efektywna stopa procentowa o równoważna stpopa

EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA
Niekiedy zachodzi konieczność zmiany okresu kapit. z równoczesnym zachowaniem efektów
oprocentowanie. Dzieje się tak w niektórych zagadnieniach matematyki finansowej np.
wkłady oszczędnościowe, spłata długów.
Pojawia się tez potrzeba zastąpienia kapit. niezgodnej kapit. zgodną i odwrotnie. Zachodzi
zatem konieczność zrównoważenia efektu kapit. w podokresach lub w nadokresach.
Zrównoważenie to w przypadku kapit. złoż. z dołu jest związana z możliwością zastąpienia
nierówności (por 35)
(38 ) Ko(1+r)n <=Ko(1+r/m)m n
poprzez równoważność można to uczynić na dwa sposoby
I sposób
W odpowiedni sposób podwyższamy stopę procentowa występującą po lewej stronie tej
nierówności. Zatem w lewej stronie tej nierówności w miejsce r kładziemy ref, na efektywna
stopę procentową , i dla kapit. złożonej z dołu stopę efektywną, ref określa się równaniem
Ko(1+ ref)n= Ko(1+r/m)m n
A stą otrzymujemy
(39) ref=(1+r/m)n m
II sposób
Polega na obniżeniu stopy względnej r/m występujące w nierówności (38) tak aby otrzymać
równość. Tak obniżoną stopę procentową n równoważną stopę procentową i ozn. Rr. Zatem
dla kapitalizacji złożonej z dołu stopę określa równanie
Ko(1+ r)n= Ko(1+ rr)nm
Stąd otrzymujemy , że
(40) Rr=(1+r)1/m -1
Zrównoważenie o którym wspomnieliśmy powyżej w przypadku kapit. złożonej z góry jets
związane możliwości zastąpienia nierówności(por 35)
Wm= Ko(1+r/m)- m n<=Ko(1-r)- n = Wn
Poprzez nierówność również w tym przypadku można to zrobić na 2 sposoby
(41) ref-= 1-(1-r/m)m
II Sposób
Podwyższamy stopę względem r/mdo poziomu stopy równoważnej r -r , a więc r -r spełnia
równanie
Ko(1+ rr-) – nm= Ko(1+ r)- n tzn.
rr-=1-(1-r)1/m
Uwaga
(a)Stopy ref-, ref mają ten sam okres co stopa nominowana r, z tym że równoważą (niwelują)
skutki kapit. niezgodnej
(b)Stopy ref-, ref mają ten sam okres co stopa względna r/m z tym że równoważą (niwelują)
efekt kapit. niezgodnej.
Stopy efektywne ref-, ref i stopy rr-, rr pozwalają na równoważne zastępowanie bez zmian
efektu oprocentowania kapit. zgodnych kapitalizacjami niezgodnymi. Otrzymaliśmy bowiem
następujące zależności
(43) Kn=Ko(1+r)n = Ko[(1+r)1/m]n m =Ko[1+(1+r)1/m-1]nm = Ko(1+rr)n m
(44) Kk/m=Ko(1+r/m)k = Ko[(1+r/m)m]k / m =Ko[1+(1+r/m)m-1] k / m = Ko(1+ref)k / m
(45) Wn=Ko(1-r)-n = Ko[(1-r)1/m]- n m =Ko[1+(1-r)1/m-1] – k / m = Ko(1- rr-) - n m
(46) Wk/m=Ko(1-r/m)- k = Ko[(1r/m)m]- k / m =Ko[1+(1-r/m)m-1] – k/m = Ko(1+ref)- k / m
Analizując wzory (43) i (45) zauważamy, że dają one podstawę do określenia w umowny
sposób przyszłej wartości kapitału po niepełnej ilości okresów kapit. w ramach modelu kapit.
złożonej.
