Zadania przygotowujące do Sprawdzianu II.

MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
str. 1
Zadania przygotowujące do Sprawdzianu II.
x
x3
x2
+
+. . ., gdzie prawa strona jest sumą wyrazów nieskończonego
+
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3
ciągu geometrycznego zbieżnego. Znajdź dziedzinę tej funkcji.
1.1. Dana jest funkcja f (x) =
1.2. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 7, a ich iloczyn jest równy 8. Wyznacz ten ciąg.
1.3. Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny.
Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe 12 cm2 , a piątego 30 cm2 . Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól
równa się polu kwadratu o boku 21 cm.
1.4. Oblicz pole koła określonego nierównością x2 + y 2 − 2x + 4y + 1 6 0.
1.5. Zilustruj w układzie współrzędnych zbiór A ∩ B, jeśli A = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ 9 6 x2 + y 2 < 16},
B = {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y > |x|}.
1.6. Rozwiąż nierówność
2x − 5
> 1.
3 − 4x
1.7. Wielomian Q(x) = 4x3 + 8x2 − x − 2 rozłóż na czynniki i podaj jego pierwiastki.
1.8. Rozwiąż nierówność
3
2
< .
x−1
x
1.9. Rozwiąż równanie 1 + x + x2 + x3 + . . . = 4x, gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
1.10. Dla jakich x szereg geometryczny 1 +
1.11. Uprość zapis wyrażenia
9
3
+
+ . . . jest zbieżny?
x − 2 (x − 2)2
√
log 2
.
2 log 4 − log 8
1.12. Rozwiąż równanie 9x − 2 · 3x−1 − 7 = 0.
1.13. Oblicz log3
1
9
√ 3 .
1.14. Rozwiąż nierówność
1.15. Uprość wyrażenie
2
1 x −8
3
43 · 8 ·
√
17
16 8
2
> 9x .
.
√
3
1.16. Rozwiąż nierówność 3 · 9 <
·
27
x
1
3x
2
.
1.17. Oblicz sumę ciągu arytmetycznego skończonego 3 + 7 + 11 + . . . + 95 + 99.
1.18. Przedstaw liczbę 0, (23) w postaci ułamka zwykłego.
1.19. Podaj rozkłady na ułamki proste funkcji wymiernej właściwej:
r
1.20. Określ dziedzinę funkcji f (x) =
x2 + x
.
x6 + x4
x
.
x2 − 4
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze na kierunku Budownictwo
str. 2
1.21. Wyznacz największą liczbę ujemną spełniającą nierówność (5 − x)(x2 + 6x + 8) 6 0.
1.22. Oblicz iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego wiedząc, że jego suma wynosi 9, a drugi wyraz
jest równy 2.
√
1.23. Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód tego trójkąta wyraża się liczbą 3( 6 +
√
2). Oblicz długości jego boków.
1.24. Narysuj wykres funkcji f (x) =
|x| − 1
|x| − 1
i podaj liczbę rozwiązań równania
= m w zależności od wartości
|x| − 2
|x| − 2
parametru m.
1.25. Funkcję wymierną niewłaściwą przedstaw w postaci sumy wielomianu i funkcji
x5 + 7x + 1
.
x3 + x
1.26. Wykonaj wykres funkcji f (x) = 9log3 x .
1.27. Rozwiąż nierówność log2 sin x < −1, x ∈ 0, π2 .
1.28. Rozwiązać równanie log2 x + log x = 0.
1.29. Dla jakich x ∈ R ciąg 16, 2x−1 , 4x−3 jest ciągiem geometrycznym?
1.30. Liczbę 2, 0(36) zamień na ułamek zwykły.
1.31. Prosta o równaniu x + y = r jest styczna do okręgu o równaniu x2 + y 2 = r, r > 0. Oblicz wartość r.
1.32. Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 i x2 + y 2 − 8x − 12y + 43 = 0.
1.33. Podaj rozkłady na ułamki proste funkcji wymiernej właściwej:
x+7
.
x5 + 4x3 + 4x
1.34. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie A(−1, 3), B(1, −1).
1.35. Rozwiąż równanie log5 (log3 (log2 x)) = 0.
1.36. Rozwiąż nierówność log4 (x − 1) < 1 − log4 (x + 2).
1.37. Rozwiąż równanie log2 x = 6 + log x.
1.38. Funkcję wymierną niewłaściwą
x3 + 2
przedstaw w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
x−1
1.39. Dla jakich wartości m prosta y = m − x jest rozłączna z okręgiem x2 + y 2 − 4x = 0.

 log (2x − 5) > 0
0,5
1.40. Rozwiąż układ nierówności
.
 x2 > 1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego