każdy dąży do szczęścia” słowo „każdy” odnosi się do każdego człowieka. Zdanie to jest prawdziwe, gdy o każdym człowieku jest prawdą, że
dąży do szczęścia. W przeciwnym wypadku, a więc gdy chociaż o jednym
człowieku nie jest prawdą, że dąży do szczęścia, zdanie to jest fałszywe.
109
Słowo „niektórzy” w zdaniu „niektórzy są pracowici” też odnosi się do ludzi.
Zdanie „niektórzy są pracowici” jest prawdziwe, gdy chociaż w wypadku jednego człowieka jest prawdą, że jest pracowity. W przeciwnym razie, a więc
gdy nikt nie jest pracowity, zdanie to jest fałszywe.
Użycie słówek kwantyfikujących stwarza wiele problemów chociażby przy
zaprzeczaniu zdań, w których występują. Zaprzeczenie zdania „każdy dąży
do szczęścia” równoważne jest zdaniu „niektórzy nie dążą do szczęścia”, a nie
jest równoważne zdaniu „nikt nie dąży do szczęścia”. Zaprzeczenie zdania
„niektórzy nie dążą do szczęścia” równoważne jest zdaniu „wszyscy dążą do
szczęścia”. Zaprzeczenie zdania „niektórzy dążą do szczęścia” równoważne
jest zdaniu „nikt nie dąży do szczęścia”. Zaprzeczenie zdania „nikt nie dąży
do szczęścia” równoważne jest zdaniu „niektórzy dążą do szczęścia”, a nie jest
równoważne zdaniu „każdy dąży do szczęścia”.
Porównując powyższe przykłady widzimy, że są cztery nierównoważne
zdania zbudowane z użyciem negacji i słówek kwantyfikujących „każdy” i „niektórzy”. Zdanie „każdy dąży do szczęścia” przypisuje każdemu człowiekowi
pewną cechę — dążenie do szczęścia. Zdanie „niektórzy dążą do szczęścia”
przypisuje to niektórym ludziom. Zdanie „nikt nie dąży do szczęścia” stwierdza brak pewnej cechy — dążenia do szczęścia — u każdego człowieka, a zdanie „niektórzy nie dążą do szczęścia” stwierdza to w odniesieniu do niektórych. Zdania te różnią się tylko rodzajem użytych słówek kwantyfikujących
i pozycją przeczenia — mówiąc swobodnie — przed lub po słówku kwantyfikującym.
Użycie słówek kwantyfikujących i negacji wymaga takiej konstrukcji zdania, aby było jasne, czy negacja obejmuje słówko kwantyfikujące, czy też nie.
Ta różnica ról negacji nie jest jasna w zdaniu „zawsze nie udaje się”. Możemy
je rozumieć jako zdanie równoważne zdaniu „nigdy nie udaje się” albo jako
zdanie równoważne zdaniu „niekiedy nie udaje się”. Podobnie jest ze zdaniami: „wszyscy nie lubią płacić podatków”, „każdy nie dąży do szczęścia”.
W języku naturalnym można wypowiadać zdania równoważne zdaniom
ze słówkiem kwantyfikującym bez jego wyraźnego użycia. Gdy czytamy: „inwalidzi obsługiwani są poza kolejnością”, rozumiemy to jako: „każdy inwalida
obsługiwany jest poza kolejnością”.
To samo słówko kwantyfikujące może też występować w różnych rolach.
Mówiąc: „ktoś, kto pali, naraża swoje zdrowie”, stwierdzam, że każdy palący
naraża swoje zdrowie. Kiedy mówię: „ktoś tu pali”, mam na uwadze pewien
fakt jednostkowy, że jest ktoś taki, kto tu pali.
Problem z rozumieniem stwarzają słówka takie jak: „niektórzy”, „niekiedy” itp. Czy kiedy mówię: „niektórzy studenci przygotowali się do zajęć”,
to czy w konsekwencji nie stwierdzam również, że niektórzy studenci nie
110
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
przygotowali się do zajęć? Po odpytaniu kilku, ale nie wszystkich studentów, okazało się, że są oni przygotowani do zajęć. Mam więc prawo wygłosić
zdanie „niektórzy studenci przygotowali się do zajęć”. Nie mam zaś żadnych
racji dla twierdzenia, że niektórzy studenci nie przygotowali się do zajęć.
Niekiedy jednak słówko „niektórzy” brane jest w znaczeniu „tylko niektórzy”;
podobnie „niekiedy” — „tylko niekiedy” (jak choćby w tym zdaniu).
Przez zdanie ogólne rozumiemy zdanie, które o wszystkich desygnatach
nazwy N 1 stwierdza — jest to wówczas zdanie ogólno-twierdzące — lub zaprzecza — jest to wówczas zdanie ogólno-przeczące — że są desygnatami
nazwy N 2 . Zdanie szczegółowe zaś to zdanie, które stwierdza — jest to
wówczas zdanie szczegółowo twierdzące — lub zaprzecza — jest to wówczas
zdanie szczegółowo przeczące — o pewnych (wprost niewskazanych) desygnatach nazwy N 1 , że są desygnatami nazwy N 2 . „Każdy student jest sportowcem” to zdanie ogólno-twierdzące. „Żaden student nie jest sportowcem”
to zdanie ogólno-przeczące. „Niektórzy studenci są sportowcami” to zdanie
szczegółowo twierdzące. Zdaniem szczegółowo przeczącym jest zdanie „niektórzy studenci nie są sportowcmi”.
Określenie „zdanie ogólne” stosowane jest nie tylko do zdań wyżej omówionego typu. W kontekście szeroko rozumianego użycia tego terminu pojawiają się też określenia „zdanie szczegółowe” i „zdanie jednostkowe”.
Definicja 1.161. Zdanie ogólne to zdanie, które stwierdza posiadanie lub
nieposiadanie pewnej cechy bądź pozostawanie w pewnym stosunku przez
wszystkie desygnaty jakieś nazwy ogólnej.
W tym sensie zdaniami ogólnymi są wyżej omówione zdania ogólno-twierdzące i ogólno-przeczące, a nie są nimi wyżej omówione zdania szczegółowotwierdzące i szczegółowo-przeczące. Pojęcie zdania ogólnego związane jest
z jakąś nazwą ogólną, o której — mówiąc swobodnie — wszystkich desygnatach jest to zdanie.
Definicja 1.162. Zdaniem szczegółowym ze względu na dane zdanie
ogólne jest zdanie, które stwierdza lub zaprzecza o pewnych (wprost niewskazanych) desygnatach to, co zdanie ogólne stwierdza lub zaprzecza o wszystkich desygnatach pewnej nazwy.
Definicja 1.163. Zdaniem jednostkowym ze względu na dane zdanie
ogólne jest zdanie, które stwierdza lub zaprzecza o jednym desygnacie (wskazywanym przez nazwę indywidualną lub jednoznaczny opis) to, co zdanie
ogólne stwierdza lub zaprzecza o wszystkich desygnatach pewnej nazwy.
111
Zdaniem ogólnym jest „każdy (człowiek) powinien dbać o sprawy publiczne”, zdaniem szczegółowym — „ktoś powinien dbać o sprawy publiczne”,
a jednostkowym — „Jan powinien dbać o sprawy publiczne”.
Słówka kwantyfikujące w rodzaju: „każdy”, „zawsze”, wszędzie i „nikt”,
„nigdy”, „nigdzie” oraz „niektórzy”, „czasem”, „gdzieniegdzie” są szczególnie
ważne. W logice formalnej wprowadza się specjalne symbole: ∀ (dla każdego), ∃ (dla pewnego). Są to kwantyfikatory. Wystarczają one do formułowania zdań matematyki klasycznej. Inaczej jest w języku naturalnym
— występują w nim też słówka kwantyfikujące innego rodzaju, jak: „wielu”,
„niewielu”, „rzadko”, „często”, „przeważnie”. Nie dają się one wypowiedzieć za
pomocą słówek „dla każdego” i „dla pewnego”. Ponadto są nieostre i ich rozumienie zależy od kontekstu użycia. Na przykład słówko „niewielu” może znaczyć co innego w zależności od ilości elementów branego pod uwagę zbioru.
Kiedy w wypadku obecności 20 studentów na zajęciach można powiedzieć,
że w tych zajęciach uczestniczyło niewielu studentów? Odpowiedź zależy
od liczności branej pod uwagę grupy studentów. Jeśli grupa ta liczy 500
studentów, to prawdą jest, że w zajęciach uczestniczyło niewielu studentów.
Jeżeli zaś liczy 25 studentów, to nie jest to prawdą. Ponadto pojawiają się
specyficzne problemy z negacją. Czy zdanie „Jan nie ma wielu kolegów” jest
równoważne zdaniu, że „Jan ma niewielu kolegów”?
Stosunki logiczne między zdaniami ogólnymi a szczegółowymi można zobrazować następująco:
podporz¹dkowanie
∃vφ
sp
sp
rz
r
e
ze
zn
c
cz
n
o
o
œæ
œæ
podprzeciwieñstwo
∀v¬φ
podporz¹dkowanie
przeciwieñstwo
∀vφ
∃v¬φ
Zadania
Zadanie 1.75. Wskaż różnicę między zdaniami: „Każde wyrażenie języka J
należy do tylko jednej kategorii składniowej.”, „Wyrażenia języka J należą
do tylko jednej kategorii składniowej.”
112
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zadanie 1.76. Zbuduj negację zdania:
1. Przez każdy punkt poza prostą można przeprowadzić jedną i tylko
jedną prostą prostopadłą do niej.
2. Wstęp mają tylko studenci.
3. Rzadko spotykamy ludzi życzliwych.
4. Przeważnie politycy są nieuczciwi.
Zadanie 1.77. Wskaż zdania równoważne:
1. Każdy student i studentka mają prawo do zniżki kolejowej.
2. Każdy student i każda studentka mają prawo do zniżki kolejowej.
3. Każdy student lub studentka mają prawo do zniżki kolejowej.
4. Każdy student lub każda studentka mają prawo do zniżki kolejowej.
Zadanie 1.78. Wskaż różnicę znaczeń zdań:
1. Są studenci i studentki, którzy pilnie uczą się logiki.
2. Są studenci lub studentki, którzy pilnie uczą się logiki.
Zadanie 1.79. Czy równoważne są zdania:
1. „Każdy jeżeli czegoś chce, to to osiągnie.”, „Jeżeli każdy czegoś chce, to
każdy to osiągnie.”
2. „Tylko niewielu miało parasole.”, „Niewielu miało tylko parasole.”
Zadanie 1.80. Wskaż różnicę znaczeń słówek „każdy” i „wszyscy” (podaj zdania, w których słówka ten nie są wymienialne bez zmiany znaczeń tych zdań).
1.3.6
113
Znaki interpunkcyjne i akcent logiczny
Pisząc korzystamy z kropek, przecinków, średników itp. Są to znaki interpunkcyjne. W języku mówionym wypowiadamy je posługując się intonacją i przerwami. Znaki interpunkcyjne są niezbędne w języku naturalnym,
o czym można przekonać się biorąc dowolny sensowny tekst i pozbawiając
go choćby tylko niektórych kropek i przecinków. Możemy sobie wyobrazić,
jakie trudności mają badacze takich dawnych dokumentów, w których brakuje znaków interpunkcyjnych (znaki interpunkcyjne wymyślono później niż
litery).
Na rolę znaków interpunkcyjnych zwrócił już uwagę Arystoteles. W Retoryce pisał:
Jest generalną zasadą, ażeby utwór pisany był łatwy do czytania
i łatwy do wygłaszania. Nie będzie to możliwe, jeżeli znajdzie
się w nim wiele wyrazów łączących albo gdy interpunkcja będzie
nastręczać trudności, tak jak w pismach Heraklita. Ustalić interpunkcję w dziele Heraklita, to nie lada zadanie, gdyż często nie
wiemy, czy poszczególne słowo należy do tego, co je poprzedza,
czy do tego, co po nim następuje, tak np. jak na początku jego
dzieła «Bo chociaż wszystko się dzieje według tego logosu zawsze
ludzie tego nie pojmują». Nie jest wszak jasne do czego «zawsze»
powinno być punktacją przydzielone.
Rolę przecinka ilustruje następująca sprawa. Sejm dopisał do Kodeksu
karnego przecinek, który zakwestionował w lipcu Trybunał Konstytucyjny
(TK). Tym razem dopisanie przecinka odbyło się zgodnie z procedurą —
w drodze zwykłej nowelizacji ustawy.
W lipcu TK uznał, że dopisanie tego przecinka do Kodeksu karnego
w 1997 r., już po jego uchwaleniu, było niezgodne z Konstytucją. Przecinek „wypadł” z projektu kodeksu na etapie prac w komisji sejmowej i w tej
formie uchwalono Kodeks karny.
Błąd starał się naprawić ówczesny prezes rady ministrów, publikując obwieszczenie ze sprostowaniem. Trybunał orzekł jednak, że taka forma zmiany
przepisu jest niedopuszczalna i utrzymał w mocy kodeks bez przecinka.
Sprawa przecinka ma natomiast ważne znaczenie dla rozumienia artykułu
156 Kk. Pojawił się on bowiem między słowami „długotrwałej” a „choroby”.
W uchwalonym przez Sejm latem 1997 r. Kodeksie karnym jeden z przepisów stanowił, że karze podlega ten, kto powoduje
ciężki uszczerbek na zdrowiu w postaci ciężkiej choroby nieuleczalnej lub długotrwałej choroby realnie zagrażającej życiu.
114
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Po dopisaniu przecinka w obwieszczeniu z 13 października 1997 r. przepis
brzmiał: kara grozi temu,
kto powoduje ciężki uszczerbek na zdrowiu w postaci ciężkiej
choroby nieuleczalnej lub długotrwałej (,) choroby realnie zagrażającej życiu24 .
Skutkiem wstawienia przecinka jest pojawienie się osobnego pojęcia prawnego „choroby realnie zagrażającej życiu”. Przed tą korektą stosowano pojęcie „długotrwała choroba realnie zagrażająca życiu”. Nie wiadomo więc, czy
aby uznać czyjąś winę, muszą zostać spełnione obie przesłanki jednocześnie,
czy tylko jedna.
Od rozstrzygnięcia tej kwestii zależała kwalifikacja prawna czynu i kara
wymierzona przez sąd Mirosławowi P., który złożył w Trybunale Konstytucyjnym skargę na ten przepis i wygrał, gdyż TK uznał, że przecinek pojawił
się bezprawnie.
Mirosław P. spowodował wypadek drogowy, w rezultacie którego u osoby
pokrzywdzonej wystąpiła choroba uznana za realnie zagrażającą życiu — co
udowodniono w procesie sądowym. W związku z tym sąd okręgowy uznał, iż
oskarżony dopuścił się czynu określonego w zmienionym tymczasem przepisie
kodeksu karnego. Jako, że choroba skarżącego spowodowana wypadkiem nie
była długotrwała, gdyby nie dodany przecinek, odpowiadałby on za występek
łagodniej karany — naruszenie zasad bezpieczeństwa ruchu — uważa autor
skargi konstytucyjnej.
Sejm naprawił teraz ten błąd i dopisał przecinek we właściwym trybie
— nowelizacji.
Znaki interpunkcyjne występują też w językach formalnych. Taką rolę
w języku matematyki pełnią nawiasy25 .
Brak właściwej interpunkcji jest źródłem wieloznaczności wyrażeń. Wypowiedź „kawę bym wypił z kobietą w łóżku poleżał” 26 dopuszcza dwie interpretacje: „kawę bym wypił z kobietą, w łóżku poleżał” i „kawę bym wypił,
z kobietą w łóżku poleżał”. Podobnie jest w wypadku zdań: „biegli i świadkowie, którzy byli przesłuchani mogą pozostać na sali rozpraw”, „samochód
Jana rozbił samochód Piotra”. Bez użycia nawiasów nie byłoby możliwe
odróżnienie 2 · 3 + 4 od 2 · (3 + 4).
24
W nawiasie oznaczono przecinek dodany sprostowaniem.
Logicy postawili sobie pytanie o niezbędność nawiasów. J. Łukasiewicz podał zasady
konstrukcji języków, w których nawiasy nie są potrzebne. Pomysł ten znajduje zastosowanie w językach używanych przez informatyków.
26
Autentyczna wypowiedź Lecha Wałęsy.
25
115
Wadliwa interpunkcja może powodować niejednoznaczność struktury składniowej wyrażenia. Tym samym wyrażenie to jest wieloznaczne.
Definicja 1.164. Amfibolia (lub amfibologia) to wypowiedź wieloznaczna
z powodu niedookreślonej struktury składniowej.
Niedookreślenie struktury składniowej ma miejsce w wyrażeniu „ochrona
państwa”. Może tu bowiem chodzić o ochronę udzielaną przez państwo jak
i o ochronę, którą otacza się państwo.
Źródłem wątpliwości, co do rozumienia wypowiedzi może być niedookreślenie miejsca akcentowania. 9 lutego 1996 r. w programie II TVP miała
miejsce rozmowa między K.K. a A.M. K.K. zwracając się do A.M. powiedział:
„Zadzwoniła do mnie twoja przyjaciółka, znana aktorka, co mnie bardzo zdziwiło.” Na to A.M.: „Czy chodzi o to, że zadzwoniła moja przyjaciółka, czy że
znana aktorka?” K.K. odpowiedział: „Nie. Zdziwiło mnie, że do mnie.” Pytanie A.M. jest pytaniem o miejsce akcentowania. Sam wskazał dwa możliwe
miejsca, na trzecie wskazał zaś K.K. W wypadku zdania „Jan nie powinien
publicznie ganić swoich pracowników” można np. wskazać następujące miejsca akcentowania, miejsca podkreślenia:
1. Jan nie powinien publicznie ganić swoich pracowników.
W wypadku 1 można przyjąć, że publiczne zganienie pracowników Jana
nie jest wykluczone, jedynie Jan nie powinien być tym, kto to czyni.
W wypadku 2 teraz tym, co można uznać za zakwestionowane jest fakt,
że zganienie miało charakter publiczny. Zganienie pracowników przez Jana
nie jest wykluczone, lecz nie powinno to się odbyć publicznie.
W wypadku 3 nie wyklucza się zganienia przez Jana publicznie pracowników, lecz Jan nie powinien tego czynić w stosunku do swoich pracowników.
Różnice w zaakcentowaniu logicznym wyznaczają np. różny tok dyskusji.
W wypadku 1 uzasadnione byłoby pytanie „a kto to miał uczynić?”; w wypadku 2 — „dlaczego nie należało tego czynić publicznie?”; w wypadku 3 —
„dlaczego swoich pracowników powinien pozostawić w spokoju?”. W języku
pisanym, aby wskazać różnice w akcentowaniu, użyte zostało podkreślenie.
W wypadku braku podkreślenia lub ujednoznaczniającego kontekstu mielibyśmy do czynienia z niedopowiedzeniem.
116
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zadania
Zadanie 1.81. Spójnik jest prefiksem, jeśli pisany jest przed argumentami,
infiksem — jeśli pisany jest między argumentami, a sufiksem, gdy jest pisany po swoich argumentach. Pokaż, że w wypadku języka (formalnego),
w którym wszystkie spójniki są prefiksami i w wypadku języka (formalnego), którego wszystkie spójniki są sufikasami dla jednoznacznego zapisu
zdań zbyteczne jest stosowanie nawiasów dla wskazania argumentów spójnika. Uwzględnij fakt, że każdy spójnik ma określoną argumentowość.
Zadanie 1.82. Wskaż możliwe rozumienia wybranego zdania ze względu na
sposób akcentowania.
Zadanie 1.83. Co jest powodem wieloznaczności wypowiedzi:
1. Sprawcą czynu jest ojciec Jana, który jest dobrze znany sądowi.
2. Pozwany powinien płacić 100 zł renty alimentacyjnej łącznie z dodatkiem rodzinnym.
3. Skazano Jana i Pawła lub Piotra.
4. W wypadku znalezienia niewypału należy powiadomić policję lub organ
administracji publicznej, zabezpieczając go przedtem kołkami i drutem.
5. Urlopy dla matek wychowujących dzieci do lat dwóch.
6. Przyjmę gosposię do dwóch osób plus dziecko.
7. Z powodu likwidacji przedsiębiorstwa na korzystnych warunkach, sprzedam surowiec i aparaturę.
8. Poszukuje się sekretarza dla adwokata, posiadającego umiejętność korzystania z komputera, bez nałogów.
9. Na wycieczce nauczyłem się odróżniać wronę i gawrona od siebie.
10. Sąd zakończył postępowanie dowodowe i wydał wyrok nazajutrz.
11. Kontrola prezesa była szczegółowa.
12. Kryzys spowodował chaos gospodarczy.
13. Promotorem pracy magisterskiej za zgodą rady wydziału może być
starszy wykładowca lub specjalista spoza uczelni ze stopniem doktora
(fragment regulaminu studiów jednej z wyższych uczelni).
117
14. Straszne były te krzyżackie mordy.
15. Wyrokiem sądu miał publicznie stwierdzić:
Pan Rosenblum nie jest świnią.
Powiedział:
Pan Rosenblum nie jest świnią?
16. Po zamordowaniu Róży Luksemburg i Karola Liebknechta Julian Marchlewski wyjechał z Berlina.
Zadanie 1.84. Jak rozumiemy zdanie „według policji kierowca był prawdopodobnie trzeźwy”?
Zadanie 1.85. Wiedząc, że filozof Croce miał na imię Benedetto wskaż sposób
uniknięcia wieloznaczności przy czytaniu tekstu?: Croce a filozofia współczesna.
1.3.7
Tekst
Put it before them briefly so they will read it, clearly so
they will appreciate it, picturesquely so they will remember it and, above all, accurately so they will be guided
by its light.
Joseph Pulitzer
Z nazw i predykatów buduje się zdania. Ze zdań i spójników tworzy
się zdania złożone. Ze zdań buduje się teksty. Tekst stanowi najwyższą
i ostateczną formę językową, czyli jakiekolwiek właściwe złożenie tekstów jest
tekstem. Pytanie o to, czym jest tekst wymaga odpowiedzi na zasadniczo
dwa pytania:
• jakie są reguły budowy tekstu?
• jakie są reguły sensu (rozumienia tekstu), czyli reguły określenia znaczenia?
Struktura tekstu
Podobnie jak w wypadku zdań budową tekstu rządzą pewne reguły «syntaktyczne». Tekst ma swoją «gramatykę». Zdaniom przysługuje znaczenie.
To, jakie jest to znaczenie wyznaczone jest przez znaczenia składających
się na nie wyrazów i to jak te wyrazy składają się na zdanie, przez strukturę zdania. Gdyby znaczenie tekstu było prostym zsumowaniem znaczeń
118
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
składających się na niego zdań, to struktura tekstu byłaby tylko «graficzną»
organizacją tekstu. Tak nie jest. Znaczenie, sens tekstu wyznaczone są przez
znaczenia składających się na niego zdań i przez jego strukturę. Zdania są
podstawowymi elementami składowymi tekstu. Nie jest to jednak ich proste nagromadzenie. W wypadku języka mówionego zdania są wypowiadane
jedno za drugim, a w wypadku języka pisanego zapisywane jedno po drugim
— wynika to z natury naszych zmysłów, w szczególności wzroku i słuchu.
Kolejność zdań oraz, w wypadku języka mówionego wielkość pauz, a wypadku języka pisanego podział na akapity, paragrafy i rozdziały itd., czyli
podział na jednostki tekstowe wyznaczają strukturę tekstu tekstu.
Każda jednostka tekstowa jest tekstem. Każda jednostka tekstowa danego tekstu jest jego częścią. Tekst ma zatem budowę hierarchiczną.
Największa jednostką tekstową tekstu T jest sam tekst T. Najmniejszą
jednostką tekstową tekstu T jest tekst taki T1 , że żaden tekst T2 tekstu T
nie jest jego częścią. Najmniejsza jednostka tekstowa to akapit. W szczególności może być tak, że tekst T, czyli największa jednostka tekstowa jest
jednocześnie najmniejszą jednostką tekstową tego tekstu. Po prostu, tekst
może być jednoakapitowy.
Podział na jednostki tekstowe ma strukturę zwielokrotnionego podziału
logicznego. Podział jednostki tekstowej Tn na jednostki tekstowe
Tn.1 , Tn.2. , . . . , Tn.m
jest poprawny wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. dla każdego i (1 ≤ i ≤ m) : Tn.i jest niepuste — warunek niepustości;
2. dla każdego i, j (1 ≤ i, j ≤ m) : jeżeli i 6= j, to Tn.i nie ma żadnego
elementu wspólnego z Tn.j — warunek rozłączności;
3. suma wszystkich jednostek Tn.1 , . . . Tn.m równa się Tn — warunek zupełności.
Warunek niepustości mówi, że jednostka tekstowa musi zawierać przynajmniej jeden akapit, czyli jedną najmniejsza jednostkę tekstową. Warunek
rozłączności mówi, że każda jednostka tekstowa, składająca się na dzieloną
jednostkę, w szczególności akapit, jest fragmentem co najwyżej jednej jednostki tekstowej. Warunek zupełności mówi, że każda jednostka tekstowa
z dzielonej jednostki tekstowej przynależy do przynajmniej jednego z członów podziału.
Warunki te pomijają fakt, że niejako przed podziałem jednostki tekstowej
może pojawić się wstęp do niej. Wstęp zwykle ma charakter metaprzedmiotowy, tzn. mówi o samym tekście, we wstępie np. wskazuje się potrzebę
119
podjęcia tematu i zasady podziału, wstęp zawiera streszczenie, we wstępie
uzasadnia się wybór metod itp.
Zauważmy również, że podział jednostki tekstowej wymaga przynajmniej
dwóch członów podziału. Wykluczona jest zatem sytuacja, aby np. rozdział
miał tylko jeden podrozdział: albo jest podzielony na podrozdziały i wtedy
są przynajmniej dwa podrozdziały, albo nie jest w ogóle podzielony.
Jednostki tekstowe można charakteryzować przez ich rząd określony przez
poziom podziału, na jakim zostały one wyróżnione.
Definicja 1.165 (Równorzędności jednostek tekstowych). W tekście T jednostka tekstowa Tn jest jednostką tekstową tego samego rzędu, co jednostka
tekstowa Tm wtedy i tylko wtedy, gdy Tn i Tm są elementami podziału
jednostek tekstowych tego samego rzędu.
Rozdziały książki są jednostkami tego samego rzędu. Podobnie jest
z podrozdziałami. Rozdziały i podrozdziały są jednostkami różnych rzędów.
Tekst Tn jest w tekście T jednostką tekstową rzędu wyższego niż tekst
Tm wtedy i tylko wtedy, gdy Tm jest częścią właściwą jednostki tekstowej
tego samego rzędu, co Tn . Analogicznie można określić pojęcie jednostki
rzędu niższego.
Jeżeli w tekście T jednostka tekstowa Tn jest częścią właściwą jednostki
tekstowej Tm , to jednostka Tm jest rzędu wyższego niż Tn . Jednak nie na
odwrót — z tego, że Tm jest wyższego rzędu niż Tn nie wynika, iż Tn jest
częścią właściwą Tm .
Jeżeli w tekście T jednostka tekstowa Tn jest częścią właściwą jednostki
tekstowej Tm , to jednostka Tn jest rzędu niższego niż Tm . Jednak nie na
odwrót — z tego, że Tn jest niższego rzędu niż Tm nie wynika, iż Tn jest
częścią właściwą Tm .
Tekst T jest jednostką tekstową najwyższego rzędu w tekście T.
Jednostka tekstowa najniższego rzędu w tekście T to taka jednostka, dla
której nie istnieje jednostka niższego rzędu. Może być tak, że dla tekstu
T nie istnieje jednostka tekstowa rzędu niższego. Tekst T będzie wówczas
jednostką tekstową najniższego rzędu w tekście T.
Rząd jednostek tekstowych może być określony liczbowo.
Definicja 1.166 (Rzędu jednostki tekstowej). Tekst T jest jednostką tekstową rzędu 0. Jeżeli tekst Tn jest jednostką tekstową rzędu m, to tekst Tn.k
będący wynikiem jego podziału jest tekstem rzędu (m + 1).
Jednostki tekstowe można opisywać za pomocą ciągów cyfr rozdzielonych
kropkami. Jednostki tekstowe najwyższego rzędu niższego niż tekst, jak np.
120
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
rozdziały w książce opisywane są za pomocą kolejnych liczb: 1, 2 itd. Jeżeli
jednostka tekstowa opisywana jest za pomocą ciągu n1 .n2 . . . . .nm , to jednostki tekstowe najwyższego rzędu niższego niż jednostka opisywana za pomocą n1 .n2 . . . . .nm opisywane są za pomocą n1 .n2 . . . . .nm .1, n1 .n2 . . . . .nm , 2
itd27 .
Przez głębokość podziału rozumiemy wielokrotność podziału logicznego.
Głębokość podziału jednostki tekstowej Tn to największy rząd jednostki tekstowej składającej sie na tę jednostkę tekstową.
Dobrze przeprowadzony podział tekstu powinien być równomierny, czyli
taki, że poszczególne jednostki tego samego rzędu są:
• mniej więcej tej samej wielkości,
• dzielą się na mniej więcej tyle samo jednostek tekstowych,
• w zasadzie nie różnią się głębokością podziału.
W definicji tekstu ujęta jest właściwa dla tekstu hierarchia jednostek
tekstowych. Definicja ta nic nie mówi ani o ich kolejności, ani o kolejności
składających się na nie zdań. Te elementy budowy tekstu są istotnie zależne
od znaczenia. W prezentacji tekstu, czy to pisanej, czy mówionej ich kolejność może być różna z zachowaniem znaczenia, sensu jaki chcemy nadać
tekstowi.
Należy zauważyć, że kodyfikacja zasad budowy tekstu i ich rygoryzm nie
mają takiego charakteru, jak to jest w wypadku poprzednio rozważanych
wyrażeń, w szczególności języka naturalnego. Syntaktyczne zasady tworzenia tekstu nie są ani tak znane, ani ich przestrzeganie nie jest traktowane
jako warunki konieczne syntaktycznej poprawności jak to jest w wypadku
gramatyki poprzednio rozważanych kategorii wyrażeń.
Semantyka tekstu
Fakt, że T spełnia warunki poprawności syntaktycznej, czyli jest tekstem nie
przesądza tego, czy tekst ten ma sens, znaczenie. Najprościej mówiąc tekst
T jest semantycznie poprawny wtedy i tylko wtedy, gdy każda jego jednostka
tekstowa tworzy sensowną całość.
Kolejność jednostek tekstowych a znaczenie Podział tekstu na akapity, paragrafy, podrozdziały, rozdziały, najogólniej na jednostki tekstowe
nie jest dowolny, a jego powody nie są natury graficzno-estetycznej. Akapit
27
System ten zastosowany jest w niniejszej książce.
121
to najmniejsza jednostka, która tworzy sensowną całość i w związku z tym
może pełnić rolę samodzielnego tekstu. Paragrafy i rozdziały są sensownymi
jednostkami tekstowymi wyższych rzędów. Naruszając podział tekstu możemy spowodować, że straci on w ogóle sens lub zyska inny. Aby mieć tego
przykład, można wziąć dowolne jednostki niniejszego tekstu i zmienić ich
podział. Kolejność jednostek tekstowych, podobnie jak kolejność składających się na nie zdań, ma podstawy logiczne i rzeczowe. Kolejność ta może
być uwarunkowana chronologią zdarzeń, które tekst opisuje. Uwarunkowana
jest też potrzebą uczynienia tekstu zrozumiałym dla odbiorcy. Dla osiągnięcia tego celu istotne jest respektowanie związków znaczeniowych i logicznych
zachodzących między zdaniami składającymi się na tekst.
Nie każda wypowiedź tworzy sensowną całość. O sensowności wypowiedzi decyduje nie sama sensowność użytych zdań; konieczne jest, by zdania
te wiązały się ze sobą i to w sposób zgodny ze strukturą tekstową wypowiedzi. Zdania niniejszego akapitu będą ze sobą powiązane tak, jak są po
zmianie ich kolejności. Powiązanie to może nie być jednak zgodne ze strukturą tej nowej wypowiedzi. Ta nowa wypowiedź może stracić sens właśnie
przez brak powiązania zdań zgodnego z jej strukturą. Pytanie o to, kiedy
ustrukturowany zbiór zdań tworzy sensowną całość, zakłada odpowiedź na
pytanie, kiedy wyrażenie jest sensowne, w szczególności, kiedy zdanie jest
sensowne. Na pytanie, kiedy wyrażenie jest sensowne, odpowiedzieliśmy zadowalając się stwierdzeniem, że wówczas, gdy reguły semantyczne języka
przyporządkowują mu znaczenie. Na pytanie, kiedy ustrukturowany zbiór
zdań jest tekstem, odpowiadamy zadowalając się stwierdzeniem, że wówczas, gdy składające się na niego zdania są sensowne i powiązane ze sobą,
czyli tworzą spójną całość.
Tekst:
Jan uczy się logiki. Suma kątów w trójkącie wynosi 2π.
nie tworzy sensownej całości. W wypowiedzi tej bowiem nie ma żadnego
związku między tworzącymi ją zdaniami. Tekstem ma być niniejsza książka.
Dąży się do tego, aby występujące w niej zdania wiązały się z pozostałymi,
a nadto, aby poszczególne akapity, paragrafy i rozdziały komponowały się
w jedną sensowną całość, czyli aby tekst był spójny.
Wiązanie ze sobą zdań w tekście może nastąpić przez anaforę, czyli być
efektem użycia wyrażeń, których znaczenie jest kontekstowe, jak np. zaimków. Tego rodzaju powiązanie ma miejsce w tekście:
Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nawet jej nie
widziałam. Ale mąż ją miał. I czytał kilka razy. On był mądry
122
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
człowiek. Siedem klas skończył. A ja jedną czy dwie. Nie umiem
ni pisać ni czytać — przyznaje.
Zauważmy, że zmiana kolejności zdań może prowadzić do tekstu, który:
• zachowuje znaczenie (i tym samym spójność),
• ma inne znaczenie (i jest spójny),
• pozbawiony jest znaczenia.
Tekst
Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nie umiem ni
pisać ni czytać — przyznaje. Nawet jej nie widziałam. Ale mąż
ją miał. I czytał kilka razy. On był mądry człowiek. Siedem klas
skończył. A ja jedną czy dwie.
zachował spójność i znaczenie mimo zmiany kolejności zdań.
Podobnie zmiana kolejności zdań drugiego i trzeciego w tekście:
Jan i Piotr są przyjaciółmi. Jan jest studentem. Piotr rozpoczął
pracę jako informatyk.
nie prowadzi do zmiany sensu.
Zmiana kolejności może pociągać zmianę znaczenia, jak jest to w tekście:
Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — Nawet jej nie
widziałam. Ale mąż ją miał. On był mądry człowiek. I czytał
kilka razy. Siedem klas skończył. A ja jedną czy dwie. Nie
umiem ni pisać ni czytać — przyznaje.
Podobnie zmiana kolejności zdań drugiego i trzeciego w tekście:
Janina zdała maturę. Dwa lata później wyszła za mąż. Rok
później urodził się jej pierwszy syn, Jan.
prowadzi do tekstu sensownego, lecz o różnym znaczeniu.
Tekst
Lasotowa nie czytała książki Kapuścińskiego. — On był mądry
człowiek. Siedem klas skończył. I czytał kilka razy. Ale mąż ją
miał. A ja jedną czy dwie. Nawet jej nie widziałam. Nie umiem
ni pisać ni czytać — przyznaje.
pozbawiony jest znaczenia.
123
Temat i tytuł Pojęciami, którym posługujemy się w odniesieniu do tekstu
są pojęcia tematu i tytułu.
Definicja 1.167. Temat tekstu to jego najogólniejsze znaczenie, inaczej
rama znaczeniowa tekstu.
Temat nie charakteryzuje tekstu do końca. Pojęcie określa nazwę, nie
wskazując jednoznacznie na język i jego synonimy. Sąd określa zdanie, nie
rozstrzygając ani języka ani zdania z klasy zdań z nim logicznie równoważnych. Temat nie określa ani języka, w którym tekst jest napisany, ani zdań,
które się na niego składają, ani nie wyznacza żadnych innych relacji pomiędzy tekstami na ten sam temat. Teksty na ten sam temat mogą różnić się
swoim znaczeniem.
Temat określa dziedzinę oraz aspekt, w jakim dziedzina jest rozważana,
czyli temat określa przedmiot materialny i przedmiot formalny tekstu.
Tematem tekstu może mogą być operacje dodawania i mnożenia w zbiorze
liczb naturalnych, a więc będzie to hN, +, ·i. Zbiór liczb naturalnych N jest
przedmiotem materialnym a przedmiotem formalnym są własności operacji
dodawania i mnożenia. Ten sam przedmiot materialny, lecz różny przedmiot
formalny będzie miał tekst na temat operacji mniejszości w zbiorze liczb
naturalnych: hN, <i. Tekst o liczbach wymiernych oraz operacjach mnożenia
i dzielenia hQ, ·, : i będzie różnił się od poprzednich zarówno przedmiotem
materialnym jak i formalnym.
Podział tekstu na jednostki tekstowe powinien być tak przeprowadzony,
aby tematy jednostek uzyskanych z podziału spełniały warunki poprawności
logicznej, czyli każdy temat powinien być niepusty, tematy nie zachodziły na
siebie i aby ich suma pokrywała temat dzielony. Na przykład temat hN, +, ·i
mógłby być podzielony na hN, +i, hN, ·i oraz na hN, +/·i, gdzie przez +/·
wskazujemy problemy związków między operacją dodawania a mnożenia.
√
Temat hN, n i byłby pusty, bowiem w zbiorze liczb naturalnych pierwiastkowanie nie jest określone. Dopuszczenie tematu hN2 , +, ·i, gdzie N2 to zbiór
liczb parzystych, dawałoby podział, który nie spełnia warunku rozłączności.
Opuszczenie któregoś z tematów hN, +i, hN, ·i lub hN, +/·i dawałoby podział
niezupełny.
Tekst może mieć tytuł.
Definicja 1.168. Tytuł tekstu to określenie tematu tego tekstu.
Tytuł powinien być adekwatny do tematu, czyli temat winien być zakresem tytułu. Tytuł: Dodawanie i odejmowanie w zbiorze liczb naturalnych
jest adekwatny dla tematu hN, +, ·i. Tytuł ten jest za szeroki dla tematu
124
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
hN, +i, zaś za wąski dla tematu hQ, +, ·i. Dla tematu hQ, +i jest za szeroki
i za wąski zarazem.
Interpretacja Jak reguły znaczeniowe określają znaczenia wyrażeń a w szczególności zdań, tak zasady interpretacji określają sens tekstu.
Tekstowi jako całości przysługuje znaczenie, sens. Reguły znaczeniowe
przyporządkowujące znaczenia poszczególnym zdaniom same nie wystarczają
dla określenia znaczenia tekstu. Tekst bowiem — jak wyżej zostało to stwierdzone — nie jest tylko prostym nagromadzeniem zdań. Sposób rozumienia
tekstu, zasady określające jego znaczenie opisywane są przez reguły interpretacji.
Definicja 1.169. Interpretacja tekstu to określenie znaczenia (sensu)
tekstu.
Zasady interpretacji tekstu są przedmiotem specjalnych badań. Teoretycy literatury zajmują się sposobami interpretacji tekstów literackich. Historycy muszą ustalić sposoby interpretacji dawnych tekstów. Teoretycy
prawa ustalają zasady interpretacji tekstów prawnych.
1.4
Błędy w słownym przekazywaniu myśli
Tworząc tekst należy tak go skonstruować, aby czytelnik (ewentualnie słuchacz) był w stanie go zrozumieć i to zrozumieć zgodnie z intencją autora.
Oczywiście, autor tekstu sam powinien wiedzieć, co chce za pomocą tego
tekstu przekazać i komu to przekazać.
Tekst winien spełniać postulat ekonomii: powinien być tak skonstruowany, aby jego zrozumienie było optymalne od strony wielorako rozumianego wysiłku, możliwie łatwe. Tę samą myśl można bowiem wypowiedzieć tekstem zawierającym słowa trudno lub łatwo zrozumiałe dla odbiorcy.
Tekst może zawierać lub nie zawierać tego, co dla odbiorcy jest oczywiste
i nie wymaga przypomnienia. Tekst może być napisany stylem ciężkim lub
klarownym. Tekst może być «przegadany» lub w sposób «skondensowany»
przedstawiać temat. Tekst może nie spełniać postulatu ekonomii z tego
powodu, że jego autor nie potrafi temu zadaniu sprostać. Powodem niespełnienia postulatu ekonomii może też być świadome działanie autora tekstu,
co ma miejsce np. w wypadku, gdy licząc na zmęczenie i zniecierpliwienie czytelnika podsuwa mu się do podpisu dokument z ustaleniami, których
zaakceptowanie czytelnik w swoim dobrze pojętym interesie powinien starannie przemyśleć, a które to ustalenia są (zwykle) korzystne dla autora
1.4. BŁĘDY W SŁOWNYM PRZEKAZYWANIU MYŚLI
125
tego dokumentu. Postulat ekonomii powinien być — jeśli państwo ma być
przyjazne dla obywatela — przestrzegany w dokumentach organów państwa
i samorządów. Postulat ekonomii narusza np. ogłoszenie: zatrudnię osobę
na stanowisko kelnera. Wystarczyłoby napisać: zatrudnię kelnera.
To, że tekst nie jest łatwy do zrozumienia przez kogoś lub przez wielu nie
przekreśla wartości myśli, które ten tekst ma wyrażać. Ma to miejsce również w wypadku tekstu, który stwarza trudności w jego rozumieniu nawet
przez tych, do których tekst jest skierowany. Już w starożytności niejasność
tekstów Heraklita stała się przysłowiowa. Mówiono o nim jako o „mówiącym
zagadkami”. Cyceron pisze o Heraklicie jako o tym, „któremu dano przydomek skoteinos, czyli «ciemnego», gdyż zbyt niezrozumiale mówił o naturze”.
Dla Lukrecjusza był Heraklit clavus obobscuram linguam, czyli „sławnym
z powodu niezrozumiałego języka”. Dodajmy jednak, że pojawiały się też
opinie skrajnie odmienne. Diogenes Laertios twierdził, że Heraklit
czasem wypowiadał swe myśli w sposób tak jasny i zrozumiały,
że nawet najbardziej ograniczony umysł mógł łatwo je zrozumieć
i czerpać z nich. Zwięzłość i powaga jego wykładu są niezrównane.
Powstaje pytanie, jak pochodzić do «trudnych» tekstów. Jednym z możliwych zaleceń byłaby proponowanie postawy, jaka daje się odczytać z odpowiedzi Sokratesa na pytanie Eurypidesa, co sądzi o dziele Heraklita:
To, co zrozumiałem, jest znakomite, a sądzę, że jest takie również
i to, czego nie zrozumiałem; lecz do zgłębienia tego potrzebny by
był nurek delijski.
Zróżnicowanie opinii o tekstach Heraklita uzmysławia trudności w sformułowaniu uniwersalnych zasad jasnego stylu.
Powodem niezrozumienia tekstu lub zrozumienia niezgodnego z intencją
jego autora może być:
1. nieznajomość przez adresata tekstu niektórych wyrażeń składających
się na ten tekst,
2. różnice między autorem a adresatem tekstu w rozumieniu treści użytych wyrażeń,
3. aktualna wieloznaczność składających się na ten tekst wyrażeń,
4. niedopowiedzenie.
126
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Autor tekstu, jeśli jego intencją jest zakomunikowanie komuś czegoś, winien uwzględnić poziom znajomości języka przez tego kogoś. Inaczej pisze
się dla osób, które są dziećmi, inaczej dla osób, które ukończyły tylko szkołę
podstawową, inaczej dla osób, które mają tylko maturę, a jeszcze inaczej
do absolwentów szkół wyższych, inaczej dla specjalistów. Owszem, absolwent szkoły wyższej zrozumie tekst, którego odbiorcą ma być dziecko, lecz
tekst ten — jeśli pominąć proste sprawy życiowe — nie jest z pewnością
najlepszym sposobem komunikowania się z nim. Naruszona będzie bowiem
zasada ekonomii, aby tekst wypowiedzieć możliwie najkrócej. Dziecko ma
prawo nie rozumieć tekstu, który jest przeznaczony do osoby z wyższym
wykształceniem, w którym występują słowa, których znaczeń może ono nie
znać. Prawnik, lekarz, urzędnik powinni to mieć na uwadze i tego, czy zostali właściwie zrozumiani nie opierać na „tak” swojego słuchacza. Wielu
ludzi bowiem z nieśmiałości przytaknie, choć naprawdę niewiele rozumie.
Od rozumienia zaś może wiele zależeć. Na przykład pacjent, który nie do
końca lub źle zrozumiał lekarza może zaszkodzić swojemu zdrowiu na własną
rękę próbując zinterpretować zalecenia lekarza. Prawnik i urzędnik muszą
mieć pewność, że interesant prawidłowo zrozumiał to, co mieli mu do przekazania. Zarówno w wypadku lekarza, jak prawnika i urzędnika jest to kwestia
etycznego wykonywania przez nich funkcji społecznych.
Treść wyrażeń ma charakter subiektywny. Dwie osoby mogą temu samemu wyrażeniu użytemu w tym samym sensie przypisywać różną treść.
Autor tekstu winien konstruować tekst tak, aby wyrażenia były wyraźne,
czyli, aby miały określoną treść. Niewyraźność występujących wyrażeń daje
okazję dla nadania im przez odbiorcę treści, która w danym momencie odpowiada intencjom odbiorcy. Treść nazwy „burza” dla kogoś, kto nie ma
wykształcenia i żył w bliskim kontakcie z przyrodą jest inna niż dla osoby
wykształconej, która nie miała okazji przeżyć burzy w otwartej przestrzeni.
Treść nazwy „wojna” będzie inna dla osób, które jej doświadczyły, a inna dla
osób, które wiedzą o wojnie tylko z historii i doniesień prasowych. Używając
tych wyrazów należy mieć na uwadze treści, które odbiorca tekstu będzie
z nimi wiązał.
Wieloznaczność jest zjawiskiem wszechobecnym w języku naturalnym
lecz nie tylko, np. w języku matematyki znane z arytmetyki symbole: +, −
są wieloznaczne — mogą być użyte jako symbole operacji arytmetycznych
lub symbole, odpowiednio, liczby dodatniej i ujemnej. Wieloznaczność może
dotyczyć różnych jednostek językowych: wyrazów, zdań i tekstów. Znaczenie
wyrażeń języka zależy nie tylko od tych wyrażeń, lecz również od okoliczności
obiektywnych i okoliczności subiektywnych, psychologicznych.
W tekście, który w intencji jego twórcy ma być jednoznaczny, każde wy-
127
rażenie w tym miejscu, w którym jest użyte, powinno mieć dokładnie jedno
znaczenie. To samo wyrażenie może wystąpić w tekście w wielu znaczeniach,
lecz w każdym wypadku winno być użyte w tak odpowiednio dobranym kontekście, aby zakładając sensowność całości tekstu można mu było w poszczególnych miejscach użycia przypisać dokładnie jedno znaczenie. Wyrażenie,
które ma potencjalnie wiele znaczeń winno więc być użyte tak, aby było
aktualnie jednoznaczne. W tekście spójnym musi być jasne, w jakim znaczeniu w danym miejscu wyrażenie jest użyte. Tekst „zepsuł się zamek i będę
musiał prosić ślusarza o pomoc” zawiera mający więcej niż jedno znaczenie
wyraz „zamek”. Ponieważ jednak tylko przy rozumieniu słowa „zamek” jako
odnoszącego się do zamka drzwiowego ta wypowiedź jest dorzeczna, a przy
innych jawnie niedorzeczna, to nie ma potrzeby rozbudowywania jej o dopowiedzenie, o jakiego rodzaju zamek chodzi. Powinniśmy więc — kierując się
postulatem ekonomii — zrezygnować z bliższych dookreśleń jakiegoś wieloznacznego słowa, jeżeli to nie utrudnia rozumienia tego tekstu lub nie czyni
tego tekstu wieloznacznym. O autorze tekstu zakłada się, że nie wygłasza
jawnych głupstw, i podobnie o odbiorcy tekstu, że życzliwie podchodzi do
jego rozumienia.
W tekście: „W ruinach zamku natrafiliśmy na drzwi. Niestety, zamek był
tak zardzewiały, że nie udało się nam go otworzyć”, słowo „zamek” występuje
w dwóch znaczeniach. W wypadku każdego wystąpienia reguły znaczeniowe
języka i wiedza, którą mamy prawo zakładać u odbiorcy tekstu, dopuszczają
dokładnie jedno znaczenie, które możemy przypisać temu słowu. Gdyby
ktoś tej wiedzy nie posiadał lub ją ignorował, mógłby na podstawie przytoczonego tekstu twierdzić, że nie dość, że zamek był w ruinie, to jeszcze
był zardzewiały. W takim wypadku powiedzielibyśmy, że został popełniony
błąd ekwiwokacji.
Bywają sytuacje, że wypowiedź ze względu na kontekst jest jednoznaczna,
jednak może dawać okazję do skojarzeń niekoniecznie oczekiwanych przez
autora wypowiedzi. Przykładem może być tekst wygłoszony przez sprawozdawcę z zawodów kolarskich (Wyścig Pokoju): „Jedzie Szozda, cudowne
dziecko dwóch pedałów!”.
Definicja 1.170. Niech wyrażenie w użyte jest w tekście T w jednym miejscu w znaczeniu z1 , a w innym miejscu w znaczeniu z2 różnym od znaczenia
z1 . Ktoś popełnia błąd ekwiwokacji wówczas i tylko, gdy wyrażeniu w
w jednym i w drugim miejscu jego użycia przypisuje to samo znaczenie.
Wyrażenie występujące w tekście faktycznie w różnych znaczeniach, może
być w tym tekście traktowane jako mające tylko jedno znaczenie. O takim
tekście powiemy, że zawiera błąd ekwiwokacji. Jest tak w wypadku tekstu:
128
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Kobieta i mężczyzna różnią się fizycznie i psychicznie. Płci nie
są równe, a zatem w prawie nie powinno się przyjmować, że są
równe.
Pierwsze w tym tekście wystąpienie wyrazu „równe” jest użyciem tego wyrazu
w innym znaczeniu niż w wypadku jego drugiego wystąpienia. W pierwszym
wypadku przez „równość” rozumie się posiadanie tych samych cech, a w drugim mowa o równości wobec prawa. Tekst straci swój wymiar argumentu,
gdy doprecyzujemy go stosując jednoznacznie określające wyrażenia:
Kobieta i mężczyzna różnią się fizycznie i psychicznie. Płci nie
są równe ze względu na cechy, a zatem w prawie nie powinno się
przyjmować ich równości wobec prawa.
Definicja 1.171. Spór powstały w wyniku brania przez kogoś wyrażenia w
w jednym znaczeniu, a przez kogoś drugiego w innym to spór werbalny
lub (z grecka) logomachia.
Na temat «czy życie zgodne z naturą daje szczęście?» można prowadzić
długą dyskusję niczego nie osiągając, dopóki nie uzgodni się, co się rozumie
przez życie zgodne z naturą i co to jest szczęście.
Definicja 1.172. Wyraz ma w tekście chwiejne znaczenie, gdy kontekst
użycia do końca nie dookreśla znaczenia, w którym wyraz został użyty w tekście i tylko pozornie ma on jedno znaczenie.
Słowo „postęp” ma chwiejne znaczenie w tekście:
We współczesnym świecie odnotowujemy postęp we wszelkich
dziedzinach. Postępowi w nauce i technice towarzyszy dominacja
sił postępowych w życiu społecznym i politycznym.
Czym innym jest postęp w nauce, a czym innym postęp w życiu społecznym i politycznym. Wyraz „postępowe” — szczególnie w kontekście pozytywnie nacechowanych wyrazów „nauka” i „technika” — jest nacechowany
pozytywnie i może być wykorzystywany jako eufemistyczne określenie tych
sił społecznych, których zwykła nazwa nie budzi pozytywnych emocji, a nawet u niektórych może budzić emocje negatywne. A te przecież trudno mieć
w wypadku czegoś, co jest postępowe.
Źródłem wieloznaczności tekstu może być użycie wyrażeń systematycznie
wieloznacznych. Wieloznaczny jest tekst: „Jan spotkał Piotra. Nie wiedział
on, o czym z nim rozmawiać”, ponieważ nie wiadomo, do kogo odnosi się „on”
(i „nim”) — do Jana, czy do Piotra. W Oakland, mieście Jacka Londona,
129
w drewnianym budynku o położeniu znacznie odbiegającym od poziomu, co
zostało spowodowane przez słynne trzęsienie ziemi w San Francisco, znajduje
się napis „Jutro darmowe drinki”. Albert Camus w powieści Obcy pisze:
Dzisiaj umarła mama. Albo wczoraj, nie wiem. Dostałem depeszę z przytułku: „Matka zmarła. Pogrzeb jutro. Wyrazy współczucia.” Niewiele z tego wynika. To stało się być może wczoraj.
Widząc karteczkę z napisem „wrócę za chwilę” nie wiemy, kiedy wróci jego
autor, tym bardziej że i wyraz „chwila” nie jest w miarę jednolicie rozumiany. W przytoczonych tekstach występują słówka okazjonalne. Kontekst
ich użycia nie dookreśla wystarczająco ich znaczenia. Teksty te pozostają
więc wieloznaczne.
Wieloznaczne jest zdanie „Jan gra w karty”. Nie wiadomo bowiem, czy
Jan gra teraz, czy też teraz nie gra, lecz umie grać. Tekst: „Ja przygotowuję
teraz kolację. Jan gra w karty” ujednoznacznia to zdanie. Jest jasne, że
chodzi o „gra” w znaczeniu aktualnym.
Powodem problemów ze zrozumieniem tekstu może być używanie słówek kwantyfikujących bez wyraźnych racji i bez potrzeby. Chcę na przykład
omówić błąd amfibolii. Nasuwa się myśl, aby rozpocząć: „częstym powodem
wieloznaczności . . . ”, a przecież nie ma żadnych racji dla stwierdzenia, że
jest to częsty powód — czy ktoś przeprowadzał w ogóle badania, które pozwoliłyby to stwierdzić? Nie ma też potrzeby mówienia o tym, czy często,
czy też nie. Błąd amfibolii można omówić bez uwzględniania częstości jego
popełniania.
Powodem wieloznaczności tekstu bywa niemożność określenia, w jakiej
supozycji użyte jest dane wyrażenie. Może tak być w wypadku zdania „kot
lubi się z psem”. Jeśli „kot” i „pies” użyte są w supozycji naturalnej, czyli
zdanie „kot lubi się z psem” znaczy tyle samo, co „każdy pies lubi każdego
psa”, to zgodnie z naszą potoczną wiedzą jest to zdanie fałszywe. Wiemy
jednak, że zdarza się, że kot lubi się z psem. Zatem, jeśli „pies” i „kot”
odnoszą się w tym zdaniu do jakiegoś psa i jakiegoś kota, czyli obie nazwy
„pies” i „kot” są użyte w supozycji przedmiotowej, to zdanie to może być
prawdziwe. Znaczy ono bowiem wówczas tyle, co „ten oto kot lubi tego oto
psa”.
Tekst może być wieloznaczny z powodu wystąpienia w nim wieloznacznego zdania, którego wieloznaczność ma źródło w niedookreślonej strukturze
składniowej, czyli zdania, w którym został popełniony błąd amfibolii. Wieloznaczne jest zdanie „każdy człowiek nie jest szczęśliwy”. W zależności od
tego, jak dookreślimy związki składniowe, możemy je rozumieć jako stwier-
130
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
dzające, że żaden człowiek nie jest szczęśliwy, albo jako stwierdzające, że
niektórzy ludzie nie są szczęśliwi. Tekst:
Wszyscy dążymy do szczęścia. Niektórzy osiągają ten cel. Niektórzy nie. Każdy człowiek nie jest szczęśliwy.
jest jednoznaczny. Kontekst, w którym użyte zostało wieloznaczne zdanie
„każdy człowiek nie jest szczęśliwy”, powoduje, że czytelnik tego tekstu nie
powinien mieć kłopotów z jego jednoznacznym rozumieniem.
Powodem nieporozumienia może być niedookreślenie w tekście, czy mowa
w nim o całości jaką tworzą przedmioty, czy o każdym z nich z osobna.
W tekście:
Cała grupa wybrała się na kilkudniową wycieczkę. Wszyscy mieli
do dyspozycji jednoosobowy kajak.
nie jest jasne, czy każdy z uczestników wycieczki miał jednoosobowy kajak, czy też jednoosobowy kajak był dla wszystkich. Porównajmy zdanie
„wszystkie nowo wybudowane domy znajdowały się na działce o powierzchni
300 m2 ” ze zdaniem „wszystkie nowo wybudowane domy znajdowały się na
trzy hektarowej działce”. W wypadku pierwszego zdania możemy się domyślać, że każdy dom z osobna znajdował się na działce o powierzchni 300 m2 ,
zaś w wypadku drugiego zdania, że wszystkie domy łącznie znajdowały się
na działce o powierzchni trzech hektarów. Jest to jednak wynik naszej domyślności oparty o znajomość realiów. Nie wynika to zaś z samej treści
zdań.
Źródłem wieloznaczności tekstu może być niedookreślenie zasięgu działania niektórych słówek, takich jak: „nie”, „tylko”, „przynajmniej”, „co najwyżej”. Z tego powodu wieloznaczna jest wypowiedź „Kup tylko jedną czekoladę
i dwa chleby” (podobnie będzie jeśli „tylko” zastąpimy przez „przynajmniej”
i „co najwyżej”). Nie wiadomo, czy „tylko” odnosi się do „ jedną czekoladę”,
czy odnosi się do „ jedną czekoladę i dwa chleby”.
Słówka modalne: „możliwe”, „konieczne” itp. są wieloznaczne. Ich użycie
może być źródłem wieloznaczności tekstu. „Może” może znaczyć tyle, co:
„fizycznie możliwe”, „logicznie możliwe”, „dozwolone”. W rozmowie:
(A) — „Tu nie można głośno rozmawiać!
(B) — Można. Przecież słychać jak głośno mówię.
osoba (A) używa „można” w znaczeniu „ jest dozwolone”, zaś osoba (B) w znaczeniu „ jest fizycznie możliwe”.
Źródłem wieloznaczności tekstu może być niedopowiedzenie.
131
Definicja 1.173. Niedopowiedzenie ma miejsce wówczas, gdy autor nie
wypowiadając do końca jakiejś myśli pozostawia jej dokończenie domyślności
czytelnika.
Może się zdarzyć, że wskazówki tego, czego należy się domyślić, są na tyle
niedookreślone, że odbiorca tekstu rozumie go inaczej niż to było w zamiarze
autora. Kiedy nauczyciel prowadzący ze studentami ćwiczenia mówi „proszę
przygotować kartki”, to pozostawia domyślności studentów, o jakie kartki
chodzi. Sytuacja wskazuje, że chodzi o czyste kartki do napisania sprawdzianu. Student, który wziąłby zapisaną kartkę, domyśliłby się znaczenia
wypowiedzi niezgodnego z intencją nauczyciela. Nasze zwykłe wypowiedzi
są pełne niedopowiedzeń, a każdy zwykł dopowiadać, jak mu korzystniej.
Żona mówiąc mężowi, aby kupił coś smacznego na kolację, musi liczyć się
z tym, że efekt realizacji będzie różny od tego, który byłby, gdyby to samo
polecenie miała wykonać jej dziesięcioletnia córka.
To, co niedopowiedziane w komunikacji werbalnej może być dopowiedziane w sposób niewerbalny. Zasada ekonomii nakazywałaby, aby konstruując tekst możliwie najkrótszy (ale spełniający warunki, o których tu mówimy) uwzględnić nie tylko kontekst sytuacyjny, lecz również towarzyszącą
jego przekazowi komunikację niewerbalną.
Źródłem niezrozumienia lub zrozumienia niezgodnego z intencją autora
może być wystąpienie w tekście wyrażeń, które oprócz znaczenia dosłownego
mają znaczenie niedosłowne, jak jest to w wypadku idiomów lub dosłownego
rozumienia jakiegoś fragmentu, który ma być brany w tym tekście w znaczeniu obrazowym. Idiomy szczególny kłopot sprawiają osobom niedostatecznie obznajomionym z językiem. Na trudność tę napotykamy więc przede
wszystkim w wypadku tekstów obcojęzycznych. Wypowiedzi obrazowe mają
znaczenie dla wartości literackiej tekstu i mogą sprzyjać rozumieniu myśli,
którą dany tekst ma przedstawiać. Jednocześnie jednak kryją niebezpieczeństwo dosłownego ich rozumienia. Kiedy mówię: „ty karmisz swoje dzieci
ananasami, a mnie dla moich na chleb nie stać”, to przecież ani nie mówię
o ananasach, ani o chlebie, czyli nie mam na uwadze dosłownego znaczenia
wyrazów „ananas” i „chleb”.
Fakt, że mimo wystąpienia w tekście zdań dopuszczających różne ich
rozumienie, tekst może być jednoznaczny, daje okazję do nadużyć lub pomyłek. Fragment tekstu, cytat, wzięty poza swoim kontekstem, może być
wieloznaczny. Może się zdarzyć też, że taki fragment umieszczony w innym kontekście uzyskuje znaczenie różne od znaczenia, które miał w tekście,
z którego jest cytatem. Wykorzystywane jest to szczególnie w dziedzinie społecznej i politycznej. Polityk musi się mieć na baczności, aby nie powiedzieć
132
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
czegoś, co cytowane poza kontekstem jego wypowiedzi nabierze sensu różnego od intencji wypowiedzi. Dotyczy to nie tylko polityków. Tekst należy
formułować, aby omówionego rodzaju manipulacja nie była możliwa a przynajmniej istotnie utrudniona.
Wydawać by się mogło, że wieloznaczność jest niepożądana a nawet szkodliwa. Jednak wieloznaczność zapobiega zbytniemu rozrostowi słownictwa.
Nazwy „komórka”, „mysz” są dziś w powszechnym użyciu a ich wieloznaczność
nie stanowi żadnego utrudnienia w porozumiewaniu się. Jeśli wieloznaczność
oparta jest na jakiegoś rodzaju analogii — co jest zjawiskiem najczęstszym
— to ułatwia to zapamiętanie nowych wyrażeń.
Intencją autora może być tekst dopuszczający różne jego rozumienia.
Może to mieć wartość literacką. Teksty kabaretowe aż roją się od wieloznaczności. Żartobliwa, dowcipna gra słów oparta na ich niejednoznaczności
może być świetną formą dowcipu językowego. Kalambury są jednym z chwytów poetyckich.
Mogą być też inne powody tworzenia wypowiedzi wieloznacznej. Urzędnik, który mówi „ jak się da, to się zrobi” w ten sposób sugeruje możliwość
wydania oczekiwanej przez petenta decyzji po otrzymaniu łapówki. „Da”
może bowiem znaczyć tyle, co „możliwe”, ale i może znaczyć tyle, co „dać”.
Czasem się słyszy: „kontynuować dalej”, „cofnąć się do tyłu”, „potencjalne
możliwości”. Są to pleonazmy.
Definicja 1.174. Pleonazm to wyrażenie, w którym występują dwa lub
więcej wyrazów:
1. to samo lub prawie to samo znaczących,
bądź
2. znaczenie jednego z nich jasno zawarte jest w znaczeniu drugiego.
Znaczenie wyrażenia bez któregoś z tych wyrazów nie różni się (zasadniczo)
od znaczenia tego wyrażenia.
Zamiast powiedzieć „prace będą dalej kontynuowane” wystarczy powiedzieć „prace będą kontynuowane”. Zamiast powiedzieć „proszę cofnąć się do
tyłu” wystarczy powiedzieć „proszę się cofnąć” lub „proszę przesunąć się do
tyłu”. Zamiast mówić „potencjalne możliwości” wystarczy powiedzieć „możliwości”. Nie ma potrzeby mówić: „w miesiącu maju” wystarczy powiedzieć:
„w maju”. Użycie pleonazmu — pomijając względy językowe — narusza
zasadę ekonomii wypowiedzi.
Myśl możemy w różnej formie powtórzyć w tekście. Postępujemy tak,
gdy chcemy podkreślić ważność tej myśli, albo gdy chcemy, aby była dobrze
133
zrozumiana i zapamiętana. Postępujemy tak np. ze względów dydaktycznych.
Definicja 1.175. Tekst redundantny to tekst, w którym sens pewnego
jego fragmentu jest taki sam lub różni się nieistotnie od sensu innego jego
fragmentu.
Redundantność sama przez się nie jest wadą. Staje się wadą, gdy brak
powodu dla powtórzenia. Powtórzenie nie służące niczemu wydłuża tylko
tekst, co przeczy zasadzie ekonomii wypowiedzi.
Tworząc tekst winniśmy troszczyć się o dobór takich słów, które trafnie,
prosto i krótko pozwolą wypowiedzieć naszą myśl. Wypowiedzi nie spełniające tego warunku «marnotrawią» słowa, a w życiu społecznym i politycznym
nie sprowadza się to tylko do marnotrawienia słów. Ile to razy słyszy się:
„Tak dużo mówiono, a tak mało powiedziano”. W szczególności należy unikać frazesów, czyli wyrażeń, które pięknie brzmią, ale w gruncie rzeczy nic
nie znaczą. O co chodzi, gdy słyszymy?:
Postęp ludzkości jest celem wszystkich światłych obywateli. Zjednoczenie działań na rzecz postępu jest wyzwaniem współczesnego
świata.
Oczywiście, można dopisać jeszcze wiele takich zdań niczego sensownego nie
wnosząc.
Jednym z czynników ułatwiających rozumienie tekstu jest styl. Ten problem wykracza poza logikę. Nie znaczy to, że nie ma punktów stycznych.
Jak się bowiem wydaje, łatwość rozumienia tekstu — jest to jedna z funkcji
dobrego stylu — uzyskuje się poprzez zapisanie zdań w kolejności zgodnej
z porządkiem wyznaczonym przez związki logiczne między tymi zdaniami.
Do takiego wniosku może prowadzić analiza przykładów. Jak się wydaje
teksty 1 i 2 oraz, odpowiednio, 3 i 4 nie różnią się sensem, który można im
przypisać, różnią się zaś łatwością rozumienia.
1. „Osiąganie celów możliwe jest tylko przez pracę albo szczęśliwy zbieg
okoliczności. Szczęśliwy zbieg okoliczności jest od nas niezależny. To,
że pracujemy, jest sprawą naszej decyzji. Zatem najpewniejszym sposobem na sukces jest praca”.
2. „Najpewniejszym sposobem na sukces jest praca. Osiąganie celów możliwe jest tylko przez pracę albo szczęśliwy zbieg okoliczności. Szczęśliwy zbieg okoliczności jest od nas niezależny. To, że pracujemy, jest
sprawą naszej decyzji”.
134
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Kolejność zdań w tekście 1 jest zgodna z porządkiem wyznaczonym
przez związki logiczne między zdaniami. Kolejność zdań w tekście 2
narusza ten porządek.
Do podobnych wniosków prowadzi analiza drugiego przykładu, w którym w wypadku tekstu 3 jest zachowany porządek logiczny, a w wypadku 4 nie jest zachowany.
3. „Cierpliwość zazwyczaj ułatwia osiągnięcie celu. Zdarza się, że przy
końcu posiedzenia, gdy wszyscy są już zmęczeni, wnioski przechodzą
dużo łatwiej. Mówi się o tym w dość dosadny sposób: Twardy tyłek
jest przy rokowaniach tak samo ważny jak bystra głowa.”
4. „Mówi się o tym w dość dosadny sposób: Twardy tyłek jest przy rokowaniach tak samo ważny jak bystra głowa. Cierpliwość zazwyczaj
ułatwia osiągnięcie celu. Zdarza się, że przy końcu posiedzenia, gdy
wszyscy są już zmęczeni, wnioski przechodzą dużo łatwiej”.
Rozumienie tekstu ma uwarunkowania fizyczne i psycho-fizjologiczne.
Sposób przekazu tekstu winien uwzględniać możliwości percepcyjne adresata. Do kogoś, kto ma problemy ze słuchem należy inaczej wypowiadać
słowa niż do kogoś, kto takich problemów nie ma. Podobnie w wypadku tekstu pisanego — pod uwagę trzeba wziąć sprawność wzroku. Zdarza się, że
ktoś nie chce, aby osoba mająca podpisać dokument ten dokument w pełni
zrozumiała. Tekst takiego dokumentu będzie zapisany małym gęstym drukiem a do tego skomplikowanym stylem z wieloma odnośnikami. Może być
również i tak, że mogą zaistnieć jakieś obiektywne przeszkody techniczne.
Nadawca w takiej sytuacji winien tekst tak skonstruować by mimo zakłóceń
adresat zrozumiał tekst właściwie. Przykładem zakłóceń technicznych jest
sprawa wypowiedzi Neil’a Armstronga, kiedy wylądował na Księżycu. Tekst
w wersji rozpowszechnianej przez NASA:
One small step for [a] man, one giant leap for mankind
zawierał rodzajnik „a” w nawiasach. Uważano, że tego rodzajnika nie było
w wypowiedzi Armstronga, a więc, że wypowiedź Armstronga była niepoprawna gramatycznie. W 2006 r. analizy nagrania za pomocą programu
GoldWave przeprowadzone przez Petera Shanna Forda wykazały, że rację
miał Armstrong, który twierdził, że jego wypowiedź zawierała „a”.
135
Percepcja tekstu ma też uwarunkowania psychofizjologiczne. Dla przykładu można rozważyć następujący test.
Na ilustracji są dwa słowa ME oraz YOU. To, co odczytamy ma uwarunkowania psycho-fizjologiczne. Podobnie jest, gdy mamy policzyć, ile razy litera
F występuje w tekście:
FINISHED FILES ARE THE RE
SULT OF YEARS OF SCIENTI
FIC STUDY COMBINED WITH
THE EXPERIENCE OF YEARS
...
Poprawna odpowiedź na to pytanie to: 6. Jeżeli pomyliliśmy się to dlatego,
że mózg nie zarejestrował występującego dwukrotnie wyrazu OF.
Zauważmy również, że mimo poważnych zakłóceń przekazu potrafimy
czasem zrozumieć komunikat. Przykładem tego może być następujący tekst:
O lny srmat poelpe can raed tihs.
cdnuolt blveiee taht I cluod aulaclty uesdnatnrd waht I was rdanieg. The phaonmneal pweor of the hmuan mnid, aoccdrnig to a
rscheearch at Cmabrigde Uinervtisy,
it deosn’t mttaer in waht oredr the ltteers in a wrod are, the olny
iprmoatnt tihng is taht the frist and lsat ltteer be in the rghit
pclae. The rset can be a taotl mses and you can sitll raed it
wouthit a porbelm.
Tihs is bcuseae the huamn mnid deos not raed ervey lteter by
istlef, but the wrod as a wlohe. Amzanig huh? yaeh and I awlyas
tghuhot slpeling was ipmorantt! if you can raed tihs psas it on !!
Fakt, że mimo wielorakich błędów tekst może być właściwie rozumiany jest
wykorzystywany przez m.in. internautów. Korzystający z komunikatorów
136
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
tekstowych nie przywiązują wagi do poprawności językowej i stylistycznej.
Ważne, żeby było szybko.
Problem technicznych przeszkód w przekazie informacji jest przedmiotem rozważań teorii informacji. Z punktu widzenia logiki są to zagadnienia
pragmatyczne.
Zadania
Zadanie 1.86. Co jest źródłem kłopotów mera?
Mer pewnego miasta na północy Normandii jednego wieczoru zderzył się
z przechodniem. Po tym zdarzeniu wydał zarządzenie zakazujące wychodzenia bez latarni wieczorem na ulicę. Mimo tego ponownie zderzył się z tym
samym mieszczaninem.
— Czy nie czytał Pan mojego zarządzenia? — zapytał mer srogo.
— Czytałem — odpowiedział Normandczyk — Oto moja latarnia.
— Ale w latarni nic nie ma!
— W zarządzeniu o tym mowy nie było.
Nazajutrz pojawiło się zarządzenie nakazujące, jeśli chce się wyjść wieczorem na ulicę, wstawić w latarnie świece. Tego samego wieczoru doszło do
ponownego zderzenia burmistrza z przechodniem.
— Gdzie latarnia?! — zakrzyczał mer.
— Oto ona, a w niej jest świeca.
— No tak, ale nie zapalona.
— W zarządzeniu nic nie było o zapaleniu świecy.
Mer musiał więc wydać nowe zarządzenie.
Zadanie 1.87. Co jest powodem możliwości różnego rozumienia wypowiedzi
prezydenta USA?
Terroryści nigdy nie przestają myśleć, w jaki sposób skrzywdzić
nasz kraj i naród. Ale i my też.
Zadanie 1.88. Czy poniższe wyrażenia są pleonazmami?:
1. Zabija owady, na śmierć!
2. kartka papieru,
3. Jem tylko i wyłącznie margarynę „Rama”.
Zadanie 1.89. Skróć napis na szyldzie: Tu się sprzedaje świeże śledzie.
Zadanie 1.90. Zredaguj właściwe nazwę wyrobu „Pokarm wątrobowo-mięsny
dla ryb w tabletkach”.
137
Zadanie 1.91. Wskaż znaczenia poniższych wyrażeń:
1. Ktoś się zawsze spóźnia.
2. Każdy ma prawo wybrać najwyżej jeden deser z dowolnego zestawu.
3. Jeśli ktoś pomoże Janowi, to wiele zyska.
4. Każdy uznaje czyjś autorytet.
Zadanie 1.92. Oceń poprawność zdania:
Bohater próbuje napisać swoją autobiografię28 .
Zadanie 1.93. Wskaż różnicę znaczeń zdania:
1. Można wątpić, czy udałoby się znaleźć dwoje ludzi, którzy używaliby
wszystkich wyrażeń języka potocznego w tym samym znaczeniu.
i zdania
2. Można wątpić, czy udałoby się znaleźć dwoje ludzi, którzy używaliby
każdego wyrażenia języka potocznego w tym samym znaczeniu.
Zadanie 1.94. Wskaż niektóre znaczenia słów:
1. wolność,
2. demokracja,
3. tolerancja
Zadanie 1.95. Wskaż znaczenia, jakie może mieć słówko „chociaż”.
Zadanie 1.96. W jakim znaczeniu użyto słówka „mogą” w tekście: Władze
ostrzegają, że spółdzielnie mogą usuwać niebezpieczny dla zdrowia azbest
niezgodnie z prawem.
Zadanie 1.97. Oceń poprawność tekstu (jest to 13-ty i zarazem ostatni punkt
gwarancji na telefon bezprzewodowy, model SP-R915PL):
Autoryzowany Serwis, firma handlowa, która sprzedała urządzenia oraz
Samsung Electronics i ich filie i oddziały nie udzielają upoważnień ani gwarancji odnośnie produktów, z wyjątkiem tych, które wyraźnie określono w niniejszym dokumencie. W żadnym wypadku nie będą odpowiedzialni za
szkody spowodowane wadami produktu, inne niż realnie poniesione szkody
w posiadaniu majątku lub naruszenia dóbr osobistych. W szczególności
uprawnienia z tytułu gwarancji nie obejmują prawa klienta do domagania
się zwrotu utraconych zysków w związku z awarią produktu.
28
Zob. Encyklopedia Guinnessa, Guinness Publishing Ltd, 1991, s. 68.
138
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Zadanie 1.98. Zapoznaj się z poniższym tekstem29 i odpowiedz na pytania:
1. Czy autor słusznie ogranicza się do jednego rozumienia słowa „wzór”?
2. Co sądzisz o cytowanej definicji ze słownika PWN?
3. Co sądzisz o użyciu terminu „wzór” w ostatnim i przedostatnim zdaniach tekstu?
Jako przedstawiciel nauk ścisłych traktuję wzory zgodnie z ich definicją.
Słownik języka polskiego M. Szymczaka (PWN) mówi, że są to „symbole wyrażające prawa matematyczne”. Tymczasem we wzorze Kuryłowa to, co wygląda na licznik i mianownik — nimi nie jest. [. . . ] Nie ja jeden zauważyłem
dziwny wzór.
Zadanie 1.99. Jak można rozumieć zdanie: „kłopot w tym, że akurat w sferze
podatków i finansów publicznych, program jest wyjątkowo niespójny”?
Zadanie 1.100.30 Jak rozumieć można tekst?
My też nie pytamy o wszystkie miejsca pamięci budowane w Warszawie. Nie mogę sobie przypomnieć i nic o tym nie wiem, żeby
kiedyś proszono Niemcy o udział w upamiętnieniu Powstania
Warszawskiego. Też można by spytać: »dlaczego nas nie pytacie,
przecież my zniszczyliśmy wtedy Warszawę«. Niemcy miałyby
w tym taki sam uprawniony interes.
Czy i jak zmienia się sens analizowanego tekstu po uzupełnieniu go o zdanie:
Nie przyszłoby nam jednak nigdy do głowy, żeby postawić takie
żądanie.
Zadanie 1.101. Co jest źródłem opisanego problemu?
Jedna z wpadek związana z wykorzystywaniem górlaszczyzny dotyczyła
reklamy piwa. Użyto w niej zwrotu: „Sakramencko dobre”, nie zważając, że
na Podhalu słowo to jest uważane za szczególnie obraźliwe.
Zadanie 1.102. Przy założeniu, że wychodzenie za mąż, kiedy się jest w ciąży
jest gorzej oceniane niż wychodzenie za mąż, kiedy nie jest się w ciąży przeanalizuj tekst:
29
Zob. Wiedza i Życie, Maj 1995, s. 10–11.
Jest to wypowiedź Eriki Steinbach, przewodniczącej Związku Wypędzonych (Bund der
Vertriebenen). Przedmiotem polemiki ze strony Związku Wypędzonych był to, że w Życiu
Warszawy opuszczono ostatnie zdanie.
30
139
Moja córka Karolina wychodzi za mąż, ale nie jest w ciąży.
W analizie uwzględnij różne możliwości sytuacyjne:
1. autorka komunikatu wychodziła za mąż będąc/nie będąc w ciąży,
2. adresatka komunikatu wychodziła za mąż będąc/nie będąc w ciąży,
3. Karolina przez kilka lat mieszkała/nie mieszkała ze swoim przyszłym
mężem.
W analizie uwzględnij również brak wiedzy o faktach przez autorkę i/lub
adresatkę komunikatu.
Zadanie 1.103. Korzystając z poniższych uwag wskaż możliwe powody wyboru terminologii.
Nazywanie rzeczy po imieniu to nic szczególnego. Ważny minister powinien posługiwać się fachową terminologią.
Przeciętny człowiek sposób działania nazwałby pewnie „sposobem działania”. Co innego „modus operandi”. To już i fachowo brzmi, i minister
jakoś tak lepiej w wywiadzie wypada. Dlaczego więc nie powtarzać tego
przy każdej dogodnej sytuacji? Podobnie z przypadkiem. Słowo „przypadek” każdy zna i nie ma się czym ekscytować. Za to nie każdy zna „czasową
koincydencję”. To już termin nawet nie fachowy, lecz superfachowy.
140
ROZDZIAŁ 1. JĘZYK
Rozdział 2
Rozumowania i argumentacja
Gebraucht der Zeit, sie geht so schnell von hinnen,
Doch Ordnung lehrt Euch Zeit gewinnen.
Mein teurer Freund, ich rat Euch drum
Zuerst Collegium Logicum.
Da wird der Geist Euch wohl dressiert,
In spanische Stiefeln eingeschnürt,
Daß er bedächtiger so fortan
Hinschleiche die Gedankenbahn,
Und nicht etwa, die Kreuz und Quer,
Irrlichteliere hin und her.
Johann Wolfgang von Goethe:
Faust — Der Tragödie erster Teil
Rozumowania i argumentacja są zasadniczym przedmiotem logiki. Mówi
się, że logika to teoria rozumowań. Logika jako nauka klasyfikuje rozumowania i wyszczególnia typy argumentacji. Ważnym zadaniem logiki jest ocena
racjonalności rozumowań a co za tym idzie określenie kryteriów poprawności
i opis typowych błędów. Logika dokonuje opisu typowych chwytów erystycznych oraz ukazuje powody ich skuteczności. Rozumowanie poszerza wiedzę
obiektywną i subiektywną o zdania będące jego wynikiem. Argumentując
doprowadzamy do uznania lub odrzucenia przekonań1 .
Arystoteles (384–322 p.n.e.) położył fundamenty pod logikę jako system
zasad, na których opiera się wszelka wiedza. Logika jest ważna dla każdego,
1
Przekonania mogą różnić się treścią a nadto sposobem, w jaki ktoś je żywi. Można
być pewnym (przekonanym, wiedzieć lub wierzyć), że α; można wątpić, że α; można
przypuszczać, że α. Powiemy więc, odpowiednio, że ktoś jest przekonany, iż na pewno
jest tak, że α; że ktoś jest przekonany, iż wątpliwe jest, że α; że ktoś jest przekonany, iż
przypuszczalnie jest tak, że α.
141
142
ROZDZIAŁ 2. ROZUMOWANIA I ARGUMENTACJA
ponieważ ludzie mogą rozumować o wszystkim, o czym mogą myśleć. Polityka, sztuka, literatura, biznes, nauka i codzienne problemy, wszystkie mogą
być przedmiotem rozumowania. Rozumowanie może być poprawne bądź niepoprawne. Logika ma wskazać to, dzięki czemu rozumowania są poprawne
i to, z jakiego powodu mogą być niepoprawne. Znajomość logiki usprawnia
argumentację i ułatwia jej krytyczną ocenę.
Prawa takich nauk jak fizyka lub psychologia mają treści empiryczne.
Zdają sprawę z prawidłowości dających się stwierdzić na drodze poznania
doświadczalnego, Jeżeli sprawy mają się inaczej niż głosi prawo, to prawo
ulega modyfikacji lub nawet odrzuceniu jako błędne. Prawa logiki mają
charakter normatywny. Jeżeli coś — jakieś rozumowanie — nie przebiega
zgodnie z nimi, to rozumowanie a nie prawo jest błędne. Gdyby prawa
logiki były takimi prawami jak prawa psychologii, to ludzie nie popełnialiby
błędów logicznych. Skoro ludzie popełniają błędy logiczne, prawa logiki nie
determinują jednoznacznie przebiegu rozumowania.
Logika to nie sztuka dla sztuki. Zbieranie informacji i ich porządkowanie, podejmowanie decyzji i realizacja planów wymagają rozumowania. Niepoprawne rozumowanie może doprowadzić do podjęcia niewłaściwej decyzji
i utrudniać realizację planów. Konsekwencje poprawnego lub niepoprawnego rozumowania daleko wykraczają poza życie jednostek. Postęp nauki
i techniki w XX wieku zmienił życie całych społeczności. Nie dokonał się on
bez bardzo złożonych i skomplikowanych poprawnych rozumowań. Wiek XX
to także wiek narodowego socjalizmu i komunizmu, Oświęcimia i Katynia.
Teoretyczne podstawy jednego i drugiego, narodowego socjalizmu i komunizmu, pełne są rozumowań. Czy mogły to być rozumowania poprawne?
Czy dane, które stanowiły podstawę przesłanek tych rozumowań mogły być
prawdziwe? Pytamy się, w jaki sposób tak liczne rzesze ludzi przekonano do
uczestnictwa w realizacji planów Lenina, Stalina, Hitlera, Pol Pota i innych.
Wchodzimy w wiek XXI nie bez obaw. Pojawiają się nowe ideologie dążące do podporządkowania sobie zachowań społecznych. Pojawiają się nowe
filozofie i światopoglądy pretendujące do roli wyznaczania kierunków i sposobów myślenia oraz postępowania jednostek. Stajemy wciąż przed trudnym
zadaniem oddzielenia «ziarna od plew». Znajomość logiki ma więc nie tylko
wymiar pragmatyczny. Poznanie jej zasad i stosowanie się do nich ma zatem
również — co twierdzili już stoicy — wymiar etyczny.
2.1. UZNAWANIE I UZASADNIANIE
2.1
143
Uznawanie i uzasadnianie
Pojęcie uznawania zdań jest pojęciem relacyjnym: o uznaniu zdania mówimy
ze względu na coś lub na kogoś.
W systemach wiedzy wyróżnione są pewne zdania zwane twierdzeniami
lub tezami tych systemów wiedzy.
Definicja 2.1. Zdanie uznane w systemie wiedzy to zdanie będące twierdzeniem, inaczej tezą, tego systemu wiedzy (wiedza obiektywna).
Ludzie żywią jakieś przekonania tzn. zajmują jakąś postawę (emocjonalną, praktyczną lub racjonalną) wobec tego, co zdania głoszą.
Definicja 2.2. Zdanie uznane przez kogoś to zdanie, którego treścią jest
przekonanie, które ten ktoś żywi (wiedza subiektywna).
Uznanie zdania jest jedną z możliwych sytuacji. Inną jest odrzucenie
zdania.
Definicja 2.3. Zdanie odrzucone w systemie wiedzy to zdanie, którego
przynależność do tego systemu wiedzy jest wykluczona zgodnie z zasadami
odrzucaniami przyjętymi w tym systemie wiedzy.
Definicja 2.4. Zdanie odrzucone przez kogoś to zdanie, które ten ktoś
wyklucza ze swoich przekonań.
Są zdania, które ani nie są uznane, ani nie są odrzucone. Nie każde
zdanie dające się sformułować w języku jakiejś dziedziny wiedzy jest uznane
lub odrzucone w teorii tej dziedziny. Chociaż każde zdanie jest prawdziwe
lub fałszywe, to do systemu wiedzy należą jednak tylko te zdania, które
zostały uzasadnione w sposób właściwy dla danej nauki. Odrzucone są te,
co do których udało się w sposób właściwy dla danej nauki pokazać, że nie
należą do teorii dziedziny tej nauki. Jest cała sfera zdań, dla których nie
przeprowadzono takich uzasadnień; takie uzasadnienia nie są wykluczone
w dalszych badaniach. W wypadku przekonań są zdania, co do których nie
mamy stanowiska: ani ich nie uznajemy, ani ich nie odrzucamy.
Pojęcia uznawania i odrzucania są pojęciami pragmatycznymi, czyli odnoszą się do relacji między językiem (znakiem) a jego użytkownikiem.
Jeżeli zdanie α należy do systemu wiedzy, to chcielibyśmy, aby zaprzeczenie zdania α, czyli nie-α, nie należało do niego. Więcej, chcemy, aby
było odrzucone. Gdyby bowiem w wyniku jakiegoś rozumowania okazało
się, że nie-α również należy do tego systemu wiedzy, to taki system byłby
sprzeczny.
144
Definicja 2.5. Teoria jest sprzeczna (system wiedzy jest sprzeczny) wtedy
i tylko wtedy, gdy dla pewnego zdania α jej twierdzeniami są zdania α i nieα.
Sprzeczny system wiedzy jest bezwartościowy, bo wiedza ma być wiedzą
o czymś, a w jakiejkolwiek rzeczywistości nie może być zarazem tak, by dla
jakiegoś zdania α prawdą było, że α i prawdą było, że nie-α2 . Gdyby tak się
zdarzyło, że dla jakiegoś α zarówno zdanie α, jak i zdanie nie-α należą do
systemu wiedzy, to dowolne zdanie, które dałoby się sformułować w języku
tego systemu, należałoby do niego, jeśli tylko byłby to system obejmujący
wszystkie zdania, które dadzą się wywnioskować ze zdań należących do tego
systemu. Gdy więc udaje się pokazać, że jakieś zdanie nie należy do systemu
wiedzy, to tym samym pokazuje się niesprzeczność tego systemu.
Definicja 2.6. Teoria jest niesprzeczna (system wiedzy jest niesprzeczny)
wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sprzeczny, czyli z dwu zdań α i nie-α co
najmniej jedno nie należy do tej teorii.
Jeśli system jest niesprzeczny i należy do niego zdanie α, to do tego
systemu nie należy zaprzeczenie α (nie-α). Jeżeli system jest niesprzeczny
i wykluczona jest przynależność zdania α do systemu, to na tej tylko podstawie nie możemy twierdzić, że zaprzeczenie α, czyli nie-α, należy do tego
systemu wiedzy. Chociaż bowiem jedno z dwu zdań α bądź nie-α jest prawdziwe, to na to, by zdanie należało do systemu wiedzy, potrzeba by było ono
uzasadnione w sposób właściwy dla tego systemu.
Definicja 2.7. Teoria jest zupełna (system wiedzy jest zupełny) wtedy
i tylko wtedy, gdy z dowolnych dwu zdań α i nie-α co najmniej jedno jest
twierdzeniem tej teorii (należy do tego systemu wiedzy).
Zauważmy, że w wypadku zupełnej teorii niesprzecznej dokładnie jedno
z dwu zdań: α i nie-α jest twierdzeniem tej teorii.
2
Arystoteles za podstawowe przyjmował trzy zasady: tożsamości, niesprzeczności i wyłączonego środka. Z nich zaś zasada niesprzeczności została uznana za najbardziej podstawową („Metafizyka”, 1005 b):
Ta bowiem zasada, którą każdy musi uznać, jeżeli chce cokolwiek rozumieć,
nie może być hipotezą; a to, co każdy powinien znać, ażeby wiedzieć cokolwiek, musi to już mieć zanim przystąpi do badań szczegółowych. Oczywiście,
taka zasada jest najpewniejsza ze wszystkich; jaka to jest zasada? Poznajemy ją, oto ona: to samo nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać
temu samemu i pod tym samym względem (mogą też być dodane inne jeszcze
określenia, ażeby zabezpieczyć się przed dialektycznymi zarzutami.)
145
Jeśli ktoś żywi przekonanie, że α, to chcąc być racjonalnym winien odrzucić przekonanie, że nie-α. Odrzucając zaś α wcale nie musi tym samym —
pod rygorem racjonalności przekonań — zgodzić się na uznanie jako przekonania zaprzeczenia zdania α (nie-α). Zdarza się jednak, że nie zgadzając się
na zdanie α akceptujemy jego zaprzeczenie. Przekonania zmieniają się. Ktoś
mógł w jakimś czasie żywić przekonanie, że α, a w innym nie żywić tego przekonania, albo też żywić przekonanie, że nie-α. Jeśli tylko w danym czasie nie
żywi przekonań sprzecznych, to nie można temu komuś z tego powodu czynić
zarzutu braku logicznej poprawności. Z faktu, że ktoś nie uznaje jakiegoś
zdania α nie możemy wnioskować, że całość przekonań, które ten kogoś żywi
jest niesprzeczna. W systemie wiedzy poprawnie wyprowadzone konsekwencje uznanych w nim zdań, czyli twierdzeń są twierdzeniami. W wypadku
przekonań odrzucamy pewne zdania nie rozważając, czy są one konsekwencjami wszystkich innych naszych przekonań. Uznawanie przez nas zdań ma
charakter dynamiczny: wraz z przemyśleniami konsekwencji żywionych przez
nas przekonań i poszerzania naszej wiedzy dokonujemy modyfikacji przekonań.
Na to, aby zdanie mogło być uznane, potrzeba, żeby była jakaś racja
uznania. Ktoś, kto uznaje zdanie, ma powód, dla którego to zdanie uznaje.
Powodu tego może sobie nawet nie uświadamiać lub nie umieć go wyraźnie
wskazać, lecz jakiś powód faktycznie ma. Można więc przyjąć, że dla przekonania, które ktoś żywi, istnieje racja lub racja ta jest rekonstruowalna. Może
to być racja emocjonalna, uprzedzenie, oparcie się na stereotypie. Przedstawiając racje człowiek racjonalizuje, czyli wskazuje racjonalne powody uznania swoich przekonań, choć w rzeczywistości mogą to być pobudki innego
rodzaju. Zdarza się bowiem, że żywimy pewne przekonania nie dlatego, iż
mamy dla nich racjonalne powody, lecz znajdujemy te powody, gdy przychodzi nam je wskazać.
Warunkiem uznania zdania w systemie wiedzy, warunkiem bycia tezą
tego systemu wiedzy, jest istnienie racji, które są przez ten system określone
jako wystarczające dla włączenia zdania do systemu.
Postulat racji uznania zdania otrzymał nazwę i sformułowanie w pracach
Leibniza jako zasada racji dostatecznej (principium rationis sufficientis,
lex rationis determinantis sive sufficientis). Według Leibniza — jest to teza
ontologiczna — nic nie dzieje się bez dostatecznych racji. Bóg, stwarzając
świat, wybrał z możliwych najlepszy, najbardziej celowo zbudowany. Racją
każdego faktu jest zatem jego celowość i odpowiedniość. Prawdy dzielą się na
pierwotne (absolutnie pierwsze) i pochodne (wtórne). Wszelka prawda może
być dowiedziona z prawd absolutnie pierwszych lub sama jest absolutnie
pierwsza. Prawdy pochodne ze względu na sposób wywodzenia ich z prawd
146
pierwotnych dzielił na:
• pochodne-rozumowe,
• pochodne-faktyczne.
Prawdy pierwotne opierają się na zasadzie tożsamości. Prawdy pochodnerozumowe to te, które sprowadzają się do pierwotnych na gruncie zasady
niesprzeczności. Są to prawdy konieczne. Ich zaprzeczenie jest niemożliwe,
bo prowadzi do sprzeczności. Wywód prawd faktycznych wymaga innej podstawy niż wywód prawd koniecznych; zasada sprzeczności nie wystarcza,
potrzebna jest oprócz niej inna zasada, wyróżniająca rzeczywistość wśród
tego, co możliwe. Zasadą tą jest zasada racji dostatecznej: nic w rzeczywistości nie jest bez racji, każda prawda faktyczna może i powinna być uzasadniona za pomocą prawd pierwotniejszych. Prawdy pochodne-faktyczne
można więc wywieść z praw bardziej pierwotnych przez odwołanie się do zasady racji dostatecznej. Zasada racji dostatecznej obok zasady tożsamości i
zasady niesprzeczności jest jedną z trzech podstawowych zasad, które dają
wyrażają racjonalizm Leibniza.
Zgodnie z zasadą racji dostatecznej, wyrażającą postulat krytycyzmu,
można uznać lub odrzucić zdanie wtedy i tylko wtedy, gdy są tego racje
wskazane według rozsądnych dyrektyw poznawczych.
W różnych systemach wiedzy obowiązują różne racje uznawania. Ze
względu na ich rodzaje systemy wiedzy dzielimy na naukę i na to, co nauką nie jest. Ze względu na typ racji naukę dzieli się na nauki empiryczne,
humanistyczne oraz matematyczne. Również ze względu na rodzaj racji, ale
w innym aspekcie, dzielimy systemy wiedzy na racjonalne, pararacjonalne
i irracjonalne. Ocena i systematyzacja rodzajów racji jest przedmiotem teorii poznania i metodologii nauk. Podobnie ma się rzecz z przekonaniami.
Mówimy, że ktoś jest racjonalny, gdy w doborze swoich przekonań kieruje się
racjonalnymi zasadami. Pytanie, jakie zasady można uznać za racjonalne,
jest pytaniem filozoficznym. W życiu codziennym kierujemy się zdroworozsądkowym rozumieniem racjonalności. Źródłem zdrowego rozsądku jest szeroko rozumiana kultura i tradycja danej społeczności oraz przede wszystkim
praktyka dnia codziennego.
Odróżniamy dwa typy racji uznawania zdań: racje czerpane z różnego
rodzaju spostrzeżeń i doświadczenia oraz racje wskazywane na drodze argumentacji i poprzez rozumowanie.
Definicja 2.8. Uzasadnianie to wskazywanie racji dla uznania albo odrzucenia zdania.
147
Wskazywane racji mogą prowadzić do całkowitego uznania lub do całkowitego odrzucenia, mogą też prowadzić tylko do wzmocnienia jednej z tych
postaw lub do jej osłabienia.
Ze względu na to, jakie są racje uznania zdania, wyróżnia się uzasadnianie
bezpośrednie i pośrednie.
Bezpośrednio poznajemy za pomocą spostrzeżenia i obserwacji, doświadczenia i eksperymentu. Obserwacja różni się od spostrzeżenia tym, że składa
się na nią szereg spostrzeżeń. Zwykle jest celowa i ma charakter systematyczny. Wiedzę możemy pozyskiwać na drodze spostrzeżeń i obserwacji celowo przygotowanego stanu rzeczy lub wywołanego zjawiska, czyli doświadczenia i eksperymentu. Eksperyment może być pozytywny — kiedy zamierzamy potwierdzić przypuszczenie, hipotezę — lub negatywny, gdy jego celem jest jej odrzucenie.
Definicja 2.9. Uzasadnianie bezpośrednie polega na odwoływaniu się
do danych bezpośredniego poznania jako do racji uznania albo odrzucenia
zdania.
Spostrzeżenia i doświadczenie mogą być zmysłowe lub niezmysłowe. Zmysłowe mogą być zewnętrzne lub wewnętrzne. Gdy uznaję zdanie „ jest wieczór”, to czynię to na podstawie spostrzeżenia zmysłowego zewnętrznego. Na
podstawie spostrzeżenia zmysłowego wewnętrznego uznaję zdanie „boli mnie
ząb”. Stan psychicznej radości stwierdzany przez niezmysłowe spostrzeżenie
wewnętrzne daje podstawę dla uznania zdania „ jestem (teraz) radosny”. Spostrzeżenie i doświadczenie są tym, co łączy nasze poznanie z przedmiotem
poznania. Z uzasadnienia bezpośredniego korzysta się też np. przy uzasadnianiu wyroków sądowych, gdy przeprowadza się oględziny osób, rzeczy,
miejsc.
Uzasadnienie przez odwołanie się do danych zmysłowych nie jest niezawodne; zmysły mogą nas zwodzić. Spostrzeżenia niezmysłowe też mogą być
mylące.
Definicja 2.10. Uzasadnianie pośrednie polega na odwoływaniu się do
wcześniej uznanych albo odrzuconych zdań.
W uzasadnianiu inaczej korzysta się ze zdań uznanych a inaczej ze zdań
odrzuconych. Uzasadnianie pośrednie może być niezawodne, np. może dawać podstawy dla pewności co do prawdziwości uzasadnianego zdania pod
warunkiem, że zdania, do których się odwołuje, są prawdziwe.
Definicja 2.11. Rozumowanie to pośrednie uzasadnianie zdań.
148
Definicja 2.12. Argumentacja to wskazywanie komuś racji dla przyjęcia
lub odrzucenia przekonań.
W argumentacji mogą być użyte racje bezpośrednie, jak odwołanie się
do doświadczenia. Mogą również być użyte racje pośrednie, tzn. zdania.