Istotnie, rozwiązanie jest następujące. Jeśli r oznacza stopę procentową której okres pokrywa
się z okresem kapit. to rzeczywisty czas oprocentowanie t dzielimy na k równych części
(jednostek podstawowych), tak aby okres kapit. był całkowitą wielokrotnością m takich części
i wówczas przyszła wartość kapit. Ko po czasie t otrzymujemy przyjmując we wzorze (43)
lub (45) wartość k zamiast wartość nom oraz rr dla częstości m wzory te (pisane od strony
lewej do prawej ) przyjmują wtedy postaci (43’) i (45’)
(43) Kt=Ko(1+rr)k =Ko[1+(1+r)1/m-1]k = Ko(1+r)k / m
(45) Wt=Ko(1-r-r)-k = Ko[1+(1-r)1/m-1] – k = Ko(1- r) – k / m
UWAGA
Stopy efektywne i stopy równoważne spełniają nierówności
Dla kapit. złożonej z dołu
(47) m * rr<=r<= ref
dla kapitalizacji złożonej z góry
(48) m * rr->=r>= ref- , m e N
DOWÓD
Najpierw wykażemy nierówność (47) . Zgodnie z def. Równoważnej stopy procentowej
Rr(por(40)) mamy
(1+rr)m = 1+r
Stosując teraz nierówność Bernouliego (30) otrzymamy
1+r = (1+rr)m>1+m rr gdy m>1
Stąd m rr<r gdy m>1
Stosując ponownie nierówność Bernouliego (30) otrzymujemy też, że :
Ref=(1+r/m)m – 1>1+m r/m – 1 = r gdy m>1
Tym samym dowód (47) został zakończony w przypadku gdy m>1
Stosując wzór (42) mamy 1-r -r= (1-m)1/m zatem (1-r-r)m= 1-r
I stosując nierówność Bernouliego (30) dostajemy 1-r =(1-r –r)m > 1- r –r gdy m>1 a zatem m
* r –r dgy m >1
Zgodnie ze wzorem (41) mamy ponadto , że
1- r –ref = (1 – r/m)m > 1-m r/m = 1-r gdy m>1
a więc
r> r –ref = gdy m>1
Dowód (48) gdy m>1 został zakończony
Gdy m=1 mamy równości w (47) i (48) . Gdy m>1 mamy tam nierówności ostre
Wykorzystując podane do tej pory wzory zauważyliśmy że przyszła wart. Kapit.
KAPITALIZACJA CIAGLA
Wiadomo że
(49) limm->oo (1+1/m)m= limm->oo (1+1/am) 1 / am=e
oraz
(49) limm->oo (1-1/m) - m= limm->oo (1-1/am)1 / am =e
jesli limm->oo = 0 am=/0 m e N
Wiadomo też, że dla wszystkich ko, r , n ciąg przyszłych wart
(51) Wnm/m = Ko(1 + r/m)n m
dla kapit. złożonej z dołu jets rosnącym względem m , natomiast ciąg przyszłych wartości
(52) Wnm/m = Ko(1-r/m)-n m
dla kapit. założonej z góry jest malejący względem m . Ponadto
(53) Knm/m <=Wnm/m dla n, m e N oraz 0<r<m
zauważmy że (wobec (49))
(54) limm->oo Knm/m= limm->oo Ko(1+r/m) nm =limm->oo [(1+r/m) m r]n r =Ko e nr
oraz (wobec (50))
(55) limm->oo Wnm/m= limm->oo Ko(1-r/m)- nm =limm->oo [(1-r/m) - m / r]n r =Ko e nr
zatem ciągi (51) i (52) spełniają (53) i mają wspólną granicę równą Ko e nr
Kapit. ciągła def. Jako graniczny przypadek kapit. złożonej w podokresach , gdy
liczba podokesów m (częstość dopisywania odsetek) zmierza do nieskończoności
Jeśli przez K(n) ozn. Przyszła wartość kapitału Ko po n okresach stopy procentowej r w
modelu kapit. ciągłej , to uwzględniając wzory (54) i (55) mamy
(56) K(n) = Ko e nr
Dla kapit, ciągłej której odsetki sa dopisywane do kapitału w każdym momencie
czasu ustala sie wart. Kapitału po dowolnym czasie t. Uogólniając wzór (56).
Do postaci (57) K(t) = Koetr , t>0
Gdzie t oznacza czas oprocentowania mierzony okresem stopy procentowej r.
Z modelem kapit. ciągłej spotykamy się dość często, np. przy wzroście masy drzewa
(zakładamy że nie dokonuje się wyrębu), odbywa nie wg modelu kapit ciągłej. Wzrost
ludności świata również odbywa się według kap c. , wartość składowanego wina w zależności
od czasu również opisuje kap. c.
RÓWNOWAŻNOŚC WARUNKÓW OPROCENTOWANIA
Powiemy że warunki oprocentowania określone w banku I są równoważne
warunkom(preferowane przez warunki ) określone przez w banku II w odmianie do
przedziału czasu <0;t> jeśli przyszła watr. Kapit. po czasie t w banku I jest równa (większa
ok. ) przyszłej wart. Tego kapit. w banku II
Jeśli warunki oprocentowania określone w banku I ś równoważne warunkom (preferowane
przez war.) określone w banku II w odniesieniu do każdego przedziału czasu , to moim ze
warunki oprocentowania określone w banku I są równoważne warunkom (są preferowane
przez wartość określone w banku II)
Zał. Ze w banku I obowiązuje roczna st procentowa ra oraz odsetki dopisywane są do kap. m1
azy w ciągu roku, natomiast w banku II obowiązuje roczna stopa procentowa r2oraz odsetki sa
przepisywane do kapitału m2 razy w ciągu roku.
Przyp. Że w b I i w b II obowiązuje model kapit. prostej. Równoważność (preferencja) war.
Oprocent. W b I w stosunku do wart. Oprocent. W b II w odniesieniu do n lat oznacza
zachodzenie równości (nierówności )
Ko(1+n*m1*r1/m1)= Ko(1+n*m2*r2/m2)
Stąd otrzymujemy że (59) r1=r2
Ponieważ zależność 59 nie jest zależna od m więc wynika stąd, że w modelu kapit, prostej
warunki równoważne(preferowane) w odróżnieniu od pewnego określonego przedziału czasu
są równoważne (preferowane) w o odniesieniu do każdego przedziału czasu są
równoważne(preferowane)
Niech teraz w bankach I i II obowiązuje model kapit. złożonej. Wówczas równoważność
(preferencja) wart. Oprocentowania w banku I w stosunku do wart oprocentowanie w banku
II określona jest równościa (nierównością)
Ko(+-r1/m1)+-nm1= Ko(+-r2/m2)+-nm2
Tutaj znak + dotyczy kapit. zdołu, - kapit z góry . Dla + mamy
Ko[(1+r1/m1)m1-1]n= Ko[(1+r2/m2)m2-1]n a więc Ko(1+ ref(I))n= Ko(1+ ref(II))n
(60’)Ref(I)= Ref(II)
Ref(I)= (1+r1/m1)m1-1
Ref(II) = (1+r2/m2)m2-1
W przypadku – mamy zaś
Ko{1-[(1-r1/m1)m1]}- n = Ko{1-[(1-r2/m2)m2] - n
(60”)Ref- (I)= Ref- (II)
Ref- (I)= 1- (1-r1/m1)m1
Ref(II) = 1- (1+r2/m2)m2
Widzimy że również wzory (60’) i (60”) nie zależą od czasu odniesienia n stąd wnosimy , że
dla modelu kapit. złożonej , o ile warunki oprocentowania sa równoważne (preferowane) dla
pewnego czasu , to sa równoważne (preferowane) dla każdego przedziału czasu , a więc sa
równoważne (preferowane)
Zał teraz że bank I stosuje model kapit, prostej z dolu , bank II – model kapit. złożonej z dołu
W tym przypadku równoważność (preferencja) wart. Oprocentowania w b I w porównaniu z
wart. Oprocentowania w banku II dla n lot oznacza , że
Ko(1+n*m1 r1/m1)= Ko(1+r2/m2)nm2
Ponieważ wzór (61) zależy od n , bo w szczególności jeśli war, oprocentowania w banku I sa
równoważne warunkom (preferowane w stosunku do wartości oprocentowania w banku II dla
jakiegoś przedziału czasu to nie musza być równoważne (preferowane) dla innego przedziału
czasu
KAPITALIZACJI PRZY ZIMENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ
Zał że przez n1 okresów obowiązywała st. Procentowa r1, przez następnych n2 okresów
obowiązywała stopa procent r222. Zajmiemy się problemem ustalenia przyszłej wart. Kap.
Ko po n okresach gdzie n = n1+n2 +..+n zakładamy mimo zniewalającego się st procent jej
okres nie zmienia się oraz jest równy okresowi apit. A więc rozważamy kapit, zgodną . CO
więcej zakładamy że na przestrzeni wszystkich n okresów obowiązuje ten sam model kapit.
Zał na początek że obowiązuje model kapit. prostej . Oczywiście odsetki proste od kapit. Ko
po n okresach wynoszą
(62) Z= Ko n1rn+..+konprp= Kp(n1r1+..+nprp)),
i przyszla wart. Kapitału po okresie n jets równa
(63) = Pn= Ko+ Z=Ko(1+n1r1+...+np. rp)
Jeśli obowiązuje model kapit. złożonej z dołu lub z góry lub model kapit. ciągłej wtedy , wart.
