MODELOWANIE MATEMATYCZNE

Transkrypt

Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 1: Zasady modelowania matematycznego
MODELOWANIE MATEMATYCZNE
proces, którego rezultatem, w wyniku przeprowadzenia pewnych
badań poznawczych, jest model matematyczny ustalonego obiektu
rzeczywistego, uwzględniający problem z nim związany i cele
modelowania.
(działania
poznawcze)
są
BADANIA
POZNAWCZE
postępowaniem charakterystycznym dla analizy systemowej oraz
badań operacyjnych, i obejmują:
obserwację obiektu rzeczywistego,
konceptualizację (wybór istotnych cech obiektu),
idealizację (określenie związków między głównymi z istotnych
cech obiektu),
konkretyzację (określenie związku między istotnymi cechami
obiektu rozszerzonymi o cechy uboczne),
weryfikację (logiczne i empiryczne sprawdzenie związków
między istotnymi cechami obiektu),
preparację (podjęcie działań praktycznych prowadzących do
zaspokojenia konkretnych potrzeb społecznych).
MODEL
a) „taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ,
który odzwierciedlając lub odtwarzając przedmiot badania,
zdolny jest go zastępować tak, że jego badanie dostarcza nam
nowej informacji o tym przedmiocie” (W. Staff w
„Modelowanie i filozofia”)
b) „reprezentacja badanego zjawiska w postaci innej niż postać, w
jakiej występuje ono w rzeczywistości” (W. Findeisen i J.
Gutenbaum w „Analiza systemowa”)
1
OBIEKT RZECZYWISTY fragment rzeczywistości, którym zainteresowany jest człowiek w
konkretnej sytuacji.
BADANIA OPERACYJNE –
„badanie procesów zamierzonych (operacji) i wypracowanie,
opierając się na metodach matematycznych, wniosków i zaleceń
umożliwiających podejmowanie optymalnych decyzji dotyczących
organizacji i kierowania tymi procesami...: („Leksykon wiedzy
wojskowej”)
ANALIZA SYSTEMOWA –
„formalne i jawne badanie wspomagające działanie osób
odpowiedzialnych za decyzje lub linię postępowania w określonej
sytuacji charakteryzującej się niepewnością, polegające na
rozpoznaniu i rozważeniu dostępnych wariantów oraz
porównaniu ich przewidywanych następstw.”
ETAPY BADANIA OPERACYJNEGO:
1. określenie obiektu rzeczywistego i sformułowanie problemu z
nim związanego,
2. określenie
potrzeby
modelowania
formalnego
(matematycznego) i konkretyzacja celu modelowania,
3. budowa modelu formalnego uwzględniającego cel modelu,
4. formułowanie zadań (np. optymalizacyjnych) w języku modelu,
5. rozwiązywanie sformułowanych zadań,
6. analiza otrzymanych rozwiązań lub badanie modelu,
7. opracowanie projektu oddziaływania na obiekt rzeczywisty i
ewentualny udział w jego wdrażaniu.
obiekt
1
potrzeba
i cel
modelowania
2
model
3
zadanie
4
rozwiązanie
5
6
7
8
poprawki
analiza
oddziaływanie
2
3
KONSTRUOWANIE MODELU MATEMATYCZNEGO
(POSTAĆ UPROSZCZONA)
M – liczba cech obiektu
xm – symbol zmiennej, m = 1, M
Xm – zbiór możliwych wartości zmiennej m;
Zbiór cech (zmiennych)
X ={ x ,X
o
1
1
, K, x M , X M
}
Opis związków
I – liczba związków;
Si – symbol związku, i = 1, I ;
Xi = x m i , x m i , K , x m i
1
2
Pi
-
zbiór
określający,
które
cechy
występują w i – tym związku;
Ri ⊂ X m i × X m i × ... × X m i - relacja opisująca i – ty związek;
1
2
Pi
R = { S1 , X1 , R1 ,K, S I , X I , RI
o
}
MODEL MATEMATYCZNY
postać modelu użyteczna przy analizie adekwatności modelu do
rzeczywistości

o
~ 1−1 o
f : A → X ∪ R
~
A - zbiór nazw cech i związków;
postać modelu użyteczna do analizy poprawności wewnętrznej
modelu
o

o
X,R
4
POSTULATY POPRAWNOŚCI MODELU

istotność cech
- cechy
- związki
cecha nieistotna

istotność związków
- związek
związku

spójność modelu
model
spójny

zawiera się w
więc jest nieistotny
model
niespójny
niesprzeczność modelu
x > y, y > z, z > x
?!!!
5
PRZYKŁAD: prosty model ruchu pojazdu
Chcemy formalnie opisać prosty model ruchu pojazdu. Z
fizyki elementarnej wiemy, że przebyta przez pojazd (1) droga jest
wprost proporcjonalna do prędkości pojazdu i czasu jaki z tą
prędkością się poruszał (przy założeniu ruchu jednostajnego). Z
kolei (2) przyspieszenie pojazdu jest wprost proporcjonalne do
prędkości z jaką się pojazd poruszał i odwrotnie proporcjonalne
do czasu.
Mamy więc następujące cechy modelu:
symbol
1. droga przebyta przez pojazd
s
zbiór wartości
2. prędkość pojazdu
v
3. przyspieszenie pojazdu
a
R + ∪ {0}
R + ∪ {0}
R + ∪ {0}
4. czas ruchu
t
R+
Związki modelu wyszczególnione są w opisie werbalnym.
Mamy:
X = { s,R ∪{0} ,
o
oraz:
(1)
X1 = v, s, t
{
+
(
v,R + ∪{0} , a, R + ∪{0} , t, R +
)
R 1 = x, y, z ∈ R + ∪ {0} × R + : y = x ⋅ z
2
}
}
(2)
X 2 = a, v, t
(
)
2

R 2 =  x, y, z ∈ R + ∪ {0} × R + : x =

y

z
Stąd:
R = { z _ 1, X , R
o
1
gdzie:
1
, z _ 2, X 2 , R 2
}
z_1– symbol związku (1), z_2–symbol związku (2).
6
KLASYFIKACJA MODELI MATEMATYCZNYCH
o
Zbiór cech X możemy rozbić na trzy podzbiory cech:
o
X
=
X
I
∪
X
II
∪
Decydent ma wpływ Decydent zna wartości
X
III
III
Decydent nie zna wart.
X I ∩ X II = X II ∩ X III = ∅
III
III
= X dec
∪ X los
∪ X III
roz
Wpływają inni
decydenci

X
Zmienne losowe
o znanych
rozkładach
∪ X
Zmienne rozmyte
o znanej
„rozmytości”
III
nz
Zmienne
nieznane
model BADAWCZY (bez decyzji)
III
X I ∪ X dec
=∅
• deterministyczny:
II
III
X los
∪ X III
roz ∪ X nz = ∅
III
III
X III
∪
X
=
∅
∧
X
roz
nz
los ≠ ∅
III
∪ X III
=
∅
∧
X
nz
roz ≠ ∅
• probabilistyczny:
• rozmyty:
III
X los
• w warunkach nieokreśloności:
• mieszany

III
III
X los
∪ X III
roz = ∅ ∧ X nz ≠ ∅
model STRATEGICZNY (co najmniej dwie strony podejmują decyzje)
III
X I ∩ X dec
≠∅
• deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach
nieokreśloności, mieszany (j/w)

model OPTYMALIZACYJNY (jedna strona podejmuje decyzje)
III
X I ≠ ∅ ∧ X dec
=∅
• deterministyczny, probabilistyczny, rozmyty, w warunkach
nieokreśloności, mieszany (j/w)
7
MODEL OPTYMALIZACYJNY można zapisać jako:
X ; X ∪X
I
I
I
X dec
∪ X wsk
∪ inne
Zbiór
zmiennych
decyzyjnych
II
III
los
∪X
III
roz
∪X ;
III
nz
o
R
Xdane – zbiór danych
Zbiór wskaźników
(stopnia osiągnięcia celu)
MODEL OPTYMALIZACYJNY W POSTACI DOGODNEJ
DO SFORMUŁOWANIA ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO
a, x, y , A, {Ω(a )}a∈A , {W (a, x )}ax∈∈ΩA (a ) , {E a }a∈A
gdzie:
a, x, y – listy: danych, zmiennych decyzyjnych i wskaźników;
A ≠ Ø – zbiór dopuszczalnych zestawów wartości danych;
Ω(a) –
zbiór dopuszczalnych zestawów wartości zmiennych
decyzyjnych przy zestawie wartości danych a∈A;
W(a,x) – zbiór możliwych zestawów wartości wskaźników przy
zestawie wartości zmiennych decyzyjnych x ∈ Ω(a), a∈A;
Ea – funkcja logiczna opisująca osiągnięcie celu głównego:
E a : Y(a ) → {0,1}
1

Ea (y) = 
0

- jeżeli przy możliwym zestawie wartości
wskaźników y cel został osiągnięty;
- w przeciwnym przypadku.
gdzie:
Y(a ) = {y ∈ W(a, x ) : x ∈ Ω(a )}
8
SFORMUŁOWANIE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO
Dla danych
a∈A
wyznaczyć
x*∈Ω(a)
tak, aby
∧
( )
y∈W a, x *
E a (y ) = 1
PRZYKŁAD: model optymalizacyjny + zadanie optymalizacji
Niech
a = 〈a1, a2〉
A = {〈a1, a2〉 ∈ R × R : a1 = 1 ∧ a2 = 2}
Ω(a) = {x∈ R : a1≤ x≤ a2}={x∈ R : 1≤ x≤ 2}
W(a,x) = {y∈ R : y=-x2+3 }
{
}
Y(a ) = {y ∈ W(a, x ) : x ∈ Ω(a )} = y = − x 2 + 3 : 1 ≤ x ≤ 2
(E a ( y ) = 1) ⇔  y =

max − x 2 + 3 
1≤ x≤2

f< x>
5
4
3
2
y(x*)
Ω(a)
1
x*
1
-1
-1
x
2
3
3- x^2
4
5
Rozwiązanie zadania
optymalizacyjnego dla
powyższego modelu jest
równe x*=1 a wartość funkcji y
dla x* jest równa y(x*)=2.
Gdyby pominąć warunek
x*∈Ω(a) wówczas
rozwiązaniem byłoby x*=0 i
odpowiadające mu y(x*)=3, ale
wówczas
zaproponowalibyśmy
podjęcie decyzji
niedopuszczalnej
(bo x = 0 ∉ Ω(a))!!!!!
9
Zadanie optymalizacyjne sformułowane poprzednio (w ramce)
jest postacią ogólną formułowania zadania optymalizacyjnego.
Najczęściej mamy do czynienia z sytuacją, gdy:

zbiór W(a,x) dla wszystkich a∈A i x∈Ω(a) jest
jednoelementowy, a jego elementem jest liczba y;

cel główny zostanie osiągnięty, gdy decyzji odpowiadać
będzie ekstremalna wartość wskaźnika.
W takich przypadkach zadanie optymalizacyjne formułujemy
następująco:
Dla danych:
a∈A
wyznaczyć:
x*∈Ω(a) (lub krócej x*∈Ω)
tak, aby:
f (a, x * ) = extr f (a, x )
x∈Ω(a )
gdzie:
(
)
f a, x * = (tu występuje określenie
funkcji f, tzw. funkcji celu).
symbol extr oznacza jeden z symboli: sup, inf,
min, max
PRZYKŁAD: (nawiązanie do przykładu poprzedniego)
Zadanie optymalizacyjne dla przykładu poprzedniego
możemy sformułować następująco:
dla danych:
a = 〈a1, a2〉 ∈ A
wyznaczyć:
x*∈Ω(a) = [1,2]
tak, aby:
(
)
f a, x* =
max
x∈Ω( a ) =[ 1, 2]
f (a, x )
2
gdzie f (a, x ) = − x + 3 .
10
PRZYKŁAD MODELU MATEMATYCZNEGO
DLA PROBLEMU PRAKTYCZNEGO
1) Werbalny opis problemu
Pewien zakład produkuje dwa typy wyrobów: typ A i typ B. Na
wyprodukowanie wyrobu typu A potrzeba mA jednostek materiału a
na wyprodukowanie wyrobu typu B potrzeba mB jednostek materiału.
Zakład ma w magazynie M jednostek materiału. Czas potrzebny na
wyprodukowanie wyrobu typu A oszacowano na tA jednostek czasu a
wyrobu typu B - na tB jednostek czasu. Łączny czas jaki zakład może
przeznaczyć na produkcję wynosi T jednostek czasu. Dział
marketingu oszacował również, że popyt na wyrób typu A wyniesie
nie więcej niż pA jednostek natomiast na wyrób typu B - nie mniej niż
pB jednostek. Cenę jednostkową sprzedaży dla wyrobu A oszacowano
na cA natomiast jednostki wyrobu B - na cB. Ponadto koszty produkcji
jednostki wyrobu typu A wynoszą kA natomiast jednostki wyrobu typu
B - k B.
Zbudować model matematyczny do rozpatrywanego zagadnienia oraz
sformułować na jego podstawie zadanie optymalizacyjne wyznaczenia
ilości produkowanych wyrobów obu typów tak, aby przewidywany
zysk zakładu był jak największy.
2) Cechy wyodrębnione w modelu
mA - ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;
mB - ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;
M - zapas materiału znajdujący się w magazynach zakładu;
tA - ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu A;
tB - ilość czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobu typu B;
T - ilość czasu jaką zakład może przeznaczyć na produkcję;
pA - górna granica zapotrzebowania na wyrób typu A;
pB - dolna granica zapotrzebowania na wyrób typu B;
cA - cena sprzedaży wyrobu typu A;
cB - cena sprzedaży wyrobu typu B;
kA - koszt produkcji wyrobu typu A;
kB - koszt produkcji wyrobu typu B;
x1 - zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu A;
x2 - zmienna decyzyjna liczby produkowanych wyrobów typu B;
y - zysk zakładu odpowiadający produkcji określonej ilości
wyrobów typu A i B;
11
3) Zakres zmienności cech
y∈R - zysk zakładu (ujemny interpretujemy jako straty);
x1, x2∈N;
mA , mB , M, tA , tB , T , pA , pB , cA , cB , kA , kB ∈ R+
4) Wyodrębnienie związków
•
mAx1 + mBx2 <= M
łączna ilość materiału potrzebna na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A
oraz x2 sztuk wyrobu typu B nie może być większa niż zapas materiału M w
magazynie ;
•
tAx1 + tBx2 <= T
suma ilości czasu potrzebnego na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A i x2
sztuk wyrobu B nie może być większa niż łączny zasób czasu T jaki zakład
może przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że w danej chwili może być
produkowany tylko jeden wyrób);
lub
•
max {tAx1, tBx2} <= T
czas potrzebny na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu A i x2 sztuk
wyrobu B nie może być większy niż łączny zasób czasu T jaki zakład może
przeznaczyć na produkcję (przy założeniu, że oba wyroby mogą być
produkowane jednocześnie);
•
x1 <= pA
ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu A nie może być większa niż
szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku pA;
•
x2 >= pB
ilość sztuk wyprodukowanych wyrobów typu B nie może być mniejsza
niż szacowane zapotrzebowanie na nie na rynku pB ;
•
y = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2
zysk zakładu z wyprodukowania x1 sztuk wyrobu typu A i x2 sztuk
wyrobu typu B;
12
5) Analiza poprawności modelu
a) istotność cech
Każda z wybranych cech występuje w przynajmniej jednym
związku;
b) istotność związków
Żaden związek nie wynika jednoznacznie z innego, dlatego
wszystkie związki są istotne (w praktyce ten postulat jesteśmy w
stanie sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości
parametrów z listy danych a);
c) spójność modelu
Wszystkie wyróżnione cechy łączą się ze sobą pośrednio lub
bezpośrednio, np. cecha x1 łączy się w sposób bezpośredni z cechami
mA, tA, pA, cA, kA i pośrednio z pozostałymi cechami.
d) niesprzeczność modelu
Nie występują związki, z których analizy można by dojść do
sprzecznych wniosków (w praktyce ten postulat jesteśmy w stanie
sprawdzić dopiero wtedy, gdy znamy konkretne wartości parametrów
z listy danych a).
6) Klasyfikacja cech
Xdane={mA , mB , M, tA , tB , T , pA , pB , cA , cB , kA , kB}- dane znane ;
I
X dec
= {x1 , x2 } - zmienne decyzyjne;
I
X wsk
= {y} - wskaźnik;
Lista danych :
a = m A , m B , M, t A , t B , T , p A , p B , c A , c B , k A , k B
12
A = { m A , m B , M, t A , t B , T , p A , p B , c A , c B , k A , k B ∈ R+ }
13
Lista zmiennych decyzyjnych :
x = x1 , x2
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych :
 x1 , x 2 ∈ N × N : m A x1 + m B x 2 ≤ M

t A x1 + t B x 2 ≤ T

Ω (a ) = 
≤ pA
x1


x2 ≥ p B








Wskaźnik (lista wskaźników jest jednoelementowa):
W ( a, x ) ={f(a,x)=y∈R : y = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2}
Y(a ) = {y = (cA − k A ) x1 + (cB − k B ) x2 : x ∈ Ω(a)}
Funkcja oceny osiągnięcia celu (może być, ale nie musi w tak formułow. zad.)
1
Ea ( y ) = 
0
, gdy y = max f(a, x)
x∈Ω (a )
, w przeciwnym przypadku
7) Zadanie optymalizacyjne
Dla danego a ∈ A
wyznaczyć x* ∈ Ω (a)
tak, aby :
f (a,x*) = max f (a,x)
x∈Ω(a)
gdzie :
f (a,x) = (cA-kA)x1 + (cB-kB)x2
14
PROBLEMY DOTYCZĄCE KONSTRUOWANIA
MODELI OPTYMALIZACYJNYCH
zapewnienie istnienia x* dla każdego a,
zbiór W(a, x) może być wieloelementowy,
element zbioru W(a, x) może nie być liczbą (a np. zmienną
losową, wektorem, zbiorem itp.),
duża złożoność obliczeniowa skonstruowanego zadania
optymalizacyjnego,
inne.

METODY OPISU FUNKCJI OSIĄGNIĘCIA CELU
Założenie:
W(a, x) – jednoelementowy
w ∈ W(a, x)
Przypadki możliwych rodzajów w ∈ W(a, x):
liczba,
wektor,
zmienna losowa,
zbiór rozmyty,
zbiór liczbowy,
inne.

∗
Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest liczbą:
1 gdy w = max Y(a )
Ea (w) = 
0 w p.p.
15
∗
Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest wektorem:
I. pełne przedstawienie skutków (tabele porównań),
II. optymalizacja wielokryterialna,
III. funkcja „ważona”,
IV. wartości dopuszczalne,
V. porządek
leksykograficzny
(nadawanie
kryteriom
priorytetów),
VI. synteza logiczna,
VII. uogólniona synteza logiczna.
Ad. II. (optymalizacja wielokryterialna)
Stosowanie tzw. rozwiązań dominujących, niezdominowanych i
kompromisowych.
y2
y2
A
y* (punkt idealny)
Y
B
y1
Zadanie:
max y
1
oraz
max y
2
Y
y1
y* = y1* , y2* ∈ Y
y* ∉ Y
AB -zbiór wyników
niezdominowanych, bo
(~ z∈∃Y :
y* (wynik dominuj¹cy)
∀ zn ≥ yn ),
n =1,2
Zadanie:
max y
1
oraz
max y
2
- wynik
dominujący
*
y
∀
∀
≥ zn
n
bo z∈Y
n=1,2
y = y1 , y2 ∈ A, B
16
Ad. III. (funkcja „ważona”,)
S
w=∑
j =1
Wj ⋅ λj
gdzie:
Wj – j – ta składowa wektora W;
λj – „waga” j – tej składowej wektora W;
S – liczba składowych wektora W;
Ad. IV. (kryterium wartości dopuszczalnych)
1 gdy W j ≥ W j0 , j = 1, S
w=
0 w p.p.
gdzie:
W j0 - pewna ustalona krytyczna wartość j – tej
składowej wektora W.
Ad. V. (porządek leksykograficzny)
W przypadku zadania:
max y
1
oraz
max y
2
*
−
y jest rozwiązaniem zadania przy
kolejności priorytetów dla kryteriów
„najpierw y1, później y2”;
−
y** jest rozwiązaniem zadania przy
kolejności priorytetów dla kryteriów
„najpierw y2, później y1”;
y2
y**
y*
Y
y1
Ad. VI. (synteza logiczna)
S
a) w = ∏
Wj
c) w=1-Wj
j =1
S
b) w = 1 − ∏
j =1
(1 − W )
j
d) mieszane
17
Ad. VII. (uogólniona synteza logiczna)
w = min
λ j ⋅W j
j = 1, S
λ j ⋅W j
w = max
j = 1, S
w = −W j