Rozumowanie winno być poprawne a argumentacja skuteczna. Poprawność ma charakter obiektywny a skuteczność subiektywny. Cel rozumowania
osiągamy biorąc pod uwagę zdania. Aby osiągnąć cel argumentacji trzeba
wziąć jeszcze pod uwagę osobę/osoby, do której/których argumentacja jest
skierowana.
W rozumowaniach występują zawsze zdania, które stanowią punkt wyjścia i zdanie, które jest punktem dojścia, wynikiem procesu rozumowania.
Definicja 2.13. Przesłanki są zdaniami będącymi podstawą rozumowania
lub argumentacji.
Bywa, że nie wszystkie przesłanki są wyraźnie wskazane. Jeżeli jakaś
przesłanka należy do zdań powszechnie uznawanych lub za taką się ją uważa,
to nie wymienia się jej. A ona sama nie wymaga uzasadnienia zgodnie z zasadą: manifestum non eget probatione — fakty powszechnie znane nie wymagają dowodu.
Definicja 2.14. Przesłanka entymematyczna to przesłanka nie wymieniona we wnioskowaniu z powodu uznania jej za oczywistą.
To, co zdaniem jednego jest oczywiste i nie wymaga wyraźnego wskazania, dla kogoś innego nie musi być oczywiste. Korzystanie z przesłanek
entymematycznych może więc być źródłem nieporozumienia. Inną kwestią
jest, że z powodu braku refleksji nad tym, co powszechnie uznane, funkcjonują w społeczeństwie różne rzekome prawdy.
W podręczniku G. I. Nierenberga, Sztuka negocjacji, s. 85–86, możemy
przeczytać następującą historyjkę:
Pewnego razu mąż obserwował, jak żona przygotowywała pieczeń na obiad. Po umieszczeniu kawałka wołowiny na desce do
krojenia odkroiła plaster i wyrzuciła do kosza.
„Dlaczego to zrobiłaś, kochanie?” — spytał zaciekawiony.
„Nie wiem. Moja matka zawsze tak robiła” — usłyszał w odpowiedzi.
Kiedy więc następnym razem widział swoją teściową, zapytał, czy
rzeczywiście przed przygotowaniem pieczeni odkrawała kawałek
mięsa i wyrzucała go. I znów odpowiedź brzmiała:
149
„Tak. Moja matka zawsze tak robiła.”
Zaintrygowany mąż zatelefonował do babki swojej żony.
„O, tak, zawsze odkrawałam kawałek z pieczeni, ponieważ patelnia, której używałam, była za mała” wyjaśniła starsza pani.
Do przesłanek entymematycznych należy podchodzić krytycznie. W Zasadach filozofii Descartes zaleca:
Ponieważ przyszliśmy na świat jako dzieci i ponieważ wpierw, zanim w pełni zaczęliśmy się posługiwać naszym rozumem, już wydawaliśmy rozmaite sądy o rzeczach zmysłowych, dlatego wiele
przesądów oddaliło nas od poznania prawdy; od tych [przesądów]
zaś — jak się zdaje — będziemy mogli uwolnić sie tylko wtedy:
jeżeli raz w życiu postaramy się zwątpić o wszystkim, w czym
wykryjemy choćby cień niepewności3 .
Z przesłanek entymematycznych nie należy rezygnować. Trudno sobie
wyobrazić, aby np. w artykule skierowanym do określonego grona specjalistów powtarzać prawdy, które są dla tych specjalistów oczywiste. Zawsze
przygotowując jakiś tekst winniśmy wziąć pod uwagę to, do kogo ten tekst
jest skierowany, i pominąć to, co dla wszystkich odbiorców jest (powinno
być) oczywiste, a włączyć wszystko to, co nie jest oczywiste, choć może takim być dla autora tekstu. Inaczej mówiąc, trzeba wziąć pod uwagę «środowisko intelektualne» danej sprawy — na przesłankę entymematyczną nadają
się te i tylko te zdania, które są oczywiste dla wszystkich odbiorców danego
rozumowania (tekstu).
Źródłem przesłanek entymematycznych jest kultura, którą przyswajamy
w procesie wychowania, wykształcenie, mody wieku. Źródłem takich przesłanek jest też sam język; zauważmy na przykład, że mówiąc „zachód słońca”
lub „wschód słońca”, podtrzymujemy stare poglądy, że Słońce krąży wokół
Ziemi. Słowo „sekretarka” jakby wyklucza mężczyzn z roli sekretarki. Podobnie wyklucza mężczyzn z zawodu pielęgniarki sposób zwracania się do
pielęgniarki przez „siostro”.
Ocena poprawności rozumowania wymaga uwzględnienia jego przesłanek entymematycznych. Zdarza się bowiem, że jakaś taka przesłanka jest
fałszywa lub bezpodstawnie uznana.
3
Zarówno sformułowana tu dyrektywa postępowania, jak i cała część pierwsza Zasad
jest właściwie powtórzeniem treści Medytacji o pierwszej filozofii z uwzględnieniem polemiki zawartej w Zarzutach i Odpowiedziach.
Descartes, Zasady filozofii, przekł. I. Dąmbska, Warszawa 1960.
150
Definicja 2.15. Wniosek (konkluzja) to zdanie będące punktem dojścia,
wynikiem rozumowania lub argumentacji.
Między przesłankami a wnioskiem powinien zachodzić stosunek uzasadniania. Od rodzaju rozumowania i argumentacji zależy, czy przesłanki uzasadniają wniosek, czy odwrotnie, wniosek uzasadnia przesłanki.
Definicja 2.16. Zdania α1 , . . . , αn uzasadniają zdanie β wtedy i tylko
wtedy, gdy zdania α1 , . . . , αn stanowią dostateczną rację uznania zdania β.
Rozumowanie przeprowadzane jest z uwagi na uzasadniane zdanie. W wypadku argumentacji dochodzi jeszcze wzgląd na osobę/osoby, którą/które się
przekonuje. Rozumowanie ma miejsce w wypadku uzasadniania zdań w celu
włączenia ich w system wiedzy obiektywnej, argumentacja — wiedzy subiektywnej. W rozumowaniu liczą się racjonalne związki między przesłankami
a wnioskiem. Poprawne rozumowanie może nie być skuteczną argumentacją, np. z powodu niedostatecznego wzięcia po uwagę stanu wiedzy osoby,
dla której argumentacja jest przeprowadzana. Skuteczna argumentacja może
okazać się niepoprawna, gdy oceniać ją jako rozumowanie.
Uzasadnianie może być różnorakie. Podział rozumowań i argumentacji
dokonywany jest między innymi ze względu na to, jakiego rodzaju stosunek
uzasadniania zachodzi między przesłankami a wnioskiem.
Miejsce wniosku w tekście nie jest przesądzone. Może być on podany
przed przesłankami, między nimi bądź na końcu. Bywa i tak, że seria przesłanek następuje lub wyprzedza serię wniosków, które one uzasadniają. W standardowym zapisie wniosek następuje po przesłankach.
W wypadku „nic, co jest dowiedzione nie jest oczywiste; jest tak dlatego, że to, co jest oczywiste, nie podlega dowodowi” wniosek wyprzedza
przesłankę. Standardowo możemy to zapisać jak następuje:
Przesłanka: To, co jest oczywiste, nie podlega dowodowi.
Wniosek:
Nic, co jest dowiedzione, nie jest oczywiste.
W wypadku „w większości problemy logiczne nie są trudne. Nic, co proste,
nie przyprawia mnie o ból głowy. Dlatego też tym, co przyprawia mnie
o ból głowy, nie są problemy logiczne” wniosek następuje po przesłankach.
Standardowo zapisujemy to następująco:
Przesłanka I: W większości problemy logiczne nie są trudne.
Przesłanka II: Nic, co proste, nie przyprawia mnie o ból głowy.
Tym, co przyprawia mnie o ból głowy, nie są
Wniosek:
problemy logiczne.
151
W wypadku „rośnie ciśnienie i niebo jest bezchmurne. Zapowiada się więc
ładna pogoda tym bardziej, że wieje ciepły południowy wiatr” wniosek znajduje się między przesłankami. Standardowo można więc to rozumowanie
przedstawić następująco:
Przesłanka I: Rośnie ciśnienie i niebo jest bezchmurne
Przesłanka II: Wieje południowy wiatr.
Wniosek:
Zapowiada się ładna pogoda.
Uznanie zdania czy to w nauce, czy też przez kogoś, nie jest nieodwołalne.
Nauka zmienia się nie tylko przez zwiększanie zasobu twierdzeń, lecz też
przez odrzucanie pewnych wcześniej uznanych zdań, które w świetle nowych
danych przestały spełniać kryteria uznania. Tworzone są nowe teorie, które
lepiej niż stare opisują badaną rzeczywistość. Przykładem takiej teorii może
być Einsteinowska teoria względności, która trafniej niż Newtonowska fizyka
klasyczna opisuje świat fizyczny.
Podobnie jest z systemami przekonań. Są ludzie, którzy mimo oczywistych racji nie zmieniają swoich przekonań. Są i tacy, którzy przekonania
zmieniają bez dostatecznych racji. Człowiekowi racjonalnemu obca jest zarówno pierwsza jak i druga postawa. Zmienia on swe przekonania, gdy są ku
temu wystarczające racje.
W wypadku dołączania nowych zdań do zasobu wiedzy obiektywnej lub
subiektywnej mówimy o ekspansji. Kontrakcja wiedzy ma miejsce w wypadku odrzucania pewnych zdań. W wypadku zastępowania twierdzenia lub
przekonania przez jego negację mówimy o rewizji.
Zadania
Zadanie 2.1. Wskaż przesłanki i wniosek:
1. Można mieć za wiele. Ktoś kto ma jeden zegarek wie, która godzina;
ktoś kto ma dwa zegarki nigdy nie jest pewien.
2. Gdyby nie było kobiet wciąż mieszkalibyśmy w jaskiniach jedząc surowe mięso. Wymyśliliśmy cywilizację, aby zrobić wrażenie na naszych
przyjaciółkach.
3. Ktoś, kto wierzy w takie rzeczy musi być inteligentem; zwykły człowiek
nie mógłby być tak głupi.
Zadanie 2.2. Zapisz w standardowej postaci poniższą argumentację:
152
Gdy negocjujesz z człowiekiem, który wziął zakładników, jesteś zobowiązany w negocjacjach iść na ustępstwa. Może to być niewiele, może to być
dużo, tak czy owak musi to być coś. Raz dając coś porywaczowi nagradzasz
jego działanie. Jaka jest więc jego zwykła i spontaniczna reakcja? Czyni
to kolejny raz, sądząc, że w ten sposób osiągnie coś, czego nie mógł dostać
zwykłymi sposobami. Oto dlaczego nie wolno negocjować z terrorystą.
Zadanie 2.3. Wymień wyrażenia wskazujące zachodzenie stosunku uzasadniania. Które z nich pisane są po przesłankach a przed wnioskiem, a które
po wniosku a przed przesłankami? (Np. „zatem” piszemy po przesłankach
a przed wnioskiem, zaś „ponieważ” piszemy po wniosku a przed przesłankami.)
Zadanie 2.4. Czy twierdzenie, będące treścią poniższego tekstu spełnia zasadę racji dostatecznej?
Urodzeni 7 sierpnia potrafią zrobić użytek ze swoich zdolności,
wiedzą, że mają przewagę nad innymi. Są bardzo ambitni, mają
przywódcze zdolności. Im są starsi, tym pragnienie przewodzenia
innym jest silniejsze.
2.2
Wynikanie
Szczególnym rodzajem stosunku uzasadniania, jaki może zachodzić między
przesłankami a wnioskiem (i ogólnie, między zdaniami) jest stosunek wynikania.
Definicja 2.17. Zdanie α wynika ze zdań α1 , α2 , . . . , αn wtedy i tylko
wtedy, gdy nie jest logicznie możliwe, by wszystkie zdania α1 , α2 , . . . , αn
były prawdziwe, a zdanie α było fałszywe.
Przypomnijmy, że zdanie wewnętrznie kontradyktoryczne to zdanie fałszywe na mocy znaczeń wyrażeń, z których jest zbudowane. Nie jest więc
możliwa nawet do pomyślenia taka sytuacja, ze względu na którą zdanie to
byłoby prawdziwe. Wniosek wynika więc z przesłanek wtedy i tylko wtedy,
gdy koniunkcja przesłanek i negacji wniosku jest zdaniem wewnętrznie kontradyktorycznym.
Definicja 2.18. Zdanie α wynika entymematycznie ze zdań α1 , α2 , . . . ,
αn wtedy i tylko wtedy, gdy wynika z tych zdań i powszechnie uznanych
zdań αn+1 , . . . , αm .
O wynikaniu entymematycznym mówimy więc w wypadku, gdy wniosek
wynika z przesłanek jawnych i przesłanek entymematycznych.
2.2. WYNIKANIE
153
Definicja 2.19. Zdanie α jest wyprowadzalne ze zdań (lub, jest konsekwencją zdań) α1 , α2 , . . . , αn wtedy i tylko wtedy, gdy α wynika z α1 , α2 ,
. . . , αn .
Definicja 2.20. Jeżeli ze zdań α1 , α2 , . . . , αn wynika zdanie α, to zdania
α1 , α2 , . . . , αn są racjami zdania α a zdanie α jest następstwem zdań
α1 , α2 , . . . , αn .
Definicja 2.21. Jeżeli ze zdań α1 , α2 , . . . , αn wynika zdanie α, to mówimy, że zdania α1 , α2 , . . . , αn pozostają ze zdaniem α w stosunku racjanastępstwo, albo że zachodzi między nimi stosunek wynikania.
Zgodnie z określeniem stosunku wynikania i rozumieniem spójnika koniunkcji zdanie α wynika ze zdań α1 , α2 , . . . , αn wtedy i tylko wtedy, gdy α
wynika z koniunkcji zdań α1 , α2 , . . . , αn . Z faktu tego będziemy korzystali,
gdy dla wygody będziemy mówili tylko o wynikaniu jednego zdania z drugiego — to zdanie, z którego jakieś zdanie wynika, może być koniunkcją kilku
zdań.
Jeżeli ze zdania α wynika zdanie β, to:
1. może być tak, że α i β są zdaniami prawdziwymi;
2. może być tak, że α jest fałszywe a β prawdziwe;
3. może być tak, że zarówno α jak i β są zdaniami fałszywymi;
4. nie może być tak, aby α było prawdziwe, a β fałszywe.
Jeżeli wiemy tylko to, że α wynika z α1 , α2 , . . . , αn , to w związku z 3 nie
mamy prawa twierdzić, że α jest prawdziwe. Możemy tak twierdzić, zgodnie
z 4, tylko wówczas, gdy prawdziwe są zdania: α1 , α2 , . . . , αn . Ze zdań „po
sobocie następuje niedziela” i „dziś jest sobota” wynika zdanie „ jutro będzie
niedziela”. Dla uznania prawdziwości tego zdania wystarcza prawdziwość
obu zdań-przesłanek.
To, że α wynika z α1 , α2 , . . . , αn i to, że α jest prawdziwe, w związku
z 2, nie daje podstaw do twierdzenia, że tym samym zdania α1 , α2 , . . . , αn
są prawdziwe. Zdanie „ulica jest mokra” wynika z tego, że „padał deszcz”.
Zdanie „ulica jest mokra” może być prawdziwe w sytuacji, gdy zdanie „padał deszcz” jest fałszywe. Może tak być w wypadku, gdy ulica jest mokra,
ponieważ przejechał beczkowóz.
To, że α wynika z α1 , α2 , . . . , αn i to, że nie wszystkie zdania α1 , α2 , . . . ,
αn są prawdziwe, zgodnie z 2 nie daje podstaw do twierdzenia, że zdanie α
154
jest fałszywe. Fałszywość zdania „padał deszcz” nie przesądza o fałszywości
zdania „ulica jest mokra”.
Na to, aby ze zdania α wynikało β, jest konieczne, aby nie było tak,
że α jest prawdziwe, a β fałszywe. Na to zaś, aby implikacja zbudowana
z tych zdań była prawdziwa, wystarcza, aby nie było tak, że poprzednik α
jest prawdziwy, a następnik β jest fałszywy. Inaczej mówiąc, prawdziwość
implikacji „ jeżeli α, to β” jest warunkiem koniecznym, ale nie jest warunkiem
wystarczającym, aby prawdą było, że z α wynika β. Nie wolno więc mylić
stosunku wynikania z implikacją.
Jednym z najważniejszych celów logiki jest dostarczenie narzędzi do znajdowania odpowiedzi na pytanie, czy między jakimiś zdaniami zachodzi stosunek wynikania, czy też nie. Zasadniczą ideą logiki formalnej jest stworzenie
rachunku, który umożliwiałby znajdowanie odpowiedzi na to pytanie w taki
sposób, jak rachunek arytmetyczny umożliwia odpowiedź na pytanie o wynik
operacji arytmetycznych. Ze znajomości rachunku arytmetycznego korzysta
się na co dzień. Z rachunków logicznych korzysta się wyjątkowo. Zwykle na
co dzień wystarcza nam intuicyjne uznanie zachodzenia stosunku wynikania.
Intuicję tę możemy znacznie usprawnić zajmując się logiką.
Stosunek wynikania pełni szczególną rolę w nauce. Podstawowe twierdzenia, główne tezy systemu nauki, to te, z których wyprowadzalne są (wynikają) liczne inne twierdzenia i tezy. W wypadku systemu aksjomatycznego z określonej grupy zdań-tez, zwanych aksjomatami, wyprowadzalne
są (wynikają) wszystkie pozostałe twierdzenia tego systemu.
Stosunek wynikania zachodzi między zdaniami „ jeżeli Jan jest studentem, to przysługuje mu zniżka kolejowa” i „Jan jest studentem” a zdaniem
„Janowi przysługuje zniżka kolejowa”. Podobnie też między zdaniami „każdy
człowiek jest śmiertelny” i „Sokrates jest człowiekiem” a zdaniem „Sokrates
jest śmiertelny”. Aby wykazać to, należałoby odwołać się do technik logiki
formalnej.
Gdy chcemy pokazać brak zachodzenia stosunku wynikania są jeszcze
możliwości inne niż odwołanie się do technik logiki formalnej.
Zwykle dla wykazania, że nie zachodzi wynikanie stosujemy wizualizację lub analogię.
Brak zachodzenia stosunku wynikania sposobem wizualizacji wykazuje
się rozważając rzeczywistą lub wyimaginowaną sytuację, w której prawdziwe
są wszystkie zdania, z których ma wynikać jakieś zdanie, a ono samo jest fałszywe. Stosunek wynikania nie zachodzi między zdaniami „ jeżeli pracownik
otrzymuje niskie wynagrodzenie, to źle pracuje” i „pracownik nie otrzymuje
niskiego wynagrodzenia” a zdaniem „pracownik dobrze pracuje” — można
wskazać rzeczywiste sytuacje, w których pracownik nie otrzymuje niskiego
2.2. WYNIKANIE
155
wynagrodzenia, a źle pracuje. Ze zdań „ jeżeli istnieje własność prywatna, to
istnieje niesprawiedliwość społeczna” i „nie ma własności prywatnej” nie wynika zdanie „nie ma niesprawiedliwości społecznej” — w krajach, w których
nie było własności prywatnej nie było też sprawiedliwości społecznej. Ze zdania „Białystok jest miastem wojewódzkim” nie wynika „Warszawa jest stolicą
Polski” — logicznie możliwa jest sytuacja, że Warszawa nie jest stolicą, mimo
że Białystok jest miastem wojewódzkim.
Dla wykazania braku zachodzenia stosunku wynikania w ocenianym rozumowaniu można wziąć rozumowanie, które nie różni się od niego co do
formy a mimo, iż ma prawdziwe przesłanki ma jawnie fałszywy wniosek.
Taki sposób postępowania oparty jest na analogii.
Analogia wykorzystana jest w następującym tekście (Shaw, B., Virtues
for a postmodern world, Business Ethics Quarterly, vol. 5 nr 4, 1995):
Postmodernistyczny charakter etyki biznesu Green zdaje się uzasadniać następująco:
Jeśli X jest postmodernistyczne, to X ma cechy A i B.
Etyka biznesu ma cechy A i B.
Dlatego, etyka biznesu jest postmodernistyczna.
Rozważmy analogiczne wnioskowanie:
Jeśli X jest prezydentem, to X mieszka w Białym Domu.
Chelsea Clinton mieszka w Białym Domu.
Dlatego, Chelsea Clinton jest prezydentem.
Wnioskowanie przeprowadzone przez Green’a jest więc błędne.
W wypadku, gdy nie potrafimy wskazać rzeczywistej lub wyimaginowanej
sytuacji, w której zdanie mające być racją jest prawdziwe, a zdanie mające
być następstwem jest fałszywe lub nie potrafimy wskazać zdań nie różniących
się formą od racji i zdania nie różniącego się formą od następstwa takich, że
pierwsze są prawdziwe, a drugie jest fałszywe, to nie mamy prawa twierdzić,
że wynikanie zachodzi. Oba sposoby bowiem zależą od naszej pamięci i wyobraźni. Pozytywne stwierdzenie zachodzenia wynikania zdania α ze zdania
β wymaga wskazania takiego prawa logiki, które jest schematem implikacji,
której poprzednikiem jest β a następnikiem jest α.
Wskaźnikiem tego, czy ktoś przyjmuje istnienie stosunku wynikania między zdaniami, może być nie tylko słowne stwierdzenie zachodzenia tego
związku przez użycie słowa „wynika”, lecz także np. całkowita pewność,
156
z jaką uznaje się wniosek — całkowitą pewność uznania wniosku można
mieć tylko w wypadku, gdy wniosek wynika z prawdziwych przesłanek.
Bywa, że forma argumentacji utrudnia zauważenie związku wynikania lub
zwodzi wskazując na jego rzekome istnienie, co jest wykorzystywane w nieuczciwej argumentacji.
2.3
Wnioskowanie
Omówimy teraz jeden z rodzajów rozumowań. Będą to wnioskowania. Teoria
wnioskowania jest podstawowa dla teorii rozumowania. Jej pojęcia i twierdzenia wykorzystywane są w teorii innych rodzajów rozumowań.
Definicja 2.22. Wnioskowanie to rozumowanie, w którym:
1. przesłanki są zdaniami uznanymi (wniosek jest zdaniem nieuznanym),
2. przesłanki uzasadniają wniosek (wniosek jest uzasadniany przez przesłanki).
Wnioskowanie wzbogaca naszą wiedzę o wnioski ze zdań już należących
do tej wiedzy oraz wzbogaca nasze przekonania o wnioski ze zdań wyrażających nasze przekonania.
Definicja 2.23. Wnioskowanie entymematyczne to wnioskowanie, w którym występują przesłanki entymematyczne.
Wnioskowania dzielimy na dedukcyjne i na uprawdopodobniające.
2.3.1
Wnioskowanie dedukcyjne
Definicja 2.24. Wnioskowanie jest dedukcyjne wtedy i tylko wtedy, gdy
wniosek wynika z przesłanek.
Wnioskowanie dedukcyjne to wnioskowanie, w którym prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku. Forma wnioskowania wyklucza
możliwość, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy.
Wnioskowanie dedukcyjne jest charakterystyczne dla nauk dedukcyjnych.
W tych naukach jest to jedyny uznany sposób wnioskowania. Nauki dedukcyjne to przede wszystkim teorie matematyczne. Dla nauk tych znamienne
jest to, że przedstawiane są w formie systemów aksjomatycznych: z już uznanych zdań, czyli twierdzeń, wyprowadza się kolejne twierdzenia. Tak to wygląda na etapie przedstawienia systemu jako czegoś już gotowego. Proces
2.3. WNIOSKOWANIE
157
znajdowania nowych twierdzeń i znajdowania dla nich przesłanek ma charakter twórczy i jak każdy proces twórczy nie ogranicza się do dających się
opisać rodzajów rozumowań. Ważną rolę pełni w nim intuicja.
Wniosek nie jest zdaniem, które samo przez się, niejako automatycznie,
wypływa z przesłanek. Wskazanie wniosku jest pewnym twórczym aktem
umysłu. Dane przesłanki mogą uzasadniać różne zdania. To, które nas
w danej sytuacji interesuje, stanowi przedmiot naszej decyzji związanej z realizacją określonych celów rozumowania. Jasne jest więc, że może być tak,
iż tym, co jest pierwsze w naszym zamyśle, jest zdanie, które ma być wnioskiem. Dopiero później poszukujemy wśród zdań uznanych takich, które by
je uzasadniały. Jest to pewien zabieg twórczy. A to znaczy między innymi,
że nie zawsze daje się opisać w sposób intersubiektywnie komunikowalny.
Wielką rolę pełni tu intuicja, która z natury rzeczy nie podlega intersubiektywnej kontroli.
Logika formalna określa, które schematy wnioskowań są schematami wnioskowań dedukcyjnych. Ktoś rozumując dedukcyjnie nie musi się schematem
posługiwać, jednak jego wnioskowanie przebiega zgodnie z prawami logiki.
Jeżeli jakieś wnioskowanie jest dedukcyjne, to każde inne wnioskowanie nie
różniące się od niego formą jest również wnioskowaniem dedukcyjnym. Odpowiedzi na pytanie, co to jest forma wnioskowania dostarcza logika formalna. Problem ten będzie przedmiotem szerszych rozważań w niniejszej
książce. Teraz dla przykładu wskażemy niektóre najprostsze schematy wnioskowań dedukcyjnych.
Modus ponens
Modus tollens
Jeżeli α, to β
α
Jeżeli α, to β
nie-β
zatem β
zatem nie-α
Prawa De Morgana logiki zdań
nie-(α lub β)
zatem nie-α i nie-β
nie-(α i β)
zatem nie-α
158
Prawa De Morgana logiki predykatów
nie-(dla każdego x : P x)
zatem dla pewnego x : nie-P x
nie-(dla pewnego x : P x)
zatem dla każdego x : nie-P x
Jeżeli wnioskowanie jest dedukcyjne, to dodanie jakiejkolwiek przesłanki
nie zmieni faktu wynikania wniosku z przesłanek4 . Rozważmy np. wnioskowanie (według schematu modus ponens):
Jeżeli Jan spotkał Zosię, to powiedział jej o spotkaniu.
Jan spotkał Zosię.
Zatem
Jan powiedział jej (Zosi) o spotkaniu.
Wnioskowanie z dodatkowymi przesłankami:
Jan spotkał Marysię.
Zosia widziała się z Piotrem.
Zatem
jest również wnioskowaniem, w którym wniosek wynika z przesłanek (chociaż
nie przebiega ono już według schematu modus ponens). Wniosek będzie wynikał z przesłanek i wówczas, gdy dodamy jako przesłanki zdania sprzeczne
z którąś z przesłanek lub z wnioskiem. Np.
Jan nie spotkał Zosi.
Zatem
4
Rozumowania, które mają taką własność, że:
jeżeli α wynika z Σ, to wynika z każdego zbioru Γ takiego, że Σ ⊆ Γ
to rozumowania monotoniczne.
2.3. WNIOSKOWANIE
159
Jan nie powiedział jej (Zosi) o spotkaniu.
Zatem
Stosunek wynikania między przesłankami a wnioskiem będzie zachodził tak
długo, jak długo wśród przesłanek będą zdania, z których wniosek wynika.
Jeżeli więc z jakichś przesłanek wynika wniosek, to dołączenie nowych przesłanek nie ma najmniejszego wpływu na zachodzenie stosunku wynikania;
może mieć jedynie wpływ na poprawność wnioskowania. Inaczej będzie, gdy
odrzucimy którąś z przesłanek. W takim wypadku stosunek wynikania może
przestać zachodzić.
Fakt, że dodawanie kolejnych przesłanek do wnioskowania dedukcyjnego
nie ma wpływu na wynikanie wniosku z przesłanek daje podstawę dla postulatu, aby ograniczyć liczbę przesłanek do tych, które są konieczne dla zachodzenia wynikania. Jest to postulat ekonomii dla wnioskowania dedukcyjnego.
Zbędne przesłanki nie tylko, że niepotrzebnie wydłużają wnioskowanie, lecz
również mogą pomniejszać jego wartość argumentacyjną. Taka sytuacja ma
miejsce w wypadku, gdy któraś ze zbędnych przesłanek jest fałszywa lub
nieuzasadniona. Zbędna przesłanka może też nie mieć związku z wnioskiem
lub go nieuzasadniać. Wszystko to może stać się źródłem zastrzeżeń i wątpliwości.
2.3.2
Dowód wprost i dowód niewprost
Szczególny wypadek wnioskowania dedukcyjnego, gdy właściwe wnioskowanie dedukcyjne poprzedzone jest procedurą poszukiwania przesłanek dla już
danego zdania-wniosku, to dowodzenie.
Definicja 2.25. Zdanie, dla którego poszukuje się dowodu to teza tego
dowodu.
Definicja 2.26. Dowodzenie tezy α to znajdowanie wśród zdań uznanych
(twierdzeń) przesłanek, z których wynika α.
Samo wnioskowanie, jako już zakończone rozumowanie przedstawione
w postaci językowej, to dowód.
Definicja 2.27. Dowód tezy α może być:
160
1. dowodem wprost, gdy wskazane są twierdzenia, z których wynika α,
bądź
2. dowodem niewprost (apagogicznym, przez sprowadzenie do
niedorzeczności, reductio ad absurdum), gdy z negacji zdania dowodzonego dowodzi się wprost negacji pewnego twierdzenia, czyli gdy
z nie-α jako przesłanki dowodzi się wprost zaprzeczenia już udowodnionego zdania.
Różnice między dowodem wprost a dowodem niewprost są różnicami
w sposobie poszukiwania przesłanek i w strukturze dowodu. Istotną rolę
w dowodzie niewprost pełni zasada dwuwartościowości. Chodzi o to, że
skoro negacja dowodzonego zdania ma fałszywe konsekwencje, to jest zdaniem fałszywym, ponieważ fałszywe zdanie może wynikać tylko z fałszywego
zdania. Opierając się na zasadzie dwuwartościowości stwierdzamy, że jeżeli negacja zdania dowodzonego jest zdaniem fałszywym, to ono samo jest
zdaniem prawdziwym. W wypadku dowodu wprost w samym dowodzie nie
bierzemy pod uwagę negacji zdania dowodzonego, a dowód może przebiegać
bez wykorzystania sposobów rozumowania, które oparte byłyby na zasadzie
dwuwartościowości.
Dowieść można tylko zdania; tego, że wynika ono ze wskazanych przesłanek. Żaden dowód — w tu podanym znaczeniu terminu „dowód” — nie
jest dowodem na to, że dane zdanie nie wynika ze wskazanych przesłanek.
Możemy dowodzić negacji jakiegoś zdania α, czyli dowodzić zdania nie-α.
Dowód dla nie-α nie jest jednak dowodem na to, że α nie ma dowodu. Zdarzyć się bowiem może tak, że dowód ma nie tylko zdanie α lecz również
zdanie nie-α. Będzie to wskazywać na wadliwość przesłanek lub wadliwość
wnioskowania. System wiedzy, w którym dowód ma zarówno α jak i nie-α
jako sprzeczny jest bezwartościowy.
Fakt, iż nie mamy dowodu jakiegoś zdania, nie stanowi podstawy do
twierdzenia, że zdanie to nie jest dowodliwe, czyli że w przyszłości nie znajdzie się dowodu tego zdania. W wypadku korzystania z metody niewprost
w dowodzie na to, że zdanie α należy do jakiegoś systemu, pokazujemy, że
negacja dowodzonego zdania, czyli nie-α, ma konsekwencje sprzeczne z już
uznanymi zdaniami. Nie znaczy to jednak, że dowiedliśmy, że ta negacja,
nie-α, nie należy do tego systemu. Dowiedliśmy tylko, że dowodzone zdanie
α należy do systemu.
Zdanie może wynikać z różnych zbiorów przesłanek. To, czy jakieś wskazane przesłanki, z których wynika zdanie dowodzone, mogą być uznane za
właściwe dla dowodu tego zdania zależy: w wypadku wiedzy w sensie obiek-
2.3. WNIOSKOWANIE
161
tywnym — od tego, czy przesłanki te są udowodnione; a w wypadku wiedzy
w sensie subiektywnym — od tego, czy są one uznane przez osobę, dla której
dowód jest przeprowadzany.
Fakt, że to samo zdanie może być wnioskiem z różnych zbiorów zdań
daje podstawę dla postulatu, aby znajdować dowód najprostszy. Postulat
prostoty dowodu wiąże się z postulatem ekonomii dla wnioskowania. Jeżeli
za cechę ekonomicznego wnioskowania uznamy nie tylko jego krótkość, lecz
również łatwość jego zrozumienia, to tak rozumiany postulat ekonomii były
równoważny postulatowi prostoty. Łatwość dowodu nie jest mierzalna, jak
to jest w wypadku krótkości. To, co może być łatwe do zrozumienia przez
kogoś nie musi być takie dla kogoś innego. Oczywistość wynikania wniosku
z przesłanek jest ważnym składnikiem prostoty dowodu. Czasem uzyskanie takiego efektu wymaga wydłużenia dowodu. Ocena łatwości dowodu
jest sprawą kulturową, praktyczną i związaną z doświadczeniem. Nie jest
to przedmiot wiedzy (w sensie zbioru postulatów), lecz intuicji, której źródłem jest kultura dowodzenia. Matematyk o dużym doświadczeniu wyróżnia
«eleganckie» dowody twierdzeń.
Dowodzenie jest procedurą poszukiwania racji. Jako procedura nie jest
czymś gotowym, lecz dynamicznym, złożonym z faz. Może ono przebiegać
w dwojaki sposób. W początkowej fazie przytacza się racje dla dowodzonego zdania, które same wymagają dowodu. Dla tych racji szuka się dowodu. Dowód jest zakończony, gdy ostatecznie dojdzie się do racji, które
— w wypadku wiedzy obiektywnej — są twierdzeniami, lub — w wypadku
wiedzy subiektywnej — są zdaniami uznanymi przez osobę, dla której dowód był przeprowadzany. Takie dowodzenie to dowodzenie regresywne,
czyli analityczne. Inaczej jest w wypadku dowodzenia progresywnego,
czyli syntetycznego. Najpierw wskazuje się następstwa pewnych twierdzeń
lub przekonań. W kolejnym kroku wskazuje się następstwa tych następstw.
Procedura kończy się, gdy jako następstwo pojawia się zdanie dowodzone.
Dla samego dowodu nie ma znaczenia droga, którą doszliśmy do wskazania
przesłanek będących twierdzeniami albo przekonaniami, z których wynika
zdanie dowodzone.
Dotychczas mówiliśmy o dowodzie jako uzasadnianiu pośrednim. Słowa
„dowód” używa się też na oznaczenie pewnego rodzaju uzasadniania pośredniego. Dowodem jest wskazywanie racji empirycznych dla uznania jakiegoś
zdania.
Definicja 2.28. Dowód rzeczowy to fakty empiryczne, które są racjami
dowodzonej tezy.
Dowodem rzeczowym są rzeczy, które wskazują np. poprzez związek
162
przyczynowo-skutkowy na prawdziwość dowodzonej tezy. Na przykład odciski palców na pistolecie stanowią dowód rzeczowy na to, że osoba, której odciski znaleziono, trzymała ten pistolet w ręku. Prawnicy terminów „dowód”
i „dowodzenie” zwykli używać też w innych znaczeniach, np. „dowodzenie”
może oznaczać uzasadnianie.
Zadania
Zadanie 2.5. Jesteś w kraju, w którym policjanci zawsze mówią prawdę,
a złodzieje zawsze mówią nieprawdę. Spotykasz dwoje ludzi, Pawła i Gawła.
Czy na podstawie tego, co tobie powiedzieli — zakładając, że każdy z nich
jest policjantem lub złodziejem — potrafisz wywnioskować kim oni są5 ?
1. Paweł : Jestem policjantem lub nie.
2. Paweł : Jeśli Gaweł jest złodziejem, to ja też.
3. Gaweł : Jeśli ja jestem policjantem, to Paweł jest złodziejem.
4. Paweł : Nikt z nas nie jest policjantem.
5. Gaweł : Obaj nie jesteśmy policjantami.
6. Paweł : Gaweł jest policjantem, a ja jestem złodziejem.
7. Paweł : Jeśli ktoś z nas jest policjantem, to jest to Gaweł.
8. Gaweł : Jeśli ktoś z nas jest policjantem, to ja nim jestem.
9. Gaweł : Paweł jest złodziejem.
Paweł : Obaj jesteśmy złodziejami.
10. Gaweł : Paweł jest policjantem.
Paweł : Przynajmniej jeden z nas jest złodziejem.
11. Gaweł : Paweł jest policjantem wtedy i tylko kiedy jest nim jego brat.
Paweł : Niestety, mój brat jest złodziejem.
12. Gaweł : Paweł i jego brat są obaj policjantami.
Paweł : Ja jestem policjantem, a mój brat nie.
5
Oparte na: Raymond Smullyan, What is the Name of this Book?, Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice-Hall, 1978.
2.3. WNIOSKOWANIE
163
Zadanie 2.6. Jesteś w kraju, w którym policjanci zawsze mówią prawdę,
a złodzieje mówią nieprawdę. Spotykasz troje ludzi, Pawła, Gawła i Kubę.
Czy na podstawie tego, co tobie powiedzieli — zakładając, że każdy z nich
jest policjantem lub złodziejem — potrafisz wywnioskować kim oni są6 :
1. Paweł : Kuba jest złodziejem.
Gaweł : Bądź Paweł, bądź Kuba jest policjantem.
Kuba: Jeśli ja jestem złodziejem, to oni są też.
2. Paweł : Gaweł jest policjantem.
Gaweł : Wszyscy jesteśmy złodziejami.
Kuba: Paweł, Gaweł i ich kuzyni są wszyscy złodziejami.
3. Paweł : Wszyscy nie jesteśmy złodziejami.
Gaweł : Paweł jest.
Kuba: Jeśli jest Paweł, to Gaweł też.
Zadanie 2.7. Wskaż przesłanki entymematyczne.
1. Teraz mamy październik. Zatem następny miesiąc to listopad.
2. Jan nie pożyczył mi pieniędzy. Nie jest więc, jak myślałem, moim
dobrym kolegą.
3. Zmiana skali podatkowej i wprowadzenie 19% podatku dla osób o najniższych dochodach, poprawi sytuację materialną najuboższych.
4. Należy przeciwdziałać komercjalizacji mediów. Zwiększa się bowiem
udział programów naruszających zasady dobrych obyczajów i moralności.
5. Czy jest pan poważnym kandydatem?
Nie jestem w ogóle pokazywany w telewizji. Mimo to moje notowania
ustawicznie wzrastają. Jestem więc poważnym kandydatem chociaż
wciąż opowiada się za mną niewielu wyborców. (Na podstawie rozmowy z kandydatem na prezydenta RP, w programie TV „Rozmowy
w dwójce”, 13 października 1995 r.)
6
Oparte na: Raymond Smullyan, What is the Name of this Book?, Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice-Hall, 1978.
164
6. Nie wiesz, kim był Bertrand Russell, a zatem nie interesujesz się filozofią XX wieku.
7. Skoro nie czytałeś Nocy i dni, a znasz treść tej powieści, więc oglądałeś
jej adaptację filmową.
8. Ponieważ ceny wzrosły, więc jeśli podaż się nie zmieniła, to wzrósł
popyt.
Zadanie 2.8. Czy poniższe wnioskowanie-rozmowa jest wnioskowaniem dedukcyjnym?
— Zdecydowałem się na wyjazd do Ameryki.
— Chcesz się dorobić?
— Będę musiał się pogodzić na rozstanie przez kilka lat z rodziną i zrezygnować na ten czas z planów zawodowych.
— Nie masz wyjścia, jeśli nie chcesz biedy klepać.
— Niestety.
Zadanie 2.9. Czy prawdą jest, że7 „[. . . ] skonstruować można argument,
który wykazuje, że z jakiejkolwiek pary sprzecznych stwierdzeń nic w ogóle
nie można wydedukować”, jeśli „poprawny argument może mieć fałszywe
przesłanki, a niepoprawny argument może mieć prawdziwe przesłanki” i gdy
„ jedyną kombinacją, która nie może się zdarzyć jest: prawdziwe przesłanki,
poprawny argument, ale fałszywy wniosek?
Zadanie 2.10. Które z poniższych wnioskowań są dedukcyjne (jeśli nie są to
wnioskowania entymematyczne):
1. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Zatem
4 jest parzyste.
2. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Zatem
4 nie jest nieparzyste.
3. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani 2,
ani 4 nie są zarazem parzyste i nieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.
4. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani 2,
ani 4 nie są zarazem parzyste i nieparzyste. Zatem 4 nie jest nieparzyste.
7
Zob. Encyklopedia Guinnessa, Guinness Publishing Ltd., wyd. polskie 1991, s. 494.
2.3. WNIOSKOWANIE
165
5. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. Ani
2, ani 4 nie jest zarazem parzyste i nieparzyste. 4 jest parzyste lub
nieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.
6. Jeżeli 4 jest nieparzyste, to 2 jest nieparzyste. 2 jest parzyste. 2 i 4 są
parzyste lub nieparzyste. Zatem 4 jest parzyste.
Zadanie 2.11. Czy w poniższym rozumowaniu wniosek wynika z przesłanek?
Do lekarza przychodzi pacjent, który twierdzi, że jest chory na grypę.
Lekarz mówi: „Gdyby pan był rzeczywiście chory na grypę, to miałby pan
katar, podwyższoną temperaturę, ból głowy. Tych objawów nie stwierdzam,
a zatem nie jest pan chory na grypę.”
Zadanie 2.12. Czy ze zdania:
„Nieprawda, że życie nie ma sensu, jeśli Bóg nie istnieje”
wynika zdanie:
„Bóg nie istnieje”?
Zadanie 2.13. Bajtek i Kajtek są bliźniakami. Jeden z nich mówi nieprawdę
w poniedziałki, wtorki i środy, a w pozostałe dni tygodnia mówi prawdę.
Drugi zaś nieprawdę mówi w czwartki, piątki i soboty, a w pozostałe dni
tygodnia mówi prawdę. Pewnego dnia spotyka ich Jasio. Jeden z bliźniaków
przedstawia się jako Bajtek, a drugi jako Kajtek.
Który z bliźniaków ma na imię Bajtek, a który Kajtek?
Zadanie 2.14. Z którego z układów przesłanek można wyprowadzić dowolny
wniosek?
1. Żadne zdanie nie wynika ze zdania, które mu przeczy. Każde zdanie przeczy jakiemuś zdaniu. Istnieją zdania, z których wynika każde
zdanie.
2. Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania. Istnieją zdania, które
z pewnych zdań nie wynikają. Dla każdego zdania można podać takie,
które zeń nie wynika. Dla każdego zdania można podać takie, z którego
ono nie wynika.
3. Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania i z których każde
zdanie wynika. Jeśli jakieś zdanie wynika z każdego zdania, to jest
ono prawdą logiczną. Jeśli zdanie jest prawdą logiczną, to jest prawdziwe. Jeśli z jakiegoś zdania wynika każde zdanie, to to pierwsze
jest podstawieniem kontrtautologii. Żadne zdanie prawdziwe nie jest
podstawieniem kontrtautologii.
166
Zadanie 2.15. Oskarżeni są: S, W i M. Oto ich zeznania:
S: W jest winny, natomiast M jest niewinny.
W: Jeśli S jest winny, to również M jest winny.
M: Ja jestem niewinny, ale co najmniej jeden z nich jest winny.
Odpowiedz na następujące pytania:
1. czy zeznania są zgodne,
2. jeśli wszyscy są niewinni, to kto mówił nieprawdę,
3. jeśli wszyscy mówią prawdę, to kto jest winny,
4. jeśli niewinny mówi prawdę, a winny mówi nieprawdę, to kto jest
winny?
Zadanie 2.16. W sprawie o zabójstwo jest dwóch podejrzanych — Stachu
i Jachu. Zeznaje czterech świadków. Pierwszy powiedział:
— Wiem tylko to, że Stachu nie jest winien.
Drugi świadek zeznał:
— Wiem tylko, że Jachu nie jest winien.
Trzeci świadek:
— Wiem, że z dwóch poprzednich zeznań przynajmniej jedno jest prawdziwe.
Czwarty:
— Wiem, że zeznania trzeciego świadka są fałszywe.
Okazało się, że czwarty świadek mówił prawdę. Kto dokonał przestępstwa?
2.3.3
Wnioskowanie uprawdopodobniające
Wnioskowanie dedukcyjne jest charakterystyczne dla nauk matematycznych:
jest to jedyny uprawniony w tych naukach sposób wnioskowania. Wnioskowanie dedukcyjne wyróżnia to, że wniosek «zawiera» się w przesłankach,
prawdziwość wniosku jest bowiem zagwarantowana przez prawdziwość przesłanek. Można powiedzieć, że wniosek ujawnia tylko to, co zawarte jest już
w przesłankach. W naukach przyrodniczych i społecznych «wychodzi się»
poza to, co dane jest w przesłankach. Takie wnioskowania nie będą jednak dawały podstaw dla całkowitej pewności co do prawdziwości wniosku,
mimo prawdziwości przesłanek. Wnioskowania takie będą miały zaś walor
poznawczy, gdy będą dawały większe podstawy dla uznania wniosku niż dla
jego zaprzeczenia.
2.3. WNIOSKOWANIE
167
W 1996 r. przypadła dziesiąta rocznica tragicznego wybuchu elektrowni
atomowej w Czernobylu. Przy okazji bilansowano skutki tego wybuchu.
Na podstawie wiedzy przyrodniczej i faktu, że od tamtego okresu w Polsce
trzykrotnie wzrosła zachorowalność na raka tarczycy, a na Białostocczyźnie
dotkniętej w większym stopniu opadem radioaktywnym zachorowalność ta
wzrosła dziesięciokrotnie wnioskowano, że wybuch w Czernobylu jest przyczyną wzrostu zachorowalności na raka tarczycy. Przesłanki tego wnioskowania nie gwarantują prawdziwości wniosku. Nie można bowiem wykluczyć
innych powodów, dla których odnotowano wzrost zachorowań, chociażby takich jak lepsza diagnostyka, będąca wtórnym efektem informacji o zagrożeniu
rakiem tarczycy przez opady radioaktywne pochodzące z wybuchu. Wnioskowanie to jest jednak poprawne jako uprawdopodobniające.
Na praktyczny walor wnioskowań uprawdopodobniających zwraca uwagę
w Zasadach filozofii Descartes:
Co się zaś tyczy praktyki życiowej, niejednokrotnie musimy imać
się tego, co tylko prawdopodobne, albo też, gdy z dwóch rzeczy
żadna nie wydaje się bardziej prawdopodobna, mimo to tymczasowo jedną z nich wybierać. Bo najczęściej przepadłaby sposobność do działania, zanim zdołalibyśmy pozbyć się naszych wątpliwości8 .
Definicja 2.29. Wnioskowanie uprawdopodobniające to wnioskowanie, w którym:
1. prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdziwości wniosku, czyli nie
jest wykluczona fałszywość wniosku mimo prawdziwości przesłanek;
2. prawdziwość przesłanek czyni bardziej prawdopodobną prawdziwość
wniosku niż jego fałszywość;
3. stopień pewności, z jakim uznaje się wniosek, nie jest większy niż prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku (określone dla danych przesłanek).
W każdym wnioskowaniu wniosek, jak każde zdanie, jest albo prawdziwy,
albo fałszywy. W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego na podstawie danych przesłanek nie można pokazać, że wniosek jest prawdziwy
(ani, że jest fałszywy). Mówi o tym pkt 1. definicji. Punkt ten mówi, że
wnioskowanie uprawdopodobniające nie jest wnioskowaniem dedukcyjnym.
8
Descartes, Zasady filozofii, przekł. I. Dąmbska, Warszawa 1960.
168
Wnioskowanie uprawdopodobniające różni się od wnioskowania dedukcyjnego tym, że w wypadku wnioskowania dedukcyjnego prawdziwość wniosku jest zagwarantowana przez prawdziwość przesłanek, a w wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego tak nie jest. Powstaje pytanie o wielkość
prawdopodobieństwa. Pkt. 2 mówi tylko tyle, że prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku winno być większe niż jego fałszywości. W wypadku wnioskowań uprawdopodobniających musimy więc dążyć do zwiększenia prawdopodobieństwa wniosku. Dołączanie nowych przesłanek do wnioskowania
dedukcyjnego nie ma wpływu na wynikanie wniosku z przesłanek, a może
mieć jedynie walor pragmatyczny: dla kogoś może być łatwiej zrozumiałe
lub przekonywające ze względu na uznawanie przez tego kogoś tych, a nie
innych przesłanek. W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego dodatkowe przesłanki mogą zmieniać prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku. Dodatkowe przesłanki mogą zwiększać prawdopodobieństwa ale i mogą
być takie przesłanki, które zmniejszają prawdopodobieństwo. W szczególności może zdarzyć się tak, że dodatkowe przesłanki prowadzą do odrzucenia
wniosku.
W wypadku wnioskowania uprawdopodobniającego prawa do całkowitej
pewności nie mamy. Mówi o tym pkt 3. Jednak posiadana przez nas wiedza,
przesłanki naszego rozumowania, dają nam prawo do większej pewności co
do prawdziwości wniosku niż pewności co do prawdziwości jego zaprzeczenia,
a przecież bądź wniosek, bądź jego negacja jest zdaniem prawdziwym. Stopień pewności, z jakim na podstawie prawdziwych przesłanek mamy prawo
uznać wniosek, może być określany przez prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku w warunkach prawdziwości przesłanek. Nie wolno jednak mylić
stopnia pewności z tym prawdopodobieństwem. Powtórzmy: zdania są bądź
prawdziwe, bądź fałszywe. Wniosek jest więc bądź prawdziwy, bądź fałszywy,
a nie prawdopodobny. Uznajemy zdanie za prawdziwe, z tym że przesłanki
nie dają nam prawa uznać tego zdania z całą pewnością, lecz z jakimś stopniem pewności (większym niż stopień pewności, z jakim moglibyśmy uznać
negację tego zdania i nie większym niż prawdopodobieństwo jego prawdziwości).
Mamy prawo uznać (z całą pewnością) zdanie „ jest prawdopodobne, że
Jan (który pali papierosy) zachoruje na raka płuc” (zresztą takie zdanie byłoby również prawdziwe w wypadku, gdyby Jan nie palił). Nie mamy jednak
prawa uznać zdania „Jan (który pali papierosy) zachoruje na raka płuc”.
Prawdopodobieństwo tego, że Jan zachoruje, jest mniejsze niż tego, że nie
zachoruje. Stopień pewności, z jakim mielibyśmy prawo uznać zdanie „Jan
zachoruje na raka płuc”, jest bowiem mniejszy niż stopień pewności, z jakim
mielibyśmy prawo uznać zdanie „Jan nie zachoruje na raka płuc”. Badania
2.3. WNIOSKOWANIE
169
naukowe dowodzą prawdziwości zdania „prawdopodobieństwo zachorowania
na raka płuc przez osobę palącą tytoń jest większe niż w wypadku osoby
niepalącej”.
Jesteśmy zainteresowani określeniem, z jakim stopniem pewności możemy uznać jakieś zdanie α przy założeniu prawdziwości zdań α1 , α2 , . . . ,
αn , czyli jesteśmy zainteresowani prawdopodobieństwem logicznym zdania α
ze względu na zdania α1 , α2 , . . . , αn . Określenia prawdopodobieństwa logicznego najprościej można dokonać przyjmując, że jest ono równe prawdopodobieństwu zaistnienia sytuacji opisywanej zdaniem α w takich okolicznościach,
w których prawdziwe są wszystkie zdania α1 , α2 , . . . , αn . Do oceny tego
prawdopodobieństwa możemy wykorzystać narzędzia matematyczne: teorię
prawdopodobieństwa i statystykę. Utożsamiamy wówczas prawdopodobieństwo logiczne z prawdopodobieństwem matematycznym. W podstawowym
wypadku P(A/B), prawdopodobieństwo częstościowe zbioru A ze względu
na niepusty zbiór B, oblicza się według wzoru:
P(A/B) =
N (B ∩ A)
,
N (B)
gdzie N X jest liczbą elementów zbioru X .
Zwykle przy określaniu prawdopodobieństwa kierujemy się jednak intuicją i doświadczeniem życiowym. Postępujemy tak również w sprawach
ważnych. Biegły powołany przez sąd np. w sprawie o sfałszowanie podpisu mówi o prawdopodobieństwie tego, że badany przez niego podpis jest
fałszywy. Jest to prawdopodobieństwo psychologiczne tego zdarzenia.
Doświadczenie życiowe i poziom wykształcenia różnie kształtują intuicję. Różne oszacowania prawdopodobieństwa psychologicznego mogą stać
się powodem sporu. Wielki polski matematyk Hugo Steinhaus radzi w grach
liczbowych takich jak totolotek zakreślać psychologicznie najmniej prawdopodobne układy liczb, wówczas bowiem wzrasta szansa na wysoką wygraną
bez zmiany szansy na wygraną w ogóle. Możliwość, że wygra układ:
[1, 2, 3, 4, 5, 6]
jest taka sama jak ta, że wygra układ, na przykład:
[4, 16, 21, 31, 36, 47].
Psychologiczne prawdopodobieństwo pierwszego jest bardzo małe w porównaniu z psychologicznym prawdopodobieństwem drugiego (wystarczy zapytać gracza, który układ zakreśliłby). Zakreślając pierwszy albo drugi układ
mamy takie same szanse na trafienie. Jednak w wypadku, gdy wygrywa
170
układ pierwszy — ponieważ wysokość wygranej zależy od tego, ilu graczy
trafnie zakreśliło — wygramy najwięcej.
Ocena prawdopodobieństwa metodami matematycznymi też może być
różna. Wynik jest przecież zależny od danych wyjściowych i uwzględniania
lub nieuwzględniania pewnych okoliczności. Efekty tych możliwości widzimy
w czasem diametralnie różnych wynikach, np. badania opinii społecznej
lub różniących się danych statystycznych. Płynie z tego wskazówka, że nim
oprzemy się w swoim postępowaniu i działaniu na tych danych, dobrze przypatrzmy się założeniom i metodzie badań. Firmy wyspecjalizowane w takich badaniach chronią jednak swoje metody. Przykładem złożoności badań
może badanie marketingowe. Działające w Polsce doświadczone zachodnie
firmy badań rynkowych opiniowały dla handlowych firm zachodnich brak
popytu na jakiś towar, który jednak — jak się później okazało — dobrze się
sprzedawał (sytuacje takie miały miejsce w wypadku towarów luksusowych).
Metoda, która przyniosła sukces firmom w wypadku badań rynkowych w krajach zamożnych, jak się okazuje, zawiodła w Polsce.
Wnioskowanie uprawdopodobniające pełni istotną rolę w naukach przyrodniczych. Metody statystyczne stosowane są w fizyce, biologii, chemii.
W naukach stosowanych, gdzie istotne jest przewidywanie trudno byłoby
z tych metod zrezygnować.
Wnioskowanie uprawdopodobniające stosowane jest w wielu zwykłych
sprawach praktycznych. Kiedy jadę samochodem staram się wybrać optymalną drogę: możliwie krótką i najmniej zatłoczoną. Moje przewidywanie
jest tylko prawdopodobne. Kiedy podejmuję decyzję o zachowaniu się na
giełdzie intuicyjnie oceniam najkorzystniejsze sprzedaże i zakupy akcji.
Wnioskowanie uprawdopodobniające jest stosowane przez prawników. Dowód poszlakowy to materiał uprawdopodobniający uzasadnianą tezę. Przesłanki dla uznania kogoś za winnego jakiegoś czynu nie dają w sensie logicznym podstaw do całkowitej pewności. Prawnik z wnioskowaniem uprawdopodobniającym spotyka się również w związku z pojęciami niebezpieczeństwa
w prawie karnym i ryzyka w prawie cywilnym.
Wnioskowanie uprawdopodobniające jest też źródłem różnych przesądów.
Ludzie podchodzą selektywnie do faktów: dostrzegają to, co im odpowiada,
a pomijają to, co nie jest dla nich wygodne; pamiętają to, co potwierdza
ich oczekiwania, a zapominają o tym, co tym oczekiwaniom zaprzecza. Ktoś
upiera się, że liczba 13 jest dla niego nieszczęśliwa, podając wszystkie wypadki, kiedy w pewnym związku z 13 miało miejsce jakieś nieprzyjemne
zdarzenie, zaś nie pamięta i pomija wypadki, gdy tak nie było. „Kominiarz
szczęście przynosi” — rzeczywiście, okolice, w których byli kominiarze były
bogatsze od tych, w których kominiarzy nie było (z powodu mniejszej liczby
2.3. WNIOSKOWANIE
171
pożarów).
Wśród wnioskowań uprawdopodobniających wyróżniamy wnioskowania
redukcyjne.
Zadania
Zadanie 2.17. Wskaż sposoby zwiększenia prawdopodobieństwa wniosku opisane w poniższym tekście.
Długoterminowe prognozy pogody nigdy nie będą dokładne. Możemy
jednak spokojnie ufać prognozom pogody na najbliższe trzy dni.
Krótkoterminowe prognozy pogody, obejmujące około trzech dni, są wiarygodne. Gorzej jest z prognozami tygodniowymi, natomiast prognozy długoterminowe są niewiele więcej warte niż przepowiednie starych górali.
Możemy liczyć na to, że w przyszłości będzie można w miarę dokładnie przewidzieć pogodę z najwyżej dwutygodniowym wyprzedzeniem. Na
dłuższy okres nie będzie to możliwe.
Próby prognozowania, jak będzie wyglądała np. najbliższa zima, opierają
się jedynie na tym, co mówi nam nasze doświadczenie, statystyki, co wynika
z danych.
Precyzyjne prognozy długoterminowe są niemożliwe w związku z naturą
samej atmosfery. Jest ona bardzo niestabilna. Wystarczy jeden czynnik, by
nagle zaczęła działać w zupełnie innym trybie. Nawet bardzo mały bodziec
może wywołać olbrzymie zmiany.
Można za to oczekiwać coraz lepszych prognoz kilkudniowych. Bardzo
szybki rozwój komputerów i modeli obliczeniowych pomagają coraz trafniej
prognozować pogodę. Coraz lepiej rozumiemy też różne zjawiska fizyczne,
determinujące pogodę, np. te, które zachodzą w chmurach.
Aby prognozować pogodę, nie wystarczy jednak znajomość jej stanu
w danej chwili i prowadzenie pomiarów. Trzeba umieć rozwiązywać równania, dotyczące praw fizyki atmosfery. Rozwiązywanie tych równań w codziennej praktyce umożliwił dopiero rozwój komputerów.
2.3.4
Wnioskowanie redukcyjne
Definicja 2.30. Wnioskowanie redukcyjne jest wnioskowaniem uprawdopodobniającym, w którym przesłanki wynikają lub wynikają entymematycznie z wniosku.
W wnioskowaniu redukcyjnym zwykle przesłanki wynikają nie z samego
wniosku lecz z wniosku dodatkowych przesłanek uznanych za oczywiste, czyli
wynikają z wniosku entymematycznie.
172
W wypadku wnioskowania dedukcyjnego z przesłanek wynika wniosek.
W wypadku wnioskowania redukcyjnego przesłanki wynikają z wniosku. We
wnioskowaniu dedukcyjnym stosunek uzasadniania (wniosku przez przesłanki) jest zgodny z kierunkiem wynikania. We wnioskowaniu redukcyjnym
stosunek uzasadniania (wniosku przez przesłanki) jest odwrotny do stosunku
wynikania.
Widząc w czasie suchego i upalnego lata, że na drzewie schną liście wnioskujemy, że temu drzewu brakuje wilgoci. Z tego, że „drzewu brakuje wilgoci”
i z przesłanki (entymematycznej), że „ jeżeli drzewu brakuje wilgoci, to schną
jego liście” wynika, że „na drzewie schną liście”. Z tego jednak, że „na drzewie
schną liście” nie wynika, że „drzewu brakuje wilgoci”. Może być zupełnie inna
tego przyczyna. Drzewo przecież może być podlewane, a schnięcie liści być
spowodowane jakąś chorobą. Wnioskowanie będzie poprawne, gdy wniosek
zostanie uznany przez nas w stopniu, na jaki pozwalają przesłanki, a przesłanki czynią bardziej prawdopodobnym wniosek niż jego zaprzeczenie. Nie
wolno jednak uznać wniosku z całą pewnością. Może przecież być tak, że
wniosek jest zdaniem fałszywym.
Fakt, że przesłanki wynikają (entymematycznie) z wniosku, nie wystarcza dla uznania wnioskowania za poprawne wnioskowanie redukcyjne. Gdyby
ktoś na podstawie tego, że „Jan jest łysy” wnioskował, że „wszyscy ludzie są
łysi”, to ten ktoś nie wnioskowałby poprawnie. Jest tak, mimo iż z tego,
że „wszyscy ludzie są łysi”, i z tego, że „Jan jest człowiekiem” (przesłanka
entymematyczna), wynika, że „Jan jest łysy”. Wnioskowanie redukcyjne
jest wnioskowaniem uprawdopodobniającym. Jako takie jest poprawne, gdy
prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku jest większe niż jego negacji (na
podstawie danych przesłanek), a stopień uznania wniosku nie przekracza
prawdopodobieństwa jego prawdziwości wyznaczonego przez przesłanki.
Jeżeli jedna z przesłanek we wnioskowaniu redukcyjnym jest fałszywa, to
wniosek jest też fałszywy. Jest tak, ponieważ przesłanki wynikają z wniosku, zaś fałszywe zdanie może wynikać tylko z fałszywego zdania. Jest więc
inaczej niż w wypadku wnioskowania dedukcyjnego, gdzie fałszywość którejś z przesłanek jedynie nie pozwala na uznanie wniosku za prawdziwy,
ale i nie przesądza jego fałszywości. Z przesłanek, z których nie wszystkie
są prawdziwe, dedukcyjnie można bowiem wywnioskować zarówno zdanie
prawdziwe, jak i można wywnioskować zdanie fałszywe.
Wnioskowania redukcyjne pełnią doniosłą rolę w procesie stawiania hipotez. Kiedy w Wielkiej Brytanii stwierdzono masowe zachorowania bydła
na tzw. «chorobę wściekłych krów», naukowcy chcieli znaleźć tego przyczynę. Hipotezy stawia się też w celach wyłącznie praktycznych. Kiedy
w kilka minut po starcie z lotniska J. F. Kennedy’ego samolot linii TWA
2.3. WNIOSKOWANIE
173
z pasażerami runął do Atlantyku, chciano znać powód, dla którego się tak
stało. W jednym i drugim wypadku — choroby «wściekłych krów» i tragedii
samolotu — stawiano hipotezy, czyli przypuszczenia, co do przyczyn. Na
podstawie zdań stwierdzających fakty wnioskowano o zdaniu stwierdzającym przyczynę. Przy tym chodziło o takie zdanie stwierdzające przyczynę,
z którego wynikałyby wszystkie zdania stwierdzające fakty. Naukowiec chce
stawiać trafne hipotezy. Policjant jest tym bardziej ceniony, im częściej udaje
mu się rozwiązać «kryminalną zagadkę», czyli postawić taką hipotezę, której
nie udaje się nikomu obalić.
2.3.5
Indukcja enumeracyjna
W tradycyjnej logice wnioskowania dzielono na dedukcyjne — miały to być
rozumowania, jak to określano, od ogółu do szczegółu — i na indukcyjne
— te miały być wnioskowaniami od szczegółu do ogółu. Mimo zarzucenia
tego podziału, utrzymały się pewne terminy. Stąd niektóre wnioskowania
dedukcyjne noszą nazwę indukcyjnych. Niektóre wnioskowania indukcyjne
są wnioskowaniami redukcyjnymi9 .
Definicja 2.31. Indukcja enumeracyjna to wnioskowanie, w którym:
1. występują przesłanki
(a) stwierdzające przynależność n przedmiotów a1 , a2 , . . . , an do rodzajów, odpowiednio: R1 , R2 , . . . , Rn , czyli stwierdzające prawdziwość zdań:
R1 (a1 ), R2 (a2 ), . . . , Rn (an );
oraz
(b) orzekające, że dla tych przedmiotów zachodzi określona prawidłowość P, czyli prawdą jest, że P(a1 , a2 , . . . , an ).
2. Wniosek jest zaś zdaniem stwierdzającym zachodzenie prawidłowości
P dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn , czyli:
dla każdego x1 , x2 , . . . , xn :
jeżeli [R1 (x1 ) i R2 (x2 ) . . . i Rn (xn )], to P(x1 , x2 , . . . , xn )
Zdania „ten oto kawałek substancji to sól” i „znajdująca się w tym oto
naczyniu ciecz to woda” określają rodzaje przedmiotów. Zdanie „ten oto
9
W literaturze spotyka się użycie terminu „wnioskowanie indukcyjne” w znaczeniu,
które tu zostało nadane wyrażeniu „wnioskowanie uprawdopodobniające”.
174
kawałek substancji rozpuszcza się w cieczy znajdującej się w tym oto naczyniu” stwierdza pewną prawidłowość o rozważanych przedmiotach. Zdanie
„sól rozpuszcza się w wodzie” orzeka tę prawidłowość o wszystkich przedmiotach rozważanych rodzajów.
Definicja 2.32. Przesłanka w indukcji enumeracyjnej, która stwierdza przynależność n przedmiotów do rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn oraz stwierdza, że dla
tych n przedmiotów zachodzi prawidłowość P to przesłanka indukcyjna.
Przesłankę indukcyjną można sformułować jako implikację. Będzie więc
miała postać:
jeżeli [R1 (a1 ) i R2 (a2 ) . . . i Rn (an )], to P(a1 , a2 , . . . , an ).
Korzystając z symboli logicznych przesłankę indukcyjną w postaci implikacji
można zapisać następująco:
[R1 (a1 ) ∧ R2 (a2 ) · · · ∧ Rn (an )] ⇒ P(a1 , a2 , . . . , an ).
(2.1)
Implikacja jest prawdziwa w każdym wypadku, w którym fałszywy jest jej
poprzednik lub prawdziwy jest jej następnik. Ocena wartości przesłanki
indukcyjnej w postaci implikacyjnej dla uzasadnienia wniosku zależeć więc
będzie nie tylko od jej prawdziwości, lecz również od prawdziwości poprzednika implikacji. Dla tej oceny liczą się tylko te prawdziwe implikacje, które
mają prawdziwy poprzednik.
Wniosek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną jest zdaniem postaci:
dla każdego x1 , x2 , . . . , xn :
{jeżeli [R1 (x1 ) i R2 (x2 ) . . . i Rn (xn )], to P(x1 , x2 , . . . , xn )}
co — korzystając z symboli logicznych — można zapisać:
∀x1 , x2 , . . . , xn {[R1 (x1 ) ∧ R2 (x2 ) · · · ∧ Rn (xn )] ⇒ P(x1 , x2 , . . . , xn )}. (2.2)
Szczególnym wypadkiem indukcji enumeracyjnej jest indukcja enumeracyjna niezupełna. W indukcji enumeracyjnej niezupełnej jedynymi przesłankami są przesłanki indukcyjne, czyli zdania postaci 2.1.
Definicja 2.33. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest wnioskowaniem, w którym:
1. każda przesłanka stwierdza zachodzenie prawidłowości P dla n przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn ;
2.3. WNIOSKOWANIE
175
2. wniosek orzeka zaś, że prawidłowość P zachodzi dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn .
Prawdziwość przesłanek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną
niezupełną nie daje gwarancji prawdziwości wniosku, czyli tego, że prawidłowość P zachodzi dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn .
Niewykluczone jest istnienie innych przedmiotów niż te, o których mowa
w poszczególnych przesłankach. Nie jest więc też wykluczone, że dla któregoś z tych przedmiotów prawidłowość P nie będzie zachodzić.
Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną niezupełną jest wnioskowaniem redukcyjnym: wszystkie przesłanki tego wnioskowania wynikają z jego
wniosku. Fałszywość jakiegoś zdania o postaci przesłanki indukcyjnej przesądza więc o fałszywości wniosku. Skoro bowiem przesłanki wynikają z wniosku, a z prawdziwego zdania nie może wynikać fałszywe, zatem jeśli jakaś
przesłanka jest fałszywa, to wniosek jest też fałszywy.
Ocena poprawności wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną wymaga określenia prawdopodobieństwa prawdziwości wniosku przy
danych przesłankach. Czy np. odpowiedź jednego studenta na pytanie o powód wyboru kierunku studiów wystarcza dla przyjęcia wniosku, że taki sam
powód mieli wszyscy inni studenci tego kierunku? Czy też trzeba przepytać ponad 50% studentów, aby móc z wystarczającym stopniem pewności
wskazywać powód wyboru studiów?
Wnioskujemy przez indukcję enumeracyjną niezupełną, gdy na podstawie
tego, że w zarejestrowanych dotychczas (jest to pewna skończona liczba)
zachorowaniach na malarię w każdym wypadku chory był ukąszony przez
komara, stwierdzamy:
w każdym wypadku (zarejestrowanym a także w każdym nie zarejestrowanym, który miał miejsce w przeszłości i w każdym, który
będzie miał miejsce w przyszłości), gdy ktoś jest chory na malarię, to ten ktoś był ukąszony przez komara.
Czy to, że we wszystkich dotychczas zarejestrowanych wypadkach taki związek miał miejsce wystarcza dla jego uogólnienia?
Są to pytania, na które szuka się odpowiedzi w logice indukcji. Wskażmy
niektóre aspekty tych odpowiedzi.
Prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku, a co zatem idzie stopień
pewności, z jakim mamy prawo uznać wniosek, we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełną zależy od jego ogólności. Po przebadaniu
grupy studentów szkoły Sz, kierunku studiów K i rocznika R oraz stwierdzeniu, że wszyscy przebadani mieli cechę c, mogę np. wnioskować:
176
1. Wszyscy studenci mają cechę c;
albo
2. Wszyscy studenci kierunku studiów K mają cechę c;
albo
3. Wszyscy studenci szkoły Sz na kierunku K mają cechę c.
W stosunku do 1–3 najmniej ogólny byłby wniosek, że
4. Wszyscy studenci szkoły Sz studiujący na kierunku K z rocznika R
mają cechę c.
Czynnikami wpływającymi na zwiększenie prawdopodobieństwa prawdziwości wniosku we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełną
są:
1. liczba przesłanek indukcyjnych stwierdzających prawidłowość P,
2. zróżnicowanie rozważanych przedmiotów pod względem cech znaczących dla prawidłowości P, której zachodzenie stwierdzamy we wniosku.
Im więcej przesłanek, tym większy prawdopodobieństwo wniosku. Powody ekonomiczne (badania są kosztowne) i czasowe (badania są czasochłonne a ich wyniki ulegają dezaktualizacji, gdy zajdzie sytuacja, którą
miały przewidywać; w wypadku zbytniego rozciągnięcia badań w czasie należy się również liczyć z dezaktualizacją wcześniej uzyskanych wyników) nakazują nam jednak ograniczyć liczbę przebadanych wypadków. Chodzi więc
i o to, aby — skoro musimy się ograniczyć — dobrać przedmioty tak, aby
przebadane wypadki prowadziły do możliwie największego prawdopodobieństwa wniosku. Przedmioty dobieramy tak, aby uwzględnić wszystko to, co
jest znaczące dla danej prawidłowości. Określenie tego, co znaczące, jest
w głównej mierze sprawą intuicji, która jest doskonalona — np. w wypadku
nauki — przez doświadczenie i tradycję szkoły badawczej.
Może się zdarzyć, że przedmioty, o których mowa w przesłankach indukcyjnych są wszystkimi przedmiotami rozważanych rodzajów. W takim
wnioskowaniu oprócz przesłanek indukcyjnych występuje więc jeszcze przesłanka stwierdzająca fakt, że przedmioty, o których mowa w przesłankach
indukcyjnych są wszystkim przedmiotami, o których mówi wniosek.
Definicja 2.34. Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną zupełną
jest wnioskowaniem, w które:
2.3. WNIOSKOWANIE
177
1. występują przesłanki indukcyjne, czyli zdania stwierdzające o poszczególnych układach n przedmiotów ai1 , ai2 , . . . , ain , 1 ≤ i ≤ m, że są
rodzajów, odpowiednio: R1 , R2 , . . . , Rn , a więc stwierdzające prawdziwość zdań:
R1 (ai1 ), R2 (ai2 ), . . . , Rn (ain ), 1 ≤ i ≤ m;
oraz orzekające, że dla tych przedmiotów zachodzi określona prawidłowość P, czyli prawdą jest, że
P(ai1 , ai2 , . . . , ain ), 1 ≤ i ≤ m;
2. występuje przesłanka stwierdzająca, że układy przedmiotów:
ai1 , ai2 , . . . , ain , 1 ≤ i ≤ m,
o których mowa w poszczególnych przesłankach indukcyjnych, są wszystkimi możliwymi układami przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn ;
3. wniosek orzeka zaś, że prawidłowość P zachodzi dla wszystkich przedmiotów rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn .
We wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną prawdziwość przesłanek
gwarantuje prawdziwość wniosku. Jest to więc wnioskowanie dedukcyjne.
Rozważmy przykłady:
1. W dostawie bluzek w dniu 30 kwietnia o poszczególnych bluzkach — na
przykład wyjmowanych z jakiegoś zbiorczego opakowania — stwierdza
się, że mają rozmiar M . Następnie stwierdza się, że są to wszystkie
bluzki — zbiorcze opakowanie jest puste. Na tej podstawie uznaje się
z całą pewnością zdanie: „wszystkie bluzki w dostawie z 30 kwietnia
mają rozmiar M ”.
2. Po przepytaniu wszystkich studentów z pewnej grupy G, stwierdzając
o każdym poszczególnym studencie, że przygotował się do zajęć, mam
prawo uznać z całkowitą pewnością zdanie: „wszyscy studenci z grupy
G przygotowali się do zajęć”.
Ponieważ wniosek we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną zupełną jest zdaniem stwierdzającym prawidłowość P o wszystkich przedmiotach rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn , zatem przesłanki stwierdzające prawidłowość P o poszczególnych przedmiotach rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn wynikają
z wniosku. Fałszywość którejkolwiek z tych przesłanek przesądza więc o fałszywości wniosku — fałszywe zdanie nie może wynikać ze zdania prawdziwego. W tym omawiany sposób wnioskowania podobny jest do wnioskowania redukcyjnego. Z wniosku nie wynika jednak przesłanka stwierdzająca, że
178
przedmioty, o których mowa w poszczególnych przesłankach indukcyjnych,
są wszystkimi przedmiotami rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn . Wnioskowanie przez
indukcję enumeracyjną zupełną nie jest więc wnioskowaniem redukcyjnym.
Fałszywość tej przesłanki nie przesądza zatem fałszywości (ani prawdziwości) wniosku. Może się zdarzyć, że ta przesłanka jest fałszywa, a mimo to
wniosek jest prawdziwy. Np. w wypadku, gdy w wyliczeniu pominęliśmy
jakiś przedmiot rodzaju Ri . Jednak, gdy dla tego przedmiotu, z odpowiednimi innymi z pozostałych rodzajów, będzie zachodzić prawidłowość P, to
wniosek będzie prawdziwy.
Z wnioskowaniem przez indukcję enumeracyjną wiąże się uzasadnianie
przez przykłady10 . Ten zabieg w istocie nie różni się formalnie od wnioskowania przez indukcję enumeracyjną. Jest tu raczej różnica w punkcie wyjścia
rozumowania. Jeśli bowiem w indukcji enumeracyjnej kładziemy akcent na
to, że mamy dane przesłanki, to w uzasadnianiu przez przykłady tym, co
dane w punkcie wyjścia, jest wniosek. We wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełną, jeśli z wniosku wynika zdanie fałszywe, to wniosek
jest fałszywy. Jeśli uzasadniając przez przykłady znajdziemy kontrprzykład,
to również teza, którą chcieliśmy uzasadnić, będzie fałszywa.
2.3.6
Indukcja matematyczna
Szczególnym wnioskowaniem jest indukcja matematyczna. Jest to wnioskowanie charakterystyczne dla nauk matematycznych. Indukcja matematyczna, jak wszystkie wnioskowania w matematyce jest wnioskowaniem dedukcyjnym, czyli jest wnioskowaniem, w którym prawdziwość wniosku jest
zagwarantowana przez prawdziwość przesłanek. Tradycyjna nazwa tego wnioskowania ma oparcie w fakcie, że jedna z przesłanek (baza indukcji) oraz teza
indukcyjna mają postać przesłanki indukcyjnej, czyli o układzie n przedmiotów rodzajów, odpowiednio, R1 , R2 , . . . , Rn stwierdza się, że posiadają cechę
P. Wniosek również ma postać wniosku indukcyjnego: o wszystkich przedmiotach rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn stwierdza się, że mają cechę P.
Ograniczmy się do najprostszego wypadku zastosowania wnioskowania
przez indukcję matematyczną, a więc gdy mamy na uwadze tylko jeden rodzaj przedmiotów (przedmioty te mogą być wewnętrznie złożone): wszystkie
elementy jakiegoś zbioru Z. Warunkiem zastosowania wnioskowania przez
10
Termin „przykład” ma też inne znaczenia niż to, jakie ma, gdy mówimy o uzasadnianiu
przez przykłady. O przykładzie mówimy w dydaktyce, gdy w sposób przystępny, na ile to
możliwe, chcemy obrazować jakąś tezę, teorię itp. Na przykład w niniejszej książce podajemy przykłady rozumowań. Zauważmy, że w wychowaniu przykład to tyle, co wzorzec,
ktoś do naśladowania.
2.3. WNIOSKOWANIE
179
indukcję matematyczną jest to, aby elementy Z można było ustawić tak, jak
liczby naturalne: w ciąg z elementem pierwszym i ściśle określonym miejscem
każdego elementu. Jak w wypadku liczb naturalnych będzie więc można mówić o pierwszym, drugim itd. elemencie zbioru Z, inaczej mówiąc elementy
zbioru Z dają się ustawić w ciąg: a1 , a2 , . . . ,.
Definicja 2.35. Wnioskowanie przez indukcję matematyczną o wyrazach ciągu: a1 , a2 , . . . , że mają cechę P to wnioskowanie, w którym na
podstawie przesłanki stwierdzającej, że:
1. prawidłowość P zachodzi dla a1 , czyli prawdą jest, że P(a1 ),
oraz przesłanki stwierdzającej, że
2. jeżeli prawidłowość P zachodzi dla ak , to prawidłowość P zachodzi dla
ak+1 ,
wnioskuje się, że
3. dla wszystkich wyrazów ciągu: a1 , a2 , . . . , zachodzi prawidłowość P.
Przesłanka 1 to baza indukcji a przesłanka 2 to krok indukcyjny.
Obie przesłanki indukcji matematycznej wymagają dowodu. Przesłanka
2, mając postać implikacji zwykle dowodzona jest — korzystając z twierdzenia o dedukcji — w ten sposób, że zakłada się poprzednik tej implikacji
i na tej podstawie dowodzi następnika. Założenie to określa sie jako założenie indukcyjne. Zdanie: „prawidłowość P zachodzi dla ak ” to założenie
indukcyjne. Na jego podstawie dowodzi się zdania będącego następnikiem
implikacji 2: (prawidłowość P zachodzi dla ak+1 ).
Rozważmy przykład. Powiedzmy, że chcemy dowieść tezy:
Dla dowolnej liczby naturalnej n:
1 + 2 + · · · + n = [n(n + 1)]/2.
Bazą wnioskowania indukcyjnego będzie zdanie stwierdzające zachodzenie dowodzonej tezy dla n = 1. W tym wypadku będzie to zdanie:
[1(1 + 1)]/2 = 1
Po wykonaniu odpowiednich działań arytmetycznych stwierdzamy prawdziwość tego zdania. Zatem prawdziwa jest przesłanka, o której mowa w pkt.
1 definicji wnioskowania indukcyjnego. Teraz należy udowodnić przesłankę 2:
Jeżeli [1 + 2 + · · · + k] = [k(k + 1)]/2, to
180
[1 + 2 + · · · + k + (k + 1)] = [(k + 1)(k + 1 + 1)]/2.
Zdanie to jest implikacją. Jego dowód przeprowadza się przyjmując jako
założenie jej poprzednik, czyli zakłada się (założenie indukcyjne), że
[1 + 2 + · · · + k] = [k(k + 1)]/2.
Oczywiście:
[1 + 2 + · · · + k + (k + 1)] = [(1 + 2 + · · · + k) + (k + 1)].
Korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy:
[1 + 2 + · · · + k + (k + 1)] = [[k(k + 1)/2] + (k + 1)].
Na podstawie tego mamy:
[1 + 2 + · · · + k + (k + 1)] = [(k + 1)(k + 2)/2].
A to kończy dowód dowód przesłanki 2.
Udowodniliśmy obie przesłanki, o których mowa w definicji wnioskowania przez indukcję matematyczną. W takim razie możemy przyjąć wniosek,
jaki zgodnie ze schematem wnioskowania przyporządkowany jest obu tym
przesłanką, a mianowicie zdanie:
Dla dowolnej liczby naturalnej n : 1 + 2 + · · · + n = [n(n + 1)]/2.
2.3.7
Wnioskowania statystyczne
Trudno dzisiaj wyobrazić sobie funkcjonowanie społeczeństwa bez korzystania z uogólnienia statystycznego. Czynią z niego użytek instytucje ważne dla
życia społecznego i gospodarczego: towarzystwa ubezpieczeniowe, agencje
marketingowe, ośrodki badania opinii publicznej itp. Statystyka matematyczna jest działem matematyki wyższej. Nie podejmujemy tu problematyki
statystyki i dlatego w opisie wnioskowań statystycznych możemy jedynie dążyć do urobienia siebie lepszego poglądu.
Towarzystwo ubezpieczeniowe korzystając z wnioskowania statystycznego
ocenia wysokość składki ubezpieczenia samochodów od uszkodzeń i kradzieży: bada się częstość tego rodzaju zdarzeń, przeciętną wysokość szkody
w zależności od wartości samochodu itp. Badania te przeprowadza się na
pewnej niewielkiej (w stosunku do wszystkich) liczbie samochodów. Firma
produkująca makarony zainteresowana jest określeniem popytu na określony
2.3. WNIOSKOWANIE
181
rodzaj makaronu: badania przeprowadza się na niewielkiej liczbie konsumentów. Ośrodek badania opinii publicznej chce przewidzieć wyniki wyborów
prezydenckich11 : ankietuje pewną liczbę uprawnionych do głosowania. Wyniki tych badań zostają statystycznie (tzn. zgodnie z zasadami statystyki)
uogólnione. To statystyczne uogólnienie obejmuje określenie wiarygodności
(w) oraz wskazuje dopuszczalną wielkość błędu (b).
Najogólniej rzecz biorąc:
Definicja 2.36. Wnioskowanie statystyczne (indukcja statystyczna)
to wnioskowanie, w którym przesłanka stwierdza, że dla p% z m wypadków
n przedmiotów a1 , . . . , an należących do rodzajów, odpowiednio: R1 , R2 ,
. . . , Rn , czyli próby, zachodzi prawidłowość P [P(ai1 , . . . , ain ), 1 ≤ i ≤
m] a wniosek — że ze stopniem wiarygodności w dla (p ± b)% wszystkich
wypadków n przedmiotów a1 , . . . , an należących do rodzajów, odpowiednio:
R1 , R2 , . . . , Rn , czyli populacji, zachodzi prawidłowość P.
Badanie statystyczne jest pełne wówczas i tylko, gdy badanie obejmuje
całą populację, czyli próba jest taka sama jak populacja. Badanie statystyczne częściowe to badanie statystyczne, które nie obejmuje całej populacji, czyli w którym próba jest mniejsza od populacji.
Decyzja na badanie częściowe, podobnie jak w wypadku wnioskowania
przez indukcję enumeracyjną niezupełną, uwarunkowana jest racjami pragmatycznymi: wielkość populacji może wykluczać jej zbadanie ze względów
ekonomicznych lub czasowych, niektóre elementy populacji mogą być trudno
dostępne lub w ogóle niedostępne dla badań, badanie może wiązać się ze
zniszczeniem badanych obiektów itd.
Wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną jest skrajnym wypadkiem
wnioskowania statystycznego: wnioskowanie statystyczne jest wnioskowaniem przez indukcję enumeracyjną niezupełną, gdy we wszystkich badanych
wypadkach, czyli gdy p = 100%, dla n przedmiotów należących do rodzajów
R1 , R2 , . . . , Rn zachodzi prawidłowość P. We wnioskowaniu przez indukcję
enumeracyjną niezupełną jeden wypadek n przedmiotów należących do rodzajów R1 , R2 , . . . , Rn , dla których nie zachodzi prawidłowość P, powoduje
11
Systematyczne badania tego rodzaju zostały zapoczątkowane przez George’a Horacego
Gallupa (1901–1984). W 1936 r. bardzo dokładnie przewidział wyniki wyborów prezydenckich w Stanach Zjednoczonych Ameryki (wybrano wówczas Franklina D. Roosevelta).
Pierwsza pomyłka w przewidywaniach miała miejsce w 1948 r. gdy prezydentem wybrano
Harry S. Trumana, jak się okazało w związku niewzięciem pod uwagę dużej grupy niezdecydowanych wyborców w badaniu przeprowadzonym na dwa tygodnie przed wyborami.
Później Gallup przyjął, że niezdecydowani głosują przede wszystkim na osobę sprawującą
urząd.
182
odrzucenie wniosku. We wnioskowaniu statystycznym takie przypadki mają
jedynie wpływ na wielkość procentu p. Stosowanie aparatu statystyki matematycznej jest tym, co różni istotnie wnioskowania statystyczne od wnioskowań przez indukcję enumeracyjną niezupełną. Zapoznamy się z niektórymi
pojęciami teorii wnioskowań statystycznych rezygnując z ich ścisłego opisu,
jest on bowiem możliwy tylko z zastosowaniem aparatu statystyki matematycznej.
Wnioskując coś o wielkiej liczbie przypadków na podstawie informacji
o małej ich liczbie zakładamy, że ta mała grupa zbadanych przypadków,
zwykle określana jako próba, reprezentuje tę dużą grupę przypadków,
którą nazywa się populacją. To reprezentowanie ma miejsce wówczas, gdy
stosowne cechy przypadków składających się na pobraną próbę są typowe dla
reprezentowanej grupy. Dla uogólnienia statystycznego stopień uzasadnienia
wniosku istotnie zależy od tego, jak trafnie została dobrana próba.
Podobnie jak w wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną, stopień uzasadnienia wniosku wzrasta wraz ze wzrostem liczby zbadanych przypadków. Jak wielką próbę należy rozważyć, aby móc uznawać
wniosek? Zbyt mała nie daje podstaw do uznania, za duża zbyt wiele «kosztuje». Odpowiedź na postawione pytanie zależy od określenia dwóch czynników: przedziału ufności (marginesu błędu, stopnia dokładności),
jaki dopuszczamy i poziomu ufności (stopnia wiarygodności), którego
oczekujemy.
Dla ułatwienia zrozumienia, czym są te czynniki, rozważmy przykład
pomiaru odcinków. Powiedzmy, że mamy dziesięć odcinków, których długości są wyrażone w w milimetrach: 98.9, 99.5, 99.55, 99.98, 99.999, 100.01,
100.02, 100.45, 100.5, 101.4. Mierząc z dokładnością do 0.01 mm, mamy dwa
odcinki długości 10 cm (99.999, 100.01), czyli 20% wszystkich odcinków. Jeśli mierzymy z dokładnością do 0.1 mm, długość 10 cm mają odcinki: 99.98,
99.999, 100.01, 100.02, tj. 40% wszystkich odcinków. Jeśli zwiększymy dopuszczalny błąd pomiaru i mierzymy z dokładnością do 1 mm, długość 10 cm
mają odcinki: 99.5, 99.55, 99.98, 99.999, 100.01, 100.02, 100.45, 100.5, czyli
8 odcinków, co daje 80% ich ogólnej liczby. Jeśli wykonujemy pomiary, powiedzmy z dokładnością do 5 mm, wszystkie nasze odcinki mają długość 10
cm. Stopień pewności, że wskazany odcinek ma długość 10 cm zależy od
przyjętego dopuszczalnego błędu pomiaru. Gdy będzie to 0.01 mm, to ten
stopień pewności wynosi 20%, 0.1 mm — 40%, 1 mm — 80%, 5 mm —
100%.
Powiedzmy, że chcemy określić, jaki procent z 50.000 studentów uniwersytetów podziela poglądy demokratyczne.
2.3. WNIOSKOWANIE
183
Po pierwsze, musimy zdecydować się na wielkość dopuszczalnego błędu.
Niech ten błąd wynosi 5%. Wielkość błędu w publikowanych wynikach wskazywana jest np. frazami „z dokładnością do 5%”, „plus minus 5%”. Niech
z badań ankietowych wynika, że 40% studentów to demokraci. W tym wypadku mamy prawo twierdzić, że od 35% do 45% studentów podziela poglądy
demokratyczne. Przedział ufności tych badań mieści się między 35% a 45%.
Badania są przeprowadzone ze stopniem dokładności 5% — margines błędu.
Po drugie, musimy określić oczekiwany poziom ufności lub stopień wiarygodności. Chcemy wiedzieć, z jakim stopniem pewności można przyjąć uogólnienie. Gdy przyjmiemy 90-procentowy poziom wiarygodności, to dziesięciu
demokratów poza jednym znajdzie się w przedziale ufności, czyli między 35%
a 45%. Osiągnięcie tego przedziału ufności przy dopuszczalnym 5% błędzie
jest możliwe — jest to wynik obliczeń statystycznych — po określeniu poglądów 270 studentów. Okazuje się — są to wyniki obliczeń statystycznych —
że w wypadku, gdy próba liczy 270 studentów można dokonać uogólnienia
z prawie takim samym poziomem ufności i takim samym marginesem błędu
również wtedy, gdy populacja liczy 6.000, 25.000, 50.000 lub 500.000. W wypadku statystycznego uogólnienia procent populacji, który stanowi próba,
jest zwykle bez znaczenia dla poziomu ufności. Ten zaskakujący fakt daje
praktyczną możliwość sprawnego przeprowadzania badań ankietowych.
Im mniejszy margines błędu zamierzamy tolerować i im większego stopnia
ufności oczekujemy, tym próba musi być większa. Poniższa tabela ilustruje
te zależności dla wypadku, gdy populacja liczy 330.000, przy założeniach,
że przynajmniej połowa populacji ma cechę, która nas interesuje i że jest to
populacja jednorodna ze względu na badaną charakterystykę.
Ufność:
Margines
99%
błę-
1%
2%
3%
4%
5%
du:
10%
95%
90%
80%
16.650 9.600 6.725 4.100
4.163 2.400 1.681 1.025
1.850 1.067 747 456
1.041 600 420 256
666 384 269 164
154
96
68
41
Zwykle grupy, których cechy badamy, nie są jednorodne. Podobnie jak
w wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną należy
dążyć do jak największego zróżnicowania branych pod uwagę członków grupy.
Jest to jeden ze sposobów zwiększania poziomu ufności uogólnienia.
184
Powiedzmy, że prowadzimy badania cen w sklepach z artykułami spożywczymi. Poziom ufności będzie różny w wypadkach, gdy pod uwagę weźmiemy
tylko ceny:
1. chleba,
2. chleba, bułek, ziemniaków i marchwi;
3. chleba, bułek, ziemniaków, marchwi, jabłek i ryżu.
W wypadku 3 wyniki naszych badań będą miały największy stopień wiarygodności.
Jak wybrać próbę, aby była możliwie reprezentatywna? Najbardziej powszechną praktyką jest przeprowadzenie badań na próbie losowej.
Definicja 2.37. Próba losowa to taka próba, w której każdy element populacji ma jednakowe szanse bycia elementem tej próby.
Losowy charakter próby nie gwarantuje jeszcze jej reprezentatywności.
Czyni ją jednak prawdopodobną. Próba taka wystarcza w wypadku, gdy
populacja jest jednorodna. Jednak w wypadku, gdy tak nie jest, lepiej przeprowadzić badania na ustratyfikowanej próbie losowej. Populacja dzielona jest na podgrupy charakterystyczne dla badanej cechy. W ramach każdej podgrupy brana jest próba losowa. Wyborców ze względu na preferencje
wyborcze w wyborach prezydenckich można podzielić np. na mieszkańców
miast i mieszkańców wsi. Można podzielić ze względu na rodzaj wykształcenia: zawodowe, średnie, wyższe. Preferencje zależą też od sytuacji społecznej
— inaczej zachowują się w wyborach osoby uczące się a inaczej pracujące,
jeszcze inaczej bezrobotne. Te podziały można krzyżować uzyskując więcej
podgrup. Z każdej podgrupy należy wziąć próbę losową tak, aby proporcje
liczbowe tych prób losowych były takie same, jak proporcje liczbowe podgrup
w populacji.
Uzyskanie próby losowej nie jest sprawą prostą. Idealna metoda polegałaby na ponumerowaniu wszystkich elementów populacji i wybór próby
przez losowy ciąg liczb. Po pierwsze, jest jednak sprawą trudną ponumerowanie elementów niektórych populacji. Jak np. ponumerować wróble, nawet
gdyby chodziło o wróble w jednym mieście? Tylko pozornie prościej wygląda
to w wypadku ludzi. Powiedzmy, że w wyborach prezydenckich biorą udział
tylko ludzie, którzy mają PESEL. Jednak oprócz pełnej listy PESEL potrzebne są jeszcze nazwiska i adresy wylosowanych osób, a to należy do sfery
prywatności i jest zastrzeżone. Po drugie, gdyby nawet udało się dotrzeć
do wszystkich wybranych osób, to może się zdarzyć, że dana osoba odmówi
2.3. WNIOSKOWANIE
185
udzielenia stosownych odpowiedzi. Powody nieudzielania odpowiedzi bywają różne. Począwszy od braku czasu, a na obawie przed wypełnianiem
jakichkolwiek druków skończywszy. Osoba ankietowana nawet w wypadku
zachowania pełnej anonimowości i dyskretności może też udzielić odpowiedzi fałszywej. Na przykład w wyborach prezydenckich w 1995 r. część osób,
które głosowały na A.K., w wypełnianych przez siebie anonimowych ankietach nie potwierdzała faktu, że głosowała na A.K. Wyniki uzyskane z ankiet
wskazywały na minimalną wygraną L.W. Wybory wygrał zaś A.K.
Zwykle wybór ankietowanych osób dokonywany jest w sposób mniej idealny niż poprzez ponumerowanie wszystkich członków populacji. Ankieterzy
korzystają np. z książek telefonicznych. Przeprowadzana w ten sposób ankieta na temat preferencji przy zakupach kurtek zimowych nie uwzględnia
tych, którzy nie posiadają telefonów i przez to dane tej ankiety mogą być
zafałszowane, jeśli chodzi np. o akceptowane ceny kurtek. Zagrożeniem
dla ankiety w sprawie kosmetyków samochodowych przeprowadzonej według
wylosowanych numerów rejestracyjnych jest fakt, że nie wszyscy posiadacze
samochodów mają jednakowe szanse, większe mają ci, którzy mają więcej
niż jeden samochód. Losowanie według numerów praw jazdy uwzględnia
również osoby, które mają prawo jazdy, ale nie mając samochodu nie są
nabywcami kosmetyków samochodowych. Praktykowane sposoby ankietowania przechodniów na ulicy, tzw. sonda uliczna, budzą jeszcze mniej zaufania. Grupa ankietowana nie jest próbą losową — nie każdy bowiem ma
jednakowe szanse znajdowania się w danym czasie w danym miejscu
Próbę można określić przez samowybór. Jest to sposób budzący szereg
zastrzeżeń. W telewizyjnym programie „100 pytań do . . . ” komputer rejestruje telefony na „tak” i na „nie”. Próba jest wynikiem samowyboru: do
próby należą tylko ci, którzy sami zdecydowali się na to. Decyzja w sprawie
bycia respondentem lub nie zależy od zainteresowania ludzi danym problemem i ich możliwości czasowych, technicznych, finansowych (opłata za rozmowę telefoniczną) itp. Wyniki ankiet rozprowadzanych przez czasopisma
z trudem daje się uznać za rzetelnie przedstawiające opinie czytelników danego czasopisma, a co dopiero gdyby chcieć je uogólnić np. na wszystkich
obywateli państwa. Decyzja o nadesłaniu odpowiedzi na ankietę jest decyzją czytelnika pisma i powstała w ten sposób próba jest daleka od próby
losowej. Opinie wyrażane w listach do parlamentu to opinie ludzi, którzy
sami zdecydowali się napisać list. Próba powstaje więc na drodze samowyboru. Uogólnienia danych zebranych na próbie będącej wynikiem samowyboru mogą być interesujące, nie mogą być jednak uznane za reprezentatywne
i oparte na nich statystyczne uogólnienie budzi wątpliwości.
Zwykle nie wszyscy, którzy znaleźli się w reprezentatywnej próbie losowej,
186
odpowiadają na pytania ankiety. Czy mimo to próba pozostaje reprezentatywna? Byłoby tak, gdyby grupa, która nie udzieliła odpowiedzi powstała
poprzez wybór losowy. Najczęściej jednak tak nie jest. W wypadku badań
populacji obejmującej całe społeczeństwo należy się np. liczyć z brakiem
odpowiedzi ze strony ludzi z najniższego i najwyższego szczebla drabiny społecznej. Z tego powodu nawet najstaranniej dokonana próba losowa nie może
dawać wyników, które można przyjmować bez zastrzeżeń.
Zadania
Zadanie 2.18. Wskaż w poniższych tekstach wnioskowania redukcyjne.
1. Przeciwnicy kary śmierci, abolicjoności, twierdzą, że karę śmierci należy znieść ponieważ jest ona okrutna i niezwyczajna, i dlatego jest
karą niedopuszczalną. Według nich nic co pozbawia człowieka życia
nie może być zwyczajną karą, i jest to okrucieństwo wobec każdego,
kto oczekuje końca swych dni przed powieszeniem, spaleniem na krześle elektrycznym lub zagazowaniem. Zatem jakikolwiek byłby to skuteczny środek zapobiegający przestępczości, egzekucja jest złem i musi
być odrzucona.
2. Odrzucamy argument tych, którzy twierdzą, że powinno się odstąpić
od wymierzania kary śmierci 16- i 17-letnim przestępcom dlatego, iż
nie jest to zgodne z uprawnionymi celami kary. Ich zdaniem bowiem
kara ta nie odstrasza ponieważ młodzi mając mniej niż dorośli rozwinięte zdolności poznawcze, w mniejszym stopniu obawiają się śmierci.
Ponadto nie jest spełniony również warunek retrybucji — młodzi są
mniej dojrzali i odpowiedzialni, a tym samym mniej moralnie odpowiedzialni.
