Zadania z rysowania i dopasowania funkcji

Spis treści
1 Zadania z rysowania i dopasowania funkcji
1.1 Znajdowanie miejsca zerowego funkcji
1.2 Wczytywanie danych i wykres
1.3 Dopasowywanie krzywej do danych i wykres
1.3.1 Wskazówki
Zadania z rysowania i dopasowania funkcji
Znajdowanie miejsca zerowego funkcji
Wyznaczyć pierwiastek równania
w przedziale [−2;2] metodą bisekcji. Kolejne kroki
algorytmu zilustrować serią wykresów analogicznie do poniższego przykładu.
[...przykład...]
Wczytywanie danych i wykres
W tym zadaniu analizujemy fragment wyników eksperymentu dotyczącego pomiaru stałej StefanaBoltzmanna. W eksperymencie tym walec polerowany i okopcony podgrzewane są grzałkami
dostarczającymi jednakową moc każdemu z nich. Dla pewnej temperatury walców ustala się
równowaga pomiędzy ilością energii dostarczanej przez grzałkę a ilością energii
wypromieniowywanej przez walec. Temperatura ta jest zależna od współczynnika promieniowania
ciała. Jak można się domyśleć, ciało, które promieniuje więcej, będzie mieć niższą temperaturę przy
tej samej mocy dostarczanej przez grzałkę.
Plik Plik:Seria I.txt zawiera trzy kolumny danych. Dane te to odpowiednio: kolejne chwile czasu
(mierzonego w minutach) oraz pomiary temperatury walca polerowanego i okopconego.
Proszę:
zapisać plik w bieżącym katalogu;
korzystając z funkcji dostępnych w module pylab wykreślić dane tak aby uzyskać rysunek
analogiczny do poniższego:
.
Dopasowywanie krzywej do danych i wykres
W poprzednim zadaniu rozważaliśmy dochodzenie walców do równowagi termicznej. Proces ten
teoretycznie powinien przebiegać w czasie zgodnie z funkcją:
gdzie:
—
temperatura równowagi, — pewien parametr, — stała czasowa dochodzenia do równowagi. Te
trzy wartości nazywamy parametrami poszukiwanej funkcji. Mając zebrane punkty doświadczalne,
czyli zestaw wartości t i T(t), możemy spróbować z nich wyznaczyć nieznane parametry TR, A oraz .
Procedurę taką nazywamy dopasowaniem krzywej do punktów doświadczalnych.
Poniższe wskazówki pokazują jak uzyskać pożądane wyniki dla walca polerowanego. Do danych z
poprzedniego zadania proszę rozwinąć przykładowy kod tak aby dla walca czarnego:
dopasować krzywą opisaną powyższym równaniem;
wypisać wartości otrzymanych parametrów i ich standardowe odchylenia;
wykreślić otrzymane krzywe teoretyczne na tle punktów z zaznaczonymi błędami tak jak
przedstawia to poniższy rysunek:
Wskazówki
Ponieważ zagadnienia dopasowywania parametrów krzywych wybiegają poza zakres materiału tych
ćwiczeń, poniżej podajemy kody przydatnych do tego celu funkcji. Generalnie metoda polega na
takim modyfikowaniu wartości dopasowywanych parametrów, aby zminimalizować rozbieżność
pomiędzy wartościami funkcji obliczonymi ze wzoru teoretycznego a odpowiadającymi im
wartościami zmierzonymi w eksperymencie. Rozbieżność tę (w postaci sumy kwadratów różnic w
każdym punkcie doświadczalnym) oblicza w poniższym kodzie funkcja funkcja_bledu, zaś za
odpowiednie modyfikacje parametrów, prowadzące do zmniejszenia sumy kwadratów rozbieżności,
odpowiada funkcja leastsq z modułu scipy.optimize. Funkcja ta jest wykorzystywana wewnątrz
funkcji dopasuj w poniższym kodzie. Funkcja dopasuj zwraca krotkę zawierającą tablicę
dopasowanych parametrów i tablicę odpowiadających im standardowych odchyleń.
Postać zależności teoretycznej zapisujemy w osobnej funkcji. W podanym poniżej przykładzie jest to
moja_fun.
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pylab as py
################## definicje potrzebne do dopasowania ################
import scipy.optimize as opt
def funkcja_bledu( b, x, y, err,funkcja):
'''Suma kwadratów tej funkcji jest minimalizowana w
procesie optymalizacji parametrów'''
y_fit = funkcja(b, x)
residuum = y-y_fit
residuum_wazone = residuum / err
return residuum_wazone
def dopasuj(x,y,err,b_init,fun):
'''
funkcja fun definiuje pewną zależność między x i y: y = fun(x;b),
która zależy od pewnych parametrów b. Zakładamy, że wartości y znane są
z błędem err. b_init zawiera początkowe zgadnięte (np. przez popatrzenie
na wykres)
wartości parametrów b.
Funkcja dopasuj znajduje wartości parametrów b, dla których suma
kwadratów wartości
funkcji dopasowanej i wartości zmierzonej dla danego x_i jest
najmniejsza.
UWAGA: Jak większość procedur minimalizacyjnych, używana w tej funkcji
procedura
jest wrażliwa na punkt startowy, tzn. dla różnych wartości startowych
b_init
możemy dostać różne rozwiązania
'''
out = opt.leastsq(funkcja_bledu, b_init, args=(x,y,err,fun),
full_output=1)
# funkcja opt.leastsq tak zmienia parametry b
# aby suma kwadratów wartości zwracanych przez funkcja_bledu była jak
najmniejsza
# odczytujemy wyniki minimalizacji
b_final = out[]
covar = out[1]
std_b = (np.diag(covar))**0.5
return (b_final, std_b)
####################################################################
def moja_fun(b,t):
T = b[] + b[1]*np.exp(-t/b[2])
return T
# wczytanie danych ...
a = np.loadtxt('seria_I.txt')
t = a[:,]
Tp = a[:,1]
Tc = a[:,2]
sigma = 1.5
# DOPASOWANIE DLA WALCA POLEROWANEGO
# musimy podać wartości startowe dla procedury minimalizacji
b_init = [300.0, -1.0, 10.0]
(parametry_p, std_bl)=dopasuj(t,Tp,sigma,b_init,moja_fun)
print 'temperatura równowagi: ', parametry_p[],'jej standardowe odchylenie:',
std_bl[]
# TERAZ WYKONUJEMY ANALOGICZNE DOPASOWANIE DLA WALCA CZARNEGO ...
# ...
# RYSUNEK
wp = py.errorbar(t,Tp, yerr=sigma, fmt='b.')
fp = py.plot(t,moja_fun(parametry_p,t))
# ....
py.legend((wp[],fp,wc[],fc),('polerowany','dopasowana
pol.','okopcony','dopasowana okopc.'),'center right')
# ....