Synchronizacja w systemach cyfrowych

Synchronizacja w systemach cyfrowych
Materiały pomocnicze
Przemysław Dymarski, Sławomir Kula, R.Schoeneich
1
Synchronizacja elementowa i strukturalna
W teletransmisyjnych synchronicznych systemach cyfrowych jednym z podstawowych
zadań warunkujących poprawne działanie zestrojów jest zapewnienie synchronizmu pracy
systemu odbiorczego i nadawczego. Proces doprowadzania zestrojów do synchronizmu
nazywany jest synchronizowaniem lub synfazowaniem. Synchronizowanie systemów
cyfrowych ma na celu nieomal zawsze zapewnienie zarówno synchronizacji elementowej, jak
i strukturalnej.
Synchronizacja elementowa systemu jest zapewniona wówczas, gdy po stronie odbiorczej
odtworzono częstotliwość i fazę zegara taktującego nadajnika. Istnienie synchronizacji
elementowej jest warunkiem koniecznym dalszego synchronizowania zestrojów.
Synchronizacja strukturalna umoŜliwia prawidłową interpretację odbieranej informacji
binarnej. W ciągu odebranych bitów system musi potrafić rozróŜnić znaczenie kolejnych
bitów np. numer bitu w bajcie, bity kanału sygnalizacyjnego itp. Synchronizacja strukturalna
dotyczy z reguły grup N-elementów (bitów) o znanej strukturze, często zwanych ramkami, ale
nieznanym połoŜeniu w ciągu odebranych bitów. Stąd proces synchronizacji strukturalnej
nazwany jest synfazowaniem lub fazowaniem ramki, gdyŜ w przeciwieństwie do
synchronizowania elementowego, gdzie odtwarza się okres i fazę zegara taktującego, okres
powtarzania ramek jest znany i wynosi NT (gdzie T - jest okresem zegara taktującego), a
niezaleŜna jest ich faza. Na rys.1 przedstawiono graficznie przypadek braku synchronizacji
ramki (synchronizacja elementowa jest zachowana).
Rysunek 1 Graficzna interpretacja braku synchronizacji ramki.
1
Aby umoŜliwić kontrolę synchronizacji i jej odzyskiwanie, w strukturę sygnału
nadawanego wprowadza się dodatkowe bity zwane bitami synchronizacji. Ze względu na
rozmieszczenie bitów synchronizacyjnych dokonywany jest następujący podział metod
synchronizowania systemów cyfrowych:
•
Metody bitów rozproszonych, gdy bity synchronizacji są rozmieszczone pojedynczo,
w równych odstępach wewnątrz ramki ( rys. 2a),
Metody bitów skupionych, gdy wszystkie bity synchronizacji tworzą M-bitowy ciąg w
•
wybranym miejscu ramki ( rys. 2b).
Rysunek 2 Sygnał binarny z wzorem synchronizacji a) rozproszonym, b) skupionym (M=4)
2
Układ synchronizacji ramki i jego podstawowe parametry
Układ zapewniający synchronizacje składa się z dwóch, niekiedy zupełnie niezaleŜnych
części:
•
Układu wykrywania braku synchronizacji, czyli układu alarmowania w przypadku
utraty synchronizacji. Działanie tego układu oparte jest na zasadzie sprawdzania
określonego wzoru synchronizacji.
•
Układu poszukiwania synchronizacji, uruchamianego w przypadku jej utraty lub w
trakcie nawiązywania łączności.
2.1
Układ poszukiwania synchronizacji
Układ poszukiwania synchronizacji winien zapewnić odszukanie wzoru (sekwencji)
synchronizacyjnej w jak najkrótszym czasie w warunkach duŜych zakłóceń (duŜa elementowa
stopa błędów, tzn. prawdopodobieństwo przekłamania pojedynczego bitu Pe ). Są to postulaty
sprzeczne - duŜa stopa błędów wymusza długi czas działania układu, aby zapewnić określoną
pewność jego działania. Nawet w warunkach bezbłędnej transmisji układ nie zawsze
zapewnia znalezienie wzoru synchronizacji w jednym cyklu pracy two (obejmującym
najczęściej kilka do kilkudziesięciu ramek), gdyŜ poszukiwana sekwencja moŜe wystąpić
2
przypadkowo w ciągu bitów informacyjnych (bitów danych). Jest to tzw. symulacja wzoru
synchronizacji ( rys.3).