3. Edukacja jest tak stara jak ludzkość. W każdym wieku i we wszystkich
społeczeństwach zawsze czyniono coś, aby przekazać następnym pokoleniom wiedzę i wartości, które stanowiły podstawę kultury. Zawsze
występowały trudności, ponieważ żadne społeczeństwo nie wypracowało systemu edukacji, który w pełni i całkowicie realizowałaby dualne
potrzeby — zachowania zdrowych wartości oraz wspierania innowacji
i tworzenia nowych idei właściwie służących potrzebom wzrastającej
i zmieniającej się kultury.
Zadanie 2.19. Czy przytoczona argumentacja jest poprawna?
Wszystkiemu winne są ogórki. Praktycznie wszyscy chronicznie chorzy jedli
2.3. WNIOSKOWANIE
187
ogórki. 99,9% ludzi umierających na raka jadło ogórki. 99,7% ludzi, którzy
zginęli w wypadkach, czy to drogowych, czy lotniczych, jadło ogórki. 93,1%
przestępców pochodzi z rodzin, w których jedzono ogórki.
Zadanie 2.20. Podaj przykład wnioskowania uprawdopodobniającego, w którym dołączenie nowej przesłanki:
1. wzmacnia wniosek,
2. osłabia wniosek,
3. wyklucza wniosek.
Zadanie 2.21. Latem 1996 r. informowano o wynikach badań przeprowadzonych w Brazyli. Obserwacji poddano grupę królików na wysoko tłuszczowej
diecie. Części tych królików podawano wino. Okazało się, że króliki, którym
podawano czerwone wino były mniej zagrożone chorobami serca niż króliki,
którym wina nie podawano. Czy wyniki tych badań można odnieść do ludzi?
Zadanie 2.22. Oceń poprawność rozumowania:
Na ocenę wartości dzieła wpływa wiedza o tym, ile czasu autor poświęcił
na jego stworzenie. W Journal of Experimental Social Psychology opisane
zostały badania przeprowadzone przez Justina Krugera.
W jednym z badań 144 studentów losowo podzielono na dwie grupy.
Oceniali oni atrakcyjność wiersza współczesnego poety na skali od 1 (bardzo
zły) do 11 (rewelacyjny). Jedną grupę poinformowano, że poeta stworzył
wiersz w ciągu 4 godzin, a drugiej powiedziano, że potrzebował na to aż 18
godzin. Badani przeliczali również wartość wiersza na sumę pieniędzy, jaką
— ich zdaniem — powinien otrzymać autor za jego publikację w czasopiśmie
literackim.
Zgodnie z przewidywaniami badaczy, studenci przekonani, że poeta spędził nad pisaniem utworu 18 godzin, oceniali go bardziej przychylnie. Uważali też, że skoro praca nad wierszem zajęła aż tyle czasu, to honorarium za
publikację powinno wzrosnąć.
Uczeni twierdzą, że z heurystyki wysiłku korzystamy niemal codziennie.
Jako konsumenci, recenzenci, pracodawcy lub nauczyciele często oceniamy
jakość pracy innych osób. Im więcej ktoś włożył wysiłku w oceniane dzieło,
tym więcej warte nam się ono wydaje.
Zadanie 2.23. Na podstawie analizy opisanych badań wskaż możliwe źródła
błędów w badaniach statystycznych.
188
Centralny Ośrodek Badań Społecznych (CBOS) na zlecenie Fundacji im.
Batorego przeprowadził badania opinii publicznej na temat partii politycznych, które postrzegane są jako najbardziej skorumpowane. W raporcie opublikowanym 5 września 2006 r. podano, że że za najbardziej skorumpowane
partie respondenci uznali: PiS (35 proc. wskazań), Samoobronę (10 proc.),
LPR (9 proc.), PO (9 proc.), SLD (8 proc.) oraz PSL (3 proc.).
Wskutek protestów zainteresowanych stwierdzono, że wystąpił błąd informatyczny w trakcie prac obliczeniowych (z tego powodu „autorka raportu,
CBOS oraz Fundacja im. Stefana Batorego wyrażają ubolewanie i przepraszają wszystkich zainteresowanych za zaistniałą sytuację”). Zgodnie ze
zweryfikowanymi danymi, wśród partii, które respondenci postrzegają jako
skorumpowane, na pierwszym miejscu znalazły się: Samoobrona i SLD (po
2,8 proc. wskazań spośród wszystkich objętych badaniem), a na dalszych
miejscach: PiS (1,47 proc.), LPR (0,94 proc.), PO (0,7 proc. wskazań)
i PSL (0,1 proc.).
Badanie zostało zrealizowane w czerwcu i lipcu przez COBS na losowej próbie 950 dorosłych Polaków. Na pytanie o to, które partie respondent
uważa za skorumpowane, odpowiadało 336 osób, tzn. tyle ile wcześniej wskazało politykę jako skorumpowaną dziedzinę życia społecznego. Badani mogli
wskazać bądź to różne partie, instytucje i urzędy, bądź poszczególnych polityków.
Zadanie 2.24. Na podstawie analizy poniższego tekstu odpowiedz na pytanie
o
1. wiarygodność badań opinii publicznej,
2. przydatność badań opinii publicznej,
3. założenia badania opinii publicznej.
Ponad 317 tysięcy osób wzięło udział w największej chyba światowej
ankiecie dotyczącej zachowań seksualnych. Uwagę mediów zwrócił zwłaszcza fakt, że średnia światowa wynosi dziś 103 stosunki seksualne rocznie.
W Hiszpanii wynik był nawet nieco lepszy — 105 stosunków na rok, choć
liderami w tej dziedzinie okazali się Grecy (ze 138 stosunkami rocznie), zaś
Japończycy znaleźli się na szarym końcu listy podając, że współżyją zaledwie
45 razy w roku.
„Czy rzeczywiście kochamy się dwa razy w tygodniu?” — zapytałem
dwanaście osób z mojego środowiska. Większość z nich zareagowała na to ze
sceptycyzmem, a nawet z pewną zawiścią. Specjaliści od sondaży ostrzegają,
że badania przeprowadzono na zbyt małej liczbie osób, by można z nich było
2.3. WNIOSKOWANIE
189
wysnuć wiarygodne wnioski. Poza tym czy warto ufać odpowiedziom setek
anonimowych internautów w przypadku tak osobistego pytania?.
Firmy sondażowe zdają sobie doskonale sprawę, że respondenci nie zawsze
szczerze odpowiadają na zadane im pytania. Gdy mowa jest o alkoholu czy
papierosach, zaniżają ilości spożywanych używek, a zapytani o seks, chętnie
przechwalają się swoimi wyczynami.
Antonio Casaubon, przewodniczący Hiszpańskiej Federacji Stowarzyszeń
Seksuologicznych (FESS) wyjaśnia: „W tego typu ankietach mężczyźni chętnie kłamią zawyżając swoje wyniki, podczas gdy kobiety — wręcz przeciwnie
— wolą je zaniżyć. Tym trudniej wydedukować, czy wynik badania zawiera
błąd. Ponadto musimy zdać sobie sprawę, że tego typu dane są tylko orientacyjne”.
„Dlaczego mężczyźni kłamią?” — pytam. „Z powodu panującego stereotypu — słyszę w odpowiedzi. — W Hiszpanii wszyscy muszą być macho:
bardzo męscy i zdecydowani. Ponadto każdy z nas ma tendencję do udzielania takiej odpowiedzi, jakiej się po nim można spodziewać. W rezultacie
podajemy nieprawdę, myląc nasze pragnienia z faktycznym stanem rzeczy”.
Ale dlaczego liczby są dla nas takie ważne? Częstotliwość współżycia seksualnego zawsze była istotnym tematem. Dawniej sądzono, że zbyt częste
uprawianie miłości może prowadzić do poważnych szkód w naszym zdrowiu
fizycznym i psychicznym. Obecnie niepokoi nas, że nie staniemy na wysokości zadania, a przyznanie się do częstej abstynencji może zostać uznane
za nienormalne. Zawsze istniały kryteria określające zalecaną częstotliwość
współżycia. Psychiatra Jesús Ramos zajmujący się seksuologią kliniczną
opisał modele zachowania zalecane w różnych epokach historycznych. Talmud mówi, że mężczyzna, jeśli tylko zawód mu na to pozwala (gdy nie jest
marynarzem opuszczającym dom na długie tygodnie), powinien współżyć
ze swoją żoną codziennie. Jeden z listów świętego Pawła do Koryntian zaleca, aby małżonkowie uprawiali seks z taką częstotliwością, która pozwoli
im trzymać na wodzy swoje grzeszne instynkty, gdyż nadmierna abstynencja
może dodatkowo rozniecić ich żądze.
Silvia de Bejar, autorka popularnonaukowych książek na temat seksualności uważa, że nie powinniśmy oceniać naszej intymności za pomocą liczb.
Po pierwsze zupełnie niepotrzebnie zaczynamy wtedy porównywać się do innych, a po drugie takie porównania mogą budzić nasz niepokój. Dlatego
pisarka radzi, aby każdy z nas postawił sobie pytanie: „Czy naprawdę wierzysz w odpowiedzi pochodzące z internetowej ankiety?”.
Wiemy przecież doskonale, że w tego typu badaniach dochodzi do wstępnej selekcji ankietowanej grupy i zazwyczaj pytania kierowane są do najmłodszych, najaktywniejszych członków społeczeństwa. Jest rzeczą zdumie-
190
wającą, że tego typu ankiety odbijają się później tak wielkim echem w mediach. Pogoń za sensacją prowadzi do umieszczania na czołówkach takich oto
tytułów: „65 procent Hiszpanów kocha się w samochodzie!”, do czego mniejszymi literkami należałoby dopisać, że wcale nie zamienili oni na stałe łóżka
na samochód, tylko okazjonalnie zdarzyło im się uprawiać seks w samochodzie. Albo: „11 procent mieszkańców Madrytu gotuje nago”, co nie znaczy,
że co dziesiąty madrileno jest zatwardziałym nudystą. Po prostu niektórzy
z nich przyznają, że kiedyś zdarzyło im się gotować coś bez ubrania.
Zadanie 2.25. Co sądzisz o wypowiedzi Gallupa?:
I could prove God statistically.
Mógłbym statystycznie dowieść istnienie Boga.
Zadanie 2.26. Jakie założenia można/trzeba przyjąć, aby ugruntować badania opinii publicznej? W odpowiedzi wykorzystaj myśl Gallupa:
The common people of America display a quality of good common sense which is heartening to anyone who believes in the
democratic process.
Zwykli ludzie Ameryki wykazują zdrowy rozsądek, który umacnia każdego, kto wierzy w demokratyczne procedury.
Zadanie 2.27. Przeprowadź analizę uzasadnienia tezy, że ojcowie córek częściej chorują na raka prostaty.
Posiadanie samych córek może wskazywać u ojca na zwiększone ryzyko
rozwoju raka prostaty. Przyczyną tej zbieżności może być wada męskiego
chromosomu płciowego Y. Naukowcy zbadali ponad 38 tys. mężczyzn. U 712
z nich stwierdzili raka prostaty. Później dane o rodzinach tych mężczyzn
porównali z danymi o rodzinach zdrowych osób.
Ostatecznie okazało się, że w porównaniu z mężczyznami mającymi przynajmniej jednego syna ojcowie samych córek mieli o 40 proc. większe ryzyko
rozwoju raka prostaty. Ryzyko rosło do 60 proc., gdy mężczyzna miał trzy
lub więcej córek i żadnego syna.
Naukowcy szukali wyjaśnienia tej wyraźnej różnicy. Ponieważ problemy
z prostatą często wykrywa się jedynie przy rutynowych badaniach, naukowcy
nie wykluczają, że życie w sfeminizowanej rodzinie może sprawiać, że mężczyzna bardziej dba o zdrowie i częściej się bada — rośnie więc nie tyle ryzyko
choroby, co prawdopodobieństwo jej wykrycia.
Niewykluczone też, że mężczyźni posiadający same córki mogą częściej
trafiać do lekarza i na odpowiednie badania, chcąc wykluczyć ewentualne
problemy związane ze zdolnością do spłodzenia syna.
2.3. WNIOSKOWANIE
191
Naukowcy nie posiadali danych potwierdzających te spekulacje. Za to
zasugerowali, że fakt płodzenia samych córek i ryzyko raka prostaty mogą
się wiązać z czynnikiem genetycznym.
Aby zapłodnić komórkę jajową, mężczyźni przekazują w nasieniu jeden
chromosom płciowy. Jeśli będzie to Y, urodzi się syn, X oznacza córkę.
Jak zasugerowali naukowcy, wady męskiego chromosomu Y mogą nie
tylko wpływać na prawdopodobieństwo poczęcia lub rozwoju potomków płci
męskiej, ale i prowadzić do rozwoju raka prostaty.
Milla kanony indukcji eliminacyjnej
Do wnioskowań dedukcyjnych może być zaliczone wnioskowanie zwane indukcją eliminacyjną12 . Pierwszy systematyczny wykład tej teorii wnioskowań dał Franciszek Bacon (początek XVII w.). Istotne jej rozwinięcie
i klasyczne sformułowanie jest dziełem innego brytyjskiego filozofa, Johna
Stuarta Milla (połowa XIX w.). Indukcja eliminacyjna obejmuje pięć sposobów wnioskowania zwanych kanonami (jak nazywał je sam Mill) lub metodami Milla. Kanony te to metoda zgodności, metoda różnicy, połączona
metoda zgodności i różnicy, metoda reszt oraz metoda zmian towarzyszących.
Kanony indukcji eliminacyjnej Milla są pewnymi sposobami rozumowania. Można je postrzegać również jako metody heurystyczne, czyli narzędzia
znajdowania praw.
Sądzi się, że podstawą praw przyrody są związki przyczynowo-skutkowe
między zjawiskami. Na przykład w medycynie poszukuje się przyczyny
śmierci łóżeczkowej, która jest najczęstszym wypadkiem śmierci dzieci w wieku od tygodnia do jednego roku. Zdarza się to najczęściej w wypadku chłopców i w rodzinach o niskim statusie społecznym. Jak dotąd, żadne wyjaśnienia tego zjawiska nie okazały się w pełni zadowalające. Pisano już o nieprawidłowościach pracy serca dziecka, przegrzaniu, starych materacach pełnych
bakterii Helicobacter, a nawet o snach, pod wpływem których dziecku zdaje
się, że znów jest w macicy i nie musi oddychać. Najpopularniejsza teoria
wskazuje na niewłaściwą pozycję w czasie snu — na brzuchu.
O związku przyczynowo-skutkowym mówią również prawnicy, np. w uzasadnieniu wyroku z 29 lipca 1996 r., uniewinniającego gen. Cz.K., mówi się
o braku dowodów na istnienie związku przyczynowego między szyfrogramem,
a tragicznymi wydarzeniami w kopalniach.
12
Oryginale sformułowania nasuwają szereg wątpliwości. Wnioskowanie przez indukcję
eliminacyjną zostało zinterpretowane jako dedukcyjne przez np. K. Ajdukiewicza.
192
Kanony Milla miałyby służyć do wykrywania przyczyny lub skutku jakiegoś zjawiska. Omówienie kanonów Milla musimy zatem poprzedzić próbą
zrozumienia, czym są przyczyna i skutek oraz czym jest związek przyczynowoskutkowy.
Związek przyczynowo-skutkowy Określenie, czym jest związek przyczynowo-skutkowy wymaga uprzedniego zdefiniowania pojęcia warunku koniecznego, pojęcia warunku wystarczającego oraz warunku konicznego i wystarczającego.
Definicja 2.38. Warunkiem koniecznym (conditio sine qua non) zjawiska Z jest różne od niego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli nie zaistnieje
zjawisko Z1 , to nie zaistnieje zjawisko Z.
Warunek konieczny zjawiska Z, to takie zjawisko Z1 , bez zaistnienia
którego nie może zaistnieć Z. Jest zatem tak, że jeżeli zachodzi zjawisko Z,
to również zachodzi zjawisko Z1 , czyli13 :
Z ⇒ Z1 .
Warunkiem koniecznym tego, aby żarówka świeciła, jest sprawność spiralki
jarzeniowej (aby nie była przepalona). Gdy spiralka jest przepalona, żarówka
nie będzie świecić. Jeżeli żarówka świeci, to jej spiralka nie jest przepalona.
Całość spiralki nie wystarcza jednak, aby żarówka świeciła. Spełnienie warunku koniecznego zjawiska Z nie musi pociągać za sobą zajścia tego zjawiska. Warunkiem koniecznym wymierzenia komuś kary pozbawienia wolności
jest uznanie tego kogoś za winnego popełnienia czynu niezgodnego z prawem. Uznanie kogoś za winnego popełnienia czynu niezgodnego z prawem
nie musi jednak pociągać za sobą kary pozbawienia wolności. Zjawisko może
mieć więcej niż jeden warunek konieczny. Na przykład warunkami koniecznymi wymierzenia komuś kary pozbawienia wolności są uznanie tego kogoś za
winnego czynu zagrożonego karą pozbawienia wolności, uznanie tego kogoś za
poczytalnego, odpowiedni wiek. Pytanie, czy każde zjawisko musi mieć jakiś
warunek konieczny, jest pytaniem ontologicznym i wiąże się z zagadnieniem
przyczynowości.
Definicja 2.39. Warunkiem wystarczającym zjawiska Z jest różne od
niego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli zaistnieje zjawisko Z1 , to zaistnieje
zjawisko Z.
13
Przyjmujemy, że „Z” i „Z1 ” są zdaniami.
2.3. WNIOSKOWANIE
193
Warunkiem wystarczającym zjawiska Z jest zjawisko Z1 takie, że nie
może być tak, aby zaistniało Z1 , a nie zaistniało Z, czyli14 :
Z1 ⇒ Z.
Warunkiem wystarczającym świecenia się żarówki są:
1. sprawność żarówki
i
2. podłączenie do prądu elektrycznego o parametrach właściwych dla danej żarówki.
Zjawisko może mieć więcej niż jeden warunek konieczny. Wszystkie warunki konieczne mogą łącznie tworzyć warunek wystarczający. Każdy z warunków 1 i 2 jest warunkiem koniecznym świecenia się żarówki. Łącznie
tworzą one warunek wystarczający. Jeśli tylko oba zjawiska, 1 i 2, będą
zachodziły, to żarówka będzie świecić.
Zjawisko może mieć więcej niż jeden warunek wystarczający. Na przykład na niektórych kierunkach studiów, aby zostać studentem, wystarczy
zdać egzamin wstępny lub wystarczy być laureatem olimpiady przedmiotowej zgodnej z tym kierunkiem studiów. Pytanie, czy każde zjawisko musi
mieć jakiś warunek wystarczający, jest pytaniem ontologicznym i wiąże się
z zagadnieniem przyczynowości.
Definicja 2.40. Warunkiem koniecznym i wystarczającym zjawiska
Z jest różne od niego zjawisko Z1 takie, że zawsze jeśli zaistnieje zjawisko
Z, to zaistnieje zjawisko Z1 oraz zawsze, jeśli zaistnieje zjawisko zjawisko
Z1 , to zaistnieje zjawisko Z.
Warunek konieczny i wystarczający zarazem to warunek, który jest konieczny i warunek, który jest wystarczający. Fakt, że Z1 jest warunkiem
koniecznym i wystarczającym zjawiska Z możemy wyrazić następująco15 :
(Z ⇒ Z1 ) ∧ (Z1 ⇒ Z)
lub w sposób równoważny:
Z ⇔ Z1 .
Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, by prostokąt był kwadratem,
jest równość jego boków. Takim warunkiem jest też równość przekątnych.
14
15
Zob. przypis 13.
Zob. przypis 13.
194
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby ciało poruszało się ruchem
przyśpieszonym jest, aby na to ciało działała nie zrównoważona siła.
Nazwa „przyczyna” może być użyte w znaczeniu „warunek konieczny”
i może być użyte w znaczeniu „warunek wystarczający”. Ta różnica w użyciu nazwy „przyczyna” ma charakter pragmatyczny, czyli znajduje oparcie
w naszej postawie wobec zjawiska, o którego przyczynie mowa.
Pytamy o przyczynę w sensie warunku koniecznego, gdy pytamy o przyczynę zjawiska niepożądanego, gdy jesteśmy zainteresowani jego eliminacją:
cessante causa, cessat effectus (gdy znika przyczyna znika skutek). Dla jego
wyeliminowania wystarcza usunięcie któregoś z warunków koniecznych. Lekarz mówiąc, że infekcja jest przyczyną choroby, mówi o przyczynie jako
warunku koniecznym choroby. Przepisuje lekarstwo, które tę przyczynę usunie. Wynikiem jej likwidacji będzie powrót pacjenta do zdrowia. Przyczyną
wysokiego bezrobocia w jakimś regionie jest niedorozwój gospodarczy tego
regionu. Jest to warunek konieczny, ale niewystarczający. W warunkach
systemu socjalistycznego bezrobocia nie ma mimo niedorozwoju gospodarczego. Trwałego rozwiązania problemu wysokiego bezrobocia w warunkach
gospodarki rynkowej dokonuje się poprzez wsparcie rozwoju gospodarczego
regionu, w którym występuje wysokie bezrobocie.
Pytamy o przyczynę w sensie warunku wystarczającego, gdy pytamy
o przyczynę zjawiska pożądanego, gdy jesteśmy zainteresowani zaistnieniem
tego zjawiska: durante causa durat effectus (dopóki działa przyczyna, trwa
skutek). Dla jego zaistnienia wystarcza stworzenie któregoś z warunków wystarczających. Pytamy więc o przyczynę dobrej kondycji fizycznej. Pytamy
o przyczynę wzrostu gospodarczego. W jednym i w drugim wypadku chodzi
nam o wszystko to, dzięki czemu — w pierwszym wypadku — ktoś utrzymuje
się w dobrej kondycji fizycznej, a w drugim — następuje wzrost gospodarczy.
W innym sensie niż jako warunek konieczny lub wystarczający o przyczynę pyta np. policja lub firma ubezpieczeniowa. Instytucjom tym chodzi
nie o zjawiska, lecz o działanie (lub brak działania) i jego sprawcę. Co
instytucjom tym przyszłoby z tego, że zostałby dobrze określony warunek
wystarczający pożaru, a nie byłoby odpowiedzi na pytanie, czy ktoś był jego
sprawcą?
Wskazane wyżej znaczenia terminu „przyczyna” nie wyczerpują wszystkich jego rozumień. Świadomość jego wieloznaczności jest dawna. Już np.
Arystoteles wyróżniał cztery rodzaje przyczyn: sprawczą, materialną, formalną i celową.
O zjawisku, dla którego wskazujemy przyczynę mówimy, że jest skutkiem tej przyczyny. Zjawisko-przyczyna i zjawisko-skutek pozostają ze sobą
w związku przyczynowo-skutkowym. W wypadku, gdy przyczyna ja-
2.3. WNIOSKOWANIE
195
kiegoś zjawiska ma przyczynę w innym zjawisku, a to w innym itd., mówimy
o łańcuchu przyczynowo-skutkowym. Jeśli mamy łańcuch przyczynowoskutkowy, to możemy mówić o przyczynie bezpośredniej (causa proxima),
bliższej i dalszej (causa ramota). Ma to miejsce dla ostatniego, trzeciego,
z omówionych rozumień słowa „przyczyna”. Na przykład, bezpośrednią przyczyną pożaru fabryki było zaprószenie ognia przez jej właściciela. Pośrednią
przyczyną była chęć uzyskania odszkodowania od firmy ubezpieczeniowej.
Dalszą przyczyną był stan techniczny fabryki wymagający znacznych inwestycji modernizacyjnych. Oczywiście, przedstawiciel firmy ubezpieczeniowej
jest zainteresowany bezpośrednią przyczyną pożaru.
Dość powszechnie podzielana jest opinia, że «nic nie dzieje się bez przyczyny» (nihil fit sine causa). Myśl tę wyraża
Definicja 2.41. Zasada przyczynowości: dla zjawiska Z1 zachodzącego
w chwili t1 istnieje zjawisko Z2 zachodzące w chwili t2 wcześniejszej niż t1
(t2 < t1 ), które jest przyczyną zjawiska Z1 .
Słyszymy czasem, że «nic nie pozostaje bez skutku». Stwierdzeniu temu
można by nadać postać analogiczną do zasady przyczynowości. Byłaby to
Definicja 2.42. Zasada skutkowości: dla zjawiska Z1 zachodzącego w chwili t1 istnieje zjawisko Z2 zachodzące w chwili t2 późniejszej niż t1 (t1 < t2 ),
które jest skutkiem Z1 .
W opisie kanonów Milla pomija się stosunek wcześniej-później między
przyczyną a skutkiem i mówi się o nich po prostu jako o zjawiskach towarzyszących.
Żywimy przekonanie, że zjawisko może mieć więcej niż jedną przyczynę.
Przyczyną zwyżki cen ropy naftowej może być groźba wojny w Zatoce Perskiej, może być spadek wydobycia i eksportu z obszarów byłego Związku
Radzieckiego, może być zwiększony popyt powstały przez zlecenia wojskowe
na uzupełnienie zapasów strategicznych, może być zmowa największych eksporterów w sprawie podwyżki cen itd. Każda ze wskazanych przyczyn jest —
jak się zdaje — warunkiem wystarczającym. Idea wielości przyczyn jest niezgodna z koncepcją dokładnie jednej przyczyny danego skutku, czyli zasadą
jedności przyczyny. Ma to być jedna przyczyna, choć może być złożona,
może składać się z wielu czynników, które wszystkie muszą zachodzić, aby
zaszedł dany skutek. Gdyby w wypadku przykładu ze wzrostem cen ropy
chcieć pogodzić przekonanie o różnych przyczynach z koncepcją jednej przyczyny, to można przyjąć, że choć zwyżka cen ropy w ogóle ma wiele przyczyn,
to ta oto zwyżka cen ma dokładnie jedną przyczynę. Pozorna wielość przyczyn znika, gdy skutek jest opisany wystarczająco szczegółowo. Idei wielości
196
przyczyn przeciwstawia się stwierdzenie, że „każda różnica musi powodować
różnicę”. Jeśli skutki się nie różnią, to i ich przyczyny się nie różnią.
Zdanie do powyższego odwrotne, a mianowicie: „ jeśli przyczyny się nie
różnią, to ich skutki się nie różnią” lub — co na jedno wychodzi — „podobne przyczyny powodują podobne skutki” wyraża zasadę dającą podstawę
dla możliwości praw przyczynowych, czyli zdań stwierdzających zachodzenie
związku przyczynowo-skutkowego pomiędzy zjawiskami z jednej określonej
klasy zjawisk-przyczyn i zjawiskiem z innej określonej klasy zjawisk-skutków.
Prawa przyczynowe mają stosować się do sytuacji rzeczywistych. Sytuacje rzeczywiste są konkretne. Zatem odkrycie prawa przyczynowego wiąże
się z pojęciowaniem, inaczej konceptualizacją. Konkretny wypadek przyczyny musi być desygnatem pewnego pojęcia, podobnie skutek. Prawo
musi być ogólne, czyli stosować się do pewnej klasy związku przyczynowoskutkowego. W wypadku nietrafnego wyróżnienia klasy zjawisk, które miałyby być przyczynami, lub klasy zjawisk, które miałyby być skutkami, nie
dochodzi do właściwego uchwycenia związku przyczynowo-skutkowego. Na
przykład, gdy nie odróżnia się dwóch rodzajów wirusów powodujących różne
schorzenia, nie można sformułować prawa mówiącego o związku przyczynowoskutkowym między infekcją a schorzeniem. Podobnie, gdybyśmy nie odróżniali dwóch rodzajów schorzeń powodowanych przez różne infekcje. Gatunki
zwierzęce nie są czymś oczywistym samo przez się. Mają one podstawy
w rzeczywistości. Jednak człowiek ostatecznie zdecydował o takim a nie innym rozumieniu, co to jest ryba i co to jest ssak. Ten wybór podyktowany
względami nauk biologicznych spowodował, że wieloryb nie jest desygnatem nazwy „ryba”, a jest desygnatem nazwy „ssak” (nim w biologii tego
nie rozstrzygnięto, pojęcie ryby było takie, że jego desygnatami były wieloryby; reliktem tego rozumienia ryby jest nazwa wieloryba). Do dziś np.
utrzymał się pochodzący od Teofrasta (371–285 r. p.n.e.) podział roślin na
zielne, krzewy i drzewa. Zajmujący się biologią molekularną zgłaszają wątpliwości co do trafności dotychczasowej systematyki świata ożywionego. Generalizacja, czyli uogólnienie obserwowanych związków między określonymi
zjawiskami-przyczynami i określonymi zjawiskami-skutkami oraz sformułowanie prawa przyczynowego możliwe są wówczas, gdy mamy właściwe pojęcia (trafnie wyróżniamy klasy) zjawisk-przyczyn i zjawisk-skutków. O tym,
że nasze rozważania nie są czysto abstrakcyjne, świadczy to, iż np. dziś
jeszcze spotykamy się z poszukiwaniem istnienia związku przyczynowo-skutkowego między tym, jak ktoś spojrzał, a tym, że ktoś na kogo spojrzał zachorował, lub pomiędzy charakterem i losem kogoś, a tym, pod jakim znakiem
zodiaku ten ktoś się urodził.
2.3. WNIOSKOWANIE
197
Zadania
Zadanie 2.28. W podanych typowych kontekstach mowa o związku przyczynowo-skutkowym. W każdym wypadku scharakteryzuj ten związek jako
warunek konieczny lub/i wystarczający oraz poprzez miejsce w łańcuchu
przyczynowo-skutkowym (przyczyna dalsza lub bliższa).
1. Przyczyną dolegliwości był brak higieny.
2. Infekcja była przyczyną choroby.
3. Przyjęcie przepisanych lekarstw spowodowało ustąpienie choroby.
4. Śmierć nastąpiła wskutek uduszenia.
5. Awaria autobusu była przyczyną spóźnienia.
6. Wskutek zastosowania nowoczesnych maszyn nastąpiła poprawa jakości wyrobów.
7. Wirus był przyczyną awarii komputera.
8. Powodem rezygnacji z wyjazdu była zmiana pogody.
9. Niezrozumienie problemu było przyczyną nie zdania egzaminu przez
Jana.
10. Nieprawidłowe sędziowanie było przyczyną tego, że Tomasz Borowski
nie otrzymał medalu na olimpiadzie w Atlancie.
11. Zeznania świadka spowodowały zmianę postawy sędziów.
12. Nawożenie jest przyczyną wzrostu plonów.
13. Powódź spowodowały obfite deszcze.
14. Przyczyną nieurodzaju jest susza.
15. Wskutek mroźnej zimy i upalnego lata spadła produkcja.
16. Z powodu upałów zabrakła napojów chłodzących.
17. Brak sznurka do snopowiązałek spowodowany jest żniwami.
18. Czerwona płachta spowodowała agresywne zachowanie się byka.
198
19. Niechęć Jana do Piotra spowodowana jest dobrymi wynikami Piotra
w nauce.
20. Upadek jabłka na ziemię spowodowany jest przyciąganiem ziemskim.
Zadanie 2.29. Wskaż przyczyny i scharakteryzuj je:
1. wybuchu bomby w parku olimpijskim w trakcie olimpiady w Atlancie,
2. wzrostu gospodarczego w Polsce w latach 1995–1996,
3. wygranej 1.000.000 zł. przez Jana,
4. zostania ojcem przez Jana,
5. zostania wujkiem przez Jana,
6. zostania dziadkiem przez Jana,
7. odejścia z funkcji premiera przez J. Oleksego,
8. przegranej w wyborach prezydenckich przez L. Wałęsę,
9. katastrofy samolotu TWA i śmierci 230 pasażerów tego samolotu.
Zadanie 2.30. W jakim sensie mówi się o związku przyczynowo-skutkowym
w następującym tekście?
Naczelny Sąd Administracyjny stwierdził, że aby określony wydatek można
było uznać za koszt uzyskania przychodu, to między tym wydatkiem a osiągnięciem przychodu musi zachodzić związek przyczynowo-skutkowy tego rodzaju, iż poniesienie wydatku ma wpływ na powstanie lub zwiększenie przychodu.
Zadanie 2.31. Co jest przyczyną a co skutkiem?
Słuch absolutny to umiejętność rozpoznawania dowolnego dźwięku bez
konieczności odwołania się do jakiejkolwiek wysokości wyjściowej. Większość
muzyków, którzy podjęli naukę muzyki przed ukończeniem 7 lat, ma taki
słuch. Prawie nikt natomiast jeśli kształcenie muzyczne rozpoczął po 11 roku
życia.
2.3. WNIOSKOWANIE
199
Indukcja eliminacyjna Dla uzasadnienia prawa przyczynowego stwierdzającego zachodzenie związku przyczynowo-skutkowego można wykorzystać wnioskowanie przez indukcję enumeracyjną (niezupełną — prawo winno
bowiem stosować się do nieograniczonej liczby wypadków). Wnioskowanie przez indukcję nie wyczerpuje jednak wszystkich sposobów uzasadniania praw przyczynowych. Do tego celu mogą być też wykorzystane metody
wnioskowania przez indukcję eliminacyjną, która ma jeszcze i tę zaletę, że
daje podstawę dla metod odkrywania praw przyczynowych. Dodajmy jednak, że sama taką metodą nie jest, choć inaczej sądził jej pomysłodawca,
Mill. Najogólniej rzecz biorąc
Definicja 2.43. Indukcja eliminacyjna jest wnioskowaniem, w którym:
1. jedna z przesłanek — pa — jest alternatywą (n + 1) zdań ogólnych
stwierdzających pewną prawidłowość dla zjawisk określonych rodzajów,
2. pozostałe przesłanki — p1 , p2 , . . . , pn — są zdaniami szczegółowymi zaprzeczającymi prawidłowościom stwierdzanym w poszczególnych członach alternatywy pa z wyjątkiem tylko jednego członu,
3. wniosek jest zdaniem ogólnym; członem alternatywy pa , który nie został zaprzeczony przez przesłanki szczegółowe p1 , p2 , . . . , pn .
Wnioskowanie przez indukcję eliminacyjną jest wnioskowaniem dedukcyjnym — prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku. Przesłanka pa jest alternatywą. Dla prawdziwości alternatywy konieczna jest
prawdziwość przynajmniej jednego jej członu. Ponieważ przesłanki p1 , p2 ,
. . . , pn wykluczają prawdziwość wszystkich członów z wyjątkiem jednego,
zatem ten jeden musi być prawdziwy. Człon ten jest wnioskiem, a więc
wniosek ma zagwarantowaną prawdziwość — jeśli tylko wszystkie przesłanki
są prawdziwe.
Poszczególne kanony różnią się głównie sposobem «eliminowania» (z wyjątkiem jednego) członów alternatywy pa .
Mill utrzymywał, że jego metody są:
1. regułami dowodzenia
oraz
2. narzędziem odkrywania praw (metodą heurystyczną).
200
Jeśli przyjąć zasadę przyczynowości, czyli uznać, że zjawisko ma wśród zjawisk mu towarzyszących swą przyczynę, oraz przyjąć zasadę jedności przyczyny, czyli uznać, że dane zjawisko ma tylko jedną przyczynę, powyższe
rozumowanie daje podstawę dla dyrektywy praktycznej:
Jeśli wiadomo, że jedno ze zjawisk Z1 , Z2 , . . . , Zn jest przyczyną
zjawiska Z to, aby znaleźć przyczynę Z, wystarczy dla każdego
poza jednym ze zjawisk Z1 , Z2 , . . . , Zn wskazać (na drodze eksperymentu lub obserwacji) takie sytuacje, w których zachodzi Z,
a to zjawisko nie zachodzi.
To, w jaki sposób wskazuje się sytuacje, w których jedno zjawisko zachodzi,
a drugie nie zachodzi różnicuje metody Milla.
Istotnym problemem praktycznym realizacji powyższej dyrektywy jest
wskazanie zjawisk Z1 , Z2 , . . . , Zn tak, aby wśród nich było zjawisko będące przyczyną zjawiska Z. Korzystając z zasady przyczynowości możemy
przyjąć, że wśród zjawisk towarzyszących zjawisku Z zawsze, kiedy tylko to
zjawisko wystąpi, będzie też miało miejsce zjawisko będące jego przyczyną.
Pozostawałby więc tylko problem identyfikacji zjawisk towarzyszących zjawisku Z. Należałoby przyjąć, że każde kilka zjawisk tworzy zjawisko złożone. Takie zjawisko, które nie dawałoby się zanalizować jako złożone to
zjawisko proste. Gdyby więc były wskazane absolutnie wszystkie zjawiska
towarzyszące zjawisku Z, to na mocy zasady przyczynowości uprawnione
byłoby stwierdzenie, że wśród tych zjawisk znajduje się zjawisko będące
przyczyną Z. Jeżeli zaś tak nie jest, jeśli wymienione są tylko proste —
jeśli to jest możliwe — dające się wyróżnić zjawiska towarzyszące zjawisku
Z, to uprawnione jest stwierdzenie, że jakaś kombinacja tych zjawisk jest
przyczyną Z, zaś te, które tę kombinację tworzą, są jej częściami. Można
więc przyjąć, że wśród prostych zidentyfikowanych zjawisk towarzyszących
zjawisku Z jest przyczyna lub część przyczyny zjawiska Z. Tak czy owak,
przesłanka pa nie jest prosta w sformułowaniu. Nie tylko trafne pojęciowanie, ale i trafne zaobserwowanie relewantnych zjawisk towarzyszących Z jest
ważne dla jej wyrażenia. Wszystko to wymaga dużego doświadczenia w dziedzinie przedmiotowej, w której zamierza się stwierdzić zachodzenie związku
przyczynowo-skutkowego.
Mimo tego że wnioskowanie według kanonów Milla — tak jak tu zostało przedstawione — jest wnioskowaniem dedukcyjnym, to jednak w wypadku, gdy przesłanka nie ma zagwarantowanej prawdziwości, również wniosek nie może mieć zagwarantowanej prawdziwości — wniosku nie możemy
więc uznać z całą pewnością, obciążony jest bowiem wątpliwościami, które
2.3. WNIOSKOWANIE
201
budzi przesłanka. Wniosek zaś może być uznany w stopniu nie przewyższającym żadnego ze stopni pewności, z jakimi uznane są przesłanki.
Metoda zgodności
Rozważmy wypadek dolegliwości żołądkowej trzech osób, które były razem
w kawiarni. Istnieje podejrzenie, że przyczyną jest skonsumowanie czegoś
niezdrowego. Jedna z tych trzech osób zjadła lody i wypiła kawę, druga jadła
lody i wypiła herbatę, trzecia zamówiła lody i coca-colę. Na tej podstawie
wnioskujemy, że przyczyną dolegliwości było zjedzenie lodów.
W naszym przykładzie z dolegliwością żołądkową z góry nie wzięliśmy
pod uwagę wszystkich zjawisk towarzyszących, założyliśmy bowiem, że przyczyną dolegliwości żołądkowej mogło być tylko zjedzenie czegoś niezdrowego.
Pominięte zostały więc np. dzień tygodnia, położenie Księżyca, wielkość kawiarni, jej umiejscowienie; to, czy ktoś palił. Nadto, dolegliwość w wypadku
każdej z trzech osób uznana została za podpadającą pod to samo pojęcie
dolegliwości żołądkowej.
Definicja 2.44. Metoda zgodności jest wnioskowaniem według następującego wzoru. Jeśli dwóm lub więcej wypadkom zjawiska Z towarzyszą któreś
ze zjawisk Z1 , Z2 , . . . , Zn i w każdym wypadku występuje zjawisko Zi a dla
każdego zjawiska Zj , j 6= i, miał miejsce wypadek, że wystąpiło zjawisko
Z a nie wystąpiło zjawisko Zj , to Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny
(skutkiem bądź częścią skutku) zjawiska Z 16 .
Metodę zgodności i pozostałe metody zilustrujemy na diagramie. Przyjmijmy tu i w następnych opisach, że zjawisku Z, którego przyczyny poszukujemy, towarzyszą różne od niego zjawiska Z1 , Z2 . . . Z5 . To, że w danym
wypadku jakieś zjawisko Zi zaszło zaznaczymy pisząc: +, a że nie zaszło
pisząc: −. To, że zjawisko Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny zjawiska
Z zapisujemy: Zi ∴ Z. Sposób wnioskowania metodą zgodności możemy
opisać następująco:
16
Mill formułuje metodę zgodności tak, że pozwala ona na wykrywanie zjawisk koniecznie towarzyszących zjawisku Z. Takim zjawiskiem może być nie tylko przyczyna, lecz
także skutek Z. Aby metoda ta pozwalała na wykrywanie skutków, należałoby odpowiednio przeformułować przesłankę p a — powinna to być alternatywa zjawisk-skutków —
oraz przyjąć analogiczne do założeń o przyczynie założenia o skutku: zasadę skutkowości,
zasadę jedności skutku. Metoda zgodności sformułowana została przez J. St. Milla następująco: „If two or more cirumstances of the phenomenon under investigation have only
one circumstance in common, the circumstance in which alone all the instances agree, is
the cause (or effect) of the given phenomenon” (A System of Logic, s. 390).
202
Lp. Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z
1. +
+
+
+
−
+
2. +
+
+
−
+
+
3. +
+
−
+
+
+
4. +
−
+
+
+
+
Wniosek: Z1 ∴ Z.
Pod kątem wykorzystania kanonu jedynej zgodności warto przeanalizować list opublikowany w The Economist (24–30 września 1994):
„W Pańskim artykule Demokracja i wzrost (27 sierpnia), stwierdza Pan
korelację między wolnością a dobrobytem i dedukuje z tego korelację między
demokracją a dobrobytem. Jest to nietrafne.
Rzeczywistym źródłem dobrobytu nie jest demokracja, lecz praworządność. Jest prawdą, że praworządność jest w wysokim stopniu skorelowana
z politycznymi instytucjami liberalno-demokratycznymi, lecz daleki od jasności jest związek przyczynowy. Jeśli cokolwiek historia sugeruje to to, że
praworządność jest pierwszym warunkiem szerokiej wolności obywatelskiej
w formie politycznej zwanej ‘demokracją’, a nie, że jest odwrotnie. Republikę Wenecką i Holandię pod Stanami Generalnymi trudno byłoby nazwać
opartymi na szerokiej bazie demokracjami, chociaż cieszyły się wyjątkową
prosperity.
Rosyjskie problemy nie są spowodowane przez zbyt wiele zbyt późno
zastosowanej demokracji: spowodowane są one przez trudności w przejściu
od «prawa» socjalistycznego do prawa «burżuazyjnego».”
Policja wykorzystuje metodę zgodności, kiedy np. w sprawach o włamania zauważając, że dokonywane są tą samą metodą wnioskuje, że włamania
te dokonane zostały przez tę samą osobę lub tę samą grupę przestępczą.
W miejscu trzech przestępstw zabezpieczono wiele śladów. W każdym z tych
miejsc powtarzały się ślady jednej osoby. Czy policja może wnioskować, że
są to ślady przestępcy?
Dla lepszego zrozumienia wcześniej sygnalizowanych problemów z właściwą konceptualizacją i identyfikacją zjawisk towarzyszących zjawisku, którego przyczyny poszukujemy, warto rozważyć następujący żartobliwy przykład zwykle przytaczany przez krytyków metod Milla w ogólności, a w szczególności metody zgodności. Był sobie pijak-naukowiec, wielki amator trun-
2.3. WNIOSKOWANIE
203
ków. Pijany był każdego wieczoru. Zrujnował zdrowie, karierę, stracił przyjaciół. Stwierdzając, że dalej tak być nie może, zdecydował się przeprowadzić
eksperyment, aby odkryć rzeczywistą przyczynę swojej częstej nietrzeźwości.
Przez pięć wieczorów rejestrował dane. Były to kolejno: szkocka z wodą sodową, burbon z wodą sodową, koniak z wodą sodową, rum z wodą sodową,
gin z wodą sodową. Według metody zgodności to popijanie wodą sodową
było przyczyną nietrzeźwości pijaka-naukowca.
Metoda różnicy
Podejmijmy na nowo przykład z dolegliwością żołądkową osób, które były
w kawiarni. Powiedzmy, że w kawiarni były dwie osoby. Jedna ma dolegliwość żołądkową, a druga nie. Okazuje się, że ta, która ma dolegliwość, jadła
lody i ciastko oraz piła kawę. Ta zaś osoba, która nie ma dolegliwości, jadła
tylko ciastko i piła kawę. Na podstawie tych danych wnioskujemy, że konsumpcja lodów jest istotna dla dolegliwości żołądkowej; mówimy: zjedzenie
lodów jest przyczyną lub częścią przyczyny dolegliwości żołądkowej (częścią
— bo przyczyną mogło być «połączenie» lodów i ciastka).
Definicja 2.45. Metoda różnicy jest wnioskowaniem według następującego wzoru. Jeśli wypadkowi zajścia zjawiska Z towarzyszą zjawiska Z1 , Z2 ,
. . . , Zn , a w jakimś wypadku, gdy zjawisko Z nie występuje, a występują
wszystkie zjawiska Z1 , Z2 , . . . , Zn z wyjątkiem jednego, powiedzmy Zi ,
to Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku)
zjawiska Z 17 .
Sposób wnioskowania metodą różnicy można zilustrować następująco
(dla n = 5; zob. str. 201):
1. +
+
+
+
+
+
2. −
+
+
+
+
−
Wniosek: Z1 ∴ Z.
17
J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „If an instance in which the phenomenon
under investigation occurs, and an instance in which it does not occur, have every circumstance in common save one, that one occurring only in the former; the circumstance in
which alone the two instances differ, is the effect, or the cause, or an indispensable part
of the cause, of the phenomenon” (A System of Logic, s. 391).
204
Wykorzystanie metody różnicy ma miejsce w badaniach Pasteur’a. W 1861
Pasteur odrzucał koncepcję samorództwa na podstawie następującego eksperymentu. Wywar z mięsa umieścił w butelce zabezpieczając go przed dostępem bakterii. W zawartości nie następowały zmiany. Następnie otworzył
butelkę umożliwiając dostęp bakteriom. W ciągu kilku godzin nastąpiły
charakterystyczne zmiany psucia się mięsa. To, że bakterie były przenoszone przez powietrze, zostało pokazane przez dwukrotne filtrowanie powietrza przez sterylne filtry. Okazało się, że w wypadku kontaktu z pierwszym
filtrem następuje psucie, a w wypadku drugiego — nie (na drugim nie było
drobnoustrojów, zostały bowiem zatrzymane przez pierwszy filtr).
Wykorzystanie metody różnicy ma miejsce w wielu sytuacjach codziennych. Na przykład mamusia twierdzi, że jej dziecko straciło apetyt z powodu
przyjmowanych lekarstw. Bowiem gdy lekarstw nie przyjmowało, to apetyt
miało.
Połączona metoda zgodności i różnicy
W głośniku radiomagnetofonu w trakcie odtwarzania taśmy magnetofonowej istotnie zwiększył się poziom szumu. Chcemy znaleźć przyczynę tego
zjawiska Z. Jako ewentualne przyczyny Z bierzemy: Z1 — zły stan taśmy magnetofonowej, Z2 — uszkodzenie wzmacniacza (część wspólna radia
i magnetofonu), Z3 — uszkodzenie magnetofonu. Rozpoczynamy od zmiany
taśmy. Bierzemy przetestowaną taśmę i mimo to mamy zły odbiór. Na podstawie metody zgodności możemy więc wyeliminować Z1 jako przyczynę Z.
Po przełączeniu na radio stwierdzamy, że odbiór jest prawidłowy. Metoda
różnicy pozwala wyeliminować Z2 jako przyczynę Z. Wnioskujemy zatem, że
Z3 jest przyczyną Z. (Nasz wniosek wynika logicznie z przyjętych przesłanek
— gdyby więc przesłanki były prawdziwe, to i wniosek byłby prawdziwy.)
Definicja 2.46. Połączona metoda zgodności i różnicy polega na zastosowaniu w jednym wnioskowaniu zarówno metody zgodności, jak i metody
różnicy18 .
Sposób wnioskowania połączoną metodą zgodności i różnicy można zilustrować następująco (dla n = 5; zob. str. 201):
18
J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „If two or more instances in which the
phenomenon occurs have only one circumstance in common, while two or more instances
in which it does not occur have nothing in common save the absence of that circumstance;
the circumstance in which alone the two sets of instances differ, is the effect, or the cause,
or an indispensable part of the cause, of the phenomenon (A System of Logic, s. 396).
2.3. WNIOSKOWANIE
205
1. +
+
+
+
−
+
2. +
+
+
−
+
+
3. +
+
−
+
+
+
4. −
+
−
−
+
−
Wniosek: Z1 ∴ Z.
Metoda zgodności pozwoliła wyeliminować jako przyczyny (skutki) zjawiska Z3 , Z4 , Z5 . Jako «kandydaci» na przyczyny (skutki) pozostały Z1 i Z2 .
Metodą różnicy wyeliminowane zostało Z2 . Pozostałe Z1 jest przyczyną lub
częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku) zjawiska Z.
Metoda reszt
Rozważmy na nowo wypadek dolegliwości żołądkowej. Niech tym razem
będzie to tylko jedna osoba, która ma tę dolegliwość. Powiedzmy, że osoba
ta skonsumowała lody, wypiła kawę i coca-colę. Aby określić przyczynę
może rozumować następująco: na pewno kawa i coca-cola nie zaszkodziły
(znane są skutki picia przez tę osobę kawy i coca-coli oraz skutki te nie
są dolegliwością żołądkową.), zatem zaszkodziły lody. To rozumowanie jest
przykładem wnioskowania zgodnego z metodą reszt.
Definicja 2.47. Metoda reszt jest wnioskowaniem według następującego
wzoru. Jeżeli zjawiskom Z1 , Z2 , . . . , Zn towarzyszą różne od nich zjawiska
Z10 , Z20 , . . . , Zn0 , a nadto jeśli wiadomo, że Z2 jest przyczyną (skutkiem)
Z20 , Z3 jest przyczyną (skutkiem) Z30 , . . . , Zn jest przyczyną (skutkiem) Zn0 ,
to Z1 jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią skutku)
zjawiska Z10 19 .
Metoda reszt, w odróżnieniu od metod zgodności i różnicy, wymaga zbadania tylko jednego wypadku, co czyni ją szczególnie przydatna tam, gdzie
z różnych przyczyn, np. ekonomicznych (koszty) lub etycznych (narażenie na
19
J. St. Milla formułuje ten kanon następująco: „Subduct from any phenomenon such
part as is known by previous inductions to be the effect of certain anteccedents, and the
residue of the phenomenon is the effect of the remaining antecedents” (A System of Logic,
s. 398).
206
uszkodzenie lub cierpienie) nie dysponujemy innymi wypadkami tego zdarzenia. Metoda ta jednak wymaga znajomości przyczyn zjawisk towarzyszących
(wykrytych we wcześniejszych eksperymentach lub obserwacjach). Zdaniem
Milla, ze wszystkich sposobów badania praw przyrody metoda ta jest najbardziej płodna w nieoczekiwane wyniki.
Zjawisko-skutek jest zjawiskiem, któremu towarzyszą inne zjawiska-skutki.
W wypadkach poprzednio omawianych kanonów można było tego nie brać
pod uwagę. W opisie metody reszt ten fakt musi być uwzględniony.
Lp. Z1 Z2 Z3 Z4 Z10 Z20 Z30 Z40
1. +
+
+
2. Z2 ∴
Z20
3. Z3 ∴
Z30
4. Z4 ∴
Z40
+
+
+
+
+
Wniosek: Z1 ∴ Z10 .
Jako wykorzystanie metody reszt daje się opisać jedno z największych odkryć astronomii matematycznej, jakim było odkrycie planety Neptun. Mianowicie Leverrier w 1845 r., po stwierdzeniu poprawności wszystkich obliczeń
dotyczących ruchu planety Uran, dla wyjaśnienia niezgodności między wynikami obliczeń a danymi obserwacyjnymi, przyjął istnienie nieznanej jeszcze
planety. Zjawiskiem-resztą, dla którego szukano przyczyny, były niezgodności między obliczoną i faktyczną orbitą planety Uran. Tym, co ze zjawisk
towarzyszących mogło wchodzić w grę, była nieznana dotąd planeta. Zgodnie z metodą reszt ta planeta miała być przyczyną «reszty». Dwudziestego
trzeciego września 1846 r. Galle, który dysponował odpowiednimi przyrządami obserwacyjnymi, kierując się wskazówkami Leverrier’a, w niespełna
godzinę odnalazł ciało nie zaznaczone na znanych wówczas mapach nieba.
Nowo odkrytą planetę nazwano „Neptunem”.
Metoda zmian towarzyszących
Nie zawsze jest tak, by było możliwe obserwowanie lub eksperymentowanie
eliminujące wszystkie zjawiska towarzyszące zjawisku, dla którego szukamy
przyczyny — czego wymaga metoda zgodności — lub wypadek, by zjawisko to nie zaszło — czego wymaga metoda różnicy. Metoda reszt z kolei
2.3. WNIOSKOWANIE
207
zakłada znajomość przyczyn wszystkich zjawisk towarzyszących zjawisku,
dla którego szukamy przyczyny. Związek przyczynowo-skutkowy może być
jednak stwierdzany również w wypadku, gdy zachodzą jakieś zależności między wielkościami zjawisk. Obserwujemy np. zmiany ceny towaru. Możemy
więc pytać o przyczynę tego zjawiska. Okazuje się, że zmianie ceny towaru
towarzyszą zmiany wskaźnika popytu i podaży.
Metoda zmian towarzyszących wymaga oprócz zasad, których założenie
było wymagane przez poprzednie metody, założenia, że zmiany wielkości
przyczyny i skutku pozostają względem siebie w stałym związku: zależność
ta jest taka sama dla określonej klasy przyczyn i określonej klasy skutków.
Jako zastosowanie metody zmian towarzyszących można opisać postępowanie B. Pascala. Idąc w góry wziął ze sobą nie do końca nadmuchany
pęcherz. Zauważył, że w miarę zwiększania wysokości zwiększała się objętość
pęcherza. W drodze powrotnej zaś następowało jej zmniejszenie. Pęcherz
uzyskał pierwotne wymiary po powrocie na miejsce wyjścia. Ponieważ ciśnienie zmniejszało się wraz ze zwiększaniem wysokości a towarzyszyło temu
powiększanie pęcherza, to dowodzi to, iż ciśnienie wewnątrz pęcherza zmniejszało się. W trakcie schodzenia wysokość zmniejszała się, a więc ciśnienie
rosło. Ponieważ towarzyszyło temu zmniejszanie objętości pęcherza, więc
tym samym zwiększało się ciśnienie wewnątrz pęcherza. Obserwacja ta daje
podstawy do stwierdzenia, że zmianom wielkości ciśnienia zewnętrznego towarzyszą zmiany ciśnienia wewnętrznego. W 1653 r. Pascal sformułował
prawo: Jeżeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe
i równe ciśnieniu zewnętrznemu.
Definicja 2.48. Metoda zmian towarzyszących jest wnioskowaniem,
w którym na podstawie przesłanki stwierdzającej, że wszystkimi zjawiskami
towarzyszącymi zjawisku Z są zjawiska Z1 , Z2 , . . . , Zn oraz przesłanek
stwierdzających kolejno zmianę wielkości Z bez zaistnienia zmiany wielkości
któregoś ze zjawisk Z1 , Z2 , . . . , Zn z wyjątkiem zjawiska Zi , pozwala wnioskować, że Zi jest przyczyną lub częścią przyczyny (skutkiem bądź częścią
skutku) zjawiska Z 20 .
20
J. St. Mill formułuje ten kanon następująco: „Whatever phenomenon varies in any
manner, is either a cause or an effect of that phenomenon, or is connected with it through
some fact of causation” (A System of Logic, s. 401).
208
1. +
+
+
+
+
+
2. Ã +
+
+
+
Ã
Wniosek: Z1 ∴ Z.
„Ã” oznacza zmianę wielkości zjawiska.
Metoda zmian towarzyszących ma bardzo szerokie zastosowanie: rolnik
zauważa zależność między wielkością nawożenia a wielkością plonu; kupiec
obserwuje zależność między wielkością reklamy a popytem na towar; fizyk
opisuje zależność między ciśnieniem a objętością gazu. Metoda zmian towarzyszących wyróżnia się od pozostałych metod tym, że tamte pozwalają
stwierdzić zachodzenie bądź niezachodzenie związku przyczynowego, mają
zatem charakter jakościowy, ta zaś metoda wykorzystuje zależności między
wielkościami zjawisk, a więc ma charakter ilościowy. Jest w ogóle pierwszą
metodą ilościową. Jej zastosowanie wymaga znajomości metody pomiaru
lub sposobu oceny stopnia zmiany zjawiska.
Nasze dążenie do zrozumienia i kontrolowania świata, w którym żyjemy,
wyraża się ustalaniem związków przyczynowo-skutkowych. Chcemy mieć
prawa mające charakter zdań ogólnych, których uszczegółowieniami są zdania stwierdzające poszczególne wypadki związku przyczynowo-skutkowego.
Metody Milla — z tego powodu, że wymagają uprzedniego przyjęcia alternatywy zdań, z których jedno jest «kandydatem» na prawo — bezpośrednio nie prowadzą do takich praw. Kanonom Milla nie można zatem przypisać charakteru metody odkrywania praw przyczynowo-skutkowych. Co
najwyżej można im przypisać charakter metody eliminowania ewentualnych
«kandydatów» na takie prawa. Kanony Milla jako metody rozumowania
nie są metodami dającymi podstawę dla uznania z całą pewnością wniosku.
Wprawdzie wniosek wynika z przesłanek, jednak fakt, iż jedna z przesłanek,
mianowicie ta będąca alternatywą zdań ogólnych (pa , zdań «kandydatów» na
prawa) nie jest zdaniem, które mamy podstawy uznać z całą pewnością, powoduje, że nie mamy prawa uznania z całą pewnością wniosku. Metody Milla
opisują jednak rzeczywisty sposób postępowania w celu ustalenia związków
przyczynowo-skutkowych. Po prostu, w badaniach tych związków musimy
zadowalać się wynikami tylko z niepełnym stopniem pewności i tym, że sformułowania są zwykle tylko stwierdzeniami przypuszczeń, które ma badający
daną dziedzinę. Wnioskowanie według kanonów Milla nie daje prawa do
uznania wniosku z całą pewnością, a same metody nie prowadzą same przez
2.3. WNIOSKOWANIE
209
się do odkrycia praw i dlatego nie są heurystycznie całkowicie skuteczne.
Zadania
Zadanie 2.32. Omów zastosowany kanon i jeśli rozumowanie jest niepoprawne wskaż błąd.
1. Pewien uczeń przedstawił hipotezę: stwierdził, że pająki mają organy
słuchowe w nogach. Położył schwytanego pająka na stole i zawołał, aby
biegł. Pająk biegł. Następnie młody eksperymentator urwał pająkowi
nogi. Położył go na stole i zawołał, aby biegł. Pająk nie biegł. Zatem
trafna jest hipoteza — po oderwaniu nóg pająk ogłuchł i nie słyszał
wołania chłopca.
2. Firma „Pollena Uroda” zaobserwowała stopniowy spadek obrotów w ostatnich latach. Aby ustalić przyczynę tego zjawiska firma zbadała potencjalne źródła owej tendencji: reklamę, dystrybucję oraz same wyroby. Firma zaczęła od wykreowania nowej reklamy, lecz mimo zmian
obroty wciąż spadały. Następnie porównując swoje kanały dystrybucji
z kanałami innej firmy z tej samej branży doszła do wniosku, że jej
własne działają prawidłowo. Owe badania potwierdziły trzecią hipotezę: spadek obrotów jest wywołany przez same wyroby. Ich jakość
i styl odbiegają od światowych wymogów21 .
3. Powszechnie uznaje się, że Grecy i Żydzi swoje pismo zapożyczyli od
Fenicjan. Znajduje to potwierdzenie w podobieństwie nazw liter greckich: alfa, beta, gamma i hebrajskich: alef, bet, gimel.
4. Gdy obniża się podatki wzrastają wpływy do budżetu państwa. Ludzie
chcą więcej i zarabiają więcej. Deficyt nie jest spowodowany przez
obniżkę podatków. Deficyt wzrośnie jeśli wybierzemy tych, którzy chcą
zwiększyć nasze podatki. (Ronald Reagan)
5. Mama wierzyła, że czosnek jest dobry na każdą chorobę. Każdego
ranka smarowała nim moje plecy. Prosiłem, „Mamo, nie rób tego”.
Posyłała mnie tak «pachnącego» do szkoły. Muszę jednak zdradzić
wam, że nigdy nie chorowałem. Mam swoją teorię: nikt nie zbliżył się
do mnie na taką odległość, aby mnie zarazić. (Leo Buscagila)
6. Mycie oczyszcza z poczucia winy Kłamcy, oszuści, kobieciarze i mordercy nie słyną z wyjątkowej higieny osobistej, z drugiej strony jednak
nikt dotąd nie studiował ich kąpielowych nawyków.
21
Por. Kobieta i styl, marzec 1994 r.
210
Jak wykazały badania, osoby, które umyły ręce po dokonaniu nieetycznego czynu były mniej trapione przez swoje myśli niż te, które nie myły
rąk.
Związek pomiędzy moralną a fizyczną czystością wydaje się oczywisty
od dawna. Naukowcy nazywają to pragnienie oczyszczenia się efektem
Makbeta, od sceny w tragedii Szekspira, w której Lady Makbet zawodzi:
Precz, przeklęta plamo! Precz, mówię! zakrwawiwszy swoje ręce, gdy
mąż za jej namową zamordował króla Duncana.
Podczas jednego z eksperymentów, przeprowadzonych wśród studentów, badacze polecili jednej z grup przypomnieć sobie nieetyczny postępek z przeszłości, jak zdradzenie przyjaciela, zaś innej grupie —
rozmyślać nad czynem etycznym w rodzaju zwrócenia znalezionych
pieniędzy. Następnie studenci mogli wybrać, czy chcą dostać ołówek,
czy antyseptyczną chusteczkę. Ci, którzy zastanawiali się nad wstydliwym uczynkiem, dwa razy częściej wybierali chusteczkę.
Eksperymentalnie wykazano, że studenci, którzy rozmyślali o swym
nieetycznym postępowaniu ocenili wartość środków czyszczących znacznie wyżej niż ich koledzy, którzy koncentrowali się na dobrym uczynku.
Psychologowie od lat wiedzieli, że gdy ludzie zdradzają swoje wartości,
czują potrzebę kompensacji. Chrześcijanie po przeczytaniu bluźnierczej opowieści o Jezusie wyrażają pragnienie częstszego chodzenia do
kościoła; socjal-liberałowie, którzy czują, że kogoś dyskryminowali wyrażają zwiększoną chęć zgłaszania się na ochotnika do akcji obrony
praw obywatelskich.
Naukowcy wykazali, że studenci, którzy myśleli o swoich wcześniejszych
grzechach chętniej zgłaszali się do pomocy innym studentom w przygotowaniu pracy magisterskiej — chyba, że pozwolono im umyć ręce,
co obniżało ich skłonność do poświęcenia swego czasu mniej więcej
o połowę.
— Uważamy, że zwykłe mycie rąk może być skuteczne w oczyszczaniu
sumienia — ale do pewnych granic. Trzeba więc jeszcze ustalić, gdzie
przebiega ta granica.
Zadanie 2.33. Korzystając z metod Milla wytłumacz uzyskane wyniki i wskaż
dalsze możliwe eksperymenty.
1. Stwierdzono, że osoby, które czy to razem z pokarmem, czy też w formie tabletek otrzymują w dużych ilościach takie witaminy antyoksydancyjne, jak witamina E lub beta-karoten, rzadziej chorują na no-
2.3. WNIOSKOWANIE
211
wotwory (a zwłaszcza na raka płuc) niż reszta populacji oraz rzadziej
występuje u nich choroba niedokrwienia serca.
Na przykład badania przeprowadzone wśród Chińczyków z prowincji
Lin-Xian wykazały, że w grupie osób stosujących dietę bogatą w betakaroten, witaminę E oraz w selen liczba zgonów z powodu raka żołądka
była niższa o 21% niż w grupie kontrolnej. [. . . ]
Próba [. . . ] przeprowadzona pod nadzorem fińskiego Narodowego Instytutu Raka oraz Narodowego Instytutu Zdrowia Publicznego dotyczyła ponad 29 000 mężczyzn w średnim wieku palących papierosy. Do
badań wybrano palaczy, właśnie ze względu na znacznie częstsze występowanie u nich nowotworów (szczególnie raka płuc) i chorób układu
krążenia. Wyłonionej drogą losowania grupie przez 6 lat podawano
beta-karoten, a część tej grupy zażywała także witaminę E. [. . . ]
Rezultaty badań były równie jednoznaczne, co zaskakujące. Wbrew
wszelkim przypuszczeniom nie wykazano w nich znaczącego statystycznie ochronnego wpływu tej witaminy. Gorzej: okazało się, że w grupie osób otrzymujących beta-karoten nowych przypadków raka płuc
było znacząco więcej niż w grupie kontrolnej. Częstość występowania raka płuc była aż o 18% większa wśród 14 500 osób zażywających
beta-karoten niż pośród tej samej liczby osób, które tej witaminy nie
zażywały22 .
2. Osoby z wysokim IQ rzadziej cierpią na kaca. Osoby z bardzo wysokim
ilorazem inteligencji rzadziej cierpią na kaca po całonocnych imprezach
alkoholowych — wskazują szkockie badania, które publikuje pismo Journal of Epidemiology and Community Health. Naukowcy z Uniwersytetu w Edynburgu doszli do takiego wniosku po przeanalizowaniu
danych zebranych w grupie 7 tys. osób, które w wieku 11 lat (w roku
1962) przeszły testy na inteligencję. Średnio 40 lat później poproszono
ich o wypełnienie ankiety na temat ich nawyków i doświadczeń alkoholowych.
Okazało się, że będąc w średnim wieku osoby, które jako nastolatki
miały wysokie IQ, rzadziej doświadczały objawów kaca (np. silnego
bólu głowy, nudności, wzmożonego pragnienia, nadwrażliwości na światło i dźwięki) po wypiciu alkoholu, niż osoby z niższym ilorazem inteligencji.
„Być może inteligentne osoby po prostu słuchają dobrych rad i unikają
22
Zob. Wiedza i Życie, Maj 1995, str. 22–23.
212
tzw. ciągów picia, tj. intensywnego spożywania alkoholu w dłuższych
okresach czasu” — spekuluje prowadzący badania dr David Batty. Naukowcy planują zweryfikować tę hipotezę w przyszłości.
3. Sąsiedzi chwalą bezinteresowność ponieważ jest ona dla nich korzystna.
4. Głównym powodem powszechnego analfabetyzmu jest fakt, że większość umie pisać i czytać.
Zadanie 2.34. Lekarz włoski, psychiatra Cezare Lombroso przeprowadził badania więźniów i stwierdził, że pewne cechy układu twarzy, wymiarów twarzy itp. są cechami przestępcy z urodzenia. Czy można uznać taki wynik
badań?
Zadanie 2.35. Opisz zastosowanie rozumowanie i oceń jego poprawność.
1. Flawonoidy zawarte w kakao są znane przede wszystkim ze swojego korzystnego wpływu na układ krążenia i serce. Aby sprawdzić działanie
tych związków na skórę, amerykańsko-niemiecki zespół badaczy z Uniwersytetu Witten-Herdecke w Witten zaprosił do testów 24 zdrowe
kobiety (od 18 do 65 roku życia). Połowa z nich przez okres 12 tygodni codziennie piła napój kakaowy bogaty we flawonoidy, a połowa —
napój ubogi w te związki.
Na trzech różnych etapach badań sprawdzono stan ich skóry — m.in.
nawilżenie, odporność na promienie UV, ukrwienie i strukturę.
Okazało się, że regularne picie kakao bogatego we flawonoidy wyraźnie poprawiało wygląd i strukturę skóry — podnosiło jej nawilżenie,
obniżało szorstkość i minimalizowało łuszczenie. Po raz pierwszy zaobserwowano też, że flawonoidy z kakao poprawiały zdolności skóry do
obrony przed promieniami UV. Po naświetlaniu UV pacjentki regularnie pijące kakao bogate we flawonoidy miały mniej zaczerwienień na
skórze niż pacjentki z drugiej grupy.
2. Mrówki pustynne mają wewnętrzny licznik, który pozwala im oceniać
pokonywane odległości na podstawie liczby wykonanych kroków.
Niektóre gatunki mrówek znajdują powrotną drogę do domu na podstawie informacji wzrokowych bądź zostawianych przez siebie śladów
zapachowych. Na pustyni brakuje jednak znaków szczególnych w krajobrazie pustyni a zapach szybko ulatnia się. Mimo to, mrówki żyjące
na pustyni z niewiarygodną dokładnością trafiają do swoich gniazd.
2.3. WNIOSKOWANIE
213
Istnieją dowody na to, że mrówki mogą kierować się w swoich wędrówkach pozycją słońca. Wymaga to jednak umiejętności pomiaru
odległości. Aby to sprawdzić badania mrówki z gatunku Cataglyphis
fortis. Okazało się, że owady, którym skrócono nogi, miały kłopoty
z powrotem do gniazda.
W kolejnym doświadczeniu badano dwie grupy mrówek. Jednej grupie
skrócono nogi o ok. 1 milimetr, a drugiej — wydłużono, przyczepiając
1 milimetrowe „szczudła” z leciuteńkich szczecinek. Przed modyfikacją
długości odnóży mrówki nauczyły się drogi między gniazdem a źródłem
pokarmu, do którego chodziły 10-metrowym tunelem w aluminiowej
rurce.
Okazało się, że po modyfikacji długości odnóży mrówki nie potrafiły
prawidłowo oceniać odległości do gniazda. Te, które chodziły na szczudłach wykonywały trasę o 50 proc. dłuższą,od normalnej, a później
biegały w przód i w tył w poszukiwaniu domu. Z kolei mrówki z krótszymi kończynami zaczynały w panice szukać domu już po przejściu
połowy zwykłej odległości.
Zdolność odnajdywania gniazda wracała w kolejnych wyprawach.
Odkrycie to wskazuje, że u mrówek pustynnych istnieje wewnętrzny
system, który w jakiś sposób „odlicza” liczbę kroków. Ten automatyczny pedometr, który jest prawdopodobnie elementem mrówczego
układu nerwowego, ulega „zresetowaniu” za każdym razem, gdy mrówka
wraca do rodzinnego gniazda.
3. Jabłka, a także sok jabłkowy, mogą być doskonałym lekiem poprawiającym pamięć w starszym wieku (Journal of Alzheimer’s Disease).
Osłabienie zdolności umysłowych w tym pamięci jest częstym zaburzeniem w podeszłym wieku. Mózg starzeje się pod wpływem gromadzących się w nim wolnych rodników, które mają silne zdolności utleniające, przez co niszczą komórki nerwowe. Jabłka zawierają wyjątkową
mieszankę związków neutralizujących wolne rodniki.
Sok z jabłek zwiększa w mózgu produkcję acetylocholiny — związku,
który reguluje zapamiętywanie. Jest to jeden z tzw. neuroprzekaźników, odpowiedzialnych za przekazywanie informacji między komórkami
nerwowymi. Poziom acetylocholiny spada w mózgach starszych osób.
Najnowsze doświadczenia prowadzono na myszach w sile wieku (9-12
miesięcy) oraz starych (2-2,5 lat). Część gryzoni miała genetyczne
214
predyspozycje do zaburzeń przypominających chorobę Alzheimera u
ludzi.
Ze względu na rodzaj diety myszy podzielono na trzy grupy. Jedna
była na diecie standardowej, a pozostałe dwie — na diecie z niedoborem różnych składników odżywczych (witaminy E i kwasu foliowego),
takiej która prowadzi do spadku produkcji acetylocholiny. Część myszy na zubożonej diecie dostawała jednak do picia wodę z dodatkiem
koncentratu soku jabłkowego. We wszystkich przypadkach dietę prowadzono przez miesiąc.
U myszy genetycznie predysponowanych do alzheimera oraz starych
niedobory składników odżywczych powodowały spadek poziomu acetylocholiny w obszarach mózgu odpowiedzialnych za procesy umysłowe.
Wzbogacenie diety w sok jabłkowy pozwoliło natomiast utrzymać jej
produkcję na zwykłym poziomie. Gryzonie pijące sok z jabłek wypadały znacznie lepiej w testach oceniających zdolność uczenia się i zapamiętywania niż myszy będące wyłącznie na diecie zubożonej.
Wyniki te wskazują, że u starszych osób sok jabłkowy może spowalniać
rozwój demencji związanej z niedoborami pewnych składników w diecie
lub predyspozycjami genetycznymi. Działanie soku jabłkowego można
tu porównać do grupy leków na Alzheimera, które podnoszą poziom
acetylocholiny w mózgu.
Wnioskowanie przez analogię
Wiele naszych codziennych rozumowań to wnioskowania przez analogię. Rozumowania takie pojawiają się w dyskusjach na tematy etyczne, prawne
i polityczne. Słowo „analogia” pochodzi z greki, gdzie oznaczało proporcję,
stosunek arytmetyczny lub geometryczny. Na przykład 1 : 2 ma się tak samo
jako 2 : 4, a okrąg do sfery ma się tak samo jako trójkąt do stożka.
Zachodzenie takiej samej proporcji między C i D jak między A i B zapisać
można następująco:
A : B = C : D.
Formuła ta daje się odczytać: „Jak A ma się do B, tak C ma się do D.
W przypadku danych trzech wartości — jeśli są to wartości liczbowe a „:”
jest symbolem dzielenia — można obliczyć czwartą. Analogia opiera się na
podobieństwach między różnymi przedmiotami23 .
23
Już John Stuart Mill zauważał, że There is no word which is used more loosely, or
in greater variety of senses, than Analogy. Zob. Mill, J. S. 1882. A System of Logic,
Ratiocinative and Inductive (8th ed.). New York: Harper and Bros, s. 393.
2.3. WNIOSKOWANIE
215
Ponieważ zakupy w jakimś sklepie były udane, o kolejnych zakupach, których zamierzamy dokonać w tym sklepie, sądzimy, że będą udane. Doświadczenia przeszłości odnosimy do przyszłości. Coś jadłem i to coś wówczas mi
nie smakowało. W przyszłości odmawiam jedzenia tego czegoś, sądząc, że
nie będzie mi smakowało. Dziecko, które poparzyło się żelazkiem, będzie
bało się je dotknąć. Wiele argumentów filozoficznych odwołuje się do analogii. Z faktu, że otaczające mnie rzeczy zostały przez kogoś wytworzone,
wnioskuję, że świat został przez kogoś stworzony. Z wnioskowaniem przez
analogię ma się do czynienia w wypadku systemu prawnego opartego o tzw.
precedensy (jak np. angielski). Wskazuje się na uprzednie sprawy (są to
precedensy) i na ich podobieństwo z rozpatrywaną sprawą. Wyrok, który
zapadł w tamtych sprawach, winien więc zapaść i w aktualnie rozważanej
sprawie. W prawie cywilnym, na przykład, adwokat strony pozywającej
z zasady cytuje jeden lub więcej rozstrzygniętych wypadków (znanych jako
«precedensy») dla wsparcia strony pozywającej. Adwokat argumentuje, że,
ponieważ poprzednie wypadki są podobne do rozważanego i były rozstrzygnięte na rzecz pozwa, to aktualna sprawa powinna być rozstrzygnięta na
rzecz jego klienta (wniosek).
W związku ze sprawą fałszywej informacji o posiadaniu przez A.K. wyższego wykształcenia powoływano się na wypadek ukarania kogoś, kto zabiegając o stanowisko wójta podał fałszywe dane o posiadaniu średniego
wykształcenia. Ten argument był nieskuteczny, ponieważ w polskim prawie
karnym nie stosuje się analogii24 .
Wnioskowanie przez analogię zastosowane jest w następującej argumentacji:
Gdyby programy wojskowe telewizji redagowali niewojskowi, to
środowisko wojskowe byłoby niezadowolone. Gdyby programy
katolickie przygotowywali ateiści, to środowisko katolickie byłoby
oburzone. Zrozumiałe jest więc, że środowisko wiejskie oczekuje,
by programy o wsi przygotowywali ludzie z tego środowiska25 .
Definicja 2.49. We wnioskowaniu przez analogię na podstawie przesłanek stwierdzających:
1. zachodzenie podobieństw P1 , . . . , Pm między wszystkimi sytuacjami
s1 , s2 , . . . , sn , sn+1 , czyli przesłanek:
24
Por. uwagi w sprawie argumentum a simili
Por. wywiad telewizyjny R.M., członka Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji, w dniu
01.08.95.
25
216
• P1 (s1 ), . . . , Pm (s1 );
• P1 (s2 ), . . . , Pm (s2 );
...
• P1 (sn ), . . . , Pm (sn );
• P1 (sn+1 ), . . . , Pm (sn+1 );
oraz
2. zachodzenie podobieństw Pm+1 , . . . Pm+j między wszystkimi sytuacjami
s1 , s2 , . . . , sn , czyli przesłanek:
• Pm+1 (s1 ), . . . , Pm+1 (s1 ),
• ...,
• Pm+j (sn ), . . . , Pm+j (sn );
dochodzi się do uznania wniosku stwierdzającego, że
3. Pm+1 (sn+1 ), . . . , Pm+j (sn+1 ).
W wypadku wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną na
podstawie przesłanek stwierdzających pewną prawidłowość w pewnego rodzaju n sytuacjach wnioskujemy, że prawidłowość ta ma miejsce dla wszystkich sytuacji tego rodzaju. W wypadku wnioskowania przez analogię na
podstawie n przesłanek stwierdzających pewną prawidłowość w n podobnych sytuacjach wnioskujemy tylko o podobnej (n + 1)-sytuacji, że zachodzi
dla niej ta sama prawidłowość.
W wypadku wnioskowania przez analogię dostrzegamy tylko podobieństwa, w odróżnieniu od wnioskowania przez indukcję enumeracyjną, gdzie
ma się do czynienia z przedmiotami (sytuacjami) określonych rodzajów (a
to jest czymś więcej niż tylko podobieństwem).
Wnioskowanie przez analogię nie jest, jak wnioskowanie przez indukcję
enumeracyjną niezupełną, wnioskowaniem redukcyjnym, nie jest też wnioskowaniem dedukcyjnym. W wypadku wnioskowania redukcyjnego stwierdzenie sytuacji zaprzeczającej przesłance skutkuje odrzuceniem wniosku.
W wypadku wnioskowania przez analogię stwierdzenie sytuacji, w której
nie potwierdza się zachodzenia pewnej prawidłowości, mimo zachodzenia
wszystkich prawidłowości, ze względu na które przesłanki stwierdzają podobieństwo, nie przekreśla prawa do uznania wniosku, lecz ma jedynie wpływ
na stopień, z jakim wolno ten wniosek uznać.
Wnioskowanie przez analogię jako rozumowanie ma charakter pomocniczy. Zasadniczo pełni rolę heurystyczną i dydaktyczną.
2.3. WNIOSKOWANIE
217
Wnioskowanie przez analogię jest wnioskowaniem uprawdopodobniającym, w którym stopień pewności, z jakim można uznać wniosek:
1. wzrasta ze wzrostem:
(a) liczby przesłanek,
oraz
(b) liczby i jakości (powiązania) prawidłowości, ze względu na które
stwierdza się podobieństwo (P 1 , . . . , P m ).
2. maleje, gdy:
(a) wzrasta liczba lub jakość prawidłowości stwierdzanych we wniosku
(P m+1 , . . . , P m+j )
oraz
(b) wzrasta liczba sytuacji podobnych ze względu na prawidłowości,
o których mowa w przesłankach, dla których nie zachodzą prawidłowości stwierdzane we wniosku.
ad 1a. Gdy uzasadniam komuś, że warto zjeść obiad w restauracji „Prima”,
bo raz tam byłem i byłem usatysfakcjonowany, to mój argument ma
mniejszą siłę przekonywania, niż wtedy, gdy podam cztery przesłanki
stwierdzające o pobycie w „Primie” jako satysfakcjonującym mnie (te
cztery przesłanki mogą być wypowiedziane w formie: byłem cztery
razy w „Primie” i za każdym razem byłem usatysfakcjonowany).
ad 1b. Zamierzam zakupić buty. Dotychczas posiadana para P r0 była bardzo wygodna. Chcę kupić równie wygodną. Znajduję w sklepie dwie
pary. Para P r1 jest podobna do pary P r0 nie tylko pod tymi samymi
względami co para P r2 , ale nadto podobna jest jeszcze pod innymi
względami. Zakupuję parę P r1 . Tu zdecydowała liczba podobieństw.
Podobnie z jakością podobieństw. Powiedzmy, że para P r1 jest podobna do posiadanej przeze mnie pod względem jakości materiałów,
zaś para P r2 pod względem kolorów. Ponieważ kolor nie jest ważny
ze względu na jakość obuwia, a materiał, z którego jest wykonane tak,
więc dokonuję zakupu pary P r1 .
ad 2a. Powiedzmy, że posiadana przeze mnie para obuwia P r0 była nie
tylko wygodna, ale i modna. W sprawie dokonanego zakupu, w którym
kierowałem się tylko podobieństwem jakości materiałów, mam prawo
do mniejszego stopnia pewności, że jest parą wygodną i modną niż
218
gdybym miał na uwadze tylko wygodę (przy założeniu, że jakość materiałów nie ma powiązania z modą).
ad 2b. Wypadki, gdy mimo właściwego podobieństwa nie zachodzi podobieństwo stwierdzane we wniosku, pomniejszają stopień pewności,
z jakim można uznać wniosek. Jeżeli już na przykład trzy razy zakupiłem buty, które były podobne pod względem jakości materiału, a nie
były wygodne, to stopień pewności, że nowo zakupiona para obuwia
będzie wygodna, jest mniejszy, niż gdyby te trzy wypadki zakupów
butów niewygodnych nie miały miejsca.
Wnioskowanie przez analogię jest nam wspólne ze światem zwierzęcym.
Ma ono podstawy psychofizjologiczne. Jeśli w n sytuacjach wraz z bodźcem B1 występuje bodziec B2 , to gdy w sytuacji (n + 1) pojawi się bodziec
B1 , organizm zareaguje (dla wystarczająco dużego n) tak, jakby pojawił się
również bodziec B2 .
Ponieważ wnioskowanie przez analogię nie jest niezawodne, nie zawsze
ktoś stosujący je w argumentacji ma rację. Najłatwiej odrzucić argumentację opartą na takim wnioskowaniu, stosując ten sam wzorzec, tę samą formę
i z prawdziwych przesłanek dochodząc do znanego jako fałszywy wniosku.
Językowymi wskaźnikami zastosowania tego rodzaju argumentacji są zwroty
w rodzaju: „ten sam argument dowodzi”, „ ja mógłbym użyć tego samego
argumentu”, „mógłbyś równie dobrze powiedzieć”. Powiedzmy, że ktoś wnioskuje następująco: „Premier rządu sam decyduje o kierunkach pracy rządu,
jak kierowca sam ma prawo trzymać kierownicę jadącego samochodu.” Możliwa jest następująca kontrargumentacja: „Równie dobrze można by w ten
sposób dowodzić, że członkowie rządu nie mają prawa rozmawiać z premierem, jak pasażerowie nie mają prawa rozmawiać z kierowcą.” Przykład
pokazuje, że należy bardzo przemyślanie korzystać z wnioskowania przez
analogię. Ten ktoś, kto chciał uzasadnić prawo premiera do jednoosobowego
decydowania o pracach rządu, dobierając taką a nie inną analogię stworzył
możliwość kontrargumentacji, która całkowicie zniweczyła jego argument.
Nawet trafne tezy ulegają «nadwerężeniu», jeśli argumentacja na ich rzecz
spotyka się z przekonywającą kontrargumentacją. Jest to zresztą generalna
zasada, że nieumiejętna argumentacja znacznie ułatwia kontrargumentację
i czasem nie mając dobrych argumentów lepiej jest domagać się kontrargumentów. Chcąc zaś skompromitować jakąś tezę, bywa że specjalnie umawia
się kogoś, kto nieumiejętnie argumentuje na rzecz tej tezy.
Mimo «słabości», wnioskowanie przez analogię pełni doniosłą rolę w nauce. Nie sposób wyobrazić sobie pewnych badań organizmu ludzkiego (to,
2.3. WNIOSKOWANIE
219
czego nie sposób sobie wyobrazić miało miejsce choćby w niemieckich obozach koncentracyjnych w czasie II wojny światowej). W wypadku badań,
które mogą prowadzić do uszkodzenia organizmu lub jego zniszczenia wykorzystuje się zwierzęta. Wyniki będą tym pewniejsze, im większe jest podobieństwo organizmu zwierzęcia do organizmu ludzkiego. Stąd też w ostatniej
fazie badań zdarza się wykorzystywanie do eksperymentu małp.
Nie sposób przecenić heurystycznej roli analogii. Lot ptaków inspirował
twórców pierwszych maszyn latających. Można tylko podziwiać Newtona, że
dostrzegł analogię między spadającym jabłkiem a ruchem Księżyca. Analogia jest niezbędnym narzędziem heurezy w matematyce. Współcześnie «buduje się» komputerowe modele: programuje się właściwości znane i odnajduje
się w modelu nieznane, które następnie przypisuje się temu co rzeczywiste
(wnioskując przez analogię). Takie modele używane są do wspomagania zarządzania. Każdy w szkole spotkał się z mechanicznymi modelami zjawisk
niemechanicznych; ułatwiają one zrozumienie tych zjawisk. Tu ujawnia się
dydaktyczna rola analogii. Wzorem łączenia funkcji wnioskowania z funkcją
dydaktyczną są przypowieści Pisma Świętego.
Terminu „analogia” używa się też w znaczeniu „podobieństwo”. Z dawien
dawna pisarze wykorzystują podobieństwo dla ożywienia opisu.
Bo każda chmura inna: na przykład jesienna
Pełźnie jak żółw leniwa, ulewą brzemienna.
A. Mickiewicz, Pan Tadeusz, ks. III, 636–637.
Zadania
Zadanie 2.36. Opisz rozumowanie zastosowane w poniższym tekście.
1. Praktyka bez nauki — to tak jakby sternik prowadzący statek bez
steru lub kompasu; nigdy nie będzie pewien dokąd płynie. (Leonardo
da Vinci)
2. Gdyby prasa donosiła o wszystkich i tylko przypadkach śmierci na stole
operacyjnym — co mieści się w ryzyku chirurgicznym — to doprowadzono by do całkowitego braku zaufania do chirurgii.
3. Brak społecznej zgody na udzielanie przepustek dla więźniów bierze się
z tego, że prasa donosi o wszystkich i tylko wypadkach, gdy więźniowie
na przepustce popełniają przestępstwo. Przestępstwa te jednak stanowią zaledwie 0.25% wszystkich przestępstw. (Min. L.K., 27.02.97 r.)
220
Zadanie 2.37. W środę dokonano kradzieży znacznej kwoty pieniędzy z banku
A. Przestępcy mieli rozeznanie systemu alarmowego i posterunków strażników. System został wyłączony, a strażnicy obezwładnieni. Kasy otworzono
posługując się kluczami i narzędziami, którymi dysponowali złodzieje.
Czy wniosek, że kradzieży w banku B dokonała ta sama grupa przestępcza jest uprawniony na podstawie tego, że
1. kradzieży dokonano w środę,
2. ukradziono tyle samo pieniędzy, co z banku A,
3. zastosowano te same narzędzia, które zastosowano dla dokonania kradzieży w banku A,
4. wyłączono system alarmowy i obezwładniono strażników,
5. system alarmowy był tego samego rodzaju, co w banku A,
6. wyłączono system alarmowy, obezwładniono strażników oraz zastosowano te same narzędzia, z których korzystano w kradzieży w banku
A?
Zadanie 2.38. Wskaż człon X stosunków tak, aby zachodziła analogia:
1. głęboki : kosztowny : : płytki : X,
2. człowiek : skrzela : : ryba : X,
3. ABC : ABCD : : X : P QRS,
4. X : lekarstwo : : sklep spożywczy : żywność,
5. chirurg : skalpel : : X : pióro,
6. X : restauracja : : przewodnik : miasto,
7. X : drzewo : : jajko : ptak,
8. termometr : temperatura : : X : czas,
9. X : szczekanie : : kot : miauczenie,
10. kuchnia : X : : sypialnia : spanie.
Zadanie 2.39. Określono rodzaj rozumowania użytego w podanej argumentacji oraz dokonaj jego analizy:
2.3. WNIOSKOWANIE
221
1. Rozmawiałem z prezydentem Jelcynem. Pytałem o stosunki ze Stanami Zjednoczonymi. Odpowiedział, że są znakomite. Pytałem o stosunki z Niemcami. Odpowiedział, że świetne. Podobnie ocenił stosunki
z Francją i Wielką Brytanią. Kiedy zapytałem z stosunki z Polską prezydent Jelcyn stwierdził ich niezadowalający stan. Stany Zjednoczone
są w NATO, tak samo Niemcy, Francja i Wielka Brytania. Polska nie
należy do NATO. Powiedziałem prezydentowi Jelcynowi, że dla polepszenia stosunków z Rosją trzeba, aby Polska przystąpiła do NATO. —
Argumentacja zastosowana przez A.K. na spotkaniu w siedzibie NATO.
2. Pierwsza rewolucja techniczna zdewaluowała pracę fizyczną przez przewagę maszyn. Zapłata za pracę kopacza nie będzie w USA wystarczająco niska, aby była konkurencyjna z pracą koparki. Współczesna
rewolucja techniczna (bardzo szybkie komputery, tak zwane „myślące
maszyny”) podobnie skazują na dewaluację ludzki mózg przynajmniej
w wypadku prostych i rutynowych decyzji. Oczywiście, podobnie jak
sprawny stolarz, sprawny mechanik, sprawny krawiec w pewnym stopniu przeżyli pierwszą rewolucję przemysłową, tak sprawny naukowiec
i sprawny zarządca mogą przeżyć drugą. (N. Wiener, Cybernetics, New
York 1948.)
3. Obserwujemy bardzo duże podobieństwo między Ziemią, którą zamieszkujemy a innymi planetami: Saturnem, Jowiszem, Marsem, Wenus i Merkurym. Wszystkie one krążą wokół Słońca, jak Ziemia, aczkolwiek w różnych odległościach i z różnymi okresami. Wszystkie świecą
światłem słonecznym, jak Ziemia. O kilku z nich wiadomo, że kręcą się
wokół własnej osi, jak Ziemia i w ten sposób muszą mieć dnie i nice.
Niektóre mają księżyce, które dają światło w wypadku braku słońca,
jak nasz Księżyc to czyni. Wszystkie one, w swoim ruchu, podlegają
temu samemu prawu grawitacji, jak Ziemia. Z wszystkich tych podobieństw nie jest to nieracjonalne, aby myśleć, że planety te, podobnie jak Ziemia, są zamieszkiwane przez różnego rzędu stworzenia żywe.
(T. Reid, Essays on the Intellectual Powers of Man, Pennsylvania State
University Press, 2002.)
Zadanie 2.40. Oceń krytycznie poniższe argumentacje.
1. Nie powinniśmy oskarżać mediów o psucie obyczajów. Prasa, radio
i telewizja są podobne do prognozujących pogodę, a do nich nie mamy
pretensji, że informują o złej pogodzie.
222
2. Demokracja nie sprawdza się w rodzinie. Rodzice mają decydujący
głos, bo oni wiedzą najlepiej, co jest dobre dla ich dzieci. Podobnie
najlepszym ustrojem nie jest ustrój demokratyczny, lecz ten, w którym
przywódcy wiedzą co najlepsze dla obywateli.
Zadanie 2.41. Czy w rozumowania przez analogię są dopuszczalne w kwestiach etycznych?
Filozof Judith Thomson w bardzo znanym tekście A Defense of Abortion
z 1971 r., prawo kobiet do aborcji w wypadku niechcianej ciąży uzasadnia
przez analogię. Ktoś budząc się stwierdza, że jego ciało wykorzystane zostało
do podtrzymania przy życiu nieprzytomnego skrzypka. Thomson twierdzi,
że ten ktoś ma prawo do odłączenia od skrzypka, nawet gdyby spowodowało
to śmierć skrzypka. W takim razie również w pewnych wypadkach kobieta
ma prawo do aborcji niechcianego dziecka.
2.3.8
Klasyfikacja rozumowań
Wnioskowania, o których tu przede wszystkim mowa, nie są jedynym rodzajem czynności umysłowych, za pomocą których wzbogacamy wiedzę i dochodzimy do przekonań. Te czynności umysłowe, które, jak wnioskowania, mają
na celu ustalenie stosunku uzasadniania między zdaniami (zbiorami zdań),
to różnego rodzaju rozumowania.
W dotychczasowych rozważaniach zarysował się zasadniczy podział wnioskowań ze względu na stopień zagwarantowania prawdziwości wniosku na:
1. wnioskowania dedukcyjne,
czyli takie, w których prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość
wniosku, lub — co na jedno wychodzi — wniosek wynika z przesłanek,
2. wnioskowania uprawdopodobniające,
czyli takie, w których prawdziwość przesłanek nie gwarantuje prawdziwości wniosku, lecz gwarantuje większe prawdopodobieństwo prawdziwości wniosku niż jego zaprzeczenia.
Wnioskowania uprawdopodobniające można podzielić ze względu na
to, czy ma, czy też nie ma miejsce wynikanie przesłanek z wniosku na
takie, w których:
(a) przesłanki wynikają z wniosku,
są to wnioskowania redukcyjne, jak np. wnioskowania przez indukcję enumeracyjną niezupełną,
2.3. WNIOSKOWANIE
223
(b) przesłanki nie wynikają z wniosku,
jak np. wnioskowania przez analogię.
Innym zasadniczym podziałem wnioskowań byłby ich podział według kierunku wynikania na:
czyli takie, w których wniosek wynika z przesłanek,
2. wnioskowania redukcyjne,
czyli takie, w których przesłanki wynikają z wniosku.
Ten podział nie obejmuje wszystkich wnioskowań. Do wnioskowań zaliczyliśmy np. wnioskowania przez analogię, a nie są one ani dedukcyjne, ani
redukcyjne.
Tradycyjny podział wnioskowań na:
jako wnioskowania od ogółu do szczegółu,
2. wnioskowania indukcyjne,
jako wnioskowania od szczegółu do ogółu,
nie jest jasny, bo nie jest wyraźne, co tu należy rozumieć przez „ogólne” a co
przez „szczegółowe”.
Interesujące byłoby podjęcie próby zdefiniowania rozumowania tak, aby
zgodnie z taką definicją rozumowaniem były wszystkie te procedury, które
zwykło się nazywać rozumowaniami. Interesowałyby nas rozumowania pojęte jako wytwory, jako przedstawienie w szacie językowej procesu myślenia z pominięciem wszystkiego tego, co w nim było przypadkowe i nie jest
istotne dla jego wyniku. Myślenie jest procesem natury duchowej, niekoniecznie intersubiektywnie komunikowalnym, a być może nawet nie do końca
werbalizowalnym. Myślenie, w odróżnieniu od rozumowania, jest procesem
indywidualnym, niepowtarzalnym.
Rozumowanie jako wytwór można opisać następująco.
Definicja 2.50. Rozumowanie to dwa niepuste zbiory zdań Z1 i Z2 takie,
że
1. zdania ze zbioru Z1 uzasadniają zdania ze zbioru Z2
lub odwrotnie,
zdania ze zbioru Z2 uzasadniają zdania ze zbioru Z1 ,
224
2. zdania ze zbioru Z1 są uznane, a ze zbioru Z2 nie są uznane
lub odwrotnie,
zdania ze zbioru Z2 są uznane, a ze zbioru Z1 nie są uznane.
W punkcie wyjścia rozumowania dany jest zbiór Z1 , w wyniku procesu
rozumowania stworzony jest zbiór Z2 .
Pojęcia uzasadniania i uznawania są pojęciami relacyjnymi. Uzasadnianie, o którym mowa w definicji jest pojęte jako związek między zbiorami
zdań Z1 i Z2 . Nie jest więc tu ważne, czy zdania z jednego lub drugiego
zbioru są uzasadnione w jakimś innym sensie, np. w systemie wiedzy. Pytamy tylko o to, czy zdania ze zbioru Z1 uzasadniają zdania ze zbioru Z2 ,
czy też odwrotnie, zdania ze zbioru Z2 uzasadniają zdania ze zbioru Z1 . To
rozstrzygnięcie ma konsekwencje dla rozumienia uznawania. Kiedy np. mówimy, że zdania są uznane, a szuka się zdań, które by je uzasadniały, to nie
twierdzimy tym samym, że te uznane zdania nie są uzasadnione. Podobnie
kiedy mówimy, że dane są zdania, które uzasadniają, to nie przesądzamy
tego, czy są one uznane. Gdyby było inaczej, to byłoby to sprzeczne z wcześniejszymi ustaleniami, że zdania, które są uznane, powinny być uzasadnione;
a jeśli są uzasadnione, to powinny być uznane. Charakterystyka rozumowań
poprzez pojęcia relacyjne sama będzie relacyjna. To, jakiego rodzaju jest
dane rozumowanie zależy od odniesienia składających się na jego charakterystykę pojęć relacyjnych uznawania i uzasadniania. Podana klasyfikacja
rozumowań ma więc charakter pragmatyczny.
Każdy rodzaj rozumowania daje się scharakteryzować przez własności 1–
2 wyróżnione w definicji 2.50. Ponieważ wskazaliśmy dwie własności (uzasadnianie, uznawanie), więc czysto kombinatorycznie można scharakteryzować
cztery rodzaje rozumowań.
1. (a) dany jest zbiór zdań, które mają być uzasadniane i nie są uznane;
(b) tworzony jest zbiór zdań, które uzasadniają i są uznane;
2. (a) dany jest zbiór zdań, które mają być uzasadniane, a są uznane;
(b) tworzony jest zbiór zdań, które mają uzasadniać, a nie są uznane;
3. (a) dany jest zbiór zdań, które uzasadniają, a nie są uznane;
(b) tworzony jest zbiór zdań, które będą uzasadniane i są uznane;
4. (a) dany jest zbiór zdań, które uzasadniają i są uznane;
(b) tworzony jest zbiór zdań, które będą uzasadniane i nie są uznane.
2.3. WNIOSKOWANIE
225
Rozumowanie 1 to uzasadnianie. W wypadku, gdy stosunkiem uzasadniania jest stosunek wynikania to jest to dowodzenie. Dowodzenie to uzasadnianie, w którym dla nie uznanego zdania poszukujemy uznanych racji.
Dowodzone zdanie wynika z tych uznanych racji, inaczej mówiąc zdania te
pozostają w stosunku racja-następstwo.