Kapitału po danym okresie staje się wart początkową dla okresu następującego, Zatem
przyszłą wart okresu Ko dla tych modeli również liczy się łatwo
- dla kapit. złożonej z dołu
(64) Kn= Ko(1+r1)n1*...*(1+r1)np.
- dla kapit. złożonej z góry
(65) Wn= Ko(1-r1) - n1*...*(1-r1)- np.
dla modelu kapit. ciągłej
(66) K(n)= Ko en1r1 *...* en p r p= Ko e n1 r1 + n p r p
Dla rozważonej powyżej kapital. P[rzy zmiennej st. Procent sensowne jest wprowadzenie
przeciętnej stropy procent w okresie trwania lokaty.
Przeciętna stopa procentowa nazywać będziemy taką st. Procentową rprz dla której przyszła
wart kapit. jest taka suma jak przyszła wart. Kapit. przy zmieniającej się st. Proc.
Jeśli uwzględnimy powyższa def oraz wzory (63)-(66) zatem możemy wyprowadzić wzory na
przeciętne stopy procentowe rprz dla odpowiednich modeli kapit.
W przypadku modelu kapit prostej rrz wyraża się wzorem
Ko(1+nrpro)= Ko(1+n1r1+...+nprp)
Stąd otrzymujemy
(67)rprz= 1/n(n1r1+..+nprp)
W przypadku modeli kapit. złożonej z dołu wart. rprz wyraza się
n1
n
np
(68) rprz= (1 r1) * ...* (1 rp) . - 1
W przypadku modelu kapit. złożonej z góry wart. r prz wyrażą się
Ko(1- r prz)= Ko(1- r 1)-n1*...*(1- r p)-np. stąd otrzymujemy
n
n1
-np
(1 r1) * ...* (1 rp)
(69) rprz= 1
W przypadku modelu kapit. ciągłej wart rprz wyrażą się wzorem
Ko en r prz = Ko e n1 r1 +...+ n p r p stąd mamy
Rprz = 1/n(n1r1+...+nprp)
KAPITALIZACJA MIESZANA
Kapitalizację mieszaną nazywamy taką kapital. Dla której w czasie oprocentowania lokaty
zmienia się model kapit. Ponadto wraz ze zmianą modelu kapit. może zmienić się takie st
procent.
Załóżmy że do banku została wpłacona pewna kwota jako lokat ai zał. Że został
zadeklarowany czas trwania lokaty . Czas ten jets z reguły całkowitą wielokrotnością okresu
kapit. W przypadku gdy właściciel lokaty nie wycofał kapitału po okresie deklarowanym i
przekroczył go o niepełny okres kapit. wtedy odsetki za przekroczony czas będą naliczane na
różne sposoby.
1’Bank nie dolicza odsetek za przekroczony czas ;
2’ Bank dolicza odsetki proste od kapitału początkowego wg niższej st. Procentowej
3’ Bank dolicza odsetki proste od końcowej wart kapitału wg niższej st. Procentowej
4’ 3’ Bank dolicza odsetki proste od końcowej wart kapitału , ale wg innej stopy procentowej
, jest oprocentowany kapital początkowy, a wg innej – zgromadzone odsetki
5’ Bank dolicza cz. Odsetek przypadający na pierwszy okres kapit. proporcjonalną do liczby
przekroczonych dni
6’ Bank dolicza odsetki złożone za cały czas trwania lokaty z wykorzystaniem wzoru(43’)
Przypominamy że jeśli czas oprocentowania <0,t> nie jest całkowitą wielokrotnością okresu
kapit wtedy przedstawiamy go jako suma dwóch przedziałów całkowite wielokrotności okr.
Kapit. i reszty będącej nadokresem ork. Kapit. Oczywiście w poszczególnych przedziałach
mogą obowiązywać inne modele kapit. i inne stopy proc.
Załóżmy że w przedziale czasu n1 (obejmującym n1 lat) obowiązuje kapit. złożona z dołu
przy rocznej stopie proc r1, a w pozostałym przedziale obejmującym r2 dnie (n2<360)
obowiązuje kapit. prosta z dołu przy rocznej st. Procent r2.