Rysunek 3 Graficzna ilustracja symulacji sekwencji synchronicznej.
W związku z tym mówi się o średnim czasie poszukiwania synchronizacji tw oraz o
odchyleniu standardowym σ w tego czasu od wartości średniej. Umownie określa się czas
maksymalny poszukiwania synchronizacji jako twm = tw + 3σ w . Wielkości tw i σ w zaleŜą od
następujących prawdopodobieństw charakteryzujących działanie układu poszukiwania
synchronizacji:
Pzp - prawdopodobieństwo znalezienia prawidłowego wzoru synchronizacji w 1 cyklu
pracy,
Pzf - prawdopodobieństwo omyłki, tj. wybrania fałszywego wzoru synchronizacji,
spowodowane przypadkowym wystąpieniem poszukiwanej sekwencji w bitach danych, przy
jednoczesnym przekłamaniu bitów sekwencji synchronizacyjnej,
Pnz - prawdopodobieństwo nie znalezienia wzorca synchronizacji w 1 cyklu pracy
spowodowane niespełnieniem określonego warunku przy duŜej stopie błędów Pe .
JeŜeli załoŜymy Pzf ≈ 0 wówczas
1
1
jest średnią liczbą cykli pracy potrzebnych
=
Pzp 1 − Pnz
do znalezienia wzoru synchronizacji, czyli tw =
two
. W przypadku omyłki ( Pzf ≠ 0 ) sytuacja
Pzp
się komplikuje, gdyŜ następuje dodatkowe opóźnienie tsp , konieczne dla wykrycia braku
synchronizacji. W tej sytuacji średni czas poszukiwania synchronizacji moŜe być określony
przy uŜyciu grafu [3] w następujący sposób: Konstruujemy graf jak na rys. 4.
Węzeł wejściowy B oznacza stan poszukiwania synchronizacji, natomiast węzeł
wyjściowy A znalezienie prawidłowego
wzoru synchronizacji.
Gałęzie oznaczają
poszczególne zdarzenia i posiadają transmitancje równe Pzt , gdzie P – prawdopodobieństwo
danego zdarzenia, t –jego czas trwania. Np. z węzła B do A prowadzi gałąź transmitancji
3
Pzp z two , gdyŜ prawdopodobieństwo znalezienia prawidłowej sekwencji synchronicznej w
podstawowym cyklu pracy two wynosi Pzp . Pozostałe zdarzenia (omyłka i brak decyzji)
reprezentowane są gałęziami skierowanymi do węzła B, gdyŜ po ich wystąpieniu
kontynuowane jest poszukiwanie synchronizacji.
Rysunek 4 Graf dla wyznaczenia średniego czasu poszukiwania synchronizacji.
Po skonstruowaniu grafu określamy transmitancję od wejścia do węza A. W naszym
przypadku:
T ( z) =
z two Pzp
t +tsp
1 − z two Pnz − z wo
Pzf
Średni czas pozostawania w węźle wejściowym B. tzn. średni czas poszukiwania
synchronizacji określamy ze wzoru:
tw =
dT ( z )
dz
z =1
W naszym przypadku
tw = two +
2.2
Pzf
Pnz
two +
(two + tsp )
Pzp
Pzp
Układ wykrywania braku synchronizacji
Działanie układu polega na sprawdzeniu określonego wzoru synchronizacji. Rezultatem
działania układu jest potwierdzenie wzoru lub zaalarmowanie, tj. przejście do algorytmu
poszukiwania synchronizacji. Dobry układ winien jak najszybciej alarmować w przypadku
braku synchronizacji (jak najkrótszy czas wykrywania braku synchronizacji tsp ) oraz jak
najdłuŜej potwierdzać prawidłowy wzór synchronizacji, nawet w warunkach duŜych
przekłamań (jak najdłuŜszy czas utrzymywania synchronizacji tsf ). Są to najczęściej postulaty
sprzeczne.
4
ZałóŜmy, Ŝe sprawdzenie wzoru synchronizacji odbywa się w czasie tso . Wzór synchronizacji
moŜe zostać potwierdzony z prawdopodobieństwem Pp lub moŜe wystąpić alarm z
prawdopodobieństwem Pa = 1 − Pp . Odpowiedni graf przedstawiono na rys.5.
Rysunek 5 Graf układu wykrywania braku synchronizacji, A – stan zgodności wzoru synchronizacji, Bstan poszukiwania wzoru synchronizacji.
Transmitancja od wejścia do węzła B wynosi:
T ( z) =
z tso Pa
1 − z tso Pp
Średni czas pozostawania w węźle A wynosi:
ts =
dT ( z )
dz
z =1
=
tso
Pa
JeŜeli układ działa w warunkach synchronizacji, tzn. potwierdzany jest prawidłowy wzór
synchronizacji, wówczas zaleŜy nam na jak najmniejszym prawdopodobieństwie fałszywego
alarmu Pa = Paf , a co za tym idzie, na jak najdłuŜszym średnim czasie utrzymywania
synchronizacji:
tsf =
tso
Paf
JeŜeli następuje utrata synchronizacji, wówczas zaleŜy nam na jak największym
prawdopodobieństwie alarmu ( Pa = Pap ) i jak najkrótszym średnim czasie wykrywania braku
synchronizacji:
tsp =
tso
Pap
Często określa się średni czas utraty synchronizacji twy na który składa się średni czas
wykrywania braku synchronizacji tsp oraz średni czas poszukiwania synchronizacji tw :
twy = tsp + tw
5
3
Metody synchronizowania systemów PCM
Układy synchronizacyjne systemu PCM kontrolują istnienie synchronizmu, a w razie jego
braku synchronizują system. Pod względem funkcjonalnym działanie układów moŜna
podzielić na następujące bloki funkcjonalne:
•
Detekcja błędów synchronizacji,
•
Selekcja błędów,
•
Analiza błędów.
Detekcja błędów synchronizacji przeprowadzana jest przy uŜyciu matrycy wzoru
synchronizacji (rys.6a), albo za pomocą generatora sygnału synchronizacji (rys.6b).
Podstawowa róŜnica pomiędzy nimi polega na tym, Ŝe w detektorze z matrycą decyzja o
błędzie w sekwencji synchronizacyjnej ramki podejmowana jest po wczytaniu do rejestru
przesuwnego całego sygnału zawierającego wzór synchronizacji, zaś w detektorze z
generowanym sygnałem synchronizacji błędy są sygnalizowane na bieŜąco po kaŜdym
błędnym bicie. NiezaleŜnie od tego, czy wzór synchronizacji jest skupiony czy rozproszony
oraz typu detektora błędów moŜliwe są trzy metody poszukiwania synchronizacji.
Stosując metodę z matrycą najbardziej celowe staje się zatrzymanie zegara ramki, jego
ustawienie w stan początkowy i oczekiwanie na znalezienie i potwierdzenie wzoru
synchronizacji, po czym zegar jest uruchamiany.
6
Rysunek 6 Detektor błędów w sygnale synchronizacji: a)detektor z matrycą wzoru synchronizacji, b)
detektor z generatorem sekwencji synchronizacji.
W metodzie z generowanym wzorem synchronizacji, gdy stwierdzona zostanie utrata
synchronizacji i rozpocznie się poszukiwanie sekwencji synchronizacyjnej kaŜdy odebrany
bit, którego wartość logiczna jest niezgodna z wzorcem synchronizacji będzie wykrywany
przez detektor, a zegar ramki będzie opóźniany o jeden bit (wzór synchronizacji
rozproszony), albo ustawiany w fazie początkowej tj. przesuwany o n bitów, jeŜeli błąd
wystąpił na n-tej pozycji (wzór synchronizacji skupiony).
Układy synchronizacji ramki moŜna podzielić równieŜ pod względem stosowanego
algorytmu pracy. Algorytm powinien zawierać zabezpieczenia polegające na opóźnianiu
decyzji o braku synchronizacji, aby przypadkowe błędy transmisji, mimo zachowania
synchronizacji nie powodowały fałszywego przechodzenia w stan jej poszukiwania.
Podobnie,
gdy
system
utracił
synchronizację,
nie
pierwsza
wykryta
sekwencja
synchronizacyjna, lecz dopiero jej potwierdzenie w następnych ramkach upowaŜnia do
7
przejścia w fazę synchronizmu. Takie postępowanie wydłuŜa czas, po którym system
odzyskuje synchronizację, ale pozwala uchronić się przed symulacją wzoru synchronizacji
(patrz rys. 3).
Na rysunku 7 przedstawiono strukturę czasową ramki i wieloramki systemu PCM 30.
W systemie PCM 30 sygnał synchronizacji ramki nadawany jest tylko w ramkach
oznaczonych numerami parzystymi, w pierwszej szczelinie kanałowej 1 ma następującą
postać binarną: 0011011. W ramkach o numerach nieparzystych, w pierwszej szczelinie
kanałowej na pozycji B2 przesyłany jest bit o wartości logicznej 1 (negacja pierwszego bitu
sygnału synchronizacji). Ponadto w ramce oznaczonej R0, w szczelinie kanałowej 16
przesyłana jest czteroelementowa sekwencja synchronizacji wieloramki o postaci 0000.
Rysunek 7 Struktura czasowa ramki i wieloramki systemu PCM 30 [1]. Szczegółowo przedstawiono
szczelinę 0 i 16, zawierającą sygnały sygnalizacyjne poszczególnych kanałów. SK - szczelina kanałowa, KT
- kanał telefoniczny, B-bit, Xi, U, Vi – bity tworzące dodatkowe kanały informacyjne, Yi – bity
wykorzystywane do przesyłania informacji o utracie synchronizacji ramki lub wieloramki.
8
Rysunek 8 Graf pracy układu synchronizacji systemu PCM 30. PP - ramka parzysta z poprawnym
wzorem synchronizacji, PP - ramka parzysta z błędnym wzorem synchronizacji, NN - ramka nieparzysta
z poprawnym wzorem synchronizacji (drugi bit równy 1), NN - ramka nieparzysta z błędnym sygnałem
synchronizacji (drugi bit równy 0), PI - ramka z wzorem synchronizacji, NI - ramka z drugim bitem 1,
PI -ramka bez potwierdzonego wzoru synchronizacji, NI - ramka z drugim bitem 0, I+1 – opóźnienie o
jedną ramkę.
Na rysunku 8 przedstawiony jest graf pracy układu synchronizacji w systemie PCM 30.
MoŜna wyróŜnić cztery stany pracy układu. Są to:
•
Stan utrzymywania synchronizacji (A),
•
Stany przedalarmowe (B),
•
Stan utraty synchronizacji i poszukiwania sygnału synchronizacji (C),
•
Stan potwierdzania poprawności znalezionego sygnału synchronizacji (D).
Ze stanu pracy synchronicznej (A) do stanu alarmowego (B) następuje przejście, gdy w
ramce, która powinna zawierać poprawny wzór synchronizacji pojawiają się błędy, albo gdy
9
w ramce z negacją pierwszego bitu sekwencji synchronizacyjnej odebrany bit ma wartość
logiczną zero. JeŜeli następna odebrana ramka, w której powinna być sekwencja
synchronizacyjna nie będzie jej posiadała to układ synchronizujący system pozostanie w
stanie alarmu. Podobnie, gdy błąd będzie wykryty ponownie w ramce z zanegowanym bitem
synchronizacji. JeŜeli błędy nie zostaną stwierdzone to układ wraca do stanu A pełnego
synchronizmu. Dopiero α kolejnych błędów w ramkach parzystych, albo 0 kolejnych błędów
w ramkach nieparzystych spowoduje wejście układu w stan utraty synchronizacji i rozpocznie
się proces poszukiwania sekwencji synchronizacyjnej (stan C).
NaleŜy podkreślić, Ŝe wybór liczb α i β (najczęściej α = β ) jest bardzo istotny z punktu
widzenia pracy krotnicy PCM. JeŜeli liczba przejść α będzie zbyt mała to błędy transmisji
mogą, przy zachowanej synchronizacji wprowadzać układ w stan C. Gdy jednak dojdzie do
rzeczywistej utraty synchronizacji to przyjęcie duŜej liczby α niepotrzebnie wydłuŜy czas
powrotu do stanu synchronizmu.
Wyliczmy średni czas utrzymywania synchronizacji tsf . Podstawowy cykl pracy
algorytmu wykrywania braku synchronizacji wynosi tso = 2 NT (gdzie: N - liczba bitów w
ramce, T - okres zegara), gdyŜ wzór synchronizacji występuje w co drugiej ramce.
Prawdopodobieństwo fałszywego alarmu (tj. błędnego przejścia ze stanu A do C ) moŜe być
okreś1one
w
następujący
sposób.
Dla
M-bitowej
sekwencji
synchronizacyjnej
prawdopodobieństwo bezbłędnej transmisji wynosi:
PM = (1 − Pe )M
gdzie: Pe – elementowa stopa błędów (prawdopodobieństwo przekłamania jednego bitu).
Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu na
którymkolwiek
bicie
sekwencji
synchronizacyjnej wynosi 1 − PM natomiast prawdopodobieństwo przekłamania sekwencji
synchronizacyjnej w kolejnych ramkach, a więc prawdopodobieństwo fałszywego alarmu jest
dane wzorem:
α
α
Paf = [1 − PM ] = 1 − (1 − Pe )M  ≈ (MPe )α
Ostatnie przybliŜenie jest słuszne dla Pe ≪ 1 . Wyprowadzony wzór obowiązuje dla ramek
parzystych. W ramkach nieparzystych sprawdzany jest tylko 1 bit, którego przekłamanie w β
kolejnych ramkach moŜe spowodować przejście do stanu C. Stanie się to z
prawdopodobieństwem ( Pe )β a wiec o wiele mniejszym niŜ (MPe )α . Ostatecznie na średni
czas utrzymywania synchronizacji wpływają ramki parzyste i słuszny jest wzór:
10
t sf =
t so
2NT
=
= 2 N T [1 − (1 − Pe ) M ] − α
Pa f
Pa f
W stanie C układ synchronizacji poszukuje sekwencji synchronizacyjnej w odbieranym
sygnale. Po pierwszej napotkanej w sygnale odbieranym sekwencji synchronizacyjnej
następuje proces potwierdzania (stan C), Ŝe wzór synchronizacji nie jest symulowany. JeŜeli
w odległości jednej ramki od znalezionej sekwencji wystąpi zanegowany pierwszy bit wzoru
synchronizacji to następuje teraz sprawdzenie czy pojawi się w następnej ramce wzór
synchronizacji itd. aŜ do ostatecznego potwierdzenia i powrotu do stanu synchronizmu. JeŜeli
jednak nie pojawi się właściwa sekwencja to układ powraca bezpośrednio do stanu C.
Wyjątek stanowi wykrycie w pierwszym kroku, po znalezieniu sekwencji synchronizacyjnej
ponownie wzoru synchronizacji. Przed powrotem do stanu C wprowadza się opóźnienie o
czasie trwania jednej ramki, aby w ten sposób ominąć symulację wzoru synchronizacji
(rys.9), co jest szczególnie niebezpieczne w transmisji danych kanałem telefonicznym, gdyŜ
moŜe wówczas dochodzić do trwałej symulacji sygnału synchronizacji.
Rysunek 9 Przebieg poszukiwania synchronizacji przy trwałej symulacji wzoru synchronizacji. S sekwencja symulująca wzór synchronizacji, PI, NI, D - patrz rys 8.
Dla M-elementowego wzoru synchronizacji prawdopodobieństwo symulacji Psym wynosi:
Psym = 2− M
A prawdopodobieństwo Pδ sym : δ -krotnego powtórzenia wzoru synchronizacji w kolejno
sprawdzanych ramkach jest równe:
Pδ sym = 2− M δ
Wartość tego prawdopodobieństwa decyduje o liczbie kroków sprawdzania poprawności
znalezionego wzoru synchronizacji. Dla M = 7. prawdopodobieństwo to jest równe 0,0078. a
prawdopodobieństwo dwukrotnej symulacji wynosi 0,000061 i jest na tyle małe, Ŝe wystarcza
jednokrotne potwierdzenie wzoru synchronizacji ( δ =2).
Czas powrotu do stanu synchronizmu, przy załoŜeniu, Ŝe ustała przyczyna błędów
transmisji jest tym krótszy im dłuŜsza jest sekwencja synchronizacyjna i im krótsza jest
11
ramka. W systemie PCM 30 z parametrami M = 7, α = 3, δ = 2 i N=256 maksymalny czas
tvm odzyskiwani synchronizacji wynosi [2]:
tvm = 4 NT = 3,2ms.
Czas ten jest wystarczająco mały, by nie zakłócać sygnałów komutacyjnych, a w
transmisji sygnału mowy wprowadzać jedynie krótkotrwały trzask.
4
4.1
Algorytm synchronizacji ramki z rozproszonym wzorem synchronizacji
Podstawowe załoŜenia
ZałóŜmy, Ŝe ramka składa się z N bitów, z czego N - 1 są to bity informacyjne (danych), a
1 bit pełni role bitu synchronizacyjnego. Na pozycji synchronizacyjnej pojawia się w
kolejnych ramkach wartość róŜna od poprzedniej, tzn. rozproszony wzór synchronizacji
wynosi
01010101…
Bity
danych
tworzą
sekwencję
przypadkową,
przy
czym
prawdopodobieństwo wystąpienia jedynki i zera jest jednakowe. Celowe jest równieŜ
rozpatrywanie sytuacji, w której wszystkie transmitowane bity są jednakowe (np. równe 1).
Sytuacja taka występuje np. po wyłączeniu źródła informacji, w przypadku awarii itp.
Sporządzone programy obliczeniowe obejmują oba przypadki (dane losowe i stałe), natomiast
wyprowadzenia wzorów podano tylko dla pierwszego przypadku (dane losowe).
4.2
Algorytmy poszukiwania synchronizacji
Rozpatrzmy następujący algorytm poszukiwania synchronizacji, którego podstawą jest
porównanie dwóch sąsiednich ramek:
Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej s występują róŜne wartości bs1 ≠ bs2 .
Do wykrycia róŜnych wartości bitów moŜna uŜyć operacji exclusive-or (XOR):
 1, bi1 ≠ bi2
ci = XOR(bi1 , bi2 ) = 
1
2
 0, bi = bi
Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej otrzymamy cs = 1. W obecności
przekłamań otrzymamy 1 gdy oba bity bs1 bs2 nie zostaną przekłamane (co stanie się z
prawdopodobieństwem
(1 − Pe )2 )
lub
gdy
oba
bity
zostaną
przekłamane
(prawdopodobieństwo Pe 2 ). Ostatecznie prawdopodobieństwo otrzymania cs = 1 wynosi:
12
P(cs = 1) = (1 − Pe )2 + Pe 2 = 1 − 2Pe + 2Pe 2
Zdarzeniem przeciwnym jest otrzymanie cs = 0 :
P(cs = 0) = 1 − P(cs = 1) = 2Pe − 2Pe2
Na pozycjach danych (d) bity mają wartości losowe i otrzymanie cd = 0 oraz cd = 1 jest
jednakowo prawdopodobne:
P(cd = 1) = P(cd = 0) =
1
2
Wartości ci pochodzące z porównania dwóch kolejnych ramek, nie wystarczają do
wykrycia pozycji synchronizacyjnej – jednak dodanie do siebie pewnej liczby n kolejnych
rezultatów stanowi juŜ wystarczającą przesłankę do identyfikacji tej pozycji. Po zsumowaniu
n kolejnych wartości ci na tej samej i-tej pozycji otrzymuje się wartości:
n
gi = ∑ ci ( k )
k =1
NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe kaŜda wartość ci pochodzi z dwóch ramek, wobec tego dla
otrzymania gi naleŜy odczekać 2n ramek (rys. 10). Podstawowy cykl pracy wynosi więc
two = 2nNT , gdzie N – liczba bitów w ramce, T - czas trwania 1 bitu.
13
Rysunek 10 Poszukiwanie synchronizacji rozproszonej (N = 8, n = 3).
Przy braku przekłamań na pozycji synchronizacyjnej (i=s) otrzymamy maksymalną
wartość gs = n . W obecności przekłamań moŜemy określić prawdopodobieństwo otrzymania
gs = j , tzn. wystąpienia j jedynek i n - j zer w zbiorze wartości cs (1) , cs (2) ,..., cs (n) :
n
j
n− j
P( gs = j ) =  [ P(cs = 1)] [ P(cs = 0)]
 j
Przydatne będzie określenie prawdopodobieństwa, Ŝe gs ≥ j :
n
 n
k
n −k
P( gs ≥ j) = ∑   [ P(cs = 1)] [ P(cs = 0)]
k= j  k 
Podobnie dla jednej z N-1 pozycji danych ( i = d) moŜemy określić prawdopodobieństwo
otrzymania gd = j , tzn. wystąpienia j jedynej i n - j zer w sekwencji cd (1) , cd (2) ,..., cd ( n) :
n
 n 1
j
n− j
P( gd = j) =   [ P(cd = 1)] [ P(cd = 0)] =   n
 j
 j 2
Analogicznie:
P( gd ≥ j) =
14
1
2n
n
∑
k= j
n
 
k 
WyŜej wymienione prawdopodobieństwa dotyczą jednej wybranej pozycji danych.
Bardziej interesuje nas prawdopodobieństwo otrzymania gd ≥ j na którejkolwiek z N - 1
pozycji danych. Określmy najpierw prawdopodobieństwo wystąpienia gd < j na wybranej
pozycji danych:
P( gd < j ) = 1 − P( gd ≥ j) = 1 −
1
2n
n
∑
k= j
n
 
k 
Prawdopodobieństwo wystąpienia gd < j na wszystkich N - 1 pozycjach danych wynosi:
Pd ( gd < j ) = [ P( gd < j )]N −1
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. wystąpienia na którejkolwiek pozycji
danych gd ≥ j wynosi:
Pd ( gd ≥ j ) = 1 − [ P( gd < j )]N −1 = 1 − [1 −
1 n  n  N −1
∑  ]
2n k = j  k 
Rozpatrzmy dwa warianty algorytmu poszukiwania synchronizacji. Pierwszy wariant
wymaga określenia progu I dla wartości g. Wartości gi , są wyliczane dla kolejnych pozycji w
ramce. Po napotkaniu gi ≥ I przeszukiwanie ramki jest przerywane a pozycja, na której
wystąpił w/w warunek jest określana jako synchronizacyjna. ZałóŜmy najbardziej
niekorzystny przypadek, gdy prawidłowa pozycja synchronizacyjna jest testowana jako
ostatnia. Pozycja ta zostanie prawidłowo zidentyfikowana, gdy wystąpi warunek gs ≥ I a
jednocześnie na wszystkich pozycjach danych będzie gd < I . Prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia:
Pzp = P( gs ≥ I ) Pd ( gd < I ) = P( gs ≥ I ) [ P( gd < I )]
N −1
Omyłka wystąpi, gdy na którejkolwiek z pozycji danych otrzymamy gd ≥ I :
Pzf = Pd ( gd ≥ I ) = 1 − [ P( gd < I )]
N −1
Brak decyzji będzie miał miejsce gdy na wszystkich pozycjach g < I:
Pnz = P[ gs < I ]Pd [ gd < I ] = [1 − P( gs ≥ I )] [ P( gd < I )]
N −1
Łatwo sprawdzić warunek Pzp + Pzf + Pnz = 1.
Znając podstawowy cykl pracy two moŜna określić średni czas poszukiwania
synchronizacji tw , wymaga to jednak znajomości czasu wykrywania braku synchronizacji tsp .
Drugi
polegał
wariant
na
15
algorytmu
przeszukaniu
całej
poszukiwania
ramki
i
synchronizacji
wybraniu
tej
pozycji,
będzie
na
której
wartość
synchronizacyjnej
g
osiąga
maksimum.
ZałóŜmy,
Ŝe
na
pozycji
pomierzono gs = j . Prawdopodobieństwo zidentyfikowania tej pozycji
wynosi:
Pd ( gd < j ) = [ P( gd < j)]
N −1
Omyłka nastąpi, gdy na którejkolwiek pozycji danych gd ≥ j + 1 ; prawdopodobieństwo
takiego zdarzenia wynosi Pd ( gd ≥ j + 1) . Brak decyzji ma miejsce, gdy na pozycjach danych
wystąpi gd = j lecz nie wystąpi gd ≥ j + 1 . Stanie się to z prawdopodobieństwem:
Pd ( gd ≥ j) − Pd ( gd ≥ j + 1)
Uśredniając w/w prawdopodobieństwa wykrycia prawidłowej pozycji synchronizacyjnej
omyłki i braku decyzji otrzymujemy wzory:
n
Pzp = ∑ P( gs = j) Pd ( gd < j)
j =0
n
Pzf = ∑ P( gs = j ) Pd ( gd ≥ j + 1)
j =0
n
Pnz = ∑ P( gs = j)[ Pd ( gd ≥ j ) − Pd ( gd ≥ j + 1)]
j =0
4.3
Algorytmy wykrywania braku synchronizacji
Algorytm wykrywania braku synchronizacji moŜe działać na identycznej zasadzie co
algorytm poszukiwania synchronizacji, opisany w poprzednim punkcie. Jedyną róŜnicę
stanowi fakt, Ŝe sprawdzamy nie całą ramkę, lecz tylko jedną pozycję (domniemaną pozycję
synchronizacyjną). Podobnie jak w poprzednim punkcie wyliczamy wartość ci = XOR(bi1 , bi2 ) i
sumujemy n kolejnych wartości ci otrzymując gi . Podstawowy cykl pracy takiego algorytmu
obejmuje 2n’ ramek i wynosi: tso = 2n ' NT , gdzie N – liczba bitów w ramce, T – czas trwania 1
bitu.
Algorytm wymaga określenia progu I’ dla wartości g. JeŜeli gi ≥ I ′ wówczas pozycja
synchronizacyjna zostanie potwierdzona.
JeŜeli gi < I ′ układ przechodzi w stan alarmowania (rozpoczyna się poszukiwanie
synchronizacji).
ZałóŜmy Ŝe sprawdzana jest
prawidłowa
pozycja
synchronizacyjna
(i
Zmierzenie gs < I ′ oznacza fałszywy alarm. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia:
16
=
s).
I ' −1
I ' −1 n
 
Paf = ∑ P( gs = j ) = ∑  [ P (cs = 1)] j [ P(cs = 0)]n− j
j =0
j =0  j 
Średni czas utrzymywania synchronizacji wynosi tsf =
tso
.
Paf
ZałóŜmy teraz, Ŝe sprawdzamy nieprawidłową pozycję synchronizacyjną (i = d).
Zmierzenie gd < I ' oznacza prawidłowy w tej sytuacji alarm, prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia:
I ' −1
Pap = ∑ P( gd = j) =
j =0
1 I '−1  n 
∑ 
2n j = 0  j 
Średni czas wykrywania braku synchronizacji wynosi tsp =
17
tso
.
Pap