Powiedzmy, że ktoś nie uznaje zdania α, bo brak temu komuś wystarczających racji dla jego uznania. Uzasadnić temu komuś zdanie α to znaleźć
takie zdania uznawane przez tego kogoś, aby stanowiły one dla tego kogoś
wystarczającą rację uznania α. W wypadku systemu wiedzy w sensie obiektywnym uzasadnienie zdania α polega na wskazaniu wśród zdań uznanych
w tym systemie takich zdań, które zgodnie z jego zasadami stanowią wystarczającą rację dla włączenia do niego zdania α.
Uzasadnianie od wnioskowania różni się punktem wyjścia. W wypadku
uzasadniania punkt wyjścia stanowią zdania będące w wypadku wnioskowania wnioskami, a punkt dojścia stanowią zdania będące we wnioskowaniu
przesłankami.
Rozumowanie 2 to wyjaśnianie.
W połowie 1996 r. obserwowany był spadek wzrostu gospodarczego Polski. Prasa wyjaśniała to twierdząc, że błędna jest polityka gospodarcza
rządu. Lekarz stwierdzając u pacjenta wysoką temperaturę i katar wyjaśnia
to twierdząc, że pacjent jest chory na grypę. Zdania o stanie gospodarki i stanie zdrowia pacjenta są zdaniami uznanymi. Racjami ich uznania są dane.
Zarówno zdanie stwierdzające, że rząd prowadzi błędną politykę gospodarczą jak i zdanie stwierdzające, że pacjent jest chory na grypę nie są zdaniami
uznanymi. Zdania te uzasadniają zdania, że następuje spadek tempa wzrostu
gospodarczego i, odpowiednio, wysoką temperaturę oraz katar pacjenta.
Rozumowanie 3 to sprawdzanie.
Sprawdzanie pozostaje w związku z wyjaśnianiem. Zauważmy bowiem,
że punktem dojścia wyjaśniania jest zbiór zdań nie uznanych, które uzasadniają. Takiego rodzaju zbiór zdań jest zaś punktem wyjścia sprawdzania.
Jeśli katastrofę samolotu TWA w lipcu 1996 r. wyjaśnimy, że był to zamach terrorystyczny, to będziemy chcieli to sprawdzić. Czynić będziemy to
w ten sposób, że będziemy rozważali nieuznane zdania, które uzasadniają
taki przebieg zdarzeń. Oczywiście, im więcej takich zdań zostanie następnie
potwierdzonych przez zebrany materiał dowodowy, tym pewniejsze będzie,
że taki a nie inny był powód katastrofy samolotu.
Rozumowanie 4 to wnioskowanie.
Uzasadnianie, wyjaśnianie i sprawdzanie jeśli spojrzymy na nie czysto
formalnie, z pominięciem aspektu pragmatycznego, nie różnią się od wniosko-
226
wania. We wnioskowaniu w punkcie wyjścia, przesłankami są zdania uznane
i uzasadnione. W punkcie dojścia, wnioskiem jest zdanie nieuznane i uzasadniane przez przesłanki.
Zadania
Zadanie 2.42. Określ rodzaj rozumowania:
1. Tegoroczne plony są niskie. Jest tak z powodu suszy panującej w czasie
wegetacji roślin.
2. Panuje susza, zatem należy spodziewać się niskich plonów.
3. Zwiększa się udział programów naruszających zasady dobrych obyczajów i moralności. Spowodowane jest to postępującą komercjalizacją
mediów.
4. Gdyby Jan brał udział w napadzie, to nie byłoby go wówczas w domu.
Jana w czasie napadu nie było w domu.
2.4
Argumentacja
Logic is the science needed in order to test arguments.
C. S. Peirce
[. . . ] i nie chciałbym, aby w cokolwiek ktoś uwierzył,
dopóki by go nie przekonały oczywiste i niezbite argumenty.
Descartes
Sztuka przekonywania ma duże znaczenie praktyczne w systemach demokratycznych i wolnorynkowych. W demokracji osiąganie celów politycznych
i społecznych wymaga szerokiego poparcia, a więc trzeba umieć przekonać
i to nie tyle do siebie, co — w wypadku dojrzałej demokracji — do trafności
programu i podejmowanych działań. Im większe umiejętności argumentowania choćby przez adwokatów i prokuratorów, tym wyższy poziom praworządności. W systemie wolnorynkowym, cechującym się nadwyżką podaży
towarów i usług nad popytem, trzeba umieć przekonać klienta do oferowanego przez siebie towaru lub usługi. Reklama nastawiona jest w zasadzie na
spowodowanie jedynie określonego zachowania się klienta, odwołuje się więc
głównie do emocji, stąd najskuteczniejsza jest w stosunku do dzieci. Ludzie
dojrzali chcą być jeszcze przekonani o trafności swojej decyzji. Zarówno politykowi jak i handlowcowi pożytek przynosi umiejętność negocjowania, której
nieodłącznym elementem jest umiejętność przekonywania.
2.4. ARGUMENTACJA
227
Sztuką argumentowania zajmowali się już starożytni filozofowie. Stała się
specjalnością sofistów. Uważali, że «doskonałość» człowieka nie jest sprawą
ani przypadku, ani losu i urodzenia, lecz dziełem «rzemiosła» i że można jej
nauczać i uczyć się. Cel ten osiąga się przez nauczanie sztuki przemawiania,
nauczanie języka i publicznego występowania.
Współczesne zainteresowanie retoryką jako sztuką przekonywania ma m.in.
związek z rozwojem rozwojem demokracji i gospodarki wolnorynkowej.
Eris rzuciła jabłko z napisem „najpiękniejsza”. Spór między pretendentkami do tego tytułu rozstrzygnął Parys na korzyść Afrodyty. Otrzymał za to
Helenę, lecz wywołał krwawą wojnę trojańską. Od imienia bogini Eris bierze
się nazwa sztuki prowadzenia sporu — erystyki. Zajmowali się nią sofiści.
Uprawiana była w szkole megarejskiej założonej przez Euklidesa z Megary
(V–IV w. p.n.e.), ucznia Sokratesa. W sztuce erystycznej nie chodzi o dociekanie prawdy, lecz o wygranie sporu. Stosowana jest argumentacja „czy się
godzi, czy nie” (per fas et nefas).
2.4.1
Z dziejów teorii argumentacji
Protagoras (ok. 491–411 p.n.e.) był „pierwszym filozofem w nowym stylu:
mniej badaczem, więcej nauczycielem, mówcą, popularyzatorem” (Tatarkiewicz Wł., Historia filozofii; t. 1, s. 67.). Głosił, że „człowiek jest miarą
wszystkich rzeczy, istniejących, że istnieją, i nieistniejących, że nie istnieją”.
Nie ma bezwzględnej prawdy i w ogóle wartości. Kryterium prawdy i wartości jest konkretny człowiek. Ponieważ w każdej sprawie poszczególni ludzie
mogą się między sobą różnić, więc w każdej sprawie uzasadnione mogą być
sądy przeciwne. Sofista naucza, jak człowiek ma swoje przekonania uzasadniać i ukazywać sądy mniej uzasadniony jako najbardziej «prawdziwe». Sofiści byli pierwszymi, którzy świadomie zaczęli stosować socjotechnikę. Protagoras mówił:
Moje nauczanie ma na oku zręczności zarówno w sprawach prywatnych — czyli jak najlepiej zarządzać własnym domem, jak
i w sprawach publicznych — to znaczy jak stać się w najwyższym
stopniu biegłym w kierowaniu sprawami publicznymi, i w czynach i słowach. (Platon, Protagoras, 318e)
Gorgiasza z Leontinoi (ok. 483–375 p.n.e.) przeszedł do historii jako
doskonały retor a także polityk. Zachwala swoją naukę, dzięki której:
to niewolnikiem będziesz miał lekarza, niewolnikiem i nauczyciela
gimnastyki, a ów dorobkiewicz, pokaże się, że się dla kogoś innego
228
dorabia: nie dla siebie, tylko dla ciebie, który potrafisz mówić
i nakłaniać tłumy. (Platon, Gorgiasz, 452d–e)
Jego zdaniem sofista tylko ćwiczy do życia publicznego. Jak nie można
karać nauczyciela gimnastyki za to, że uczeń schodzi na złą drogę i zaczyna
prowadzić życie grabieżcy i rozbójnika, tak samo nie można czynić zarzutu
sofiście. Jest on bowiem tylko nauczycielem retoryki, a ta może być użyta
zarówno dla różnych celów, zarówno dobrych jak i złych.
Sami sofiści niekoniecznie byli dobrymi retorami. Przykładem może być
Isokrates (ok. 436–338 p.n.e.), któremu zarówno brak silnego głosu i postura
uniemożliwiały bycie retorem, czego pragnął. Dzięki założonej w Atenach
szkole retorycznej (pierwszej w ogóle szkole średniej), którą prowadził przez
50 lat stał się sławny i bogaty. W najbardziej znanej i najważniejszej mowie
politycznej „Panegiryk”, Isokrates wzywa wszystkich Greków do zjednoczenia
się przeciwko Persom. Isokrates widział we wzrastającej potędze Macedonii oparcie dla Grecji przeciwko Persji. Po bitwie pod Cheroneą popełnił
samobójstwo.
Sofiści jako pierwsi w starożytnej Grecji zaczęli pobierać pieniądze za
uczenie, czego nie czynili filozofowie. Tytułując się nadto sofistami, czyli
mędrcami, musieli narazić się filozofom, czyli tylko miłośnikom mądrości.
Potęga słowa rozwijała się wraz z demokracją, kiedy to za pomocą daru wymowy, można było osiągnąć sukces. Sofiści byli doskonali w swoim fachu,
gdyż zyskali sobie wielki rozgłos i popularność. Starożytni Grecy cenili znajomość sztuki argumentowania, skoro chcieli płacić za naukę swoich dzieci.
Mówi się, że Protagorasowi płacili nawet 10 tys. drachm, aby w ciągu trzech,
czterech lat ich synowie stali się popularnymi mówcami i mężami stanu.
W Rzymie Cycero uczył pisania na temat i w stylu różnych autorów.
Dodajmy, że współcześnie A. P. Dale Carnegie (1888–1962) zrobił karierę
i majątek ucząc w Stanach Zjednoczonych sztuki przemawiania i przekonywania.
Sofistyka pozostaje w związku z retoryką, czyli sztuką wymowy. Sofiści uczyli jak przekonywać indywidualne osoby, retorzy zaś jak przekonywać
większe audytoria. Sofiści uchodzą za ojców retoryki. Retorzy uczyli sofistyki. «Wynalazcą» retoryki i autorem razem ze swoim uczniem Tyzjaszem
pierwszego podręcznika był urodzony ok. 476 r. na Sycylii Koraks z Syrakuz. Dla Koraksa retoryka to „rzemiosło perswazji”. Od jego nazwiska
pochodzi nazwa jednego ze sposobów przekonywania — argument Koraksa.
Arystoteles tak go opisuje:
Jeśli bowiem oskarżony nie jest w stanie popełnić zarzucanego mu
czynu, bo np. jest słaby — a obwinia się go o pobicie, broni się,
2.4. ARGUMENTACJA
229
że jest to nieprawdopodobne. Jeśli natomiast jest w stanie tego
dokonać, bo jest silny, również twierdzi, że jest to nieprawdopodobne, ponieważ jest prawdopodobne, że wydałby się winnym.
(Arystoteles, Retoryka, 1402a17–1402a28)
Zauważał, że typowe przemówienie zawiera pięć części: wstęp, przedstawienie faktów omawianego przypadku, argumenty odnoszące do danego przypadku, uwagi pomocnicze i zakończenie.
Arystoteles (384–322) wskazywał trzy sposoby retorycznego uzasadniania. Na skuteczność argumentacji wpływa:
1. Ethos: charakter i wiarygodność tego, kto argumentuje.
2. Pathos: umiejętność wywoływania u tych, wobec których się argumentuje właściwych dla argumentacji stanów emocjonalnych.
3. Logos: poprawność logiczna argumentacji.
Quintilian (35–100) był najbardziej wpływowym rzymskim nauczycielem
retoryki. Określił pięć jej zasad:
1. inventio: proces wyszukiwania i opracowywania argumentów,
2. dispositio: określenie i uporządkowanie argumentów,
3. elocutio: dobranie słów i określenie stylu.
4. pronuntiatio: określenie głosu, wyglądu i gestykulacji.
5. memoria: zapamiętanie argumentacji.
Św. Augustyn (354–430), choć nie jest uważany za retora, to dał podstawy homiletyce, czyli retoryce kazań.
W okresie od renesansu do oświecenia rozwijała się sztuka kazań (ars
dictaminis) oraz sztuka pisania listów (ars dictaminis). Retoryka jest obok
gramatyki i logiki, jedną z trzech sztuk wyzwolonych. Sztuki te były nauczane w szkołach Zachodu w ramach trivium. Studenci pisali na tematy
historyczne (suasoriae) oraz prawnicze (controversiae).
Francis Bacon (1561–1626) podjął problem pisania tekstów naukowych.
Właściwy styl miał służyć przedstawieniu faktów i argumentów, czemu nie
sprzyjał modny wówczas styl ozdobny. Wagę należało przywiązywać do kwestii rzeczowych, trafności i głębokości argumentów. Styl — jak później to
podkreślał Hobbes (1588–1679) — powinien być prosty i naturalny.
230
2.4.2
Pojęcie argumentacji
Argumentacja to dobieranie racji dla doprowadzenia do uznania lub odrzucenia przez kogoś jakiegoś przekonania. Tym kimś może być również osoba
argumentująca — czy nie zdarza się nam, że sami siebie próbujemy do czegoś przekonać? Mamy tu na uwadze przekonania bardzo szeroko rozumiane.
Nie tylko chodzi o przekonania, które są zwerbalizowane lub ujęte myślą jako
pewne zdania, lecz również przekonania, których żywienie wyraża się tylko
odpowiednim działaniem lub niedziałaniem. Chodzi również o przekonania,
które wyrażają się naszymi postawami, ocenami i emocjami. Mówiąc o dobieraniu racji mamy na uwadze szerokie ich rozumienie. Racje mogą mieć
charakter racjonalny lub irracjonalny, teoretyczny lub pragmatyczny.
Większą część naszej wiedzy (wiedzy subiektywnej) nabywamy na podstawie tego, co twierdzą inni. Stąd też istotne jest badanie sposobów skutecznego przekonywania, a także metod obrony przed przyjmowaniem przekonań,
które ktoś (w interesie własnym a nie naszym) stara się nam narzucić.
Teoria rozumowań jest nauką aprioryczną. Uzasadniając poszczególne
sposoby wnioskowania nie odwołujemy się do doświadczenia. Odwrotnie,
gdy ktoś przedstawia przebieg jakiegoś zdarzenia, uznajemy za fałsz to co
mówi, gdy kłóci się to z zasadami logiki. Inaczej jest w wypadku teorii argumentacji. Jest to teoria oparta na doświadczeniu. Opisuje ona, jak ludzie
zwykli argumentować, jakie argumenty bywają skuteczne i — ewentualnie
— konstruować nowe skuteczne sposoby argumentacji. Intuicja poprawności rozumowania jest składnikiem natury umysłu. Uczenie się logiki jest
«odkrywaniem» tego, co jest w naszym umyśle. Umiejętność skutecznej argumentacji jest czymś, czego uczymy się «naprawdę», nie jest bowiem nam
dane przez naturę, a jest zawartością pewnej wiedzy o człowieku (również powziętej z introspekcji) i o zachowaniach społecznych. Umiejętność poprawnej
argumentacji jest sztuką.
Powody, dla których żywimy jakieś przekonania bywają różne. Może to
być wynik przemyśleń. Mogą to być też lenistwo, strach, chęć przypodobania
się innym itp. Mogą to być pobudki czysto praktyczne bądź emocjonalne.
Człowiek musi mieć jakieś przekonania światopoglądowe, czyli — najprościej mówiąc — przekonania dotyczące sensu własnego życia. To, jakie są
nasze przekonania światopoglądowe zależy od wychowania, tradycji i kultury,
w jakiej przyszło nam żyć. Przekonania przez nas żywione zwykle tworzą
hierarchię. W tej hierarchii przekonania światopoglądowe zajmują zwykle
dominującą pozycję. Przekonania są odrzucane lub przyjmowane w zależności od tego, czy są niezgodne, czy też nie z dominującymi przekonaniami.
2.4. ARGUMENTACJA
231
Definicja 2.51. Argumentacja to wskazywanie racji dla przyjęcia lub odrzucenia przekonania.
Przekonaniami mogą być jakieś sądy, oceny, dążenia. Racje mogą być
różnorakie, nie koniecznie racjonalne i nie koniecznie uczciwe. Mogą być
przytaczane racje wskazujące na prawdziwość przekonania. Mogą to też być
racje pragmatyczne, np. wskazujące na użyteczność lub korzyści płynące
z przyjęcia danego przekonania.
W argumentacji korzystamy z logiki formalnej, jeśli ułatwia to osiągnięcie celu argumentacji. Argumentacja uwzględnia jednak również poza racjonalne aspekty, jak np. zasady uzasadniania przyjęte przez tych, do których
jest skierowana. Zwykle argumentacja bywa zabiegiem erystycznym. Oprócz
dowodzenia i wskazywania racji racjonalnych stosuje się również perswazję,
która jest przekonywaniem retorycznym, dokonującym sie w sferze subiektywnej.
Definicja 2.52. Perswazja to argumentacja, w której dominują racje pragmatyczne.
Z argumentacją mamy do czynienia m.in. w wypadku:
• uzasadniania komuś twierdzeń,
• agitacji,
• propagandy,
• nauczania,
• reklamy.
Z punktu widzenia logiki istotny jest rodzaj związku między argumentem
a tezą. Na przykład teza może być uzasadniania w argumentacji poprzez:
• wnioskowanie niezawodne,
• wnioskowanie uprawdopodobniające,
• chwyt (fortel) erystyczny.
232
2.4.3
Zasady argumentowania
If you would persuade, you must appeal
to interest rather than intellect.
B. Franklin
Wnioskowanie ocenia się jako poprawne lub nie. Wnioskowanie poprawne
to takie wnioskowanie, w którym wniosek jest uzasadniony przez przesłanki,
a więc gdy wynika z prawdziwych przesłanek lub gdy prawdopodobieństwo
jego prawdziwości ze względu na dane prawdziwe przesłanki jest większe niż
prawdopodobieństwo jego negacji.
Argumentację należałoby oceniać jako skuteczną lub nie.
Definicja 2.53. Argumentacja skuteczna to argumentacja, która prowadzi do osiągnięcia celu: do uznania lub odrzucenia przekonania, które było
przedmiotem argumentacji.
Argumentacja skuteczna w wypadku jednej osoby może nie być skuteczna
w wypadku innej. Sukces zależy od retorycznego charakteru argumentacji i od racjonalnych i pozaracjonalnych (psychologicznych) składników postaw osób, wobec których przeprowadzana jest argumentacja. Wnioskowanie,
szerzej rozumowanie, jest środkiem argumentacji. Poprawne wnioskowanie
jest skutecznym sposobem argumentowania w wypadku osób kierujących się
w doborze przekonań przede wszystkim racjami racjonalnymi.
Skuteczna argumentacja, podobnie jak wnioskowanie, może być przeprowadzona większym lub mniejszym nakładem środków. Argumentacja,
podobnie jak rozumowanie, powinna być sprawna.
Definicja 2.54. Argumentacja sprawna to argumentacja, która prowadzi do założonego celu za pomocą możliwie najmniejszego wielorako rozumianego wysiłku zarówno osoby argumentującej, jak i osoby, dla której jest
ona przeprowadzana.
Argumentacja jest skuteczna i sprawna gdy:
1. Jako przesłanki użyte są tylko zdania, które osoba przekonywana uważa
za uzasadnione. Ponadto, przesłankami entymematycznymi tej argumentacji są te i tylko te zdania, które należą do domyślnych prawd tej
osoby.
2. Osoba przekonywana jest przeświadczona, że przesłanki uzasadniają
wniosek.
2.4. ARGUMENTACJA
233
3. Poszczególne przesłanki są nieodzowne dla skuteczności przekonywania.
Kolejne warunki odnoszą się do uczciwej argumentacji. Argumentacja
może być sprawna i skuteczna, mimo że nie spełnia tych warunków.
Argumentacja, która je spełnia, jest argumentacją poprawną logicznie. Warunki 1–3 są warunkami pragmatycznymi. Rozumowanie, które
spełnia warunki 4–6, jest poprawne logicznie.
4. Wszystkie przesłanki, jawne i domyślne, są zdaniami prawdziwymi.
5. Przesłanki uzasadniają wniosek.
6. Przesłanki są konieczne logicznie dla uzasadnienia wniosku.
ad 1. Spełnienie tego warunku wymaga pewnej wiedzy o osobie przekonywanej. Przede wszystkim musimy wiedzieć, czy są przez nią uznawane zdania,
które zamierza się wykorzystać jako przesłanki. Wiedząc, że osoba przekonywana jest przesądna możemy odwieść ją od jakiegoś działania wskazując,
że dany dzień to piątek 13-tego. Jeśli ktoś nie wie, że woda może przybrać postać skały (lód), to zastosowanie przesłanki to stwierdzającej może
nawet osłabić argumentację, co zdarzyło się holenderskiemu ambasadorowi
w rozmowie z królem Syjamu26 .
Jeśli chodzi zaś o przesłanki entymematyczne, to z jednej strony trzeba
jako przesłanek entymematycznych unikać zdań, które dla tej osoby nie są
domyślne, z drugiej zaś strony — mając na uwadze względy ekonomii —
należy jako przesłanek entymematycznych użyć wszystkich tych zdań, które
zamierza się wykorzystać jako przesłanki, a które wyrażają prawdy domyślne
tej osoby.
Poddanie w wątpliwość poprzez uzasadnianie czyjeś przesłanki entmematycznej może wywołać niepożądany skutek i osłabić argumentację. Będzie
tak np. w wypadku, gdy komuś, dla kogo oczywiste jest, że Bóg istnieje
będziemy to uzasadniać.
Do tego punktu w szczególności, ale i do kolejnych dwóch, 2 i 3, ma zastosowanie rada Teofrasta, ucznia Arystotelesa. Zaleca on, aby nie rozwlekać
się z dokładnością nad wszystkimi szczegółami. Pisze, aby pozwolić samemu
słuchaczowi dorozumieć się i domyślić pewnych rzeczy. Gdy sam dostrzeże
to, coś pominął, stanie się nie tylko twoim słuchaczem, lecz także świadkiem, i to życzliwym. Albowiem zdaje mu się, że jest inteligentny, gdyż
ty pobudziłeś jego inteligencję. Natomiast wyjaśnianie wszystkiego, jakby
26
Zob. Locke, J. An Essay Concerning Human Understanding; ks. 4, rozdz. 15.
234
nierozgarniętemu, stwarza pozór, że nie przywiązujesz wagi do pojętności
słuchacza27 .
ad 2. Jeśli argumentacja ma być skuteczna, to przesłanki nie powinny budzić zastrzeżeń osoby przekonywanej co do wypełniania przez nie funkcji
uzasadniania. Jeśli na przykład ktoś nie widzi związku między przeszłością polityczną a aktualnymi działaniami, to przesłanka, że prezes NBP był
członkiem partii komunistycznej nie spełni swojej roli w przekonywaniu, że
jego postępowanie w sprawie połączenia banku PKO SA i banku BPH jest
niezgodne z interesem państwa.
Nawet gdy jakieś zdanie faktycznie uzasadnia wniosek, ale nie dostrzega
tego osoba przekonywana, to z takiego zdania jako przesłanki należy zrezygnować, ewentualnie odrębną argumentacją przekonać o związku tego zdania
z wnioskiem. Na przykład jeśli ktoś nie widzi związku inflacji z wielkością
stóp procentowych, to w przekonywaniu go na taki związek nie możemy się
powoływać.
ad 3. Warunek ten podyktowany jest względami ekonomii. Nie należy bowiem mnożyć przesłanek bez potrzeby. Nadmiar przesłanek może nawet
utrudniać uzasadnienie wniosku.
Argumentując trzeba liczyć się z:
• możliwością utrzymywania uwagi i cierpliwością tych, wobec których
argumentujemy;
Mało kto, nie będąc do tego jakoś zobligowany lub zainteresowany jest
zdolny słuchać przez 10 godzin, i niewielu zmobilizujemy do przeczytania 1000 stronicowego dzieła.
• zasadami kultury osobistej, która nakazuje zmieszczenie się w z góry
określonych ramach czasowych lub wielkości publikacji;
• prawem innych do zaprezentowania swojego stanowiska i ich prawem
do polemiki.
Spośród możliwych argumentów należy stosować te, które mają większą moc
przekonywania dla tych, dla których argumentujemy. Pomijać należy argumenty słabsze lub nieuznawane przez pewną część audytorium. Wzbudzić
to bowiem może podejrzenie, że nie mamy argumentów mocniejszych. Argument mocniejszy dla jednego może być słabszy dla drugiego. Uwzględniać
należy poziom intelektualny tego, dla kogo argumentujemy: «mądrzejsze»
argumenty mogą okazać się mniej sprawne — ludzie chętniej akceptują to,
27
Zob. Demetriusz, O wyrażaniu się [w:] Trzy stylistyki greckie, Wrocław 1953, s. 222.
2.4. ARGUMENTACJA
235
co rozumieją i co potwierdza ich «mądrość». Moc argumentu zależy też
od jego miejsca w argumentacji. Należy więc zwracać uwagę na kolejność,
w jakiej argumenty są podawane. Ważne jest «środowisko», jakim się pojawiają. Jeśli audytorium nie będzie odpowiednio przygotowane, to argument
może okazać się jałowy, a nawet przynosić odwrotne od zamierzonych skutki.
Inaczej argumentujemy wobec dzieci, inaczej wobec dorosłych. Nie należy
stosować argumentów nie mających — przynajmniej w przeświadczeniu tego
kogoś, kogo przekonujemy — związku z uzasadnianą tezą. Mogą dawać one
skutek odwrotny od zamierzonego, mogą osłabiać argumentację. Jeśli argumentacja skierowana jest do wielu, to mocniejszym argumentem jest ten,
który jest przekonywujący dla wszystkich a nie tylko części słuchaczy.
ad 4. Warunek 1 mówił tylko o tym, że wszystkie przesłanki mają być uznawane przez osobę przekonywaną. Osoba przekonywana może jednak uznawać
jakieś zdania fałszywe. Warunek 1 ma charakter pragmatyczny i podyktowany jest tym, by wnioskowanie było skuteczne. Spełnienie tego warunku
wymaga pewnej wiedzy o osobie, wobec której argumentujemy. Warunek 4
jest warunkiem logicznej poprawności wnioskowania. Łącznie z warunkiem 1
ogranicza możliwości wyboru przesłanek do prawdziwych zdań akceptowanych przez osobę przekonywaną. W zwykłych sytuacjach sprawdzenie tego,
czy dana osoba uznaje jakieś zdanie, nie przedstawia specjalnej trudności.
Prawdziwość przesłanek nie zawsze daje się stwierdzić w tak kategoryczny
sposób. Osoba przeprowadzająca argumentację może się mylić i nawet w dobrej wierze przyjmować jako przesłanki zdania fałszywe.
ad 5. Zauważmy, że warunek 2 ma charakter pragmatyczny i mówi tylko
o tym, że osoba przekonywana zgadza się z tym, że przesłanki uzasadniają
wniosek. Osoba ta może się co do tego mylić. Warunek 5 mówi o tym,
że przesłanki obiektywnie, a więc niezależnie od czyichś opinii, uzasadniają
wniosek. Warunki 2 i 5 brane łącznie ograniczają wybór przesłanek do zdań,
które obiektywnie, w sensie logicznym, i subiektywnie dla osoby przekonywanej uzasadniają wniosek.
ad 6. W wypadku, gdy wniosek wynika z jakichś przesłanek, to wynika on
również z tych przesłanek uzupełnionych o inne zdania, nawet takie, które nie
mają żadnego związku z tym wnioskiem. Dodatkowe zbyteczne przesłanki,
w szczególności nieakceptowane przez przekonywaną osobę mogą prowadzić
do wzbudzenia wątpliwości lub stracenia wątku.
Skuteczność argumentacji zależy od bardzo wielu czynników, np. zależy do kolejności, w jakiej wskazywane są poszczególne racje. Badanie tych
czynników i tworzenie wzorców skutecznej argumentacji jest przedmiotem
refleksji teoretycznej. Umiejętność sprawnego i skutecznego przekonywania
236
jest sztuką, «rzemiosłem», które jest przedmiotem nauczania.
2.4.4
Metody argumentowania
Niektóre metody argumentacji zostały opisane i wyróżnione. Jedne z tych
metod bardziej powszechne. Inne są typowe np. dla argumentacji prawniczej. Tu omówimy te, które znajdują szersze zastosowanie.
Argument Koraksa odwołuje się do przewidywanych skutków czynu.
Stosowany jest wówczas, gdy: człowiek, który miał powód do dokonania
przestępstwa twierdzi, że nie mógł go popełnić, bo jasne było, że na niego
padnie podejrzenie; ktoś znany jako prawdomówny powołuje się na swoją
opinię jako osoby prawdomównej; ktoś znany z kłamliwości powołuje się na
tę opinię twierdząc, że zdaje sobie sprawę z bezcelowości kłamstwa.
Sam Sokrates znany jest z dwóch metod przekonywania:
• elenktycznej — odrzucanie twierdzeń przeciwnika dokonuje się przez
pokazywanie, że są nieprawdziwe lub niesłuszne;
• majeutycznej — czyli akuszeryjnej, polegającej na zadawaniu pytań
tak, aby sam dyskutant doszedł do danego przekonania. Sokrates najchętniej stosował tę metodę: akuszerka tylko płód przyjmuje — on sam
nie ma nic mądrego do powiedzenia i tylko innych pyta. Dlatego też
o metodzie tej mówi się, że jest metodą sokratyczną.
Wypracowane sposoby przekonywania, będące czasem chwytami nielojalnymi (fortelami), noszą łacińskie nazwy. Chwyty erystyczne nie są regułami poprawnego wnioskowania; są sposobami, które ludzie stosują w argumentacji. Stosują je zaś — jak można sądzić — bo są skuteczne. Omówimy
niektóre z nich.
Argumentum ad hominem 28 — argument dostosowany do człowieka.
Jedną z postaci tego argumentu jest odwoływanie się do poglądów głoszonych przez przekonywanego (niezależnie od tego, czy te poglądy podziela
argumentujący). Może to być pokazanie, że teza, którą przekonywany negował daje się wyprowadzić z innych żywionych przez niego przekonań lub
może to być wypadek, gdy pokazuje się, że przekonanie żywione przez przekonywanego jest sprzeczne z innymi jego przekonaniami.
28
Określenia „argumentum ad hominem” używa się czasem w znaczeniu, które przypiszemy tu określeniu „argumentum ad personam” i odwrotnie, „argumentum ad personam”
używane jest w znaczeniu „argumentum ad hominem”. Zob. str. 238.
2.4. ARGUMENTACJA
237
Argumentum ad baculum — argument odwołujący się do kija. Polega
na aktualnym lub potencjalnym zagrożeniu użyciem środków przymusu (fizycznego lub psychicznego) wobec przekonywanego.
Argumentum ad ignorantiam — argument odwołujący się do niewiedzy. Istota argumentu polega na stwierdzeniu, że przekonywany powinien
przyjąć dane przekonanie, skoro nie potrafi wykazać jego fałszywości. Wykorzystywane może być w tym powoływanie się na rzekome fakty, których
przekonywany nie jest w stanie stwierdzić (np. z powodu braku dostatecznych kwalifikacji) lub na prawdy przekraczające kompetencje przekonywanego, które faktycznie nie uzasadniają tezy, do której chce się go przekonać.
Argumentum ad misericordiam — argument odwołujący się do litości.
Polega na wzbudzeniu litości i współczucia u przekonywanego.
Argumentum ad vanitatem — argument odwołujący się do próżności
(pochlebstwo). Wykorzystuje słabości natury ludzkiej, próżność. Po stwierdzeniach w rodzaju „pana głęboka znajomość rzeczy”, „pan jako fachowiec
doskonale wie” wypowiada się pogląd, który ma uznać osoba komplementowana.
Argumentum ad verecundiam — argument odwołujący się do nieśmiałości. Polega na powoływaniu się na jakiś powszechnie uznany autorytet
lub autorytet uznany przez przekonywanego, nie będący jednak autorytetem w dziedzinie, która jest przedmiotem argumentacji. Przekonywany nie
może zakwestionować tego autorytetu z obawy o zarzut zarozumiałości bądź
skrępowany uczuciami szacunku.
Argumentum ad auditorem — argument odwołujący się do słuchaczy,
do audytorium. Polega na przekonywaniu poprzez odwoływanie się do osób
przysłuchujących się i pozyskanie ich nie przez podanie właściwych racji dla
głoszonej tezy, lecz przez odwołanie się do emocji.
Argumentum ad crumenam
kieszeni (łapówka).
— argument odwołujący się do sakiewki,
Argumentum ad populum — argument odwołujący się do ludu, demagogia, «pod publiczkę». Polega na odwoływaniu się do uczuć zbiorowych,
238
takich jak duma i egoizm narodowy lub rasowy, czy do instynktów i przesądów zbiorowych.
Argumentum e consensu gentium
nej.
— wnioskowanie ze zgody powszech-
Argumentum ad personam 29 — (argument nakierowany na osobę).
Najogólniej biorąc argumentum ad personam ma następującą postać:
przesłanka: O jest złą osobą.
Dlatego
wniosek:
argument osoby O jest nieprawdziwy
(nieprzekonywający)
W wypadku, gdy o przekonanie grupy ludzi zabiega kilka osób (konkurentów, oponentów), jednym ze sposobów pozyskania tej grupy ludzi jest
«wyeliminowanie» konkurentów i oponentów. Argumentum ad personam ma
na celu ich dyskredytację jako ludzi, a nie przeciwstawienie się podawanym
przez nich racjom. Argumentacja ta wykorzystuje psychologiczną skłonność
do mylenia niektórych ułomności, «defektów» ludzi lub środowisk, z którymi są związani, z wypowiadanymi przez tych ludzi racjami. W zależności
od tych ułomności, w zależności od tego, w jakim sensie mówimy, że osoba
jest zła, możemy wyróżnić szczególne wypadki argumentum ad personam:
• Osoba O uczyniła coś moralnie złego, np. argument osoby O jest
fałszywy, bo O była członkiem partii komunistycznej; argument O na
rzecz pacyfizmu jest fałszywy, bo O zdezerterowała. Zdarza się też
kwestionowanie prawdziwości argumentu O ze względu na złe czyny
popełnione przez jego krewnych lub przyjaciół.
• Osoba O nie jest lepsza (tu quoque)– „czy ty jesteś inny?”, np. ktoś
oskarżony przez O o branie łapówki odpowiada: O też bierze łapówki;
O zarzuca komuś niemoralne życie, ten ktoś kontrargumentuje, że O
wcale moralniej nie żyje. Argument ten jest szczególnym wypadkiem
poprzedniego30 .
• Osoba O pełni określoną rolę społeczną, np. argument działacza związkowego jest fałszywy/nieprzekonywający, bo wygłasza oficjalne stanowisko swojego związku; argument teologa na rzecz istnienia Boga jest
29
Zob. przypis do argumentum ad hominem, str. 236.
Argumenty te mają dużą siłę przekonywającą, stąd ważną rzeczą jest, aby np. sędziowie, prokuratorzy, pracownicy NIK-u byli ludźmi bez zarzutu.
30
2.4. ARGUMENTACJA
239
fałszywy/nieprzekonywający, bo jako teolog innego poglądu nie może
głosić.
• Osoba O jest hipokrytą, czyli co innego mówi, a co innego robi. Na
przykład głoszone przez moralizatora zasady etyczne są fałszywe, bo
sam według nich nie postępuje31 .
• Osoba O ma złe zamiary, np. O jako parlamentarzysta występuje na
rzecz określonej ustawy bankowej, bowiem jeśli ustawa zostanie przyjęta, to O jako współwłaściciel banku odniesie korzyści32 .
Przykładami argumentum ad personam są zarzuty podnoszone przeciw:
• prezydenturze Franklina Roosevelta, że nie jest on zdrowy umysłowo,
że cierpi na kompleks Edypa itp., zamiast argumentacji wprost przeciw
jego poglądom,
• głoszonej przez Berkeley’a koncepcji rzeczy jako zespołu idei, że cierpiał on na neurozy,
• filozofii Fryderyka Nitzschego, że jest dziełem lunatyka (Nitzsche ostatnie lata życia spędził w szpitalu dla umysłowo chorych),
• prezydenturze Lecha Wałęsy, że jego pełnoletni syn popełnił przestępstwo drogowe.
Argumentum ad auctoritate — argument odwołujący się do autorytetu. Argument ten ma duże zastosowanie w nauce. O jego zasadniczej
roli można mówić w wypadku teologii. W innych naukach ma charakter
pomocniczy i praktyczny. Argument ten stosowany jest również w prawie.
Argument odwołujący się do powszechnej praktyki (owczy pęd)
Ten argument stosowany jest wówczas, gdy uzasadnia się jakiś pogląd powołując się na to, że jest to pogląd większości lub, że większość w swoim
postępowaniu kieruje się tym poglądem. Czasem słyszymy jak dzieci usprawiedliwiają swoje zachowanie stwierdzeniem, że wszyscy tak postępowali.
W ten sposób argumentuje też ktoś, kto mówi, że w Polsce powinno być tak,
a tak, bo tak a tak jest na całym świecie.
31
O pewnym etyku opowiada się, że na pytanie dlaczego nie postępuje tak, jak głosi,
odpowiedział: „czy drogowskaz chodzi drogą, którą wskazuje?”.
32
Stąd w państwach demokratycznych obowiązuje szereg ograniczeń na działalność gospodarczą parlamentarzystów.
240
Argumentum ad judicium — argument odwołujący się do zdrowego rozsądku. Argument ten ma zastosowanie w prawie.
Na zastosowanie argumentu odwołującego się do zdrowego rozsądku wskazuje opinia Naczelnego Sądu Administracyjnego. W Nowej Europie (12 lipca
1995, s. 14) czytamy:
Oddalając skargę Naczelny Sąd Administracyjny przy okazji wyraził pogląd, że większość wydatków ponoszonych przez podatników stanowi bezspornie koszt uzyskania przychodu. Są jednak sytuacje, w których związek przyczynowo-skutkowy między
wydatkiem a osiągnięciem przychodu jest trudny do wykazania,
stąd wszystkie te sytuacje należy rozwiązywać w oparciu o zasadę zdrowego rozsądku. Nie ma tu żadnych reguł i każda sprawa
wymaga odrębnego potraktowania.
W wyżej cytowanym tekście pojawia się reguła uzasadniania w prawie:
„wszystkie te sytuacje należy rozwiązywać w oparciu o zasadę zdrowego rozsądku. Nie ma tu żadnych reguł i każda sprawa wymaga odrębnego potraktowania.” Może być ona pojęta jako reguła logiki prawniczej, rozumianej
jako nauka o specyficznych dla prawa zasadach rozumowania (uzasadniania,
wyjaśniania, sprawdzania i wnioskowania).
Omówione wypadki argumentacji nie obejmują wszystkich możliwych jej
typów. Istota argumentacji zawsze jest ta sama: podać argument, który
dla danej osoby jest przekonywający, bądź dlatego, że jest racjonalny, bądź
dlatego, że jest dla tej osoby psychologicznie przekonywający.
Do chwytów erystycznych należy też stosowanie takich środków jak np.:
insynuacja, aluzje, bluff, szantaż, prowokacja, ironia, bezczelność, definicje
perswazyjne, apelowanie do uczuć, dogmatyzm, wieloznaczność, wyrażenia
okazjonalne, ekwiwokacja, amfibologia, myślenie figuralne, niepoprawne definicje33 .
Ustawiczne powtarzanie — jest środkiem przekonywania. Jest ono stosowane w szczególności w reklamach. Zwykle prosty tekst, łatwa melodia
i/lub przyjemne obrazy powtarzane są wielokrotnie. Jest to skuteczne, skoro
firmy płacą za to bardzo dużo środkom masowego przekazu.
Argumentum per eloquentiam (urok słowa) — argument z uroku
słów. Łatwiej przekonać, gdy argumentacja jest piękna, literacko dobra.
33
Występujące w tym fragmencie terminy logiczne są objaśnione w niniejszej książce.
2.4. ARGUMENTACJA
241
Stosowanie różnego rodzaju sentencji i aforyzmów ma znaczenie dla skuteczności przekonywania.
Erudycja — demonstrowana przez argumentującego sprzyja skuteczności przekonywania. Przypisy, noty, odwołania do literatury, znajomość wybitnych ludzi i naukowych problemów, posługiwanie się cytatami, najlepiej
w oryginale i w różnych językach zjednują przekonywanego.
Dezorientowanie przekonywanego — polega na umiejętnym odwracaniu uwagi od właściwego toku myśli i znaczeń podstawowych terminów.
Mogą temu służyć np. dygresje.
Argumentacją rządzą pewne zasady.
Audiatur et altera pars — należy wysłuchać stronę przeciwną. Zasada
ta jest szczególnie ważna w sprawach procesowych ale również w debatach
politycznych w państwie demokratycznym. Zasada ta winna być przestrzegana przez wszystkich, którzy dążą do wyrobienia sobie obiektywnego osądu.
Argumenta ponderantur, non numerantur — dowodów nie należy liczyć, należy je ważyć. To zalecenie różnicowania argumentów stosuje się
zarówno do tych, którzy argumentują, jak i do tych, dla których jest przeprowadzana argumentacja.
Contra facta non valent argumenta — argumenty muszą ustąpić wobec faktów, wobec faktów argumenty nie mają znaczenia. To zalecenie
w sprawie różnicowania argumentów dotyczy odróżnienia argumentów bezpośrednich i pośrednich oraz ich wagi. Faktom, czyli argumentom bezpośrednim przypisuje się wagę największą.
Zadania
Zadanie 2.43. Jakiego rodzaju argumentami są:
1. Tak jest na Zachodzie.
2. I my jesteśmy w Europie?!
Kto takich argumentów używa, dla kogo są one przekonywujące?
242
Zadanie 2.44. Jaką rolę pełni wypowiedź N. Bohra w opisanej sytuacji?
W czasie prowadzenia zajęć dydaktycznych w Getyndze N. Bohr jednego
razu słabo przygotował się i miał bardzo zły wykład. Na koniec wykładu
powiedział: Wysłuchałem tu tak wiele złych wykładów, że proszę uważać
mój dzisiejszy za jeden z nich.
Zadanie 2.45. Oceń argumentację:
1. Z tego nie wynika, iż filozofia analityczna nie ma żadnego społecznego
znaczenia. Wydaje się, że takie znaczenie jest i to dość istotne. Moim
zdaniem, można je znaleźć przede wszystkim w tym, że filozofia analityczna przyczynia się do zachowania i pielęgnowania rozumu ludzkiego.
Największym niebezpieczeństwem, które nam dzisiaj grozi jest coraz
powszechniejsze odwracanie się człowieka od rozumu. Już sama liczba
tych, którzy wydają ciężkie pieniądze na astrologię, numerologię i tym
podobne zabobony, świadczy, jak bardzo ludzie są nieracjonalni. Jakie
są następstwa takiej nierozumnej postawy, pokazuje jasno mordowanie
niewinnych w imię pewnej, takiej czy innej „ideologii” — dzisiaj praktykowane tak często, że aż uchodzi za coś normalnego. (I. M. Bocheński
Logika i filozofia, Warszawa 1993, s. 48–49.)
2. Można by sądzić, że to naukowcy powinni być stróżami i opiekunami
rozumu. W rzeczy samej pracują oni (przede wszystkim przyrodnicy)
w swoich dziedzinach w największym stopniu racjonalnie — i tej racjonalności zawdzięczają swoje osiągnięcia.
Zadziwiające jednak, jak dalece ci sami naukowcy mogą być irracjonalni, gdy myślą i wypowiadają się poza swoją dziedziną — choćby
na tematy filozoficzne czy polityczne. Można by zebrać całą bibliotekę nonsensów wypowiedzianych przez naukowców na temat zagadnień filozoficznych. Jest więc jasne, że naukowcy jako tacy nie mogą,
pomimo racjonalności w ich własnych dziedzinach, uchodzić za nauczycieli i obrońców rozumu u ludzi. (I. M. Bocheński, Logika i filozofia,
1933, s. 49)
3. prezydenta A.K., gdy w związku z dyskusją po uchwaleniu przez Sejm
ustawy liberalizującej aborcję uzasadniał swoje stanowisko tym, że poprzednia ustawa była obłudna.
4. Kiedy matka wielkiego Macedończyka, Aleksandra Wielkiego nalegała,
aby zgładził niewinnego człowieka. Miała nadzieję, że to osiągnie, bo
— jak mówiła — przez dziewięć miesięcy nosiła go przecież w swym
2.4. ARGUMENTACJA
243
łonie. Odpowiedział jej: „Innej, najlepsza matko, żądaj ode mnie zapłaty: życie ludzkie bowiem nie jest równoważne z żadnym dobrym
uczynkiem”.
5. Kalif Omar przeprowadził następujące rozumowanie: Jeżeli książki
z Biblioteki Aleksandryjskiej są zgodne z Koranem, to są zbędne. Jeżeli
nie są zgodne, to są szkodliwe. Książki z Biblioteki Aleksandryjskiej
są zatem zbędne lub szkodliwe. Jeżeli są zbędne, to należy jest spalić.
Jeżeli są szkodliwe, to tym bardziej należy to uczynić. Zatem należy
spalić książki z Biblioteki Aleksandryjskiej.
6. W związku z wejściem z dniem 1 stycznia 2007 r. ustawy o ratownictwie
medycznym specjalista od ratownictwa uzasadniał przyjęte rozwiązanie ustawowe. Jego zdaniem szanse na uratowanie życia są większe, gdy
do wypadku przyjeżdża paramedyk, a nie lekarz. Widać to przy porównaniu danych statystycznych. W krajach, gdzie w karetkach jeżdżą
lekarze, przeżywa mniej poszkodowanych niż tam, gdzie w karetkach są
ratownicy. Zdaniem przedstawicieli rządu strach przed paramedykami
podsycają też lekarze, którzy na dyżurze w pogotowiu zarabiają od 25
do 30 złotych na godzinę. Według niego trudno więc, by środowisko
nie protestowało, gdy odbiera mu się szansę na dodatkowy zarobek.
Zadanie 2.46. Określ rodzaj środków zastosowanych w argumentacji przytoczonej za radzieckim podręcznikiem logiki:
1. Logika to silna broń w rękach radzieckiego człowieka, głęboko miłującego ojczyznę i posiadającego niezbędną wiedzę.
2. Ludzie radzieccy, uzbrojeni w przodującą teorię marksistowsko-leninowską i w świadomość słuszności dzieła Lenina i Stalina, wychodzą zwycięsko z odpowiedzialnych i zawiłych dyskusji z dyplomatami
i przedstawicielami zagranicznej «nauki». Jaskrawym tego przykładem
są świetne wystąpienia delegatów radzieckich na międzynarodowych
konferencjach i obradach. Wystąpienia te wykazują nie tylko głęboką
znajomość istoty omawianych zagadnień, lecz są także wzorami niezbitej logiki.
3. Człowiek radziecki, najbardziej kulturalny człowiek na świecie, powinien umieć świadomie posługiwać się prawami logicznymi, ażeby zawsze prawidłowo myśleć i umieć demaskować nieuzasadnione twierdzenia, fałsz i oszczerstwa wrogów swego narodu.
244
Zadanie 2.47. Oceń poprawność argumentacji:
1. Jeśli Sokrates umarł, to umarł, gdy żył albo gdy był martwy. Nie
umarł, gdy żył, nadto na pewno nie umarł, gdy był martwy. Zatem
Sokrates nie umarł (Sekstus Empiryk)
2. Każdy, kto nie jest idiotą potrafi stwierdzić, że Jan kłamie. Niektórzy
ludzie w tym pokoju nie potrafią powiedzieć, że Jan kłamie. Zatem
pewni ludzie w tym pokoju są idiotami.
3. Zawsze wierzyliśmy, że tak jest.
4. Wszyscy tak uważają.
5. Każdy to wie.
6. Sławna osoba to taka i tylko taka osoba, o której wszyscy słyszeli.
Zatem wszyscy sławni ludzie słyszeli jeden o drugim.
Zadanie 2.48. Która z dwu argumentacji jest przekonywująca?
1. Albo będziesz miał żonę ładną, albo brzydką. Jeśli będzie ładna, będziesz się nią dzielił z innymi jako wspólną; jeśli będzie brzydka, będziesz cierpiał mękę. I jedna, i druga możliwość jest niedobra. Nie
należy więc się żenić.
Jeśli będziesz miał ładną żonę, nie będziesz cierpiał męki, a jeśli brzydką,
nie będziesz się nią dzielił z innymi. Należy więc się żenić.
2. Greczynka mówi do syna: Albo będziesz dobrze sprawował urząd publiczny albo źle. Jeżeli dobrze, to nie spodobasz się ludziom, więc
nie powinieneś przyjmować tego urzędu. Jeśli źle, to nie spodobasz
się bogom, więc nie powinieneś przyjmować tego urzędu. Zatem nie
powinieneś przyjmować urzędu.
Syn mówi do matki: Albo będę dobrze sprawował urząd publiczny
albo źle. Jeśli dobrze, to spodobam się bogom, więc powinienem urząd
przyjąć. Jeśli źle, to spodobam się ludziom, więc powinienem ten urząd
przyjąć. Zatem powinienem urząd przyjąć.
Zadanie 2.49. Podaj przykłady argumentów, o których mówi niniejszy tekst.
Oceń ich skuteczność.
Grupy zajmujące się ochroną środowiska i prasa przedstawiają apokaliptyczne wizje zmian klimatycznych. Raport brytyjskiego IPPR (Institute
2.4. ARGUMENTACJA
245
for Public Policy Research) stwierdza, że tworzenie takich przygnębiających
prognoz ma motywy komercyjne.
Według raportu IPPR charakterystyczne dla dyskusji o zmianach klimatycznych w Wielkiej Brytanii jest to, iż skupia się ona na maksymalizowaniu potencjalnych zagrożeń i nie podawaniu informacji o możliwych rozwiązaniach problemu. Według autorów raportu w ciągu ostatnich kilku lat
zaobserwowano wiele zjawisk, które mogą sugerować poważniejsze zmiany
klimatyczne. Jednak dotychczas nie powstał żaden poważny raport, który
by tłumaczył, co z nich może wyniknąć lub dowodził, że niosą one poważne
zagrożenie.
Po przeanalizowaniu setek prognoz pogody oraz artykułów prasowych
i programów telewizyjnych dotyczących zmian klimatycznych, eksperci wyróżnili kilka charakteryzujących je cech:
1. Alarmujący ton, wprowadzany przez obrazy i słowa przywołujące wyobrażenie katastrofy.
2. Użycie „zdroworozsądkowych” argumentów w taki sposób, by podważać
opinie naukowców.
3. Wprowadzanie sceptycyzmu, który sugeruje, że naukowcy mają złe zamiary i ukrywają realne zagrożenie.
4. „Techniczny” optymizm, który polega na przekonaniu, że ostatecznie
wszystkie zagrożenia można pokonać przy użyciu nowoczesnej technologii.
Taka forma przekazu powoduje, że po wywoływaniu początkowo paniki,
informacje o zagrożeniach spowodowanych zmianami klimatycznymi — paradoksalnie — stają się dla ludzi niewiarygodne i zaczynają być lekceważone.
Jeśli nasi czytelnicy uwierzą, że umieszczamy informacje o zmianach klimatycznych na czołówkach gazet z tych samych powodów, z jakich umieszczamy tam nagie kobiety, przestaną je traktować serio i przestaną czytać —
przestrzegł Ian Birrell z The Independent.
Zadanie 2.50. Określ sposoby argumentacji stosowane w modlitwie. Co należy założyć o adresacie modlitwy, aby zastosowana argumentacja mogła być
skuteczna?
Zadanie 2.51. Określ sposoby i środki argumentacji stosowane w reklamach.
Wskaż aktualną reklamę, w której ma miejsce omawiany sposób i środek argumentacji oraz wskaż zawarte w tej reklamie założenia o adresacie reklamy.
246
2.5
Błędy w rozumowaniu
Rozumowanie może być poprawne lub zawierać błędy. Mogą to być dwojakiego rodzaju błędy. Źródłem jednych jest wadliwość zdań będących punktem wyjścia rozumowania. Drugiego rodzaju błędy biorą się z wadliwości
związku między zdaniami, od których rozpoczynamy rozumowanie, a zdaniem będącym celem rozumowania. Niektóre błędy popełniane w rozumowaniach są typowe. Tym błędom nadano specjalne nazwy. Znane są różne
ich klasyfikacje.
Rozumowania niepoprawne, lecz mające pozór poprawnych to sofizmaty
(po łacinie — fallacia), czyli rozumowania zwodnicze. Od sofizmatów odróżniano paralogizmy. W wypadku sofizmatu przeprowadzający rozumowanie miał być świadomy jego niepoprawności. W wypadku paralogizmu
przeprowadzający rozumowanie popełniał błąd nie będąc świadomym tego.
Odróżnienie to jest natury psychologicznej i etycznej, i nie ma ono znaczenia
z punktu widzenia logiki.
Arystoteles dzielił sofizmaty na błędy wypowiedzi (in dictione) i błędy
myśli (extra dictione). Te pierwsze już omówiliśmy jako błędy w słownym
przekazywaniu myśli. Obecnie będziemy mówili o błędach w rozumowaniu,
czyli o tych drugich.
Wadliwość wnioskowania może być spowodowana:
1. brakiem uzasadnienia przesłanek.
Celem wnioskowania ma być wzbogacenie wiedzy, a to może mieć miejsce tylko w wypadku, gdy przesłanki są uzasadnione.
Wnioskowanie może też być błędne z powodu:
2. braku uzasadnienia wniosku przez przesłanki.
Czasem może wydawać się, że przesłanki uzasadniają wniosek, a faktycznie tak nie jest. Wadliwość stosunku między przesłankami a wnioskiem może mieć dwa źródła. Ze względu na te źródła rozróżniamy:
(a) błędy nieformalne
i
(b) błędy formalne.
Definicja 2.55. Błąd nieformalny w rozumowaniu to błąd, który ma
źródło w treści przesłanek lub wniosku.
Definicja 2.56. Błąd formalny w rozumowaniu to błąd, który ma źródło
w formie, inaczej strukturze, kształcie wnioskowania.
2.5. BŁĘDY W ROZUMOWANIU
247
W wypadku błędu formalnego dla jego stwierdzenia wystarczy określić
kształt wnioskowania. W wypadku błędu nieformalnego konieczne jest rozróżnienie znaczeń wyrażeń składających się na rozumowanie.
Błędy nieformalne to zasadniczo błędy, których źródłem jest wieloznaczność wyrażeń występujących we wnioskowaniu. Błąd formalny popełnia się
np. wnioskując z implikacji i jej następnika o prawdziwości poprzednika tej
implikacji (ten i inne rodzaje błędu formalnego zostaną omówione w niniejszym rozdziale).
2.5.1
Błędy wieloznaczności
Wieloznaczność wypowiedzi jest powodem błędów we wnioskowaniach. Różne
rozumienia przesłanek i wniosku mogą stwarzać pozór poprawności rozumowania. Rozumowanie jest bowiem oceniane dwojako: w aspekcie prawdziwości występujących w nim zdań oraz ze względu na zachodzenie związku
uzasadniania między przesłankami a wnioskiem. Jeżeli jednej z tych ocen
dokona się mając na uwadze inne rozumienie wyrażeń występujących w rozumowaniu niż gdy dokonuje się drugiej, to może się zdarzyć, że te oceny
wypadną pomyślnie. Jeżeli zaś dokonuje się ich biorąc w wypadku każdej
z ocen jedno i to samo znaczenie, to tak może nie być. W takim wypadku
rozumowanie nie jest poprawne.
Definicja 2.57. Błąd wieloznaczności ma miejsce w rozumowaniu, gdy
znaczenia przyporządkowywane pewnym słowom lub frazom (jako napisom)
występującym w rozumowaniu są inne w wypadku oceny prawdziwości przesłanek i wniosku niż w wypadku oceny zachodzenia stosunku uzasadniania.
Zwykle różnice znaczeń przypisywanych słowom (lub frazom) są na tyle
subtelne, że stwarzają pozory poprawności wnioskowania i czynią to wnioskowanie psychologicznie przekonywającym.
Błędy wieloznaczności można wyróżniać w zależności od źródła wieloznaczności. I tak na przykład możemy mówić o błędzie akcentu, gdy
powodem wieloznaczności jest różne akcentowanie.
Błąd ekwiwokacji
Zwykle słowa mają więcej niż jedno słownikowe, czyli dosłowne znaczenie.
Wyrażeniu może przysługiwać znaczenie wyznaczone przez znaczenia słownikowe składających się na nie wyrazów, a ponadto może przysługiwać mu
znaczenie idiomatyczne. Są to słownikowe znaczenia tego wyrażenia. O wyrażeniu, któremu przysługuje więcej niż jedno znaczenie słownikowe mówimy,
248
że jest wieloznaczne słownikowo. Tekst winien być tak konstruowany, aby
z kontekstu użycia wyrażenia można było bez naruszenia spójności tekstu
określić jego dokładnie jedno znaczenie, w którym w danym miejscu zostało
użyte. Wyrażenie to należy brać w danym miejscu w tym i tylko w tym
jednym znaczeniu, niezależnie od tego, czy mamy na uwadze ocenę wartości
logicznej przesłanek i wniosku, czy też mamy na uwadze ocenę uzasadniania
wniosku przez przesłanki.
Definicja 2.58. Błąd ekwiwokacji to błąd wieloznaczności w rozumowaniu, którego źródłem jest wieloznaczność słownikowa wyrażeń.
Rozważmy przykłady.
Przykład 2.1. We wnioskowaniu: „Kot złapał mysz. Mysz jest gatunkiem.
Zatem kot złapał gatunek.” w pierwszej przesłance wyraz „mysz” użyty
jest w supozycji przedmiotowej, zaś w drugiej w supozycji formalnej. We
wnioskowaniu popełniono więc błąd ekwiwokacji.
Przykład 2.2. „Piąte przykazanie dekalogu głosi «nie zabijaj». Wymierzanie kary śmierci jest zabijaniem. Zatem wymierzania kary śmierci zakazuje
piąte przykazanie.” Taki argument pojawił się w programie publicystycznym telewizji dotyczącym kary śmierci. Jeden z uczestników tego «sądu
nad karą śmierci» wykazał, że w przytoczonej argumentacji popełniono błąd
ekwiwokacji. Zauważył mianowicie, że w języku hebrajskim, w którym dekalog był sformułowany występują trzy wyrażenia na określenie uśmiercenia
człowieka. Jedno z nich oznacza zabicie człowieka niewinnego. To właśnie
wyrażenie użyte jest w sformułowaniu piątego przykazania. Argument straci
zaś swą moc jeśli piąte przykazanie sformułujemy: «nie zabijaj niewinnego»,
ewentualnie: «nie morduj».
Przykład 2.3. „Bankowcy muszą być bardzo odpowiedzialnymi ludźmi. Cokolwiek złego dzieje się w gospodarce odpowiedzialnymi wydają się bankowcy.” „Odpowiedzialność” w pierwszym zdaniu (które jest wnioskiem) znaczy tyle, co „rzetelny, wiarygodny”. W drugim zdaniu (które jest przesłanką)
„odpowiedzialność” znaczy tyle, co „być sprawcą, dać powód”. Wnioskowanie może wydawać się poprawne tylko wówczas, gdy oba wystąpienia słowa
„odpowiedzialność” brane są jako mające jeden i ten sam sens. Tak zaś nie
jest. Konteksty wystąpienia tego słowa we wniosku i w przesłance wskazują
na jego różne znaczenia w tych zdaniach.
Podobnie we wnioskowaniu:
Przykład 2.4. „Socjaliści dążą do sprawiedliwości społecznej. Sprawiedliwość
społeczna jest dobrem. Zatem socjaliści dążą do dobra.” W pierwszym zdaniu (przesłance) termin „sprawiedliwość społeczna” — aby przesłanka ta była
249
prawdziwa — winien być rozumiany, najprościej mówiąc, jako „równy podział
dóbr”. Drugie zdanie (przesłanka) jest prawdziwe, gdy sprawiedliwość społeczna jest pojęta, najprościej mówiąc, jako prawo człowieka do tego, co mu
się słusznie należy. W naszym przykładzie wniosek wynikałby z przesłanek,
gdyby fraza „sprawiedliwość społeczna” w jednej i drugiej przesłance miała
jedno i to samo znaczenie. Tak jednak nie jest.
Błąd terminów relacyjnych
Błąd terminów relacyjnych jest w istocie szczególnym rodzajem błędu ekwiwokacji. Znaczenie terminów relacyjnych zależy od kontekstu ich użycia. Co
innego znaczy „wyższy” w zdaniu „Jan jest wyższy niż Piotr”, a co innego
w zdaniu „stopień generała jest wyższy niż stopień pułkownika”. Co innego
znaczy „dobry” we frazie „dobry student”, a co innego we frazie „dobry człowiek”. O różnicy znaczeń terminów relacyjnych decyduje różnica kategorii
przedmiotów, o których są orzekane.
Definicja 2.59. Błąd terminów relacyjnych to błąd ekwiwokacji, którego źródłem jest wieloznaczność terminów relacyjnych.
Z zdania „student jest człowiekiem” mogę wnioskować, że „łysy student
jest łysym człowiekiem” (w wypadku terminu „łysy” nie ma różnicy znaczeniowej zależnej od tego, czy orzekamy go o studencie, czy o człowieku).
Inaczej jest w wypadku wniosku „dobry student jest dobrym człowiekiem”.
Ze zdania „słoń jest zwierzęciem” nie można wyprowadzić, że „mały słoń
jest małym zwierzęciem”. Można zaś wyprowadzić, że „oswojony słoń jest
oswojonym zwierzęciem”.
Każde wnioskowanie przebiegające według schematu:
∀x[P (x) ⇒ Q(x)]
∀x[R(x) ∧ P (x) ⇒ R(x) ∧ Q(x)]
jest niezawodne. Prawdziwość przesłanek takiego wnioskowania gwarantuje
prawdziwość wniosku, czyli schemat ten jest logiczny. Wnioskowanie z przesłanki, że student jest człowiekiem o tym, że łysy student jest łysym człowiekiem daje się przedstawić jako przebiegające według tego schematu. Wnioskowanie zaś z tej przesłanki, że dobry student jest dobrym człowiekiem tylko
pozornie przebiega według tego schematu. Źródłem tego pozoru jest to, że
słowo „dobry” w każdym ze swoich wystąpień ma inne znaczenie. Nie jest
zaś logiczny następujący schemat:
∀x[P (x) ⇒ Q(x)]
∀x[R(x) ∧ P (x) ⇒ S(x) ∧ Q(x)]
250
Błąd podziału
Innym szczególnym źródłem wieloznaczności wypowiedzi jest możliwość użycia terminu na oznaczenie wszystkich desygnatów, tylko jednego desygnatu
bądź na oznaczenie zbioru wszystkich desygnatów. To, co daje się zgodnie z prawdą orzec o zbiorze wszystkich desygnatów jakiegoś terminu, nie
musi dać się orzec zgodnie z prawdą o jego desygnatach. Stosunki między
zakresami nazw nie są stosunkami między desygnatami tych nazw.
Zakres nazwy jest zbiorem, którego elementami są wszystkie i tylko te
przedmioty, które są desygnatami tej nazwy. O takich zbiorach mówi się, że
są zbiorami w sensie dystrybutywnym.
W wypadku nazw zbiorowych ich desygnaty są przedmiotami o wewnętrznej strukturze. Desygnaty te są więc złożone z różnych przedmiotów powiązanych jakimiś relacjami. Przedmioty te są częściami tych desygnatów.
Zbiory, które złożone są z części, to zbiory w sensie kolektywnym. Części
zbioru w sensie kolektywnym nie muszą wszystkie być desygnatami jednej
i tej samej nazwy. To, co zgodnie z prawdą daje się orzec o zbiorze kolektywnym, nie musi przysługiwać jego częściom.
W zdaniu „człowiek pojawił się na Ziemi ok. 2 mln lat temu”, termin
„człowiek” użyty jest w supozycji formalnej. Zdanie to byłoby fałszywe,
gdyby rozumieć je jako równoważne zdaniu „każdy człowiek pojawił się na
Ziemi ok. 2 mln lat temu”. O każdym człowieku nie jest prawdą, że pojawił
się na Ziemi ok. 2 mln lat temu. Inaczej jest zaś w wypadku zdania „człowiek
jest ssakiem”. Nazwa „człowiek” użyta jest tu w supozycji naturalnej i zdanie
„każdy człowiek jest ssakiem” jest również prawdziwe.
Ze zdań „człowiek jest ssakiem” i „Jan jest człowiekiem” wynika zdania
„Jan jest ssakiem”. Gdyby ze zdania „człowiek jest jedyną rozumną istotą na
Ziemi” wnioskować, że „każdy człowiek jest jedyną istotą rozumną na Ziemi”
lub wnioskować, że „Jan jest jedyną istotą rozumną na Ziemi”, to popełniłoby
się błąd podziału.
Definicja 2.60. Błąd podziału (fallacia a sensu composito ad sensum divisum) popełnia się wówczas, gdy na podstawie przesłanki stwierdzającej
coś o pewnej całości przyjmuje się wniosek stwierdzający to coś o elemencie/elementach lub części/częściach tej całości.
Błąd podziału ma miejsce, gdy na podstawie przesłanki stwierdzającej
coś o zbiorze przedmiotów wnioskuje się to coś o jego elementach. Błąd ten
może w tym wypadku przyjąć jedną z dwu postaci:
(Ia)
Przesłanka: Zbiór Z ma cechę c.
Wniosek:
251
Zatem,
każdy przedmiot ze zbioru Z ma cechę c.
(Ib)
Przesłanka: Zbiór Z ma cechę c.
Zatem,
Wniosek:
P (pewien przedmiot ze zbioru Z)
ma cechę c.
Przykład 2.5. Gdyby ktoś na podstawie tego, iż drużyna piłkarska FC jest
najlepszą drużyną świata wnioskował, że
1. każdy piłkarz drużyny FC jest najlepszym piłkarzem świata,
lub, że
2. P (pewien piłkarz drużyny FC) jest najlepszym piłkarzem świata,
to ten ktoś popełniłby błąd podziału.
O błędzie podziału mówi się też w wypadku wnioskowania z faktu przysługiwania jakieś cechy całości, o przysługiwaniu tej cechy wszystkim częściom lub pewnej części tej całości. W tym wypadku błąd podziału może
przybrać jedną z dwu postaci:
(IIa)
Przesłanka: Przedmiot P ma cechę c.
Zatem,
Wniosek:
każda część P ma cechę c.
(IIb)
Przesłanka: Przedmiot P ma cechę c.
Zatem,
Wniosek:
C (pewna część P) ma cechę c.
Z tego, że przedmiot jest ciężki nie można wnioskować, że każda lub
jakaś poszczególna jego część jest ciężka. Z tego, że przedmiot jest wartościowy nie można wnioskować, że każda lub jakaś poszczególna jego część
jest wartościowa. Na podstawie tego, że armia stoczyła ciężki bój nie można
wnioskować, że wszystkie jej części-oddziały stoczyły ciężki bój.
W zagadce: „Dlaczego białe owce jedzą więcej niż czarne?” wykorzystuje
się możliwość użycia nazwy „owce” na wskazanie jakiejś zbiorowości lub na
oznaczenie poszczególnych elementów tej zbiorowości.
Błąd złożenia
Źródłem błędu złożenia jest ta sama wieloznaczność, która jest źródłem
błędu podziału. W wypadku błędu podziału w przesłance termin jest użyty
252
na oznaczenie pewnej całości, a we wniosku jest użyty na oznaczenie elementów lub części tej całości. W wypadku błędu złożenia sytuacja jest odwrotna
— w przesłance termin użyty jest na wskazanie elementów lub części, a we
wniosku jest użyty na oznaczenie całości, której są to elementy lub części.
Definicja 2.61. Błąd złożenia (fallacia a sensu diviso ad sensum compositum) popełnia się wówczas, gdy na podstawie przesłanki, stwierdzającej
coś o elementach lub częściach pewnej całości, przyjmuje się wniosek stwierdzający to coś o tej całości.
Błąd złożenia ma miejsce wówczas, gdy z własności elementów zbioru
wnioskuje się o własności tego zbioru lub gdy z własności części jakiegoś
przedmiotu wnioskuje się o własności tego przedmiotu. Błąd złożenia może
więc przyjąć jedną z dwu postaci:
1.
Przesłanka: Każdy element Z ma cechę c.
Zatem,
Wniosek:
zbiór Z ma cechę c.
Popełniałby błąd złożenia ktoś, kto sądziłby, że drużyna piłkarska złożona z najlepszych w świecie piłkarzy jest najlepszą w świecie drużyną piłkarską.
2.
Przesłanka: Każda część przedmiotu P
ma cechę c.
Zatem,
Wniosek:
przedmiot P ma cechę c.
Kopernik pisał, że wszechświat jest sferyczny, ponieważ wszystkie jego
części konstytutywne: Słońce, Księżyc i planety ukazują się w takiej postaci.
W tym wnioskowaniu Kopernik popełnił błąd złożenia.
Błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej
Zgodnie z przyjętym rozumieniem spójnika „lub” służy on do wypowiedzenia
alternatywy (nierozłącznej). Ktoś, kto rozumie go jak alternatywę rozłączną
popełnia błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej.
Definicja 2.62. Błąd stwierdzenia alternatywy rozłącznej popełnia
się, gdy rozumuje się według schematu:
α lub β
α
Zatem: nie-β
253
Błąd ten ma miejsce we wnioskowaniu:
Jan jest obywatelem Niemiec lub Polski
Jan jest obywatelem Niemiec
Zatem: Jan nie jest obywatelem Polski.
Błędne jest też wnioskowanie:
Mogę otrzymać pomoc finansową lub rzeczową
Otrzymałem pomoc finansową
Zatem: Nie mogę otrzymać pomocy rzeczowej.
Błąd znaczenia względnego i znaczenia bezwzględnego
Definicja 2.63. Błąd przejścia od znaczenia względnego do bezwzględnego (transitus a dicto secundum quid ad dictum simpliciter) to błąd
popełniany wówczas, gdy na podstawie tego, że coś przysługuje czemuś pod
pewnym względem wnioskuje się, że to coś przysługuje temu czemuś bezwzględnie.
Omówiony błąd popełnia się np. wówczas, gdy na podstawie tego, że Jan
inteligentnie gra w szachy wnioskuje się, że Jan jest inteligentny.
Błędy przypadkowości
W tradycji filozoficznej wyróżnia się cechy istotne przedmiotu. Są nimi te
własności, bez których ten przedmiot nie byłby tego rodzaju przedmiotem,
jakim jest. Bycie rozumnym jest istotną cechą człowieka. Coś, co nie jest
rozumne, nie jest człowiekiem. Cechą nieistotną jest na przykład to, że jest
się czytelnikiem tej książki.
Definicja 2.64. Błąd przypadkowości (fallacia accidentis) to błąd popełniany wówczas, gdy przypadkową własność uważa się za istotną lub gdy
istotną uważa się za przypadkową.
Błąd przypadkowości popełnia ktoś, kto na podstawie tego, że zwierzę
szczeka wnioskuje, że jest to pies. Własność nieistotna — szczekanie —
uznana została za istotną. Jako błąd potraktowania czegoś istotnego jako
nieistotnego można uznać rozumowanie Marii Antoniny, gdy ludowi żądającemu chleba proponowała ciastka.
254
Błąd zmiany rodzaju
Wiedza jest wiedzą o jakiejś dziedzinie. Na przykład przedmiotem fizyki jest
świat materialny, a jej zadaniem ustalenie praw, według których przebiegają
wszystkie procesy i zjawiska materialne. Biologia zajmuje się światem ożywionym i określa prawa rządzące w tym świecie. Poszerzenie, czy to jednych
czy drugich praw nie jest uprawnione. Przedmiot fizyki jest bowiem dziedziną różną od dziedziny będącej przedmiotem biologii.
Definicja 2.65. Sofizmat przejścia z jednego rodzaju do drugiego
(transitus de genere ad genus) popełnia się wówczas, gdy zdanie prawdziwe
w jednej dziedzinie uznaje się za prawdziwe w innej, istotnie od niej różnej.
Błąd ten popełnia się np. wówczas, gdy na podstawie tego, że człowiek
myśli pojęciowo uważa się, że również zwierzęta myślą pojęciowo.
2.5.2
Non sequitur
Podejmując problem błędów we wnioskowaniu wyróżniliśmy błędy mające
źródło w braku uzasadnienia wniosku przez przesłanki. Teraz szczegółowo
zajmiemy się tym rodzajem błędów.
Definicja 2.66. Błąd non sequitur ma miejsce wówczas, gdy przyjmuje
się, że wniosek wynika z przesłanek, a faktycznie tak nie jest.
Tak szeroko rozumianym błędem non sequitur są omawiane powyżej
błędy. Jako tego rodzaju błąd może zostać zinterpretowany błąd w uzasadnianiu, mający miejsce wówczas, gdy przytacza się jako przesłanki zdania,
które nie są argumentami na rzecz uzasadnianej tezy.
Definicja 2.67. Błąd ignoratio elenchi (nieznajomość dowodzonej tezy)
lub po polsku stracenie wątku ma miejsce wówczas, gdy przesłanki nie
uzasadniają wniosku.
Ze straceniem wątku pozostaje w związku zabieg argumentacyjny polegający na celowym odwróceniu uwagi od zasadniczego problemu. Wykorzystuje
się do tego zagadnienie wtórne. Staje się ono zasadniczym tematem głównie dlatego, że wszyscy uczestnicy dyskusji mają w sprawie tego zagadnienia wyrobione zdanie lub zagadnienie to budzi większe emocje uczestników
dyskusji. Na przykład dość łatwo dyskusję na temat, które samochody są
najbezpieczniejsze, sprowadzić do dyskusji na temat samochodów produkcji
krajowej i zagranicznej. Dyskusję na temat ochrony życia poczętego dość
255
łatwo sprowadzić do dyskusji na temat żony pijaka i jej kilkorga dzieci lub
do dyskusji na temat zgwałconej córki zwolennika ochrony życia poczętego.
Podobny charakter ma wypadek, gdy teza będąca przedmiotem dyskusji
zostaje przedstawiona w sposób karykaturalny tak, aby łatwo było ją obalić.
Przytaczane przesłanki-(kontr)argumenty skierowane są nie przeciw tezie,
lecz przeciw jej karykaturalnemu sformułowaniu. Na przykład w dyskusji
telewizyjnej w dniu 12 listopada 1995 roku kandydat na prezydenta odwołanie się w Konstytucji III Rzeczpospolitej do chrześcijańskiej tradycji narodu
utożsamił z wpisaniem kierowniczej roli PZPR do Konstytucji PRL.
W węższym rozumieniu termin „non sequitur” rezerwujemy na określenie
tych błędów non sequitur w szerszym znaczeniu, które nie mają swojego
szczególnego określenia.
2.5.3
Petitio principii
Przesłanki we wnioskowaniu powinny być zdaniami uzasadnionymi. W wypadku wnioskowania dedukcyjnego ich prawdziwość gwarantuje prawdziwość
wniosku. Wnioskowanie to (pośrednie) uzasadnianie zdań, a więc wskazywanie racji dla uznania wniosku. Tę rolę wnioskowanie może spełnić tylko
wówczas, gdy przesłanki są zdaniami uzasadnionymi. Jeśli patrzeć od strony
pragmatycznej, przesłanki winny być — jak to ujmowano w znaczącej siedemnastowiecznej Logice z Port Royal — zdaniami, które są bardziej znane
i bardziej oczywiste niż wniosek. Uzasadnianie powinno dawać podstawy do
coraz większego stopnia pewności co do prawdziwości wniosku. Czysto formalnie możemy ustalać stosunek wynikania między jakimiś zdaniami. Nie
będzie to jednak wnioskowanie we właściwym tego słowa znaczeniu, jeśli
przesłanki nie będą zdaniami uzasadnionymi.
Definicja 2.68. W rozumowaniu popełnia się błąd petitio principii , co
dosłownie znaczy tyle, co „żądanie początku”, gdy któraś z przesłanek nie
jest uzasadniona.
Szczególnym wypadkiem błędu petitio principii jest błąd circulus in probando, czyli błędne koło w rozumowaniu.
Definicja 2.69. Błędne koło bezpośrednie ma miejsce w rozumowaniu
wówczas, gdy wniosek jest jedną z przesłanek (ewentualnie różniącą się stylistycznie od wniosku).
Bardziej złożony jest wypadek, gdy wniosek nie występuje bezpośrednio
jako przesłanka, lecz jest użyty w uzasadnieniu przesłanki.
256
Definicja 2.70. Błędne koło pośrednie ma miejsce w rozumowaniu wówczas, gdy wniosek (ewentualnie różniąc się stylistycznie) występuje we wnioskowaniu uzasadniającym jedną z przesłanek.
Wniosek, szczególnie w wypadku wnioskowania dedukcyjnego, jest jakoś
«obecny» w przesłankach. Gdyby jego prawdziwość była nam znana (a tym
samym uzasadniona), to wnioskowanie byłoby niepotrzebne. Wnioskujemy,
aby znaleźć racje dla uznania. Choć więc ze zdania α wynika zdanie α, to
wnioskowanie to nie jest poprawne, bo albo mieliśmy racje dla uznania zdania α i wnioskowanie nie było potrzebne, albo ich nie mieliśmy, a wówczas
przesłanka, zdanie α, nie jest uzasadniona i tym samym wnioskowanie to
nie może uzasadniać wniosku, czyli zdania α. Podobnie będzie w wypadku
błędnego koła pośredniego, gdy we wnioskowaniu na rzecz α jako przesłanka
występuje α1 , we wnioskowaniu na rzecz α1 występuje α2 , . . . , we wnioskowaniu na rzecz αi jako przesłanka występuje α(i+1) , . . . , a we wnioskowaniu
na rzecz αn występuje α. Przykładem wnioskowania z błędnym kołem pośrednim może być następująca argumentacja:
Przykład 2.6. „Bóg istnieje, ponieważ tak mówi Pismo Święte. Pismo Święte
jest zaś napisane przez Boga, który nie kłamie.”
Całkiem szczególną sytuację mamy w wypadku, gdy przesłanka jest fałszywa.
Definicja 2.71. We wnioskowaniu popełniony został błąd materialny
(merytoryczny) w wypadku, gdy któraś z przesłanek nie jest prawdziwa.
Zdanie stwierdzające możliwe stany rzeczy w określonej dziedzinie daje
się przedstawić jako alternatywa, której człony stwierdzają poszczególne
z tych stanów. Może nie być wiadomo, który z członów jest prawdziwy.
Jednak zdanie będzie prawdziwe i uzasadnione, gdy wykazane będzie, że
wyczerpane są wszystkie możliwości. W wypadku, gdy tak nie jest, gdy pominięty jest choć jeden człon i gdy żaden z członów nie jest uzasadniony,
takie zdanie nie jest uzasadnione.
Definicja 2.72. Fałszywy dylemat to zdanie, które ma postać alternatywy (lub zdanie, które równoważnie daje się przedstawić jako alternatywa)
i które nie jest uzasadnione.
Słyszymy, że „zwiększenie dochodów ludzi o małych i średnich dochodach może nastąpić tylko przez zmniejszenie podatków dla tej grupy”. Za
tym kryje się fałszywy dylemat „albo dochody ludzi o małych i średnich dochodach nie zwiększą się, albo zmniejszone zostaną im podatki”. Pytanie
257
w ankiecie „czy Polska bardziej potrzebuje silnej władzy niż demokratycznych stosunków” zakłada fałszywy dylemat: albo władza jest silna, albo jest
demokratyczna. Demokratyczna władza nie jest przecież tym samym, co
słaba władza. Za fałszywy dylemat można też uznać znane powiedzenia:
„będę kimś albo nikim” i „America: Love it or Leave it”. Rozbójnik stawia
napadniętego przed dylematem „życie albo śmierć”. Fidel Castro przewodzi Kubie pod hasłem „socjalizm albo śmierć”. W dyskusji przed referendum
konstytucyjnym argumentowano: jeżeli nie będziesz głosował na przedłożoną
konstytucję, to opowiesz się za konstytucją stalinowską34 . Inaczej: jesteś za
konstytucją uchwaloną przez zgromadzenie narodowe w 1997 r. albo jesteś
za stalinowską konstytucji PRL.
Fałszywy dylemat używany jest w argumentacji jako przesłanka. Wykorzystuje się brak dostatecznej wiedzy, albo zawężenie widzenia innych możliwości rozwiązań przez niezreflektowane przekonania nabyte w procesie wychowania i bezkrytyczną akceptację zasad i norm obowiązujących w środowisku.
Najłatwiej popełnić błąd petitio principii w wypadku przesłanek entymematycznych. Natura tych przesłanek jako powszechnie akceptowanych prawd
powoduje, że pytanie o ich racje, o ich uzasadnienie umyka uwadze. Więcej,
trzeba się «zdobyć na odwagę», aby takie przesłanki zakwestionować. Przełomy lub, jak to się mówi we współczesnej filozofii nauki, rewolucje, w nauce
i filozofii dokonywały się poprzez zakwestionowanie zdawało się oczywistych
dla wszystkich twierdzeń i przekonań.
2.5.4
Non causa pro causa
W 1994 r. nastąpił w Polsce wzrost gospodarczy. W tym czasie władzę
sprawowała koalicja PSL i SLD. W propagandzie obozu rządowego pojawiała
się następująca argumentacja:
W okresie sprawowania władzy przez koalicję PSL i SLD nastąpił
wzrost gospodarczy. Stąd: Polska zawdzięcza wzrost gospodarczy rządom koalicji PSL i SLD.
Podobnie postępuje oskarżyciel, gdy na podstawie faktu, że śmierć nastąpiła po uderzeniu twierdzi, że nastąpiła wskutek uderzenia.
W argumentacji powyższej wnioskuje się według zasady post hoc ergo
propter hoc. Najogólniej rzecz biorąc wnioskowanie to ma postać:
34
Ujawniono teksty projektu tej konstytucji, na której znajdują się poprawki osobiście
uczynione przez J. Stalina.
258
Zdarzenie Z1 nastąpiło po zdarzeniu Z; dlatego zdarzenie Z1
nastąpiło z powodu zdarzenia Z.
Wnioskowanie według zasady post hoc, ergo propter hoc jest błędne. Jest
to szczególny wypadek błędu non causa pro causa.
Definicja 2.73. Błąd non causa pro causa (fallacia non causae ut
causae, fallacia propter non causam ut causam) polega na wzięciu zdarzenia
Z1 za przyczynę zdarzenia Z, gdy faktycznie Z1 nie jest przyczyną Z.
Pretekstem do przyjęcia istnienia związku przyczynowo-skutkowego między Z a Z1 jest jakaś relacja między Z a Z1 . W wypadku post hoc ergo
propter hoc jest to następstwo czasowe. W Faraonie B. Prus pisał o tym,
że po słowach kapłana nastąpiło zaćmienie Słońca i ponownie po słowach
tegoż kapłana, tym razem wypowiedzianych na prośbę ludu, Słońce wróciło
do normalnego stanu. Lud uwierzył, że kapłan swoimi słowami spowodował
te sytuacje. Ile to razy uzdrowienie po przyjmowaniu jakichś lekarstw daje
podstawę do przekonania o skuteczności tychże lekarstw?
Błąd non causa pro causa jest błędem, którego źródłem jest nadanie
relacji między zdarzeniami charakteru relacji przyczynowo-skutkowej, gdy
faktycznie zdarzenia te nie pozostają w tej relacji. W przesłance stwierdza
się jakąś relację między dwoma zdarzeniami, a we wniosku uznaje się, że te
zdarzenia pozostają w związku przyczynowo-skutkowym.
2.5.5
Błąd uznania następnika i błąd odrzucenia poprzednika
Błędy we wnioskowaniu, które nie są ewidentne, nie stanowią problemu.
Wnioskowanie z takimi błędami nie jest bowiem psychologicznie przekonywające. Oczywiście, mówimy tu o psychologicznej mocy przekonywania
w sensie domniemanej możliwości. Mówimy jednak również o tej psychologicznej mocy przekonywania w sensie empirycznym, można bowiem bez
trudu wskazać przykłady stosowania takich wnioskowań w praktyce. Skoro
się takie wnioskowania pojawiają, to ktoś, kto je przeprowadza, sądzi, że
wnioskuje poprawnie, lub ktoś, kto je przeprowadza, wie, że są skuteczne
w sensie przekonywania innych.
Błędy nieformalne mają źródło w treści wnioskowania. Błędy formalne
mają źródło w formie, strukturze wnioskowania. Błąd formalny ma miejsce wówczas, gdy wydaje się (jest to psychologicznie przekonywające), że
wnioskowanie ma strukturę wnioskowania dedukcyjnego, a faktycznie tak
nie jest. Szczególną okazję do takiego pomylenia dają wnioskowania według
259
wzoru określanego jako modus ponens i według wzoru modus tollens. Takiego
rodzaju błąd to fallacia consequentis.
Błąd uznania następnika
W każdym wnioskowaniu postaci:
Jeżeli α, to β
α
Zatem: β
wniosek (β) wynika z przesłanek. Taki sposób wnioskowania to modus
ponens.
Podobną postać ma wzór:
Jeżeli α, to β
β
Zatem: α.
Nie w każdym wnioskowaniu takiej postaci wniosek wynika z przesłanek.
Forma ta poprzez podobieństwo do modus ponens potrafi zwodzić. Wnioskowanie, w którym nastąpiło takie pomylenie to wnioskowanie, w którym
popełniono błąd uznania następnika.
Definicja 2.74. Błąd uznania następnika popełnia się, gdy wnioskuje
się według schematu:
Jeżeli α, to β
β
Zatem: α
Przykładem wnioskowania z błędem uznania następnika jest następujące
wnioskowanie:
Przykład 2.7.
Jeżeli drogi są śliskie, to autobusy spóźniają się.
Autobusy spóźniają się.
Zatem: Drogi są śliskie.
We wnioskowaniach, w których popełnia się błąd uznania następnika
jako przesłanki, występują zdanie o postaci implikacji oraz zdanie będące
następnikiem tej implikacji. Nazwa błędu utworzona jest ze względu na tę
przesłankę. Wniosek jest poprzednikiem implikacji.
Jako szczególną klasę błędu uznania następnika można zanalizować błędne
wnioskowanie według zasady post hoc ergo propter hoc. Mianowicie:
Jeśli Z1 jest przyczyną Z2 , to Z2 następuje po Z1 .
260
Z2 następuje po Z1 .
Zatem: Z1 jest przyczyną Z2 .
Błąd odrzucenia następnika
W każdym wnioskowaniu postaci:
Jeżeli α, to β
nie-β
Zatem: nie-α
wniosek (nie-α) wynika z przesłanek. Taki sposób wnioskowania to modus
tollens.
Podobną formę ma wzór:
Jeżeli α, to β
nie-α
Zatem: nie-β.
Nie w każdym wnioskowaniu takiej postaci wniosek wynika z przesłanek.
Forma ta poprzez podobieństwo do modus tollens potrafi zwodzić. Wnioskowanie, w którym nastąpiło takie pomylenie to wnioskowanie, w którym
popełniono błąd odrzucenia poprzednika.
Definicja 2.75. Błąd odrzucenia poprzednika popełnia się, gdy wnioskuje się według schematu:
Jeżeli α, to β
nie-α
Zatem: nie-β.
Przykładami wnioskowań z błędem odrzucenia poprzednika są:
Przykład 2.8.
Jeśli jest własność prywatna, to jest niesprawiedliwość społeczna.
Nie ma własności prywatnej.
Zatem: Nie ma niesprawiedliwości społecznej.
Przykład 2.9.
Jeżeli wzrasta podaż artykułu, to jego cena spada.
Podaż artykułu nie wzrasta.
Zatem: Cena tego artykułu nie spada.
261
We wnioskowaniach, w których popełnia się błąd odrzucenia poprzednika
jako przesłanki, występują zdanie o postaci implikacji oraz zdanie będące
negacją poprzednika tej implikacji. Nazwa błędu utworzona jest ze względu
na tę przesłankę. Wniosek jest negacją następnika implikacji.
Obie formy wnioskowania, według których przebiegają wnioskowania obciążone błędem uznania następnika i błędem odrzucenia poprzednika, same
przez się nie przesądzają, że wniosek jest fałszywy. Błąd ma miejsce wówczas, gdy wnioskowania te są traktowane jako dedukcyjne, o co łatwo ze
względu na łatwość pomylenia form tych wnioskowań z wzorami wnioskowań dedukcyjnych.
Omówione błędy uznania następnika i odrzucenia poprzednika są opisane
jako typowe. Nie są to jedyne błędy wnioskowania, których źródło tkwi
w niepoprawnej formie, mogą być inne psychologicznie przekonywające, np.:
Jeżeli wzrasta podaż artykułu, to spada jego cena.
Zatem: Jeżeli nie wzrasta podaż artykułu, to nie spada jego cena.
Jak wykazać, że takie wnioskowanie jest niepoprawne, bo przesłanka nie
uzasadnia wniosku? Otóż należy znaleźć wnioskowanie tej samej postaci,
którego wszystkie przesłanki są prawdziwe a wniosek fałszywy. W wypadku
naszego przykładu mogłoby to być wnioskowanie:
Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to jest parzysta.
Zatem: Jeżeli liczba nie dzieli się przez 4, to nie jest parzysta.
2.5.6
Błędy nieuzasadnionego uogólnienia i prowincjonalizmu
Przyjrzyjmy się głoszonym tezom. Zauważmy, ile razy występują w nich
słówka „często”, „zawsze”, „wszyscy” „wszędzie” i podobne. Zastanówmy się,
czy są rację dla ich użycia. Okaże się, że nie zawsze. Jeden, dwa lub kilka
wypadków ma potwierdzać, że jest tak, jak w tych wypadkach często, zawsze
lub wszędzie, choć w rzeczywistości wszystkich wypadków jest nieporównanie
więcej niż tylko kilka.
We wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną popełnia się błąd nieuzasadnionego uogólnienia, gdy liczba wypadków stwierdzanych przez przesłanki
pozostaje w wyraźnej dysproporcji do liczby wypadków, do których odnosi
się wniosek. Odpowiedź na pytanie, kiedy ma miejsce ta «wyraźna dysproporcja» należy do logiki indukcji. W sytuacjach praktycznych kierujemy się
intuicją.
262
Błąd nieuzasadnionego uogólnienia
Definicja 2.76. Błąd nieuzasadnionego uogólnienia (sophisma inductionis) to błąd we wnioskowaniu przez indukcję enumeracyjną niezupełną,
gdy wniosek nie jest dostatecznie uzasadniony przez przesłanki.
Popełnia błąd nieuzasadnionego uogólnienia ktoś, kto będąc raz zmuszonym dać urzędnikowi łapówkę twierdzi, że wszyscy urzędnicy biorą łapówki.
Podobnie, gdy komuś się zdarzyło, że korzystając ze społecznej służby zdrowia musiał zapłacić lekarzowi i na tej podstawie twierdzi, że zawsze i każdemu lekarzowi trzeba zapłacić. Niedostateczne uzasadnienie wniosku przez
przesłanki w indukcji enumeracyjnej niezupełnej może mieć miejsce bądź
z powodu niewystarczającego zróżnicowania branych pod uwagę przedmiotów, bądź z powodu niedostatecznej ich liczby.
Błąd prowincjonalizmu
Błąd prowincjonalizmu polega na uznaniu jako wniosku zdania odnoszącego
się do obszarów geograficznych lub kulturowych większych niż te, do którego
odnosi się przesłanka. Błąd ten można zinterpretować jako szczególną postać
błędu nieuzasadnionego uogólnienia.
Definicja 2.77. Błąd prowincjonalizmu to błąd we wnioskowaniu, w którym to, co przesłanka stwierdza o pewnej dziedzinie, we wniosku bezpodstawnie stwierdzane jest o dziedzinie obszerniejszej.
Błąd prowincjonalizmu popełnia ktoś, kto na podstawie tego, że na terenie dzisiejszej Polski chleb i kartofle są codziennymi artykułami spożywczymi
wnioskuje, że tak jest na całym świecie, albo gdy wnioskuje, że tak było
w Polsce w okresie panowania dynastii Piastów. Podobnie jest w wypadku
kogoś, kto żyjąc w środowisku, w którym zwykle jada się trzy posiłki dziennie
żywi przekonanie, że taki jest powszechny zwyczaj na całym świecie.
2.5.7
Błędy reguły i wyjątku
Zwykle od reguł istnieją wyjątki. Jest tak w świecie przyrodniczym, np.
reguła dotycząca zwiększania objętości ciał pod wpływem ogrzewania ma
wyjątek jeśli chodzi o wodę. Ta anomalia jest ważna dla przetrwania życia
biologicznego w wodzie. Wyjątków nie brakuje w normach zwyczajowych
i prawnych. Przepisowi określającemu dopuszczalną prędkość pojazdów towarzyszy wyjątek zezwalający na jej przekroczenie przez np. pojazdy policyjne, które ścigają przestępcę.
263
Definicja 2.78. Błąd wnioskowania z reguły na wyjątek popełnia się
wówczas, gdy odwołując się do reguły pomija się istnienie wyjątków.
Tego rodzaju błąd popełnia ktoś, kto odwołując się do przykazania: «nie
zabijaj», argumentuje na rzecz zniesienia kary śmierci. Podobnie popełnia
błąd ktoś, kto na podstawie prawa stwierdzającego, że ciała pod wpływem
ciepła zwiększają swoją objętość wnioskuje, że woda o temperaturze 2o C ma
większą masę właściwą niż woda o temperaturze 0o C.
Definicja 2.79. Błąd wnioskowania z wyjątku na regułę popełnia się
wówczas, gdy wyjątek od reguły uznaje sie za regułę.
Tego rodzaju błąd popełniły ktoś, kto przepis wyjątkowy traktowałby
jako zasadę ogólną. Mogłoby to mieć miejsce np. w wypadku, gdy stwierdzałoby się brak ograniczeń prędkości pojazdów na podstawie przepisu zezwalającego policji na poruszanie się bez ograniczeń prędkości w warunkach
tego wymagających dla wykonania zadania służbowego.
Zadania
Zadanie 2.52. Co jest źródłem błędu w poniższych rozumowaniach?
1. Starożytni Grecy wnieśli istotny wkład do filozofii. Spartańczycy to
starożytni Grecy. Zatem Spartańczycy wnieśli istotny wkład do filozofii.
2. Człowiek podbija kosmos. Jan jest człowiekiem. Zatem Jan podbija
kosmos.
3. Cieszę się, że nie lubię szpinaku. Gdybym go lubił musiałbym go jeść.
4. Ciężka praca jest kluczem do sukcesu. Klucz można założyć na kółku.
Zatem ciężką pracę można założyć na kółku.
5. Psychologia bada psychikę człowieka. Jan jest człowiekiem. Zatem
psychologia bada psychikę Jana.
6. Ludzie są jedynymi zwierzętami, które się śmieją. Kasia jest człowiekiem. Zatem Kasia jest jedynym zwierzęciem, które się śmieje.
7. Nie wszystko co się świeci jest złotem. Złoto się świeci. Zatem nie
wszystko złoto jest złotem.
264
8. Żywność jest konieczna dla życia. Bigos jest żywnością. Zatem bigos
jest konieczny do życia.
9. Zła wiadomość to dobra wiadomość. Dobra wiadomość to żadna wiadomość. Zatem zła wiadomość to żadna wiadomość.
10. Zofia zabiera parasol, kiedy wychodzi na deszcz. Zofia zabiera parasol,
zatem pada.
11. Mieszczę się w moim płaszczu. Mój płaszcz mieści się w mojej torbie.
Zatem ja mieszczę się w mojej torbie.
Zadanie 2.53. Czy rozumowanie Woltera jest poprawne?
Przypisywany Mojżeszowi Pięcioksiąg jest fałszerstwem z czasów, gdy
w basenie Morza Śródziemnego dominowała kultura grecka. Wystarczy spojrzeć na tytuły poszczególnych ksiąg: Genesis, Exodus, . . . . Czyż te greckie
nazwy nie świadczą dobitnie o tym, że autorzy Pięcioksięgu mówili na co
dzień po grecku?
Zadanie 2.54. Na opakowaniach znajdującej się w sklepie partii jogurtów nieczytelny jest termin przydatności do spożycia. Klient kupujący jogurt chce
uzyskać zapewnienie ekspedientki, czy w wypadku stwierdzenia, że jogurt
jest nieświeży będzie mógł dokonać jego zwrotu. Ekspedientka zapewnia
wielokrotnie, że jest to świeży towar i nie chce zgodzić się na zapewnienie
możliwości zwrotu w obawie, że może to być zrozumiane jako brak gwarancji
świeżości.
1. Co sądzisz o rozumowaniu ekspedientki?
2. Czy zgodziłbyś się, że ekspedientka zakłada następujące rozumowanie
klienta:
Przesłanka I Jeśli jogurt jest świeży, to nie będzie mógł być zwrócony.
Przesłanka II Jogurt będzie mógł być zwrócony.
Wniosek:
Jogurt nie jest świeży.
Zadanie 2.55. Czy i jaki błąd popełniono we wnioskowaniu:
1. Traktat Wersalski stał się przyczyną inflacji rujnującej gospodarkę Niemiec, a tym samym wzrostu znaczenia narodowego socjalizmu. A zatem naziści doszli do władzy dzięki traktatowi wersalskiemu.
2. Janina jest dobrą żoną. Jan jest dobrym mężem. Zatem Janina i Jan
są dobrym małżeństwem.
265
3. Dla logika nie ulega wątpliwości, że ilekroć ustawodawca tylko z warunkami V 1 w łączności z V 2 pozwala łączyć skutki r (względnie formułuje
normę w postaci równoważności „zawsze i tylko, jeśli zachodzi V 1 i V 2
— zachodzi r”), wówczas na zasadzie prostego odwrócenia równoważności oraz transpozycji implikacji odwrotnej wolno twierdzić, że jeśli
nie zachodzą warunki V 1 i V 2 — nie zachodzi r.
4. Ktoś, kto sądzi, że zawsze ma rację, uważa siebie za nieomylnego. Ty
zawsze sądzisz, że masz rację. Zatem uważasz siebie za nieomylnego.