mieszane
18
∗

Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zmienną losową:
wartość oczekiwana
[ ]
1 gdy E W = max E[W ]

W ∈ Y a 
Ea W = 
0 w p.p.

( )
f1(x)
E1
0
W1
f2(x)
E2
W2
Wykres gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dla dwóch
zmiennych losowych W1 i W2
Zgodnie z kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej
wybierzemy zmienną losową W1, bo jej wartość oczekiwana E1
jest większa niż wartość oczekiwana E2 dla W2, ale:
•
z prawdopodobieństwem 0 zmienna losowa W1 przyjmuje
wartość z dość dużego otoczenia swojej wartości oczekiwanej
E1;
•
efekty decyzji z jednakowym prawdopodobieństwem będą
albo bardzo korzystne albo bardzo niekorzystne dla W1;

kwantyle (Pr {W < wp} = p)
19
1 gdy W p = max w p

W ∈ Y a 
Ea W = 
0 w p.p.

( )

wariancja
[ ]
1 gdy D 2 W = min D 2 [W ]

W ∈ Y a 
Ea = 
0

inne charakterystyki (np. synteza wartości oczekiwanej i
wariancji)

20
∗
Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem rozmytym:
Podejście wg Bellmana, Zadeha
o o
o
(
)
,
a
,
A Ω
Y (a ) – nierozmyte zbiory wartości danych, zmiennych
decyzyjnych i wskaźników;
Ω(a ), Y(a ) – rozmyte zbiory wartości zmiennych decyzyjnych i
wskaźników;
Mechanizm realizacji decyzji nierozmytej:
o
o
ha ; Ω (a ) → Y (a )
Wskaźnik liczbowy (funkcja przynależności do przecięcia zbiorów
rozmytych zmiennych decyzyjnych i wskaźników):
µ (x *) = max
min{g a ( x ), f a (h( x ))} → max
o
x∈Ω ( a )
gdzie: ga, fa - funkcje przynależności elementów do zbiorów Ω(a), Y(a).
PRZYKŁAD:
Spośród mało licznych grup pracowników chcemy wybrać grupę
dużej wydajności.
o
Nr grupy
Liczność
Wydajność ha
1 2 3 4
1 3 2 5
30 15 12 7
o
Ω (a ) = {1,2,3,4}, Y (a ) = {7,12,15,30}
Niech
zbiór
rozmyty
liczności grup” ma postać:
„małych
9
1
1

1 / 1, 2 / 1, 3 / , 4 / , 5 / 
10
2
7

a zbiór rozmyty „dużych wydajności”:
1
1

7
/
10
,
12
/
0
,
15
/
,
30
/

.
8
3

x
1 2 3 4 Przypadek,
Stąd rozmyty
gdy zbiór
W ∈dopuszczalnych
W(a, x) jest
ga (x)
1 9/10 1 1/7 zbiorem
decyzji liczbowym:
jest następujący:
ha (x)
30 15 12 7
9
1

1
/
1
,
2
/
,
3
/
1
,
4
/


fa (ha (x)) 1/3 1/8 0 0
10
7

µ(x)
1/3 1/8 0 0
max = 1/3. Odpowiada to decyzji nr 1
21
∗

Przypadek, gdy w ∈ W(a, x) jest zbiorem liczbowym:
kryterium pesymisty (Walda):
1 gdy max min W (a, x )
x∈Ω ( a )

Ea W = 
0 w p.p.

