nych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygo

Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na
pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych wykładów.
Poniżej podane są przykładowe pytania.
Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i
Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
1. - Definicja liczby pierwszej. Dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
2. - Definicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych.
3. - Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych.
4. - Definicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykłady takich
zbiorów.
5. - Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych.
6. - Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb niealgebraicznych.
7. - Definicja liczby niewymiernej. Przykłady liczb niewymiernych.
√
8. - Dowód niewymierności liczby 2.
9. - Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów wykorzystujących zasadę indukcji.
10. - Rozwinięcia dziesiętne liczb rzeczywistych.
11. - Podstawowe twierdzenia o ciągach liczbowych (z dowodami).
12. - Dowód zupełności zbioru liczb rzeczywistych.
13. - Udowodnić, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbieżny.
14. - Kryteria zbieżności szeregów. Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych.
15. - Dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
16. - Wykazać, że funkcja ciągła określona na odcinku domkniętym jest
ograniczona.
17. - Własnośc Darboux funkcji określonej na odcinku, definicja i zastosowania.
18. - Przykład funkcji nie mającej własności Darboux. Związek między
własnością Darboux i ciągłością funkcji.
19. - Funkcje jednostajnie ciągłe. Przykłady.
20. - Definicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i fizyczna.
21. - Wzór na pochodną funkcji złożonej (z dowodem).
22. - Związek między ciągłością i różniczkowalnością funkcji.
23. - Definicja n−tej pochodnej. Przykład funkcji mającej pierwszą i drugą
pochodną i niemającej trzeciej pochodnej.
24. - Twierdzenie Rolle’a (z dowodem).
25. - Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna.
26. - Twierdzenie Taylora i jego zastosowania.
27. - Warunki konieczne i wystarczające na istnienie ekstremum lokalnego
funkcji rzeczywistej określonej na prostej rzeczywistej.
28. - Funkcja pierwotna, definicja, podstawowe własności.
29. - Całka Riemanna. Definicja i podstawowe własności.
30. - Przykład funkcji rzeczywistej określonej na odcinku domkniętym niecałkowalnej w sensie Riemanna.
31. - Dowód całkowalności w sensie Riemanna funkcji ciągłych na odcinku
domkniętym.
32. - Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
33. - Całkowanie przez części.
34. - Całkowanie przez podstawienie.
35. - Zastosowania całek oznaczonych do obliczania objętości brył, pól powierzchni i długości krzywych.
Topologia
36. - Przestrzenie metryczne i ich przykłady. Kula, wnętrze zbioru i zbiór
otwarty. Domknięcie i zbiór domknięty.
37. - Definicja ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej. Przykłady ciągów
zbieżnych i rozbieżnych.
38. - Podprzestrzeń i iloczyn kartezjański jako przykłady operacji na przestrzeniach metrycznych.
39. - Definicja ciągłości funkcji w sensie Cauchy’ego oraz sformułowania
równoważne: w języku ciągów (warunek Heinego) i w języku przeciwobrazów.
40. - Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów
prostej.
41. - Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie
Borela-Lebesgue’a.
42. - Własności funkcji ciągłych na przestrzeniach zwartych.
43. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych w Rn .
44. - Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ciągłych
określonych na odcinku domkniętym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego.
45. - Przestrzenie zupełne, przykłady. Związek między zwartością i zupełnością.
46. - Pojęcie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykłady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych.
47. - Ciągłe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorfizmy.
Funkcje Wielu Zmiennych
48. - Definicja pochodnych cząstkowych. Związek między istnieniem pochodnych cząstkowych i ciągłością funkcji.
49. - Definicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Związek
miedzy istnieniem pochodnej i ciągłością funkcji.
50. - Twierdzenie o funkcji odwrotnej.
51. - Gradient funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna.
52. - Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wzór na pochodną funkcji uwikłanej.
53. - Warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych.
54. - Szukanie wartości minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch
zmiennych określonej na zbiorze zwartym.
55. - Ekstrema warunkowe. Mnożniki Lagrange’a.
56. - Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych.
57. - Całka Riemanna z funkcji ciągłej wielu zmiennych. Definicja i podstawowe własności.
58. - Miara Jordana zbioru, podstawowe jej własności.
59. - Miara Jordana i Lebesgue’a zbioru liczb wymiernych na odcinku.