5. Rozmowa z programu telewizyjnego „MdM”
Man: Na klatce schodowej przeczytałem, że gabaryty wywożą tylko we
wtorki. Nie wiem, co to jest gabaryt. Czy ja jestem gabarytem?
Materna: Czy byłeś wywożony we wtorek?
Man: Tak
Materna: Jesteś więc gabarytem.
Zadanie 2.56. Wskaż przesłanki entymematyczne i oceń poprawność rozumowań:
1. Stwierdzany jest wysoki poziom przestępczości. Ludzie boją się wychodzić na ulice. Należy zatem znacznie zwiększyć dolegliwość kar.
2. Nie stwierdza się żadnej zależności pomiędzy wykonywaniem kary śmierci,
a liczbą najcięższych przestępstw, za które taka kara jest lub mogłaby
być wymierzana. Zatem należy odstąpić od wymierzania kary śmierci.
3. W Arabii Saudyjskiej złodziejowi obcina się ręce. Rocznie sześciu, siedmiu ludzi pozbawianych jest rąk. W siedmiomilionowej Arabii Saudyjskiej ludzie nie kradną. Czy jest tu gorzej niż w Ameryce, gdzie nie
ma tak okrutnych kar, a gdzie tygodniowo na Park Avenue w Nowym
Jorku pozbawianych jest życia więcej niewinnych osób niż w Arabii
Saudyjskiej rocznie obcina się rąk złodziejom? Co jest ważniejsze życie niewinnych ludzi, czy ręce złodziei? Coś za coś. Kwestionując kary
w Arabii Saudyjskiej wybiera się widok niewinnego człowieka zabitego
na ulicy.
Zadanie 2.57. 13 kwietnia 1995 r. B.G. komentując wynik spotkania na
temat polskiej polityki zagranicznej i udziału w Moskwie w uroczystościach
50 rocznicy zakończenia II wojny światowej powiedział:
„Nie jest winien ani prezydent, ani premier. Winni są obaj.”
Czy wypowiedź B.G. jest wewnętrznie sprzeczna?
266
Zadanie 2.58. Gdzie popełniono błąd w rozumowaniu:
1. To, czego nie mam, a co wcześniej miałem, to zgubiłem. Miałem 10
książek. Zgubiłem 1 książkę. Ponieważ miałem 10 książek, a nie mam
10 książek, więc mogę powiedzieć, że zgubiłem 10 książek.
2. Niektóre małżeństwa posiadają potomstwo. Każde małżeństwo jest
umową, a zatem niektóre umowy posiadają potomstwo.
3. Grać źle Chopina to zbrodnia. Zbrodnia to przestępstwo zagrożone
karą pozbawienia wolności co najmniej 3 lat. Za złe granie Chopina
grozi kara pozbawienia wolności powyżej 3 lat.
Zadanie 2.59. O jaki błąd w rozumowaniu chodzi w niniejszym tekście?
Osąd taki wyrasta z tego, co logicy określają mianem błędu kategorialnego — wprost przerażającego. Ustrój demokratyczny kapitalizmu nie jest królestwem Bożym. Nie jest on Kościołem ani
nawet filozofią, lecz tylko w pewnym zewnętrznym sensie „sposobem życia” 35 .
2.5.8
Paradoksy logiczne
Pewne błędne rozumowania zasługują na szczególną uwagę. Konstruowano
je już w starożytnej Grecji, celował w tym Zenon z Elei. Znane są jego argumenty przeciw ruchowi. Na przykład w paradoksie „Achilles i żółw” dowodzi
on, że Achilles nie dogoni żółwia. Achilles zgodził się, aby żółw wyruszył do
wyścigu o godzinę wcześniej. Achilles w przeciągu pięciu minut dotarł do
punktu A na trasie, do którego doszedł żółw. W tym czasie żółw pokonał
jednak pewien odcinek i doszedł do punktu B. Nim Achilles dotarł do punktu
B, żółw zdołał dotrzeć do punktu C na trasie. I tak szybkonogi Achilles nie
zdołał dogonić powolnego żółwia. Tu zajmujemy się tylko paradoksami ukazującymi trudności natury czysto logicznej. Odegrały ważną rolę w filozofii
i logice. Charakteryzuje je paradoksalność (od „para” — wbrew, „doksa”
— mniemanie, rozsądek): przekonywające i pozornie poprawne, wychodząc
z tych samych przesłanek prowadzą do sprzecznych wniosków. Z tego powodu określa się je jako antynomie logiczne.
Niektóre z poniższych paradoksów są znane od starożytności, inne od
średniowiecza, a inne są współczesne. Wiele wciąż budzi dyskusje filozofów
i logików.
35
Zob. Etyka kapitalizmu, Kraków 1994, str. 146.
267
Paradoks „Kłamca” Najsłynniejszym paradoksem Eubulidesa z Miletu
jest paradoks „kłamca”. Poeta Epimenides z Knossos na Krecie (miał żyć
w VI w. przed Chr. — postać częściowo legendarna) powiedział: „Kreteńczycy zawsze kłamią, złe bestie, brzuchy leniwe” 36 . Jeśli Kreteńczyk wypowiedział zdanie „Ja kłamię”, to czy wypowiedział on zdanie prawdziwe, czy
fałszywe?37
Paradoks „Łysy” (Eubulides z Miletu): „Każdy człowiek, który nie ma
włosów jest łysy. Lecz jeśli dodać łysemu jeden włos, to pozostanie on łysy.
Dlatego, każdy człowiek jest łysy, bez względu na to, ile ma na swojej głowie
włosów.” Co jest źródłem niepoprawności argumentu?
Paradoks „Rogacz” (Eubulides z Miletu38 ): „Czego nie zgubiłeś to masz.
Lecz nie zgubiłeś rogów. Zatem, masz rogi.” Co jest źródłem niepoprawności
argumentu?
Paradoks „Człowiek w kapturze” (Eubulides z Miletu): „Znasz swojego
brata. Ten człowiek w kapturze jest twoim bratem, lecz ty go nie znasz.”
Jak to jest możliwe?
Paradoks „Sąd” (por. Diogenes Laertios, Żywoty i poglądy słynnych filozofów, IX 54, 56)39 :
Podaje się, że sofista Protagoras zobowiązał się wykształcić Euatlosa na prawnika przyjmując połowę wynagrodzenia z góry,
a drugą połowę, gdy Euatlos wygra pierwszy proces. Euatlos nie
podjął jednak żadnej sprawy. Protagoras zdecydował się wytoczyć mu proces dowodząc: Jeśli przegrasz, to zapłacisz na mocy
wyroku. Jeśli zaś wygrasz, to zapłacisz na mocy umowy. Na to
Euatlos: Jeśli przegram, to według naszej umowy jestem wolny
od zapłacenia. Jeśli zaś wygram, to nie zapłacę na mocy wyroku
sądowego.
36
Zob. Św. Paweł, List do Tytusa 1,12.
Podobno Philates z Kos zamartwił się na śmierć, nie mogąc rozwiązać tego paradoksu.
38
Zob. Diogenes Laertios Żywoty i poglądy słynnych filozofów, VII, 187; por. tamże, II,
108–111.
39
W innej wersji tej historii osobami sporu byli sławny nauczyciel retoryki Koraks i Tyzjasz. Jest to klasyczny przykład argumentu określanego jako antistrefon (zwracający
się w drugą stronę). Tak nie należy argumentować, bowiem zręczny oponent może łatwo
obrócić tę argumentację przeciwko proponentowi.
37
268
Kto ma rację Protagoras, czy Euatlos? Co jest źródłem sporu?
Dla uzupełnienia dodajmy, że sędziowie uznali, że przedstawione przez
obu przeciwników argumenty są wątpliwe. Z obawy, że jeśli się opowiedzą
za jedną lub za drugą stroną, ich wyrok sam siebie unieważni, nie wydali
werdyktu, odraczając bezterminowo rozstrzygnięcie sprawy.
W ten sposób sławny nauczyciel wymowy został pokonany własnym argumentem przez młodego ucznia. Nadaremnie próbował zastosować chytrze
obmyśloną sztuczkę retoryczną.
Bardzo podobną sytuację przedstawia kolejny starożytny paradoks.
Krokodyl Krokodyl porwał matce jej ukochane dziecko. Na usilne błaganie, by je zwrócił, krokodyl po namyśle dał jej jedyną szansę: jeśli zgadnie,
czy odda jej dziecko, czy też nie odda — dziecko zostanie zwrócone. Matka
po zastanowieniu się odpowiedziała.
— „Ty mi dziecka nie oddasz”.
— „Skoro tak — odrzekł krokodyl — to straciłaś dziecko! Jeśli bowiem
powiedziałaś prawdę, to nie mogę tobie dziecka oddać. W przeciwnym wypadku nie byłaby to prawda. Jeśli zaś nie powiedziałaś prawdy, to dziecko
należy do mnie na mocy naszej umowy”.
— „Nie umiesz myśleć krokodylu — zawołała oburzona matka. Ja przecież zgadłam, że mi dziecka nie oddasz. Powiedziałeś zaś wyraźnie, że jeśli
powiem prawdę, to mi dziecko oddasz! Gdybym się pomyliła i tak musiałbyś mi dziecko oddać. Aby dowieść, że się pomyliłam musiałbyś bowiem mi
dziecko oddać.”
Kto ma rację w tym sporze? Co jest źródłem sporu?
Średniowieczna zagadka Każda część Sokratesa jest mniejsza od Sokratesa. Lecz jeśli wszystko z Sokratesa jest mniejsze niż Sokrates, to Sokrates
jest mniejszy od siebie.
Gdzie tkwi błąd rozumowania?
Inna średniowieczna zagadka Przypuśćmy, że jeden kot, Mruczek, siedzi na macie. Powiedzmy, że Mruczek ma 1000 włosów. Jeśli straci jakiś
włos (powiedzmy w ), to to, co pozostanie (Mruczek-w ) wciąż jest kotem.
Lecz Mruczek nie jest tożsamy z Mruczkiem-w. Ponadto, wyciągnięcie włosa
z kota nie wytwarza kota. Zatem, jest przynajmniej 1001 kotów na macie.
Gdzie tkwi błąd rozumowania?
269
Most Don Kichota Cervantes w Don Kichote pisze o ustawie nakazującej stawianie przed sądem wszystkich przechodzących przez pewien most.
W wypadku, gdy zeznający mówił prawdę zostawał zwolniony, zaś w wypadku, gdy mówił nieprawdę zostawał natychmiast powieszony. Jaki wyrok
winien wydać trybunał w wypadku osoby zeznającej, że przeszła most jedynie po to, aby być powieszoną?
Mocny kłamca 40 : To zdanie nie jest prawdziwe.
Czy zdanie to jest prawdziwe, fałszywe, lub żadne z tych?
Paradoks wykonania Nie wykonuj tego polecenia.
Czy polecenie to może być wykonane? Czy może nie być wykonane?
Paradoks przyrzeczenia Przyrzekam nie dotrzymać tego przyrzeczenia.
Czy to przyrzeczenie może być dotrzymane?
Paradoks wiedzy To (zdanie) nie może być znane.
Czy zdanie to jest prawdziwe, czy fałszywe?
Paradoks „Golibroda” W pewnym miasteczku był golibroda, który golił
tych i tylko tych, którzy nie golili się sami.
Kto golił golibrodę?
Paradoks Russella Czy zbiór wszystkich zbiorów, które nie są swoimi
elementami jest swoim elementem?
Paradoks Grellinga Wyrażenie nazywamy heterologicznym wtedy i tylko
wtedy, gdy nie jest swoim desygnatem. ‘Pies’ jest wyrażeniem heterologicznym, nie jest bowiem swoim desygnatem. ‘Rzeczownik’ nie jest heterologicznym, bowiem słowo ‘rzeczownik’ jest swoim desygnatem. Czy termin
‘heterologiczny’ jest heterologiczny?
Paradoks niespodziewanego egzaminu Profesor zapowiedział na następny tydzień ostateczny egzamin na godz. 900 , lecz studenci aż do tego
dnia nie będą wiedzieli, w który dzień tygodnia (poniedziałek, wtorek, środa,
czwartek, piątek) ten egzamin odbędzie się. Pewien student rozumował jak
następuje: Egzamin nie może odbyć się w piątek; gdyby bowiem nie odbył
40
Wariant „kłamcy”, zwany „mocnym kłamcą”.
270
się do czwartku, do godz. 901 , wszyscy wiedzieliby — na dzień przed egzaminem — że będzie to piątek. Nie może też odbyć się w czwartek; gdyby
nie odbył się do godz. 901 w środę, wszyscy wiedzieliby, że odbędzie się
w czwartek, ponieważ wiadomo, że nie może odbyć się w piątek. W ten sam
sposób można wnioskować o pozostałych dniach tygodnia. Zatem egzamin
nie może się odbyć. Przekonany do tego rozumowania student nie przygotowywał się do egzaminu. Ku zaskoczeniu większości studentów egzamin odbył
się w czwartek, a nasz student nie zaliczył semestru.
W którym miejscu student popełnił błąd w rozumowaniu?
Bohater opowiadania Tristram Shandy, autorstwa Laurence Sterne, próbuje napisać autobiografię. Ponieważ po dwóch latach opisał tylko pierwsze
dwa dni ze swojego życia, dochodzi do wniosku, że jego wysiłek skazany jest
na niepowodzenie. Możliwość, że tak nie musiałoby być wskazał Bertrand
Russell. W jakim wypadku nasz bohater mógłby napisać swoją autobiografię
opisując w przeciągu jednego roku zdarzenia z jednego dnia swojego życia?
2.5.9
Rola błędu
Hominis est errare, insipientis in errore perseverare. 41
Mistakes are the portals of Discovery.
James Joyce
Życie codzienne pełne jest różnego rodzaju błędów. Nie unika ich również
nauka. Errare human est porzekali już starożytni. Prawa nauki są uniwersalne. Znaczy to, że stosują się nie tylko do sytuacji, w których zostały potwierdzone doświadczalnie i eksperymentalnie, lecz do wszystkich sytuacji,
które miały miejsce w całej przeszłości i będą miały miejsce w przyszłości.
Tym samym wykraczamy poza to, co potwierdzone.
Fizyka klasyczna, której fundamenty położył Isaac Newton (1642–1727)
potwierdzana była przez obserwację za obserwacją, eksperyment za eksperymentem, daleko więcej niż stulecie; dziś uważamy ją, ściśle rzecz biorąc, za
błędną. Różnica między tym, co głosi ta teoria, a tym, jak jest w rzeczywistości, jest jednak nieistotna w zakresie problemów podstawowych takich
jak mechaniczne, konstrukcyjne i inne w skali «ziemskiej». Wiele testów
przeprowadzonych w tym stuleciu potwierdziło teorię względności Alberta
Einsteina (1879–1955), wciąż jednak może się ona okazać błędna. Musimy
liczyć się z błędem. Jak jednak moglibyśmy żyć i działać nie podejmując
tego ryzyka błędu? Błąd może pojawiać się na różnych etapach uprawiania
41
Rzeczą ludzką jest błądzić, rzeczą głupców jest trwać w błędzie.
271
nauki. Z błędem mamy do czynienia w różnych sytuacjach życiowych. Błąd
jest błędem, jednak jego rola nie zawsze jest negatywna. Ameryka została
odkryta przez pomyłkę, czego śladem jest choćby nazwa rdzennych mieszkańców Ameryki: Indianie. Błąd może okazać swoją skuteczność jednak tylko
wówczas, gdy w naszym poznawaniu kierować będziemy się tylko dążeniem
do prawdy i opierać na samym rozumie. Jak pisze św. Augustyn:
Sapientia et veritas nisi totis viribus concupiscatur, null modo
inveniri potest.
W wypadku nauki błąd może być na etapie:
1. stawiania hipotezy,
Arystoteles utrzymywał, że przyśpieszenie swobodnie spadających ciał
zależy od ich masy. Galileo (1564–1642) sformułował prawo, że przyśpieszenie to jest niezależne od masy ciała i stałe. Prawo grawitacji
Newtona wyjaśniło tę hipotezę. Zgodnie z fizyką newtonowską, przyciąganie grawitacyjne zależy od masy spadającego ciała i odległości
między ciałem a środkiem Ziemi. Zatem cięższe ciała Ziemia przyciąga z większą siłą niż ciała lżejsze. Tymczasem, zgodnie z drugim
prawem Newtona, siła — w tym wypadku, przyciąganie grawitacyjne
— jest równa iloczynowi masy i przyśpieszenia. Zatem skutek masy,
spowodowany przyciąganiem, znosi się ze skutkiem masy, wynikającym
z drugiego prawa Newtona, czyli większa siła grawitacyjna przyśpiesza
większą masę w tym samym stopniu co lżejsze przedmioty.
Teoria Newtona różni się wszak istotnie od teorii Galileo. Prawo grawitacji Newtona stwierdza, że siła grawitacyjne jest większa bliżej powierzchni Ziemi niż dalej. Dla średniej wielkości przedmiotów względnie blisko Ziemi, skutki są niewielkie: niezauważalne przewidywania
zgodne z prawem Newtona różnią się tylko nieznacznie od tych według
prawa Galileo. W wypadku braku bardzo dokładnych przyrządów pomiarowych testy potwierdzą oba prawa. Prawa te dają jednak różne
przewidywania w wypadku przedmiotów znajdujących się bardzo daleko od Ziemi.
2. projektowania eksperymentu i przeprowadzania doświadczenia,
John Hunter (1728–1793), angielski biolog, sprawdzał na sobie swoją
hipotezę, że ten sam czynnik biologiczny odpowiedzialny jest za syfilis
i rzeżączkę. Zaraził się rzeżączką. Sądził, że wyleczy oba schorzenia.
Był w tragicznym błędzie. Umarł na syfilis potwierdzając swoją hipotezę. Mimo to hipoteza okazała się błędna: różne czynniki powodują
te dwa schorzenia.
272
3. testowania hipotezy,
W tym wypadku musimy się liczyć z dwojakiego rodzaju błędami.
Mogą to być:
(a) błędne założenia pomocnicze (towarzyszące testowanej hipotezie):
Konsekwencją teorii Kopernika jest teza, że pozycja gwiazd stałych w stosunku do punktu obserwacyjnego na Ziemi ulega zmianie w wyniku obrotu Ziemi. Taka teza nie jest konsekwencją teorii
Ptolemeusza. Tycho Brahe (1546–1601) przez sześć miesięcy rejestrował dane swoich obserwacji i stwierdził, że pozycja gwiazd nie
ulega zmianie. Powodem takiego wyniku nie była jednak błędność teorii Kopernika, lecz błędne założenie pomocnicze. Mianowicie Tycho Brahe był przekonany o niedużej odległości gwiazd
od Ziemi. Przyrządy, którymi się posługiwał, w takim wypadku
byłyby wystarczające. To założenie, jak wiemy, było błędne. Paralaksa gwiazd, tak bowiem określa się zmianę pozycji gwiazd
w stosunku do punktu obserwacyjnego na Ziemi, odkryta została
dopiero w 1838 r., gdy dysponowano już doskonalszymi przyrządami obserwacyjnymi.
Badania akustyczne w związku ze śledztwem w sprawie zabójstwa prezydenta USA, J. F. Keneddy’ego stwierdzały cztery wystrzały, co uzasadniało stanowisko komisji kongresowej, że w tym
wypadku miał miejsce spisek. Inni jednak odrzucali to twierdząc, że «czwarty» strzał powstał nie wyniku oddania czwartego
strzału, lecz był efektem akustycznym powstałym w wyniku oddania trzech strzałów.
(b) błędne dane obserwacyjne,
Mogą być one wynikiem:
i. błędu matematycznego lub logicznego,
Teoria Newtona nie potrafi wyjaśnić pewnych aspektów perturbacji orbity Księżyca. Powodem jest błąd matematyczny
w pracy Newtona; gdyby błąd ten poprawić, przewidywania
byłyby zgodne z danymi obserwacyjnymi. (Newton sam znalazł ten błąd, lecz obawiał się opublikowania tego.)
ii. błędnej obserwacji,
Błędna obserwacja może być spowodowana przez:
— przyrząd,
W wywiadzie telewizyjnym 9 lipca 1995 r. prof. Aleksander
Wolszczan o swoim odkryciu pulsara, które to odkrycie po-
273
równywane jest z osiągnięciem M. Kopernika powiedział, że
pulsar ten zostałby odkryty prędzej czy później. To, że to się
stało, dokonało się dzięki zepsuciu teleskopu.
— obserwatora,
Obserwator może być roztargniony, niekompetentny, podlegać autosugestii (wishful thinking), zapomnieć, mieć wady,
np. wzroku itp. Wszyscy podlegamy złudzeniom — znane są
rysunki, na których widzimy co innego w zależności od tego,
jak patrzymy.
Gdyby na serio traktowano wyniki «eksperymetów» laboratoryjnych przeprowadzanych w ramach ćwiczeń przez studentów, to nie ostałaby się chyba żadna teoria.
Gregor Mendel (1822–1884), twórca współczesnej genetyki,
liczył kwiaty mające różne cechy w celu potwierdzenia swojej hipotezy genetycznej. Wyniki tak dokładnie potwierdzają
przewidywania teoretyczne, że nie mogą być rzetelne.
Panująca nie tak dawno wśród fizyków moda na cząstki elementarne «kazała» obserwować i opisywać fizykom cząstki,
których tak naprawdę nie było.
Błędne mogą okazać się również przewidywania, co do wyników zastosowania odkryć naukowych. Będą to błędy w zastosowaniach. Na przykład w 1948 nagrodę Nobla za odkrycie owadobójczych właściwości DDT
otrzymał Szwajcar Paul Hermann Muller (1899–1965). Wtedy pestycydy
wydawały się kluczem do rozwiązania problemu głodu i chorób zakaźnych
przenoszonych przez owady. Jednak wkrótce owady uodporniły się na działanie DDT, natomiast DDT, bardzo trwała substancja, choć od dawna wycofana z użycia, do dziś krąży w przyrodzie i wywiera szkodliwy wpływ na
zwierzęta i ludzi. W 1949 r. nagrodę Nobla przyznano Antonio Egasowi
Monizowi (1874–1955), portugalskiemu neurologowi, twórcy „psychochirurgii”. W 1936 jako pierwszy wykonał leukotomię — przeciął włókna nerwowe
przewodzące impulsy z płatów czołowych mózgu, by usunąć u chorego objawy pobudzenia, depresji i stany lękowe. Zmodyfikowana przez Wattsa
i Freemana metoda zwana „lobotomią” była — jako wielokrotnie tańsza niż
utrzymanie chorego w szpitalu — stosowana na całym świecie. Lobotomii
poddawano dziesiątki tysięcy chorych, niekiedy wykorzystując tę metodę do
„unieszkodliwienia” osób kłopotliwych dla otoczenia lub niewygodnych politycznie. W Japonii zabieg ten stosowano nawet u dzieci słabo radzących
sobie w szkole. W latach 50. pojawiły się silnie działające leki przeciwpsychotyczne i przeciwdepresyjne. Okazało się wówczas, że lobotomia nie była
274
skuteczniejsza w terapii rzeczywiście chorych psychicznie osób niż pozostawienie pacjenta w spokoju (część chorych zdrowieje sama).
Błędy mają również miejsce w naukach formalnych. Błąd popełniony
przez jednego z twórców współczesnej logiki formalnej, G. Fregego, a odkryty
przez B. Russella, zaowocował znakomitymi wynikami w logice i matematyce.
Rozdział 3
Wynikanie, schematy i prawa
logiki
Quo facto, quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam inter
duos Computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere sedereque ad abacos, et sibi mutuo (accito si placet
amico) dicere: c a l c u l e m u s.
J. W. Leibniz1
Definicja wynikania głosi, że zdanie α wynika ze zdań α1 , α2 , . . . , αn
wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwość zdań α1 , α2 , . . . , αn gwarantuje prawdziwość zdania α. Zamiast o gwarancji mówi się też, że nie może być tak,
aby zdania α1 , α2 , . . . , αn były prawdziwe a zdanie α fałszywe. Można zapytać, co to znaczy, że nie może. Potrzebne jest też skorzystanie z definicji
prawdy, która spełnia wymogi metodologiczne logiki. Nie można bowiem
tylko ograniczyć się do pogłębionego rozumienia prawdy. Na te pytanie daje
odpowiedź logika definiując pojęcie wynikania semantycznego. Interesujący
się logiką wyłącznie jako narzędziem mogą jednak tym zagadnieniem nie być
zainteresowani i zadowolić się metodami pozwalającymi bez jakichkolwiek
wątpliwości stwierdzić, czy w określonym wypadku ma miejsce wynikanie
semantyczne. Logika dostarcza takich narzędzi. Są nimi reguły, schematy
i prawa logiki, a najogólniej biorąc, rachunek logiczny. Rachunek logiczny
opisuje wynikanie syntaktyczne. Termin „rachunek” jest znany, a kojarzy
1
Gdyby spór powstał, dysputa między dwoma filozofami nie wymagałaby większego
wysiłku niż między dwoma rachmistrzami. Wystarczyłoby bowiem, aby wzięli ołówki w
swoje ręce, usiedli przy swoich tabliczkach i jeden drugiemu (z przyjacielem jako świadkiem, gdyby zechcieli) powiedzieli: P o l i c z m y.
275
276
ROZDZIAŁ 3. WYNIKANIE, SCHEMATY I PRAWA LOGIKI
się przede wszystkim z rachunkiem arytmetycznym. Uczono nas pisemnie
dodawać i odejmować, mnożyć i dzielić. Przeprowadzenie rachunku wymagało zapisania liczb w systemie dziesiętnym, arabskim. Nie potrafimy przecież pisemnie wykonywać operacji arytmetycznych, gdy liczby zapisane są
np. cyframi rzymskimi. Rachunek wymaga więc specjalnego języka2 a jeśli
tak, to nadto należy rozumieć, że jest on w istocie pewną operacją mechaniczną, czyli operacją polegającą na przyporządkowywaniu sobie obiektów
fizycznych, jakimi w wypadku rachunku są napisy. Reguły rachunku arytmetycznego muszą być takie, aby w wyniku przeprowadzenia tego rachunku
otrzymać wynik, który jest taki, jaki jest rzeczywisty wynik danej operacji
arytmetycznej. Odpowiednikiem rzeczywistego wyniku wykonania operacji
arytmetycznej jest wynikanie semantyczne, wynik pisemnego wyrachowania
odpowiada wynikaniu syntaktycznemu. W arytmetyce istnieje zgodność między rzeczywistym wynikiem operacji arytmetycznej, a wynikiem uzyskanym
na drodze rachunkowej. Dlatego też nie odróżniamy np. dodawania jako
pewnej operacji od dodawania pisemnego. Mówimy po prostu o dodawaniu. Podobnie, jeśli jest tak, że z jakichś zdań wynika semantycznie jakieś
zdanie wtedy i tylko wtedy, gdy wynika ono z tych zdań syntaktycznie, to
w zastosowaniach nie ma potrzeby odróżniania jednego od drugiego, wynikania semantycznego od syntaktycznego. Co się też czyni mówiąc po prostu
o wynikaniu. Idea rachunku logicznego, jaka pojawiła się u Leibniza dała początek współczesnej logice formalnej. Leibniz marzył o czasach, gdy zamiast
toczyć spory weźmiemy ołówek i papier i wyrachujemy kto ma rację.
Nasze rozważania z zakresu logiki formalnej rozpoczniemy od logiki zdań.
Logika zdań traktuje zdanie jako zbudowane ze zdań i spójników. Zdanie proste zaś to najmniejsza, wewnętrznie nieanalizowalna jednostka, atom. Poza
zdaniami wyróżnia się tylko spójniki (i znaki interpunkcyjne — nawiasy).
Zdania języka nauki i języka potocznego zbudowane są również z wyrażeń,
które nie są ani zdaniami, ani nie są spójnikami. Znaczenia tych wyrażeń
są źródłem związków wynikania semantycznego. Spośród nich szczególnie
ważne są słówka kwantyfikujące „dla każdego” i „dla pewnego”. Związki logiczne wyznaczone przez te słówka są przedmiotem sylogistyki i logiki predykatów. W sylogistyce rozważa się zdania podmiotowo-orzecznikowe i przyjmuje, że wszystkie inne dadzą się do nich sprowadzić. We współczesnej logice
kwantyfikatorów zdanie jest zanalizowane i ujęte jako zbudowane z predykatów, słówek kwantyfikujących oraz nazw, a dokładniej stałych indywidu2
Arystoteles był pierwszym logikiem, który użył symboli. Stoicy uczynili powszechną
praktykę zastępowania zdań numerami. Pełny rozwój symboliki logicznej datuje się od
XIX w., gdy George Boole (1815–1864) zauważył korzyści, jakie logika może odnieść z języka symbolicznego.
3.1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ
277
owych i zmiennych nazwowych (zmienne nazwowe służą do wypowiadania
nazw generalnych).
3.1
Klasyczna logika zdań
Opisując język, zdanie zbudowane ze zdań i spójników określiliśmy jako zdanie złożone. Zdanie proste to zdanie, które nie jest złożone. W klasycznej
logice zdań pod uwagę bierze się tylko spójniki prawdziwościowe. Zwykle są
to negacja, alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność. Tak też tu
postąpimy. Spójniki te wystarczają do wypowiedzenia wszystkich spójników
prawdziwościowych. Specjalna pozycja klasycznej logiki zdań spowodowana
jest podstawowym charakterem wskazanych spójników. Wydaje się bowiem,
że są one niezbędne w każdej nauce. Język danej nauki może być bogatszy i mogą pojawić się w nim inne spójniki. Prawnicy zainteresowani są
np. spójnikami: „ jest dozwolone, że”, „ jest zakazane, że”, „ jest nakazane,
że”. Logika języka z takimi spójnikami jest zwykle nadbudowana nad logiką
klasyczną.
3.1.1
Język klasycznego rachunku zdań
Na opis języka klasycznego rachunku zdań, tak jak każdego języka, składają się słownik, reguły składniowe (syntaktyczne) oraz reguły znaczeniowe
(semantyczne).
Definicja 3.1. Słownik (alfabet) języka rachunku zdań jest zbiorem
następujących symboli:
1.
2.
3.
4.
p0 , p1 , p2 . . .
¬
¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔
), (
—
—
—
—
litery zdaniowe;
spójnik jednoargumentowy;
spójniki dwuargumentowe;
znaki interpunkcyjne (nawiasy prawy i lewy).
Litery zdaniowe reprezentują zdania proste, czyli zdania, w których nie
występują spójniki.
W języku rachunku zdań zdania są tu jedynym rodzajem wyrażeń poprawnie zbudowanych. Stąd definicja zdania wyczerpuje reguły syntaktyczne
języka rachunku zdań. Zdanie definiujemy przez podanie reguł konstrukcji
(definicja indukcyjna, rekurencyjna).
Definicja 3.2 (zdania języka rachunku zdań). Niech α i β będą dowolnymi
ciągami symboli.
278
1. litery zdaniowe są zdaniami;
2. jeżeli α jest zdaniem, to ¬ α jest zdaniem;
3. jeżeli α i β są zdaniami, to (α ⇒ β), (α ∨ β), (α ∧ β), (α ⇔ β) są
zdaniami;
4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych ciągów symboli, które są skończonymi ciągami elementów słownika spełniającymi
warunki 2 lub 3.
Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym:
4’
zbiór zdań jest najmniejszym zbiorem, którego elementami są wszystkie litery zdaniowe i wszystkie skończone ciągi elementów słownika,
które spełniają jeden z warunków 2–3.
Przykład 3.1. Zdaniami są:
p0 , ¬p1 , (p2 ∨ p1 ).
Zdaniami nie są:
(p0 ), (p0 ∨ p1 ) ∧ (p2 ∨ p3 ).
Litery „α”, „β”, „γ”, . . . oraz ciągi zbudowane z tych liter i elementów
słownika stosowane są w języku, w którym mówimy o języku rachunku zdań.
Należą więc do metajęzyka. Służą one do nazywania ciągów elementów słownika języka rachunku zdań. Umawiamy się, że jeśli nie będzie powiedziane
inaczej, to litery „α”, „β”, „γ”, . . . będą odnosiły się tylko do zdań.
W dalszych rozważaniach uprościmy stosowanie nawiasów i zawsze zamiast pisać: (α), będziemy pisali: α, czyli będziemy opuszczać nawiasy zewnętrzne. Ponadto umówimy się, że spójniki mają różną moc wiązania, czyli
postąpimy tak, jak postępuje się w arytmetyce przyjmując, że np. symbol
mnożenia wiąże mocniej niż symbol dodawania. Jeżeli dwuargumentowy
spójnik s1 wiąże mocniej niż dwuargumentowy spójnik s2 , to zamiast:
(αs1 β)s2 γ
będziemy mogli pisać:
αs1 βs2 γ,
a zamiast:
αs2 (βs1 γ)
279
będziemy mogli pisać:
αs2 βs1 γ.
Przyjmuje się, że najmocniej wiążącym spójnikiem jest negacja. Zatem zamiast pisać:
(¬α)s1 β
możemy pisać:
¬αs1 β
Po negacji najmocniej wiążą kolejno: koniunkcja, alternatywa i równoważność. Najsłabiej wiążącym spójnikiem jest implikacja. Czasem dla większej
przejrzystości jest wygodniej użyć więcej nawiasów niż na to pozwalałaby
przyjęte reguły. Ponadto stosuje się nawiasy różnych kształtów. Wreszcie,
dla wygody, zwykle jako liter zdaniowych będziemy używali małych kolejnych liter alfabetu: p, q, r, . . . .
Definicja 3.3. s jest spójnikiem głównym w zdaniu α wtedy i tylko wtedy,
gdy α jest zdaniem postaci: sβ lub βsγ.
3.1.2
Tautologia
Zdania języka rachunku zdań zbudowane są z liter zdaniowych i ze spójników
prawdziwościowych. Zdaniom przyporządkowywać będziemy jedną z dwu
liter: v, f 3 .
Definicja 3.4. Wartość logiczna zdania to jedna z liter: v, f .
Definicja 3.5. Interpretacja zdania to przyporządkowanie literom zdaniowym jednej z dwu wartości logicznych: v, f .
Wartość logiczną zdania α, w zależności od wartości logicznych liter zdaniowych, określa się zgodnie z następującymi tabelkami:
Jeżeli zdanie α, to zdanie ¬β:
β
¬β
v
f
v
f
Jeżeli α, to zdanie postaci: βsγ, gdzie s to spójnik dwuargumentowy:
3
Verum — po łacinie znaczy tyle co — prawda, a falsum — fałsz. W wielu wykładach
logiki zamiast tych liter używane są cyfry „1” i „0”.
280
β
γ
β⇒γ
β∨γ
β∧γ
β⇔γ
v
v
f
f
v
f
v
f
v
f
v
v
v
v
v
f
v
f
f
f
v
f
f
v
W wypadku interpretacji takiej, że p0 przyjmuje wartość v, a p1 przyjmuje wartość f zdanie:
¬(p0 ∨ p1 )
przyjmuje wartość f . Zgodnie z tabelką mamy bowiem, że
p0 ∨ p1
przyjmuje wartość v. A zatem jego negacja, czyli rozważane zdanie, przyjmuje wartość f .
Definicja 3.6. Zdanie α jest tautologią (symbolicznie.: ` α) wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość v.
Przykład 3.2. Tautologią jest zdanie:
p0 ∨ ¬p0 .
Jeżeli α i α ⇒ β są tautologiami, to tautologią jest też β, czyli
Twierdzenie 3.1. Jeżeli ` α i ` α ⇒ β, to ` β.
Dowód. Niech α i α ⇒ β będą tautologiami. Gdyby β nie było tautologią, to
istniałaby taka interpretacja, dla której β przyjmowałoby wartość f . Zgodnie
z definicją implikacji, dla tej interpretacji również α przyjmowałoby wartość
f , co przeczy założeniu, że α jest tautologią.
Definicja 3.7. Kontrtautologia to zdanie, które dla dowolnej interpretacji
przyjmuje wartość f .
Przykład 3.3. Kontrtautologią jest: α ∧ ¬α.
Można zauważyć, że zdanie jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy
jego negacja jest tautologią.
Okazuje się, że problem, czy zdanie jest tautologią, jest rozstrzygalny.
Znaczy to, że istnieje rachunek, który w wypadku dowolnego zdania pozwala
w ograniczonej liczbie operacji rachunkowych znaleźć odpowiedź na pytanie,
281
czy zdanie to jest tautologią, czy nie jest tautologią. Zauważmy, że każdemu
zdaniu można przyporządkować tylko skończoną ilość interpretacji. Jeśli
w zdaniu występuje n liter zdaniowych (bez względu na to, ile razy zostały
użyte poszczególne litery zdaniowe), to możliwych jest 2n interpretacji tego
zdania. Jest to liczba skończona. Określenie wartości zdania dla każdej
interpretacji jest operacją dającą się wykonać w skończonej liczbie kroków.
Iloczyn dwóch skończonych liczb jest liczbą skończoną. Zatem wykonanie
skończonej liczby operacji rachunkowych wystarcza, aby znaleźć odpowiedź
na pytanie, czy dane zdanie jest tautologią.
Odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią, możemy szukać przyporządkowując literom zdaniowym kolejno wszystkie możliwe wartości. Ten
sposób postępowania to metoda wprost. Zdanie jest tautologią, jeśli dla
wszystkich możliwych układów wartości przyjmuje wartość v. Możemy również postępować niewprost. Stosując metodę niewprost zakładamy, że
zdanie nie jest tautologią. Następnie kierując się zasadami przyporządkowywania wartości logicznych przypisujemy wartości logiczne zdaniom składowym. Postępujemy tak tak długo aż stwierdzimy, że
1. jakiemuś zdaniu składowemu rozważanego zdania należałoby przyporządkować zarówno wartość v jak i wartość f. Wówczas stwierdzamy,
że nie może być tak, aby to zdanie nie było tautologią. A więc, że jest
ono tautologią.
2. poszczególnym literom zdaniowym zostanie przyporządkowana dokładnie jedna wartość v lub f. Wówczas stwierdzamy, że zdanie to dla tych
właśnie wartości przyjmuje wartość f. A więc, że nie jest tautologią.
Zaletą metody niewprost jest możliwość skrócenia sprawdzania. Metoda
wprost wymaga sprawdzenia wszystkich układów wartości liter zdaniowych.
Już przy sześciu literach trzeba rozważyć 64 układy. Poszukuje się innych
sposobów. Wielka liczba koniecznych działań jest bowiem w ogóle cechą
szczególną metody zero-jedynkowej. Charles Dodgson (1832–1898), matematyk i logik, fotograf i literat, bardziej znany pod literackim pseudonimem Lewis Carroll, zaprojektował zagadkę, „problem żaby”, która wymaga
osiemnastu liter zdaniowych. Należałoby rozważyć więc 262144 możliwości.
Gdyby przyjąć, że jeden symbol wpisywany jest w przeciągu jednej sekundy,
to na wykonanie wszystkich operacji potrzeba by było prawie roku.
O opisanych wyżej metodach wprost i niewprost z tego powodu, że zwykle
stosuje się cyfry „1” i ”0” mówi się, że jest to metoda zero-jedynkowa4
4
Metoda ta została rozwinięta w 1921 niezależnie przez amerykańskiego logika Emila
282
Zadania
Zadanie 3.1. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami, czy kontrtautologiami:
1. p ⇔ ¬p
2. ¬(¬p ⇒ p)
3. ¬(¬p ⇒ q)
4. (q ⇒ p) ⇒ q
5. (p ⇒ q) ∧ ¬(q ⇒ p)
6. (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q)
7. (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)
8. (p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)
9. p ∨ ((p ⇔ q) ∧ (p ⇔ ¬q))
10. p ⇔ ((p ⇒ ¬q) ∧ (p ⇒ ¬¬q))
11. (q ∧ r) ⇔ ((p ⇔ q) ∨ (p ⇔ r))
12. (p ∨ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ∨ q) ⇒ (p ∨ r))
13. (p ⇔ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇔ r))
14. (p ⇒ (q ⇔ r)) ⇔ ((p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ r))
15. ¬(p ⇔ ¬(q ⇒ r)) ⇔ ¬(¬(p ⇔ q) ⇒ ¬(p ⇔ r))
16. p ∨ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ (r ∨ ¬q)))
Zadanie 3.2. Dla jakiej liczby wystąpień litery zdaniowej p tautologią jest
zdanie:
(. . . ((p ⇒ p) ⇒ p) . . . ) ⇒ p?
Zadanie 3.3. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójnika
równoważności. Udowodnij, że α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy
jeśli litera zdaniowa występuje w α, to występuje parzystą ilość razy.
Posta (urodzony w Augustowie, w Polsce) oraz austriackiego filozofa Ludwika Wittgensteina.
283
Zadanie 3.4. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójnika
równoważności. Niech β różni się os α tylko miejscem poszczególnych liter
zdaniowych i nawiasów. Udowodnij, że β jest równoważne α.
Zadanie 3.5. Niech α będzie zdaniem zbudowanym za pomocą tylko spójników alternatywy i koniunkcji. Niech αd będzie zdaniem otrzymanym ze zdania α przez zastąpienie w każdym miejscu wystąpienia spójnika alternatywy
przez spójnik koniunkcji, a spójnika koniunkcji przez spójnik alternatywy.
Niech α∗ będzie zdaniem otrzymanym ze zdania α przez poprzedzenie każdego wystąpienia litery zdaniowej przez spójnik negacji (zastąpienia litery
zdaniowej pi w każdym miejscu jej wystąpienia przez ¬pi ). Udowodnij, że
¬αd jest równoważne α∗ .
Zadanie 3.6. Niech α i β będą zdaniami zbudowanymi za pomocą tylko spójników alternatywy i koniunkcji. Niech α będzie równoważne β. Udowodnij,
że αd jest równoważne β d .
Zadanie 3.7. Niech p0 = p, a p1 = ¬p. Niech ij ∈ {0, 1}. Dla jakich ciągów:
i0 , i1 , . . . , in tautologią jest zdanie:
(. . . ((pi0 ⇒ pi1 ) ⇒ pi2 ) . . . ) ⇒ pin ?
Zadanie 3.8. Mówimy, że n-argumentowy spójnik s jest definiowalny za pomocą spójników s1 , s2 , . . . sn wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zdanie zbudowane tylko za pomocą spójników s1 , s2 , . . . sn równoważne zdaniu s(p1 , . . . , pn ).
Udowodnij, że każdy spójnik jest definiowalny za pomocą spójników:
1. negacji i alternatywy;
2. negacji i koniunkcji;
3. negacji i implikacji;
4. dyzjunkcji;
5. jednoczesnego zaprzeczenia.
Zadanie 3.9. Udowodnij, że
1. za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji;
2. za pomocą negacji i równoważności nie można zdefiniować alternatywy
i koniunkcji.
284
3.1.3
Wynikanie w klasycznej logice zdań
Podstawowym problemem logiki jest odpowiedź na pytanie o warunki poprawności rozumowań. Wnioskowanie dedukcyjne to rozumowanie, w którym
na podstawie wcześniej uznanych zdań-przesłanek uznajemy zdanie-wniosek.
Wnioskowanie dedukcyjne wyróżnia od innych poprawnych rozumowań to,
że w jego wypadku prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku. Zajmujemy się rachunkiem logicznym, aby podać zasady rachunkowe,
których przestrzeganie zagwarantuje, że wnioskowanie będzie dedukcyjne.
Reguły rachunku logicznego są mniej skomplikowane niż np. pisemnego dodawania.
Reguły rachunku specyficznym dla danej reguły napisom określonym zarówno co do liczby jak i kształtu przyporządkowują jakiś określony co do
kształtu napis. W wypadku rachunku logicznego to przyporządkowanie określa się też jako wyprowadzalność (inferencję). Reguła MP napisom α
oraz α ⇒ β przyporządkowuje napis α.
Definicja 3.8. Reguła odrywania (Modus Ponens):
(MP)
z α i α ⇒ β wyprowadzalne jest β.
Zamiast mówić o wynikaniu wniosku z przesłanek możemy mówić o wynikaniu zdania ze zbioru zdań.
Definicja 3.9. Ze zbioru zdań Σ wynika zdanie α (symbolicznie: Σ ` α)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg zdań α0 , α1 , . . . , αn taki, że
dla każdego αi , 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest jeden z warunków:
1. αi jest elementem zbioru Σ,
2. αi jest tautologią,
3. istnieją j, k < i takie, że αk jest zdaniem αj ⇒ αi .
Ciąg zdań α0 , α1 , . . . , αn spełniający warunki 1–3 to dowód zdania α
ze zbioru zdań Σ.
Warunek 3 można sformułować równoważnie:
3’. istnieją j, k < i takie, że αi jest wyprowadzalne z αj i αk za pomocą
reguły MP.
Zbiór zdań Σ to zbiór przesłanek, albo inaczej założeń.
w szczególności być zbiorem pustym (∅).
Σ może
285
Twierdzenie 3.2. Zdanie α wynika z pustego zbioru zdań (∅ ` α) wtedy
i tylko wtedy, gdy jest tautologią (` α).
Dowód. Niech α będzie tautologią. Jednoelementowy ciąg α spełnia warunek
2 definicji wynikania. Zatem α wynika z pustego zbioru założeń.
Niech α wynika z pustego zbioru założeń. Istnieje zatem ciąg:
α0 , α1 , . . . αn ,
który spełnia warunki dowodu. Zdanie αn , ostatni wyraz tego ciągu, to
zdanie α. Pokażemy, że każdy element tego ciągu jest tautologią. W szczególności tautologią będzie więc zdanie α. Pierwsze dwa wyrazy dowodu są
tautologiami lub elementami zbioru założeń. Zatem, gdy zbiór założeń jest
pusty, zdania α0 i α1 muszą być tautologiami. Załóżmy, że jest taki wyraz
ciągu dowodowego, który nie jest tautologią. Niech αi będzie pierwszym
wyrazem ciągu, który nie jest tautologią. Ponieważ poprzedzające go wyrazy są tautologiami a zbiór Σ jest pusty, więc αi mogło zostać otrzymane
tylko przez zastosowanie reguły MP. Ponieważ zgodnie z twierdzeniem 3.1,
zastosowanie reguły MP do tautologii daje w wyniku tautologię, otrzymujemy sprzeczność z założeniem. Zatem wszystkie wyrazy rozważanego ciągu
są tautologiami. W szczególności tautologią jest αn .
Twierdzi się (tu dowód tego jest pominięty), że wynikanie zgodnie z zasadami dowodu w rachunku zdań (wynikanie syntaktyczne) pokrywa się z wynikaniem semantycznym, czyli takim, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy,
gdy prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku.
Twierdzenie o dedukcji
Mając do dowiedzenia zdanie α ⇒ β do zbioru przesłanek Σ zwykliśmy
dołączać zdanie α i ze zbioru przesłanek Σ ∪ {α} dowodzić zdanie β. Mając
dowieść zdanie „ jeżeli trójkąt ma dwa równe boki, to ma dwa równe kąty”,
do zbioru przesłanek — w tym wypadku są to udowodnione twierdzenia
geometrii — dołączamy zdanie „trójkąt ma dwa boki równe”. Dokonujemy
tego mówiąc „załóżmy, że trójkąt ma dwa równe boki”. Dowodzimy zaś
zdania „trójkąt ma dwa równe kąty”. Czy nasz sposób postępowania jest
uprawniony, czy jest zgodny z logiką? Pozytywną odpowiedź na to pytanie
daje twierdzenie o dedukcji.
Twierdzenie 3.3. O dedukcji
Σ`α⇒β
286
Σ ∪ {α} ` β.
Dowód. Udowodnimy dwie tezy, które łącznie składają się na twierdzenie
o dedukcji, a mianowicie:
jeżeli Σ ` α ⇒ β, to Σ ∪ {α} ` β,
(3.1)
jeżeli Σ ∪ {α} ` β, to Σ ` α ⇒ β
(3.2)
Dowód 3.1
Dowód 3.1 jest krótki. Niech ze zbioru Σ wynika zdanie α ⇒ β. Zgodnie z definicją wynikania istnieje ciąg α1 , α2 , . . . , αn , który jest dowodem
ze zbioru Σ zdania α ⇒ β. Ciąg α1 , α2 , . . . , αn , α jest dowodem ze zbioru
Σ ∪ {α} zdania β. Zgodnie z definicją wynikania zdanie αn to zdanie α ⇒ β.
Zdanie α wolno dołączyć do dowodu na mocy pkt 1 definicji wynikania,
gdyż jest założeniem tego dowodu. Zdanie β otrzymujemy stosując regułę
odrywania do αn [= α ⇒ β] i α.
Dowód 3.2
Dowód tezy 3.2 jest bardziej złożony. Niech β ma dowód ze zbioru
Σ ∪ {α}, czyli Σ ∪ {α} ` β. Niech dowodem tym będzie α1 , α2 , . . . , αn .
Udowodnimy, że dla każdego i, 1 ≤ i ≤ n, Σ ` α ⇒ αn . Tym samym
udowodnimy tezę 3.2, bowiem zgodnie z definicją dowodu αn to zdanie β.
3.2 (0)
W wypadku i = 1, α1 może być tautologią lub elementem zbioru Σ∪{α}.
Jeżeli α1 jest tautologią, to tautologią jest też α ⇒ α1 . Zdanie α ⇒ α1
jako tautologia ma dowód z pustego, a zatem i z dowolnego zbioru zdań,
w szczególności z Σ. Niech α1 będzie założeniem, czyli α1 ∈ Σ ∪ {α}. α1
może być zdaniem α. Wówczas zdanie α ⇒ α1 [= α ⇒ α] jest tautologią,
a więc ma dowód z dowolnego zbioru zdań, w szczególności z Σ. α1 może
być elementem Σ. Ciąg:
1.
2.
3.
α1 ⇒ (α ⇒ α1 )
α1
α ⇒ α1
tautologia
założenie
(MP; 1,2)
jest dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ α1 .
3.2 (k+1)
Założenie indukcyjne. Niech dla pewnego k zachodzi: Σ ` α ⇒ αi , jeśli
i ≤ k. Pokażemy, że dla i = k + 1 zachodzi:
287
Σ ` α ⇒ αk+1 .
Zgodnie z definicją dowodu αk+1 może być tautologią, założeniem lub
może być uzyskane przez zastosowanie reguły odrywania do poprzedzających
je elementów ciągu. W wypadku, gdy αk+1 jest tautologią lub założeniem
postępujemy jak w 3.2(0). Pozostaje więc rozważyć wypadek, gdy αk+1 jest
uzyskane za pomocą reguły odrywania. Niech to będzie wynik zastosowania
tej reguły do αm i αm ⇒ αk+1 . Zgodnie z założeniem indukcyjnym zdania
α ⇒ αm oraz α ⇒ (αm ⇒ αk+1 ) mają dowody ze zbioru Σ. Niech ciąg:
β1 , β2 , . . . , βl [= α ⇒ αm ]
będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αm , a ciąg:
γl+1 , γl+2 , . . . , γl+u [= α ⇒ (αm ⇒ αk+1 )]
niech będzie dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ (αm ⇒ αk+1 ). Ciąg:
β1 , β2 , . . . , βl , γl+1 , γl+2 , . . . , γl+u
przedłużony o następujące trzy zdania:
l + u + 1. [α ⇒ (αm ⇒ αk+1 )] ⇒ [(α ⇒ αm ) ⇒ (α ⇒ αk+1 )] tautologia
l + u + 2. (α ⇒ αm ) ⇒ (α ⇒ αk+1 )
(MP;l+u+1,l+u)
l + u + 3. α ⇒ αk+1
(MP;l+u+3,l)
jest dowodem ze zbioru Σ zdania α ⇒ αk+1 .
3.1.4
Schematy i prawa logiki zdań
Dla logiki zdań jako jedyną regułę rachunku logicznego przyjęliśmy regułę
odrywania (MP). Dla celów praktycznych korzystnie jest wzbogacić zasób
reguł. W wypadku rachunków arytmetycznych też zwykliśmy tak postępować. Korzystamy z różnych wzorów jak np. na kwadrat różnicy: a2 − b2 =
(a+b)(a−b). W wypadku logiki takimi wzorami są schematy/reguły wnioskowań. Ogólnie biorąc reguła wnioskowania to zasada przyporządkowywania
zdania określonego kształtu zdaniom określonym co do liczby i kształtu.
Między wnioskowaniami, w których zachodzi wynikanie wniosku z przesłanek, a tautologiami istnieje ścisły związek. Mianowicie ze zdań α0 , α1 , . . . , αn
wynika zdanie β wtedy i tylko wtedy, gdy tautologią jest zdanie (α0 ∧ α1 ∧
. . . αn ) ⇒ β. O fakcie tym mówi następujące twierdzenie.
288
Twierdzenie 3.4.
{α0 , α1 , . . . , αn } ` β
` (α0 ∧ α1 ∧ . . . αn ) ⇒ β.
Dowód. Na podstawie twierdzenia o dedukcji mamy, że
{α0 , α1 , . . . , αn } ` β
wtedy i tylko wtedy, gdy:
∅ ` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))
To zaś na podstawie twierdzenia 3.2 ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy:
` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))
Zdanie:
α0 , ⇒ (α1 , ⇒ (. . . , ⇒ (αn ⇒ β) . . . )
przyjmuje wartość f wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zdania α0 , α1 , . . . , αn
przyjmują wartość v, a zdanie β przyjmuje wartość f . Jest to również warunek konieczny i wystarczający przyjmowania wartości f przez zdanie:
(α0 ∧ α1 ∧ . . . αn ) ⇒ β.
Zatem:
` α0 ⇒ (α1 ⇒ (· · · ⇒ (αn ⇒ β) . . . ))
wtedy i tylko wtedy, gdy:
` (α0 ∧ α1 ∧ . . . αn ) ⇒ β.
Wnioskowaniu dedukcyjnemu: {α0 , α1 , . . . , αn } ` β odpowiada tautologia: ` (α0 ∧α1 ∧. . . αn ) ⇒ β. Tautologii: ` (α0 ∧α1 ∧. . . αn ) ⇒ β odpowiada
zaś wnioskowanie dedukcyjne: {α0 , α1 , . . . , αn } ` β.
Okazuje się, że każde zdanie: α ∨ ¬α jest tautologią niezależnie od tego,
jakie zdanie będzie zdaniem α.
289
Nie potrafimy powiedzieć, czy zdanie: α ∨ ¬β jest, czy też nie jest tautologią. Potrzebna jest wiedza do jakiego zdania języka rachunku zdań odnosi
się „α” a do jakiego odnosi się „β”. Jeśli α to zdanie:
p0 ∨ p1
a β to zdanie:
p0 ∧ p2
to zdanie α ∨ ¬β jest tautologią. Nie byłaby to tautologia, gdyby α było
zdaniem:
p0 ∧ p1
a β byłoby zdaniem:
p0 ∨ p1 .
Liter: „α”, „β”, . . . używamy w języku, w którym mówimy dla wskazywania zdań języka, o którym mówimy. Bywa, że nie określamy, do jakich zdań
litery te się odnoszą. Na przykład, gdy mówimy „ jeśli α i β są zdaniami, to
zdaniem jest również α ⇒ β”. Nie wiemy jednak, jakie jest to zdanie póki
nie wiemy, jakimi zdaniami są α i β. Takie wyrażenie, w którym występują
tylko spójniki, nawiasy i litery: „α”, „β”, . . . i które w wypadku, gdy α, β,
. . . są zdaniami jest też zdaniem, to schemat zdania.
Definicja 3.10. Prawo logiki zdań to schemat tautologii.
Prawem logiki jest: α ∨ ¬α. Tautologiami, których prawo to jest schematem,
są następujące zdania: p ∨ ¬p, q ∨ ¬q, p ∧ q ∨ ¬(p ∧ q), (p ⇒ q) ∨ ¬(p ⇒ q).
To, że schemat Φ5 jest prawem logiki będzie zapisywane:
` Φ.
Zgodnie z wyżej udowodnionym twierdzeniem, niektórym tautologiom
odpowiadają wnioskowania dedukcyjne. Schematom tautologii, czyli prawom logiki w podobny sposób odpowiadają schematy wnioskowań dedukcyjnych, czyli schematy logiczne.
Definicja 3.11. Schemat logiczny to schemat wnioskowania dedukcyjnego.
5
Na oznaczenie schematów zdań używać będziemy wielkich liter greckich. Jeśli język
rachunku zdań jest językiem przedmiotowym, to wielkie litery greckie będą należały do
metametajęzyka tego języka.
290
Schematy logiczne będą zapisywane:
Φ0
Φ1
..
.
Φn
Ψ
lub:
Φ0 , Φ1 , . . . , Φn ` Ψ.
Schemat ten odpowiada prawu logiki:
(Φ0 ∧ Φ1 ∧ · · · ∧ Φn ) ⇒ Ψ.
Wnioskowanie, które przebiega zgodnie ze schematem logicznym, jest
wnioskowaniem, w którym z przesłanek wynika wniosek. Stwierdzenie, czy
wnioskowanie jest dedukcyjne, może być dokonane w oparciu o zasady wynikające ze sposobu sprawdzania, czy zdanie jest tautologią. Stwierdzenie, czy
schemat jest prawem logiki lub czy schemat wnioskowania jest schematem
logicznym dokonywane jest w podobny sposób jak stwierdzenie, czy zdanie
jest tautologią lub czy wnioskowanie jest dedukcyjne. W schematach nie
występują litery zdaniowe. Występują zaś zmienne metaprzedmiotowe: „α”,
„β”, „γ”, . . . . Im to przyporządkowywane są wartości logiczne w taki sam
sposób jak są one przyporządkowywane literom zdaniowym. Problemy, czy
schemat zdania języka rachunku zdań jest prawem logiki lub czy schemat
wnioskowania w języku rachunku zdań jest logicznym schematem wnioskowania są rozstrzygalne.
Podamy niektóre ważniejsze prawa logiki i — jeśli są — odpowiadające
im schematy logiczne.
Nazwa
prawo
schemat
zasada tożsamości
(principium identitatis)
α⇒α
zasada (nie)sprzeczności
(principium noncontradictionis)
291
¬(α ∧ ¬α)
zasada wyłączonego środka
(principium tertii exclusi)
α ∨ ¬α
zasada podwójnego przeczenia
¬(¬α) ⇒ α
modus ponendo ponens 6
[(α ⇒ β) ∧ α] ⇒ β
α⇒β
α
β
modus tollendo
[(α ⇒ β) ∧ ¬β] ⇒ ¬α
tollens 7
α⇒β
¬β
¬α
transpozycja zwykła
(α ⇒ β) ⇒ (¬β ⇒ ¬α)
α⇒β
¬β ⇒ ¬α
modus tollendo ponens
[(α ∨ β) ∧ ¬α] ⇒ β
α∨β
¬α
β
6
Inaczej: sylogizm konstrukcyjny. Modus — po łacinie tyle co sposób; a pono — kłaść,
zakładać, twierdzić. Zwykle krótko nazywany: modus ponens
7
Inaczej: sylogizm destrukcyjny. Tollo — po łacinie — znieść, zburzyć, usunąć, zaprzeczyć. Zwykle krótko nazywany: modus tollens.
292
modus ponendo tollens
[(¬α ∨ ¬β) ∧ α] ⇒ ¬β
¬α ∨ ¬β
α
¬β
I prawo De Morgana
¬(α ∧ β) ⇒ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∧ β)
¬α ∨ ¬β
II prawo De Morgana
¬(α ∨ β) ⇒ (¬α ∧ ¬β)
¬(α ∨ β)
¬α ∧ ¬β
sylogizm hipotetyczny
[(α ⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)] ⇒ (α ⇒ γ)
α⇒β
β⇒γ
α⇒γ
transpozycja złożona
[(α ∧ β) ⇒ γ] ⇒ [(α ∧ ¬γ) ⇒ ¬β]
(α ∧ β) ⇒ γ
(α ∧ ¬γ) ⇒ ¬β
dylemat konstrukcyjny
[(α ⇒ γ) ∧ (β ⇒ γ) ∧ (α ∨ β)] ⇒ γ
α⇒γ
β⇒γ
293
α∨β
γ
dylemat destrukcyjny
[(γ ⇒ α) ∧ (γ ⇒ β) ∧ (¬α ∨ ¬β)] ⇒ ¬γ γ ⇒ α
γ⇒β
¬α ∨ ¬β
¬γ
Zadania
Zadanie 3.10. Czy poniższe schematy są logiczne:
1. α ⇒ (α ⇒ β), α ` β;
2. (α ∧ β) ⇒ γ, ¬γ, α ` ¬β;
3. α ⇒ β, α ⇒ ¬β ` ¬α;
4. α ⇒ α, ¬α ⇒ α ` α;
5. γ, α ⇒ ¬β ` ¬β;
6. ¬(γ ⇒ α) ` γ ⇒ ¬α;
7. γ, (γ ∨ α) ⇒ α ` γ ∧ α;
8. γ ⇒ (¬¬α ⇒ β) ` (γ ∧ ¬β) ⇒ ¬α;
9. α ⇔ (γ ⇒ (α ∨ ¬β)), ¬(γ ⇒ (α ∨ β)) ` ¬β;
10. (γ ∨ ¬α) ⇔ (γ ⇔ (α ∧ (β ⇒ ¬γ)) ` ¬α;
11. ¬(γ ⇔ ¬α), γ ⇔ (β ⇔ α) ` ¬(α ⇒ (γ ⇔ β));
12. γ ∨ (α ∨ (¬γ ∧ β)), ¬((γ ∧ ¬α) ⇒ (γ ∨ γ)) ` ¬(¬γ ⇔ ¬β);
13. ((γ ⇒ α) ⇒ γ) ⇒ β, ((β ⇒ γ) ⇒ β) ⇒ α ` ((α ⇒ β) ⇒ α) ⇒ γ;
14. ¬α ∨ β, ¬β, ¬α ⇔ γ ` ¬γ ⇔ β;
15. ¬α ∨ β, ¬β, ¬α ⇒ γ ` ¬γ ⇒ β;
294
16. γ ⇒ (α ⇔ δ), ¬β ∨ (¬γ ⇔ ¬α), ¬((δ ∧ η) ⇔ (α ⇒ γ)) ` η ∧ ¬β;
17. α ⇒ (β ⇒ (γ ∧ ¬α)), ¬α ⇒ ¬(δ ∨ ϕ), (ψ ∧ η) ⇔ β ` δ ⇒ (ψ ⇒ ¬η).
3.2
Logika kwantyfikatorów
W rachunku zdań najmniejszą, wewnętrznie nieanalizowalną jednostką jest
zdanie. Ze zdań:
1.
2.
Wieloryby są ssakami.
Ssaki są kręgowcami.
wynika semantycznie — co tu stwierdzamy kierując się intuicją — zdanie:
W.
Wieloryby są kręgowcami.
Z punktu widzenia języka rachunku zdań zarówno przesłanki (1) i (2) jak
i wniosek (W) są zdaniami prostymi i jedyny schemat, jaki możemy temu
wnioskowaniu przyporządkować to schemat:
α
β
γ
Schemat ten nie jest logiczny. Znaczy to, że w analizowanym wnioskowaniu
reguły rachunku zdań okazały się niewystarczające dla «wyrachowania» zachodzenia wynikania semantycznego. Musimy dysponować więc bogatszym
rachunkiem. Reguły takiego rachunku odnosić się będą do wewnętrznych elementów składowych zdania. O związkach logicznych zachodzących między
zdaniami złożonymi decydują spójniki, za pomocą których te zdania zostały
zbudowane. Powstaje pytanie, jakie wyrażenia «z wnętrza» zdań wyznaczają
związki logiczne między tymi zdaniami? Takimi wyrażeniami są te, które są
uniwersalne, a więc niezależne od specyficznej dziedziny, jaką te zdania opisują. Logicy takie uniwersalne wyrażenia nazywają „stałymi logicznymi”.
Logika klasyczna wskazuje na słówka kwantyfikujące „każdy” i „pewien” jako
najistotniejsze stałe logiczne obok klasycznych spójników zdaniowych, nazywając je kwantyfikatorami. Pozostaje wybór języka, który nadawałby się na
rachunek kwantyfikatorów. Rozważymy dwie propozycje. Jedną, którą dawała logika tradycyjna zwana sylogistyką i współczesną, którą daje klasyczna
logika predykatów.
W sylogistyce, której twórcą był Arystoteles, a doskonalona była przez
scholastyków w średniowieczu, zdanie ma postać podmiotowo-orzecznikową
lub jest zdaniem podmiotowo-orzeczeniowym i daje się sprowadzić do postaci
3.2. LOGIKA KWANTYFIKATORÓW
295
podmiotowo-orzecznikowej8 . Po łacinie „podmiot” to „Subiectum”, a „orzecznik” — „Predicatum”. Zdania naukowe — a takimi zdaniami miała się zajmować logika — mogły być zdaniami podmiotowo-orzecznikowymi, w których
zarówno podmiot jak i orzecznik są nazwami ogólnymi. Są to zdania kategoryczne — poza ewentualnie negacją nie zawierają żadnego innego spójnika
zdaniowego.
W logice współczesnej zdanie analizuje się jako zbudowane z predykatów, stałych indywiduowych (nazw jednostkowych), zmiennych nazwowych,
czyli zmiennych, których zakresem zmienności jest zbiór przedmiotów oraz
ze słówek kwantyfikujących, którymi są — najprościej mówiąc — słówka
„każdy” i „pewien”. Stosowana jest też symbolika inna niż w sylogistyce. Dla
wyrażenia słówka kwantyfikującego „każdy” używa się symbolu „∀”, zaś dla
wyrażenia słówka kwantyfikującego „pewien” używa się symbolu „∃”.
3.2.1
Sylogistyka
Jeszcze w XVIII w. wydawało się — głosił to E. Kant — że logika Arystotelesa jest tak wszechstronnie i doskonale zbudowana, że prawie niczego już
do niej nie można dodać. System tej logiki wykładany jest współcześnie i to
nie bynajmniej tylko w ramach historii logiki. Wykład taki można zwykle
też znaleźć w podręcznikach logiki dla prawników i teologów. Znakomity
historyk logiki i współtwórca logiki współczesnej Jan łukasiewicz pisze:
Sylogistyka Arystotelesa jest systemem o ścisłości przewyższającej nawet ścisłość teorii matematycznej i to nadaje jej nieprzemijającą wartość9 .
Zdania kategoryczne będące przedmiotem logiki tradycyjnej, czyli sylogistyki10 , mogły być jednego z czterech rodzajów, a mianowicie takimi, które
stwierdzają, że
1. każdy desygnat podmiotu jest desygnatem orzecznika,
2. żaden desygnat podmiotu nie jest desygnatem orzecznika,
3. niektóre desygnaty podmiotu są desygnatami orzecznika,
4. niektóre desygnaty podmiotu nie są desygnatami orzecznika.
8
Zob. w tej sprawie rozdz. 1.
Zob. Sylogistyka Arystotelesa z punktu widzenia współczesnej logiki formalnej, Warszawa 1988, s. 178.
10
Greckie σνλλoγισµóς znaczy tyle, co „obliczanie”, „rozumowanie”.
9
296
Zdania 1 i 2 od 3 i 4 różnią się ilością: pierwsze są ogólne (propositio universalis), drugie szczegółowe (propositio particularis)11 . Zdania 1 i 3 od 2
i 4 różnią się jakością: pierwsze są twierdzące (propositio affirmativa), drugie są przeczące (propositio negativa). Zatem mamy zdania: ogólnotwierdzące, szczegółowo twierdzące, ogólnoprzeczące, szczegółowo przeczące. Po
łacinie „twierdzę” — „affirmo”, „przeczę” — „nego”. Pierwsze samogłoski
z tych słów zostały użyte dla oznaczenia zdań ogólnych, odpowiednio, twierdzącego i przeczącego. Drugie samogłoski zostały zaś użyte dla oznaczenia
zdań szczegółowych, odpowiednio, twierdzącego i przeczącego. Zatem SaP
to zdanie ogólnotwierdzące, SeP — ogólnoprzeczące, SiP — szczegółowo
twierdzące, SoP — szczegółowo przeczące.
Definicja 3.12. Termin to podmiot lub orzecznik zdania kategorycznego.
Definicja 3.13. Kategoryczne zdanie ogólnotwierdzące (symbolicznie.: SaP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jest nazwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, że każdy
desygnat S jest desygnatem P.
Przykładami zdań ogólnotwierdzących są zdania: Każdy człowiek jest
śmiertelny. Każdy człowiek jest rozumny. Każdy adwokat jest prawnikiem.
Definicja 3.14. Kategoryczne zdanie szczegółowo twierdzące (symbolicznie.: SiP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem
jest nazwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza,
że pewien desygnat S jest desygnatem P.
Przykładami zdań szczegółowo twierdzących są: Pewien człowiek jest
filozofem. Pewien student jest grającym w tenisa.
Definicja 3.15. Kategoryczne zdanie ogólnoprzeczące (symbolicznie.:
SeP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jest nazwa
ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, że żaden
desygnat S nie jest desygnatem P.
Przykładami zdań ogólnoprzeczących są: Żaden analfabeta nie jest pisarzem. Żaden student nie jest małoletni. Żaden koń nie jest latający.
11
W logice tradycyjnej ze względu na ilość wyróżniano jeszcze zdania jednostkowe (propositio singularis) i zdania nieokreślone (propositio indefinita). Zdania jednostkowe są to
zdania, których podmiot wskazuje dokładnie jeden określony przedmiot, jak np. w zdaniu
„Sokrates jest śmiertelny”. Zdania nieokreślone, to zdania, które mogły być przez dodanie
kwantyfikacji przekształcone na zdania ogólne lub szczegółowe. Zdaniem nieokreślonym
jest np. „Kreteńczycy kłamią”.
297
Definicja 3.16. Kategoryczne zdanie szczegółowo przeczące (symbolicznie.: SoP) to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, którego podmiotem jest
nazwa ogólna S, a orzecznikiem jest nazwa ogólna P i które stwierdza, że
pewien desygnat S nie jest desygnatem P.
Przykładami zdań szczegółowo przeczących są zdania: Pewien człowiek
nie jest filozofem. Pewien student nie jest uczącym się logiki. Pewien słoń
nie jest oswojony.
W sylogistyce rozważa się też związki logiczne ze względu na dopełnienie
zakresu podmiotu lub orzecznika do zakresu dziedziny rozważań. Potrzebny
jest wskaźnik nazwy sprzecznej do danej nazwy. Nazwą sprzeczną z nazwą
N jest nazwa nonN .
Język sylogistyki
Na język sylogistyki, jak na każdy język składają się słownik, reguły syntaktyczne oraz reguły semantyczne. W języku sylogistyki mamy dwa rodzaje
wyrażeń poprawnie zbudowanych: terminy i zdania.
Definicja 3.17. Słownik (alfabet) języka sylogistyki jest zbiorem wszystkich i tylko symboli:
1. A, B, C, . . . ,
2. non
3. a, i, e, o.
Definicja 3.18 (terminu).
1. Litery: A, B, C, . . . są terminami,
2. jeśli S jest terminem, to nonS jest terminem,
3. nie ma innych terminów poza tymi skończonymi ciągami symboli, które
dadzą się utworzyć zgodnie z punktami 1 i 2.
Definicja 3.19 (zdania).
1. Jeśli S i P są terminami to zdaniami są: SaP, SiP, SeP, SoP,
2. nie ma innych zdań oprócz wyrażeń dających się zbudować zgodnie
z pkt. 1.
298
Diagramy Venna
Szwajcarski matematyk Leonard Euler (1707–1783) i brytyjski matematyk
John Venn (1834–1923) wymyślili diagramy dla przedstawiania znaczenia
zdań kategorycznych. Reguły semantyczne języka sylogistyki wskażemy pomocą diagramów Venna. Diagramy pozwolą na określenia znaczenia wyrażeń
języka sylogistyki.
Zbiór wszystkich przedmiotów dziedziny rozważań, zbiór uniwersalny
(symbolicznie: U) reprezentowany jest przez prostokąt. Zakresy nazw reprezentowane są przez wzajemnie przecinające się koła znajdujące się wewnątrz
prostokąta. Brak przedmiotów w jakimś obszarze wyznaczonym przez granice kół zaznaczany jest przez zakreskowanie tego obszaru liniami poziomymi, a istnienie przedmiotu w takim obszarze zaznaczane jest przez postawienie w tym obszarze znaku plus (+).
S
P
SaP
Diagram wskazuje, że wszystkie elementy S są elementami P. Zdanie SaP
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwy S i P są równoważne lub
nazwa S jest podrzędna względem nazwy P.
S
+
SiP
P
299
W obszarze będącym częścią wspólną zakresu S i zakresu P znajduje się
znak plus. Wskazuje on, że w obszarze tym znajduje się przynajmniej jeden
przedmiot. Przedmiot ten jest desygnatem nazwy S i jednocześnie jest desygnatem nazwy P. Zdanie SiP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy
nazwa S jest równoważna, podrzędna, nadrzędna lub krzyżuje się z nazwą
P.
S
P
SeP
Część wspólna zakresu nazwy S i zakresu nazwy P jest zakreskowana. Znaczy to, że w obszarze tym nie ma żadnego przedmiotu, obszar ten jest pusty.
Nie ma przedmiotu, który byłby zarazem desygnatem nazwy S i desygnatem
nazwy P. Zdanie SeP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwy S i P
wykluczają się, w szczególności, gdy są przeciwne lub sprzeczne.
S
P
+
SoP
W obszarze S, który nie jest wspólny z obszarem P, znajduje się znak „+”.
Wskazuje on, że w obszarze tym jest przynajmniej jeden przedmiot, czyli że
jest przedmiot będący desygnatem S, a nie będący desygnatem P. Zdanie
SoP jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy nazwa S wyklucza, krzyżuje
się lub jest nadrzędna względem nazwy P.
300
Wnioskowanie bezpośrednie
Związki logiczne zachodzące między zdaniami kategorycznymi prowadzą do
logicznych schematów wnioskowań.
Definicja 3.20. Wnioskowanie bezpośrednie to wnioskowanie, w którym występuje tylko jedna przesłanka.
Prawami logiki odnoszącymi się do wnioskowania bezpośredniego są prawa
kwadratu logicznego, konwersji i obwersji.
Nazwa nonS jest sprzeczna z nazwą S. Nazwą sprzeczną z nazwą nonS
jest nazwa S. Mając na uwadze ten fakt opis wnioskowania bezpośredniego
można ograniczyć do zdań następujących postaci: S-P, nonS-P, S-nonP,
nonS-nonP; P-S, nonP-S, P-nonS, nonP-nonS, gdzie w miejsce „-” może
być wpisana jedna z liter: a, i, e, o.
Prawa kwadratu logicznego Mamy cztery zdania kategoryczne nie różniące się między sobą podmiotami i orzecznikami: SaP, SiP, SeP, SoP.
Związki logiczne między tymi zdaniami tradycyjnie przedstawiane są na diagramie o postaci kwadratu i określane jako stosunki opozycji (oppositio).
Stosunki opozycji opisywane są przez prawa kwadratu logicznego.
SiP
przeciwieñstwo
sp
sp
rz
r
e
ze
zn
c
cz
n
o
o
œæ
œæ
podprzeciwieñstwo
SeP
podporz¹dkowanie
podporz¹dkowanie
SaP
SoP
Zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa (oppositio contraria)
to zdania, które się wykluczają, lecz nie dopełniają. Zdania SaP i SeP nie
są nigdy współprawdziwe, lecz mogą być współfałszywe. Zdania „każdy lubi
psy” i „nikt nie lubi psów” nie mogą być współprawdziwe (bez względu na
to, jak kształtuje się stosunek ludzi do psów), lecz mogą być (i faktycznie są)
współfałszywe. Kategoryczne zdania przeciwne (propositiones contrariae)
301
mają tę samą ilość — każde jest ogólne — różnią się natomiast jakością:
zdanie SaP jest twierdzące, a zdanie SeP jest przeczące.
Zdania pozostające w stosunku podprzeciwieństwa (oppositio subcontraria) to zdania, które się dopełniają, lecz nie wykluczają. Zdania SiP
i SoP nie są nigdy współfałszywe, lecz mogą być współprawdziwe. Zdania
„niektórzy lubią psy” i „niektórzy nie lubią psów” nie mogą być współfałszywe (bez względu na to, jak kształtuje się stosunek ludzi do psów), lecz
mogą być (i faktycznie są) współprawdziwe. Kategoryczne zdania podprzeciwne (propositiones subcontrariae) mają tę samą ilość — każde jest
szczegółowe — różnią się natomiast jakością: zdanie SiP jest twierdzące,
a zdanie SoP jest przeczące.
Zdania pozostające w stosunku sprzeczności (oppositio contradictionis) to zdania, które się wykluczają i dopełniają. Zdania SaP i SoP oraz
zdania SeP i SiP ani nie są współprawdziwe, ani nie są współfałszywe.
Jedno ze zdań sprzecznych jest prawdziwe, a drugie jest fałszywe. Zdania „wszyscy lubią psy” i „niektórzy nie lubią psów” oraz zdania „nikt nie
lubi psów” i „niektórzy lubią psy” są parami zdań sprzecznych. Zawsze, bez
względu na stosunek ludzi do psów, jedno z nich jest prawdziwe i jedno z nich
jest fałszywe. Kategoryczne zdania sprzeczne (propositiones contrariae)
różnią się zarówno co do ilości jak i jakości. W kwadracie logicznym są dwie
pary zdań sprzecznych. Są to pary zdań SaP, SoP oraz SeP, SiP.
Zdania pozostają w stosunku podporządkowania (oppositio subalterna) wtedy i tylko wtedy, gdy z jednego wynika drugie. W kwadracie
logicznym są dwie pary zdań pozostających w tym stosunku: SaP, SiP
oraz SeP, SoP. Prawdziwość zdania SaP gwarantuje prawdziwość zdania
SiP (jeśli S nie jest nazwą pustą), a prawdziwość zdania SeP gwarantuje
prawdziwość zdania SoP (jeśli S nie jest nazwą pustą). Ze zdania „każdy
lubi psy” wynika zdanie „niektórzy lubią psy”, zaś ze zdania „nikt nie lubi
psów” wynika zdanie „niektórzy nie lubią psów”.
Stosunek wynikania nie jest symetryczny. Zdania pozostające w stosunku
podporządkowania w zależności od tego, z którego wynika które, mogą pozostawać w stosunku nadrzędności lub stosunku podrzędności.
Zdanie α pozostaje w stosunku nadrzędności do zdania β wtedy i tylko
wtedy, gdy ze zdania α wynika zdanie β. W kwadracie logicznym są dwie
pary zdań pozostających w tym stosunku: zdanie SaP jest nadrzędne w stosunku do SiP, a zdanie SeP jest nadrzędne w stosunku do SoP.
Stosunek podrzędności jest odwrotny do stosunku nadrzędności. Zdanie
α pozostaje w stosunku podrzędności do zdania β wtedy i tylko wtedy,
gdy ze zdania β wynika zdanie α. W kwadracie logicznym są dwie pary zdań
pozostających w tym stosunku: zdanie SiP jest podrzędne w stosunku do
302
SaP, a zdanie SoP jest podrzędne w stosunku do SeP.
Prawa kwadratu logicznego obowiązują przy założeniu, że podmiot (nazwa S) nie jest nazwą pustą.
Prawa kwadratu logicznego opisują związki między zdaniami, które nie
różnią się między sobą podmiotami i orzecznikami. Związki między zdaniami
kategorycznymi, w których oba terminy (podmiot i orzecznik) jednego zdania
są takie same lub sprzeczne z terminami drugiego zdania, opisywane są przez
reguły konwersji i obwersji.
Konwersja Istotą konwersji jest zamiana ról terminów: termin, który
pełnił rolę podmiotu w zdaniu będącym argumentem konwersji, pełni rolę
orzecznika w zdaniu będącym jej wynikiem.
Definicja 3.21. Konwersją zdania α, w którym S jest podmiotem, a P
jest orzecznikiem jest zdanie takie samo jak α co do jakości, w którym P
jest podmiotem, a S jest orzecznikiem.
Wyróżnia się trzy rodzaje konwersji:
1. prostą,
2. przez zmianę ilości,
3. przez kontrapozycję.
Definicja 3.22. Konwersja prosta (conversio simplex, seu simpliciter,
seu mutua) zdania α, w którym S jest podmiotem, a P jest orzecznikiem to
zdanie takie samo jak α co do jakości i ilości, w którym P jest podmiotem,
a S jest orzecznikiem.
Konwersją prostą zdania SaP jest zdanie PaS. W wypadku zdania
„każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „każdy prawnik jest prokuratorem”.
Definicja 3.23. Konwersja przez zmianę ilości (conversio per accidens,
seu non mutua), zwana też konwersją z ograniczeniem, zdania α, w którym S jest podmiotem a P jest orzecznikiem, to zdanie takie samo jak zdanie
α co do jakości, lecz różne co do ilości, w którym P jest podmiotem, a S jest
orzecznikiem.
Konwersją z ograniczeniem zdania SaP jest zdanie PiS. W wypadku
zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „niektórzy prawnicy
są prokuratorami”.
303
Definicja 3.24. Konwersja przez kontrapozycję (conversio per contrapositionem) zdania α, w którym S jest podmiotem, a P jest orzecznikiem,
to zdanie takie samo jak α co do jakości i ilości, w którym nonP jest podmiotem, a nonS jest orzecznikiem.
Konwersją przez kontrapozycję zdania SaP jest zdanie nonPa nonS.
W wypadku zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „każdy
nieprawnik jest nieprokuratorem”.
Konwersja od zdania prawdziwego nie musi prowadzić do zdania prawdziwego. Jest tak np. w wypadku konwersji prostej zdania ogólnotwierdzącego.
Reguły konwersji dla poszczególnych zdań mówią, kiedy ma miejsce wynikanie, tzn. kiedy prawdziwość zdania gwarantuje prawdziwość jego konwersji.
Zdanie ogólnoprzeczące SeP i jego konwersja prosta PeS mają takie
same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SeP
PeS
Ze zdania „żaden pies nie jest kotem” można wywnioskować zdanie „żaden
kot nie jest psem”.
Zdanie szczegółowo twierdzące SiP i jego konwersja prosta PiS mają
takie same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SiP
PiS
Ze zdania „niektórzy studenci są sportowcami” można wywnioskować zdanie
„niektórzy sportowcy są studentami”.
Diagram Venna dla zdania ogólnotwierdzącego SaP — jeśli założymy
niepustość nazwy S — jest również diagramem dla jego konwersji przez
zmianę ilości, PiS. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania (jeśli S =
6 ∅):
SaP
PiS
Ze zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” można wywnioskować zdanie
„niektórzy prawnicy są prokuratorami”.
304
Zdanie szczegółowo przeczące SoP i jego konwersja przez kontrapozycję nonPiS mają takie same diagramy Venna. Logiczny jest następujący
schemat wnioskowania:
SoP
nonPiS
Ze zdania „niektórzy prawnicy nie są sędziami” można wywnioskować zdanie
„niektórzy niesędziowie są prawnikami”.
Zauważmy, że ściśle rzecz biorąc konwersją przez kontrapozycję zdania
SoP jest zdanie nonPo nonS. Zdanie to jest jednak równoważne zdaniu
nonPiS.
W logice tradycyjnej, mającej zamiłowanie do tekstów mnemotechnicznych, reguły odnoszące się do konwersji zdań ujmowano następująco:
Simpliciter fEcI convertitur;
EvA per accid;
AstO per contrap;
sic fit conversio tota.
Obwersja Operacja obwersji polega na zastąpieniu orzecznika przez termin z nim sprzeczny i zmianie jakości.
Definicja 3.25. Obwersją (ekwipolencją) zdania α, w którym S jest
podmiotem a P jest orzecznikiem jest zdanie takie samo jak α co do ilości
a różniące się jakością, w którym S jest podmiotem, a nonP jest orzecznikiem.
Na przykład obwersją zdania ogólnotwierdzącego SaP jest zdanie Se nonP.
W wypadku zdania „każdy prokurator jest prawnikiem” jest to zdanie „żaden
prokurator nie jest nieprawnikiem”.
Obwersja od zdania prawdziwego prowadzi do zdania prawdziwego. Reguły obwersji dla poszczególnych zdań mówią, że ma miejsce wynikanie, tzn.
że prawdziwość zdania gwarantuje prawdziwość jego obwersji.
Zdanie ogólnotwierdzące SaP i jego obwersja, Se nonP, mają takie
same diagramy Venna.Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SaP
Se nonP
Ze zdania „każdy człowiek jest rozumny” można wywnioskować zdanie „żaden
człowiek nie jest nierozumny”.
305
Zdanie szczegółowo twierdzące SiP i jego obwersja, So nonP, mają takie same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SiP
So nonP
Ze zdania „niektórzy studenci są sportowcami” można wywnioskować zdanie
„niektórzy studenci nie są niesportowcami”
Zdanie ogólnoprzeczące SeP i jego obwersja, Sa nonP, mają takie same
diagramy Venna.Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SeP
Sa nonP
Ze zdania „żaden kot nie jest psem” można wywnioskować zdanie „każdy kot
jest niepsem”.
Zdanie szczegółowo przeczące SoP i jego obwersja, Si nonP, mają takie
same diagramy Venna. Logiczny jest następujący schemat wnioskowania:
SoP
Si nonP
Ze zdania „niektórzy studenci nie są sportowcami” można wywnioskować
zdanie „niektórzy studenci są niesportowcami”.
Założenia egzystencjalne sylogistyki
Załóżmy, że nazwa S jest pusta. Przy tym założeniu zdanie SaP jest zdaniem prawdziwym, a zdanie SiP jest fałszywe. Zatem ze zdania SaP nie
wynika zdanie SiP, co jest wbrew prawu kwadratu logicznego. Fakt ten
prosto stwierdzamy korzystając z diagramów Venna.
Zdanie SaP, gdy S jest nazwą pustą ma następujący diagram Venna:
S
P
306
SaP
W diagramie zdania SaP brak znaku „+”, który musi wystąpić w diagramie zdania SiP. Zakładając jednak niepustość nazwy S w diagramie:
S
+
P
SaP
w obszarze S musimy wpisać znak „+”. Jedynym możliwym obszarem dla
jego wpisania jest obszar wspólny S i P. Przy takim założeniu prawdziwe
jest więc zdanie SiP.
Podobnie można pokazać, że jeśli zostanie pominięte założenie niepustości, z wyjątkiem związków sprzeczności nie będą obowiązywały pozostałe
prawa kwadratu logicznego.
Prawa kwadratu logicznego są szczególnymi związkami logicznymi, jakie
zachodzą między zdaniami kategorycznymi nie różniącymi się między sobą
podmiotami i nie różniącymi się między sobą orzecznikami.
Prawa kwadratu logicznego obowiązują przy założeniu, że podmiot jest
nazwą niepustą. P jest podmiotem zdania będącego konwersją zdania o podmiocie S i orzeczniku P. Non-P jest podmiotem zdania będącego jego kontrapozycją. Non-S jest zaś podmiotem konwersji kontrapozycji. Na to, aby
prawa kwadratu logicznego mogły być stosowane do wszystkich omawianych
zdań należy więc założyć, że zarówno podmiot jak i orzecznik są nazwami
niepustymi oraz, że żadne z nich nie jest nazwą pełną, czyli nazwą, której desygnatami są wszystkie przedmioty dziedziny rozważań, bowiem tylko przy
takim założeniu niepuste będą nazwy nonS i nonP.
Powyższe założenia są istotnymi ograniczeniami logiki Arystotelesowskiej. Dla ich uniknięcia współcześni logicy zwykle odrzucają prawa kwadratu logicznego będące źródłem trudności i pozostawiają tylko związki sprzeczności, które obowiązują bez względu na pustość lub niepustość podmiotu
i orzecznika.
307
Zadania
Zadanie 3.11. Korzystając z praw wnioskowania bezpośredniego pokaż, że
logiczne są następujące schematy wnioskowania:
1.
2.
3.
4.
5.
SaP
nonPi nonS
SeP
Pi nonS
SoP
Si nonP
SiP
Po nonS
SoP
nonPiS
Zadanie 3.12. Podaj przykłady wnioskowań według wzorów z zad. 3.11.
Sylogizm
Wnioskowania, których schematy rozważane są w sylogistyce to sylogizmy.
Arystoteles zdefiniował sylogizm bardzo szeroko. Rozważał jednak tylko bardzo ograniczoną postać tego wnioskowania.
W stosunku do praw kwadratu logicznego następuje ograniczenie języka
przez brak możliwości tworzenia nazwy sprzecznej z daną nazwą. W języku
tym nie ma wskaźnika „non”. Terminami mogą być tylko litery: A, B, C,
....
Sylogizm w postaci prostej (istnieją też sylogizmy złożone) składa się
z trzech zdań: dwóch przesłanek i wniosku (konkluzji). Zdania te są zbudowane z trzech terminów. Termin będący podmiotem wniosku to termin
mniejszy. Termin będący orzecznikiem wniosku to termin większy. Termin
nie występujący we wniosku, lecz znajdujący się w obu przesłankach, to
termin średni.
Definicja 3.26. Sylogizm jest to wnioskowanie, w którym:
308
• wniosek jest zdaniem, którego podmiotem jest S, a orzecznikiem jest
P,
• pierwsza przesłanka zwana przesłanką większą (praemissa maior )
ma jako terminy P – jest to termin większy (terminus maior ) —
oraz M — jest to termin średni (terminus medius),
• druga przesłanka zwana przesłanką mniejszą (praemissa minor ) ma
jako terminy S — jest to termin mniejszy (terminus minor ) — oraz
M.
Na przykład sylogizmem jest wnioskowanie:
Każdy ssak jest kręgowcem.
Każdy człowiek jest ssakiem.
Każdy człowiek jest kręgowcem.
W poprawnym sylogizmie mogą być tylko trzy terminy: większy, mniejszy i średni. Błąd czterech terminów (quaternio terminorum) ma miejsce wówczas, gdy w sylogizmie występują cztery terminy. Niepoprawne jest
wnioskowanie:
Mysz jest wyrazem jednosylabowym.
Mysz jest ssakiem.
Niektóre ssaki są wyrazami jednosylabowymi.
We wnioskowaniu tym popełniony został błąd czterech terminów. Wyraz
„mysz” w przesłance większej występuje w supozycji naturalnej, a w przesłance mniejszej występuje w supozycji materialnej.
Definicja 3.27. Tryb (sylogistyczny) (modus syllogismi) to schemat (forma)
sylogizmu.
Na przykład powyższe wnioskowanie przebiega według następującego
trybu:
MaP
MaP
SiP
Klasy trybów wyróżnia się ze względu na role pełnione w obu przesłankach przez terminy większy, średni i mniejszy.
Definicja 3.28. Figura (sylogistyczna) (figura syllogismi) to klasa trybów,
które nie różnią się między sobą miejscem w schemacie odpowiednich terminów: większego, średniego i mniejszego.
Na przykład oba tryby:
309
MaP
SaM
SaP
i
MeP
SaM
SeP
należą do tej samej figury sylogistycznej.
Są cztery figury sylogistyczne. Tradycyjnie porządkuje się je następująco:
I figura
Przesłanka większa M P
Przesłanka mniejsza S M
II figura III figura IV figura
P M
M
P
P
M
S M
M
S
M
S
Wniosek
S
S
P
P
S
P
S
P
Istnieją 64 tryby jednej figury. Zatem łącznie mamy 256 trybów. Problem, które z trybów są logicznymi schematami wnioskowania, logicy średniowieczni rozwiązywali korzystając z teorii dystrybucji. Dla celów dydaktycznych zaś opracowano specjalny tekst. Jest to heksametr autorstwa
Piotra Hiszpana12 .
Barbara, Celarent, Darii, Ferio-que prioris
Cesare, Camestres, Festino, Baroco — secundae
Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,
Bocardo, Fresison habet. Quarta insuper addit
Bramanti, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.
Quinque subalterni, totidem generalibus orti,
Nomen habent nullum, nec — si bene collogis — usum.
Pierwsza samogłoska każdego z «imion» wskazuje na ilość i jakość przesłanki większej, druga zaś na ilość i jakość przesłanki mniejszej, a trzecia na
ilość i jakość wniosku. Podany heksametr wskazuje 24 tryby jako logiczne
schematy wnioskowania.
19 z tych 24 trybów to tryby główne. Pozostałe 5 to tryby osłabione.
Różnią się one od trybów głównych ze schematami wniosków ogólnych: Barbara, Celarent, Camestres, Cesare, Calemes, przez zastąpienie tych schematów schematami wniosków tej samej jakości, ale różnych co do ilości, przez
12
Ur. ?–1277, autor Summulae Logicales, jako papież nosił imię „Jan XXI”.
310
zastąpienie ogólnych szczegółowymi: Barbari, Celaront, Camestros, Cesaro,
Calemos.
Na podstawie podanego heksametru np. Baroco jest następującym trybem z drugiej figury:
PaM
SoM
SoP
Według tego trybu przebiega wnioskowanie:
Każdy Polak jest Europejczykiem.
Niektórzy mieszkańcy Polski nie są Europejczykami.
Niektórzy mieszkańcy Polski nie są Polakami.
Rodzaje sylogizmów
Omówione zostały sylogizmy o ściśle określonej formie. Z tego powodu nazywano je sylogizmami uformowanymi. Konsekwentne — nawet gdyby
było możliwe — stosowanie sylogizmów uformowanych w tekstach pisanych
i wypowiedziach ustnych byłoby sztuczne. Od sylogizmów uformowanych
odróżniano sylogizmy nieuformowane, czyli takie sylogizmy, jakie były
stosowane w zwykłym sposobie pisania i wypowiadania.
Sylogizmy uformowane można podzielić na:
1. sylogizmy doskonałe, tzn. takie, które explicite zawierają wszystko,
co powinien zawierać sylogizm,
2. sylogizmy niedoskonałe, różniące się od doskonałych bądź przez pominięcie np. jednej z przesłanek, bądź przez rozwinięcie i rozbudowanie
o przesłanki.
Sylogizmami niedoskonałymi są: entymemat, epicheremat, soryt i polisylogizm.
Definicja 3.29. Entymemat (sylogizm retoryczny) to sylogizm, w którym jedna z przesłanek jest domyślna.
Entymemat określany jest też jako sylogizm retoryczny, ponieważ retorzy
zalecali, aby w argumentacji nie wypowiadać wszystkich przesłanek jeśli są
one łatwo domyślne. Miało to nie tyle skrócić argumentację, co ją wzmocnić.
Uważano bowiem, że osoba przekonywana dostrzegając to, co jest pominięte,
znajdzie w tym uznanie dla swojej inteligencji i chętniej zaakceptuje argumentację. Na ogół nie wypowiada się przesłanki większej. Jest to entymemat
311
pierwszego rodzaju. Entymemat drugiego rodzaju to sylogizm, w którym domyślna jest przesłanka mniejsza.
Definicja 3.30. Epicheremat to sylogizm, w którym do przesłanki/przesłanek
dołączone jest uzasadnienie.
Przykładem może być następujące wnioskowanie:
Prokuratorzy są z wykształcenia prawnikami, bo prokurator winien
znać prawo.
Prawnicy uczyli się logiki, bo znajomość logiki jest pomocna w tworzeniu i stosowaniu prawa.
Prokuratorzy uczyli się logiki.
Soryt13 (po polsku: łańcusznik) składa się z przynajmniej trzech przesłanek. Kolejne przesłanki łączy bądź jednakowy orzecznik i podmiot, bądź
jednakowy podmiot i orzecznik. Stąd wyróżnia się dwie postacie sorytu:
Definicja 3.31. Soryt Arystotelesa to sylogizm, w którym orzecznik każdej kolejnej przesłanki jest podmiotem przesłanki po niej bezpośrednio następującej. Podmiotem wniosku jest podmiot pierwszej przesłanki. Orzecznikiem wniosku jest orzecznik ostatniej przesłanki.
Definicja 3.32. Soryt Gocleniusa to sylogizm, w którym podmiot każdej
kolejnej przesłanki jest orzecznikiem przesłanki po niej bezpośrednio następującej. Podmiotem wniosku jest podmiot ostatniej przesłanki. Orzecznikiem wniosku jest orzecznik pierwszej przesłanki.
Sorytem Arystotelesa jest następujące rozumowanie:
Zmianom ustrojowym towarzyszą zmiany prawa.
Zmiany prawa powodują utrudnienia w jego stosowaniu.
Utrudnienia w stosowaniu prawa są okazją szybkiego bogacenia się.
Zmiany ustrojowe są okazją szybkiego bogacenia się.
Definicja 3.33. Polisylogizm to wnioskowanie składające się z kilku sylogizmów powiązanych ze sobą tak, że wniosek jednego sylogizmu jest przesłanką następnego.
13
Nazwa pochodzi z języka greckiego, gdzie oznacza „stos”.
312
Sylogistyczne schematy wnioskowań
Język sylogizmów różnił się od opisanego przez nas języka sylogistyki przez
pominięcie „non” jako wskaźnika tworzenia nazwy sprzecznej. Dysponując
narzędziem, jakim są diagramy Venna, możemy rozważać logiczność schematów wnioskowań bez ograniczeń nałożonych na język sylogizmów. Terminami
będą mogły być nie tylko: S, P, M, lecz także nonS, nonP, nonM. Jest
to język bogatszy niż język sylogizmów Arystotelesowskich. Możemy w nim
zapisać wszystkie rozważane sylogizmy, a nadto takie sposoby wnioskowania,
które w tamtym języku nie były wyrażalne. Rozważmy np. czy następujące
wnioskowanie jest dedukcyjne:
PaM
Sa nonM
SeP
Wnioskowaniu temu przyporządkowujemy następujący diagram.
P
M
S
Została zastosowana metoda wprost. Stosowanie metody wprost polega
na:
1. wpisaniu w prostokąt tylu wzajemnie przecinających się kół, ile jest
terminów w rozważanym wnioskowaniu,
2. zapisaniu zgodnie z przyjętymi zasadami prawdziwości przesłanek, przy
czym rozważamy tyle diagramów, ile jest możliwych sposobów uczynienia tego,
3. w każdym z otrzymanych diagramów sprawdzamy, czy wniosek może
być fałszywy. Gdy w każdym rozważanym wypadku taka możliwość
jest wykluczona, wówczas wnioskowanie jest dedukcyjne. Gdy chociaż
w jednym z rozważanych wypadków wniosek może nie być prawdziwy,
to dane wnioskowanie nie jest dedukcyjne.
313
Czasem korzystniej jest zastosować metodę niewprost. Stosowanie metody niewprost polega na:
1. wpisaniu w prostokąt tylu wzajemnie przecinających się kół, ile jest
terminów w rozważanym wnioskowaniu,
2. zapisaniu zgodnie z przyjętymi zasadami fałszywości wniosku, przy
czym rozważamy tyle diagramów, ile jest możliwych sposobów uczynienia tego,
3. w każdym z otrzymanych diagramów sprawdzamy, czy są prawdziwe
wszystkie przesłanki. Jeżeli chociaż w jednym wypadku wszystkie przesłanki mogą być prawdziwe, to wnioskowanie nie jest dedukcyjne. Jeżeli we wszystkich wypadkach chociaż jedna z przesłanek musi być
fałszywa, to rozważane wnioskowanie jest dedukcyjne.
Zastosujmy metodę niewprost do stwierdzenia dedukcyjności następującego wnioskowania:
nonPe nonM
nonSi nonM
nonSiP
Stosując metodę niewprost kolejno postępujemy następująco:
1. Zapisujemy fałszywość wniosku. Możemy to uczynić w tylko jeden
sposób.
M
P
S
Nieprawda, że nonSiP
2. Zapisujemy prawdziwość pierwszej przesłanki.
Możemy uczynić to
314
tylko w jeden sposób.
M
P
S
Nieprawda, że nonSiP
oraz
nonPe nonM
Stwierdzamy, że nie jest możliwa prawdziwość drugiej przesłanki. Zatem
rozważane wnioskowanie jest dedukcyjne.
Zadania
Zadanie 3.13. Stosując metodę diagramów Venna sprawdź, które z poniższych schematów są logiczne:
1.
2.
3.
4.
nonMe nonP
nonSi nonM
nonSoP
Me nonP
nonSi nonM
nonSeP
nonPe nonM
nonMi nonS
nonSoP
nonMi nonP
nonSa nonM
nonSeP
3.2.2
315
Klasyczna logika predykatów
Analiza zdania dokonana w sylogistyce nie jest wystarczająca z punktu widzenia języka współczesnej nauki. Rozważmy wnioskowanie:
1. Istnieje liczba naturalna, która jest równa lub mniejsza od każdej liczby
naturalnej.
Zatem,
2. dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba od niej mniejsza lub jej
równa.
Zgodnie z intuicją wniosek 2 wynika z przesłanki 1. Czy w takim razie daje
się to stwierdzić za pomocą sylogistyki? A więc, czy wnioskowanie to daje się
przedstawić jako przebiegające według jakiegoś schematu sylogistyki? Odpowiedź jest negatywna. Nie jest możliwe przełożenie 1 i 2 na zdania języka
sylogistyki takiego, jaki został tu opisany. 1 i 2 są różnymi zdaniami, co
stwierdzamy zauważając, że z 2 nie wynika 1. Tej różnicy sensów tych zdań
nie potrafimy wyrazić za pomocą języka sylogistyki. Język sylogistyki jest
zbyt ubogi dla wypowiedzenia wszystkich zdań, którymi posługujemy się
w nauce.
Inną niż w sylogistyce analizę zdań wskazali około 1879 r. pracujący
niezależnie od siebie dwaj logicy — Gottlob Frege (1848–1925), Niemiec,
i Charles Sanders Peirce (1839–1914), Amerykanin.
W języku sylogistyki, tak jak tu został opisany, możemy wypowiedzieć
zdania ogólne i szczegółowe. Możliwość takich wypowiedzi zawarta jest
w użyciu jako podmiotu nazwy, która może mieć więcej niż tylko jeden desygnat. Gdy przyjmie się, że nie tyle ważna jest nazwa występująca w roli
podmiotu, co jej zakres, zbiór przedmiotów, do których odnosi się, to można
zapytać się o możliwe charakterystyki tego zbioru. Otóż zbiór można charakteryzować ekstensjonalnie, przez wskazanie wszystkich i tylko tych przedmiotów, które należą do tego zbioru. Charakterystyka taka może być dokonana
— jak ma to miejsce w sylogistyce — przez podanie nazwy tych przedmiotów.
Zbiór można również scharakteryzować intensjonalnie przez podanie cechy,
która przysługuje wszystkim i tylko przedmiotom z tego zbioru. W teorii mnogości aksjomatycznie przyjmuje się, że charakterystyki te są sobie
równoważne. Dla konstrukcji języka, w którym zbiory mogłyby być charakteryzowane intensjonalnie potrzebna jest nazwa, która ma szerszy zakres niż
charakteryzowany zbiór. Ponieważ dla danych rozważań ustalony jest zbiór
branych pod uwagę przedmiotów — jest to dziedzina tych rozważań — może
to być nazwa, której ten zbiór/dziedzina jest zakresem. Mając na uwadze
316
to, że będziemy chcieli charakteryzować różne zbiory, potrzebnych będzie
więcej takich nazw. Dziedzinę rozważań, czyli zbiór uniwersalny, będziemy
oznaczali „U”. Nazwy, których zakresem jest dziedzina rozważań, określa się
mianem „zmiennych indywiduowych”. Zakresem zmiennych indywiduowych
jest U. Dysponujemy również stałymi indywiduowymi, które są nazwami
niektórych poszczególnych przedmiotów z dziedziny rozważań, czyli z U.
Język klasycznego rachunku predykatów
Język klasycznego rachunku predykatów nadbudowany jest nad językiem
klasycznego rachunku zdań. Znaczy to, że alfabet języka rachunku zdań
jest składnikiem alfabetu języka rachunku predykatów, a zasady budowy
wyrażeń obowiązujące w języka rachunku zdań obowiązują też w rachunku
predykatów.
Definicja 3.34. Słownik (alfabet) klasycznego rachunku predykatów
jest zbiorem następujących przedmiotów (symboli):
1.
x0 , x1 , x2 . . .
— zmienne indywiduowe;
2. a0 , a1 , a3 . . .
— stałe indywiduowe;
3. P0 , P1 , P2 . . . — litery predykatowe;
4. ∀, ∃
— kwantyfikatory;
5. ¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔ — spójniki;
6. ), (
— znaki interpunkcyjne
(nawiasy prawy i lewy).
Każdej literze predykatowej przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba
naturalna wskazująca na argumentowość tej litery. Jak w rachunku zdań
przyjmowaliśmy, że zdania proste nie są wewnętrznie analizowalne, tak tu
przyjmujemy to o prostych predykatach reprezentowanych przez litery predykatowe. Użycie terminu „litera” ma przypominać o wewnętrznej niezłożoności tych wyrażeń.
„∀” to kwantyfikator ogólny (duży), „∃” — szczegółowy (mały, egzystencjalny).
Zwykle zamiast: x0 , x1 , x2 . . . będziemy używali liter: x, y, z, . . . , zamiast: a0 , a1 , a2 . . . będziemy pisali: a, b, c . . . a zamiast P0 , P1 , P2 . . . będziemy pisali: P, Q, R, . . . . Podobnie jak w wypadku rachunku zdań stosować będziemy nawiasy innych kształtów.
Zmienne indywiduowe i stałe indywiduowe to termy.
Definicja 3.35. Jeżeli P jest n-argumentową literą predykatową a t1 , . . . , tn
są termami (zmiennymi lub stałymi indywiduowymi), to P t1 t2 . . .tn jest formułą atomową.
317
Definicja 3.36 (formuły).
1. formuły atomowe są formułami,
2. jeżeli ϕ jest formułą a v jest zmienną indywiduową, to
(a) ¬ϕ jest formułą,
(b) ∀vϕ jest formułą,
(c) ∃vϕ jest formułą,
3. jeżeli ϕ i ψ są formułami, to (ϕ ⇒ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ ⇔ ψ) są
formułami;
4. nie ma innych formuł oprócz formuł atomowych oraz tych ciągów symboli, które są skończonymi ciągami elementów słownika spełniającymi
warunki 2 lub 3.
Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym:
4’ zbiór formuł jest najmniejszym zbiorem, którego elementami są wszystkie formuły atomowe i wszystkie skończone ciągi elementów słownika,
które spełniają jeden z warunków 2–3.
Liter greckich: „ϕ”, „φ”, „ψ”, . . . używamy jako zmiennych metaprzedmiotowych. Ich zakresem jest zbiór formuł języka rachunku predykatów.
Zmiennymi metaprzedmiotowymi są też litery:
• „t” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór termów;
• „v” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór zmiennych indywiduowych;
• „c” (ewentualnie z indeksem), zakresem zmienności jest zbiór stałych
indywiduowych.
Stosowane będą wszystkie zasady opuszczania nawiasów przyjęte dla rachunku zdań, nadto umówimy się, że zamiast: ∀v(ϕ) będziemy pisali: ∀v[ϕ],
a zamiast: ∃v(ϕ) będziemy pisali: ∃v[ϕ]. Zwykle też zamiast: P v0 v1 . . .vn pisze się: P (v0 , v1 . . .vn ). Zamiast: ∀v0 ∀v1 . . . ∀vn będziemy pisali: ∀v0 v1 . . .vn
Podobnie zamiast: ∃v0 ∃v1 . . . ∃vn piszemy: ∃v0 v1 . . .vn
Przykład 3.4. Zgodnie z definicją formułami są:
P0 a2 , ∀x0 P0 x0 , ∀x0 ∃x1 P0 x0 x1 .
318
(jeśli P0 jest jednoargumentową literą predykatową, a P1 jest dwuargumentową literą predykatową).
Formułami zaś nie są:
∀x0 P0 x ∨ P1 x1 , ∀x0 ∧ ∃x1 P1 x0 x1 .
W języku rachunku zdań definiowaliśmy zdanie. W wypadku języka rachunku predykatów definiujemy formułę. Zdanie to wyrażenie, które jest
prawdziwe lub fałszywe. Wyrażenia poprawnie zbudowane języka rachunku
predykatów mogą nie być ani prawdziwe, ani fałszywe. Po prostu niekoniecznie są zdaniami. Wszystkie wyżej podane przykładowe formuły są zdaniami.
Wyrażeniami poprawnie zbudowanymi, nie będącymi zdaniami są:
P0 x0 , ∀x0 P0 x0 x1 .
Dla klarowności wykładu i jasności użytecznych pojęć niezbędna jest definicja podformuły. Będzie to, podobnie jak definicja formuły, definicja indukcyjna. Definicja formuły pokazywała jak budować formułę. Definicja
podformuły pokazuje jak ją analizować.
Definicja 3.37 (podformuły).
1. Jeżeli ϕ jest formułą, to ϕ jest podformułą tej formuły;
2. jeżeli φ jest podformułą ϕ i jest to formuła ¬ψ, to ψ jest podformułą
ϕ;
3. jeżeli φ jest podformułą ϕ i jest to jedna z formuł: ψ ∨ χ, ψ ∧ χ, ψ ⇒ χ,
ψ ⇔ χ, to ψ i χ są podformułami ϕ;
4. jeżeli φ jest podformuła ϕ i jest to jedna z formuł: ∀vψ, ∃vψ, to ψ jest
podformułą ϕ.
Na przykład P (x) ∨ R(y) jest podformułą formuły:
∀x[S(x) ∧ ∃y[P (x) ∨ R(y)]].
Definicja 3.38. Niech Qvϕ będzie podformułą formuły ψ, gdzie Q jest
kwantyfikatorem. Zakresem (działania) kwantyfikatora Q występującego
na początku podformuły Qvϕ jest (pod)formuła ϕ.
W formule ∀x1 (P0 x1 ∨ ∀x2 P1 x1 x2 ) zakresem działania pierwszego licząc
od lewej dużego kwantyfikatora jest formuła: P0 x1 ∨ ∀x2 P1 x1 x2 , a zakresem
drugiego licząc od lewej dużego kwantyfikatora jest formuła: P1 x1 x2 .
319
Definicja 3.39. Zmienna v jest zmienną wolną w danym miejscu wystąpienia w formule ϕ wtedy i tylko, gdy zmienna ta w tym miejscu nie znajduje
się w zakresie działania kwantyfikatora Qv.
Definicja 3.40. Zmienna v w danym miejscu wystąpienia jest zmienną
związaną w formule ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna ta w tym miejscu
znajduje się w zakresie działania kwantyfikatora Qv.
W formule:
∀x0 P x0 x1 ∨ Qx0 x2
zmienna x0 jest zmienną związaną w wypadku jej pierwszego wystąpienia
licząc od lewej, jest zaś wolna w wypadku jej drugiego wystąpienia licząc od
lewej. Pierwsze i drugie wystąpienia zmiennej x0 są jej wystąpieniami jako
zmiennej związanej w formule:
∃xo [∀x0 P x0 x1 ∨ Qx0 x2 ].
Zauważmy, że w wypadku pierwszego wystąpienia x0 wiązane jest przez
kwantyfikator ogólny, zaś w wypadku drugiego wystąpienia x0 jest wiązane
przez kwantyfikator szczegółowy stojący na samym początku formuły.
Definicja 3.41. Formuła jest zdaniem (języka rachunku predykatów)
wtedy i tylko wtedy, gdy żadna z występujących w niej zmiennych nie jest
zmienną wolną.
Zmienne związane są zmiennymi pozornymi. W ich miejsce nie można
niczego podstawiać. Inaczej jest w wypadku zmiennych wolnych. Są to
zmienne rzeczywiste. Operacja podstawiania «wartości» w miejsce tych
zmiennych podlega jednak ograniczeniom.
Definicja 3.42. Term t jest podstawialny w formule ψ w miejsce zmiennej v wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym miejscu wystąpienia zmiennej v jako
zmiennej wolnej żadna ze zmiennych indywiduowych występujących w termie
t nie znajduje się w zakresie działania kwantyfikatora wiążącego tę zmienną.
Podstawienie termu t za zmienną indywiduową v w formule ψ polega
na wpisaniu termu t w miejsce każdego wystąpienia v jako zmiennej wolnej.
Formuła otrzymana w wyniku tego podstawienia to ψ(v/t).
Na podstawianie stałych indywiduowych nie ma żadnych ograniczeń.
Inaczej jest w wypadku, gdy w termie występują zmienne indywiduowe14 .
Na przykład w formule:
14
Tu termami są stałe i zmienne indywiduowe. W wypadku języka rachunku predykatów, w którym występują również litery funkcyjne, term jest wyrażeniem złożonym.
320
∃y(x 6= y)
(3.3)
term „y” nie jest podstawialny w miejsce zmiennej wolnej „x”. Gdyby takiego
podstawienia dokonać, otrzymalibyśmy zdanie:
∃y(y 6= y).
(3.4)
Formuła 3.3 po związaniu zmiennej x kwantyfikatorem ogólnym przechodzi w zdanie prawdziwe w każdej dziedzinie, w której są przynajmniej dwa
przedmioty:
∀x∃y(x 6= y).
(3.5)
Formuła 3.4 jest zaś zdaniem fałszywym w każdej dziedzinie. Operacja podstawiania — tak ją chcemy zaprojektować — nie powinna prowadzić do zdania fałszywego od formuły, która po związaniu wszystkich występujących
w niej zmiennych wolnych przez kwantyfiktory ogólne przechodzi w zdanie
prawdziwe.
Język rachunku predykatów a język sylogistyki
Zdanie „każdy ssak jest kręgowcem” możemy rozumieć tak jak:
Dla każdego x: jeśli x jest ssakiem, to x jest kręgowcem.
Zdanie to może być reprezentowane przez formułę języka rachunku predykatów:
∀x[S(x) ⇒ K(x)].
Zdanie „niektórzy studentami są inwalidami” możemy rozumieć tak jak:
Dla pewnego x: x jest studentem i x jest inwalidą.
Zdanie to może być reprezentowane przez:
∃x[S(x) ∧ I(x)].
Zdanie „żaden student nie jest małoletni” możemy rozumieć tak jak:
Dla każdego x: jeśli x jest studentem, to x nie jest małoletni.
∀x[S(x) ⇒ ¬M (x)].
Zdanie „niektórzy studenci nie są pilni” możemy rozumieć tak jak:
321
Dla pewnego x: x jest studentem i x nie jest pilny.
∃x[S(x) ∧ ¬P (x)].
Na podstawie powyższego mamy, że zdania kategoryczne sylogistyki mogą
zostać zapisane w języku rachunku predykatów w sposób następujący:
SaP
SiP
SeP
SoP
—
—
—
—
∀x[S(x) ⇒ P(x)]
∃x[S(x) ∧ P(x)]
∀x[S(x) ⇒ ¬P(x)]
∃x[S(x) ∧ ¬P(x)]
Zdanie ogólnoprzeczące może być w sposób równoważny wypowiedziane
następująco:
¬∃x[S(x) ∧ P(x)].
«Tłumaczenia» te będą trafne, jeśli będziemy pamiętać o obowiązującym
w sylogistyce założeniu niepustości podmiotu i orzecznika oraz o tym, że ich
zakresy nie mogą być równe zbiorowi uniwersalnemu. Takich założeń nie ma
w rachunku predykatów.
Język rachunku predykatów a język naturalny
Język rachunku predykatów może zaskakiwać swoją prostotą. Elementy jego
słownika dzielą się na stałe indywiduowe, zmienne indywiduowe, predykaty,
spójniki logiczne a nadto są dwa kwantyfikatory: szczegółowy i ogólny. W języku tym można precyzyjnie i trafnie wyrażać myśli. Jaka jest więc jego rola
w naszej aktywności intelektualnej. Oto niektóre tezy:
• Wszystko, co da się zgodnie z prawdą stwierdzić o świecie, daje się
wypowiedzieć w języku rachunku predykatów. Wszystkie prawdziwe
myśli, które mogliby mieć naukowcy i matematycy (nie mówiąc o logikach) są więc wyrażalne w tym języku. W konsekwencji wszelkie
prawdziwe zdania o świecie dające się wypowiedzieć w jakimkolwiek
języku naturalnym są przetłumaczalne na język rachunku predykatów.
• Uważa się również — ujmując problem w innym aspekcie — że nasze
rozumowania są w pełni opisywalne przez logikę kwantyfikatorów. Myśli przed zakomunikowaniem są przetwarzane, a wynikiem tego są wypowiedzi w języku naturalnym: polskim, angielskim, niemieckim itd.
Język naturalny jest «szatą, w którą ubierane są myśli przed opuszczeniem domu», rozumu.
322
• Ponadto sądzi się, że zależności między logiką predykatów a językiem
naturalnym pozostają w istotnym związku z naturą rzeczy (problemy
metafizyczne) i zagadnieniem ludzkiego poznania (problemy teoriopoznawcze, kognitywne). Przykładem może być debata nad tym, jakie
naprawdę istnieją rodzaje przedmiotów.
• Współcześnie, w związku z rozwojem techniki komputerowej, na doniosłości praktycznej zyskuje problem sztucznej inteligencji. Wierzy
się, że język rachunku predykatów stanowi podstawę języka, którym
maszyna posługując się będzie zdolna wykonywać wiele z zadań intelektualnych. W szczególności będzie rozumiała języki naturalne.
Niezależnie od dogłębności naszego rozumienia wskazanych zagadnień
widać, że rozważanie związków między językiem naturalnym a językiem rachunku predykatów jest ważnym przedmiotem studiów dla filozofii, lingwistyki, psychologii, informatyki. Rozwiązania mają dalekosiężne konsekwencje teoretyczne i praktyczne. Konsekwencje te, zarówno w aspekcie teoretycznym jak i praktycznym, dotyczą również dziedzin prawa i ekonomii.
Mając na uwadze praktyczne zastosowania rachunku logicznego i fakt,
że zwykle rozumowania są zapisywane w języku naturalnym, warto dobrze
zrozumieć związki między wyrażeniami języka naturalnego a wyrażeniami
języka rachunku predykatów.
Schemat i forma zdania języka naturalnego Rozumowania możemy
przeprowadzać bezpośrednio formułując przesłanki i wnioski w języku rachunku predykatów. Taki sposób postępowania jeżeli jest stosowany, to
w ograniczonym zakresie i w zasadzie tylko w matematyce i logice. Zwykle rozumowanie sformułowane jest w języku, który jeśli chodzi o gramatykę
i podstawowy zasób słów w istotny sposób nie różni się od języka naturalnego. Różnice ograniczają się do specjalistycznej terminologii. Jest tak
nawet w wypadku tekstów matematycznych, tekstów z fizyki, chemii, biologii nie mówiąc o językach nauk humanistycznych i filozofii. Możliwość stosowania rachunków logicznych do tak przeprowadzanych wnioskowań wiąże
się z zadaniem przekładu wypowiedzi w języku naturalnym na formuły języka rachunku predykatów. To, czy taki przekład jest trafny, nie jest przedmiotem żadnego dowodu. Nie mamy bowiem procedur, które by nam to
umożliwiały. O tym, czy przekład jest właściwy, decydujemy stwierdzając
intuicyjną równoważność przekładanego zdania i formuły języka rachunku
predykatów przy założonym rozumieniu liter predykatowych, stałych indywiduowych oraz dziedziny rozważań. Tak na przykład przekładem zdania
323
„człowiek jest rozumny” jest formuła:
∀x[C(x) ⇒ R(x)],
gdzie literę predykatową „C” rozumiemy jak predykat „. . . jest człowiekiem”,
literę predykatową „R” — „. . . jest rozumny” i przyjmujemy, że dziedziną
rozważań jest zbiór zwierząt.
Definicja 3.43. Schemat zdania języka naturalnego w języku rachunku
predykatów to formuła języka rachunku predykatów, która przy założonym
rozumieniu liter predykatowych i stałych indywiduowych jest w danej dziedzinie rozważań intuicyjnie równoważna temu zdaniu.
Może być tak, że danemu zdaniu odpowiada więcej niż jeden schemat.
Zdaniu „pilni studenci mają dobre oceny” odpowiada zarówno schemat:
∀x[R(x) ⇒ D(x)],
jak i schemat
∀x[P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)].
Drugi schemat jest bardziej szczegółowy niż pierwszy. W wypadku pierwszego literę predykatową „R” musimy rozumieć jak predykat „. . . jest pilnym
studentem”. W wypadku drugiego ze wskazanych schematów literze predykatowej „P ” odpowiada predykat „. . . jest pilny”, a literze predykatowej
„S” odpowiada predykat „. . . jest studentem”. Z punktu widzenia stosowania rachunku logicznego zależy nam na możliwie najbardziej szczegółowym
schemacie. Chodzi bowiem o uchwycenie wszystkich możliwych związków
logicznych zachodzących między zdaniami. Gdyby zdaniu „studenci, którzy
nie są pilni, mają dobre oceny” przyporządkować schemat:
∀x[T (x) ⇒ D(x)],
to na poziomie schematów nie są widoczne wszystkie związki logiczne ze
zdaniem „pilni studenci mają dobre oceny”. Inaczej jest w wypadku, gdy
weźmiemy schematy:
∀x[P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)]
i
∀x[¬P (x) ∧ S(x) ⇒ D(x)].
Za pomocą rachunku logicznego możemy teraz pokazać, że zdania te dopełniają się, czyli nie mogą być współfałszywe.
324
Wydaje się, że w wypadku zdania języka naturalnego zawsze istnieje najbardziej szczegółowy schemat tego zdania. Otrzymać go można wyróżniając w zdaniu wszystkie najprostsze predykaty i przyporządkowując im litery
predykatowe oraz przyporządkowując stałe indywiduowe wszystkim nazwom
jednostkowym. Ponadto wydaje się, że wszystkie najbardziej szczegółowe
schematy zdania są sobie równoważne.
Definicja 3.44. Forma zdania języka naturalnego w języku rachunku predykatów to najbardziej szczegółowy schemat tego zdania, jaki można dla
niego wskazać w języku rachunku predykatów.
Możliwość przypisania zdaniu form, które nie byłyby wzajemnie równoważne, wskazywałaby na brak dookreślenia składni tego zdania, a więc
zdanie to byłoby amfibologią.
Tu opisany język rachunku predykatów nie wystarcza dla zapisania wszystkich zdań języka naturalnego. Nie dysponujemy np. słówkami modalnymi.
Stąd jeśli istnieje taka potrzeba, wzbogaca się ten język o potrzebne symbole.
Omówimy teraz, jak poszczególne rodzaje wyrażeń języka naturalnego
przekłada się na język rachunku predykatów.
Jak wyrażenia języka naturalnego wypowiadamy w języku rachunku
predykatów? W słowniku języka naturalnego wyróżnia się rzeczowniki,
zaimki, przyimki, przymiotniki, czasowniki, przysłówki itd. Sposób wypowiedzenia w języku rachunku predykatów nie jest jednak jednoznacznie
określony przez rodzaj wyrazu. Rzeczownik może być nazwą indywidualną.
Rzeczowniki są również nazwami generalnymi lub ich składowymi. Co istotniejsze, wypowiedzenie zależy też od kontekstu, w którym wyraz występuje.
W języku rachunku predykatów rzeczownik „student” wypowiadamy inaczej
w wypadku frazy „pilny student”, a inaczej w wypadku wyrażenia „rzekomy
student”. Wynika to z tego, że pilny student jest studentem, a rzekomy
student nie jest studentem.
Rzeczownik Rzeczowniki mogą być nazwami indywidualnymi, nazwami
generalnymi lub ich składowymi.
Nazwy indywidualne Nazwy indywidualne wypowiadamy w języku
predykatów przyporządkowując każdej nazwie jedną i tylko jedną stałą indywiduową. Zdanie „Jan jest studentem” wyrażamy więc formułą: P (a),
gdzie literę „P ” rozumiemy jako predykat „. . . jest studentem”, a stała indywiduowa „a” oznacza Jana. Sposób postępowania nie zależy od tego, czy
325
nazwa zbudowana jest z jednego, czy więcej wyrazów. Zdanie „Rzeczpospolita Polska jest państwem demokratycznym” zapisujemy: P (a), gdzie literę
„P ” rozumiemy jako predykat „. . . jest państwem demokratycznym”, a „a”
oznacza Rzeczpospolitą Polską. W roli nazw indywidualnych mogą wystąpić
zaimki.
Nazwy generalne W wypadku nazw generalnych — inaczej niż w wypadku nazw indywidualnych — znaczenie ma, czy nazwa ta jest prosta (zbudowana z jednego wyrazu), czy złożona (zbudowana z więcej niż jednego
wyrazu).
Jeśli rzeczownik użyty jest jako nazwa generalna, to:
1. gdy zakres nazwy generalnej jest równy zbiorowi wszystkich przedmiotów dziedziny rozważań U, to nazwa taka wyrażalna jest przez zmienne
indywiduowe. Zmienna indywiduowa to odpowiednik nazwy generalnej, której zakresem jest zbiór wszystkich i tylko elementów dziedziny
rozważań.
2. gdy desygnaty nazwy nie są wszystkimi przedmiotami z dziedziny rozważań, to należy wskazać jednoargumentowy predykat P taki, że P (x)
wtedy i tylko wtedy, gdy x jest desygnatem rozważanej nazwy. „x”
jest zaś zmienną indywiduową, której zakresem jest zbiór wszystkich
i tylko elementów dziedziny rozważań.
Powiedzmy, że dziedziną rozważań jest zbiór ludzi. Zdanie „człowiek jest rozumny” — jest to wypadek opisany w 1 — przekładamy wówczas na formułę:
∀xR(x).
W tej sytuacji nazwie „człowiek” w języku rachunku predykatów odpowiada
zmienna indywiduowa. Jeśli zaś byłby to zbiór zwierząt — czyli mamy wypadek opisany w 2 — to mielibyśmy formułę:
∀x[C(x) ⇒ R(x)],
gdzie litera predykatowa „R” zastępuje predykat „. . . jest rozumny”, a litera
predykatowa „C” zastępuje predykat „. . . jest człowiekiem”.
Rzeczownik może wystąpić jako składowa nazwy generalnej sam w tej
roli nie występując. Jest tak w wypadku nazwy „student” jako składowej
nazwy generalnej „rzekomy student”.
W roli nazw generalnych mogą wystąpić zaimki.
326
Zaimek Zaimek może być użyty zamiast nazwy indywidualnej lub zamiast nazwy generalnej. W wypadku tekstu: „Jan zdał wszystkie egzaminy.
Z logiki otrzymał on ocenę bardzo dobrą” zaimek „on” użyty jest zamiast
nazwy indywidualnej „Jan”. W tekście: „Człowiek jest rozumny. Umiejętnie
wykorzystuje on przyrodę” zaimek „on” występuje zamiast nazwy generalnej
„człowiek”.
Wyrażeniami składowymi nazw są przymiotniki.
Przymiotnik Przymiotniki z nazwami tworzą nazwy. Nazwami są:
„student”, „dobry student”, „zdolny student”, „pilny student”, „bardzo pilny
student”, „były student”, „rzekomy student”. Znaczenie przymiotnika — mówiliśmy o tym dyskutując błąd terminów relacyjnych — może się zmieniać
w zależności od kontekstu użycia. Znaczenie „łysy” jest takie samo niezależnie od tego, czy mówimy „łysy człowiek”, czy „łysy student”. Inaczej jest
w wypadku słowa „dobry”. Co innego słowo to znaczy w kontekście „dobry
człowiek”, a co innego w kontekście „dobry student”. W tu opisanym języku
rachunku predykatów nie mamy rodzaju wyrażeń, które łącznie z nazwami
tworzyłyby nazwy.
W wypadku nazw generalnych „student”, „dobry student”, „zdolny student” i „bardzo zdolny student” ich zakres jest podrzędny względem zakresu
nazwy student. Inaczej jest w wypadku nazwy „rzekomy student” — rzekomi
studenci nie są studentami.
Przymiotniki, które w połączeniu z nazwą generalną przyporządkowują
jej zakresowo podrzędną nazwę generalną, wyrażamy w języku rachunku predykatów poprzez jednoargumentowe predykaty. Postępujemy więc tak samo
jak w wypadku rzeczowników jako nazw generalnych. Jeśli dziedziną rozważań będzie zbiór ludzi, to np. dla słowa „łysy” możemy ustalić jedną i tylko
jedną literę predykatową. Inaczej jest w wypadku słowa „dobry”. Potrzeba
wziąć tyle liter predykatowych, w ilu znaczeniach używamy słowa „dobry”.
Frazom: „łysy student”, „łysy dziadek” przyporządkowujemy schematy, odpowiednio:
(. . . ) ∧ S(. . . ),
(. . . ) ∧ D(. . . ).
Frazom: „dobra kobieta”, „dobry student” przyporządkowujemy zaś schematy:
D(. . . ) ∧ K(. . . ),
R(. . . ) ∧ S(. . . ).
327
W wypadku słowa „łysy” zakres nazwy „łysy n” jest iloczynem teoriomnogościowym zbioru łysych i zakresu nazwy „n”. W wypadku nazwy „dobry n” jej
zakres też jest iloczynem teoriomnogościowym zakresu nazwy „n” i zbioru,
którego określenie wymaga ustalenia znaczenia, w jakim zostało użyte słowo
„dobry”.
Inaczej postępujemy w wypadku, gdy modyfikacja nazwy nie prowadzi
do nazwy o określonym stosunku zakresowym do zakresu tej nazwy. Taka
sytuacja ma miejsce we frazie „rzekomy student”. Tym razem niewłaściwe
byłoby przyporządkowywanie litery predykatowej słowu „rzekomy”. Teraz
całej frazie możemy przyporządkować literę predykatową.
Przymiotniki mogą być składowymi nazw same będąc modyfikowane
przez inne wyrażenia, jak ma to miejsce dla nazwy „bardzo pilny student”.
W tu opisanym języku rachunku predykatów nie mamy możliwości bezpośredniego opisania operacji modyfikacji predykatów. Nie ma możliwości oddania znaczenia i funkcji samego „bardzo”. Musimy wziąć pod uwagę frazę
„bardzo pilny”. Frazie tej możemy przyporządkować literę predykatową.
Pilny jest każdy, kto jest bardzo pilny. Tłumacząc zdanie „Jan jest bardzo pilny” możemy użyć litery predykatowej odpowiadającej frazie „bardzo
pilny” (B) i litery predykatowej odpowiadającej przymiotnikowi „pilny” (P ).
Predykat „. . . bardzo pilny student” może być przełożony na:
B(. . . ) ∧ P (. . . ) ∧ S(. . . ),
gdzie „S” jest literą predykatową odpowiadają predykatowi „. . . jest studentem”. Od strony treściowej wystarczałoby użycie litery predykatowej „B”.
Od strony formalnej właściwe jest użycie jeszcze litery predykatowej „P ”.
Gdyby użyć tylko litery „B”, to w języku rachunku predykatów nie byłby widoczny związek zachodzący między „bardzo pilny student” a „pilny student”.
Gdy w języku rachunku predykatów „bardzo pilny student” jest reprezentowany przez:
B(. . . ) ∧ P (. . . ) ∧ S(. . . )
widać, że bardzo pilny student jest pilnym studentem:
P (. . . ) ∧ S(. . . ).
Czasownik Czasowniki przekładalne są na litery predykatowe. Jedne
z nich mogą być wyrażalne przez predykaty jednoargumentowe, jak np. „pisze” w zdaniu „Jan pisze”. Zwykle też te same czasowniki występują w roli
predykatów dwuargumentowych, jak „pisze” w zdaniu „Jan pisze książkę”.
Mogą to być również predykaty trójargumentowe jak „pisze” w zdaniu „Jan
328
pisze piórem list”. Czasowniki nieprzechodnie tłumaczone są na jednoargumentowe litery predykatowe, a przechodnie na wieloargumentowe.
Czasowniki mogą być modyfikowane przez przysłówki.
Przysłówek Przysłówki modyfikują czasowniki. Ich przykładami są:
„powoli”, „dobrze”, „często”, „rzekomo”. Czasownikom w języku rachunku predykatów mogą być przyporządkowywane litery predykatowe. W języku tym
nie mamy specjalnej operacji modyfikacji predykatów. Nie jest więc możliwe bezpośrednie wyrażenie przysłówków. Zwykle frazom z przysłówkami
przyporządkowujemy literę predykatową. Jednak w wypadku przysłówków
kwantyfikacji jak np. „czasem” postępujemy inaczej.
Gdy frazie z przysłówkiem przyporządkowujemy literę predykatową, mamy
sytuację analogiczną do przymiotników i fraz przymiotnikowych, których nie
można było oddać przez przyporządkowanie im litery predykatowej. Jeśli jest
tak jak w wypadku „biegnie powoli”, że jeżeli ktoś biegnie powoli, to ten ktoś
biegnie, to taką frazę można oddać uwzględniając literę predykatową na „powoli biegnie” i literę predykatową na „biegnie”. Jeśli zaś tak nie jest, jak np.
w wypadku „rzekomo pisze” — ktoś kto rzekomo pisze nie pisze — pozostaje
nam użycie tylko jednej litery predykatowej, która odpowiada branej pod
uwagę frazie.
Przysłówki kwantyfikujące przekładamy za pomocą kwantyfikatorów. Potrafimy oddać jednak tylko te, które wyrażają kwantyfikatory ogólny i szczegółowy lub ich kombinacje. Można wyrazić np. „czasem”. Weźmy zdanie
„Jan czasem popełnia błąd”. Niech „P ” będzie trójargumentową literą predykatową i wyraża predykat „. . . popełnia . . . w chwili . . . ”. Niech „B” będzie jednoargumentową literą predykatową: „. . . jest błędem”, „T ” — „. . . jest
chwilą”. Interesujące nas zdanie możemy przełożyć na:
∃x∃y[B(x) ∧ T (y) ∧ P (a, x, y)],
gdzie stała indywiduowa „a” oznacza Jana. Nie potrafimy wyrazić np. „często”.
Przyimek Przyimkami są: „w”, „na”, „o”, „od”, „do”, „nad”, „przez”,
„przy”, „między”. Łącznie z frazami rzeczownikowymi tworzą frazy, które zachowują się jak przymiotniki lub przysłówki. Przykładami ich użycia mogą
być zdania: „Jan jest w Londynie”, „książka leży na stole”, „Jan dostał prezent od Piotra”, „Piotr napisał podanie do dziekana o zgodę na inny termin
egzaminu”. Przyimki przekładane są łącznie z innymi wyrażeniami na wieloargumentowe litery predykatowe. Przyimkowi „w” — takiemu jak użyty
329
w zdaniu „Jan jest w Londynie” — przyporządkowujemy dwuargumentową
literę predykatową „W ”, której odpowiada predykat: „. . . jest w . . . ”. Przyimek „na” ze zdania „książka leży na stole” przekładamy na dwuargumentową
literę predykatową „L” — „. . . leży na . . . ”. Przyimkowi „od” ze zdania „Jan
dostał prezent od Piotra” przyporządkowujemy trójargumentową literę predykatową „D” — „. . . dostał . . . od . . . ”.
Do zagadnień związanych z «tłumaczeniem» wyrażeń języka naturalnego
na język rachunku predykatów należą też problemy specjalnych konstrukcji
zdaniowych tworzonych za pomocą takich słówek jak „że”, „kiedy”, „który”.
Przykładami zdań z tymi słówkami są: „Jan pisze, że zdał egzamin z logiki”,
„wykład rozpoczął się, kiedy wszyscy studenci zajęli miejsca”, „na stole leżał podręcznik, który ktoś pozostawił”. Tu omówimy jeszcze tylko problem
wyrażeń, za pomocą których wypowiadane są kwantyfikatory i spójniki.
Kwantyfikatory i spójniki w języku naturalnym W języku naturalnym występuje wiele słówek kwantyfikujących, lecz tylko dla niektórych
z nich kwantyfikatory są odpowiednikami w języku rachunku predykatów.
Choćby użyte w poprzednim zdaniu słówko kwantyfikujące „wiele” nie przekłada się na żaden z kwantyfikatorów, podobnie jest ze słówkami: „często”,
„kilka”. W języku rachunku predykatów możemy wypowiedzieć: „każdy”, „pewien” (przynajmniej jeden). Jeżeli nadto dysponujemy dwuargumentowym
predykatem równości, to w języku tym możemy wypowiedzieć wyrażenia
kwantyfikujące takie jak: „przynajmniej dla n przedmiotów”, „dokładnie dla
n przedmiotów”.
Kwantyfikator duży może się pojawić w formule będącej odpowiednikiem zdania języka naturalnego, w którym to zdaniu nie występują wyrażenia kwantyfikujące. W zdaniu „człowiek jest ssakiem” nie występuje żadne
słówko kwantyfikujące. Jednak jego właściwym odpowiednikiem w języku
rachunku predykatów jest formuła, w której występuje duży kwantyfikator:
∀x[C(x) ⇒ S(x)].
Jednak brak słówka kwantyfikującego może też mieć miejsce w wypadku,
gdy odpowiednikiem zdania jest formuła z kwantyfikatorem szczegółowym.
Jest tak w wypadku „człowiek” w zdaniu „ślady wskazywały na to, że był
tu człowiek”. Myśl zawartą w tym zdaniu moglibyśmy wypowiedzieć: „ślady
wskazywały na to, że był tu ktoś”, inną treść zawiera zaś zdanie: „ślady
wskazywały na to, że był tu każdy człowiek”.
Gdy występują słowa: „pewien”, „ktoś”, „coś” z zasady używamy kwantyfikatora szczegółowego. Jest tak w wypadku zdania: „ktoś uczy się logiki”.
330
Odpowiada mu:
∃xU (z).
Nie zawsze tak być musi. Słowu „ktoś” ze zdania „ jeżeli ktoś do czegoś
konsekwentnie dąży, to to coś osiągnie” odpowiada duży kwantyfikator:
∀x, y[D(x, y) ⇒ O(x, y)].
Poprzednik zdania „ jeśli Jan otrzyma kredytu, to nie będzie miał kłopotu” przekładamy na formułę: ∃xO(a, x), gdzie „a” odpowiada „Janowi”.
Następnik naszej implikacji przekłada się na: ¬K(a). Dla rozważanego zdania mamy formułę:
∃xO(a, x) ⇒ ¬K(a).
Taki sposób postępowania zawodzi w wypadku zdania „ jeśli Jan otrzyma
kredyt, to będzie musiał go spłacić”. Formułą właściwą dla tego zdania jest:
∀x[O(a, x) ⇒ S(a, x)].
Chociaż poprzedniki omawianych zdań się nie różnią, to w pierwszym wypadku użyliśmy kwantyfikatora szczegółowego, a w drugim — gdy w następniku występuje zmienna występująca w poprzedniku — używa się kwantyfikatora ogólnego.
Spójniki W języku rachunku predykatów używamy spójników. Jak już
to stwierdziliśmy omawiając problem sposobu, w jaki kwantyfikatory są wypowiadane w języku naturalnym, nie zawsze przekład dokonuje się poprzez
połączenie odpowiednimi spójnikami przekładów zdań składowych. Może
być tak, że zakresem działania kwantyfikatora jest fraza złożona za pomocą
spójnika.
Słówka, których używa się na odczytanie spójników logicznych, są w języku naturalnym używane nie tyle na połączenie zdań, ile fraz i to zarówno
rzeczownikowych jak i czasownikowych. Mówimy np. „Jan i Jakub otrzymali
dobre oceny z egzaminu”, „Jan napisał list i pomógł zrobić zakupy”. Zdania
te zaś przekładamy, odpowiednio, tak samo jak zdania: „Jan otrzymał dobrą
ocenę z egzaminu i Jakub otrzymał dobrą ocenę z egzaminu”, „Jan napisał
list i Jan pomógł zrobić zakupy”.
Zdanie „Rad i polon są promieniotwórcze” rozumiemy tak jak „rad jest
promieniotwórczy i polon jest promieniotwórczy” i przekładamy na:
∀x[R(x) ⇒ Q(x)] ∧ ∀[P (x) ⇒ Q(x)]
331
lub, co na jedno wychodzi:
∀x[(R(x) ⇒ Q(x)) ∧ (P (x) ⇒ Q(x))],
gdzie „R” rozumiemy „. . . jest radem”, „Q” — „. . . jest
promieniotwórcze”, „P ” — „. . . jest polonem”.
Formuła:
∀x[(R(x) ∧ P (x)) ⇒ Q(x)]
nie oddaje trafnie znaczenia przekładanego zdania.
Tego rodzaju problemu nie stwarza „lub”. Zdanie „Zając lub królik zjadł
kapustę” rozumiemy jak zdanie „Zając zjadł kapustę lub królik zjadł kapustę”
i przekładamy:
∃x[Z(x) ∧ P (x)] ∨ ∃x[K(x) ∧ P (x)]
lub też:
∃x[(Z(x) ∧ P (x)) ∨ (K(x) ∧ P (x)],
ale można również:
∃x[(Z(x) ∨ K(x)) ∧ P (x)],
gdzie „K” — „. . . jest królikiem”, „Z” rozumiemy jak „. . . jest zającem”,
„P ” — „. . . zjadł kapustę”.
Słowo „i” i jego równoważniki nie zawsze dadzą się rozumieć jako odpowiedniki spójników prawdziwościowych. W logice zdanie α ∧ β jest równoważne zdaniu β ∧α. Zmieniając kolejność zdań składowych w zdaniu „Janina
wyszła za mąż i urodziła dziecko” nie otrzymamy zdania mu równoważnego.
W wypadku zdania „Jan i Piotr są właścicielami firmy «PLAJTA»” słówko
„i” nie może być rozumiane jako spójnik. Nie jest bowiem ani prawdą to,
że Jan jest właścicielem firmy «PLAJTA», ani to, że Piotr jest właścicielem
firmy «PLAJTA». Tym razem „i” służy do utworzenia nazwy indywidualnej
i frazie „Jan i Piotr” w języku rachunku predykatów odpowiadać będzie stała
indywiduowa.
Dla słówka „i” wskazuje się trzy znaczenia. W znaczeniu enumeratywnym (wyliczeniowym) występuje ono w zdaniu „Na spotkanie z Zosią przyszli Jan i Piotr”. W znaczeniu koniunkcyjnym występuje ono w zdaniu „Jan
powinien zdać egzamin z logiki i z ekonomii politycznej”. W zdaniu „małżeństwo jest związkiem kobiety i mężczyzny” słowo „i” występuje w znaczeniu
syntetycznym.
332
Zadania
Zadanie 3.14. Zapisz w języku rachunku predykatów poniższe zdania:
1. Każdy lubi każdego.
2. Każdy lubi kogoś.
3. Ktoś lubi każdego.
4. Ktoś lubi kogoś.
5. Każdy nie lubi nikogo.
6. Każdy nie lubi kogoś.
7. Ktoś nie lubi nikogo.
8. Ktoś kogoś nie lubi.
9. Są książki, które warto przeczytać dwa razy.
10. Pod Termopilami nie ocalał żaden Grek.
11. Są ludzie, którzy są szczęśliwi nie wiedząc o tym.
12. Tylko dobrzy umierają młodo.
13. Wszystkich, których znam poznałem po trzydziestce.
14. Ktoś, lecz nie wszyscy z nas, pisze wiersze.
15. Nie wszystko złoto, co się świeci.
16. Wszystkie drogi prowadzą do Rzymu.
17. Pewna droga prowadzi do Rzymu.
18. Żadna droga nie prowadzi do Rzymu.
19. Pewna droga nie prowadzi do Rzymu.
20. Nikt nie wyjątkiem jeśli chodzi o mówienie bzdur.
21. Co serce wie dziś, rozum pojmie jutro.
22. Żaden zwycięzca nie wierzy w przypadek.
333
23. Nieobecni nie mają racji.
24. Wszystkie mądrości już kiedyś zostały pomyślane.
25. Nie ma doskonałości bez trudności.
26. Dobrzy sprzedawcy znajdują bez trudu kupców.
27. Dla dowolnych dwóch punktów istnieje prosta, która przez nie przechodzi.
Wynikanie w klasycznej logice predykatów
Rachunek predykatów zawiera rachunek zdań. Zasady logiki predykatów,
które nie odnoszą się do kwantyfikatorów są takie same jak zasady logiki
zdań. W rachunku zdań mówimy o zdaniach, a w rachunku predykatów
o formułach. W rachunku predykatów pojawiają się specyficzne zasady dotyczące kwantyfikatorów.
W logice zdań tautologia została zdefiniowana jako zdanie przyjmujące
wartość t dla dowolnego wartościowania. Terminu „tautologia” będziemy też
używać w rachunku predykatów. Będzie to formuła, którą można otrzymać
przez zastąpienie liter zdaniowych przez formuły. Taka konstrukcja jest też
formułą.
Definicja 3.45. Tautologią języka rachunku predykatów jest każde
wyrażenie, które można otrzymać przez podstawienie formuł języka rachunku
predykatów w miejsce wszystkich liter zdaniowych występujących w tautologii języka rachunku zdań.
Definicja wynikania w klasycznej logice predykatów jest poszerzeniem
definicji wynikania w klasycznej logice zdań o zasady specyficzne dla języka
rachunku predykatów. Nie każde poprawnie zbudowane wyrażenie języka
rachunku predykatów, formuła, jest zdaniem. Zamiast mówić o wynikania
zdania ze zbioru zdań — jak to jest w wypadku logiki zdań — będziemy
mówili o wynikaniu formuły ze zbioru formuł.
Definicja 3.46. Ze zbioru formuł Σ wynika formuła ψ (symbolicznie: Σ
` ψ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg formuł ψ0 , ψ1 , . . . , ψn
taki, że dla każdego ψi , 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest jeden z warunków:
1. ψi jest elementem zbioru Σ;
2. ψi jest tautologią (języka rachunku predykatów);
334
3. istnieją j, k < i takie, że ψk jest formuła ψj ⇒ ψi ;
4. istnieje k < i, oraz term t i zmienna v takie, że t jest podstawialne za v
w formule ψk , a formuła ψi to formuła ψk (v/t);
5. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ ∀vφ, a formuła ψi to formuła
ϕ ⇒ φ;
6. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ φ i zmienna v nie występuje
jako zmienna wolna w ϕ, a formuła ψi to formuła ϕ ⇒ ∀vφ;
7. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ∃vϕ ⇒ φ, a formuła ψi to formuła
ϕ ⇒ φ;
8. istnieje k < i takie, że ψk to formuła ϕ ⇒ φ i zmienna v nie występuje
jako zmienna wolna w φ, a formuła ψi to formuła ∃vϕ ⇒ φ.
Ciąg formuł ψ0 , ψ1 , . . . , ψn , spełniający warunki 1–8, to dowód formuły
ψ ze zbioru formuł Σ.
Zbiór formuł Σ to zbiór przesłanek albo inaczej założeń. Σ może
w szczególności być zbiorem pustym.
Definicja 3.47. Formuła, dla której istnieje dowód z pustego zbioru formuł
to teza rachunku predykatów.
To, że ϕ jest tezą zapisujemy: ` ϕ.
Wykorzystane w definicji dowodu reguły to w wypadku 3 znana już reguła odrywania (MP). Pozostałe to, kolejno, 4 — reguła podstawiania (jej
zastosowanie zaznaczać można wskazując term i zmienną, za którą term ten
jest podstawiany), 5 — reguła opuszczania dużego kwantyfikatora (O∀), 6
— reguła dołączania dużego kwantyfikatora (D∀), 7 — reguła opuszczania
małego kwantyfikatora (O∃), 8 — reguła dołączania małego kwantyfikatora
(D∃).
Przykład 3.5. Korzystając z definicji dowodu możemy dowieść, że
` ∀xPx ⇒ Px.
Dowód.
1.
2.
∀xPx ⇒ ∀xPx tautologia
∀xPx ⇒ Px
(O∀; 1)
(3.6)
335
Odnotujmy prosty fakt:
jeżeli ϕ jest tautologią, to jest tezą rachunku predykatów.
Rachunek predykatów jest pełny. Najprościej mówiąc znaczy to, że wynikanie zgodnie z regułami dowodu w rachunku predykatów pokrywa się z wynikaniem semantycznym, czyli takim, które zachodzi między przesłankami
a wnioskiem wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwość przesłanek gwarantuje
prawdziwość wniosku.
Dla rachunku predykatów zachodzi twierdzenie o dedukcji.
Twierdzenie 3.5. (O dedukcji) Niech ϕ będzie zdaniem, a φ formułą (nie
musi być zdaniem):
Σ ∪ {ϕ} ` φ
Σ ` ϕ ⇒ φ.
Dowód tego twierdzenia pominiemy. Przebiega on analogicznie do dowodu twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań. Jest jednak bardziej złożony. Należy bowiem uwzględnić specyficzne dla rachunku predykatów reguły dowodowe.
Schematy i prawa logiki predykatów
Pojęcia prawa i logicznego schematu wnioskowania dla logiki kwantyfikatorów są takie same jak dla logiki zdań. Różnice w definicjach spowodowane są
wyłącznie różnicami między językiem rachunku zdań a językiem rachunku
predykatów. Istotna różnica między logiką zdań a logiką kwantyfikatorów
ma miejsce jeśli chodzi o metodę wskazywania praw i logicznych schematów
wnioskowania. W wypadku rachunku zdań mieliśmy prostą metodę pozwalającą w wypadku dowolnego zdania lub wnioskowania znaleźć odpowiedź na
pytanie, czy zdanie to jest tautologią lub czy wnioskowanie jest dedukcyjne.
Jest to metoda zero-jedynkowa. W wypadku tego fragmentu logiki kwantyfikatorów, który zawiera się w sylogistyce, też jest taka metoda. Jest nią
metoda diagramów Venna. Metoda ta może być stosowana szerzej niż tylko
w sylogistyce. Pierwszym i istotnym ograniczeniem jest możliwość jej stosowania tylko do tego fragmentu języka rachunku kwantyfikatorów, w którym
używane są wyłącznie jednoargumentowe litery predykatowe. Nie potrafimy
zastosować tej metody, gdy mamy litery predykatowe dwu lub więcej argumentowe. Okazuje się, że nie ma żadnej takiej procedury, która w wypadku
336
dowolnego schematu pozwoliłaby na znalezienie odpowiedzi na pytanie, czy
schemat ten jest logiczny, czy też nie. Rachunek predykatów — inaczej niż
rachunek zdań — nie jest rozstrzygalny. W wypadku rachunku predykatów
jest jednak tak, że w wypadku dowolnego wnioskowania (zapisanego w języku rachunku predykatów), w którym wniosek wynika z przesłanek, istnieje
dowód (zgodnie z definicją dowodu w rachunku predykatów) tego faktu.
Mając wyrażenie zbudowane ze zmiennych metaprzedmiotowych (na formuły, termy, stałe i zmienne indywiduowe języka rachunku predykatów),
spójników, kwantyfikatorów i nawiasów dopóki nie wiemy, do jakich formuł
odnoszą się zmienne metaprzedmiotowe, możemy nie być w stanie odpowiedzieć na pytanie, czy formuła, którą to wyrażenie wskazuje jest, czy też nie
jest tezą rachunku predykatów. Jest tak np. w wypadku:
∀vϕ ⇒ ∃v1 ψ.
Może też być tak, że bez względu na to jakie formuły, termy i zmienne są
wskazywane przez zmienne metaprzedmiotowe dane wyrażenie odnosi się do
formuły będącej tezą rachunku predykatów. Jest tak np. w wypadku:
ϕ ⇒ ∃vϕ.
Wyrażenie zbudowane wyłącznie ze zmiennych metaprzedmiotowych (na
formuły, termy, stałe i zmienne indywiduowe) takie, że po ustaleniu, jakie
formuły, termy, stałe i zmienne wskazują występujące w nim zmienne jest
formułą to schemat formuły.
Definicja 3.48. Prawo logiki predykatów to schemat tezy rachunku predykatów.
Ponieważ każda tautologia jest tezą rachunku predykatów, więc każde
prawo logiki zdań jest również prawem logiki predykatów.
Podane zostaną niektóre specyficzne prawa i schematy logiczne rachunku
predykatów.
Prawo
Schemat
Dictum de omni
∀vϕ ⇒ ϕ(v/t),
jeśli t jest podstawialne za v.
∀vϕ
ϕ(v/t)
Dictum de singulo
ϕ(v/t) ⇒ ∃vϕ,
jeśli t jest podstawialne za v.
ϕ(v/t)
∃vϕ
*
∀v1 ∀v2 ϕ ⇒ ∀v2 ∀v1 ϕ
∀v1 ∀v2 ϕ
∀v2 ∀v1 ϕ
*
∃v1 ∃v2 ϕ ⇒ ∃v2 ∃v1 ϕ
∃v1 ∃v2 ϕ
∃v2 ∃v1 ϕ
*
∃v1 ∀v2 ϕ ⇒ ∀v2 ∃v1 ϕ
∃v1 ∀v2 ϕ
∀v2 ∃v1 ϕ
Kwantyfikatory a spójnik negacji
I prawo De Morgana
¬∀vϕ ⇒ ∃v¬ϕ
¬∀vϕ
∃v¬ϕ
II prawo De Morgana
¬∃vϕ ⇒ ∀v¬ϕ
¬∃vϕ
∀v¬ϕ
Kwantyfikatory a spójnik implikacji
∀v(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∀vϕ ⇒ ∀vφ)
∀v(ϕ ⇒ φ)
∀vϕ ⇒ ∀vφ
∀v(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∃vϕ ⇒ ∃vφ)
∀v(ϕ ⇒ φ)
337
338
∃vϕ ⇒ ∃vφ
Kwantyfikatory a spójnik koniunkcji
∀v(ϕ ∧ φ) ⇒ (∀vϕ ∧ ∀vφ)
∀v(ϕ ∧ φ)
∀vϕ ∧ ∀vφ
(∀vϕ ∧ ∀vφ) ⇒ ∀v(ϕ ∧ φ)
∀vϕ ∧ ∀vφ
∀v(ϕ ∧ φ)
∃v(ϕ ∧ φ) ⇒ (∃vϕ ∧ ∃vφ)
∃v(ϕ ∧ φ)
∃vϕ ∧ ∃vφ
Kwantyfikatory a spójnik alternatywy
(∀vϕ ∨ ∀vφ) ⇒ ∀v(ϕ ∨ φ)
∀vϕ ∨ ∀vφ
∀v(ϕ ∨ φ)
(∃vϕ ∨ ∃vφ) ⇒ ∃v(ϕ ∨ φ)
∃vϕ ∨ ∃vφ
∃v(ϕ ∨ φ)
∃v(ϕ ∨ φ) ⇒ (∃vϕ ∨ ∃vφ)
∃v(ϕ ∨ φ)
∃vϕ ∨ ∃vφ
Kwantyfikatory a spójnik równoważnosci
∀v(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀vϕ ⇔ ∀vφ)
∀v(ϕ ⇔ φ)
∀vϕ ⇔ ∀vφ
∀v(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃vϕ ⇔ ∃vφ)
∀v(ϕ ⇔ φ)
∃vϕ ⇔ ∃vφ
3.3. DEDUKCJA NATURALNA
3.3
339
Dedukcja naturalna
Opisany w poprzednim rozdziale sposób dowodzenia pozwala w skończonej
liczbie kroków dowieść każdego twierdzenia logiki predykatów. Choć dla
celów teoretycznych, dla badań logiki predykatów jest to wystarczające, to
dla celów praktycznych, dla korzystania z rachunku predykatów jest mało
intuicyjne. Stąd też tworzone są rachunki predykatów, które by tej wady
były pozbawione, które by były zgodne z naturalnym sposobem dowodzenia.
Należą do nich systemy dedukcji naturalnej15 .
Jeden z systemów dedukcji naturalnej to metoda dowodów założeniowych.
Dowód założeniowy jest ciągiem formuł. Te formuły to wiersze dowodowe. O tym, w jaki sposób buduje się dowód, mówią reguły tworzenia dowodu. Od tych reguł należy odróżnić reguły dołączania nowych
wierszy dowodowych.
3.3.1
Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych
Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych mówią o zasadach dołączania nowych wierszy do dowodu założeniowego.
Jeśli reguła oparta jest o schemat:
Φ0
Φ1
.
.
.
Φn
Ψ
to wówczas gdy w dowodzie występują jako wiersze dowodowe formuły, dla
których schematami są: Φ0 , Φ1 , . . . , Φn , jako kolejny wiersz dowodowy wolno
dopisać formułę o schemacie Ψ.
Reguły dołączania nowych wierszy dowodowych dzieli się na pierwotne
i wtórne. Reguły pierwotne to reguły przyjęte bez dowodu. Regułami
wtórnymi są wszystkie reguły oparte o udowodnione schematy logiczne.
Szczególnym schematem jest schemat, który ma pusty zbiór przesłanek, czyli
nie ma formuł nad kreską. Formułę o takim schemacie, tautologię, możemy
15
Pierwsze systemy dedukcji naturalnej zostały opracowane w latach 1934–35 niezależnie
od siebie przez Stanisława Jaśkowskiego i Gerharda Gentzena.
340
więc bezwarunkowo dopisywać jako wiersz dowodowy w każdym dowodzie
założeniowym.
Reguły pierwotne
(RO) Reguła odrywania:
ϕ⇒φ
ϕ
φ
(DK) Reguła dołączania koniunkcji:
ϕ
φ
ϕ
φ
ϕ∧φ
φ∧ϕ
(OK) Reguła opuszczania koniunkcji:
ϕ∧φ
ϕ∧φ
ϕ
φ
(DA) Reguła dołączania alternatywy:
ϕ
φ
ϕ∨φ
ϕ∨φ
(OA) Reguła opuszczania alternatywy:
ϕ∨φ
¬ϕ
ϕ∨φ
¬φ
φ
ϕ
(DE) Reguła dołączania równoważności:
ϕ⇒φ
φ⇒ϕ
ϕ⇒φ
φ⇒ϕ
ϕ⇔φ
φ⇔ϕ
(OE) Reguła opuszczania równoważności:
ϕ⇔φ
ϕ⇔φ
ϕ⇒φ
φ⇒ϕ
341
(D∀) Reguła dołączania dużego kwantyfikatora:
Niech na Z składają się wszystkie i tylko te założenia, które są użyte do
dowodu ϕ.
Z
ϕ
∀vϕ
jeśli zmienna v nie występuje jako zmienna wolna w żadnej formule
w Z.
(O∀) Reguła opuszczania dużego kwantyfikatora:
∀vϕ
ϕ(v/t)
jeśli term t jest podstawialny w miejsce zmiennej wolnej v
(D∃) Reguła dołączania małego kwantyfikatora:
ϕ
∃vϕ(t/v)
jeśli zmienna v jest podstawialna w miejsce termu t
(O∃) Reguła opuszczania małego kwantyfikatora:
Niech w formule ϕ(v0 . . .vi . . .vn ) wszystkimi zmiennymi wolnymi będą
v0 . . .vi . . .vn .
∃vi ϕ(v0 . . .vi . . .vn )
ϕ(vi /v0 v1 ...vi−1 vi+1 ...vn )
gdzie cv0 v1 ...vi−1 vi+1 ...vn
jest stałą, która nie wystąpiła w dowodzie. Jej określenie wymaga ustalenia,
jakie stałe występują w miejscach v0 , v1 , . . ., vi−1 , vi+1 , . . ., vn
Stosując tę regułę należy zwrócić uwagę na to, aby na oznaczenie stałej
użyć symbolu, który nie został już użyty w danym dowodzie.
342
3.3.2
Reguły tworzenia dowodu założeniowego
Reguły tworzenia dowodu założeniowego wprost
Mając do udowodnienia:
ϕ 1 , . . . , ϕn ` φ
1. (a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1 , . . . , ϕn . Są to założenia dowodu wprost.
(b) kolejne wiersze dowodowe dopisuje się stosując reguły dołączania
nowych wierszy dowodowych,
(c) dowód kończy się, gdy jako wiersz dowodowy uzyskuje się formułę
φ.
2. jeśli φ jest formułą ψ1 ⇒ (ψ2 ⇒ (· · · ⇒ (ψn ⇒ χ) . . . )), to
(a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły:
ϕ 1 , . . . , ϕn
oraz
ψ1 , ψ2 , . . . , ψn .
Są to założenia dowodu wprost.
(c) dowód kończy się, gdy jako wiersz dowodowy uzyskuje się formułę
χ.
Reguły tworzenie dowodu założeniowego niewprost
Mając do udowodnienia:
ϕ 1 , . . . , ϕn ` φ
1. (a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1 , . . . , ϕn oraz ¬φ. Są
to założenia dowodu niewprost.
(c) dowód kończy się, gdy otrzymuje się dwa wiersze dowodowe, z których jeden to formuła ς, a drugi to formuła ¬ς.
2. jeśli φ jest formułą ψ1 ⇒ (ψ2 ⇒ (· · · ⇒ (ψn ⇒ χ) . . . )), to
343
(a) jako wiersze dowodowe bierze się formuły: ϕ1 , . . . , ϕn , ψ1 , ψ2 , . . . ,
ψn oraz ¬χ. Są to założenia dowodu niewprost.
(c) dowód kończy się, gdy otrzymuje się dwa wiersze dowodowe, z których jeden to formuła ς, a drugi to formuła ¬ς.
Dowodzenie założeniowe
Obok wierszy dowodowych zaznacza się, czy zostały one przyjęte jako założenia, czy na podstawie reguł. W tym ostatnim wypadku zaznacza się użytą
regułę i wiersze dowodowe, do których została zastosowana. Stosowane będą
następujące skróty:
zał.
— założenie
z.d.n.
— założenie dowodu niewprost
sprzecz. — sprzeczność
W logice dowodzi się, że wnioskowanie jest dedukcyjne wtedy i tylko
wtedy, gdy ma dowód założeniowy.
Trudność praktyczną stwarzać mogą dowody w wypadku, gdy brak wierszy «nad kreską», a więc gdy mamy dowieść:
`φ
a φ nie jest implikacją, np. α ∨ ¬α, ∀v(ψ ⇒ ψ). Ograniczając się opisanych
reguł tworzenia dowodu musimy przeprowadzać dowód niewprost. Przykłady
takich wypadków są podane poniżej.
Przykład 3.6. Sylogizm warunkowy
p⇒q
q⇒r
p⇒r
Dowód wprost:
1.
2.
3.
4.
5.
p⇒q
q⇒r
p
q
r
zał.
zał.
zał.
(RO; 1,3)
(RO;2,4)
344
Przykład 3.7. Zasada podwójnej negacji (z.p.n.)
¬¬p
p
Dowód niewprost:
1.
2.
¬¬p
zał.
¬p
z.d.n.
sprzecz. (1,2)
Przykład 3.8. Modus tollens
p⇒q
¬q
¬p
Dowód niewprost:
1.
2.
3.
4.
5.
p⇒q
¬q
¬¬p
p
q
sprzecz.
zał.
zał.
z.d.n.
(r.p.n.;3)
(RO;1,4,)
(2,5)
Przykład 3.9. W dowodzie I prawa De Morgana dla rachunku zdań skorzystamy z następujących reguł:
¬(p ∨ q)
¬p
Dowód niewprost:
1.
2.
3.
4.
¬(p ∨ q)
¬¬p
p
p∨q
sprzecz.
zał.
z.d.n.
(r.p.n.;2)
(DA;3)
(1,4)
Przykład 3.10.
¬(p ∨ q)
¬q
Dowód jako analogiczny do poprzedniego pomijamy.
Przykład 3.11. I prawo De Morgana dla rachunku zdań
¬(p ∨ q)
¬p ∧ ¬q
Dowód
1.
2.
3.
4.
¬(p ∨ q)
¬p
¬q
¬p ∧ ¬q
zał.
(4a;1)
(4b;1)
(DK;4)
` p ∨ ¬p
Przykład 3.12. Przestawianie kwantyfikatorów ogólnych
∀x∀yP (x, y)
∀y∀xP (x, y)
Dowód wprost:
1.
2.
3.
4.
5.
∀x∀yP (x, y)
∀yP (x, y)
P (x, y)
∀xP (x, y)
∀y∀xP (x, y)
zał.
(O∀;1)
(O∀;2)
(D∀;3)
(D∀;4)
Przykład 3.13. Przestawianie małych kwantyfikatorów
∃x∃yP (x, y)
∃y∃xP (x, y)
345
346
Dowód wprost:
1.
2.
3.
4.
5.
∃x∃yP (x, y)
∃yP (c1 , y)
P (c1 , c2 )
∃xP (x, c2 )
∃y∃xP (x, y)
zał.
(O∃;1)
(O∃;2)
(D∃;3)
(D∃;4)
Przykład 3.14. Przestawiane dużego i małego kwantyfikatorów
∃x∀yP (x, y)
∀y∃xP (x, y)
Dowód wprost:
1.
2.
3.
4.
5.
∃x∀yP (x, y)
∀yP (c1 , y)
P (c1 , y)
∃xP (x, y)
∀y∃xP (x, y)
zał.
(O∃;1)
(O∀;2)
(D∃;3)
(D∀;4)
Przykład 3.15.
∀x(P (x) ⇒ Q(x))
∃x(P (x) ∧ R(x))
∃x(Q(x) ∧ R(x))
Dowód wprost:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∀x(P (x) ⇒ Q(x))
∃x(P (x) ∧ R(x))
P (c) ∧ R(c)
P (c) ⇒ Q(c)
P (c)
R(c)
Q(c)
Q(c) ∧ R(c)
∃x(Q(x) ∧ R(x)
zał.
zał.
(O∃;2)
(O∀;1)
(O∃;3)
(O∃;3)
(RO; 3,5)
(DK;7,8)
(D∃;8)
Zadania
Zadanie 3.15. Udowodnij metodą założeniową, że następujące wnioskowania
są dedukcyjne:
1.1.
p⇒q
1.2.
(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)
1.3.
p⇒q
r⇒s
p∨r
p⇒q
r⇒q
¬q ∨ ¬s
1.4.
p⇒q
p⇒r
¬q ∨ ¬r
¬p
1.6.
p⇒q
r⇒s
¬p ∨ ¬r
1.7.
p⇔q
(p ∧ r) ⇔ (q ∧ r)
q∨s
1.5.
347
(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)
∃xP (x)
∀xQ(x)
1.8.
∃x(P (x) ∧ Q(x))
1.9.
∀x(P (x) ⇒ Q(x))
∀x¬Q(x)
¬∃xP (x)
∀x[(P (x) ∧ Q(x)) ⇒ R(x)]
∀xP (x)
∃xQ(x)
1.10.
∃xR(x)
∀x[P (x) ⇒ (Q(x) ∨ R(x))]
∀x(P (x) ⇒ ¬Q(x))
∃xP (x)
∃R(x)
Zadanie 3.16. Pokaż przytaczając kontrprzykłady, że następujące wnioskowania nie są dedukcyjne:
2.1.
∀x(P (x) ∨ Q(x))
2.2.
∀xP (x) ∨ ∀xQ(x)
2.3.
∀x∃yP (x, y)
∃y∀xP (x, y)
∃x(P (x) ∧ ∃xQ(x))
∃x(P (x) ∧ Q(x))
2.4.
∀xP (x) ⇒ ∀xQ(x)
∀x(P (x) ⇒ Q(x))
Zadanie 3.17. Oceń poprawność następującego rozumowania:
W pewnej określonej grupie ludzi:
348
1. większość ma na sobie koszule,
2. Większość ma na nogach buty.
Zatem są tacy, którzy mają koszule i buty.
Czy potrafisz wskazać schemat tego wnioskowania?
Zadanie 3.18. Dylematem jest następujące wnioskowanie:
Kara za przestępstwo wychowuje lub kara za przestępstwo odstrasza.
Jeżeli kara wychowuje, to powinna być wymierzona.
Jeżeli kara odstrasza, to powinna być wymierzona.
Kara za przestępstwo powinna być wymierzona.
Gdyby nie uznać pierwszej przesłanki, to nasze wnioskowanie byłoby obciążone błędem fałszywego dylematu.
Zadanie 3.19. Zapisz w języku rachunku kwantyfikatorów i wskaż zdanie
paradoksalne (wewnętrznie sprzeczne).
1. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkich tych, którzy nie golili się sami.
2. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił tylko tych, którzy nie
golili się sami.
3. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkich tych i tylko
tych, którzy nie golili się sami.
3.4
Tablice semantyczne
Metoda dowodów założeniowych jest zgodna z naturalnym sposobem dowodzenia. Intuicja «podpowiada» właśnie taki sposób postępowania. W części
poświęconej sylogistyce dla znajdowania odpowiedzi, czy tryb jest poprawny
stosowana była metoda diagramów Venna. Ponieważ sylogistyka obejmuje
tylko fragment rachunku logicznego, jest to metoda o ograniczonym zakresie zastosowań. Ograniczoność zastosowań cechuje również metodę zerojedynkową — metoda ta stosuje się tylko rachunku zdaniowego. Metoda
dowodów założeniowych stosuje się zarówno do rachunku zdaniowego jak
i rachunku predykatów. Takich uniwersalnych metod jest więcej. W tej części książki zapoznamy się z metodą tablic semantycznych. Metod ta jest
nie tylko uniwersalna ale i intuicyjna a co najważniejsze i co ją wyróżnia od
3.4. TABLICE SEMANTYCZNE
349
metody dowodów założeniowych prostsza, tzn. sprawniej można wykazywać
logiczność schematów.
Podane zostaną reguły budowy pewnych konstrukcji, które są rysunkiem
schematycznym drzewa postawionego pniem do góry. Konstrukcje te będziemy nazywali tablicami semantycznymi. Górę drzewa tworzy jego
korzeń. Na dole są liście. Odcinki łączące korzeń z liśćmi to gałęzie.
Drzewo, które ma więcej niż jedną gałąź, rozdziela się, rozgałęzia. Drzewo
ma tyle gałęzi, ile ma liści. Odcinek powyżej rozgałęzień to pień.
Opisane zostaną reguły dla języka rachunku predykatów. Reguły odnoszące do spójników stosują sie również do języka rachunku zdań. Reguły,
które stosują się do spójników to reguły zdaniowe. Reguły, które odnoszą
się do kwantyfikatorów to reguły kwantyfikatorowe.
Definicja 3.49. Tablica semantyczna to drzewo ze zdaniami. Zdanie
może znajdować się po lewej bądź po prawej stronie gałęzi. Zdania znajdujące się na pniu znajdują się na każdej gałęzi.
Definicja 3.50. Niech ϕ i φ będą różnymi napisami (napis ϕ różni się od
napisu φ miejscem, lecz niekoniecznie kształtem). Zdanie ϕ leży poniżej
zdania φ wtedy i tylko wtedy, gdy od zdania φ można „przejść” do zdania ϕ
poruszając się odcinkami wyłącznie w dół drzewa.
Stosunek leżenia poniżej jest więc tego rodzaju, że jeżeli ϕ leży poniżej φ,
a φ leży poniżej ψ, to ϕ leży poniżej ψ (czyli, stosunek ten jest przechodni).
Definicja 3.51. Gałąź jest sprzeczna (zamknięta) wtedy i tylko wtedy,
gdy po obu stronach, prawej i lewej, odcinków wskazujących stosunek leżenia
poniżej znajduje się jakieś zdanie ϕ, czyli na tej gałęzi po każdej ze jej stron
znajdują się, przynajmniej po jednym, równokształtne napisy.
Fakt, że gałąź jest sprzeczna zaznacza się pisząc kreskę poziomą na końcu
tej gałęzi (na poziomie najniżej leżącego zdania).
Definicja 3.52. Gałąź, która nie jest zamknięta jest otwarta.
Definicja 3.53. Tablica jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięte są wszystkie gałęzie składające się na tę tablicę.
Definicja 3.54. Tablica, która nie jest zamknięta, jest otwarta.
Będziemy mieli reguły, które wymagają tylko dopisania jednego odcinka
pod każdą gałęzią, na której znajduje się badane zdanie; oraz takie, które
wymagają dopisania dwóch odcinków pod każdą gałęzią, na której znajduje
350
się badane zdanie. Te ostatnie reguły powodują rozgałęzienie. Tablica
będzie binarna, tzn. rozgałęzienie dokonuje się na dokładnie dwie gałęzie.
Będziemy mieli reguły jednokrotne i wielokrotne. Reguły jednokrotne
to reguły, które mogą być zastosowane do danego napisu tylko raz. Reguły
wielokrotne to reguły, które będą mogły być stosowane do danego napisu
wielokrotnie.
Metoda tablic semantycznych oparta jest na strategii „z góry do dołu”
— rozpoczynamy od wartości logicznej przypisywanej rozważanemu zdaniu,
dochodząc do wartości logicznych zdań atomowych (liter zdaniowych). Reguły tworzenia tablic semantycznych są regułami analitycznymi — zdaniu
złożonemu przyporządkowują jego części składowe. Zaczynamy zawsze od
spójnika głównego lub — jeżeli jest to zdanie postaci ∀vϕ lub ∃vϕ od kwantyfikatora. Zdanie może być prawdziwe lub nie, czyli mieć wartość v lub f .
W zależności od tego, piszemy je po, odpowiednio, lewej lub prawej stronie
odcinka. Dla każdego spójnika i kwantyfikatora potrzebujemy dwóch reguł:
jedna mówi jak postępować ze zdaniem znajdującym się po lewej, a druga jak
postępować ze zdaniem znajdującym się po prawej stronie gałęzi. Będziemy
więc odróżniali reguły lewostronne (L) i prawostronne (P ). Będziemy mieli
zatem reguły: ¬L, ¬P , ∧L, ∧P , ∨L, ∨P , ⇒ L, ⇒ P , ⇔ L, ⇔ P , ∀L, ∀P ,
∃L, ∃P . Fakt zastosowania reguły — jeżeli jest to reguła jednokrotna — zaznaczać będziemy pisząc przy odpowiednim zdaniu X. W wypadku reguły
wielokrotnej fakt jej zastosowania będzie zaznaczany za pomocą ?. Zdań
zaznaczonych za pomocą X nie bierze się pod uwagę w dalszej konstrukcji drzewa; informacja w nich zawarta została wykorzystana do rozbudowy
drzewa. Zdania oznaczone X to zdania martwe, zdania bez tego zaznaczenia
to zdania żywe.
Definicja 3.55 (tablicy zakończonej). Tablica jest zakończona wtedy
i tylko wtedy, gdy jest (a) zamknięta lub (b) jedynymi żywymi zdaniami na
niej są zdania atomowe (litery zdaniowe).
Konstrukcję tablicy można prowadzić tak długo, aż otrzyma się tablicę
zamkniętą lub gdy jedynymi żywymi zdaniami będą zdania atomowe.
REGUŁY
¬L
¬ϕX
..
.
ϕ
351
Reguła stosuje się do zdania ¬ϕ, znajdującego się po lewej stronie gałęzi.
Ta strona reprezentuje wartość v. Jeśli zdanie ¬ϕ ma wartość v, to jaką
wartość ma ϕ? Oczywiście, ϕ ma wartość f . Zatem piszemy ϕ po prawej
stronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ¬ϕ
(jako napisu).
¬ϕX
¬P
..
.
ϕ
Reguła ta stosuje się do zdania ¬ϕ, znajdującego się po prawej stronie
gałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Jeśli zdanie ¬ϕ ma wartość f , to
jaką wartość ma ϕ? Oczywiście, zdanie ϕ ma wartość v. Zatem piszemy
ϕ po lewej stronie na każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się
poniżej ¬ϕ (jako napisu).
∧L
ϕ ∧ φX
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∧ φ, znajdującego się po lewej stronie
gałęzi. Zdanie ϕ ∧ φ ma wartość v, a więc zarówno ϕ jak i φ mają wartość v.
Oba te zdania, ϕ i φ, piszemy więc jedną pod drugą na przedłużeniu drzewa
po lewej stronie każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ∧ φ (jako
napisu).
ϕ ∧ φX
∧P
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∧ φ, znajdującego się po prawej stronie
gałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Zdanie ϕ ∧ φ ma wartość f , gdy
ϕ ma wartość f lub gdy φ ma wartość f . W celu zapisania tego faktu do
każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej zdania ϕ ∧ φ
352
(jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po prawej stronie na jednej piszemy
ϕ, a na drugiej φ.
∨L
ϕ ∨ φX
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∨ φ, znajdującego się po lewej stronie
gałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem wartość v ma zdanie ϕ lub wartość
v przysługuje zdaniu φ. W celu zapisania tego faktu do każdej już istniejącej
otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ∨ φ (jako napisu), dopisujemy dwie
gałęzie. Po lewej stronie na jednej piszemy ϕ, a na drugiej φ.
ϕ ∨ φX
∨P
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ∨ φ, znajdującego się po prawej stronie
gałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem wartość f przysługuje zdaniu
ϕ i wartość f przysługuje zdaniu φ. Zatem po prawej stronie na każdej
już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ∨ φ (jako napisu),
piszemy jedno pod drugim ϕ i φ.
⇒L
ϕ ⇒ φX
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇒ φ, znajdującego się po lewej stronie
gałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem ϕ ma wartość f lub φ ma wartość v.
Nasze drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej
gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇒ φ (jako napisu), dopisujemy dwie gałęzie.
Po prawej stronie jednej z nich piszemy ϕ, a po lewej stronie drugiej piszemy
φ.
353
ϕ ⇒ φX
⇒P
..
.
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇒ φ, znajdującego się po prawej stronie
gałęzi. Zdanie takie wartość f , zatem ϕ ma wartość v, a φ ma wartość f . Na
każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇒ φ (jako napisu), piszemy
po lewej stronie ϕ, a po prawej φ.
ϕ ⇔ φX
⇔L
..
.
ϕ
φ
ϕ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇔ φ, znajdującego się po lewej stronie
gałęzi. Zdanie takie ma wartość v, zatem wartość v przysługuje zarówno
zdaniu ϕ jak i zdaniu φ lub wartość f mają zdania ϕ i φ. Drzewo będzie
się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej
się poniżej ϕ ⇔ φ (jako napisu), dopisujemy dwie gałęzie. Po lewej stronie
jednej z nich piszemy jedno pod drugim ϕ i φ i tak samo po prawej stronie
drugiej z nich.
ϕ ⇔ φX
⇔P
..
.
ϕ
ϕ
φ
φ
Reguła ta stosuje się do zdania ϕ ⇔ φ, znajdującej się po prawej stronie
gałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem zdaniu ϕ przysługuje wartość v,
a zdaniu φ przysługuje wartość f lub odwrotnie: zdanie ϕ ma wartość f ,
a zdanie φ ma wartość v. Drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej
już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ϕ ⇔ φ (jako napisu),
dopisujemy dwie gałęzie. W wypadku jednej z nich, po lewej stronie piszemy
354
ϕ a po prawej φ, a w wypadku drugiej z nich odwrotnie, po prawej piszemy
ϕ a po lewej φ.
∃L
∃vψ X
..
.
ψ(v/c)
Reguła ∃L stosuje się do zdania ∃vψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.
Zdanie ∃vψ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej stałej c prawdziwe jest zdanie ψ(v/c). Zdanie to zapisujemy po lewej stronie na każdej
gałęzi, na której znajduje się analizowane zdanie ∃vψ. Stała indywiduowa
c musi być stałą, która nie występuje na gałęziach, na których dopisujemy
zdanie ψ(v/c). Do danego zdania regułę ∃L stosujemy tylko raz. Jest to
reguła jednokrotna. Fakt zastosowania ∃L zaznaczamy za pomocą X.
∃vψ ?
∃P
..
.
ψ(v/c)
Reguła ∃P stosuje się do zdania ∃vψ zapisanego po prawej stronie gałęzi. Zdanie ∃vψ nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej
stałej c nie jest prawdziwe ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) piszemy po prawej stronie
każdej gałęzi, na której znajduje się ∃vψ. Stała c jest dowolna. Ponieważ
bez względu na to, jaką weźmiemy stałą c nie jest prawdziwe ψ(v/c), więc
reguła ∃P może być do tego zdania stosowana wielokrotnie. Jest to reguła
wielokrotna. Fakt zastosowania ∃P zaznaczamy za pomocą ?.
∀L
∀vψ ?
..
.
ψ(v/c)
Reguła ∀L stosuje się do zdania ∀vψ zapisanego po lewej stronie gałęzi.
Takie zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej stałej c
prawdziwą jest ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) zapisujemy po lewej stronie każdej
gałęzi, na której znajduje się ∀vψ. Stała c jest dowolna. Ponieważ bez
względu na to, jaką weźmiemy stałą c prawdą jest ψ(v/c), więc regułę ∀L
możemy stosować do tego zdania wielokrotnie. Jest to reguła wielokrotna.
Fakt zastosowania ∀L zaznaczamy pisząc ?.
355
∀vψ X
∀P
..
.
ψ(v/c)
Reguła ∀P stosuje się do zdania ∀vψ zapisanego po prawej stronie gałęzi.
Zdanie takie nie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla przynajmniej
jednej stałej c nie jest prawdziwe ψ(v/c). Zdanie ψ(v/c) piszemy po prawej
stronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∀vψ. Stała c nie może wystąpić wcześniej na żadnej gałęzi, na której dopisujemy ψ(v/c). Regułę ∀P
stosujemy tylko raz. Fakt zastosowania ∀P zaznaczamy za pomocą X.
Reguły dla spójników oraz reguły ∀P i ∃L to reguły niepowtarzalne,
jednokrotne.
Reguły ∀L i ∃P to reguły powtarzalne, wielokrotne.
To, że reguły ∀L i ∃P mogą być wielokrotnie stosowane do tej samego
zdania powoduje, że tam, gdzie z tych reguł korzystamy proces konstrukcji
drzewa nie jest ograniczony.
Podane reguły są tego rodzaju, że stosują się do dwóch dowolnych skończonych zbiorów zdań: jednego zapisanego po lewej, a drugiego zapisanego
po prawej stronie pnia. Konstrukcję uzyskaną dla danych zbiorów zdań nazywamy tablicą semantyczną lub drzewem analitycznym tych zbiorów.
W wypadku, gdy mamy do czynienia tylko ze spójnikami ponieważ reguły dla nich maja charakter analityczny — w wyniku zastosowania reguły
otrzymujemy zdanie/formułę mniej złożoną — liczba zastosowań tych reguł
będzie skończona. Tym samym liczba elementów tablicy otrzymanych w wyniku zastosowania tych reguł będzie skończona. Znaczy to, że zawsze gdy
nie musimy stosować reguł kwantyfikatorowych tablica będzie zakończona,
a tym samym dana będzie odpowiedź na pytanie, czy zdanie jest tezą. Taka
sytuacja ma miejsce w wypadku zdań języka rachunku zdań (zamiast zdań
atomowych mamy litery zdaniowe). Dla dowolnego zdania języka rachunku
zdań znajdujemy odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest tautologią. Oznacza, że rachunek zdań jest rozstrzygalny.
W wypadku, gdy w rozważanym zdaniu występują kwantyfikatory i mogą
być stosowane reguły wielokrotne, proces konstrukcji tablicy może nie mieć
końca.
Rachunek predykatów okazuje się być półrozstrzygalny. Problem jest
półrozstrzygalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje efektywna procedura pozwalająca w skończonej liczbie kroków dać odpowiedź na każde pytanie, jeśli odpowiedź na to pytanie jest pozytywna (lub, symetrycznie, jeśli odpowiedź jest negatywna). Rachunek predykatów jest pełny, a więc każde zdanie
356
prawdziwe ma dowód. Ponieważ każdy dowód jest skończony, zatem w skończonej ilości kroków można uzyskać pozytywną odpowiedź na pytanie, czy
zdanie jest tezą (pod warunkiem, że zdanie jest tezą). Gdyby zdanie nie
było tezą — ponieważ rachunek predykatów jest niesprzeczny — dowodu nie
uzyskamy. Jednak fakt nieuzyskania dowodu po wykonaniu n-kroków nie
przesądza tego, że w kolejnym (n + 1)-kroku dowodu nie uzyskamy, zatem
tylko na podstawie tego, że po pewnej ilości kroków dowodu nie uzyskaliśmy,
nie możemy dawać odpowiedzi negatywnej.
Jeżeli tablica semantyczna jest zamknięta, to analizowane zdanie jest tezą
lub ma miejsce wynikanie, czyli z koniunkcji zdań znajdujących się po lewej
stronie wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronie prawej.
Jeżeli zdanie jest tezą lub ma miejsce wynikanie, czyli z koniunkcji zdań
znajdujących się po lewej stronie wynika alternatywa zdań znajdujących się
po stronie prawej, to istnieje dla nich zamknięta tablica semantyczna. Dla
każdej tezy lub wypadku, gdy z koniunkcji zdań znajdujących się po stronie
lewej wynika alternatywa zdań znajdujących się po stronie prawej, istnieje
więc taki skończony zbiór stałych, dla których tablica jest zamknięta. Jednak
z góry nie potrafimy określić wielkości tego zbioru. Fakt ten jest równoważny
półrozstrzygalności rachunku predykatów.
Jeżeli zdanie nie jest tezą lub z koniunkcji zdań znajdujących sie po lewej
stronie nie wynika alternatywa zdań znajdujących sie po prawej stronie, to
tablica nie musi być skończona.
Fakt, że dla wyrażeń języka rachunku predykatów metoda tablic semantycznych nie ma tej własności, że dla dowolnego zdania tego języka daje
odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest tezą, czy nie, nie przesądza sprawy
rozstrzygalności tego rachunku. Aby tego dowieść należy dowieść, że w ogóle
nie ma żadnej takiej metody. Tak faktycznie jest. Takiej metody nie ma.
Rachunek predykatów jest nierozstrzygalny.
Struktura zdania w języku rachunku zdań i formuły języka rachunku predykatów jednoznacznie wskazuje na to, jaka reguła może być użyta do ich
analizy. W wypadku reguł zdaniowych jednoznacznie określony jest wynik
analizy. Nie jest tak w wypadku reguł ∃L i ∀P oraz ∀L i ∃P . Dla ∃L i ∀P formalnie wykluczone jest użycie niektórych stałych. Zaś dla ∀L i ∃P to, której
stałej użyjemy, nie jest w ogóle wyznaczone przez formalne reguły konstrukcji drzewa. Ta swoboda wyboru stałych wymusza namysł nad tym, jakiej
stałej użyje się. Można bowiem postępować tak, że mimo iż badane zdanie
jest tezą, nie będzie dochodzić do zamknięcia tablicy, choćby po prostu za
każdym krokiem stosując stałą, która jeszcze nie była użyta.
Fakt, że na danym etapie konstrukcji tablica semantyczna tezy nie jest
zamknięta nie przesądza, że w kolejnym kroku to nie nastąpi. Nie wiemy
357
bowiem z góry jak wielka ma być konstrukcja. Ponadto, formalne reguły
konstrukcji umożliwiają tworzenie również dla niektórych tez niekończących
się niezamkniętych tablic. Na przykład, mając po stronie lewej zdanie postaci
∀φ wystarczy ograniczyć się do stosowania tylko reguły ∀L — jest to reguła
wielokrotna, a stałych mamy nieskończenie wiele.
Reguły odnoszące się do poszczególnych spójników i kwantyfikatorów
mogą być stosowane w dowolnej kolejności. Z formalnego punktu widzenia kolejność stosowania reguł nie ma znaczenia, czyli — inaczej mówiąc
— odpowiedź na pytanie, czy dla danych zbiorów zdań — jednego zapisanego po lewej a drugiego zapisanego po prawej stronie pnia — drzewo jest
zamknięte, nie zależy od tego, w jakiej kolejności stosujemy poszczególne reguły. Od ich kolejności zależy jednak kształt drzewa, w szczególności jedne
drzewa mogą być większe (w sensie ilości gałęzi) od innych. Zależy nam na
możliwie najmniejszym drzewie. Uzyskaniu takiego drzewa sprzyja stosowanie reguł o charakterze pragmatycznym, a mianowicie:
• Reguły nierozgałęźne stosujemy przed regułami rozgałęźnymi.
• Reguły jednokrotne stosuje przed regułami wielokrotnymi.
• Stałe powinno dobierać się tak, aby poszczególne gałęzie zamykały się.
Nie ma tu jednak jakieś jednej uniwersalnej reguły, jak należy te stałe
dobierać. Można jednak przyjąć, że należy dążyć do użycia możliwie
najmniej różnych stałych.
Wyniki konstrukcji tablicy semantycznej mogą być następujące:
1. Tablica jest zamknięta; na każdej gałęzi po lewej i prawej stronie występuje jakaś jedno i to samo zdanie, czyli — jak to mówimy — na
każdej gałęzi ma miejsce sprzeczność.
Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunku
predykatów jest: ∀xP (x) ⇒ ∃xP (x), oraz w wypadku pytania, czy
tezą rachunku predykatów jest: ∃x∀yR(x, y) ⇒ ∀y∃xR(x, y).
2. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność,
a ewentualne stosowanie reguł ∀L i ∃P (powtarzalnych) do takiej sprzeczności nie doprowadzi, jak na przykład wówczas, gdy na gałęzi pozostało tylko stosowanie do jakiegoś zdania reguły ∀L albo ∃P i miały
miejsce wszystkie wypadki stosowania tej reguły z użyciem stałych już
wykorzystanych na tej gałęzi.
Sytuacja taka ma miejsce np. w wypadku pytania, czy tezą rachunku
358
predykatów jest: ∃xP (x) ⇒ ∀xP (x), oraz czy tezą rachunku predykatów jest: ∀x∃yR(x, y) ⇒ ∀x∀yR(x, y).
3. Istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność
i brak podstaw, aby twierdzić, że stosowanie reguł ∀L i ∃P w jakimś
momencie nie doprowadzi do sprzeczności.
Podanie w tym wypadku jakiegoś przykładu sprawia kłopot spowodowany tym, że mówimy tu o braku podstaw dla uznania, że stosowanie
reguł nie doprowadzi do sprzeczności. Dlatego też w tym wypadku nie
możemy dać żadnej odpowiedzi. Nie możemy bowiem wykluczyć, że
kolejne zastosowania reguł może takie podstawy stworzyć.
Jako przykład wskażmy pytanie, czy tezą rachunku predykatów jest:
¬{∀x∃yR(x, y) ∧ ∀x¬R(x, x) ∧ ∀x, y, z[R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)]}.
W wypadku 1 twierdzimy, że pytanie o istnienie dowodu danego zdania
z danego zbioru zdań ma odpowiedź pozytywną. W wypadku 2 zaś, że ma
odpowiedź negatywną. Wypadek 3 pozostawia to pytanie nierozstrzygniętym.
Przykład 3.16. PYTANIE
Czy tautologią jest zdanie:
((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))?
TABLICA SEMANTYCZNA
((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))X
(p ∧ (q ∨ r))X
((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))X
(p ∧ q)X
p
(p ∧ r)X
(q ∨ r)X
q
p
r
q
p
q
p
r
ODPOWIEDŹ
Zdanie:
((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))
359
jest tautologią.
Czy możliwa jest taka interpretacja, aby zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwała
wartość f w wypadku, gdy zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) i r przysługuje wartość
v?
Problem ten można w sposób równoważny można sformułować następująco:
(((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))?
Z tego zdania — jako zdania początkowego konstrukcji — po zastosowaniu
właściwych reguł dojdziemy do zdań, które są w treści naszego pytania.
TABLICA SEMANTYCZNA
((p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))X
(p ⇔ ¬(q ⇔ r) ∧ r)X
(¬(p ⇔ q))X
(p ⇔ ¬(q ⇔ r))X
r
(p ⇔ q)X
p
p
p
q
q
p
p
¬(q ⇔ r)
(q ⇔ r)X
¬(q ⇔ r)X
q
q
r
r
p
¬(q ⇔ r)
¬(q ⇔ r)X
q
(q ⇔ r)X
q
r
r
ODPOWIEDŹ
Wykluczona jest interpretacja taka, żeby zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) oraz r
przysługiwała wartość v a zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwała wartość f (lub, co
jest temu równoważne, zdanie:
(((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))
360
jest tautologią).
((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))?
TABLICA SEMANTYCZNA
(p ⇒ q)X
(¬p)X
q
((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))X
(¬p ⇒ ¬q)X
(¬q)X
p
p
q
ODPOWIEDŹ
Zdanie:
((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))
nie jest tautologią. Przyjmuje ono wartość f dla takiej interpretacji, gdy p
przyjmuje wartość f a q wartość v.
Czy prawdą jest, że
∀x(P x ⇒ Qx), ∀xP x ` ∀xQx?
TABLICA SEMANTYCZNA
∀x(P x ⇒ Qx)?
∀xQxX
∀xP x?
(P a ⇒ Qa)X
Qa
Pa
Pa
Qa
ODPOWIEDŹ
Prawdą jest, że: ∀x(P x ⇒ Qx), ∀xP x ` ∀xQx.
Czy prawdą jest, że
∀x(P x ⇒ Qx), ∀xQx ` ∀xP x?
TABLICA SEMANTYCZNA
∀x(P x ⇒ Qx)?
∀xP xX
∀xQx?
(P a ⇒ Qa)X
Qa
Pa
361
362
ODPOWIEDŹ
Nie jest prawdą jest, że: ∀x(P x ⇒ Qx), ∀xQx ` ∀xP x. Tablica nie może
zostać zamknięta. Zauważmy bowiem, że pozostaje tylko stosowanie reguły
∀L do zdania ∀x(P x ⇒ Qx) lub do zdania ∀xQx. Kontynuując konstrukcję
na kolejnych gałęziach dopisywać będziemy po lewej stronie tylko P c ⇒ Qc
i Qc, a po prawej stronie tylko P c, gdzie c jest dowolną stałą.
Przykład 3.21. W pewnym miasteczku był golibroda, który golił wszystkich
i tylko tych, którzy nie golili się sami. Kto golił golibrodę?
Niech dwuargumentowa litera predykatowa: G(. . . , . . . ) znaczy:
. . . goli . . .
Nasze zdanie możemy zapisać:
∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)].
PYTANIE
Czy wewnętrznie sprzeczne jest zdanie:
∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]?
TABLICA SEMANTYCZNA
∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]X
∀y[G(a, y) ⇔ ¬G(y, y)]?
G(a, a) ⇔ ¬G(a, a)X
G(a, a)
G(a, a)
¬G(a, a)X
¬G(a, a)X
G(a, a)
G(a, a)
ODPOWIEDŹ
Zdanie:
∃x∀y[G(x, y) ⇔ ¬G(y, y)]
jest wewnętrznie sprzeczne.
Przykład 3.22. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne16 ?
Wszyscy kochają kochającego.
16
Zob. J. L. Casti, W. DePauli, Gödel. Życie i logika, Warszawa 2003, s. 95.
363
Jerzy nie kocha siebie.
Wobec tego Jerzy nie kocha Marty.
Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem
dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Jerzy; a b niech będzie
skrótem dla: Marta.
Rozważane rozumowanie możemy zatem zapisać:
∀x[∃yK(x, y) ⇒ ∀z K(z, x)], ¬K(a, a) ` ¬K(a, b)
TABLICA SEMANTYCZNA
∀x[∃yK(x, y) ⇒ ∀z K(z, x)]?
¬K(a, b)X
¬K(a, a)X K(a, a)
K(a, b)
∃yK(a, y) ⇒ ∀z K(z, a)X
∃yK(a, y)? ∀z K(z, a)?
K(a, b)
K(a, a)
ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianym
rozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. °
Przykład 3.23. Czy poniższe rozumowanie jest poprawne17 ?
Albo wszyscy kochają, albo niektórzy ludzie nie kochają.
Jeśli wszyscy kochają, to z pewnością Piotr kocha.
Jeśli nie wszyscy kochają, to istnieje co najmniej jedna osoba, która nie
kocha; nazwiemy ją Anią.
Wobec tego, jeśli Ania kocha, to wszyscy kochają.
Niech K . . . , . . . będzie dwuargumentową literą predykatową; skrótem
dla: . . . kocha . . . . Niech a będzie skrótem dla: Piotr; a b niech będzie
skrótem dla: Ania.
Rozważane rozumowanie możemy zapisać:
∀x∃yK(x, y) ∨ ∃x∀y¬K(x, y), ∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃yK(a, y),
¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)] ` ∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y).
Zauważmy, że pierwsze dwie przesłanki są tezami rachunku predykatów.
Możemy je zatem pominąć w konstrukcji tablicy semantycznej. Wystarczy
17
Zob. J. L. Casti, W. DePauli, Gödel. Życie i logika, Warszawa 2003, s. 95.
364
rozważyć tylko poprawność następującego rozumowania:
¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)] ` ∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y).
TABLICA SEMANTYCZNA
¬∀x∃yK(x, y) ⇒ ∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X
∃yK(b, y) ⇒ ∀x∃yK(x, y)X
∃yK(b, y)X ∀x∃yK(x, y)X
K(b, c)
¬∀x∃yK(x, y)X
∀x∃yK(x, y)?
∃yK(d, y)?
∃x∀y[¬K(x, y) ∧ (x = b)]X
∀y[¬K(b, y) ∧ (b = b)]?
∃yK(d, y)X
K(d, e)
K(d, e)
K(d, e)
[¬K(b, y) ∧ (b = b)]X
¬K(bc)X
(b = b)
K(b, c)
ODPOWIEDŹ: Tablica semantyczna jest zamknięta, zatem w omawianym
rozumowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek. °
Rozdział 4
Konceptualizacja, definiowanie,
eksplikacja
The art of ranking things in genera and species is of no small importance and very much assists our judgment as well as our memory.
You know how much it matters in botany, not to mention animals
and other substances, or again moral and notional entities as some
call them. Order largely depends on it, and many good authors
write in such a way that their whole account could be divided and
subdivided according to a procedure related to genera and species.
This helps one not merely to retain things, but also to find them.
