O liczbie - Politechnika Śląska

Czym jest liczba π?
O liczbie π
Paweł Zwoleński
Studenckie Koło Naukowe Matematyków
Wydział Matematyczno-Fizyczny
Politechnika Śląska
2010.03.14
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Motywacja wprowadzenia π
Kluczowym momentem w historii liczby π było zauważenie przez
starożytnych Babilończyków następującego faktu:
Twierdzenie
Stosunek długości obwodu koła do jego średnicy jest stały i
niezależny od promienia.
Z czasem liczba wyrażająca wyżej wymieniony stosunek została
gruntownie zbadana i oznaczona przez grecką literę π.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Definicja π
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Pierwsze próby obliczenia liczby π
Tabelka przedstawia, w jaki sposób liczba π „wydłużała” się w
historii:
lp.
1.
2.
3.
4.
5.
Kiedy
1900-1680 p.n.e.
III wiek p.n.e.
150 r. p.n.e.
III wiek
V wiek
Kto
Babilończycy
Archimedes
Ptolemeusz
Liu Hui
Zu Chongzhi
Wartość przybliżenia
3,1
3,14
3,141
3,14159
3,1415926
i tak dalej, i tak dalej...
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
π parę wieków później
W efekcie liczba π została oszacowana z dużą dokładnością. Oto
pierwsze 50 cyfr po przecinku z rozwinięcia dziesiętnego liczby π:
π = 3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510...
Nie ma tu żadnej sensownej prawidłowości!!
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Niewymierność
Przypomnijmy, że liczby naturalne to: 1, 2, 3, . . .
liczba wymierna
Liczbę nazywamy wymierną (dodatnią), jeżeli da się ją
przedstawić w postaci ilorazu qp liczb naturalnych.
Liczby wymierne mają rozwinięcie ułamkowe skończone lub
okresowe (na przykład: 0, 1244 lub 0, 123123123123123123123...).
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Niewymierność
liczba niewymierna
Liczbę, która nie jest wymierna, nazywamy liczbą niewymierną.
Chaos w rozwinięciu liczby π pociągnął za sobą hipotezę: liczba π
jest liczbą niewymierną. W roku 1761 Johann Heinrich Lambert
udowodnił prawdziwości tej tezy.
niewymierność
Rozwinięcie liczby π jest nieskończone i nieokresowe.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Geometryczne konstrukcje liczb
Niektóre liczby wymierne można skonstruować
geometrycznie (na
√ √
przykład dowolną liczbę wymierną, 2, 5 i tak dalej).
Okazuje się, że istnieją także liczby niekonstruowalne.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Przestępność
√
Rozważmy liczbę a = 5 + 1. Postarajmy się ją „wyzerować”,
używając tylko potęgowania, sztucznego dodawania, odejmowania
oraz mnożenia liczb naturalnych. Mamy:
√
√
a2 = ( 5 + 1)2 = 5 + 2 5 + 1
/−6
√
/2
a2 − 6 = 2 5
a4 − 12a2 + 36 = 4 · 5 = 20
√
Stąd liczba 5 + 1 spełnia równanie wielomianowe o całkowitych
współczynnikach x 4 − 12x 2 + 16 = 0, więc nazywamy ją liczbą
algebraiczną.
liczba przestępna
Liczbę a nazywamy przestępną, jeżeli nie istnieje równanie
wielomianowe o wsp. całkowitych , które byłoby spełnione przez a.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Liczba π jest przestępna
Dowód przestępności liczby π został podany w 1882 roku przez
Ferdinanda Lindemanna. Wynika stąd, że liczby π nie można
skonstruować geometrycznie.
Dzięki przestępności liczby π ostatecznie został rozwiązany
antyczny problem kwadratury koła: używając cyrkla i linijki bez
podziałki zbudować kwadrat o polu równemu polu danego koła.
Ponieważ pole koła wyraża się wzorem P = πr 2 i π jest
przestępna, więc mamy:
kwadratura koła
Kwadratura koła nie jest możliwa.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Nieskończoność - sposób na liczbę π
Nieskończoność to potężne narzędzie, które pozwala nam obliczać
przybliżoną wartość liczby π z dowolną dokładnością.
4−
2
1
·
2
3
1+
4
3
+
4
5
·
4
3
·
−
4
5
·
4
7
+
6
5
·
6
7
4
9
−
4
11
· ... =
+ . . . = π (Leibniz)
π
2
2
=
1·3
3+
3·5
4+
5·7
4+
4 + ...
(Wallis)
π
2
(Euler)
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Wzorki potworki
Oraz bardziej wyrafinowane:
1
π
=
√ ∞
2 2 P (4k)!(1103+26390k)
9801
(k!)4 3964k
k=0
√
426880 10005
π
=
(Ramanujan)
∞
P
(6k)!(13591409+545140134k)
k=0
(3k)!(k!)3 (−640320)3k
Paweł Zwoleński
O liczbie π
(bracia Chudnovsky)
Czym jest liczba π?
π w postaci ułamka łańcuchowego
π = 3+
+
1
1
7+
1
15+
1
1+
1
292+
1
1+
1
1+
1
1+
1
2+
1
1+
1
3+
1
1+
1
14+
1
2+
1
1+
1
1+
1
2+
2+
Powyższe to tak zwany ułamek łańcuchowy.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
1
1
2+ 2+...
Czym jest liczba π?
π w dobie komputerów
Poprzednie wzory nieskończone służą obecnie do obliczania
kolejnych przybliżeń liczby π. W roku 2009 znanych było już ponad
3 biliony (3,000,000,000,000) cyfr w rozwinięciu dziesiętnym
liczby π. Kolejne przybliżenia wciąż są obliczane.
Obliczanie kolejnych przybliżeń π to dobry sposób na sprawdzanie
rozwoju technologicznego komputerów. Obecnie przeciętny
komputer potrafi w niecałą minutę obliczyć π z dokładnością do
miliona miejsc po przecinku.
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Sposoby zapamiętywania liczby π
Istnieje wiele wierszy, pozwalających zapamiętać rozwinięcie liczby
π, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej
cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Oto jeden z nich:
Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią
ponętnie Ludolfiną1 , pamięci przekazać tak, by jej dowolnie
oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej
rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami. (myślnik oznacza 0)
1
Nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van
Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π
z dokładnością do 35 miejsc po przecinku
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Najpiękniejszy wzór matematyki
Liczba π wchodzi w skład tak zwanego najpiękniejszego wzoru
matematyki - szczególnego przypadku wzoru Eulera:
Najpiękniejszy wzór matematyki
e iπ + 1 = 0
gdzie:
e - stała Eulera (liczba niewymierna, przestępna),
e ≈ 2, 71828182845904523536 . . .
0 - element neutralny dodawania
1 - element neutralny mnożenia
i - jednostka urojona (i 2 = −1)
Paweł Zwoleński
O liczbie π
Czym jest liczba π?
Dziękuję za uwagę.
Dziękuję za uwagę!
Paweł Zwoleński
O liczbie π