W przyp. 1’ wart kapit. Ko przyjmie wart(71) Kt=Ko(1+r1)n1
W przyp. 2’ przyszła wart. kapit. Ko po czasie t przyjmie wart
(72) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko *n2[(1+r1)n1+n2*r2/360]= [Ko(1+r1)n1+ n2*r2/360]
W przy. 3’ przyszłą wart Ko wynosi
(73) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko (1+r1)n1*n2 r2/360=Ko(1+r1)n1(1+n2*r2/360)
W przypadku wariantu 4’ przyszła wart kapitału wynosi
(74) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko n2 r2/360+[ Ko(1+r1)n1- Ko]n2 r3/360= Ko(1+r1)n1(1+ n2
r2/360)+Kon2(r2- r3)
W przypadku wariantu 5’ mogą być dopisywane odsetki od kapituł początkowego w
wysokości Ko n2r1/360 lub odsetki od kapitału końcowego w wysokości Ko(1+r1)n1
n2*r1/360). W konsekwencji wart. przyszła kapitału początkom. Ko będzie równa
odpowiednio
(75) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko *n2*r2/360]= [Ko(1+r1)n1+ n2*r1/360] lub
(76) ) Kt=Ko(1+r1)n1+Ko (1+n1)n1*n2 r1/360=Ko(1+r1)n1(1+n2*r1/360)
W przypadku wariantu 6’ przyszła wart. kapit. Ko po czasie t=360n1+n2 będącym czasem
trwania lokaty wyrażonym przez liczbę dni zgodnie ze wzorem (43’) przyjmie postać
Kt=Ko(1+r1)t/360
Jeżeli kapit. nie jest zgodna wtedy przyszła wart opisująca analityczne wzory (71)-(76) Przy
czym r1 oznacza wtedy stopę procentową względnie dostosowana do okresu kapitalizacji .
Natomiast n1 wyraża ilośc pełnych okr. Kapit. zawartych w przedziale<0,t>
OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI
Symbolem i ozn. Stopę inflacji , symbolem Knom1ozn. Przyszłą wart kapitału Ko w starych
cenach (np. z ubiegłego roku ) , Kre1oznaczamy rzeczywisty wzrost wart. kapitału Ko
wyrazony w cenach bieżących , jest on mniejszy od Knom1 . Zachodzi wzór
(*) 1+i = Knom1/ Kre1
, zakładamy , ze okres st. Procentowej r jest równy okresowi stopy inflacji przy czym z reguły
okresem tym jest 1 rok.
Wiadomo , że nominalny wzrost wart. kapitału Ko p 1 okresie wyraża wzór
Knom1 = Ko(1+r)
Jest to przyszła wart. kapit. w starych cenach(z ubiegłego roku), rzeczywisty wzrost kapit. Ko
uwzględniający wzrost cen , a więc wyrażony w cenach bieżących , jest mniejszy , określony
jest wzorami
(77) Kre1= Ko *(1+r)/(1+i)
Tak więc w związku ze wzrostem cen towarów i usług realny (rzeczywisty wzrost wart.
pieniądza jest mniejszy i realne tempo pomnażania wart pieniądza w czasie nr realną
(rzeczywistą) stopa procentową i ozn symbolem rre). Realna stope procentowa określa więc
równanie
Ko(1+ rre)= Ko(1+r)/(1+i)
A więc
(78) rre)= (1+r)/(1+i)
z (78) wynika że realna stopa procentowa jest dodatnia (a więc realna wart pieniądza rośnie )
 stopa procentowa r jest większa od stopy inflacji
Jeśli wzór (77) zapiszemy w postaci Kre1= Ko /(1+r)*(1+i) wtedy jego interpretacja jest
następująca i r będzie oznaczać rzeczywiste pomnożenie kapitału jaki dokonamy indeksacji
(waloryzacji ) kwoty Ko o wskaźnik inflacji a więc jeśli zamiast Ko przyjmiemy Ko(1+i).
Wartość Ko (1+i) oznacza że wartość Ko wzrosła o czynnik (1+i) w jednym okresie stopy
procentowej
W innnym przypadku kapit. niezgodnej przy m=krotnym dopisywaniu odsetek i okresie
storpy procentowej r, realna (rzezywistą ) stopą efektywną określa równanie
m
1
Ko(1+rre, ef)= Ko
r
m
r i
1
m
m
r
r
1
1 1
1 i
ref i
m
m
A więc (79) rre, ef =
r i
r i
1 i
Gdzie ref=(1+r/m)m-1
W powyższych rozważaniach uwzględniono wpływ inflacji przypadającej na 1 okres stopy
procentowej
Załóżmy teraz że kapitał początkowy Ko(pieniężny) pomnażał się
CZĘŚĆ 3