And those who have laid out all sorts of notions under certain headings or categories have done something very useful.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
New Essays on Human Understanding
Myślimy pojęciami. Pojęcia są wytworami, wynikiem pojęciowania, inaczej konceptualizacji. Zasób pojęć wyznacza granice naszego myślenia.
Myślenie zyskuje walor intersubiektywnej komunikowalności dzięki językowi.
W języku następuje przyporządkowanie pojęć słowom — ażeby język giętki
powiedział wszystko, co pomyśli głowa. Temu służy definiowanie. Zasób
słów wyznacza granice werbalnego porozumiewania się — o czym nie można
mówić, o tym trzeba milczeć. Coraz lepsze i pełniejsze poznanie jest współzależne od znaczeń wyrażeń, dzięki którym jest intersubiektywnie komunikowalne. I aby odpowiednie dać rzeczy słowo musimy przeprowadzać analizę
znaczeń, czyli eksplikację.
Prawnikowi zależy na jednoznacznym rozumieniu takich nazw jak „kradzież”, przywłaszczenie”; „oszustwo”, „sprzeniewierzenie”. Ostrość tych nazw
jest pożądana dla trafnego nazywania odpowiednich czynów. Nie powinno
365
366
ROZDZIAŁ 4. KONCEPTUALIZACJA, DEFINIOWANIE . . .
być niejasności jak np. rozumieć nazwę „osoba najbliższa” w kontekście
prawa do uchylenia się od składania zeznań. Znajomość zasad tworzenia pojęć, definiowania i eksplikacji może ułatwić pracę w zakresie tworzenia prawa
oraz w jego stosowaniu. Nie tylko nauka i dziedziny praktyczne, ale i życie
codzienne stawia nas przed koniecznością określenia znaczenia wyrażeń.
4.1
Konceptualizacja
Język służy do wypowiadania myśli, a zatem w tym porządku pierwotna
jest myśl, język jest wtórny. Atomy naszej myśli, elementy, z których nasze
myśli są budowane, to pojęcia (po łacinie conceptus). Myślimy o pewnej
rzeczywistości. Nasze myślenie jest aktywne. W wypadku rzeczywistości
pozaempirycznej myślenie w pewnym sensie konstruuje tę rzeczywistość. Na
przykład obiekty matematyczne nie istnieją dla naszego poznania dopóki ich
nie skonstruujemy. Dopóki nie mieliśmy pojęcia zera1 , dopóki nie było go
w poznaniu matematycznym. Rzeczywistość empiryczna dla jej poznania —
również przy założeniu, że jest niezależna od poznania — wymaga pojęć.
Pojęcia tę rzeczywistość jednak tę rzeczywistość jakoś kształtują. Nasze
widzenie świata dokonuje się z perspektywy naszych pojęć. Od tego, jakie
mamy pojęcie ryby «zależy», czy wieloryb jest rybą, czy też nią nie jest.
Rzeczywistość ujmujemy myślą, czyli pojmujemy dzięki pojęciom. Pojęcia
są w tej rzeczywistości «zakotwiczone», mają w niej «fundament».
To, co tu nazywamy konceptualizacją, zwykle określa się jako definicję
realną.
Definicja 4.1. Definicja realna, inaczej konceptualizacja, to charakterystyka przedmiotu lub przedmiotów pewnego rodzaju, którą temu i tylko
temu przedmiotowi lub rodzajowi przedmiotów można przypisać.
Termin „konceptualizacja” wyraźnie odróżnia specyfikę tworzenia pojęć
od operacji językowej, jaką jest definiowanie. Niemniej tam, gdzie to jest uzasadnione obowiązującą konwencją terminologiczną, nie zrezygnujemy z tradycyjnej terminologii używając terminu „definicja”, choć mamy na uwadze
to, co nazwaliśmy konceptualizacją. Utworzenie pojęcia zbiega się ze wskazaniem lub wprowadzeniem do języka odpowiedniego wyrażenia, czyli z definiowaniem. Konceptualizacja nie jest procesem psychicznym i konstruowania
pojęcia nie należy utożsamiać z wyobrażaniem (choć taki proces może jej
towarzyszyć).
1
Pojęcie zera trafiło do średniowiecznej Europy za pośrednictwem Arabów. Wcześniej
znane było w Indiach.
4.1. KONCEPTUALIZACJA
367
Punktem wyjścia konceptualizacji może być sama rzeczywistość. Jej podstawą mogą też być już wytworzone pojęcia. Proces ten w sposób równoległy przebiega na poziomie języka: może być opisany jako wzbogacanie języka
o nowe wyrażenia lub nadanie nowego znaczenia już istniejącym wyrażeniom.
Te zabiegi językowe to definiowanie (nominalne).
4.1.1
Ekstensjonalna i intensjonalna charakterystyka zakresów nazw
Tworzenie pojęć dokonuje się przez tworzenie zbiorów, zakresów nazw.
Zakres nazwy może zostać scharakteryzowany ekstensjonalnie.
Definicja 4.2. Ekstensjonalna charakterystyka zakresu nazwy (zbioru) dokonywana jest przez wymienienie wszystkich i tylko elementów tego
zbioru lub, odpowiednio, podanie wszystkich i tylko desygnatów tej nazwy.
Zakres nazwy „szkoła wyższa w Białymstoku” charakteryzujemy wymieniając wszystkie szkoły wyższe działające w Białymstoku, czyli: Uniwersytet
w Białymstoku, Politechnika Białostocka, Akademia Medyczna w Białymstoku, Akademia Muzyczna im. F. Chopina w Warszawie — Filia w Białymstoku, Akademia Teatralna im. A. Zelwerowicza w Warszawie — Wydział
Sztuki Lalkarskiej w Białymstoku, Wyższa Szkoła Finansów i Zarządzania
w Białymstoku, Wyższa Szkoła Ekonomiczna w Białymstoku, Niepaństwowa
Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Białymstoku, Wyższa Szkoła Kosmetologii, Wyższa Szkoła Administracji Publicznej im. Stanisława Staszica, Wyższa Szkoła Menedżerska Stowarzyszenia Inicjatyw Gospodarczych, Wyższa
Szkoła Gospodarowania Nieruchomościami w Białymstoku, Wyższa Szkoła
Matematyki i Informatyki Użytkowej, Wyższa Szkoła Dziennikarska im. Melchiora Wańkowicza w Warszawie — Wydział Zamiejscowy w Białymstoku,
Nauczycielskie Kolegium Rewalidacji i Resocjalizacji i Wychowania Fizycznego, Wyższa Szkoła Gospodarowania Nieruchomościami — Wydział Zamiejscowy w Białymstoku, Archidiecezjalne Wyższe Seminarium Duchowne
w Białymstoku.
Zakres nazwy może zostać scharakteryzowany intensjonalnie.
Definicja 4.3. Intensjonalnie charakteryzuje się zakres nazwy (zbiór)
przez podanie cechy, która przysługuje wszystkim i tylko desygnatom danej
nazwy lub, odpowiednio, elementom tego zbioru.
Zakres nazwy „liczba parzysta” charakteryzujemy intensjonalnie: „liczba
parzysta to liczba podzielna przez 2”. Podobnie — „pierwszoklasista to uczeń
I klasy szkoły podstawowej”.
368
Jeżeli zakres nazwy jest scharakteryzowany ekstensjonalnie, to istnieje
jego charakterystyka intensjonalna. Nazwę „miasto wojewódzkie” charakteryzujemy ekstensjonalnie wymieniając wszystkie 49 miast polskich, które są
miastami wojewódzkimi. Charakterystyki intensjonalnej możemy dokonać
wskazując na cechę bycia miastem wojewódzkim.
W sytuacjach praktycznych zwykle nie dokonuje się pełnego wyliczenia
wszystkich elementów zakresu. Ograniczamy się do kilku charakterystycznych przedmiotów p 1 , p 2 , . . . , p n , które należą do zakresu nazwy oraz kilku
innych przedmiotów q 1 , q 2 , . . . , q m , które nie należą do zakresu tej nazwy.
Przedmioty te dobieramy tak, aby było możliwe przejście do charakterystyki intensjonalnej. Charakterystykę tę tworzy się jako zespół wszystkich
cech wspólnych przedmiotów p 1 , p 2 , . . . , p n bez tych cech, które są cechami
przedmiotów q 1 , q 2 , . . . , q m , a których przysługiwanie nie jest wykluczone
przez cechy przedmiotów p 1 , p 2 , . . . , p n . Tego rodzaju zabieg określa się
jako definicję ostensywną (lub, deiktyczną)2 .
Charakterystyka zakresu nazwy może być werbalna lub niewerbalna, deiktyczna.
Definicja 4.4. Definicja deiktyczna (ostensywna) to ekstensjonalna
charakterystyka zakresu nazwy.
Wskazanie zakresu nazwy jest zwykłym sposobem postępowania z dziećmi
uczącymi się ojczystego języka. Na pytanie dziecka „co to jest pies?” (dziecko
mówi raczej „piesek”) po prostu pokazuje mu się kilka egzemplarzy tego gatunku i wyprowadza się dziecko z błędu, gdy wskazując na kota mówi, że
to pies. Taki sposób definiowania nie jest też obcy nauce. Szczególnym wypadkiem takiego definiowania jest definicja „metra” jako jednostki długości
wyznaczonej przez wzorzec znajdujący się w Sèvres pod Paryżem3 .
Ekstensjonalna charakterystyka zakresu nazwy może być dokonana na
drodze indukcyjnej. Najogólniej rzecz biorąc można wyróżnić dwa etapy definiowania indukcyjnego. Na pierwszym etapie wylicza się pewne przedmioty,
o których wiadomo, że należą do zakresu lub bierze się zbiór takich przedmiotów. Może to być zbiór skończony albo nieskończony. Następnie podaje
się zasady, według których, biorąc pod uwagę przedmioty już należące do
charakteryzowanego zakresu, dochodzi się do określenia innych przedmiotów z tego zakresu. Ważnym elementem definicji indukcyjnej jest ustalenie,
że charakteryzowany zbiór jest najmniejszym zbiorem, który można w ten
sposób uzyskać.
2
3
Od łacińskiego lub, odpowiednio, greckiego „pokazywać”.
Obecnie tę jednostkę długości definiuje się korzystając z osiągnięć współczesnej fizyki.
Definicja 4.5. Definicja indukcyjna (rekurencyjna)
styka zakresu nazwy poprzez:
369
to charaktery-
1. wskazanie pewnych desygnatów tej nazwy (może to być zbiór skończony lub nieskończony),
2. podanie reguły lub reguł, których zastosowanie do przedmiotów, będących desygnatami tej nazwy jednoznacznie wskazuje przedmiot również
będący jej desygnatem;
3. stwierdzenie, że desygnatami tej nazwy są tylko przedmioty, o których
mówią pkt. 1 i 2.
Warunek 1 to warunek początkowy a warunek 2 to warunek indukcyjny.
W podany sposób możemy scharakteryzować zakres nazwy „liczba naturalna”. Zbiorem danych wyjściowych desygnatów tej nazwy niech będzie
zbiór, którego jedynym elementem jest: |. Następnie przyjmijmy, że jeżeli
σ należy do zakresu nazwy „liczba naturalna”, to σ| należy do tego zakresu.
Zakresem nazwy „liczba naturalna” jest najmniejszy zbiór, który spełnia oba
warunki. Można zauważyć, że ||||| jest elementem charakteryzowanego zakresu, a: ||?||| nie jest4 .
Podobnie charakteryzujemy zakres nazwy „przodek O”. Danymi desygnatami nazwy „przodek O” niech będzie zbiór rodziców O. Reguła indukcyjna
mówi, że jeżeli A należy do zakresu nazwy „przodek O”, to rodzice A należą
do tego zakresu.
Specjalna zasada zwana zasadą ektensjonalności głosi, że zbiory mające te same elementy są sobie równe. Oznacza to między innymi, że zbiór
scharakteryzowany ekstensjonalnie jest równy zbiorowi scharakteryzowanemu
intensjonalnie, jeśli tylko oba te zbiory nie różnią się swoimi elementami. Takie języki, w których równozakresowe nazwy są wymienialne w dowolnych
zdaniach z zachowaniem wartości logicznej tych zdań (salva veritate), to
języki ekstensjonalne. Języki, w których to nie ma miejsca, to języki
4
Definicje indukcyjne pozwalają na drodze wnioskowania określanego jako wnioskowanie przez indukcję (matematyczną) dowodzić własności obiektów spełniających warunki
definicji. Na przykład na to, aby dowieść, że każda liczba naturalna posiada jakąś własność
W wystarczy pokazać, że
1. własność ta przysługuje obiektowi: |
oraz
2. jeżeli przysługuje obiektowi σ, to przysługuje obiektowi: σ|.
Zob. o wnioskowaniu indukcyjnym w niniejszej książce.
370
intensjonalne. W wypadku języka intensjonalnego równość zakresów nazw
nie gwarantuje, że zastąpienie w jakimś zdaniu jednej nazwy przez inną
o takim samym zakresie nie doprowadzi do zmiany wartości logicznej tego
zdania.
Język teorii matematycznych jest językiem ekstensjonalnym: zastąpienie
jakiejś nazwy przez inną o takim samym zakresie nie zmienia wartości logicznej zdania, w którym tego zastąpienia dokonano. Na przykład „kwadrat”
i „prostokąt równoboczny” są nazwami równozakresowymi. Nie znajdziemy
zdania z geometrii, w którym zastąpienie nazwy „kwadrat” przez „prostokąt
równoboczny” lub na odwrót, zdanie prawdziwe przeprowadzałoby w fałszywe (a fałszywe w prawdziwe).
Języki naturalne są językami intensjonalnymi (nie są ekstensjonalne).
Lech Wałęsa i prezydent RP w roku 1994 to jedna i ta sama osoba. Prawdą
jest, że „Lech Wałęsa przeskoczył ogrodzenie Stoczni Gdańskiej”, nie jest
zaś prawdą, że „Prezydent Rzeczpospolitej Polskiej z 1994 r. przeskoczył
ogrodzenie Stoczni Gdańskiej”. Autorem „Ballad i romansów” jest Adam
Mickiewicz, ale nie jest prawdą, że „Ballady i romanse” pisał autor „Dziadów”,
chociaż autor „Dziadów” i Adam Mickiewicz to jedna i ta sama osoba.
Charakterystyka ekstensjonalna zakresu scharakteryzowanego intensjonalnie nie zawsze jest prosta, czasem jest to poważny problem. Problemem
praktycznym jest np. rejestr osób chorych na AIDS. Zakres nazwy „chory
na AIDS” jest scharakteryzowany intensjonalnie. Z powodów praktycznych
zainteresowani jednak jesteśmy jego charakterystyką ekstensjonalną. Każde
równanie matematyczne jest charakterystyką intensjonalną zbioru liczb, które
to równanie spełniają. Rozwiązanie równania nie jest niczym innym jak
charakterystyką ekstensjonalną tego zbioru. W teorii mnogości definiuje się
specjalny operator, operator abstrakcji, który jest znakiem operacji przechodzenia od charakterystyki intensjonalnej do ekstensjonalnej.
Mając zbiory (zakresy nazw) scharakteryzowane ekstensjonalnie lub intensjonalnie możemy „wytwarzać” zbiory (zakresy nazw) poprzez operacje
na tych zbiorach, w szczególności poprzez operacje teoriomnogościowe, jak
np. sumę, iloczyn lub różnicę zbiorów. Tak czysto formalnie można opisać
np. definicję klasyczną. Definicja klasyczna to charakterystyka przedmiotów
pewnego rodzaju poprzez część wspólną zakresów dwóch nazw. Jeden to
zakres pojęcia rodzajowego (genus), a do drugiego należą te i tylko te przedmioty, którym przysługuje pewna cecha, tzw. różnica gatunkowa (differentia specifica). Stąd formuła tej definicji: definitio fit per genus proximum et
differentiam specificam (definicja powstaje za pomocą najbliższego rodzaju
i różnicy gatunkowej).
371
Definicja 4.6. Definicja klasyczna to charakterystyka przedmiotów pewnego rodzaju jako elementów zbioru będącego częścią wspólną zakresów
dwóch nazw. Zakres pierwszej z nazw to zakres pojęcia rodzajowego,
a zakres drugiej określa tzw. różnicę gatunkową.
W definicji „Człowiek to zwierzę rozumne” pojęciem rodzajowym jest
pojęcie zwierzęcia, a różnica gatunkowa to cecha rozumności. Zbiór ludzi
jest częścią wspólną (iloczynem) zbioru zwierząt i zbioru istot rozumnych5 .
4.1.2
Podział logiczny i klasyfikacja
Procedura tworzenia pojęć za punkt wyjścia może brać zakres jednej nazwy
i na nim jako zbiorze dokonywać pewnych operacji. Takim zabiegiem jest
podział logiczny zakresu nazwy.
W teorii mnogości dopuszcza się możliwość nieskończenie wielu członów
podziału. Niech BT będzie rodziną zbiorów. Rodzina ta jest podziałem
logicznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy:
Definicja 4.7. Podział logiczny zakresu nazwy A to klasa zakresów nazw
B1 , B2 , . . . , Bn podrzędnych względem A takich, że
1. każda z nazw B1 , B2 , . . . , Bn jest niepusta, czyli ma przynajmniej jeden
desygnat (warunek niepustości podziału);
2. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem przynajmniej jednej z nazw
B1 , B2 , . . . , Bn (warunek zupełności podziału).
3. każdy desygnat nazwy A jest desygnatem co najwyżej jednej z nazw
B1 , B2 , . . . , Bn (warunek rozłączności podziału)6
5
Takie definicje pozostają w związku z dwuczłonowymi nazwami składającymi się z nazwy rodzajowej, np. „Homo” — „człowiek” i epitetu gatunkowego „sapiens” — „rozumny”.
Ich rozpowszechnienie zawdzięczamy Linneuszowi (1707–1778). Rozwinął on koncepcję
dwuczłonowych nazw roślin, która jest dziełem Kaspra Bauhina (1560–1624).
6
W teorii mnogości dopuszcza się możliwość nieskończenie wielu członów podziału.
Niech BT będzie rodziną zbiorów. Rodzina ta jest podziałem logicznym zbioru A wtedy
i tylko wtedy, gdy:
(a) ∀t∈T Bt 6= ∅,
S
(b) t∈T Bt = A,
(c) ∀t1 ,
t2 ∈T (t1
6= t2 ⇒ Bt1 ∩ Bt2 = ∅).
372
Definicja 4.8. Niech klasa zakresów nazw B1 , B2 , . . . , Bn będzie podziałem
logicznym zakresu nazwy A. Zakres nazwy A jest to zakres dzielony (totum divisionis) tego podziału, a zakresy nazw B1 , B2 , . . . , Bn są członami
podziału (membra divisionis).
Na przykład podział nazw języka polskiego na (1) proste i (2) złożone,
spełnia wszystkie warunki poprawnego podziału logicznego. Nazwą, której
zakres dzielimy, jest nazwa „nazwa języka polskiego”. Człony podziału są
zakresami nazw: „prosta nazwa języka polskiego”, „złożona nazwa języka
polskiego”.
Warunku niepustości nie spełnia podział trójkątów na: (1) takie, które
nie mają żadnego kąta prostego, (2) takie, które mają dokładnie jeden kąt
prosty, i (3) takie, które mają dokładnie dwa kąty proste. Z geometrii wiadomo, że nie ma trójkątów, które miałyby dwa kąty proste. Warunku niepustości nie spełnia podział koni na czteronożne i dwunożne. Od strony czysto
praktycznej zauważmy, że nie prowadzi się kartoteki, w której pewien dział
(podkartoteka) będzie pusty. Ktoś, kto pracuje na komputerze, nie tworzy
pustej podkartoteki (jeśli nie ma być ona choćby tylko czasowo wypełniana).
Prowadzący ewidencję towarów w hurtowni nie będzie tworzył działu w kartotece towarów sprzedawanych przez hurtownię dla rodzaju towarów, których
ta hurtownia nigdy nie sprzedaje.
Warunku zupełności nie spełnia podział trójkątów na: (1) prostokątne,
i (2) równoboczne. Istnieją bowiem trójkąty, które nie są ani prostokątne,
ani równoboczne. Warunku tego nie spełnia też podział wędlin na szynki
i kiełbasy podsuszane.
Warunek rozłączności naruszony jest, gdy dzielimy zbiór trójkątów na:
(1) prostokątne, (2) takie, które mają dokładnie dwa kąty ostre, i (3) takie, które mają trzy kąty ostre. Jest tak, ponieważ wszystkie trójkąty mają
przynajmniej dwa kąty ostre, w szczególności wszystkie trójkąty prostokątne
mają jeden kąt prosty i dwa kąty ostre. Warunku tego nie spełnia też podział gospodarstw na rolnicze, ogrodnicze i sadownicze. Źródłem problemów
z rozłącznością podziału logicznego jest nieostrość nazw, których zakresami
są człony podziału. Jeśli nie uczynimy ostrymi nazw „dowód osobowy” i „dowód rzeczowy (nieosobowy)” to podział dowodów w postępowaniu procesowym nie będzie spełniał warunku rozłączności.
Podział jest (powinien być) dokonywany według jakiejś jednej zasady.
Definicja 4.9. Zasada podziału (fundamentum divisionis) to reguła, według której przedmioty ze zbioru dzielonego są elementami poszczególnych
członów podziału.
373
W szczególności zasadę tę może stanowić posiadanie lub nieposiadanie
pewnej cechy przez przedmiot. Zakres dzielony jest wówczas na dwa zbiory:
elementami jednego zbioru są przedmioty, które daną cechę posiadają, a elementami drugiego zbioru są przedmioty, które tej cechy nie posiadają. Na
przykład meble możemy dzielić na: (1) te, które są zrobione z litego drewna,
i (2) te, które nie są zrobione z litego drewna.
Definicja 4.10. Podział dychotomiczny to podział, którego jednym członem są wszystkie i tylko te przedmioty z zakresu dzielonego, które posiadają
pewną cechę c i którego drugim członem są wszystkie i tylko te przedmioty
z zakresu dzielonego, które cechy c nie posiadają.
Cechy c i nie-c to cechy kontradyktoryczne.
Zauważmy, że podział dychotomiczny spełnia zawsze warunki rozłączności i zupełności podziału. Spełnienie warunku niepustości wymaga, aby
brana pod uwagę cecha przysługiwała jakimś przedmiotom, ale nie przysługiwała wszystkim przedmiotom zakresu dzielonego. W wypadku tego podziału jeden z członów podziału jest zakresem nazwy prywatywnej, a drugi
jest zakresem nazwy nieprywatywnej. Zadania praktyczne wymagają jednak
zwykle innego podziału niż dychotomiczny.
W wypadku podziału dychotomicznego zakres dzielony jest na dwa człony.
Podział wieloczłonowym to podział, który ma więcej niż dwa człony.
W zależności od zasady podziału mówimy o podziale genetycznym, strukturalnym, funkcjonalnym.
Dokonanie podziału logicznego według jednej zasady jest ważne. W wypadku gdyby tak nie było, podział może nie spełniać warunku rozłączności
lub zupełności. Na przykład podział trójkątów na trójkąty prostokątne (rodzaj kątów) i na trójkąty równoramienne (rodzaj boków) nie spełnia warunków rozłączności i zupełności. Podział tworzy się według odmian jednej cechy
ogólnej. Ta cecha to determinanda, jej odmiany to determinanty. Buty
możemy dzielić według rodzaju osób, dla których są przeznaczone (determinanda). Mogą to być buty dziecięce, damskie i męskie (są to determinanty).
Wyszczególnione trzy warunki poprawnego podziału logicznego: niepustości, rozłączności i zupełności mają charakter formalny.
Definicja 4.11. Formalnie poprawny podział logiczny to podział, który
jest niepusty, rozłączny i zupełny.
Jasne jest, że podział musi mieć jakiś cel. Możemy więc mówić o nieformalnych warunkach poprawności podziału.
Definicja 4.12. Pragmatycznie poprawny podział logiczny to podział, który służy jakimś celom teoretycznym lub praktycznym.
374
Nie jest celowy, jak się zdaje, podział komputerów ze względu na kolor obudowy, celowy jest zaś podział ze względu na monitor: kolorowy lub
czarno-biały. Kolor wykładziny podłogowej ma znaczenie i może stanowić
zasadę podziału tych wyrobów. Dla botanika ważnym i płodnym podziałem jest podział roślin kwiatowych na nago- i nienagonasienne. Nie jest zaś
użyteczny podział na te, które podobają się i te, które nie podobają się Zosi.
Podział logiczny jest pragmatycznie poprawny, gdy jest naturalny. Naturalny podział logiczny to podział dokonany według takiej zasady podziału odwołującej się do cech, że przedmioty znajdujące się w jednym członie podziału mają wiele cech wspólnych. Ponadto zasada ta podporządkowana jest celowi podziału. Podział, który nie jest naturalny to podział
sztuczny. Podział książek w bibliotece według ich formatu jest podziałem sztucznym. Taki zaś podział książek w pakowni może być przydatny
i naturalny.
Każdy człon podziału sam może podlegać podziałowi. Zakres nazwy
„samochód” może zostać podzielony według marek samochodów: Mercedes,
BMW, Opel, Peugeot, Renault itd. Następnie możemy dzielić marki według
typów. Podobnie czyny ludzkie możemy podzielić na zakazane przez prawo
(np. napad rabunkowy) i na nie zakazane przez prawo. Czyny nie zakazane
przez prawo możemy podzielić na czyny nakazane przez prawo (np. obowiązek służby wojskowej) i na czyny nie nakazane przez prawo (np. podjęcie
studiów prawniczych). Taki zwielokrotniony podział, gdy człony jednego
podziału podlegają dalszemu podziałowi, to klasyfikacja.
Zwielokrotnienie podziału prowadzi do coraz nowych nazw (zbiorów jako
ich zakresów). Nazwy (zbiory) te mogą być porównywane ze względu na to,
w wyniku którego kolejnego podziału zostały otrzymane. Podamy definicję
indukcyjną nazw (zbiorów) współrzędnych.
Definicja 4.13 (Nazwy współrzędne ze względu na podział).
1. Nazwy, których zakresami są człony podziału to nazwy współrzędne.
2. Jeżeli nazwy n1 i n2 są współrzędne, to współrzędne są nazwy otrzymane w wyniku podziału zakresów nazw n1 i n2 .
3. Nie ma innych nazw współrzędnych niż te, których współrzędność daje
się stwierdzić zgodnie z pkt.1 i 2.
Zamiast mówić o nazwach współrzędnych możemy mówić o zbiorach
współrzędnych jako ich zakresach. Podział studentów według rocznika studiów wyznacza jako nazwy współrzędne: „student I roku studiów”, „student
375
II roku studiów” itd. Współrzędne będą również nazwy otrzymane ze zwielokrotnienia tego podziału przez podział na otrzymujących i nieotrzymujących stypendium, czyli współrzędne są nazwy: „student I roku otrzymujący
stypendium”, „student I roku nieotrzymujący stypendium”, „student II roku
otrzymujący stypendium”, „student II roku nieotrzymujący stypendium” itd.
Klasyfikacja przedmiotów pewnego rodzaju (zakresu nazwy) to zwielokrotniony (wielostopniowy) podział logiczny, w którym zbiorami dzielonymi
są zbiór przedmiotów pewnego rodzaju, człony podziału tego zbioru i ewentualnie człony kolejnych podziałów logicznych.
Pojęcie n-stopniowej klasyfikacji definiowane jest indukcyjnie.
Definicja 4.14 (N -stopniowej klasyfikacji zakresu nazwy U).
1. Jednostopniową (1-stopniową) klasyfikacją zakresu nazwy U jest podział logiczny zakresu nazwy U.
2. Podział logiczny (niekoniecznie wszystkich) zakresów nazw współrzędnych otrzymanych w wyniku klasyfikacji k-stopniowej jest (k + 1)stopnia klasyfikacją zakresu nazwy U.
3. Nie ma innych klasyfikacji n-tego stopnia niż te, które tworzone są
zgodnie z pkt. 1 i 2.
Dobrze napisany tekst jest podzielony na rozdziały, te zaś są podzielone
na podrozdziały itd. Klasyfikacja tekstu może być opisana za pomocą symboli liczbowych. Poszczególne człony są tego samego rzędu jeśli ich opis
liczbowy jest tyle samo członowy. Szeroko znana jest klasyfikacja świata
roślinnego7 i zwierzęcego, która dała podstawę dla systematyki roślin i zwierząt.
Wielkim odkryciem naukowym dokonanym przez Mendelejewa był układ
okresowy pierwiastków. Jest to klasyfikacja pierwiastków oparta o budowę
atomową. Pierwiastki w poszczególnych członach podziału mają wiele wspólnych istotnych własności, o których mówi prawo okresowości.
Klasyfikacja ma wymiar wiedzotwórczy. Obejmując wszystkie przedmioty z dziedziny rozważań porządkuje wiedzę poprzez prawa rządzące przedmiotami z poszczególnych członów podziału a także, będąc oparta na naturalnych własnościach przedmiotów ułatwia pozyskanie nowej wiedzy.
Definicja 4.15. Systematyka to praktyczne przyporządkowanie przedmiotów pewnego rodzaju członom podziału w klasyfikacji tych przedmiotów.
7
Pierwszą klasyfikację roślin opracował w 1737 r. szwedzki przyrodnik Karol Lineusz.
376
Klasyfikacja jest zabiegiem czysto teoretycznym. Człony składających
się na nią podziałów mogą być scharakteryzowane (intensjonalnie) przez cechy przedmiotów (które do nich należą). Dla potrzeb praktycznych niezbędna jest odpowiedź, do których członów podziału należą poszczególne
przedmioty, czyli potrzebna jest charakterystyka ekstensjonalna poszczególnych członów podziału. Jest to zadanie systematyki. Systematyka określa
miejsce poszczególnych przedmiotów w członach klasyfikacji (w której ta systematyka ma swoją podstawę teoretyczną). Na przykład botanik systematyk
po określeniu cech rośliny wskazuje jej miejsce w klasyfikacji roślin.
Z problemami dokonania poprawnego podziału logicznego, klasyfikacji
i systematyki spotykamy się na co dzień. Może to być sprawa uporządkowania książek w domowej biblioteczce lub ułożenia odzieży w szafach. Mamy
problem z wygodnym i prostym uporządkowaniem zbiorów na dysku komputerowym. Problemy z podziałem ma hurtownik i sprzedawca. Po dokonaniu
podziału (jako abstrakcyjnego zabiegu myślowego) podejmujemy decyzje w
sprawie poszczególnych przedmiotów, gdzie jest ich miejsce.
Prawnik jako kodyfikator musi dokonać poprawnego podziału kwestii regulowanych w ustawie. Nie jest sprawą prostą podział logiczny przepisów
w kodeksie. Ustawa winna być przejrzysta, czyli poszczególne kwestie nie powinny być regulowane przez przepisy z różnych jej działów (warunek rozłączności podziału). Ustawa winna regulować wszystkie zagadnienia z zakresu,
który obejmuje, czyli winna być kompletna, niczego nie pomijać (warunek
zupełności podziału logicznego). Podział powinien być dokonany według zasady naturalnej. Sztuczny podział tworzyłby dużą przeszkodę z rozumieniu
i stosowaniu ustawy.
Od podziału logicznego należy odróżnić podział fizyczny.
4.1.3
Partycja
Podział logiczny to podział zbioru w sensie dystrybutywnym. Jeśli zbiór
ten jest zakresem nazwy N , to wszystkie jego elementy są desygnatami tej
nazwy. Inaczej jest w wypadku zbioru w sensie kolektywnym. O elementach
takiego zbioru mówimy, że są częściami tego zbioru. Otóż jeśli zbiór w sensie kolektywnym jest desygnatem nazwy N , to żaden jego element-część nie
jest desygnatem tej nazwy. Podział zbioru w sensie kolektywnym należy odróżnić od podziału zbioru w sensie dystrybutywnym. Każdy element zbioru
żołnierzy jest żołnierzem. Zbiór ten jest bowiem zbiorem w sensie dystrybutywnym. Pułk dzielony jest np. na bataliony, a te na kompanie. Żadna część
pułku nie jest pułkiem. Pułk jest zbiorem w sensie kolektywnym. Podobnie
zbiorem w sensie kolektywnym jest batalion i kompania. Terytorium państwa
377
dzielone jest na województwa, a te na gminy. Gminy to części województw
i państwa. Województwa to części państwa. Żadna część województwa nie
jest województwem. Żadna część gminy nie jest gminą.
Definicja 4.16. Partycja (podział mereologiczny) przedmiotu to wyróżnianie jego części.
Podział terytorialny jest partycją8 , a nie podziałem w sensie logicznym.
Nazwy „województwo” i „gmina” mają rozłączne zakresy. Gmina jest częścią
województwa, a nie elementem zakresu nazwy „województwo”. Podział stołu
na jego części składowe to także partycja. Noga od stołu jest częścią stołu
i nie należy do zakresu nazwy „stół” (bo nie jest stołem). Z problemem partycji mamy do czynienia w wypadku nazw zbiorowych, a więc tych, których
desygnaty są konglomeratami, przedmiotami złożonymi. Konceptualizacja
w wypadku tworzenia pojęcia przez partycję uwzględnia całość, której częścią
jest obiekt, pojęcie którego tworzymy. Na przykład ministerstwo będziemy
opisywać jako część składową rządu. Podobnie gminę opisujemy jako część
powiatu, ten jako część województwa a województwo jako część kraju.
Podział może m.in. być przestrzenny: dyspozycja i szeregowanie lub
czasowy: periodyzacja.
Człony podziału są policzalne — charakteryzowane mogą być przez liczbę
elementów. Części podziału merologicznego charakteryzowane mogą być jakąś miarą wielkości. Na przykład w wypadku podziału terytorialnego kraju
części tego podziału mogą być charakteryzowane przez ilość hektarów, jakie
zajmuje ich obszar.
Można wskazać następujące warunki poprawności logicznej partycji.
Niech U będzie przedmiotem dzielonym merologicznie na przedmioty:
C1 , C2 , . . . Cn . Podział jest poprawny jeśli:
1. każda z części C1 , C2 , . . . Cn ma wielkość
— niepustość podziału merologicznego (partycji),
2. przedmioty C1 , C2 , . . . Cn nie mają części wspólnej
— rozłączność podziału merologicznego (partycji),
3. nie ma takiej części przedmiotu U, która nie byłaby częścią któregoś
z przedmiotów przedmiotów C1 , C2 , . . . Cn
— zupełność podziału merologicznego (partycji).
Podane warunki są warunkami koniecznymi poprawności podziału merologicznego. Uznać je można również za warunki wystarczające.
8
Od greckiego słowa oznaczającego bryłę.
378
Podane warunki poprawności podziału merologicznego spełnia podział
terytorialny kraju na województwa.
Części przedmiotu, który podlega podziałowi merologicznemu same mogą
podlegać dalszej partycji (podziałowi merologicznemu). W wypadku podziału kraju województwa dzielone są na powiaty a te na gminy. Możemy
mówić tu o trzystopniowym podziale merologicznym kraju. Stopień podziału
mierzymy biorąc pod uwagę stopień przedmiotu jako wyniku partycji. Przedmiot wyjściowy bierzemy jako przedmiot stopnia 0. Jeśli przedmiot jest
przedmiotem k-tego stopnia, to części wyróżnione z niego przez kolejną partycję będą stopnia (k + 1).
4.1.4
Definicja przez abstrakcję
Pewnym sposobem konceptualizacji metodą podziału logicznego jest definicja przez abstrakcję.
Przypomnijmy, że relacja równoważności to relacja zwrotna, symetryczna
i przechodnia, a pole relacji to zbiór wszystkich przedmiotów, które mogą
pozostawać w tej relacji.
Definicja 4.17. Klasą abstrakcji relacji równoważności R wyznaczoną przez przedmiot p jest zbiór [p]R wszystkich i tylko tych przedmiotów, które pozostają w relacji R z przedmiotem p.
Relacja bycia z tego samego rocznika jest w zbiorze ludzi relacją równoważności. Klasą abstrakcji tej relacji wyznaczona przez Jana, który urodził
się w 2006 r. jest zbiór wszystkich i tylko tych ludzi, którzy urodzili się
w 2006 r. Rocznik to klasa abstrakcji tej relacji.
Zasada abstrakcji głosi, że zbiór wszystkich klas abstrakcji wyznaczonych przez elementy pola relacji równoważności jest podziałem logicznym
pola tej relacji. Zauważmy, że każda klasa abstrakcji jest niepusta. Przynajmniej jeden przedmiot do niej należy, mianowicie przedmiot, który ją
wyznacza — ponieważ relacja równoważności jest zwrotna. Spełniony jest
warunek zupełności. Każdy element pola relacji równoważności wyznacza
jakąś klasę abstrakcji. Ze zwrotności tej relacji zaś wynika, że każdy element
należy do tej klasy, którą wyznacza. Pokazanie, że spełniony jest warunek
rozłączności, czyli warunek, że przedmioty należące do pola relacji równoważności należą do co najwyżej jednej klasy abstrakcji, wymaga skorzystania
z faktu, że relacja równoważności jest symetryczna i przechodnia.
Można pokazać również, że jeżeli mamy jakiś podział logiczny zbioru,
to relacja R taka, że dwa przedmioty z tego zbioru pozostają w relacji R
wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego członu podziału, jest relacją
379
równoważności. Ponadto dowodzi się, że klasy abstrakcji tej relacji są równe
członom tego podziału logicznego.
Klasy abstrakcji relacji równoważności charakteryzują w sposób jednoznaczny przedmioty pewnego rodzaju. Mogą więc być wykorzystane w konceptualizacji.
Definicja 4.18. Definicja przez abstrakcję to charakterystyka przedmiotów pewnego rodzaju jako klasy abstrakcji wyznaczonej przez pewien
przedmiot z pola określonej relacji równoważności.
Pasterz liczył swoje owce dokonując nacięć na kiju: tyle było nacięć, ile
było owiec. Dziecko na paluszkach pokazuje, ile ma cukierków: tyle, ile pokazuje paluszków. Tak liczyli też pierwotni ludzie. Ta procedura liczenia
opiera się na relacji równoliczności, czyli relacji, która elementom jednego
zbioru przyporządkowuje dokładnie jeden element drugiego zbioru i odwrotnie. Inaczej, elementom jednego zbioru w sposób wzajemnie jednoznaczny
przyporządkowuje elementy drugiego zbioru. Na przykład elementom zbioru
palców lub nacięć na kiju wzajemnie jednoznacznie przyporządkowuje elementy zbioru liczonego.
Relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważności.
Każdy zbiór jest równoliczny z samym sobą. Dla każdego zbioru istnieje bowiem funkcja, która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje
ten zbiór na siebie, a mianowicie: x = f (x). Spełniony jest więc warunek
zwrotności.
Symetryczność wynika z faktu, że jeżeli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, to istnieje funkcja f , która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór A na zbiór B :
f : A → B.
Funkcja odwrotna do f , czyli funkcja f −1 : B → A zdefiniowana następująco:
x = f −1 (y) wtedy i tylko wtedy, gdy y = f (x),
w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór B na zbiór A, zatem
zbiór B jest równoliczny ze zbiorem A.
Przechodniość wynika z tego, że jeżeli A jest równoliczne z B, a B równoliczne z C, to istnieje funkcja f : A → B, która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór A na zbiór B i istnieje funkcja f1 : B → C, która
w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór B na zbiór C. Funkcja
f2 taka, że
f2 (x) = f1 (f (x))
380
jest funkcją, która w sposób wzajemnie jednoznaczny odwzorowuje zbiór A
na zbiór C. Relacja równoliczności dzieli klasę zbiorów na podklasy zbiorów
równolicznych.
Można przyjąć, że pojęcia liczb zostały ukształtowane na drodze abstrakcji, czyli odrzucenia wszystkiego, co różniło zbiory równoliczne. Zostało to,
co było wspólne: liczba. Wyrażając się bardziej technicznie: liczba to klasa
abstrakcji relacji równoliczności. Na przykład liczba 3 to klasa abstrakcji
relacji równoliczności wyznaczona przez zbiór trójelementowy.
Innym przykładem tworzenia pojęć na drodze definicji przez abstrakcję
jest definiowanie kolorów. Relacja równobarwności jest relacją równoważności. Tworzy się klasy abstrakcji tej relacji. Kolor to klasa abstrakcji relacji
równobarwności. Kształt zaś to klasa abstrakcji relacji równokształtności.
Biorąc relację równoczesności zdarzeń definiuje się moment czasowy jako
klasę abstrakcji tej relacji9 .
4.1.5
Pojęcia porządkujące i typologiczne
Problem pojęcia czasu, o którym była wyżej mowa, nie zamyka się na pojęciu momentu czasowego. Chcemy czas mierzyć. Podobnie chcemy mierzyć
jakość wyrobów, chcemy znać stopień zainteresowania konsumentów jakimś
produktem lub usługą. Pojęć tych nie da się zdefiniować korzystając tylko
z relacji równoważności, potrzebne są jeszcze relacje porządkujące. W konceptualizacji, najogólniej rzecz biorąc, można wykorzystywać konstrukcje,
struktury złożone ze zbiorów i z różnych relacji. Takie struktury — struktury relacyjne — opisuje się jako układy hZ1 , . . . Zm , R1 , . . . , Rn i, gdzie Zi
to zbiór, a Rj to relacja, której członami są elementy zbiorów Zi , 0 ≤ i ≤ n.
Definicja 4.19. Relacja W jest relacją wyprzedzania związaną z relacją równoważności R wtedy i tylko wtedy, gdy relacja W jest:
1. przechodnia,
czyli dla każdego x, y, z: jeśli xWy i yWz, to xWz;
2. R-owo przeciwsymetryczna,
czyli dla każdego x, y: jeśli xRy, to nie−(yWx);
3. R-owo spójna,
czyli dla każdego x, y: jeśli nie−(xRy), to (xWy lub yWx).
9
Okazuje się, że relacja równoczesności jest relacją równoważności w wypadku czasu
klasycznego. W wypadku czasu relatywistycznego ta relacja nie spełnia warunku przechodniości. W związku z tym rozważa się inną możliwość definiowania momentu czasowego
(i innych pojęć abstrakcyjnych) niż jako klasy abstrakcji relacji równoważności.
381
Zauważmy, że warunek 2 wyklucza możliwość, by przedmioty równoważne ze względu na R były w stosunku wyprzedzania W. Warunek 3
gwarantuje zaś, że dowolne dwa przedmioty nie będące równoważnymi ze
względu na R, są ze sobą porównywalne ze względu na stosunek wyprzedzania W.
Pojęcia porządkujące tworzymy biorąc relację równoważności i związaną
z nią relację wyprzedzania.
Definicja 4.20. Pojęcie porządkujące (nazwa porządkująca) definiowane jest przez strukturę hZ, R, Wi, gdzie Z jest zbiorem, R relacją równoważności, a W związaną z nią relacją wyprzedzania. Polem relacji R i W
jest zbiór Z.
Po wprowadzeniu do zbioru zdarzeń relacji równoczesności można było
zdefiniować moment czasowy. Aby zdefiniować czas, do zbioru zdarzeń oprócz
relacji równoczesności trzeba dołączyć związaną z nią relację wcześniej-później,
W-P.
Relacja równoczesności jest relacją równoważności. Relacja W-P w zbiorze zdarzeń rozumianych w sensie fizyki klasycznej jest relacją przechodnią
— spełniony jest więc warunek 1. Jest też R-owo przeciwsymetryczna: jeżeli
dwa zdarzenia są równoczesne, to nie pozostają w relacji wcześniej-później
— spełniony jest więc warunek 2. Relacja wcześniej-później jest w zbiorze
zdarzeń R-owo spójna: z dowolnych dwóch nierównoczesnych zdarzeń jedno
jest wcześniejsze od drugiego — tym samym spełniony jest warunek 3. Tak
opisany czas daje się mierzyć.
Czas jest strukturą złożoną ze zbioru zdarzeń oraz dwóch relacji określonych na tym zbiorze: hT , R, W-Pi, gdzie T jest zbiorem zdarzeń, R — jest
relacją równoczesności, a W-P jest związaną z R relacją wcześniej-później.
Podobnie możemy zdefiniować jakość produktu. Tym razem bierzemy
zbiór wyrobów pewnego rodzaju, relację równej jakości oraz związaną z nią
relację bycia lepszej jakości.
Tego rodzaju pojęciami jak czas i jakość produktu są też pojęcia twardości minerałów, siły wiatru w skali Beauforta, ilorazu inteligencji.
Pozostaje problem skali pomiaru. Inna będzie ona w wypadku czasu —
mogą to być pewne liczby ze zbioru liczb rzeczywistych. W wypadku jakości,
jeśli wprowadza się liczby, zwykle jest to kilka liczb porządkowych, np. jakość
pierwsza, jakość druga. Problem pomiaru jest przedmiotem teorii pomiaru.
W ekonomii, naukach społecznych i humanistyce, oprócz pojęć porządkujących wyżej omówionego rodzaju — nazwiemy je pojęciami porządkującymi
jednowymiarowymi — używamy pojęć porządkujących wielowymiarowych.
382
Chcę ocenić pracownika. Ocenę tę przeprowadzam nie według stopnia nasilenia jednej cechy, lecz kilku ważnych ze względu na rodzaj zatrudnienia
tego pracownika. Mogą to być np. przezorność, pracowitość, solidność finansowa. Mam wystawić studentowi ocenę. Uwzględniam wiele aspektów,
cech ocenianej pracy. Gdyby wziąć pod uwagę stopień nasilenia tylko jednej cechy, to mielibyśmy pojęcie porządkujące jednowymiarowe. Ważne jest
jednak uwzględnienie pozostałych.
Definicja 4.21. Pojęcie porządkujące n-wymiarowe (nazwa porządkująca n-wymiarowa) to pojęcie definiowane przez strukturę:
hZ, R1 , . . . , Rn , W1 , . . . , Wn i,
gdzie Wi jest relacją wyprzedzania związaną z relacją równoważności Ri ,
1 ≤ i ≤ n, a polem wszystkich relacji R1 , . . . , Rn , W1 , . . . , Wn jest zbiór Z.
Strukturę definiującą pojęcie porządkujące n-wymiarowe tworzą relacje
równości pod względem nasilenia pewnej cechy oraz towarzyszące im relacje
wyprzedzania pod względem nasilenia tej cechy. Pojęcie porządkujące nwymiarowe jest jakby zlepkiem pojęć porządkujących jednowymiarowych.
W wypadku pojęć porządkujących wielowymiarowych komplikuje się sprawa pomiaru rozumianego jako odwzorowanie na skali uporządkowanej liniowo. Niezbędne jest wówczas sprowadzenie pojęcia porządkującego wielowymiarowego do pojęcia porządkującego jednowymiarowego. Mamy z tym
do czynienia w sytuacjach praktycznych, np. gdy chcemy z grona pracowników wybrać najlepszego, gdy wystawiamy studentowi ocenę (musimy wybrać
jedną z kilku na skali liczbowej).
Pojęcia porządkujące dają podstawę do utworzenia pojęć typologicznych.
Pojęciami typologicznymi są pojęcia ustroju demokratycznego, systemu wolnorynkowego, jazzu, baroku, mody, urody.
Pojęcia typologiczne charakteryzują się tym, że odnoszą do tych przedmiotów, które posiadają w wystarczającym stopniu cechy ujęte w pojęciutypie. Powiemy o kimś, że jest człowiekiem racjonalnym, jeśli ten ktoś posiada w wystarczającym stopniu cechy, które uważamy za istotne dla człowieka racjonalnego. Przedmiot, który posiadałby je w pełni, byłby typem
człowieka racjonalnego. Typy pojęć tworzone mogą być w różny sposób.
Definicja 4.22. Typ krańcowy polega na wzięciu pod uwagę maksymalnego nasilenia cech branych pod uwagę i minimalnego nasilenia tych cech
(jeśli cechy dają się porównywać).
383
Typy krańcowe otrzymują nazwy. Na przykład „ustrój demokratyczny”
— „ustrój totalitarny”; „gospodarka wolnorynkowa” — „gospodarka centralnie planowana”.
Definicja 4.23. Typ modalny tworzony jest przez branie pod uwagę tych
wszystkich cech, które przysługują większości przedmiotów.
Definicja 4.24. Zakresem typu przeciętnego jest zbiór wszystkich przedmiotów, którym brane pod uwagę cechy przysługują w stopniu przeciętnym.
Wyróżnione wyżej typy dają podstawę dla tworzenia typów mieszanych.
Warto tu zauważyć, że może się zdarzyć, iż realnie nie istnieje żaden
przedmiot, który byłby przedmiotem typowym. Mówimy wówczas, że jest
to typ idealny. Gdy istnieje co najmniej jeden przedmiot-typ, to mówimy
o typie empirycznym. Na rewię mody można spojrzeć jako na prezentację
typów empirycznych strojów modnych w sezonie.
Definicja 4.25. Pojęcie typologiczne (nazwa typologiczna) definiowane jest przez pojęcie-typ i stopień nasilenia cech składających się na
pojęcie-typ.
To, jakie ma być nasilenie cech, składających się na pojęcie-typ w nauce
jest precyzowane; w życiu codziennym kierujemy się w tej sprawie intuicją.
Definicja 4.26. Pojęcie klasyfikujące (nazwa klasyfikująca) to pojęcie
określone przez zbiór, którego elementami są te i tylko te przedmioty, do
których to pojęcie się odnosi.
Dla pojęć klasyfikujących charakterystyczne jest to, że dzielą, klasyfikują zbiór wszystkich przedmiotów dziedziny rozważań na te, które są ich
desygnatami i te, które nie są ich desygnatami. Można je opisać jako pojęcia porządkujące, których strukturę tworzy relacja równoważności dzieląca
zbiór przedmiotów na dwie klasy — jedną tworzą desygnaty pojęcia, drugą
przedmioty nie będące jego desygnatami — i pusta relacja W (żaden przedmiot nie pozostaje z drugim w relacji wyprzedzania W ze względu na relację
równoważności R).
Zakresem nazw ostrych jest zbiór w zwykłym sensie (zbiór klasyfikujący).
Nazwy typologiczne są nieostre. Ich zakresy nie są zbiorami w zwykłym
sensie.
Podział logiczny zakresu nazwy jest wyznaczany przez klasę pojęć klasyfikujących. Podobnie, mając na uwadze pojęcia typologiczne można mówić
o podziale typologicznym.
384
Definicja 4.27. Podziałem typologicznym zakresu nazwy N jest klasa
N1 , N2 , . . . nazw typologicznych wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:
1. każda z nazw N1 , N2 , . . . jest niepusta
— warunek niepustości,
2. dla każdych dwóch nazw Ni , Nj ; i 6= j, istnieje przynajmniej jeden
desygnat nazwy N , który jest desygnatem dokładnie jednej z nazw
N i , Nj
— osłabiony warunek rozłączności,
3. każdy desygnat nazwy N jest desygnatem przynajmniej jednej z nazw
N 1 , N2 , . . .
— warunek zupełności.
Definicje podziału logicznego i podziału typologicznego różnią się warunkiem 2, osłabionym warunkiem rozłączności. Osłabiony warunek rozłączności ma zagwarantować to, że żaden z członów podziału nie jest podrzędny
względem innego. Warunek ten mógłby być inaczej sformułowany, np. w wypadku nazw typologicznych wyznaczonych przez typy empiryczne mógłby to
być warunek:
4. Zbiory przedmiotów wyznaczających typy empiryczne są parami rozłączne.
Warunek ten ograniczony do typów empirycznych nie różni się więc sformułowaniem od warunku rozłączności podziału logicznego.
Warunek 2, osłabiony warunek rozłączności, winien być tak sformułowany, aby podział logiczny był podziałem typologicznym.
Mając pojęcie podziału typologicznego możemy wprowadzić pojęcie klasyfikacji typologicznej, jako zwielokrotnionego podziału typologicznego.
Pojęcie n-stopniowej klasyfikacji typologicznej definiowane jest indukcyjnie.
Definicja 4.28 (N -stopniowej klasyfikacji typologicznej zbioru U).
1. Jednostopniową klasyfikacją typologiczną zakresu nazwy U jest podział
typologiczny zakresu tej nazwy.
2. Podział typologiczny (niekoniecznie wszystkich) zakresów współrzędnych nazw typologicznych10 otrzymanych w wyniku typologicznej kla10
Definicja nazw współrzędnych dla podziału typologicznego nie różni się od definicji
dla podziału logicznego. Oczywiście, w każdym wypadku mamy na uwadze odpowiedni
podział: typologiczny lub logiczny.
4.2. DEFINIOWANIE
385
syfikacji k-stopniowej jest (k + 1)-stopnia typologiczną klasyfikacją zakresu nazwy U.
3. Nie ma innych typologicznych klasyfikacji n-tego stopnia niż te, które
tworzone są zgodnie z pkt. 1 i 2.
Pojęcie klasyfikacji typologicznej jest takie, że klasyfikacja jest klasyfikacją typologiczną. Ponieważ podział logiczny jest podziałem typologicznym,
więc tworzące klasyfikację typologiczną wielokrotne podziały jedne mogą być
podziałami logicznymi a inne typologicznymi (w sensie węższym).
4.2
Definiowanie
Procedura tworzenia pojęć opisywana jest w języku. To sprzężenie konceptualizacji z językiem daje ścisły jej związek z definiowaniem (w sensie właściwym). Mówiąc teraz o definiowaniu będziemy mieli na uwadze określanie
znaczenia wyrażeń, czyli definicje to definicje nominalne11 .
Definicja 4.29. Definiowanie to operacja językowa prowadząca do wzbogacenia języka o nowe wyrażenie i sposób jego rozumienia lub tylko o nowy
sposób rozumienia jakiegoś wyrażenia (już istniejącego w języku). Znaczenie
wyrażenia definiowanego podaje definicja (nominalna).
Definicje mogą się różnić budową, zakresem wypełnienia swojej roli, sposobem definiowania, sposobem zapisania, rodzajem zadań. Definiowanie ma
swoje ograniczenia. Warunki poprawności definicji zależą od jej rodzaju.
4.2.1
Budowa definicji
Definicja zasadniczo składa się z członu zawierającego definiowane wyrażenie (definiendum) i członu definiującego (definiens) połączonych spójnikiem definicyjnym (copula).
W definicji: „kwadrat jest to prostokąt równoboczny” wyraz „kwadrat”
to definiendum, wyrażenie „prostokąt równoboczny” — definiens, spójnikiem
definicyjnym jest „ jest to”. „Jest to” jest tu użyte dla stwierdzenia równości
zakresów definiendum i definiensa. W definicji rodzeństwa: „dwie osoby
są rodzeństwem wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólnego ojca lub
wspólna matkę” wyrażenie „dwie osoby są rodzeństwem” to definiendum,
„wtedy i tylko wtedy, gdy” to spójnik definicyjny a „mają one wspólnego
ojca lub wspólna matkę” to definiens.
11
Od łacińskiego nomen — nazwa.
386
W wypadku ogólnym definiendum może składać się tylko z wyrażenia
definiowanego lub może być zbudowane nie tylko z wyrażenia definiowanego.
Spójnik definiujący zaś może być użyty nie tylko dla stwierdzenia równości zakresów definiendum i definiensa. Może być tak, że spójnik ten służy
do stwierdzenia zawierania się zakresu definiendum w zakresie definiensa,
albo odwrotnie — zakresu definiensa w zakresie definiendum. W wypadku,
gdy definiendum i definiens są zdaniami, spójnik definicyjny może służyć
do stwierdzenia równoważności tych zdań, albo do stwierdzenia zachodzenia stosunku implikacji bądź z definiendum w roli poprzednika i definiensem
w roli następnika, bądź odwrotnie — z definiensem w roli poprzednika i definiendum w roli następnika.
4.2.2
Podział definicji ze względu na pełność
W wypadku, gdy nazwa N1 jest nadrzędna względem nazwy N2 , każdy desygnat nazwy N2 jest desygnatem nazwy N1 . A zatem na to, aby dany
przedmiot był desygnatem nazwy N2 konieczne jest, aby był desygnatem
nazwy N1 . To jednak nie wystarcza. Są bowiem desygnaty N1 , które nie są
desygnatami N2 .
W wypadku, gdy nazwa N1 jest podrzędna względem nazwy N2 , każdy
desygnat nazwy N1 jest desygnatem nazwy N2 . A więc na to, aby dany
przedmiot był desygnatem nazwy N2 wystarcza, aby był desygnatem nazwy
N1 . To jednak nie jest konieczne. Są bowiem desygnaty N2 , które nie są
desygnatami N1 .
W wypadku, gdy nazwy N1 i N2 są równozakresowe, to na to, aby przedmiot był desygnatem nazwy N1 potrzeba i wystarcza, aby był on desygnatem
nazwy N2 .
Może się zdarzyć, że nazwa nie daje się zdefiniować poprzez wskazanie
nazwy, która ma to samo znaczenie. Możemy jednak częściowo zdefiniować
tę nazwę wskazując nazwę względem niej nadrzędną lub nazwę względem
niej podrzędną. W pierwszym wypadku powiemy, że zdefiniowaliśmy tę nazwę tylko poprzez warunek konieczny, a w drugim wypadku powiemy, że
zdefiniowaliśmy ją tylko poprzez warunek wystarczający.
W wypadku definiowania tylko poprzez warunek konieczny, zakres nazwy
definiowanej będzie węższy niż zakres nazwy, za pomocą której definiujemy.
W wypadku definiowania tylko poprzez warunek wystarczający, zakres nazwy definiowanej będzie szerszy niż zakres nazwy, za pomocą której definiujemy. W wypadku definiowania poprzez warunek konieczny i wystarczający,
zakres nazwy definiowanej jest równy zakresowi nazwy, za pomocą której
definiujemy. W tym wypadku powiemy, że definicja jest adekwatna.
4.2. DEFINIOWANIE
387
Powiedzmy, że ktoś nie potrafi dokładnie powiedzieć, co znaczy wyraz
„ssak”. Ten ktoś może powiedzieć, że ssaki są kręgowcami. Definiuje więc
wyraz „ssak” poprzez warunek konieczny. Zakres definiowanej nazwy „ssak”
jest węższy niż zakres nazwy „kręgowiec”, za pomocą której definiuje się.
Może być tak, że koniunkcja kilku warunków koniecznych tworzy warunek wystarczający. Wówczas ta koniunkcja warunków koniecznych jest
warunkiem koniecznym i wystarczającym. W wypadku definicji nazwy, nazwa ta zostaje zdefiniowana poprzez nazwę z nią równozakresową. Warunkiem koniecznym bycia kwadratem jest bycie prostokątem. Warunkiem koniecznym jest też posiadanie wszystkich boków równych. Oba te warunki
łącznie tworzą warunek konieczny i wystarczający — kwadrat to prostokąt
równoboczny. Nazwa „prostokąt równoboczny” adekwatnie definiuje wyraz
„kwadrat”.
Nazwę „obywatel polski” można zdefiniować poprzez warunek wystarczający: jest to ktoś, kogo rodzice są obywatelami polskimi i kto nie utracił
prawa do obywatelstwa polskiego. Nazwa „obywatel polski” została tu zdefiniowana tylko poprzez warunek wystarczający. Zakres nazwy „obywatel
polski” jest szerszy niż zakres nazwy „ktoś, kogo rodzice są obywatelami polskimi i kto nie utracił prawa do obywatelstwa polskiego”.
Może być tak, że alternatywa kilku warunków wystarczających tworzy
warunek konieczny. W wypadku, gdy mamy do czynienia z nazwą, możemy
ją wówczas zdefiniować poprzez nazwę z nią równozakresową. Na to np., aby
być obywatelem polskim wystarczy urodzić się w rodzinie obywateli polskich
i nie utracić prawa do obywatelstwa polskiego. Również wystarczy uzyskać
pozytywną decyzję władz polskich na wniosek o przyznanie obywatelstwa
polskiego. Alternatywa obu warunków wystarczających jest warunkiem koniecznym i wystarczającym. Nazwa „ktoś, kogo rodzice są obywatelami polskimi i kto nie utracił prawa do obywatelstwa polskiego lub ktoś, kto uzyskał
pozytywną decyzję władz polskich na wniosek o przyznanie obywatelstwa
polskiego” adekwatnie definiuje wyrażenie „obywatel polski”.
W wypadku definicji, która adekwatnie definiuje A jako B, wyrażenie B
w każdym miejscu, w którym występuje w zdaniu Z, może zostać zastąpione
przez A i na odwrót, wyrażenie A może zostać zastąpione przez B, a wartość
logiczna każdego w ten sposób uzyskanego zdania będzie taka sama jak wartość logiczna zdania Z. Znaczy to, że zastąpienie wyrażenia definiującego
przez wyrażenie definiowane i na odwrót dokonane jest salva veritate. Wyraz
„kwadrat” jest adekwatnie definiowany jako „prostokąt równoboczny”, zatem
zdania różniące się tylko wystąpieniami na tych samych miejscach jednego
z tych wyrażeń nie różnią się wartościami logicznymi.
Definicje dzielimy na normalne (pełne) i cząstkowe.
388
Definicja 4.30. Definicja normalna (pełna) określa znaczenie definiowanego wyrażenia poprzez warunek konieczny i wystarczający (adekwatnie).
Definicja 4.31. Definicja cząstkowa określa znaczenie definiowanego wyrażenia poprzez warunek konieczny lub poprzez warunek wystarczający i warunki, poprzez które określa, nie tworzą łącznie warunku koniecznego i wystarczającego.
Definicja „urzędnicy urzędów wojewódzkich są urzędnikami państwowymi”
może być cząstkową definicją wyrażenia „urzędnik państwowy”. Definicja ta
określa znaczenie wyrażenia „urzędnik państwowy” poprzez warunek wystarczający i nie jest to warunek konieczny.
Definicja „urzędnik państwowy jest urzędnikiem” może być cząstkową
definicją wyrażenia „urzędnik państwowy”. Definicja ta określa znaczenie
wyrażenia „urzędnik państwowy” poprzez warunek konieczny i nie jest to
warunek wystarczający.
Z punktu widzenia roli definicji pożądane są definicje normalne (pełne).
Nie zawsze jest jednak możliwe podanie takiej definicji i z konieczności musimy się zadowolić definicją cząstkową. Powody mogą być rzeczowe. Style
w sztuce zwykle definiowane są cząstkowo; podawany jest warunek wystarczający. „Środowisko naturalne” lub „obszar ekologicznie czysty” mogą być
definiowane cząstkowo poprzez warunki konieczne. Mogą też być powody
subiektywne podania definicji cząstkowej. Na przykład nie mam wystarczającej wiedzy o maklerach. Na pytanie „kto to jest makler?” mogę tylko
podać definicję cząstkową: „makler to osoba zawodowo związana z giełdą”.
Nie każda osoba związana zawodowo z giełdą jest maklerem; podana definicja
cząstkowa dostarcza tylko warunku koniecznego.
Do definicji cząstkowej w szczególności poprzez warunek konieczny odnosiłoby się zalecenie logiki tradycyjnej, aby nie definiować przez zaprzeczanie
(definitio non sit pure negativa), bo w definicji chodzi o to, co dane słowo
znaczy, a nie o to, co nie znaczy. Tego zalecenia nie realizują np. definicje:
„kolor czerwony to kolor, który nie jest czarny, który nie jest zielony, który
nie jest biały”, „klaret — wino, które nie jest słodkie i które nie jest ani białe,
ani czerwone”.
Czasem jednak jesteśmy skazani na taki «negatywny» sposób definiowania. Ciemność definiuje się jako brak światła. Łysy to ktoś nie mający
włosów. Biedny to ktoś kto nie posiada wystarczających środków materialnych dla zaspokojenia podstawowych potrzeb w społeczności, w której żyje.
4.2. DEFINIOWANIE
4.2.3
389
Podział definicji ze względu na sposób definiowania
Definicja 4.32. Definicja wyraźna to definicja, której definiendum zawiera tylko wyrażenie definiowane.
Definicją wyraźną jest więc: „Kwadrat to prostokąt równoboczny”.
Definicja 4.33. Definicja kontekstowa to definicja, której definiendum
oprócz wyrażenia definiowanego zawiera jeszcze inne wyrażenia.
Spójnik „ani nie . . . , ani nie . . . ” możemy zdefiniować następująco: „(ani
nie α, ani nie β) wtedy i tylko wtedy, gdy (nie-α i nie-β)”. Kontekstowa
jest definicja „dziadka”: „A jest dziadkiem B wtedy i tylko wtedy, gdy A jest
ojcem matki B lub jest ojcem ojca B”.
Warunkiem poprawności definicji jest, aby definiens zawierał tylko wyrażenia o określonych znaczeniach, a więc definiens jest (powinien być) zbudowany z wcześniej zdefiniowanych wyrażeń. Jeżeli chcemy, aby znaczenia
wszystkich używanych wyrażeń były określone, aby wyrażenia te były zdefiniowane — takie wymaganie stawiają np. matematycy — to grozi nam
regresus in infinitum (cofanie się w nieskończoność). Uniknięcie regresus in
infinitum jest jednak możliwe, gdy będzie się dysponować i takimi sposobami
określania znaczenia, które nie wymagają odwoływania się do znaczeń już
zdefiniowanych wyrażeń. Do takiej roli nadaje się definicja w uwikłaniu.
Definicja 4.34. Zdanie „Z” jest postulatem wtedy i tylko wtedy, gdy
w zdaniu tym występuje jeden lub więcej terminów — są to terminy pierwotne tego postulatu — co do których zakłada się, że należy je tak i tylko
tak rozumieć, aby zdanie „Z” było prawdziwe.
Pojęcie postulatu zobrazować można najprościej na przykładzie równania, np.: x + 1 = 3. «Terminem pierwotnym» jest x. «Postulat» wyznacza
jego «znaczenie»: x = 2.
Definicja 4.35. Definicja w uwikłaniu (definicja aksjomatyczna, definicja przez postulaty) jednego lub więcej terminów to układ postulatów,
zawierających te terminy jako terminy pierwotne. Są to terminy zdefiniowane w uwikłaniu.
Matematycy, i nie tylko matematycy, budują systemy aksjomatyczne.
Najstarszy jest system geometrii Euklidesa. Aksjomaty są postulatami, które
definiują znaczenia terminów pierwotnych aksjomatyzowanej teorii. Jej pozostałe terminy są już definiowane za ich pomocą.
390
Definiowanie w uwikłaniu daje się zastosować wszędzie tam, gdzie istnieje potrzeba określenia znaczenia pewnych terminów, a z jakichś powodów trudno podać inną definicję. Najogólniej o definiowaniu przez postulaty
mówimy wówczas, gdy podajemy (typowe) konteksty, w których występuje
definiowany termin, przyjmując, że termin ten należy tak rozumieć, aby
wszystkie podane konteksty były prawdziwe.
Na podstawie tekstu:
Towary docierają na rynek przez kanały dystrybucji. Przechodząc przez kanały dystrybucji towary podlegają szeregowi czynności, które zwiększają ich wartość. W krajach rozwiniętych powszechnie wykorzystuje się pośredników, a typowe kanały dystrybucji składają się z trzech podstawowych czynności: produkcji,
handlu hurtowego i handlu detalicznego.
możemy określić (częściowo) znaczenie terminu „kanał dystrybucji”. Tekst
ten może więc pełnić rolę definicji kontekstowej tego terminu. Ktoś, kto
nie wie, co znaczy termin „kanał dystrybucji”, po zapoznaniu się z tym tekstem — przyjmując, że termin ten należy rozumieć tak, aby wszystkie zdania
tekstu były prawdziwe — będzie (częściowo) wiedział, co to jest kanał dystrybucji. Dla określania znaczenia słowa użytego w tekście może więc być
zastosowana metoda filologiczna12 . Wymaga ona w zasadzie dwóch założeń:
1. wyrażenie, którego znaczenie określa się, ma w branym pod uwagę
tekście dokładnie jedno znaczenie;
2. wszystkie zdania tego tekstu są prawdziwe.
4.2.4
Podział definicji ze względu na stylizację
Definicja może być różnie wypowiedziana. Definiendum i definiens mogą
być użyte w różnych supozycjach.
Wyrażenie definiowane i człon definiujący mogą być użyte w supozycji
naturalnej, jak w wypadku definicji „Dom jest to budynek mieszkalny”. Tak
wysłowiona definicja to definicja w stylizacji przedmiotowej.
Definicja 4.36. Definicja w stylizacji przedmiotowej to definicja, w której definiendum i definiens są użyte w supozycji naturalnej.
12
Zob. sposoby opisu znaczeń explicandum.
4.2. DEFINIOWANIE
391
Niewątpliwie jest to najprostszy sposób wypowiedzenia definicji. W sposobie sformułowania nie różni się od twierdzeń i tym samym może nie być
jasne, czy mamy do czynienia z definicją, czy z twierdzeniem. Jak bowiem
odróżnić, które ze zdań jest definicją, a które jest twierdzeniem: „Kwadrat to
prostokąt równoboczny”, „Kwadrat to czworobok równoboczny prostokątny”.
Wówczas, gdy nie jest jasne, że mamy do czynienia z definicją, należy wypowiedzieć ją w innej stylizacji umożliwiającej konstatację tego faktu.
Wyrażenie definiowane może być wzięte w supozycji materialnej, a człon
definiujący może być wypowiedziany w supozycji naturalnej. Tak wysłowiona definicja to definicja w stylizacji semantycznej.
Definicja 4.37. Definicja w stylizacji semantycznej to definicja, w której wyrażenie definiowane jest użyte w supozycji materialnej, a definiens jest
wyrażeniem użytym w supozycji naturalnej.
Przykładem takiej definicji jest: „Wyraz ‘dom’ oznacza budynek mieszkalny”. Definicja w stylizacji semantycznej różni się od definicji w stylizacji
przedmiotowej sposobem wypowiedzenia definiendum. W stylizacji semantycznej definiendum wypowiadane jest w supozycji materialnej, a w stylizacji
przedmiotowej w supozycji naturalnej.
W supozycji materialnej może być wysłowione nie tylko wyrażenie definiowane, ale także człon definiujący (definiens). Możemy powiedzieć:
Wyraz ‘dom’ znaczy to samo, co wyrażenie ‘budynek mieszkalny’.
Taka definicja to definicja w stylizacji słownikowej.
Definicja 4.38. Definicja w stylizacji słownikowej to definicja, w której
wyrażenie definiowane i definiens są użyte w supozycji materialnej.
Zauważmy, że w wypadku definicji w stylizacji przedmiotowej człon definiowany („dom”) z członem definiującym („budynek mieszkalny”) łączone
były zwrotem „jest to”. W wypadku stylizacji semantycznej był to zwrot
„oznacza”, a w wypadku stylizacji słownikowej — „znaczy”. Zwrot „ jest
to” wyraża pewną zależność przedmiotową. „Oznacza” wskazuje na zależność między językiem a rzeczywistością, jest to więc zależność semantyczna.
Zwrot „znaczy” swoim znaczeniem wskazuje na to, że jest to definicja (nominalna). Charakter połączenia członu definiowanego z definiującym jest
zasadniczy dla odróżniania definicji ze względu na ich stylizacje.
4.2.5
Podział definicji ze względu na zadania
Definiuje się w jakimś celu. Wskazać można cztery takie cele:
392
1. podanie znaczenia definiowanego wyrażenia,
2. uczynienie jasnym znaczenia definiowanego wyrażenia,
3. wprowadzenie do słownika nowego wyrażenia,
4. ukształtowanie postawy użytkownika języka wobec przedmiotu, do którego odnosi definiowane wyrażenie.
Ad. 1. Definiuje się, aby podać znaczenie definiowanego wyrażenia komuś,
kto tego wyrażenia nie rozumie. Uczymy się znaczeń wyrażeń języka, którym
posługujemy się na co dzień. Uczymy się też języków obcych, musimy więc
zaznajamiać się ze znaczeniami ich wyrażeń.
Ad. 2. Niejasność wyrażeń bywa źródłem sporu werbalnego. Niejasność nie
powinna mieć miejsca w żadnym tekście, szczególnie w tekście pełniącym
funkcję informacyjną. Tekst z powodu niejasności może bowiem tej funkcji
nie wypełniać lub nie wypełniać właściwie. Jasny powinien być język przepisów prawnych i język dokumentów prawnych. Jasność możemy nadać wyrażeniu na drodze definicji. Pełna jasność nie zawsze jest osiągalna. Mimo
wszystko definicja umożliwia zmniejszenie niejasności do poziomu wystarczającego dla potrzeb praktycznych. W wypadku nazw zwykle wystarcza
uczynienie ich ostrymi (o ostrym zakresie).
Ad. 3. Mówiąc o wzbogacaniu słownika można mieć na uwadze słownik jakiegoś języka. Może tu chodzić o język np. fizyki, ekonomii, prawa — rozwojowi nauki towarzyszy pojawianie się nowych terminów. Jest tak w wypadku
fizyki, która odkrywa nowe obiekty fizyczne, dostrzega nowe zjawiska i nowe
związki. Ekonomiści i prawnicy potrzebują nowych słów dla nowych koncepcji, które mają trafniej opisywać zjawiska życia społecznego, dla nazwania
nowych instytucji, które efektywniej wypełniają społecznie oczekiwane zadania. Nowe słowa są wygodnymi «skrótami» dla dłuższych określeń. Mówiąc
o wzbogacaniu słownika można mieć na uwadze też czyjś zasób słów. Uczenie
się nowych wyrażeń nie kończy się z okresem dzieciństwa. Nawet ktoś ograniczający się do praktycznych potrzeb wzbogaca swe słownictwo o nazwy
nowości handlowych i technicznych.
Ad. 4. W wyrażeniach wyróżnione zostały składniki deskryptywny i emocjonalny. Definicja może być głównie zorientowana na składnik deskryptywny,
ale też może «eksploatować» składnik emocjonalny.
Definicja 4.39. Definicja perswazyjna to definicja, której zadaniem jest
kształtowanie postawy użytkownika języka wobec przedmiotu, do którego
odnosi definiowane wyrażenie.
4.2. DEFINIOWANIE
393
Chcąc pozyskać zwolennika demokracji do socjalizmu możemy definiować:
Termin ‘socjalizm’ znaczy to samo, co ‘poszerzenie demokracji na obszar
gospodarki’.
Przeciwnik podatków będzie definiował:
‘Podatek’ oznacza karę za uczciwą pracę i przedsiębiorczość.
Ghandi wykorzystywał definicje perswazyjne dla realizacji celów etycznych.
Jego autorstwa miałaby być następująca definicja:
Zwycięstwo polega na tym, iż pokonany nie czuje nienawiści do zwycięzcy.
Definicje można by podzielić na perswazyjne i nieperswazyjne. Pierwsze mają jako cel kształtowanie postawy. Drugie takiego celu nie mają.
Nie znaczy to jednak, że nigdy nie kształtują postawy użytkownika wobec
przedmiotu, do którego odnosi definiowane wyrażenie. Unormowania prawne
w zakresie upowszechniania publikacji wymagają nieperswazyjnej definicji
terminu „pornografia”. Jest to jednak zagadnienie budzące tyle emocji, że
o taką definicję trudno.
Ze względu na zadania — pomijając ewentualny podział na perswazyjne
i nieperswazyjne — definicje dzieli się je zasadniczo na:
1. sprawozdawcze (analityczne),
2. projektujące (syntetyczne).
(a) regulujące,
(b) konstrukcyjne.
Definicja 4.40. Definicja sprawozdawcza to definicja, której celem jest
zdanie sprawy ze znaczenia, które definiowane wyrażenie ma w języku.
Ktoś nie wie, co znaczy w języku polskim „spółka”. W słowniku języka
polskiego odnajduje poszukiwaną informację. To samo pytanie o znaczenie
wyrazu „spółka” można postawić w stosunku do języka prawa handlowego.
Znaczenia tego wyrazu trzeba wówczas szukać w słowniku prawniczym.
Zdanie sprawy ze znaczenia, jakie wyrażenie ma języku może być zrealizowane przez wskazanie wyrażenia równozakresowego — wówczas znaczenie
może nie być w pełni oddane — lub przez wskazanie wyrażenia równoznacznego. Definicje sprawozdawcze ze względu na to, czy istnieje zgodność definiendum i definiensa co do zakresu, czy też co do znaczenia, dzielimy na
definicje zakresowe i definicje treściowe.
394
Definicja 4.41. Definicja sprawozdawcza zakresowa to definicja, w której definiens jest równozakresowy z definiensem.
Definicja 4.42. Definicja sprawozdawcza treściowa to definicja, w której definienes jest równoznaczny z definiendum.
Zauważmy, że definicje sprawozdawcze treściowe są definicjami sprawozdawczymi zakresowymi, lecz nie na odwrót. Ponadto, różnica między oboma
rodzajami definicji może mieć miejsce tylko w wypadku języka intensjonalnego a nie ma miejsca w wypadku języka ekstensjonalnego (języka, w którym
wyrażenia równozakresowe sa równoznaczne).
Przy tworzeniu definicji sprawozdawczej można korzystać z metody słowotwórczej, zwanej też etymologiczną13 . Na przykład znaczenie wyrazu
„samolot” podaje się wskazując na jego złożoność z „sam” i „lot”. Podobnie
jest w wypadku nazwy „teologia”. Tym razem wskazuje się na wzięte z Greki
wyrazy i ich znaczenie: „theos = Bóg”, „logos = nauka”.
Definicja 4.43. Definicja projektująca to definicja ustalająca znaczenie
wyrażenia na przyszłość (na użytek jednego tekstu, na użytek jakiejś teorii,
albo po prostu języka potocznego).
Definicja projektująca ma więc charakter konwencji terminologicznej.
Takiego rodzaju zabieg definiowania jest stosowany w niniejszej książce.
Ustaliliśmy między innymi, że wyrazu „zdanie” będziemy używać w znaczeniu „wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe”.
Wprowadzanie skrótów jest swoistym definiowaniem projektującym. Skróty wprowadzamy kierując się zasadą ekonomii. Skróty tworzyć należy tak,
aby łatwo było je zrozumieć a wprowadzać je tylko wówczas, gdy będą często
używane. Zamiast pełnej nazwy np. choroby używa się jej skrótu: AIDS.
Zamiast pisać „wtedy i tylko wtedy” w logice — gdzie zwrot ten jest często
używany — można zastosować skrót np. „wttw”
Definicja 4.44. Definicja regulująca to definicja projektująca, która ustala znaczenie wyrażenia na przyszłość licząc się ze znaczeniem, które wyrażenie to miało dotychczas w języku.
Miało to miejsce w wypadku tu przyjętej definicji „zdania”. Ustalając
znaczenie terminu „zdanie” w logice, braliśmy pod uwagę znaczenie, które
termin ten ma w gramatyce — zdanie w sensie logicznym jest zdaniem w sensie gramatycznym, choć nie na odwrót.
Definicja projektująca może nie liczyć się z dotychczasowym znaczeniem
definiowanego wyrażenia.
13
Zob. sposoby opisu znaczeń explicandum.
4.2. DEFINIOWANIE
395
Definicja 4.45. Definicja konstrukcyjna (arbitralna) to definicja projektująca, która ustalając znaczenie wyrażenia na przyszłość nie liczy się ze
znaczeniem, które wyrażenie to miało dotychczas lub definicja, która wprowadza nowe wyrażenie do języka.
W języku polskim do niedawna nie było znane określenie „aids”. Zostało wprowadzone do języka, a dzięki propagandzie tak się przyjęło, że jego
znaczenie jest znane prawie każdemu. Pojawiają się nowe słowa w związku
z wytwarzaniem nowych wyrobów i urządzeń. Rozwój nauki wiąże się z tworzeniem nowych pojęć. Dla pojęć tych dobiera się słowa już istniejące w języku, nadając im tylko nowe znaczenie, lub tworzy się nowe słowa. To, jak
się te słowa tworzy, jest interesujące samo przez się. Na przykład „aids”
jest akronimem opisowego określenia aids w języku angielskim: a(cquired)
i(mmune) d (eficiency) s(yndrome).
4.2.6
Granice definiowania
Mając skończony słownik bez popadnięcia w błędne koło nie możemy zdefiniować wszystkich jego wyrazów inaczej niż przez wyróżnienie terminów
pierwotnych i ich definicję w uwikłaniu. Jest to pierwsze zasadnicze ograniczenie na możliwości definiowania: każdy język zawiera terminy pierwotne.
Na terminy pierwotne nadają się te terminy, które są najbardziej «płodne»,
w oparciu o które można zdefiniować możliwie najwięcej elementów słownika.
Nadto intuicyjne znaczenie tych terminów powinno być możliwie najbardziej jasne. Terminami pierwotnymi arytmetyki Peano są „0” i „następnik
. . . ”. Wystarczają one dla zdefiniowania wszystkich pozostałych terminów
arytmetyki, jakie znamy ze szkolnej nauki matematyki. Ich intuicyjny sens
również nie stwarza specjalnych problemów z rozumieniem.
W wypadku definicji, która zbudowana jest z nazwy najbliższego rodzaju
i określenia różnicy gatunkowej (definicja klasyczna) można mówić o terminach prostych jako tych, dla których brak różnicy gatunkowej i terminach
powszechnych jako tych, dla których brak najbliższego rodzaju. Terminy
te nie byłyby więc definiowalne za pomocą definicji klasycznej. Terminy
proste nazywają cechy proste, czyli nierozkładalne. Takim terminem prostym w języku fizyki jest „masa”. Terminem złożonym w tym języku jest np.
„siła”: F = a · m, gdzie a to przyśpieszenie, m — masa. Z kolei terminem
powszechnym byłaby np. „materia”. Nie ma w świecie fizycznym substancji,
której tylko pewna część byłaby materią, jeśliby posiadała określoną cechę.
Definiujemy nazwy ogólne. To, co jest jednostkowe, wyróżnia się spośród
przedmiotów tego samego rodzaju licznym zespołem cech. Trudno jest wskazać różnicę numeryczną. Jak np. zdefiniować ten oto egzemplarz książki?
396
Pragmatycznym warunkiem nakładanym na definicję jest wymóg, aby
wyrażenia za pomocą których definiujemy były bardziej zrozumiałe niż wyrażenie, które definiujemy. Znaczenia nazw doznań są podstawowe i intuicyjne.
Żadne określenie nie odda tego, co daje przeżycie: bólu, ciepła, przyjemności.
Wówczas, gdy definicja nie jest możliwa, lub gdy dla celów praktycznych
nie trzeba jej przytaczać, posługiwać się można czynnościami zastępczymi.
Są to:
1. wskazanie (na jakąś rzecz), np.: to jest kolor turkusowy;
2. charakterystyka — wymienia się szczególnie uderzające cechy. Charakterystyka użyteczna jest w wypadku osób. Wymienia się ich znaki
szczególne, np.: chudy z długim nosem. W urzędach jesteśmy identyfikowani przez imię i nazwisko, datę i miejsce urodzenia, imię ojca
i matki.
3. opis — wymienia się niekoniecznie charakterystyczne, lecz jakiekolwiek
cechy. Opisujemy komuś zdarzenia.
4. porównanie — gdy np. mówi się, że zdrajca to ktoś, kto postępuje jak
Judasz;
5. odróżnienie — przybliża znaczenie przez oddzielenie go od innego, np.
„egoizm jest tym, co przeciwne miłości”.
Celem definiowania jest określenie znaczenia wyrażenia. Wyrażenie zdefiniowane musi być brane w znaczeniu, jakie zostało mu przypisane. Może się
okazać, że zaistnieje różnica między intuicyjnym i oczekiwanym np. prawodawcę rozumieniem wyrażenia a znaczeniem, jakie mu przypisano w tekście
prawnym. Sytuacja taka utrudnia stosowanie prawa. Stąd zasada: omnis
definitio in iure civili periculosa est — wszelka definicja w prawie cywilnym
jest ryzykowna.
4.2.7
Poprawność definicji
Możemy mówić o formalnych i pragmatycznych warunkach poprawności definicji. Inne są warunki poprawności definicji sprawozdawczej, a inne definicji
projektującej.
Błąd błędnego koła w definiowaniu (circulus in definiendo; idem per
idem) występuje w dwóch odmianach.
Definicja 4.46. Błędne koło bezpośrednie w definiowaniu to błąd
w definiowaniu mający miejsce wówczas, gdy wyrażenie definiowane (ewentualnie w innej odmianie stylistycznej) pojawia się w definiensie.
4.2. DEFINIOWANIE
397
Definicję obarczoną błędnym kołem bezpośrednim określa się też jako
definicję tautologiczną. Taki błąd ma miejsce w definicjach: „Logika jest
to nauka o zasadach logicznego myślenia”, „obrona konieczna to obrona, która
jest konieczna”.
Definicja 4.47. Błędne koło pośrednie w definiowaniu to błąd w definiowaniu mający miejsce wówczas, gdy w definiensie występuje wyrażenie,
które zostało zdefiniowane przy zastosowaniu wyrażenia definiowanego.
Takim błędem obciążona jest definicja „Logika to nauka o zasadach poprawnego rozumowania”, jeśli „zasady poprawnego rozumowania” definiuje
się jako „zasady ustalane w logice”.
Definicja 4.48. Błąd nieznane przez nieznane (ignotum per ignotum) to
błąd w definiowaniu mający miejsce wówczas, gdy w definiensie występuje
wyrażenie, którego znaczenie nie jest znane temu, do kogo definicja była
skierowana.
Błąd ten ma charakter pragmatyczny i jego zachodzenie jest względne.
Jeśli ktoś nie wie, co znaczy „kwadrat”, a wie, co znaczy „prostokąt” i „równoboczność”, to definicja: „kwadrat jest to prostokąt równoboczny” jest definicją poprawną. Gdyby jednak ten ktoś, komu chcemy powiedzieć, co znaczy
„kwadrat”, nie wiedział, co znaczy „prostokąt”, to taka definicja nie będzie
poprawna. Obciążona będzie błędem ignotum per ignotum. Podobnie będzie
w wypadku, gdy ktoś, do kogo definicja jest skierowana coś wie o tym, czym
są kwadrat i prostokąt, lecz więcej wie o tym, czym jest kwadrat niż o tym,
czym jest prostokąt.
Zadaniem definicji sprawozdawczej jest zdanie sprawy ze znaczenia, które
ma w języku wyrażenie definiowane. Definiens musi zatem zachować wszystkie «wady» i «zalety» wyrażenia definiowanego. Zachowane muszą więc być
— jeśli definiowanym wyrażeniem jest nazwa — ostrość/nieostrość oraz wyraźność/niewyraźność wyrażenia definiowanego. W wypadku normalnej definicji sprawozdawczej zakres zdefiniowanej nazwy musi być równy zakresowi,
który ta nazwa ma faktycznie w języku.
W normalnej definicji sprawozdawczej znaczenie wyrażenia definiowanego
winno być równe znaczeniu wyrażenia definiującego, czyli definicja sprawozdawcza winna być adekwatna. Nieadekwatność definicji ma miejsce, gdy
tak nie jest. Wyróżnia się trzy typy definicji nieadekwatnych: definicja za
wąska, definicja za szeroka, definicja za wąska i za szeroka zarazem.
Definicja 4.49. Normalna definicja sprawozdawcza jest za wąska wtedy
i tylko wtedy, gdy definiens określa znaczenie definiendum poprzez warunek
wystarczający, a nie określa go poprzez warunek konieczny.
398
Definicja „handlowcem jest ta i tylko ta osoba, która zawodowo zajmuje
się sprzedażą artykułów spożywczych” jest za wąska. Handlowcem jest ktoś,
kto zawodowo zajmuje się sprzedażą i kupnem. Handlowcem może więc być
osoba zawodowo zajmująca się handlem artykułami niespożywczymi. Za
wąska jest też definicja bycia potomkiem: „ktoś jest potomkiem kogoś wtedy
i tylko wtedy, gdy ten ktoś jest dzieckiem tego kogoś lub wnukiem tego
kogoś”. Za wąska jest też definicja: „zbrodnia to przestępstwo przeciwko
życiu ludzkiemu”.
W za wąskiej definicji sprawozdawczej nazwy, zakres definiendum jest
nadrzędny wobec zakresu definiensa.
Definicja 4.50. Normalna definicja sprawozdawcza jest za szeroka wtedy
i tylko wtedy, gdy definiens określa znaczenie definiendum poprzez warunek
konieczny, a nie określa go poprzez warunek wystarczający.
Za szeroka jest definicja handlowca: „handlowcem jest ta i tylko ta osoba,
która kupuje lub sprzedaje”. Według takiej definicji wszyscy byliby handlowcami — każdemu zdarzyło się coś kupować. Za szeroka jest też definicja
podwładności: „ktoś jest podwładnym kogoś wtedy i tylko wtedy, gdy ten
ktoś zajmuje niższe stanowisko od tego kogoś”. Za szeroka jest też definicja:
„przestępstwo to czyn społecznie niebezpieczny”.
W za szerokiej definicji sprawozdawczej nazwy, zakres definiendum jest
podrzędny w stosunku do zakresu definiensa.
Definicja 4.51. Normalna definicja sprawozdawcza jest za szeroka i za
wąska zarazem wtedy i tylko wtedy, gdy znaczenie definiendum określane
jest poprzez warunek, który ani nie jest warunkiem wystarczającym, ani nie
jest warunkiem koniecznym.
Definicja sprawozdawcza nazwy jest za szeroka i za wąska zarazem, gdy
zakresy definiendum i definiensa krzyżują się.
Za szeroka i za wąska jest definicja handlowca: „handlowcem jest ta i tylko
ta osoba, która kupuje”. Według tej definicji wszyscy, którzy kupują są handlowcami, co nie jest prawdą — nie tylko handlowcy kupują. Z drugiej
strony handlowcy zajmujący się zawodowo sprzedażą nie należą do zakresu
definiensa. Podobnie za szeroka i za wąska zarazem będzie definicja nauczyciela: „nauczyciel to ktoś, kto ukończył studia uniwersyteckie”.
Z możliwych stosunków zakresowych między definiendum a definiensem
pozostał nam wypadek, gdy zakresy definiendum i definiensa wykluczają się.
Taka sytuacja może mieć miejsce, gdy definiendum odnosi do przedmiotu
innej kategorii ontycznej niż definiens.
4.2. DEFINIOWANIE
399
Definicja 4.52. W normalnej definicji sprawozdawczej popełniono błąd
przesunięcia kategorialnego wtedy i tylko wtedy, gdy przedmioty wskazywane przez definiendum należą do innej kategorii ontycznej niż przedmioty
wskazywane przez definiens.
Błąd przesunięcia kategorialnego ma miejsce np. w wypadku definicji
„przyjaźń to wzajemne pomaganie sobie” — przyjaźń to pewien stosunek
między ludźmi zaś wzajemne pomaganie sobie to pewne zachowania, czynności. Formalnie poprawna będzie definicja: „osoby przyjaźnią się wtedy
i tylko wtedy, gdy wzajemnie pomagają sobie”.
W wypadku definicji projektujących mówi się o pragmatycznych kryteriach poprawności.
Wprowadzając nowy termin do języka należy uwzględnić reguły słowotwórcze i znaczeniowe tego języka. Tego warunku nie spełniono, gdy w latach sześćdziesiątych słowo „krawat” chciano zastąpić określeniem „zwis męski ozdobny”. Udaną zaś konstrukcją była propozycja słowa „podomka” dla
zastąpienia słowa „szlafrok”. Konstrukcje typu „roboczogodzina” są obce językowi polskiemu (inaczej niż w wypadku języków np. niemieckiego i rosyjskiego). Często nowe wyrazy zapożycza się z języków obcych, w szczególności
greki, łaciny, a ostatnio z języka angielskiego. Trudno powiedzieć, jakie rządzą tym reguły. „Kto zatrzymał w locie żurawia i kazał mu się pochylić nad
studnią?” — możemy pytać za J. Parandowskim14 .
Definicje projektujące nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Można je traktować jako zdania nakazujące takie, a nie inne rozumienie terminu definiowanego. W prawie charakter projektujący mają definicje legalne. W teorii
prawa przypisuje się im charakter norm, czyli zdań powinnościowych.
Wprowadzając nowy termin trzeba też mieć na uwadze jego użyteczność.
Niewątpliwie potrzebne są słowa np. „komputer”, „plik”, „dyskietka”. Nie wydaje się zaś celowe wprowadzenie specjalnego terminu na oznaczenie pudełka
do przechowywania dziesięciu dyskietek.
W wypadku definicji regulującej należy liczyć się z «duchem» języka.
Definicja regulująca nie powinna «zwodzić», co może mieć miejsce wówczas,
gdy «reguluje» się w innym wymiarze niż oczekiwany przez użytkowników
języka. Kiedy prawnik definiuje termin „małoletni”, to uściśla jego znaczenie poprzez określenie granicy wiekowej, a więc w wymiarze uznanym przez
użytkowników języka. Nie byłoby tak, gdyby uściślał poprzez wskazanie
klasy szkolnej, do której małoletni uczęszcza. Jeśli w ustawie o rybołówstwie mówi się o rybach, to wymagana jest definicja, co znaczy wyraz „ryba”.
Definicja „ryby” jako „zwierzęcia żyjącego w wodzie” jako definicja regulująca
14
Zob. Alchemia słowa, wyd. 4, 1965, s. 161.
400
naruszałaby postulat nieodbiegania od znaczenia, jakie jest temu wyrażeniu
powszechnie przypisywane.
Polski logik Stanisław Leśniewski (1886–1939) podał dwie współczesne
reguły poprawności definicji15 . Są to:
1. Reguła eliminowalności.
Zdefiniowany termin musi być eliminowalny z każdego zdania, w którym występuje.
2. Reguła nietwórczości.
Ze zbioru zdań, do którego dołączono definicję nie wynika żadne zdanie
nie zawierające terminu definiowanego, które nie wynikałoby z tego
zbioru zdań bez tej definicji.
Reguła eliminowalności umożliwia zrezygnowanie z definiowanego terminu bez zubażania możliwości wyrażania przez język. Termin definiowany
może być zastąpiony przez inne wyrażenia języka i mimo tego nie dochodzi
do ograniczenia możliwości wypowiadanie myśli.
Reguła eliminowalności mówi, że przez definicję język «nie zyskał» na
mocy wyrażania. Reguła nietwórczości mówi, że przez definicję język «nie
zyskał» na mocy logicznej.
Reguła nietwórczości umożliwia zrezygnowanie z definiowanego terminu
bez zubażania wiedzy. Wzbogacamy język, ułatwiamy wypowiadanie się,
lecz nie dochodzimy do zdań, które nie zawierałyby zdefiniowanego terminu,
a byłyby uzasadnione na gruncie posiadanej wiedzy tylko wówczas, gdyby
definicja była jej składnikiem. Jeżeli α nie zawiera terminu definiowanego
i wynika z Σ, to α wynika też z takiego podzbioru Σ, którego elementy-zdania
nie zawierają terminu definiowanego.
Definicja „kwadrat to prostokąt równoboczny” spełnia oba warunki poprawności definicji. Termin „kwadrat” jest eliminowalny. W każdym zdaniu
zawierającym wyraz „kwadrat” możemy na jego miejsce wpisać wyrażenie
„prostokąt równoboczny” i żadne z tych zdań nie zmieni wartości logicznej.
Nietwórczość definicji kwadratu wynika z faktu, że każde twierdzenie geometrii, jeśli nie zawiera terminu „kwadrat”, to jest dowodliwe bez użycia jako
przesłanki zdania „kwadrat to prostokąt równoboczny”.
Zadania
Zadanie 4.1. W jakim znaczeniu występuje słowo „logika” w tekście?
15
Nie stosują się one do definicji cząstkowych i przez postulaty.
4.2. DEFINIOWANIE
401
We do lament the inequitable distribution of wealth in the world,
and Third World voices may be quite right that there is something unfair about it. No one wants uncritically to defend profiteering industrialists. But, it is important to get the logic right.
Philosophers have to follow their logic where it leads them whether they want to go there or not. Conservation based on an
unsound logic will come undone sooner or later. Surely there
is a sounder logic by which fair and equitable conservation can
be achieved.” Environmental protection and an equitable international order: ethics after the earth summit, „Business Ethics
Quarterly” October 1995, vol. 5 no. 4, str. 749
Zadanie 4.2. Czy poprawny jest podział norm na:
1. leges plusquamperfectae (zagrażające nieważnością danej czynności i sankcją karną),
2. leges perfectae (zagrażające nieważnością, lecz bez sankcji karnej),
3. leges imperfectae )nie zgarażające ani karą, ani nieważnością)?
Zadanie 4.3. Czy poprawna jest definicja?
Lekarz to ktoś, kto leczy ludzi.
Zadanie 4.4. Dokonaj klasyfikacji czasopism.
Zadanie 4.5. Co sądzisz o definicjach?
1. Perfidia jest to złośliwość delikatnych.
2. Weterynarz to lekarz, któremu żaden pacjent nie podaje ręki.
3. Malarz jest to człowiek, który maluje to, co sprzedaje; artysta malarz
jest to człowiek, który sprzedaje to, co maluje.
4. Mędrzec to człowiek, który ustępuje, gdy nie ma racji.
5. Wolny jest ten, kto nie siedzi w więzieniu.
Zadanie 4.6. Jaka to definicja?
Podatki pośrednie to podatki od rozumu.
Milton Friedman (laureat ekonomicznej nagrody Nobla) mawiał tak dlatego, że
402
1. płacący je ludzie często nie wiedzą, że płacą,
2. bo nakłada się je na towary i usługi, czyli wszystko to, co jest wytworem
działalności ludzi pracowitych i przedsiębiorczych, jednym słowem —
rozumnych.
Zadanie 4.7. Podaj definicję regulującą:
1. długiej podróży,
2. starca,
3. wysokiego człowieka.
Zadanie 4.8. W jaki sposób wskazać znaczenie poniższych wyrażeń jeśli nie
miałaby to być definicja:
1. obrona konieczna,
2. bohaterski czyn,
3. wybryk chuligański,
4. akt terroryzmu,
5. katastrofa w ruchu drogowym?
Zadanie 4.9. Które z poniższych określeń można nazwać definicjami?
1. Demokracja to władza ludu.
2. Demokracja nie jest gestem władzy.
3. Demokracji nie da się zadekretować.
4. Demokracja sama nie zapuka do drzwi.
5. Demokracja to kontrola władzy przez społeczeństwo.
Zadanie 4.10. Czy i jaka jest to definicja?
1. Przez umowę sprzedaży sprzedawca zobowiązuje się przenieść na kupującego własność rzeczy i wydać mu rzecz, a kupujący zobowiązuje
się rzecz odebrać i zapłacić.
4.2. DEFINIOWANIE
403
2. Z zastrzeżeniem wyjątków w ustawie przewidzianych, wola osoby dokonującej czynności prawnej może być wyrażona przez każde zachowanie
się tej osoby, które ujawnia jej wolę w sposób dostateczny (oświadczenie woli).
