O pewnych zagadnieniach optymalizacyjnych
Transkrypt
O pewnych zagadnieniach optymalizacyjnych
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Kinga Kolczyńska - Przybycień Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Kinga Kolczyńska - Przybycień Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Wprowadzenie Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Wprowadzenie Wprowadzenie W wielu zagadnieniach praktycznych bardzo ważne jest znajdowanie optymalnego (czyli najlepszego z jakiegoś punktu widzenia) rozwiązania danego problemu. Dla przykładu, gdybyśmy chcieli podróżować z Poznania do Białegostoku, to szukając takiego połączenia moglibyśmy brać pod uwagę kilka aspektów. Po pierwsze moglibyśmy szukać połączenia, które jest najtańsze, lub takiego, które zajmuje najmniej czasu, albo takie, które jest najbardziej komfortowe. Każde takie połączenie, tzn. najtańsze, najszybsze, najbardziej komfortowe można nazwać optymalnym. Takim właśnie znajdowaniem elementów optymalnych zajmuje się dział matematyki zwany optymalizacją. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Wprowadzenie Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Wprowadzenie Wprowadzenie Na dzisiejszym wykładzie przedstawionych zostanie kilka prostych, przykładowych zagadnień optymalizacyjnych, nad którymi , być może ktoś z Was już się zastanawiał. Zanim jednak przejdziemy do meritum sprawy, podam Wam kilka informacji wstępnych. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wiadomości wstępne Twierdzenie Pitagorasa. Niech 4ABC będzie trójkątem o bokach długości a 6 b 6 c. Wówczas 4ABC jest trójkątem prostokątnym wtedy i tylko wtedy, gdy c 2 = b 2 + a2 B c C Kinga Kolczyńska - Przybycień b a A O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Wiadomości wstępne Wzory skróconego mnożenia. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzą następujące wzory: 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b 2 3 a2 − b 2 = (a − b)(a + b) Nierówność między średnią arytmetyczną oraz średnią geometyczną. Dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych a, b, c zachodzą następujące nierówności : √ a+b 1 a·b 2 > √ 3 a+b+c 2 a·b·c > 3 Przy czym równość w powyższych nierównościach zachodzi tylko wtedy, gdy a = b = c. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wiadomości wstępne C 60o a · h h A ·a h 60o · a 60o B Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że wysokość w trójkącie √ równobocznym wyraż się wzorem: h = a 2 3 . Wynika stąd wzór na pole trókąta równobocznego: √ a2 3 S= . 4 Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Rozważmy dwa trójkąty: trójkąt 4ABC o bokach długości 4, 4, 4 oraz trójkąt 4DEF o bokach długości 3, 4, 5. D A 4 B 4 5 4 4 C Kinga Kolczyńska - Przybycień E 3 F O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Łatwo zauważyć, że obwód trójkąta 4ABC jest równy l4ABC = 4 + 4 + 4 = 12 i wynosi tyle samo co obwód trójkąta 4DEF , natomiast pola tych trójkątów nie są równe mianowicie: √ √ 3·4 42 3 =4 3>6= = S4DEF . S4ABC = 4 2 Widać więc, że dwa trójkąty o równych obwodach mogą mieć różne pole, powstaje zatem następujące zagadnienie: Spośród wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie ρ znaleźć ten, którego pole jest największe. Zagadnienie to nosi nazwę zagadnienia izoperymetrycznego dla trójkąta. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Na dzisiejszym wykładzie rozwiążemy, to zagadnienie, to znaczy wskażemy trójkąt , który przy danym obwodzie ρ ma największe pole. Rozwiązanie tego zagadnienia dokonamy w dwóch krokach. Krok 1.Pokażemy, że jeżeli 4ABC jest trójkątem różnobocznym o bokach długości a < b < c, to istnieje trójkąt równoramienny 4DEF o takim samym obwodzie jak trójkąt 4ABC , przy czym dla ich pól zachodzi związek: S4ABC < S4DEF . Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Niech więc 4ABC będzie trójkątem różnobocznym o bokach długości a < b < c, rozważmy trójkąt równoramienny 4DEF o b+c bokach dlługości a, b+c 2 , 2 jak na rysunku poniżej. Pokażemy, że pole trójkąta 4ABC jest mniejsze niż pole trójkąta 4DEF . D A c B h b x y a G C Kinga Kolczyńska - Przybycień b+c 2 E h1 a b+c 2 F O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Ponieważ trójkąty 4ABC i 4DEF mają wspólne podstawy równej długości więc aby udowodnić, że pole trójkąta 4ABC jest mniejsze niż pole trójkąta 4DEF wystarczy pokazać, że h < h1 . Niech G będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A i niech |BG| = x , |GC | = y . Zauważmy, że x 2 y 2 = (c 2 − h2 )(b 2 − h2 ) = c 2 b 2 − c 2 h2 − b 2 h2 + h4 = = c 2 b 2 − (c 2 + b 2 )h2 − h4 < c 2 b 2 − 2cbh2 + h4 = (cb − h2 )2 . Zatem bc − xy > h2 . Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Mamy dalej h12 = b+c 2 = = 2 2 − a 2 = b+c 2 2 − x +y 2 2 = b 2 + 2bc + c 2 x 2 + 2xy + y 2 − = 4 4 (b 2 − y 2 ) + 2(bc − xy ) + (c 2 − x 2 ) h2 + 2(bc − xy ) + h2 = > 4 4 h2 + 2h2 + h2 = h2 . 4 Zatem h1 > h co kończy dowód pierwszego kroku. > Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Krok 2 Pokażemy, że spośród wszystkich trójkątów równoramiennych o obwodzie długości ρ najwieksze pole ma trójkąt równoboczny o boku długości ρ3 . Niech więc 4ABC będzie trójkątem równoramiennym o obwodzie ρ. A b B Kinga Kolczyńska - Przybycień h a b C O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Mamy a + 2b = ρ, więc b = ρ−a 2 . Zatem z Twierdzenia Pitagorasa mamy 2 2 ρ−a 2 a a 2 2 = − = h =b − 2 2 2 = ρ(ρ − 2a) ρ2 − 2ρa + a2 − a2 = . 4 4 Skąd p h= ρ(ρ − a) . 2 Dalej otrzymujemy S4ABC √ √ √ q a ρ ρ − 2a ρ ah = = = · a · a · (ρ − 2a) 2 4 4 Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta √ ρ = · 4 s q 3 3 a · a · (ρ − 2a) √ ρ 6 · 4 s a + a + (ρ − 2a) 3 3 = s √ ρ ρ3 ρ2 3 = · = . 4 27 36 Pokazaliśmy więc, że pole dowolnego √ trójkąta równoramiennego o ρ2 3 obwodzie ρ nie przekracza liczby 36 , przy czym jest ono równe tej liczbie tylko wtedy, gdy zajdzie równość w nierówności pomiędzy średnimi, z której skorzystaliśmy w powyższym oszacowaniu, to jest tylko wtedy, gdy a = ρ − 2a czyli ρ a=b= , 3 co kończy dowód kroku drugiego. √ Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla trójkąta Z kroków 1 i 2 wynika następująca własność: Wśród wszystkich trójkątów o danym obwodzie ρ największe pole ma trójkąt równoboczny o boku długości ρ3 i jego pole wynosi √ ρ2 3 36 . Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta Podobnie jak dla trójkąta łatwo zauważyć, że dwa czworokąty o równych obwodach, mogą mieć rożne pola, powstaje wiięc naturalny problem: Spośród wszystkich czworokątów o ustalonym obwodzie ρ znaleźć ten, którego pole jest największe. Zagadnienie to nosi nazwę zagadnienia izoperymetrycznego dla czworokątów. Podobnie jak dla trójkąta rozwiązania tego zagadnienia dokonamy w dwóch krokach. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Krok 1.Pokażemy, że jeżeli ABCD jest czworokątem o bokach długości a 6 b 6 c 6 d, to istnieje romb EFGH o takim samym obwodzie jak czworokąt ABCD, przy czym dla ich pól zachodzi związek: SABCD 6 SEFGH . Przejdźmy teraz do dowodu tego faktu. Jeżeli ABCD jest rombem to nie ma czego dowodzić. Możemy więc założyć, że a < b. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta C b c x B a D d A Z kroku 1 rozwiązania zagadnienia izoperymetrycznego dla trójkąta wynika, że pole czworokąta ABCD jest mniejsze od pola czworokąta PQRS przedstawionego poniżej. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta R a+b 2 Q c+d 2 x y S c+d 2 a+b 2 P Z kroku 1 rozwiązania zagadnienia izoperymetrycznego dla trójkąta wynika, że pole czworokąta PQRS jest niewiększe od pola rombu EFGH przedstawionego poniżej. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta G a+b+c+d 4 F a+b+c+d 4 y a+b+c+d 4 H a+b+c+d 4 E co kończy dowód kroku 1. Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta Krok 2.Pokażemy, że jeżeli ABCD jest rombem o boku długości a to kwadrat EFGH o boku długości a ma pole większe lub równe od pola rombu ABCD F a B a C a a A a a h x a D E a Z Twierdzenia Pitagorasa mamy h= G p a2 − x 2 6 Kinga Kolczyńska - Przybycień p a2 − 02 = a. O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych H O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Zagadnienie izoperymetryczne dla czworokąta Zatem SABCD = a · h 6 a · a = a2 = SEFGH co kończy dowód kroku 2. Z kroków 1 i 2 wynika następująca własność: Wśród wszystkich czworokątów wypukłych o danym obwodzie ρ największe pole ma kwadrat o boku długości jego pole wynosi ρ2 16 . Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych ρ 4 i O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Wprowadzenie Wiadomości wstępne Zagadnienia Izoperymetryczne Dziękuję za uwagę Kinga Kolczyńska - Przybycień Kinga Kolczyńska - Przybycień O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych