Matematyka 1 (Wydziaª Architektury)
Transkrypt
Matematyka 1 (Wydziaª Architektury)
Matematyka 1 (Wydziaª Architektury) Najwa»niejsze caªki Funkcja f (x) Caªka R f (x)dx (bez staªej) c (staªa) cx x x2 2 xα (α 6= −1) xα+1 α+1 1 x x ln |x| ax ln a x a ex e sin x − cos x cos x sin x 1 cos2 x 1 sin2 x √ 1 1−x2 1 1+x2 tg x − ctg x arcsin x arctg x Caªkowanie przez cz¦±ci Z Z 0 f (x)g 0 (x)dx. f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − Z b 0 f (x)g(x)dx = [f (x)g(x)]ba Z − a b f (x)g 0 (x)dx. a Caªkowanie przez podstawianie Z t = g(x) 0 f (g(x))g (x)dx = dt = g 0 (x)dx Z = f (t)dt = . . . lub Z x = h(t) f (x)dx = dx = h0 (t)dt Z = f (h(t))h0 (t)dt = . . . Przy caªce nieoznaczonej pami¦tamy, by na koniec wróci¢ do pierwotnej zmiennej. Przy caªce oznaczonej pami¦tamy, by zmieni¢ równie» granice caªkowania. Matematyka 1 (Wydziaª Architektury) Zastosowania geometryczne caªek I Pole gury ograniczonej dwoma wykresami funkcji ({x ∈ [a, b], f (x) ≤ y ≤ g(x)}): Z b (g(x) − f (x))dx S= a II Pole obszaru ograniczonego krzyw¡ we wspóªrz¦dnych biegunowych (0 ≤ r ≤ f (ϕ), ϕ ∈ [a, b]): 1 S= 2 Z b (f (ϕ))2 dϕ a III Dªugo±¢ krzywej zadanej równaniem y = f (x), x ∈ [a, b]: Z bp 1 + (f 0 (x))2 dx L= a IV Dªugo±¢ krzywej zadanej parametrycznie (x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]): Z bp L= (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt a V Dªugos¢ krzywej zadanej we wspóªrz¦dnych biegunowych (r = f (ϕ); ϕ ∈ [a, b]): Z bp L= (f (ϕ))2 + (f 0 (ϕ))2 dϕ a VI Obj¦to±¢ (V ) i pole powierzchni (Σ) bryªy powstaªej przez obrót gury {x ∈ [a, b]; 0 ≤ y ≤ f (x)} • wokóª osi poziomej (OX ): Z b (f (x))2 dx V =π a b Z p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx Σ = 2π a • wokóª osi pionowej (OY ): Z V = 2π b xf (x)dx a Z Σ = 2π a b p x 1 + (f 0 (x))2 dx