3. Posiadaczem rzeczy jest zarówno ten, kto nią faktycznie włada jak
właściciel (posiadacz samoistny), jak i ten, kto nią faktycznie włada jak
użytkownik, zastawnik, najemca, dzierżawca lub mający inne prawo,
z którym łączy się określone władztwo nad cudzą rzeczą (posiadacz
zależny).
4. VAT, czyli podatek od wartości dodanej (z ang. Value Added Tax),
zobowiązany jest płacić płaci każdy, kto sprzedaje towary, odpłatnie
świadczy jakiekolwiek usługi, dokonuje darowizn, eksportuje oraz importuje towary i usługi.
5. Akcyza to opłata nakładana na wybrane artykuły konsumpcyjne.
Zadanie 4.11. Zdaniem prof. B. Wolniewicza przeszczep jest kanibalizmem.
Dla jakiego rozumienia terminów „kanibalizm” i „przeszczep” jest to prawdą?
Zadanie 4.12. Scharakteryzuj metodologiczne warunki, jakie powinna spełniać definicja śmierci, aby uznanie kogoś za zmarłego było zgodne z normami
etycznymi.
Zadanie 4.13. O jaką definicję chodzi w poniżej opisanej sprawie?
Proponowana w 2005 r. przez władze Unii Europejskiej definicja
wódki zezwala na sprzedaż mocnego alkoholu z winogron pod
nazwą „wódka”.
Cztery kraje — Polska, Szwecja, Finlandia i Estonia — formalnie zaprotestowały i chcą restrykcyjnej definicji wódki. Podobne
zdanie mają Łotwa i Litwa. Bałtycka koalicja może nie wystarczyć jednak do zablokowania szerszej definicji tego alkoholu.
Zadanie 4.14. Jakiego rodzaju jest definicja małżeństwa w prawie?
Zadanie 4.15. Filozof Gottfried Leibniz zdefiniował dobrą osobę jako kogoś
takiego, kto kocha każdego (tak bardzo jak rozum pozwala). Które z poniższych zdań sa prawdziwe na mocy tej definicji?
1. Wszyscy dobrzy ludzie kochają kogoś lub innego.
2. Wszyscy dobrzy ludzie kochają samych siebie.
404
3. Ktoś jest kochany przez wszystkich dobrych ludzi.
4. Ktoś kocha wszystkich dobrych ludzi.
5. Każdy dobry człowiek jest kochany przez kogoś lub innego.
6. Wszyscy dobrzy ludzie lubią wszystkich dobrych ludzi.
7. Każdy jest kochany przez kogoś lub innego.
8. Jeśli są dobrzy ludzie, to każdy jest kochany przez kogoś.
9. Nikt, kto nie jest dobry nie kocha kogoś.
10. Każdy, kto jest dobry kocha każdego, kto nie jest dobry.
Zadanie 4.16. Przeanalizuj i oceń poniższe definicje.
1. Tunel to budowla na drodze oznaczona odpowiednimi znakami drogowymi.
2. Samochód osobowy to pojazd, który jest konstrukcyjnie przeznaczony
do przewozu osób (9 z kierowcą) oraz ich bagażu.
3. Ustąpienie pierwszeństwa przejazdu to powstrzymanie się od ruchu,
jeżeli ruch mógłby zmusić kierującego innym pojazdem do zmiany kierunku lub pasa ruchu, albo istotnej zmiany prędkości jazdy, a pieszego
do zatrzymania się, zwolnienia lub przyspieszenia kroku.
W ocenie tej definicji uwzględnij następujące konteksty użycia definiowanego wyrażenia (pierwszeństwo pojazdu):
(a) Kierujący pojazdem zmieniając poza skrzyżowaniem zajmowany
pas ruchu, jest obowiązany ustąpić pierwszeństwa pojazdowi jadącemu po pasie, na który zamierza wjechać oraz wjeżdżającemu
na ten pas z prawej strony.
(b) Jeśli jezdnia ma trzy pasy ruchu i z lewego pasa, po wyprzedzeniu chcemy zjechać na środkowy, to dodatkowo musimy ustąpić pierwszeństwa (czyli „powstrzymać się od ruchu”) pojazdowi,
który wjeżdża na ten pas z prawej strony (ze skrajnego zewnętrznego, a więc głównie autobusów).
4. Motorower to pojazd, który jeździ z szybkością do 45 km/h.
(Co w takim razie mają zrobić dzisiejsi posiadacze motorowerów i motorynek, które osiągają 50 km/h? Wygląda na to, że automatycznie
zostaną motocyklistami.)
4.2. DEFINIOWANIE
405
Zadanie 4.17. Jaka to definicja?
1. Cząstka elementarna to np. elektron.
2. Faszyzm — jawna terrorystyczna dyktatura najbardziej reakcyjnej części burżuazji w warunkach imperializmu.
Zadanie 4.18. Jakiego rodzaju procedurę zastosowano w opisanej zmianie
dotyczącej Plutona?
Pluton nie jest już planetą — zdecydowali astronomowie obradujący
w Pradze w 2006 r. Według nowych, naukowych wytycznych Układ Słoneczny będzie się teraz składał z ośmiu, a nie dziewięciu planet. Decyzja
o tym, że odkryty 76 lat temu Pluton nie jest planetą, zapadła w wyniku
głosowania, w którym wzięło udział 2,5 tysiąca astronomów.
Gdyby chcieć ze względów historycznych utrzymać planetarny status Plutona, to trzeba by nazwać planetami mnóstwo innych ciał np. co najmniej
jedną z planetoid znajdujących się między Marsem a Jowiszem. To by wywołało o wiele większe zamieszanie niż odebranie mu tego statusu. Jeżeli
skupimy się na tym, co jest najistotniejsze z punktu widzenia powstawania
planet, to nie powinno być ich więcej niż osiem. W pełni uformowana planeta czyści całkowicie przestrzeń wokół siebie z drobnych ciał. Dzieje się tak
dlatego, że wszystkie albo ogromna większość z nich znalazła się już w jej
wnętrzu. Te ciała, które są w pasie Kuipera i te, które znajdują się między
Marsem a Jowiszem nie potrafiły tego zrobić. W ich przypadku nie doszło
więc do powstania prawdziwej planety. Mamy zatem osiem planet.
Sprawa budzi szczególne emocje za oceanem. Pluton był bowiem jedyną
planetą odkrytą przez Amerykanina. Doktor Alan Stern z instytutu w San
Antonio uważa, że decyzja podjęta w głosowaniu była fatalna i jest przykładem naukowego niechlujstwa.
Międzynarodowa Unia Astronomiczna (IUA) liczy prawie 10 tysięcy członków na całym świecie. W głosowaniu nad nową definicją planety wzięły
udział zaledwie 424 osoby.
Historyczne głosowanie zorganizowane przez IAU w 2006 r. w Pradze zakończyło kontrowersje, które ponad dwa lata wcześniej wywołał Mike Brown,
astronom z Kalifornijskiego Instytutu Technologicznego, ogłaszając, że jego
zespół odkrył „dziesiątą planetę” krążącą wokół Słońca. Wtedy astronomowie z całego świata zaczęli się głowić nad definicją planety.
Wynik głosowania w Pradze był zaskoczeniem, bo tydzień wcześniej powołany przez IAU specjalny komitet wydał zalecenie o zupełnie innej treści. Według członków komitetu, Pluton miał zachować swój status planety,
a Układ Słoneczny wzbogacić się o trzy nowe: Ceres — asteroidę krążącą
406
wokół słońca pomiędzy Marsem a Jowiszem; Charona — jeden z księżyców
Plutona; oraz odległy od nas o 16 miliardów kilometrów obiekt, który Brown
nazwał Xeną.
Nowa definicja prawdziwej planety pojawiła się po tygodniu gorących
dyskusji.
Planeta musi obecnie odpowiadać trzem kryteriom: mieć masę i grawitację na tyle duże, by przybrała kształt bliski kulistemu, sama musi okrążać
gwiazdę (a nie być tylko satelitą innego ciała niebieskiego), i musi stanowić
największy obiekt w swoim bezpośrednim sąsiedztwie.
Odkryty w 1930 r. przez astronoma Clyde’a Tombaugh’a Pluton nie
pasuje do tego opisu.
Zadanie 4.19. Dokonaj analizy poniższej definicji.
Osoby fizyczne, jeżeli mają miejsce zamieszkania na terytorium Polski,
podlegają obowiązkowi podatkowemu od całości swoich dochodów (przychodów) bez względu na miejsce położenia źródeł przychodów — nieograniczony
obowiązek podatkowy. Natomiast osoby fizyczne, jeżeli nie mają na terytorium Polski miejsca zamieszkania, podlegają obowiązkowi podatkowemu
tylko od dochodów (przychodów) osiąganych na terytorium RP — ograniczony obowiązek podatkowy.
Od 2007 roku miejsce zamieszkania będzie się określać, stosując bardziej
obiektywne przesłanki zbliżone do tych, które są zawarte w umowach o unikaniu podwójnego opodatkowania.
Zgodnie z nowym ust. 1a, dodanym do art. 3 ustawy o PIT, za osobę
mającą miejsce zamieszkania na terytorium Rzeczypospolitej Polskiej uważa
się osobę fizyczną, która posiada na terytorium Polski centrum interesów
osobistych lub gospodarczych (ośrodek interesów życiowych) lub przebywa
na terytorium Polski dłużej niż 183 dni w roku podatkowym.
Przed 2007 r. dla określenia miejsca zamieszkania stosowano przepisy
kodeksu cywilnego, które nie były ani precyzyjne, ani obiektywne. Zgodnie
z art. 25 kodeksu cywilnego miejscem zamieszkania danej osoby jest miejscowość, w której ta osoba przebywa z zamiarem stałego pobytu. Jak udowodnienie faktycznego przebywania w danym kraju nie powinno być trudne, tak
określenie zamiaru pobytu jest przesłanką subiektywną i w praktyce przysparza wielu problemów interpretacyjnych. Jest też polem sporów z fiskusem. To na podatniku spoczywa obowiązek udowodnienia, gdzie znajduje się
jego miejsce zamieszkania. Wprowadzenie bardziej rozbudowanej definicji do
ustawy podatkowej pozwoliło usunąć te wątpliwości.
4.3. EKSPLIKACJA
4.3
407
Eksplikacja
Konceptualizacja to procedura tworzenia pojęć. Definiowanie pojęciom przyporządkowuje słowa. Eksplikację można określić jako przyporządkowywanie
pojęć słowom. R. Carnap pierwszy opisywał i stosował eksplikację w swoich
badaniach naukowych. Zapoczątkował tym metodologiczną refleksję nad tą
operacją.
Definicja 4.53. Eksplikacja to procedura opisywana znaczeń wyrażeń i ich
dostosowywania do zadań danego języka.
Poznanie ma charakter historyczny i społeczny. Gromadząc wiedzę i zespalając wysiłek badawczy dochodzimy do pełniejszego poznania. Wiedza
nasza, jak pokazuje historia nauki, składa się nie tylko z prawdziwych zdań,
a i prawdziwe nie do końca są rozumiane. Wiedza wyrażona jest w języku.
Te same słowa służą do wypowiedzenia coraz pełniejszej wiedzy. Konieczna
jest więc refleksja nad zmiennością znaczeń słów, nad pojęciami, dla których słowa te są znakami. Definiując pojęciom przyporządkowujemy słowa.
Eksplikując słowom przyporządkowujemy pojęcia. Mamy słowa, które coś
znaczą. Znaczenie to jednak «przeżyło się». Tworzymy nowe pojęcie, które
wywodzi się «genetycznie» ze starego, lecz odzwierciedla współczesny stan
wiedzy w danej dziedzinie. Tak opisana eksplikacja ma pewne podobieństwa
do konceptualizacji — bo tworzymy nowe pojęcie — jest też podobna do definicji regulującej — istniejącemu słowu nadajemy nowe znaczenie licząc się
ze znaczeniem, które mu dotychczas przysługiwało. Czasem, aby uniknąć
wieloznaczności, dla nowego pojęcia wprowadza się nowy termin. W tym
eksplikacja jest podobna do definicji konstrukcyjnej. Eksplikacja sama przez
się jest zabiegiem wiedzotwórczym. Dużą rolę poznawczą ma do spełnienia w dziedzinie nauk humanistycznych i filozoficznych. Zgodnie z ogólną
tendencją, w nauce chodzi zwykle o zastąpienie starych pojęć przez pojęcia
metryczne, dzięki czemu możliwa staje się matematyzacja danej dyscypliny
naukowej.
Definicja 4.54. Explicandum to termin, który stanowi przedmiot eksplikacji.
Definicja 4.55. Explicatum to termin, który jest wynikiem eksplikacji.
Na explicandum nadaje się termin już używany w nauce lub wyrażenie
z języka potocznego, jeśli jest ono naukowo użyteczne. Na przykład słowom
języka potocznego: „woda”, „sól” nadano w nauce ściśle określone znaczenie i w języku nauki zastąpiono je nazwami, odpowiednio: „H2 O”, „NaCl”.
408
W wypadku wyrażeń: „informacja”, „inteligencja” itp. w języku nauki pozostały te same słowa, choć w wyniku eksplikacji przysługuje im bardziej
precyzyjnie określone znaczenie, a nie jako słowom języka potocznego dość
nieokreślone. Dla filozofa i metodologa nauk interesującym explicandum jest
„przyczyna”. Prawnika i polityka interesuje eksplikacja terminu „terroryzm”.
Niezbędnym etapem eksplikacji jest możliwie pełny opis znaczeń dotychczas przysługujących explicandum. Chodzi o wyróżnienie znaczeń explicandum i podanie odpowiednich definicji sprawozdawczych. Zamierzając wyeksplikować znaczenie słowa „prawdziwy” wskazuję na jego różne znaczenia, na
które wskazują konteksty: „prawdziwe złoto”, „prawdziwy przyjaciel”, „prawdziwe zdanie”. Podejmując się eksplikacji znaczenia terminów: „przyczyna”,
„terroryzm” trzeba podjąć trud opisania znaczeń, w których te słowa były
używane.
Dla opisu znaczeń dotychczas przysługujących explicandum może być
zastosowana:
1. metoda filologiczna.
Bada się teksty, w których wyrażenie występuje i analizuje przysługujące mu znaczenie i związki znaczeniowe z innymi wyrażeniami.
2. metoda indukcyjna.
Polega ona na badaniu i opisie przedmiotów, do wskazywania których
używa się wyrażenia. Tą drogą można eksplikować np. terminy „nierząd”, „pornografia”.
3. metoda etymologiczna.
Polega ona na badaniu historii danego wyrazu: jak ukształtował się,
jakie przysługiwały mu znaczenia, jakie inne wyrazy mają ten sam
wspólny rdzeń itp.
Wyeksplikowany termin, explicatum, aby pełnił swoją rolę w języku nauki
musi zostać włączony w system pojęć danej nauki, bowiem dopiero wówczas
uzyskuje walor naukowej przydatności. Na przykład termin „wzrost gospodarczy” występuje w języku potocznym w dość nieokreślonym znaczeniu.
W wyniku eksplikacji uzyskujemy termin o bardziej precyzyjnym znaczeniu,
a o jego roli w teorii ekonomii decydują związki z innymi terminami tej nauki.
Każdy coś rozumie przez „terroryzm”. Termin będący wynikiem eksplikacji
uzyska walor poznawczy, gdy włączony zostanie w system pojęć prawnych
i politycznych.
Ukazując miejsce explicatum w systemie pojęć danej nauki, pokazujemy
jego naukową użyteczność. Im więcej powiązań, im bardziej są one podsta-
4.3. EKSPLIKACJA
409
wowe, czyli im więcej terminów danej nauki definiowanych jest za pomocą
explicatum, tym większy jest jego walor naukowej użyteczności.
Explicatum, w odróżnieniu od explicandum, powinno być terminem o ściśle określonym znaczeniu. Procedura eksplikacji byłaby bezcelowa, gdyby
terminy o niejasnym znaczeniu były zastępowane terminami o znaczeniu
równie niejasnym. We współczesnej nauce w zasadzie dąży się do tego by
explicatum było terminem metrycznym, czyli aby było możliwe mierzenie
treści opisywanej znaczeniem terminu. Na przykład zainteresowani jesteśmy
takim pojęciem wzrostu gospodarczego, aby można było ten wzrost mierzyć.
Explicatum pozostaje w związku «genetycznym» z explicandum. Znaczy
to, że jest jego odpowiednikiem, udoskonalonym i dostosowanym do celów
naukowych. W tym aspekcie eksplikacja jest podobna do definicji regulującej.
Wskazuje się też na potrzebę prostoty explicatum. Chodzi o prostotę definicji explicatum oraz o prostotę twierdzeń ustalających jego miejsce w systemie pojęć danej nauki. Zauważmy tu, że nie jest łatwo powiedzieć, co rozumie się przez prostotę. Termin „prostota” jest przykładem terminu, który
wymaga eksplikacji.
410
Rozdział 5
Pytanie i odpowiedź
Pytał głupi mądrego: na co rozum zda się?
Mądry milczał; gdy coraz bardziej naprzykrza się,
Rzekł mu: na to się przyda według mego zdania,
Żeby nie odpowiadać na głupie pytania.
I. Krasicki
Nie wszystko jako jednostki wiemy. W nauce też są obszary nie do końca
poznane. Dążymy do uzupełnienia naszej wiedzy subiektywnej. Nauka dąży
do wiedzy możliwie pełnej. Dążymy do uzupełnienia naszej wiedzy obiektywnej. My jako jednostki i nauka stawiamy pytania. Logiczna teoria pytań
jest przedmiotem logiki erotetycznej.
Pytania stawia prawnik. Sędzia przesłuchuje oskarżonych, świadków,
biegłych stawiając pytania. Głosowanie sędziów odbywa się na podstawie
pytań dotyczących winy i kary. Stawianie pytań przysięgłym podlega określonym rygorom. Pytania stawia urzędnik. Od dobrego stawiania pytań
zależy uzyskanie właściwego obrazu sprawy. Pytania są ważnym elementem
każdej działalności praktycznej. Stawia je lekarz i biznesmen. Pytania stawia socjolog. Poprawne sformułowanie pytania jest warunkiem koniecznym
poprawnej odpowiedzi. Wiedzą o tym chociażby ci, którym przyszło zmagać
się z różnymi pytaniami egzaminacyjnymi.
5.1
Budowa i rodzaje pytań
Definicja 5.1. Pytanie to wyrażenie, które określa brak wiedzy, subiektywnej lub obiektywnej, i wskazuje na dążenie do uzupełnienia tego braku.
Na postawione pytania chcemy uzyskać odpowiedź.
411
412
ROZDZIAŁ 5. PYTANIE I ODPOWIEDŹ
Definicja 5.2. Odpowiedź (na pytanie) to wyrażenie, którego zadaniem
jest przekazanie wiedzy, której brak stwierdzany był w pytaniu.
Takie są zasadnicze właściwe funkcje pytań i odpowiedzi. Środkami wyrażania pytań są: szyk zdania, intonacja, użycie partykuł pytajnych. Zwykle
pytania stawiamy wykorzystując zdania pytajne. Zdanie pytajne nie jest
zdaniem w sensie logicznym. Odpowiedź jest zdaniem w sensie logicznym.
Zdanie może pełnić funkcję odpowiedzi nie będąc zdaniem prawdziwym.
Wyrażenie „Jan zapytał, kto jest prezydentem RP” jest w sensie gramatycznym zdaniem oznajmującym. Informuje o tym, że Jan zadał pewne
pytanie i że tym pytaniem było „kto jest prezydentem RP?”. Wyrażenie
„Jan zapytał, kto jest prezydentem RP” jest zdaniem w sensie logicznym.
Podobnie będzie w wypadku wyrażenia „biologia pyta o istotę życia”.
Definicja 5.3. Pytanie zawisłe to zdanie w sensie logicznym, które informuje o postawieniu lub istnieniu pytania.
Wyrażeniem, które nadaje się na wypowiedzenie pytania, jest zdanie pytajne „kto jest prezydentem RP?”. Pytania w sensie określonym wyżej jako
stwierdzenia braku wiedzy i dążenia do jej uzyskania, to pytania niezawisłe. Tu zajmiemy się pytaniami niezawisłymi. Wyrażenia służące do
wypowiedzenia pytań i odpowiedzi mogą też być wykorzystane do innych
celów, na przykład w retoryce i dydaktyce.
Stawiając pytanie korzystamy ze zdań pytajnych. Zdania te zawierają
takie wyrażenia, jak: „kto”, „co”, „gdzie”, „dlaczego”, „czy”. Są to partykuły pytajne. Można wypowiedzieć zdanie pytajne nie używając wprost
partykuły pytajnej i ograniczając się w języku pisanym do znaku „?”, a w mówionym do odpowiedniej intonacji. Takie zdania pytajne są jednak równoznaczne ze zdaniami zawierającymi partykułę pytajną. Zdanie pytajne „Jan
mieszka w Warszawie?” jest równoznaczne ze zdaniem „czy Jan mieszka
w Warszawie?”.
Nie wiem, gdzie mieszka Jan. Pytam więc:
1. Gdzie mieszka Jan?
Jestem zainteresowany tym, kto jest obecnie prezydentem USA. Pytam
więc:
2. Kto jest prezydentem USA?
Nie jestem pewien, czy Jan mieszka w Warszawie. Pytam więc:
3. Czy Jan mieszka w Warszawie?
5.1. BUDOWA I RODZAJE PYTAŃ
413
Nie jestem pewien, czy Bill Clinton jest prezydentem USA. Pytam
więc:
4. Czy Bill Clinton jest prezydentem USA?
Wiem, że Jan mieszkał w Warszawie, ale nie wiem, czy w dalszym
ciągu mieszka. Pytam więc:
5. Czy Jan wciąż mieszka w Warszawie?
Wiem, że Bill Clinton jest prezydentem USA, ale interesuje mnie, czy
będzie ponownie prezydentem USA. Pytam więc:
6. Czy Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA?
W wypadku każdego z pytań 1–6 określona jest wiedza, o którą chodzi
pytającemu (miejsce zamieszkania Jana, nazwisko prezydenta USA),
i wskazane jest dążenie do uzyskania tej wiedzy. W pytaniach 3, 4, 5
i 6 występuje ta sama partykuła pytajna „czy”. Pytania 5 i 6 różnią
się tym od 3 i 4, że oprócz informacji o tym, czego dotyczy samo
pytanie, zdania te stanowią okazję do przekazania pewnej informacji
dodatkowej. W wypadku 5 jest to informacja o tym, że Jan mieszkał
w Warszawie, a w wypadku 6, że Bill Clinton jest prezydentem USA.
Innego rodzaju pytaniem niż 1–6 jest:
7. Jakie są przyczyny konfliktu na terenie byłej Jugosławii?.
W wypadku pytań 1 „gdzie mieszka Jan?” i 2 „kto jest prezydentem
USA?” występują partykuły pytajne „gdzie” i „kto”. Kto zrozumiał pytanie
na podstawie samego zdania pytajnego, może określić kształt zdań, które są
oczekiwane jako odpowiedź. W wypadku tych pytań będą to „Jan mieszka
w . . . ” i „. . . jest prezydentem USA”. Wpisując w miejsce kropek nazwę
miasta i, odpowiednio, nazwisko otrzymamy odpowiedzi o oczekiwanej treści.
Są to pytania dopełnienia.
Definicja 5.4. Pytanie dopełnienia to pytanie, które zawiera partykuły
pytajne takie, jak: „kto”, „co”, „kiedy” i które wyznacza kształt oczekiwanej
odpowiedzi. Powstaje ona z tego pytania przez wstawienie odpowiednich
danych w miejsce partykuł pytajnych.
Pytaniem dopełnienia zawierającym więcej niż jedną partykułę pytajną
jest „kto i gdzie spotkał się celem dokonania podziału II Rzeczypospolitej?”
W wypadku pytań: 3 „czy Jan mieszka w Warszawie?”, 4 „czy Bill Clinton
jest prezydentem USA?”, 5 „czy Jan wciąż mieszka w Warszawie?” i 6 „czy
414
Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA?”, występuje partykuła pytajna „czy”. Tym razem również wyznaczony jest kształt odpowiedzi. W wypadku 3 i 4 może to być zdanie „Jan mieszka w Warszawie” lub jego negacja,
czyli „Jan nie mieszka w Warszawie i, odpowiednio, „Bill Clinton jest prezydentem USA” lub jego negacja, czyli „Bill Clinton nie jest prezydentem
USA”. Odpowiedzi te są skrótowo wypowiadane jako „tak” i, odpowiednio,
„nie”. W wypadku 5 i 6 odpowiedzi „tak” lub „nie” są skrótami dla, odpowiednio, „Jan wciąż mieszka w Warszawie”, „Jan już nie mieszka w Warszawie”;
„Bill Clinton będzie ponownie prezydentem USA”, „Bill Clinton nie będzie
ponownie prezydentem USA”. Te cztery pytania 3–6 z „czy” jako partykułą
pytajną to pytania rozstrzygnięcia.
Definicja 5.5. Pytanie rozstrzygnięcia to pytanie czy α?, na które oczekiwaną odpowiedzią jest jedno ze zdań α lub nie-α.
Zauważmy, że warunkiem sensowności semantycznej zdań „Jan wciąż
mieszka w Warszawie” i „Jan już nie mieszka w Warszawie” jest prawdziwość zdania „Jan mieszkał w Warszawie” a w wypadku zdań „Bill Clinton
będzie ponownie prezydentem USA” i „Bill Clinton nie będzie ponownie prezydentem USA” jest nim prawdziwość zdania „Bill Clinton jest prezydentem
USA”.
Definicja 5.6. Zdanie α jest presupozycją (założeniem) zdania β wtedy
i tylko wtedy, gdy prawdziwość α jest koniecznym warunkiem sensowności
(semantycznej) zdania β.
Definicja 5.7. Pytanie założeniowe to pytanie takie, że dla pewnego
zdania α, α jest presupozycją (założeniem) wszystkich odpowiedzi, które są
zgodne ze schematem wyznaczonym przez to pytanie. Pytanie, które nie jest
pytaniem założeniowym to pytanie bezzałożeniowe.
Dwa pierwsze z pytań, 3 i 4, to bezzałożeniowe, a dwa drugie, 5 i 6, to
założeniowe pytania rozstrzygnięcia.
Definicja 5.8. N -członowe pytanie rozstrzygnięcia to pytanie, na które
oczekiwana odpowiedź jest jednym z n zdań.
Pytania rozstrzygnięcia, na które oczekiwana odpowiedź polega na wyborze jednej z dwu możliwych odpowiedzi, to dwuczłonowe pytania rozstrzygnięcia. Takim pytaniem jest np. „czy stolicą Polski jest Warszawa, czy
Kraków?”.
Definicja 5.9. Pytanie zamknięte to pytanie, które wyznacza kształt
oczekiwanej odpowiedzi.
5.1. BUDOWA I RODZAJE PYTAŃ
415
Pytaniami zamkniętymi są pytania dopełnienia i pytania rozstrzygnięcia.
Pytania tego rodzaju, jak 7 „ jakie są przyczyny konfliktu na terenie byłej
Jugosławii?” i, podobnie, pytania z partykułą pytajną „dlaczego”, nie dają
podstawy do określenia kształtu odpowiedzi.
Definicja 5.10. Pytanie otwarte to pytanie, które nie wyznacza kształtu
oczekiwanej odpowiedzi.
W wypadku pytań zamkniętych oczekiwana odpowiedź jest jednozdaniowa. W wypadku pytań otwartych odpowiedź może być wielozdaniowa.
Definicja 5.11. Dana pytania (datum questionis), czyli osnowa pytania
to schemat oczekiwanej odpowiedzi wyznaczony przez pytanie zamknięte.
Partykuła pytajna wskazuje na niewiadomą pytania.
Definicja 5.12. Niewiadoma pytania to miejsce do uzupełnienia w schemacie odpowiedzi (może być ich kilka).
Niewiadoma pytania pojawia się w schemacie odpowiedzi w miejscu,
w którym w pytaniu znajdowała się partykuła pytajna. Partykuła pytajna
wskazuje na zakres niewiadomej pytania. Jeżeli jest to partykuła pytajna „w
jakim mieście”, to jej zakresem jest zbiór wszystkich miast, ale jeśli jest to
np. fraza „w jakim mieście Europy”, to jej zakresem jest zbiór miast Europy.
Jeżeli partykułą jest „kto”, to jej zakresem jest zbiór ludzi, ale jeśli jest to
np. fraza „kto z Polaków”, to jej zakresem jest zbiór Polaków.
Definicja 5.13. Zakres niewiadomej pytania to zbiór wyrażeń, które
zgodnie z sensem partykuły pytajnej nadają się na jej miejsce w schemacie
odpowiedzi.
W zdaniach pytajnych dana pytania i zakres niewiadomych pytania powinny być jasno wskazane, w przeciwnym wypadku pytanie może być źle
zrozumiane lub w ogóle nie być zrozumiane.
Szczególnym rodzajem pytań — spotykamy się z nimi w ankietach, testach, quizach — są pytania, którym towarzyszy zbiór ewentualnych odpowiedzi. Są to pytania wyboru.
Definicja 5.14. Pytanie wyboru to pytanie, na które dany jest zbiór
wszystkich możliwych oczekiwanych odpowiedzi.
Mogę zapytać „gdzie mieszka Jan?” i jednocześnie podać ewentualne
miejscowości, z których należy wybrać właściwą, np.: „(a) Warszawa, (b)
416
Białystok”. Stawiając pytanie „co jest przyczyną wojny na terenie byłej Jugosławii?” mogę podać następujące odpowiedzi do wyboru „przyczyną wojny
na terenie byłej Jugosławii są konflikty natury: (a) etnicznej, (b) religijnej,
(c) ekonomicznej”. Pytania wyboru są pytaniami zamkniętymi, określony
jest bowiem kształt odpowiedzi. Nie każde pytanie zamknięte jest pytaniem
wyboru. Więcej, pytania wyboru mogą zawierać partykuły pytajne, takie
jak „dlaczego”, „ jakie”, które są charakterystyczne dla pytań otwartych. Pytania rozstrzygnięcia, w szczególności wieloczłonowe pytania rozstrzygnięcia
są pytaniami wyboru. Pytania, które oprócz kilku wskazanych do wyboru
odpowiedzi dopuszczają jeszcze możliwość dowolnej odpowiedzi — w kwestionariuszach i ankietach określanej jako „inna” — z formalnego punktu
widzenia można uznać za pytania, którym nie towarzyszy zbiór możliwych
odpowiedzi, mogą to więc być zarówno pytania zamknięte, jak i otwarte.
Pytania wyboru można podzielić ze względu na liczbę możliwych oczekiwanych odpowiedzi, którą dopuszcza pytanie. W zależności od sformułowania, pytania wyboru mogą być pytaniami jednego wyboru, dwu — i, ogólnie,
n-wyborów. Liczba wyborów może być różnie określona, np. przez procent
odpowiedzi do wyboru. Liczba oczekiwanych odpowiedzi może też nie być
określona, wówczas mówimy o pytaniu wielu wyborów. Pytanie „którą
rzecz chciałbyś zakupić w pierwszej kolejności: pralka, telewizor, magnetowid, komputer?” jest pytaniem jednego wyboru. Pytaniem dwóch wyborów
jest pytanie „które dwie rzeczy zakupiłbyś w pierwszej kolejności: pralka,
telewizor, magnetowid, komputer?”. Natomiast pytanie „które przedmioty
chciałbyś zakupić w pierwszej kolejności: pralka, telewizor, magnetowid,
komputer?” jest pytaniem wielu wyborów.
5.2
Rodzaje odpowiedzi
Odpowiedź jest zdaniem w sensie logicznym. Zdanie w sensie logicznym jest
odpowiedzią ze względu na zaistnienie pytania. Nasze przekonanie o ścisłym
związku odpowiedzi z pytaniem wyraża potoczne powiedzenie „ jakie pytanie
— taka odpowiedź”.
W wypadku pytania zamkniętego oczekiwana odpowiedź jest elementem
zbioru zdań określonego przez to pytanie. Pytanie zamknięte wyznacza możliwe oczekiwane odpowiedzi.
Definicja 5.15. Odpowiedź właściwa to każda odpowiedź:
1. na pytanie dopełnienia: powstała z uzupełnienia schematu odpowiedzi
przez wyrażenia z zakresu niewiadomych pytania,
5.2. RODZAJE ODPOWIEDZI
417
2. na pytanie rozstrzygnięcia: czy α? bądź α, bądź nie-α;
3. na pytanie wyboru: ze zbioru możliwych odpowiedzi towarzyszących
pytaniu.
W wypadku pytania „Jakie konflikty są przyczyną wojny na terenie byłej Jugosławii: (a) etniczne, (b) religijne, (c) ekonomiczne?” każda z odpowiedzi: (a), (b), (c), jest odpowiedzią właściwą. Odpowiedź „przyczyną
konfliktu jest różnica interesów Rosji i USA” nie jest odpowiedzią właściwą.
W wypadku pytania „kiedy i gdzie doszło do zamordowania arcyksięcia Ferdynanda?” jego datum questionis jest „. . . w . . . doszło do zamordowania
arcyksięcia Ferdynanda”, a niewiadomymi pytania są data i nazwa miejscowości. Odpowiedź „w 1994 w Wiedniu doszło do zamordowania arcyksięcia
Ferdynanda” jest odpowiedzią właściwą chociaż fałszywą. Odpowiedź „w
1914 w Sarajewie doszło do zamordowania arcyksięcia Ferdynanda” jest odpowiedzią właściwą i prawdziwą. W wypadku pytania „czy będzie utrzymane
połączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?” każda z odpowiedzi właściwych, pozytywna „tak” i negatywna „nie”, jest fałszywa.
W wypadku pytań dopełnienia i wyboru może być więcej niż jedna odpowiedź prawdziwa. Jest tak np. w wypadku pytania „kto był prezydentem
II Rzeczypospolitej?”. W wypadku (założeniowych i bezzałożeniowych) pytań rozstrzygnięcia możliwe są tylko dwie odpowiedzi właściwe, „tak” i „nie”,
i co najwyżej jedna z odpowiedzi na takie pytanie może być prawdziwa. Ktoś,
kto stawia na serio pytanie, przyjmuje, że istnieje na nie jakaś odpowiedź.
Musi nie tylko istnieć choć jedna prawdziwa odpowiedź właściwa, ale
i też nie może być wykluczona możliwość choć jednej właściwej odpowiedzi
fałszywej. Pytanie przecież jest wyrazem stanu niewiedzy. Nie może więc
być wykluczona możliwość odpowiedzi prawdziwej i nie może być wykluczona możliwość odpowiedzi fałszywej. Możemy to oddać stwierdzeniem, że
alternatywa wszystkich odpowiedzi właściwych powinna być zdaniem prawdziwym.
Definicja 5.16. Pozytywne założenie pytania to alternatywa wszystkich
odpowiedzi właściwych.
Warunek, że istnieje przynajmniej jedna odpowiedź fałszywa możemy
oddać stwierdzeniem, że koniunkcja wszystkich odpowiedzi właściwych jest
zdaniem fałszywym.
Definicja 5.17. Negatywne założenie pytania to koniunkcja wszystkich
możliwych odpowiedzi właściwych.
418
Pytanie, które spełnia te warunki to pytanie właściwie postawione.
Definicja 5.18. Pytanie właściwie postawione to pytanie, którego pozytywne założenie jest zdaniem prawdziwym a negatywne założenie jest zdaniem fałszywym. Pytanie, które nie jest właściwie postawione to pytanie
niewłaściwie postawione.
W wypadku pytań wyboru może być określony zbiór możliwych odpowiedzi pozytywnych i/lub zbiór możliwych odpowiedzi negatywnych. Pozytywne założenie takiego pytania jest alternatywą wszystkich wskazanych
odpowiedzi pozytywnych, a negatywne założenie pytania jest koniunkcją
wszystkich wskazanych odpowiedzi negatywnych. W wypadku, gdy brak
wskazania któregokolwiek z tych zbiorów odpowiedzi, odpowiedni zbiór odpowiedzi traktujemy tak samo jak w wypadku pytań, dla których nie został
wskazany zbiór odpowiedzi pozytywnych lub/i negatywnych.
Pytanie niewłaściwie postawione to pytanie, na które nie jest możliwa
odpowiedź prawdziwa lub nie jest możliwa odpowiedź fałszywa. Odpowiedź
na pytanie niewłaściwie postawione polega na ujawnieniu fałszywego założenia tego pytania. I tak na pytanie „gdzie w Białymstoku mieści się fabryka
samochodów?” oraz na pytanie „gdzie w Białymstoku mieści się fabryka
samochodów: przy (a) Al. Piłsudskiego, (b) ul. Wiejskiej?”, należy odpowiedzieć: „w Białymstoku nie ma fabryki samochodów”. Na pytanie „pod jakim
kątem powinny przecinać się przekątne kwadratu, aby równe były wszystkie jego boki?” należy odpowiedzieć: „w każdym kwadracie wszystkie boki
są równe”. Na założeniowe pytanie rozstrzygnięcia „czy utrzymane będzie
połączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?” („ jest połączenie lotnicze
Białegostoku z Warszawą i czy będzie?”) należy odpowiedzieć, że „pomiędzy
Białymstokiem a Warszawą nie ma połączenia lotniczego”. Podobnie będzie
w wypadku pytania „czy samolot utrzymujący połączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą to ATR?”.
Jeśli chodzi o pytania dopełnienia i pytania wyboru nie będące pytaniami
rozstrzygnięcia, to:
1. może być tak, że spełnione są warunki prawdziwości pozytywnego i negatywnego założeń pytania.
Jest tak w wypadku pytania „gdzie w Białymstoku mieści się Wyższa
Szkoła Finansów i Zarządzania?” Podając zły adres dajemy odpowiedź
fałszywą, a podając właściwy adres — prawdziwą.
2. może być tak, że fałszywe jest negatywne założenie pytania, czyli nie
ma na nie właściwej odpowiedzi fałszywej.
419
Kiedy pytam „która liczba parzysta dzieli się przez 2?”, to zakresem
tego pytania jest zbiór liczb parzystych. Osnową tego pytania, schematem odpowiedzi właściwej, jest „. . . dzieli się przez 2”. Jakąkolwiek
liczbę z zakresu niewiadomej weźmiemy pod uwagę, otrzymamy odpowiedź prawdziwą. Na pytanie to nie ma więc fałszywej odpowiedzi
właściwej. Odpowiedź znosząca fałszywe założenie tego pytania to
„wszystkie liczby parzyste dzielą się przez 2”.
3. może być tak, że nie ma właściwej odpowiedzi pozytywnej.
Schematem odpowiedzi na pytanie „który bok kwadratu jest dłuższy od
pozostałych?” jest „. . . jest dłuższy od pozostałych boków kwadratu”,
a zakresem niewiadomej pytania jest zbiór boków kwadratu. Jakikolwiek bok wzięlibyśmy pod uwagę, zdanie otrzymane przez uzupełnienie
schematu odpowiedzi będzie fałszywe. Odpowiedź znosząca fałszywe
założenie tego pytania to „wszystkie boki kwadratu są równe”;
4. może być i tak, że zarówno negatywne, jak i pozytywne założenia pytania są fałszywe.
Kiedy pytam „ jaką objętość ma kwadrat o boku 2?”, to schematem
odpowiedzi na to pytanie jest „. . . objętości ma kwadrat o boku 2”. Jakąkolwiek wartość wzięlibyśmy z zakresu niewiadomej pytania otrzymamy nonsens, czyli zdanie, któremu reguły semantyczne języka nie
przyporządkowują żadnego znaczenia. Odpowiedź znosząca fałszywe
założenie tego pytania to „kwadrat nie ma objętości”.
W wypadku bezzałożeniowych pytań rozstrzygnięcia warunki prawdziwości pozytywnego i negatywnego założenia są zawsze spełnione, czyli te
pytania są zawsze właściwie postawione. Zgodnie z przyjętym przez nas rozumieniem zdania i zasadą dwuwartościwości, zdanie lub jego negacja jest
prawdziwa (pozytywne założenie pytania) oraz zdanie lub jego negacja jest
fałszywa (negatywne założenie pytania).
Założeniowe pytania rozstrzygnięcia są pytaniami rozstrzygnięcia zadanymi przy założeniu prawdziwości presupozycji odpowiedzi. W wypadku
pytania czy β? postawionego przy założeniu α odpowiedź „tak” jest koniunkcją zdania α i zdania β (α i β), odpowiedź „nie” jest koniunkcją zdania
α i negacji zdania β (α i nie-β). Zawsze jedno ze zdań-odpowiedzi jest więc
fałszywe. W związku z występowaniem zdania α jako członu koniunkcji zarówno w odpowiedzi „tak”, jak i „nie” nie jest zagwarantowana prawdziwość
przynajmniej jednej odpowiedzi. Warunkiem koniecznym i wystarczającym
tego jest prawdziwość zdania α. W wypadku założeniowych pytań rozstrzygnięcia może się więc zdarzyć, że nie jest spełniony warunek prawdziwości
420
pozytywnego założenia pytania. Ma to miejsce w wypadku pytań: „czy
utrzymane będzie połączenie lotnicze Białegostoku z Warszawą?”, „czy zgubiłeś rogi?” 1 .
Odpowiedzią niewłaściwą jest odpowiedź, w której użyto wyrażenia nie
należącego do zakresu niewiadomej. Na pytanie „kto z Polaków otrzymał
nagrodę Nobla?” można odpowiedzieć:
1. Henryk Sienkiewicz otrzymał nagrodę Nobla
— jest to właściwa odpowiedź prawdziwa;
2. Maria Konopnicka otrzymała nagrodę Nobla
— jest to odpowiedź właściwa, choć fałszywa;
3. Albert Einstein otrzymał nagrodę Nobla
— jest to odpowiedź prawdziwa, choć niewłaściwa;
4. Bill Clinton otrzymał nagrodę Nobla
— jest to odpowiedź niewłaściwa i nieprawdziwa.
Definicja 5.19. Odpowiedź całkowita wprost to odpowiedź właściwa.
Definicja 5.20. Odpowiedź całkowita niewprost to odpowiedź, z której
wynika odpowiedź właściwa.
Definicja 5.21. Odpowiedź całkowita to odpowiedź całkowita wprost
lub odpowiedź całkowita niewprost.
Definicja 5.22. Odpowiedź wyczerpująca na dane pytanie to odpowiedź
całkowita, z której wynika każda prawdziwa odpowiedź na to pytanie.
Na pytanie „w którym miesiącu rozpoczyna się rok akademicki w Wyższej
Szkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku?” można odpowiedzieć:
1. Rok akademicki w Wyższej Szkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku rozpoczyna się w październiku
— Jest to odpowiedź całkowita wprost.
Bądź:
2. Rok akademicki na wszystkich wyższych uczelniach białostockich rozpoczyna się w październiku
— Jest to odpowiedź całkowita niewprost. Z odpowiedzi tej wynika
odpowiedź 1.
1
Pytanie to daje podstawę do znanego w starożytności sofizmatu „Rogacz”.
421
Odpowiedzi 1 i 2 są prawdziwe. Odpowiedź całkowita może też być
fałszywa. Byłoby tak, gdyby odpowiedzieć: „rok akademicki na wyższych
uczelniach białostockich rozpoczyna się w listopadzie.”
Definicja 5.23. Odpowiedź częściowa to odpowiedź, która nie jest odpowiedzią całkowitą i która wyklucza niektóre odpowiedzi właściwe.
Na pytanie „w którym miesiącu rozpoczyna się rok akademicki w Wyższej
Szkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku?” można odpowiedzieć:
1. Rok akademicki w Wyższej Szkole Finansów i Zarządzania w Białymstoku rozpoczyna się jesienią
— Jest to odpowiedź częściowa wprost.
2. Rok akademicki we wszystkich białostockich szkołach wyższych rozpoczyna się jesienią
— Jest to częściowa odpowiedź niewprost.
W wypadku, gdy pytanie dotyczyło sytuacji niedeterministycznej, a więc
takiej, której stan faktyczny nie jest przesądzony jednoznacznie, odpowiedź
o postaci odpowiedzi właściwej, może być dana pod pewnym warunkiem.
Na pytanie „kto wygra mecz piłkarski, drużyna A, czy drużyna B?” można
dać odpowiedź uzupełniając ją o jakiś warunek. Na przykład może to być
odpowiedź: „drużyna A wygra, jeśli będzie skutecznie grała w obronie”. Taka
odpowiedź to właściwa odpowiedź warunkowa.
Definicja 5.24. Warunkowa odpowiedź właściwa to odpowiedź złożona
z odpowiedzi właściwej i warunku prawdziwości tej odpowiedzi.
Gdyby warunek „ jeśli będzie skutecznie grała w obronie” umieścić w pytaniu, brzmiałoby ono wówczas: „kto wygra mecz, drużyna A, czy drużyna
B, jeśli drużyna A będzie skutecznie grała w obronie?”. Odpowiedź na to
pytanie może już być bezwarunkową odpowiedzią właściwą. Warunkowy charakter może mieć również odpowiedź w wypadku pytań rozstrzygnięcia. Na
pytanie „czy wojna na terenie byłej Jugosławii kiedykolwiek zakończy się?”
można odpowiedzieć: „tak, pod warunkiem, że społeczność międzynarodowa
będzie zachowywała się w tej sprawie konsekwentnie”. Warunek „społeczność międzynarodowa będzie zachowywała się konsekwentnie” mógłby być
zawarty w samym pytaniu — „czy wojna na terenie byłej Jugosławii kiedykolwiek zakończy się, jeśli społeczność międzynarodowa będzie się zachowywać w tej sprawie konsekwentnie?” Odpowiedź na to pytanie może już
być bezwarunkowa, ale nie musi. W wypadku zarówno pytań dopełnienia,
422
jak i pytań rozstrzygnięcia mogą pojawić się kolejne warunki. Warunkowy
charakter mogą mieć odpowiedzi całkowite, częściowe, wprost i niewprost.
Warunki winny być tak skonstruowane, aby wykluczały się, czyli nie były
współprawdziwe, i aby dopełniały się, czyli nie były współfałszywe. W wypadku pytania „kto wygra mecz piłkarski, drużyna A, czy drużyna B?” możemy dać następującą odpowiedź: „ jeśli drużyna A będzie grać skutecznie
w obronie, to wygra drużyna A. Jeśli drużyna A nie będzie grać skutecznie
w obronie, a drużyna B nie wystąpi w najmocniejszym składzie, to wygra
drużyna A. Jeśli drużyna A nie będzie skuteczna w obronie, a drużyna B
wystąpi w najmocniejszym składzie, to wygra drużyna B.”.
Czy na każde poprawnie postawione pytanie będzie można znaleźć odpowiedź. Pod koniec XIX wieku Emil du Bois-Reymond wygłosił słynne
ignoramus et ignorabimus — nie wiemy i wiedzieć nie będziemy. Na przełomie XIX i XX w. odpowiadał mu David Hilbert: Wir müssen wissen. Wir
werden wissen. — Musimy wiedzieć. Będziemy wiedzieć. Stawia Hilbert problem metody, która w sposób nie budzący wątpliwości pozwoli rozstrzygnąć
dowolne pytanie, przynajmniej w obszarze matematyki. Postawione przez
Hilberta pytania-problemy zaowocowały znakomitymi wynikami. W tezie
Churcha-Turinga określone zostało to, co można uznać za rachunkową metodę nie budzącą wątpliwości. Udowodnione zostało, że są pytania, na które
nie można znaleźć odpowiedzi, jeśli tylko ograniczyć się do takiej metody.
Rozważania te stworzyły teoretyczny fundament współczesnej informatyki.
Na tym przykładzie nie sposób nie zauważyć naukotwórczej roli pytań.
5.3
Praktyczne problemy stawiania pytań
Pytania i odpowiedzi oprócz wyżej omówionych funkcji właściwych wykorzystywane są też do innych celów, przede wszystkim retorycznych i dydaktycznych.
Nauczyciel pytając ucznia nie czyni tego w związku z brakiem swojej
wiedzy i chęci jej uzupełnienia, co miałoby miejsce, gdyby stawiał pytanie
w sensie, który wyżej był dyskutowany. Odwrotnie, powinien tę wiedzę posiadać. Celem postawienia pytania dydaktycznego, które co do formy
nie różni się od pytania w jego roli właściwej, jest sprawdzenie opanowania
wiedzy przez ucznia. Odpowiedź podlega ocenie. Ocena ta zależy od treści
pytania, ale i od jego formy — zasadniczo łatwiejszymi pytaniami są pytania rozstrzygnięcia. Zależy też od odpowiedzi, oczekiwana jest odpowiedź
właściwa całkowita. W wypadku pytań otwartych ocena zależy od trafności
i od stopnia rozwinięcia odpowiedzi.
5.3. PRAKTYCZNE PROBLEMY STAWIANIA PYTAŃ
423
Pytania są narzędziem w negocjacjach. W negocjacjach ważne jest podjęcie trzech decyzji:
1. jakie pytania wybrać,
2. jak je formułować,
3. kiedy zadawać.
O znaczeniu formy pytania może świadczyć następująca historia.
Pewien duchowny zapytał swego przełożonego: „Czy mogę palić
papierosa w czasie modlitwy?”. Uzyskał odpowiedź negatywną.
Inny duchowny zadał temu samemu przełożonemu pytanie: „Czy
mogę się modlić, kiedy palę papierosa?” Na tak postawione pytanie ów przełożony dał odpowiedź pozytywną.
O doniosłości sposobu formułowania pytań świadczy praktyka sądownicza. W pewnym okresie (po 1688) obrońca w sprawach kryminalnych tylko
mógł pytać oskarżonego. Dlatego też w tradycji anglosaskiej wystąpienia sądowe zachowały formę pytań. Oczywiście, pytania te trzeba tak formułować,
aby można było wypełnić rolę obrońcy.
Zwykle pytaniu, nazwijmy jest pytaniem głównym, towarzyszą inne pytania, mówimy że są to pytania dodatkowe lub że są to pytania uzupełniające. Pytania uzupełniające zależą od odpowiedzi na pytanie główne.
Oskarżonemu, który odpowiedział „tak” na pytanie, czy przyznaje się do
zarzuconego czynu, zadaje się pytania o motyw czynu, sposób działania itp.
Jeśli stawia się więcej niż jedno pytanie, to należy — mając na uwadze
zależności między pytaniami — stawiać je we właściwej kolejności wyznaczonej przez związki logiczne zachodzące między odpowiedziami na te pytania
lub względy natury praktycznej. Z tych ostatnich powodów chcąc odnaleźć
dane o kimś na liście sporządzonej alfabetycznie wpierw zapytam o nazwisko,
a następnie o imię. Odwrotna kolejność pytań byłaby niewłaściwa.
W logice tradycyjnej wskazuje się na niewłaściwość zadawania więcej niż
jednego pytania w formie jednego pytania.
Definicja 5.25. Sofizmat podwójnego pytania (sophisma duplicis interrogationis ut unius) ma miejsce wówczas, gdy więcej niż jedno pytanie
postawione jest w formie jednego pytania.
Był to ulubiony chwyt retoryczny starożytnych sofistów. W forma wyrażenia „czy lubisz zagraniczne i drogie wczasy?” sugeruje dwie możliwe odpowiedzi: „tak”, „nie”. Jednak postawione są dwa pytania i na każde z nich
424
możliwe są dwie odpowiedzi. Łącznie mogą być cztery stanowiska w sprawie
drogich wczasów zagranicznych.
Pytania należy stawiać mając na uwadze określony cel ich stawiania.
Pytanie nie jest zdaniem w sensie logicznym. Nie jest ani prawdziwe ani
fałszywe. Musi być jednak celowe. Chcąc się dowiedzieć, gdzie ktoś pracuje
nie będę się pytał, ile ma on dzieci. Ustawy procesowe wyraźnie zabraniają
pytań nieistotnych. Nieistotne są pytania nie zmierzające do realizacji celów
procesowych. Zadawanie pytań niecelowych i powtarzanie pytań, na które
już uzyskano odpowiedź jest sposobem udręczania osoby przesłuchiwanej.
Pytania należy stawiać kierując się zasadą ekonomii: za pomocą najmniejszej liczby pytań uzyskać najwięcej potrzebnej informacji. O poprzednich zasadach, a w szczególności tej, wiedzą osoby zabawiające się „dwudziestoma pytaniami” — za pomocą dwudziestu pytań rozstrzygnięcia należy
ustalić, co na myśli ma partner zabawy.
Pytania winny być jednoznaczne i zrozumiałe dla pytanego.
Praktycznym problemem stawiania pytań jest zagadnienie, kogo pytać.
Najprościej mówiąc tego, kto wie i potrafi udzielić odpowiedzi. Są ludzie,
którzy wiedzą, ale nie umieją dać odpowiedzi. Może tak być dlatego, że
1. nie potrafią jednoznacznie formułować myśli, bo ich wypowiedzi są
zaburzane przez różne emocje, przez co pojawiają się zdania nie na
temat lub fałszywe,
2. nie chcą jednoznacznie sformułować odpowiedzi, bo ich zaangażowanie
w sprawę — względy rodzinne albo interesy — skłaniają od odpowiedzi
niezgodnych z prawdą itp.
Wiedzą o tym prawnicy. Świadkowie jeśli są chorzy psychicznie, nieletni,
osoby, o których wiadomo, że składały fałszywe zeznania są niewiarygodni
jako informatorzy. Osoby bliskie związkami rodzinnymi z oskarżonym nie
muszą występować jako świadkowie. W prawie regulują to zasady odbierania
przyrzeczenia od osób powołanych na świadków.
Odpowiedź może zakładać jakieś zdanie, może być zdaniem z presupozycją (jako warunkiem sensowności). Taka odpowiedź pośrednio zawiera uznanie tej presupozycji przez kogoś, kto tej odpowiedzi udziela. Fakt uznania
w ten sposób jakiegoś zdania jest łatwy do przeoczenia. Stwarza to okazję
dla pytań sugestywnych.
Definicja 5.26. Pytanie sugestywne to pytanie, które stawiane jest, aby
udzielić osobie pytanej informacji, której ona nie posiada i zasugerować odpowiedź.
425
Domaganie się odpowiedzi właściwej, co jest chociażby domniemane przez
pytanego, daje okazję do zasugerowania pytanemu odpowiedzi. Wiedzą dobrze o tym autorzy ankiet. Najłatwiej opracować wyniki ankiety, która zawiera tylko pytania rozstrzygnięcia: „tak” lub „nie”. Pytania rozstrzygnięcia, wiedzą o tym z kolei osoby wypełniające ankiety, istotnie ograniczają
swobodę odpowiedzi. W angielskiej procedurze prawnej przestrzega się, by
świadkowi nie stawiano pytań rozstrzygnięcia. Ławie przysięgłych stawia się
zaś tylko pytania rozstrzygnięcia. Najmniej sugestywne są pytania otwarte,
ale one, choćby jako pytania ankietowe, znacznie utrudniają opracowanie
wyników ankiety.
Pytania mogą być stawiane podchwytliwie, mianowicie wówczas, gdy
ich założenie stwierdza coś, czego osoba pytana nie chce uznać. Stawiane jest,
aby uzyskać odpowiedź sprzeczną z wcześniejszą odpowiedzią lub w celu uzyskania informacji, którą pytany chce zataić. Ktoś twierdzi, że nie był w Rzymie. Pytanie „z kim był pan w Rzymie?” jeśli doczekałoby się odpowiedzi
właściwej, to pośrednio przyznawałoby, że osoba pytana była w Rzymie.
Przykład 5.1. W telewizji (23 października 1994 r.) miała miejsce następująca rozmowa. Dziennikarz zapytał wicemarszałka Sejmu, J.Z.:
— Czy będzie pan kandydował w wyborach prezydenckich?
Wicemarszałek J.Z. odpowiedział:
— Rozważę to pytanie, gdy władze mojej partii złożą mi taką
propozycję.
Dziennikarz na to:
— Czy pan tę propozycję przyjmie?
Rozmowę na ten temat zamknęła wypowiedź J.Z.:
— O, panie redaktorze, próbuje pan stosować podchwytliwe pytania,
od których specjalistą mógłbym być ja jako prawnik.
Zauważmy, że J.Z. dając odpowiedź właściwą na pytanie o przyjęcie propozycji kandydowania w wyborach prezydenckich dałby pośrednią odpowiedź
właściwą na pytanie, czy będzie kandydował w wyborach prezydenckich, na
które takiej odpowiedzi dać nie chciał.
Kto dobrze zrozumiał sugestywny i podchwytliwy charakter sposobu stawiania pytań zauważy, jak ważne to narzędzie w dyskusjach, negocjacjach
i argumentacji.
Ustawy procesowe zabraniają stawiania pytań sugestywnych, podchwytliwych i dokuczliwych lub wulgarnych. Na pytania sugestywne szczególnie
426
podatne są osoby o mało wyrobionym krytycyzmie, a więc w szczególności
osoby małoletnie.
Definicja 5.27. Pytanie retoryczne to wypowiedź o formie pytania. Celem takiej wypowiedzi nie jest zadanie pytania, lecz jest to wypowiedź przekazująca informację i to w taki sposób, aby podkreślić niekwestionowalność
tej informacji.
Retoryczny charakter pytania jest wyraźny w kontekście wypowiedzi,
w której ono znajduje się.
Pytania w ogóle, a nie tylko retoryczne, mogą być wykorzystane do przekazania informacji. Takiego rodzaju pytaniami są pytania z tezą. W tej
roli mogą wystąpić pytania zamknięte: rozstrzygnięcia, dopełnienia i pytania
otwarte. Kiedy stawiane jest pytanie „czy byłeś chory na chorobę alkoholową?”, to w stosunku do osoby, której jest ono zadane, dopuszczona jest
możliwość, że osoba ta mogła być nałogowym alkoholikiem. Pytany może
więc poczuć się obrażonym, chociaż pytanie to nie jest założeniowym pytaniem rozstrzygnięcia. Oczywiście, w wypadku założeniowych pytań sytuacja
jest jasna. Pytania te przekazują informację. Informacja ta może być obraźliwa dla kogoś (niezależnie od tego, czy jest to informacja prawdziwa,
czy fałszywa). Informować można również pytaniami dopełnienia. Pytanie
„gdzie Korea Północna składuje swoje bomby atomowe?” informuje, że Korea Północna posiada bomby atomowe. Pytanie „ile wczoraj się nauczyłeś?”
informuje, że osoba, której to pytanie jest postawione, wczoraj się uczyła.
Pytanie otwarte „dlaczego wybuchła wojna w Bośni?” informuje, że w Bośni
wybuchła wojna. Pytanie „dlaczego wziąłeś rozwód?” informuje, że osoba,
do której pytanie to jest skierowane, rozwiodła się. Pytania są zręczną formą
przekazywania pewnych informacji.
W wypadku pytań podchwytliwych należy nie ulegać presji i odpowiedzieć przez zanegowanie założenia pytania. W wypadku, gdy pytanie ujawnia informację, której ujawnienie nie jest pożądane, nie należy zadowalać się
stwierdzeniem osoby pytającej, że było to tylko pytanie.
Zadając pytanie można nieświadomie dotknąć jakiegoś emocjonalnego
problemu. Na przykład pytając „kiedy się pani urodziła?” muszę się liczyć
z możliwością próby uniknięcia pytania, gdy osobą pytaną jest starsza zadbana pani.
O możliwościach kształtowania opinii, jakie stwarzają pytania z tezą wiedzą dobrze dziennikarze. W wypadku pytania skierowanego do polityka:
To bardzo intensywny tryb życia, jeśli do tego dodać obowiązki
rodzinne. Kto na tym cierpi najbardziej?
427
Odpowiedź, jakakolwiek by nie była pozostawi w świadomości czytelnika
przekonanie, że polityk zaniedbuje rodzinę.
Pytanie:
Jakie szanse mają dzisiaj młodzi ludzie, którzy chcą pozostać w
kraju a nie wyjechać za granicę?
Tworzy opinię o małych szansach dla młodych ludzi w kraju.
Pytanie „ jaki jesteś naprawdę?” nie tylko zakłada, że osoba, do której
jest ono skierowane „gra”, ale stawiane przez dziennikarza w wypadku osób
znanych ma na celu tworzyć atmosferę zainteresowania czytelnika.
Zadania
Zadanie 5.1. Która z odpowiedzi „tak” lub „nie” na pytanie „czy był pan/i karana sądownie lub administracyjnie?” jest wieloznaczna? Jak te odpowiedzi
rozumieć?
Zadanie 5.2. Czy poprawne jest pytanie:
1. czy od razu po studiach dostaniesz pracę i będziesz mógł wybrać miejsce pracy?
2. czy dostałeś wynagrodzenie i oddałeś je żonie?
Zadanie 5.3. Jakie informacje zawierają pytania:
1. dlaczego twój samochód stoi pod domem twojego kolegi?
2. ile wynosi twój dodatek funkcyjny?
3. dlaczego Jan ożenił się z Zosią?
Zadanie 5.4. Pytanie główne jest następujące:
W jakim zawodzie będziesz pracował?
Podaj kilka pytań dodatkowych.
Zadanie 5.5. Jaka będzie odpowiednia odpowiedź na pytanie?
Pewna pani dzieliła ludzi na tych, którzy siebie lubią i tych, którzy siebie nie lubią. Nie lubiła tych, którzy siebie lubią a lubiła
tych, którzy siebie nie lubią. Czy ta pani lubiła siebie?
Zadanie 5.6. Przeanalizuj pytania (typowe dla wywiadów z ludźmi estrady
i życia publicznego zadawane przez dziennikarzy szukających sensacji):
428
1. To bardzo intensywny tryb życia, jeśli do tego dodać obowiązki rodzinne. Kto na tym cierpi najbardziej?
2. Jaką szansę na odniesienie sukcesu na rynku muzycznym mają dziś
pańskim zdaniem młodzi ludzie?
3. Czy jesteśmy zdrowym psychicznie, normalnym społeczeństwem?
4. Polacy, w zależności od opcji politycznej, jak im wygodnie, wykorzystują autorytet papieża, jego stanowisko w sprawie Unii Europejskiej,
Iraku. Czy to objaw moralnej schizofrenii?
5. Jaki/jaka jesteś naprawdę?
6. Czy to prawda, że od kiedy nie jesz mięsa, zaprzestałeś też praktyk
homoseksualnych?
7. Czy również ty kompensujesz na estradzie swoje niespełnienia?
Indeks
i-ta dziedzina relacji, 75
argumentum ad populum, 237
n-argumentowy spójnik alternatywy, argumentum ad vanitatem, 237
98
argumentum ad verecundiam, 237
n-argumentowy spójnik alternatywy ars dictaminis, 229
rozłącznej, 99
calculus ratiocinator, 11
n-argumentowy spójnik koniunkcji, 99 causa proxima, 195
n-członowa alternatywa rozłączna zdań,causa ramota, 195
99
cessante causa, cessat effectus, 194
n-członowa alternatywa zdań, 98
circulus in definiendo, 396
n-członowa koniunkcja zdań, 99
circulus in probando, 255
n-członowe pytanie rozstrzygnięcia, 414conceptus, 366
n-stopniowa klasyfikacja, 375, 384
conditio sine qua non, 192
n-tka uporządkowana, 74
contingens est, 102
ślad, 16
controversiae, 229
łańcuch przyczynowo-skutkowy, 195 copula, 385
łańcusznik, 311
datum questionis, 415
antistrefon, 267
definiendum, 385
Argumenta ponderantur, non nume- definiens, 385
rantur, 241
definitio non sit pure negativa, 388
Argumentum per eloquentiam, 240
differentia specifica, 370
Audiatur et altera pars, 241
dispositio, 229
Contra facta non valent argumenta, durante causa durat effectus, 194
241
elocutio, 229
argumentum ad auctoritate, 239
ethos, 229
argumentum ad auditorem, 237
explicandum, 407
argumentum ad baculum, 237
explicatum, 407
argumentum ad crumenam, 237
fallacia accidentis, 253
argumentum ad hominem, 236
fallacia a sensu composito ad sensum
argumentum ad ignorantiam, 237
divisum, 250
argumentum ad judicium, 240
fallacia a sensu diviso ad sensum comargumentum ad misericordiam, 237
positum, 252
argumentum ad personam, 238
fallacia consequentis, 259
429
430
fallacia non causae ut causae, 258
fallacia propter non causam ut causam, 258
fallacia, 246
fundamentum divisionis, 372
genus, 370
idem per idem, 396
identitas indiscernibilium, 78
ignoratio elenchi, 254
ignotum per ignotum, 397
impossibile est, 102
inventio, 229
lex rationis determinantis sive sufficientis, 145
linqua characteristica, 11
logica docens, 12
logica utens, 12
logos, 229
manifestum non eget probatione, 148
mathesis universalis, 10
membra divisionis, 372
memoria, 229
modus ponens, 259
modus tollens, 260
necessarium est, 102
nihil fit sine causa, 195
non causa pro causa, 258
non sequitur, 254
omnis definitio in iure civili periculosa est, 396
pathos, 229
per fas et nefas, 227
petitio principii, 255, 257
post hoc, ergo propter hoc, 258
principium rationis sufficientis, 145
privatio, 67
pronuntiatio, 229
regresus in infinitum, 389
salva congruitate, 37
salva veritate, 369
INDEKS
sophisma duplicis interrogationis ut
unius, 423
sophisma inductionis, 262
suasoriae, 229
totum divisionis, 372
transitus a dicto secundum quid ad
dictum simpliciter, 253
transitus de genere ad genus, 254
abstrahowanie, 69
affirmo, 296
agregat, 65
akapit, 118, 121
akcent logiczny, 115
aksjomat, 154
aktualna wieloznaczność, 127
alternatywa rozłączna zdań, 90
alternatywa zdań, 89
amfibolia, 115, 129
amfibologia, 115
analogia, 30, 154
antynomia logiczna, 266
argument funkcji, 83
argument Koraksa, 228, 236
argument odwołujący się do powszechnej praktyki, 239
argument spójnika, 88
argumentacja, 148, 230
argumentacja „czy się godzi, czy nie”,
227
argumentacja skuteczna, 232
argumentacja sprawna, 232
argumentowość litery predykatowej, 316
argumentum a simili, 215
argumentum ad hominem, 238
argumentum ad personam, 236
atrybut, 85
błąd akcentu, 247
INDEKS
431
błąd błędnego koła w definiowaniu, binegacja zdań, 91
396
cecha konsekutywna, 55
błąd czterech terminów, 308
cecha konstytutywna, 54
błąd ekwiwokacji, 248
cechy kontradyktoryczne, 373
błąd formalny, 246
charakterystyka, 396
błąd hipostazowania, 65
charakterystyka ekstensjonalna zakresu
błąd materialny, 256
nazwy, 367
błąd merytoryczny, 256
charakterystyka ekstensjonalna zbioru,
błąd nieformalny, 246
367
błąd nieuzasadnionego uogólnienia, 262
chwiejne znaczenie, 128
błąd odrzucenia poprzednika, 260
chwyt erystyczny, 141, 236
błąd podziału, 250
conversio per accidens, seu non mubłąd prowincjonalizmu, 262
tua, 302
błąd przejścia od znaczenia względconversio
per contrapositionem, 303
nego do bezwzględnego, 253
błąd przesunięcia kategorialnego, 399 conversio simplex, seu simpliciter, seu
mutua, 302
błąd przypadkowości, 253
błąd stwierdzenia alternatywy rozłącz- człon podziału, 372
człony alternatywy, 89
nej, 252
człony alternatywy rozłącznej zdań,
błąd terminów relacyjnych, 249
90
błąd uznania następnika, 259
człony binegacji zdań, 91
błąd wieloznaczności, 247
błąd wnioskowania z reguły na wyją- człony dysjunkcji zdań, 92
tek, 263
człony koniunkcji zdań, 91
błąd wnioskowania z wyjątku na redana, 85
gułę, 263
dana pytania, 415
błąd złożenia, 252
dedukcja naturalna, 339
błędne koło bezpośrednie, 255
błędne koło bezpośrednie w definio- definicja, 366
definicja adekwatna, 386
waniu, 396
definicja aksjomatyczna, 389
błędne koło pośrednie, 256
błędne koło pośrednie w definiowa- definicja arbitralna, 395
definicja cząstkowa, 388
niu, 397
badanie statystyczne częściowe, 181 definicja deiktyczna, 368
definicja indukcyjna, 369
badanie statystyczne pełne, 181
definicja klasyczna, 370, 371
baza danych, 85
definicja konstrukcyjna, 395
baza indukcji, 179
definicja kontekstowa, 389
bezpośredni następnik, 81
definicja legalna, 399
bezpośredni poprzednik, 81
bezsens, 31
definicja nominalna, 367, 385
432
INDEKS
definicja normalna, 388
dowód przez sprowadzenie do niedorzeczności, 160
definicja ostensywna, 368
dowód rzeczowy, 161
definicja pełna, 388
dowód wprost, 160
definicja perswazyjna, 392
dowód założeniowy, 339
definicja projektująca, 394
dowód zdania, 159, 284
definicja przez abstrakcję, 379
dowodzenie, 159, 162, 225
definicja przez postulaty, 389
dowodzenie analityczne, 161
definicja realna, 366
dowodzenie progresywne, 161
definicja regulująca, 394
dowodzenie regresywne, 161
definicja rekurencyjna, 369
dowodzenie syntetyczne, 161
definicja sprawozdawcza, 393
definicja sprawozdawcza treściowa, 394 drzewo analityczne, 355
definicja sprawozdawcza zakresowa, 394dysjunkcja zdań, 92
dyspozycja, 377
definicja tautologiczna, 397
dziedzina, 50
definicja terminu, 297
dziedzina języka, 50
definicja wyraźna, 389
definicja w stylizacji przedmiotowej, dziedzina relacji, 75
390
definicja w stylizacji słownikowej, 391
definicja w stylizacji semantycznej, 391
definicja w uwikłaniu, 389
definicja za szeroka, 398
definicja za szeroka i za wąska, 398
definicja za wąska, 397
definicja zdania, 277, 297
definiowanie, 385
denotacja, 50
denotowanie, 50
desygnat nazwy, 50
determinanda, 373
determinant, 373
determinowanie, 69
dezorientacja przekonywanego, 241
diagram Venna, 298
dopełnienie relacji, 77
dopełnienie względne, 58
dowód apagogiczny, 160
dowód formuły, 334
dowód niewprost, 160
ekspansja wiedzy, 151
eksplikacja, 407
ekwipolencja, 304
ekwiwokacja, 127
element R-maksymalny w zbiorze, 81
element R-minimalny w zbiorze, 81
element R-najmniejszy w zbiorze, 81
element R-największy w zbiorze, 81
entymemat, 310
epicheremat, 310, 311
epistemiczne rozumienie modalności,
106
erudycja, 241
erystyka, 227
eufemizm, 33
fałszywy dylemat, 256
figura syllogismi, 308
figura sylogistyczna, 308
forma wnioskowania, 157
formalna poprawność podziału logicznego, 373
INDEKS
formalne warunki poprawności definicji, 396
format danej, 85
formuła, 317
formuła atomowa, 316
fortel, 236
frazes, 133
funkcja, 83
funkcja agitatywna języka, 23
funkcja argumentacyjna języka, 23
funkcja deskryptywna języka, 22
funkcja dydaktyczna języka, 23
funkcja dyrektywna języka, 20
funkcja ekspresywna języka, 20, 22
funkcja estymatywna języka, 23
funkcja ewokatywna języka, 22
funkcja fatyczna języka, 23
funkcja imperatywna języka, 22
funkcja impresywna języka, 22
funkcja informacyjna języka, 19
funkcja instrumentalna języka, 22
funkcja interrogacyjna języka, 23
funkcja komunikatywna języka, 22
funkcja konotatywna języka, 23
funkcja opisowa języka, 22
funkcja performatywna języka, 23
funkcja perswazyjna języka, 23
funkcja poznawcza języka, 22
funkcja prawdziwościowa języka, 22
funkcja promotywna języka, 22
funkcja terapeutyczna języka, 23
funkcja wzajemnie jednoznaczna, 84
funkcja zobowiązywania się, 21
funkcje języka, 18
funktor Łukasiewicza, 91
funktor Sheffera, 92
głębokość podziału tekstu, 120
gałąź, 349
gałąź otwarta, 349
433
gałąź sprzeczna, 349
gałąź zamknięta, 349
generalizacja, 69
graf, 84
gramatyka języka, 27
hasło, 16
homonim, 29
I prawo De Morgana dla rachunku
zdań, 345
ideogram, 26
idiom, 29, 131
ilość, 296
iloczyn relacji, 76
iloczyn względny relacji, 77
implikacja, 154
implikacja ścisła, 95
implikacja formalna, 95
implikacja materialna, 95
implikacja odwrotna, 95
implikacja przeciwna, 95
implikacja przeciwstawna, 96
implikacja zdań, 93
indukcja eliminacyjna, 191, 199
indukcja enumeracyjna, 173
indukcja enumeracyjna zupełna, 174
indukcja matematyczna, 178, 369
indukcja statystyczna, 181
inferencja, 284
intensjonalna charakterystyka zakresu
nazwy, 367
intensjonalna charakterystyka zbioru,
367
interpretacja tekstu, 124
interpretacja zdania, 279
język, 15, 25
język n-tego stopnia, 57
język ekstensjonalny, 369
język formalny, 27
434
język intensjonalny, 369
język migowy, 15
język naturalny, 17
język neutralny emocjonalnie, 33
język prawniczy, 17
język prawny, 17
język sylogistyki, 297
język sztuczny, 17
jakość, 296
jasne znaczenie, 27
jednostka tekstowa, 118
INDEKS
konwers relacji, 76
konwersja, 302
konwersja prosta, 302
konwersja przez kontrapozycję, 303
konwersja przez zmianę ilości, 302
konwersja z ograniczeniem, 302
korespondencyjan koncepcja prawdy,
41
korzeń drzewa, 349
krok indukcyjny, 179
krotka, 74
kryterium prawdy, 44
kłamstwo, 43
kryterium sortowania, 86
kanon indukcji eliminacyjnej Milla, 191 kwantyfikator, 111, 316
kanon Milla, 200
kwerenda, 86
kategoria składniowa, 37
kategoria syntaktyczna, 37
liść, 349
kategoryczne zdanie ogólnoprzeczące, liczba naturalna, 369
296
litera, 26
kategoryczne zdanie ogólnotwierdzące, litera predykatowa, 316
296
litera zdaniowa, 277
kategoryczne zdanie szczegółowo prze- logika, 9, 10, 141
czące, 297
logika erotetyczna, 411
kategoryczne zdanie szczegółowo twier- logika formalna, 11
dzące, 296
logika jako sztuka, 12
klasa abstrakcji, 378
logika matematyczna, 10
klasyczna koncepcja prawdy, 40
logika nieformalna, 11
kod, 16
logika praktyczna, 11
koherencyjna koncepcja prawdy, 41
logika zdań, 11
komunikacja niewerbalna, 131
logomachia, 128
konceptualizacja, 366
mętne znaczenie, 27
konceptualizacja a związek przyczynowomacierz, 84
skutkowy, 196
margines błędu, 182
konieczność, 102
metafora, 30
koniunkcja zdań, 91
metajęzyk, 57
konkluzja, 150
konotacja nazwy, 53
metoda diagramów Venna, 348
konsekwencja zdań, 153
metoda dowodów założeniowych, 339,
348
kontrakcja, 151
kontrtautologia, 280
metoda elenktyczna, 236
INDEKS
metoda etymologiczna, 394, 408
metoda filologiczna, 390, 408
metoda indukcyjna, 408
metoda majeutyczna, 236
metoda Milla, 200
metoda różnicy, 203
metoda reszt, 205
metoda słowotwórcza, 394
metoda tablic semantycznych, 348
metoda zero-jedynkowa, 281, 348
metoda zero-jedynkowa wprost, 281
metoda zerojedynkowa niewprost, 281
metoda zgodności, 201
metoda zmian towarzyszących, 207
metodologia nauk, 146
możliwość, 102
moc wiązania przez spójniki, 278
modalność de dicto, 103
modalność de re, 102
modalność aletyczna, 104
modalność deontyczna, 104
modalność egzystencjalna, 104
modalność epistemiczna, 104
modalność fizyczna, 103
modalność logiczna, 103–105
modalność metafizyczna, 104
modalność moralna, 103
modalność normatywna, 103
modus syllogismi, 308
modus tollens, 344
monotoniczność rozumowania, 158
największa jednostka tekstowa, 118
następnik implikacji, 93
następstwo zdań, 153
naturalny podział logiczny, 374
nazwa, 49
nazwa sensu largo, 69
nazwa sensu stricto, 69
nazwa absolutna, 66
435
nazwa abstrakcyjna, 65
nazwa cudzysłowowa, 56
nazwa generalna, 64
nazwa indywidualna, 65
nazwa intuicyjna, 68
nazwa klasyfikująca, 383
nazwa konkretna, 65
nazwa masowa, 64
nazwa nieostra, 67
nazwa niepoliczalna, 64
nazwa nieprywatywna, 67, 373
nazwa nierelatywna, 66
nazwa nieuniwersalna, 63
nazwa niewyraźna, 68
nazwa niezależna, 66
nazwa niezbiorowa, 66
nazwa ogólna, 64
nazwa ostra, 67
nazwa o znaczeniu intuicyjnym, 68
nazwa o znaczeniu naocznym, 68
nazwa policzalna, 64
nazwa porządkująca, 381
nazwa porządkująca n-wymiarowa, 382
nazwa prosta, 63
nazwa prywatywna, 67, 373
nazwa pusta, 64
nazwa relatywna, 66
nazwa typologiczna, 383
nazwa uniwersalna, 63
nazwa wieloznaczna zakresowo, 53
nazwa wyraźna, 68
nazwa w sensie szerszym, 69
nazwa w sensie węższym, 69
nazwa złożona, 63
nazwa zależna, 66
nazwa zbiorowa, 65
nazwy antonimiczne, 63
nazwy o przeciwstawnym znaczeniu,
63
nazwy podprzeciwne, 62
436
nazwy przeciwne, 61
nazwy równoważne, 58
nazwy równoznaczne, 52, 59
nazwy sprzeczne, 62
nazwy współrzędne ze względu na podział, 374
negacja zdania, 89
negatywne założenie pytania, 417
nego, 296
nieadekwatność definicji, 397
niedopowiedzenie, 131
nieepistemiczne rozumienie modalności, 106
niejasne znaczenie, 27
niekonieczność, 102
niemożliwość, 102
niepustość partycji, 377
niepustość podziału logicznego, 371
niepustość podziału merologicznego,
377
nierozstrzygalność rachunku predykatów, 356
niesprzeczność przekonań, 145
niesprzeczny system wiedzy, 144
niewiadoma pytania, 415
nieznane przez nieznane, 397
nonsens, 31
INDEKS
odrzucanie zdania w systemie wiedzy,
143
odrzucenie zdania przez kogoś, 143
ogólność wniosku we wnioskowaniu indukcyjnym, 175
operator abstrakcji, 370
opis, 396
oppositio contradictionis, 301
oppositio contraria, 300
oppositio subalterna, 301
oppositio subcontraria, 301
osłabiony warunek rozłączności, 384
osnowa pytania, 415
owczy pęd, 239
oznaczanie, 50
oznaka, 16
półrozstrzygalność, 355
paradoks, 266
paradoks „Łysy”, 267
paradoks „Człowiek w kapturze”, 267
paradoks „Golibroda”, 269
paradoks „Kłamca”, 267
paradoks „Mocny kłamca, 269
paradoks „Rogacz”, 267
Paradoks „Sąd”, 267
paradoks Grellinga, 269
paradoks niespodziewanego egzaminu,
obiektywna wielkość informacji, 19
269
objaw, 16
paradoks przyrzeczenia, 269
obwersja, 304
paradoks Russella, 269
odpowiedź, 412
paradoks wiedzy, 269
odpowiedź całkowita, 420
paradoks wykonania, 269
odpowiedź całkowita niewprost, 420 paralogizm, 246
odpowiedź całkowita wprost, 420
partycja, 377
odpowiedź częściowa, 421
partykuła pytajna, 412
odpowiedź właściwa, 416
periodyzacja, 377
odpowiedź właściwa warunkowa , 421 perswazja, 228
odpowiedź wyczerpująca, 420
pień drzewa, 349
odróżnienie, 396
pismo Braille’a, 15
INDEKS
437
pismo ideograficzna, 26
postulat ekonomii dla wnioskowania
dedukcyjnego, 159
pleonazm, 132
połączona metoda zgodności i różnicy, postulat prostoty dowodu, 161
potęgowanie relacji, 77
204
potencjalna wieloznaczność, 127
podformuła, 318
poziom ufności, 182
podział czasowy, 377
poznanie bezpośrednie, 147
podział dychotomiczny, 373
pozytywne założenie pytania, 417
podział funkcjonalny, 373
próba, 181, 182
podział genetyczny, 373
próba losowa, 184
podział logiczny, 371
praemissa maior, 308
podział mereologiczny, 377
praemissa minor, 308
podział przestrzenny, 377
pragmatyczna koncepcja prawdy, 41
podział strukturalny, 373
pragmatyczna poprawność podziału
podział typologiczny, 384
logicznego, 373
podział wieloczłonowy, 373
pragmatyczne warunki poprawności depojęcie, 51, 366
finicji, 396
pojęcie klasyfikujące, 383
pragmatyka, 17
pojęcie porządkujące, 381, 383
prawa konwersji, 300
pojęcie porządkujące n-wymiarowe, 382
prawa kwadratu logicznego, 300
pojęcie porządkujące jednowymiarowe,
prawa obwersji, 300
381
prawda absolutnie pierwsza, 145
pojęcie porządkujące wielowymiarowe,
prawda konieczna, 146
381
prawda pierwotna, 145
pojęcie rodzajowe, 370, 371
prawda pochodna, 145
pojęcie typologiczne, 382, 383
prawda pochodna rozumowa, 146
pojęciowanie a związek przyczynowo- prawda pochodna-faktyczna, 146
skutkowy, 196
prawda wtórna, 145
pole, 85
prawdopodobieństwo częstościowe, 169
pole relacji, 74
prawdopodobieństwo logiczne, 169
polisylogizm, 310, 311
prawdopodobieństwo matematyczne,
pomiar, 381
169
poprzednik implikacji, 93
prawdopodobieństwo psychologiczne,
populacja, 181, 182
169
porównanie, 396
prawo logiki, 9
porządek dyskretny, 81
prawo logiki predykatów, 336
porządek gęsty, 80
prawo logiki zdań, 289
post hoc ergo propter hoc, 259
predykat n-argumentowy, 72
postulat, 389
predykat równości, 72
postulat ekonomii, 124
presupozycja pytania, 414
438
INDEKS
probierz prawdy, 44
pytanie niezawisłe, 412
program komputerowy, 23
pytanie otwarte, 415
propositio affirmativa, 296
pytanie podchwytliwe, 425
propositio indefinita, 296
pytanie retoryczne, 426
propositio negativa, 296
pytanie rozstrzygnięcia, 414
propositio particularis, 296
pytanie sugestywne, 424
propositio singularis, 296
pytanie uzupełniające, 423
propositio universalis, 296
pytanie właściwie postawione, 418
propositiones contrariae, 300, 301
pytanie wielu wyborów, 416
propositiones subcontrariae, 301
pytanie wyboru, 415
przecięcie relacji, 76
pytanie z tezą, 426
przeciwdziedzina relacji, 75
pytanie założeniowe, 414
przedmiot formalny, 123
pytanie zamknięte, 414
przedmiot masowy, 64
pytanie zawisłe, 412
przedmiot materialny, 123
quaternio terminorum, 308
przedmiot zbiorowy, 65
przedmioty identyczne, 78
różnica gatunkowa, 370, 371
przedział ufności, 182
równomierność podziału, 120
przekonanie racjonalne, 145
równorzędność jednostek tekstowych,
przenośnia, 30
119
przesłanka, 148, 284, 334
równoważność zdań, 96
przesłanka entymematyczna, 148
rachunek logiczny, 10
przesłanka indukcyjna, 174
racja uznania, 145
przesłanka mniejsza, 308
racja zdania, 153
przesłanka większa, 308
przestawianie kwantyfikatorów ogól- racjonalizacja, 145
reductio ad absurdum, 160
nych, 345
reguła ∃L, 354
przyczyna, 194
przyczyna jako warunek konieczny, 194 reguła ∃P , 354
przyczyna jako warunek wystarcza- reguła ∀L, 354
reguła ∀P , 355
jący, 194
reguła ∧L, 351
przyczyna sprawcza, 194
reguła ∧P , 351
przygodność, 102
reguła ⇔ L, 353
pytanie, 411
reguła ⇔ P , 353
pytanie n-wyborów, 416
reguła ¬L, 350
pytanie bezałożeniowe, 414
reguła ¬P , 351
pytanie dodatkowe, 423
reguła ∨L, 352
pytanie dopełnienia, 413
reguła ∨P , 352
pytanie dydaktyczne, 422
pytanie niewłaściwie postawione, 418 reguła ⇒ L, 352
INDEKS
439
reguła ⇒ P , 353
reguła znaczeniowa, 25
reguła dołączania alternatywy, 340
reguły dołączania nowych wierszy dowodowych, 339
reguła dołączania dużego kwantyfikatora, 341
reguły tworzenia dowodu, 339
reguła dołączania koniunkcji, 340
reguły wielokrotne, 350
reguła dołączania małego kwantyfi- rekord, 85
katora, 341
relacja n-członowa, 74
reguła dołączania nowych wierszy do- relacja antysymetryczna, 79
relacja częściowo porządkująca, 79
wodowych, 339
reguła dołączania równoważności, 340 relacja identyczności, 79
reguła eliminowalności, 400
relacja jednoznaczna, 83
reguła jednokrotna, 350, 354, 355
relacja jednoznaczna w m-tej dziedzireguła kwantyfikatorowa, 349
nie, 82
reguła lewostronna, 350
relacja leżenia poniżej, 349
reguła nietwórczości, 400
relacja liniowo porządkująca, 80
reguła odrywania, 284
relacja odwrotnie jednoznaczna, 84
reguła opuszczania alternatywy, 340 relacja pełna, 75
reguła opuszczania dużego kwantyfi- relacja porządkująca, 79, 80
relacja przechodnia, 78
katora, 341
reguła opuszczania koniunkcji, 340
relacja pusta, 75
reguła opuszczania małego kwantyfi- relacja równoważności, 78
katora, 341
relacja spójna, 80
reguła opuszczania równoważności, 340 relacja symetryczna, 78
reguła pierwotna dowodu założenio- relacja wyprzedzania związana z rewego, 339, 340
lacją równoważności, 380
reguła prawostronna, 350
relacja w zbiorze, 77
reguła rozgałęźna, 350
relacja zwrotna, 78
reguła semantyczna, 25
relatywność prawdy, 41
reguła składniowa, 25
reprezentowanie, 182
reguła syntaktyczna, 25
retoryka, 227, 228
reguła tworzenia dowodu założenio- rewizja wiedzy, 151
wego, 342
rozłączność partycji, 377
reguła tworzenia dowodu założenio- rozłączność podziału logicznego, 371
wego niewprost, 342
rozłączność podziału merologicznego,
reguła tworzenia dowodu założenio377
wego wprost, 342
rozgałęzienie, 349
reguła wielokrotna, 354, 355
rozstrzygalność rachunku zdań, 355
reguła wtórna dowodu założeniowego, rozumienie racjonalności, 146
rozumowanie, 141, 147, 223
339
reguła zdaniowa, 349
rząd jednostki tekstowej, 119
440
słówko kwantyfikujące, 108
słówko modalne, 102, 130
słówko okazjonalne, 29
słownik, 25, 26
słownik języka rachunku zdań, 277
słownik języka sylogistyki, 297
słowo, 26
sąd, 38
samowybór, 185
schemat formuły, 336
schemat logiczny zdania, 289
schemat zdania, 289
semantyczna poprawność tekstu, 120
semantyka, 17, 18
semiotyka, 18
semiotyka logiczna, 11
sens deskryptywny, 28
sens emocjonalny, 28
sens kognitywny, 28
sens pragmatyczny, 28
sensowna całość, 120
skala pomiaru, 381
skutek, 194
sofistyka, 227, 228
sofizmat, 246
sofizmat podwójnego pytania, 423
sofizmat przejścia z jednego rodzaju
do drugiego, 254
sortowanie, 86
soryt, 310, 311
soryt Arystotelesa, 311
soryt Gocleniusa, 311
spójnik, 316
spójnik n-argumentowy, 88
spójnik alternatywy, 89
spójnik alternatywy rozłącznej, 90
spójnik binegacji, 91
spójnik definicyjny, 385
spójnik dwuargumentowy, 277
spójnik dysjunkcji, 92
INDEKS
spójnik główny, 88, 279
spójnik implikacji, 93
spójnik jednoargumentowy, 88, 277
spójnik konieczności, 105
spójnik koniunkcji, 91
spójnik mozliwości, 104
spójnik negacji, 89
spójnik podwójnego przeczenia, 91
spójnik prawdziwościowy, 97
spójnik równoważności, 96
spójnik wieloargumentowy, 99
spór werbalny, 128
specjalizacja, 69
sprawdzanie, 225
sprzeczny system wiedzy, 144
stała indywiduowa, 316
stopień dokładności, 182
stopień wiarygodności, 182
stosunek dopełniania, 61
stosunek krzyżowania, 60
stosunek nadrzędności, 59, 301
stosunek podporządkowania, 301
stosunek podprzeciwieństwa, 61, 301
stosunek podrzędności, 60, 301
stosunek przeciwieństwa, 61, 300
stosunek równoważności, 59
stosunek racja-następstwo, 153
stosunek sprzeczności, 301
stosunek wykluczania, 61
stosunek wynikania, 153
stracenie wątku, 254
struktura lingwistyczna wyrażenia, 38
struktura logiczna wyrażenia, 38
struktura tekstu, 118
subiektywna wielkość informacji, 19
substrat znaku, 15
suma relacji, 76
superpozycja relacji, 77
supozycja, 129
supozycja formalna, 55
INDEKS
supozycja materialna, 56
supozycja naturalna, 55
supozycja przedmiotowa, 55
suppositio formalis, 55
suppositio materialis, 56
suppositio naturalis, 55
suppositio personalis, 55
suppositio simplex, 55
sygnał, 16
sylogistyka, 11
sylogizm, 307
sylogizm doskonały, 310
sylogizm niedoskonały, 310
sylogizm retoryczny, 310
sylogizm warunkowy, 343
symbol, 16
symptom, 16
synonim, 31
syntaktyczna spójność, 27
syntaktyka, 17
system aksjomatyczny, 154
system zarządzania baza danych, 86
systematyka, 375
szczerość, 43
szeregowanie, 377
sztuczny podział logiczny, 374
szyfr, 16
441
temat, 123
teoria niesprzeczna, 144
teoria pomiaru, 381
teoria poznania, 146
teoria rozumowań, 141
teoria sprzeczna, 144
teoria zupełna, 144
term, 316
term podstawialny, 319
termin, 69, 296
termin średni, 308
termin mniejszy, 308
termin pierwotny, 395
termin pierwotny postulatu, 389
termin powszechny, 395
termin prosty, 395
termin większy, 308
termin zdefiniowany w uwikłaniu, 389
terminus maior, 308
terminus medius, 308
terminus minor, 308
teza dowodu, 159
teza rachunku predykatów, 334
treść charakterystyczna nazwy, 54
treść językowa nazwy, 53
treść konstytutywna nazwy, 54
treść niewyraźna, 68
treść pełna nazwy, 54
tablica, 84
treść wyraźna, 68
tablica binarna, 350
trivium, 229
tablica otwarta, 349
tryb sylogistyczny, 308
tablica semantyczna, 349, 355
twierdzenie o dedukcji, 285
tablica zakończona, 350
typ danej, 85
tablica zamknięta, 349
typ empiryczny, 383
tautologia, 280
typ idealny, 383
tautologia języka rachunku predyka- typ krańcowy, 382
tów, 333
typ modalny, 383
tekst, 117
typ przeciętny, 383
tekst redundantny, 133
tytuł, 123
tekst spójny, 121
tytuł adekwatny, 123
442
INDEKS
tytuł za szeroki, 123
wizualizacja, 154
tytuł za szeroki i za wąski zarazem, wniosek, 150
124
wnioskowanie, 156, 225
tytuł za wąski, 124
wnioskowanie bezpośrednie, 300
wnioskowanie dedukcyjne, 156, 158,
uniwersum języka, 50
173, 223
urok słowa, 240
wnioskowanie entymematyczne, 156
ustawiczne powtarzanie, 240
wnioskowanie indukcyjne, 173
ustratyfikowana próba losowa, 184
wnioskowanie przez analogię, 214, 215,
uzasadnianie, 146, 150, 225
217, 223
uzasadnianie bezpośrednie, 147
wnioskowanie przez indukcję enumeuzasadnianie pośrednie, 147
racyjną zupełną, 176
uzasadnianie przez przykłady, 178
wnioskowanie przez indukcję matemauznawanie zdania, 143
tyczną, 179
uznawanie zdania przez kogoś, 143
wnioskowanie redukcyjne, 175, 222,
uznawanie zdania w systemie wiedzy,
223
143
wnioskowanie statystyczne, 181
wnioskowanie uprawdopodobniające,
wartość funkcji, 83
167
wartość logiczna, 279
wskazanie, 396
wartość logiczna zdania, 44
wyjaśnianie, 225
warunek indukcyjny definicji, 369
wynikanie, 152, 154, 284
warunek konieczny, 192, 386
warunek konieczny i wystarczający, wynikanie entymematyczne, 152
wyprowadzalność, 284
193, 386
wyprowadzalność zdania, 153
warunek niepustości, 118, 384
wyrażenie, 27
warunek początkowy definicji, 369
wyrażenie nacechowane pejoratywnie,
warunek rozłączności, 118
33
warunek wystarczający, 192, 386
wyrażenie
nacechowane pozytywnie,
warunek zupełności, 118, 384
33
werbalna charakterystyka zakresu nawyrażenie
nazwowe, 51
zwy, 368
wyrażenie performatywne, 23
wiedza obiektywna, 143
wyrażenie proste, 27
wiedza subiektywna, 143
wyrażenie wymienialne, 37
wielkość informacji, 19
wyrażenie złożone, 27
wieloczłonowa alternatywa, 99
wieloczłonowa alternatywa rozłączna, wyraz, 26
wyraz relacyjnie wieloznaczny, 30
99
wyraz systematycznie wieloznaczny, 29
wieloczłonowa koniunkcja, 99
wiersz dowodowy, 339
wyraz umyślnie wieloznaczny, 30
INDEKS
złożenie relacji, 77
założenie, 284, 334
założenie indukcyjne, 179
założenie pytania, 414
zakres analityczny nazwy, 51
zakres działania kwantyfikatora, 318
zakres dzielony, 372
zakres nazwy, 50, 367
zakres niewiadomej pytania, 415
zakres predykatu, 75
zakres syntetyczny nazwy, 51
zaprzeczenie zdania, 89
zapytanie, 86
zasada abstrakcji, 378
zasada dwuwartościowości, 44
zasada ekonomii, 394, 424
zasada ekstensjonalności, 369
zasada identyczności przedmiotów nieodróżnialnych, 78
zasada jedności przyczyny, 195
zasada niesprzeczności, 89, 144
zasada podwójnego przeczenia, 89
zasada podwójnej negacji, 344
zasada podziału, 372
zasada przyczynowości, 195
zasada racji dostatecznej, 145
zasada skutkowości, 195
zasada tożsamości, 144
zasada wyłączonego środka, 89, 144
zbiór dystrybutywny, 250
zbiór kolektywny, 65, 250
zbiór uniwersalny, 50
zbiory współrzędne ze względu na podział, 374
zdania dopełniające się, 46
zdania logicznie równoważne, 46
zdania podporządkowane, 106
zdania podprzeciwne, 106, 301
zdania przeciwne, 106, 300
zdania równoznaczne, 39
443
zdania sprzeczne, 46, 106, 301
zdania wykluczające się, 47
zdanie, 277
zdanie żywe, 350
zdanie analityczne, 45
zdanie apodyktyczne, 104
zdanie asertoryczne, 104
zdanie egzystencjalne, 72
zdanie fałszywe, 40
zdanie identycznościowe, 73
zdanie języka rachunku predykatów,
319
zdanie jednostkowe, 110
zdanie martwe, 350
zdanie modalne, 102, 104
zdanie ogólne, 110
zdanie ogólno-przeczące, 110
zdanie ogólno-twierdzące, 110
zdanie ogólnoprzeczące, 296
zdanie ogólnotwierdzące, 296
zdanie podmiotowo-orzecznikowe, 102
zdanie powinnościowe, 399
zdanie prawdziwe, 40
zdanie problematyczne, 104
zdanie proste, 88
zdanie subsumpcyjne, 73
zdanie syntetyczne, 46
zdanie szczegółowe, 110
zdanie szczegółowo przeczące, 296
zdanie szczegółowo twierdzące, 296
zdanie warunkowe, 93
zdanie warunkowe odwrotne, 95
zdanie warunkowe przeciwne, 95
zdanie warunkowe przeciwstawne, 96
zdanie wewnętrznie kontradyktoryczne,
45
zdanie wewnętrznie sprzeczne, 45
zdanie w sensie logicznym, 38
zdanie złożone, 88
zgodnościowe rozumienie prawdy, 41
444
zjawisko proste, 200
zjawisko złożone, 200
zmienna indywiduowa, 316
zmienna wolna, 319
zmienna związana, 319
znaczenie sensu largo, 60
znaczenie sensu proprio, 60
znaczenie sensu stricto, 60
znaczenie aktualne, 29
znaczenie dosłowne, 28, 131
znaczenie idiomatyczne, 29
znaczenie kontekstowe, 30
znaczenie potencjalne, 29
znaczenie słownikowe, 28
znaczenie szersze, 60
znaczenie właściwe, 60
znaczenie węższe, 60
znaczenie wyrażenia, 27
znak, 15
znak dotykowy, 16
znak ikoniczny, 16
znak interpunkcyjny, 113, 277, 316
znak prosty, 18
znak równowagi, 16
znak słuchowy, 16
znak smakowy, 16
znak węchowy, 16
znak wzrokowy, 16
znak złożony, 18
zupełność partycji, 377
zupełność podziału logicznego, 371
zupełność podziału merologicznego, 377
zupełny system wiedzy, 144
związek analityczny, 95
związek przyczynowo-skutkowy, 94, 194
związek strukturalny, 94
związek tetyczny, 94
związek wynikania, 94
INDEKS

Logika - Katedra Logiki, Informatyki i Filozofii Nauki, Uniwersytet w

Transkrypt

Podobne dokumenty

Przedmioty przyrodnicze

Historia i wiedza o społeczeństwie

Exam Practice – poziom rozszerzony