60. - Obliczanie całek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego.
61. - Jakobian funkcji. Definicja i interpretacja geometryczna.
62. - Wzór na zamianę zmiennych w całce n-krotnej i jego zastosowania.
63. - Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Definicja i interpretacja fizyczna.
64. - Pole potencjalne. Kryteria potencjalności pola. Całka krzywoliniowa
z pola potencjalnego.
65. - Wzór Greena i jego zastosowania.
66. - Całki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Definicje, podstawowe własności, interpretacja fizyczna.
67. - Dywergencja pola wektorowego. Definicja i interpretacja fizyczna.
68. - Całka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa.
69. - Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa.
Funkcje Zespolone
70. - Pochodna funkcji zespolonej. Definicja, interpretacja modułu i argumentu pochodnej.
71. - Wzory Cauchy’ego - Riemanna.
72. - Związek między istnieniem pochodnej a rozwijalnościa funkcji w szereg potęgowy.
73. - Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór całkowy Cauchy’ego.
74. - Szereg Laurenta. Wzór na współczynniki tego szeregu.
75. - Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania całek z funkcji
rzeczywistej.
Równania Różniczkowe
76. - Całkowanie równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, w różniczce zupełnej, liniowych.
77. - Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego.
78. - Twierdzenie Picarda- Lindelofa (z dowodem).
79. - Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu.
80. - Układy równań liniowych. Portrety fazowe układów równań liniowych
na płaszczyźnie.
Rachunek Prawdopodobieństwa
81. - Klasyczna i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Podstawowe własności prawdopodobieństwa.
82. - Dowód ciągłości prawdopodobieństwa na ciągach zdarzeń wstępujących i zstępujących.
83. -Pojęcie zm. losowej, wektora losowego, rozkładu, rozkładów brzegowych, parametrów rozkładu- wartość oczekiwana i wariancja, podstawowe własności.
84. - Podstawowe rozkłady dyskretne i absolutnie ciągłe.
85. - Nierówność Czebyszewa i jej dowód- przykłady zastosowań.
86. - Niezależność zmiennych losowych, splot rozkładów. Dowód własności:
E(XY ) = EXEY, dla niezależnych zm. losowych X, Y.
87. - Rozkłady warunkowe, warunkowa wartość oczekiwana - podstawowe
w własności, martyngały - przykłady.
88. -Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych: zbieżność z prawdopodobieństwem jeden, wg prawdopodobieństwa, zb. w L2 , zb.wg rozkładuzwiązki miedzy nimi.
89. - Mocne i Słabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Kołmogorowa).
90. - Funkcja charakterystyczna rozkładu i jej własności-zwiazek z rozkładem ( tw. Bochnera).
91. - Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy‘ego. Przykłady zastosowańaproksymacja rozkłądem normalnym.
Analiza Funkcjonalna
92. - Przestrzenie Banacha i ich przykłady.
93. - Przykłady przestrzeni Hilberta i ich przykłady.
94. - Przykład przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzenią Hilberta.
95. - Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha
96. - Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta.
97. - Charakteryzacja przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru.
Algebra Liniowa
98. - Układy równań liniowych, postać kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
99. - Przestrzenie wektorowe (przykłady). Liniowa niezależność wektorów.
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej.
100. - Przekształcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o
wymiarze obrazu i jądra przekształcenia liniowego.
101. - Wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy. Diagonalizacja macierzy.
102. - Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopełnienie
ortogonalne podprzestrzeni.
Algebra Abstrakcyjna
103. - Definicja i przykłady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange’a.
104. - Homomorfizm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o Homomorfizmie.
105. - Pierścienie i ciała (definicje i przykłady). Twierdzenie o klasyfikacji
ciał skończonych.
106. - Ideały w pierścieniach, homomorfizm pierścieni i pierścienie ilorazowe.
107. - Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach. Pierścienie Euklidesowe i
Dziedziny Ideałów Głównych.
108. - Ciało liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i
Zasadnicze Twierdzenie Algebry.
109. - Ciało liczb algebraicznych, ciało liczb konstruowalnych i Twierdzenie
Gaussa (o konstruowalności wielokątów foremnych).
110. - Algebry ogólne, kongruencje w algebrach ogólnych i Zasadnicze Twierdzenie o Homomorfizmie.