( )
Decyzja:
nie uczyć się bo:
max {min{10,-10}; min{-5,0}} =
= max{-10, -5}= -5
odpowiada
decyzji nr 2
sytuacja
nie
zapyta
decyzja
zapyta
1. uczyć się
10
-10
2. nie uczyć
-5
0
się

kryterium optymisty:
1 gdy max W = max max W (a, x )

x ∈ Ω a 
Ea W = 
0 w p.p.

( )
Decyzja:
uczyć się, bo:
max {max{10, -10} , max{-5, 0}} = max {10, 0} = 10
odpowiada decyzji nr 1

kryterium Hurwicza:
α – współczynnik optymizmu

1 gdy α max W + (1 − α ) min W =

E a W =  = max [α max W (a, x ) + (1 − α ) min W (a, x )]
x∈Ω(a )

0 w p.p.

( )
Można pokazać, że dla danych z powyższej tabeli:
1
3
nie uczyć się < α qr = < uczyć się
22
kryterium żalu (Savage’a)

w ( x, a, b )
sytuacja
dane
wskaźnik
decyzja
Rozumowanie decydenta:
Gdybym znał b, to podjąłbym decyzję x*, taką że:
(
)
w x * , a, b =
max w( x, a, b )
x ∈ Ω( a )
ale ponieważ nie znałem b i podjąłem decyzję x, więc mój „żal”
z tego powodu wynosi:
w s ( x, a, b ) = w x * , a, b  − w( x, a, b )


s
Dla w stosuje się kryterium pesymisty.
-10
10
10
0
-5
0
15
0
Ponieważ interesuje nas to, aby żal był
jak najmniejszy, więc naszą decyzją
będzie decyzja nr 1, tzn. uczyć się, bo
max {0, 10} < max {15, 0}.
23
PRZYKŁAD
Podejmujemy decyzję, czy iść do kina, teatru, czy muzeum.
Możemy trafić na dobry film lub spektakl, albo też słaby. Nie
wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.
Muzeum otwarte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa 12
12
max
20
12
Muzeum zamknięte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa
0
0
max
20
10
„Żal” odpowiadający
tabelki:
0
7
20
6
0
10
powyższym
sytuacjom
max Jeżeli muzeum jest zamknięte,
6 to idziemy do kina, w p.p. – do
teatru ?!!!!
7
20
przedstawiają
0
7
8
8
2
0
max
8
7
8
24
MODELE SYMULACYJNE
„pozwalają na drodze opisów matematycznych „naśladować”
zachowanie się obiektu obserwowanego z punktu widzenia
określonego problemu”

są to modele badawcze z czasem, w którym zbiór zmiennych X
(tzw. opisowych) dzieli się na 3 rozłączne podzbiory:
• zmiennych wejściowych (ich wartości są ustalone niezależnie
od zachowania się obiektu rzeczywistego); Xwe;
• zmiennych stanu (ich wartości opisują wybrane cechy obiektu
zmieniające się w czasie); Xst, Xwy;
• podzbiór jednoelementowy opisujący czas:

o
X = X we ∪ X st ∪ { t, T }
X we ∩ X st = ∅ X wy ⊂ X st
Zbiory dopuszczalnych
zmiennych wejściowych
zmiennych wyjściowych
zestawów wartości, odpowiednio:
X we , zmiennych stanu X st oraz
X wy , mogą być funkcjami czasu
o
określonymi w zbiorze R .
W modelach symulacyjnych definiuje się dwie funkcje:
•
przejścia stanu δ,
•
wyjściową λ.
δ : Xst × XWe ×T ×T → Xst ×T
Wartość δ(x, y, t, h) jest zestawem wartości zmiennych stanu
chwili t+h.
λ : Xst × Xwe ×T → Xwy ×T
Wartość λ(x, y, t) jest zestawem wartości zmiennych wyjściowych
w chwili t.
25

MODELOWANIE MATEMATYCZNE

Transkrypt

Podobne dokumenty

Karta przedmiotu - Modelowanie 3D

Modelowanie i obliczenia techniczne

Realizacja programu nauczania matematyki z elementami bankowości

modelowanie procesów biznesowych

Piotr Strojny

spis treśœci - e